优化重组卷1

优化重组卷(一)一、选择题 1．集合M ＝{x |x x －1>0}，集合N ＝{y |y ＝x 12}，则M ∩N 等于( )． A ．(0，＋∞) B ．(1＋∞) C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)[2013·唐山一模]解析 M ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，N ＝[0，＋∞)， 所以M ∩N ＝(1，＋∞)． 答案 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3，x ≤0，2x ，x >0，则f [f (－1)]等于( )．A.12 B ．2 C ．1 D ．－1[2013·青岛模拟] 解析 ∵f (－1)＝－(－1)3＝1， ∴f [f (－1)]＝f (1)＝2. 答案 B3．以下命题正确的个数为( )．①命题“若x 2>1，则x >1”的否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”； ②命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题；③命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0”； ④“x >1”是“x 2＋x －2>0”的充分不必要条件． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[2013·大连双基测试]解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，所以①正确；当α＝60°，β＝210°时，有tan α>'tan β成立，但α>β不成立，故②不正确；特称命题的否定是将特称量词改为全称量词，再否定结论，所以③正确；x 2＋x －2>0的解集是x >1或x <－2，所以④正确，选C. 答案 C4．若0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，r ＝a c, 则m ，n ，r 的大小关系是( )． A ．m <n <r B ．m <r <n C ．r <m <n D ．n <m <r[2013·南昌二次模拟]解析 因为m ＝log a c <log a 1＝0，同理n <0，作商m n ＝log a c log bc ＝log a b <log a a ＝1，即mn<1，又m ，n <0, 从而有0>m >n ，即r ＝a c >0，故r >m >n . 答案 D5．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为( )．A ．3 B.76 C.13 D ．－23[2013·豫南九校一联]解析作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，的可行域，如图中的阴影部分所示，对于目标函数z ＝y －1x ＋3表示的是阴影部分的点与P (－3,1)的连线的斜率，数形结合知当取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52时，z ＝y －1x ＋3取得最大值为52－1－52＋3＝3.答案 A6．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )．[2013·威海一模]解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，1x，x ≥1，而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的，所以结合选项知选A. 答案 A7．利民工厂某产品的年产量在100吨至300吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )．A ．150B ．200C ．300D ．以上都不对[2013·保定摸底]解析 由于每吨的成本与产量之间的函数关系式为g (x )＝y x ＝x 10＋4 000x －30(100≤x ≤300)，由基本不等式得g (x )＝x 10＋4 000x －30≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x 时取得等号，此时x ＝200. 答案 B8．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图，下列关于函数f (x )的四个命题：①函数y ＝f (x )是周期函数； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点．其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．1[2013·临沂一模] 解析首先排除①，不能确定周期性，f(x)在[0,2]上时f′(x)<0，故②正确，当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，结合原函数的单调性知0≤t≤5，所以排除③；不能确定在x＝2时函数值和a的大小，故不能确定几个零点，故④错误．答案 D二、填空题10．若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是______．[2013·青岛市考试]解析对函数f(x)求导，得f′(x)＝－ax2＋2x－1x(x>0)．依题意，得f′(x)<0在(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a>0且方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正根，∴a>－1，又∵a≠0，∴－1<a<0或a>0.答案(－1,0)∪(0，＋∞)11．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于原点对称，其最小正周期为4，且x ∈(0,2)时，f(x)＝log2(1＋3x)，则f(2 015)＝______.[2013·珠海市模拟] 解析由函数f(x)的最小正周期为4，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又函数f(x)的图象关于原点对称，知f(－x)＝－f(x)，故f(2 015)＝f(－1)＝－f(1)＝－log24＝－2.答案－212．若a>1，设函数f(x)＝a x＋x－4的零点为m，函数g(x)＝log a x＋x－4的零点为n，则1m＋1n的最小值为________．[2013·昆明市调研]解析函数f(x)＝a x＋x－4的零点是函数y＝a x与函数y＝4－x图象交点A的横坐标，函数g(x)＝log a x＋x－4的零点是函数y＝log a x与函数y＝4－x图象交点B 的横坐标．由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，且直线y ＝4－x 与直线y ＝x 垂直，故直线y ＝4－x 与直线y ＝x 的交点(2,2)即是线段AB 的中点，所以m ＋n ＝4，且m >0，n >0.所以1m ＋1n ＝14(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m n ＋n m ≥1，当且仅当m ＝n 时等号成立．答案 1 三、解答题13．已知函数f (x )＝ln xx .(1)确定y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)若a >0，函数h (x )＝xf (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值，求实数a 的取值范围．[2013·阳光启学大联考]解 (1)对已知函数f (x )求导得， f ′(x )＝1－ln xx 2.由1－ln x ＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，e]上单调递增， 在[e ，＋∞)上单调递减． (2)由h (x )＝xf (x )－x －ax 2，可得h (x )＝ln x －x －ax 2，则h ′(x )＝1x －1－2ax ＝－2ax 2－x ＋1x.h (x )＝xf (x )－x －ax 2在(0,2)上有极值的充要条件是φ(x )＝－2ax 2－x ＋1在(0,2)上有零点，∴φ(0)·φ(2)<0，解得a >－18.综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．14．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？[2013·衡阳六校联考]解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.05×1 000x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x ＋250，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x －1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x )，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950， ∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. 当x ≥80时， L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 15．已知函数f (x )＝a ln(2x ＋1)＋bx ＋1.(1)若函数y ＝f (x )在x ＝1处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线2x ＋y －3＝0平行，求a 的值； (2)若b ＝12，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．[2013·揭阳模拟]解 (1)函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，f ′(x )＝2a 2x ＋1＋b ＝2bx ＋2a ＋b 2x ＋1，由题意可得⎩⎨⎧f ′(1)＝0，f ′(0)＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝1，所以a ＝－32.(2)若b ＝12，则f (x )＝a ln(2x ＋1)＋12x ＋1， 所以f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2，1° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2>0，由函数定义域可知，4x ＋2>0，所以2x ＋4a ＋1>0，①当a ≥0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；②当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 2° 令f ′(x )＝2x ＋4a ＋14x ＋2<0，即2x ＋4a ＋1<0，①当a ≥0时，不等式f ′(x )<0无解；②当a <0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12，f ′(x )<0，函数f ′(x )单调递减．综上，当a ≥0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞为增函数；当a <0时，函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a －12，＋∞为增函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2a －12为减函数．16．已知函数f (x )＝ln ax －x －ax (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n ，均有1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！(e 为自然对数的底数)；(3)当a ＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y ＝f (x )的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．[2013·黄冈五月模拟](1)解 由题意得f ′(x )＝x －ax 2.当a >0时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，此时函数在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值．当a <0时，函数f (x )的定义域为(－∞，0)，此时函数在(－∞，a )上是减函数，在(a,0)上是增函数，f (x )min ＝f (a )＝ln a 2，无最大值．(2)证明 取a ＝1，由(1)知f (x )＝ln x －x －1x ≥f (1)＝0，故1x ≥1－ln x ＝ln ex ， 取x ＝1,2,3，…，n ，则1＋12＋13＋…＋1n ≥ln e nn ！.(3)假设存在这样的切线，设其中一个切点为T ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，ln x 0－x 0－1x 0，∴切线方程为y ＋1＝x 0－1x 20(x －1)，将点T 坐标代入得ln x 0－x 0－1x 0＋1＝(x 0－1)2x 20，即ln x 0＋3x 0－1x 20－1＝0，①设g (x )＝ln x ＋3x －1x 2－1，则g ′(x )＝(x －1)(x －2)x 3.∵x >0，∴g (x )在区间(0,1)，(2，＋∞)上是增函数，在区间(1,2)上是减函数， 故g (x )极大值＝g (1)＝1>0，g (x )极小值＝g (2)＝ln 2＋14>0. 又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 14＋12－16－1＝－ln 4－5<0.注意到g (x )在其定义域上的单调性，知g (x )＝0仅在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线仅有一条． 17．已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证：函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1,1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围．[2013·潍坊模拟](1)证明 ∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0,2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．(2)解 由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )的最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3＝0，得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F (x )－b ＋1b －3有四个零点，只需 ⎩⎪⎨⎪⎧b －1b ＋3>1，b －1b －3>1，即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)．(3)解 ∵∀x 1，x 2∈[－1,1]，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可． F (－1)＝1a ＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ， ∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a . 令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0.∴F (1)>F (－1)． ∴|F (x 2)－F (x 1)|的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a ，∴要使|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0，∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－2，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a 的取值范围是(1，e 2]．。