黑龙江省大庆市2018-2019学年高二上学期开学数学试卷(文科)Word版含解析

黑龙江省大庆市2018-2019学年高二上学期开学数学试卷（文科）一．选择题（每个题5分，共60分）1．已知全集U=R ，A={y|y=2x +1}，B={x|y=lnx}，则（∁U A ）∩B=（ ）A ．∅B ．{x|＜x ≤1}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ≤1}2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．3．方程3x+x=3的解所在的区间为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4） 4．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是（ ）A ．≥B ． +≥2C ．≥（）2D ．（a+b ）（+）≥4（a+b ）5．要得到y=sin （2x ﹣）的图象，需要将函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位6．已知直线l 1：ax ﹣y+2a=0，l 2：（2a ﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a 的值是（ ） A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣17．已知tan （α+β）=，tan （β﹣）=，则tan （α+）的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，若sinBsinC=cos 2，则下面等式一定成立的是（ ） A ．A=B B ．A=C C ．B=C D ．A=B=C9．已知变量x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．（﹣∞，3]∪10．已知在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角为（ ）A．90° B．45° C．60° D．30°11．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若已知数列{a n}，的前n项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A．B．C．D．12．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（）A．V1=V2+V3B．V12=V22+V32C． =+D． =+二．填空题（每个题5分，共20分）13．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为．14．某同学在借助计算器求“方程lgx=2﹣x的近似解（精确到0.1）”时，设f（x）=lgx+x﹣2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8．那么他所取的x的4个值中最后一个值是．15．已知=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若和的夹角为钝角，则λ的取值范围是．16．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③m⊥β④n⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：．三．解答题（共6道题，70分）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．18．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．19．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．20．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2﹣（a2﹣b2）x﹣4c2．（1）若，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．21．函数f（x）=（a﹣1）4x+2x+3．（1）当a=时，求函数f（x）在的最值．（2）当x∈（﹣1，3），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．（Ⅰ）分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．黑龙江省大庆市2018-2019学年高二上学期开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每个题5分，共60分）1．已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|y=lnx}，则（∁U A）∩B=（）A．∅B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x≤1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，求出∁U A，再求（∁U A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，A={y|y=2x+1}={y|y＞1}=（1，+∞），B={x|y=lnx}={x|x＞0}=（0，+∞），∴∁U A=（﹣∞，1]，∴（∁U A）∩B=（0，1]．故选：D．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．3．方程3x+x=3的解所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】方程3x+x=3的解转化为函数f（x）=3x+x﹣3的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．【解答】解；令f（x）=3x+x﹣3此函数是连续的，∴f（0）=1﹣3＜0f（1）=4+1﹣3＞0∴f（x）=3x+x﹣3在区间（0，1）有一个零点，即方程3x+x=3在区间（0，1）有解，故选A．4．若a，b∈R，则下列恒成立的不等式是（）A．≥B． +≥2C．≥（）2D．（a+b）（+）≥4（a+b）【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质考查各选项即可得到答案．【解答】解：对于A：，当ab同号的时，不等式成立，当ab异号时，不成立，故A不对；对于B：，当ab同号的时，不等式成立，当ab异号时，，那么，故B不对；对于C：∵≥0，则有：，故C对；对于D：，当ab同号的时，，原不等式成立，当ab异号时，，那么，原不等式不成立，故D不对；故选：C．5．要得到y=sin（2x﹣）的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果．【解答】解：将函数y=sin2x向右平移个单位，即可得到的图象，就是的图象；故选D．6．已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用直线垂直的性质求解．【解答】解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．7．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）=tan（（α+β）﹣（β﹣））===．故选：C．8．在△ABC中，若sinBsinC=cos2，则下面等式一定成立的是（）A．A=B B．A=C C．B=C D．A=B=C【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC中，∵sinBsinC=cos2=，∴2sinBsinC=﹣cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC+sinBsinC=cos（B﹣C）=1，∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C=0，B=C．故选：C．9．已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A． B．C．（﹣∞，3]∪【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为（1，3）、（1，6）和（），表示可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值6，当（x，y）=（）时取最小值，故的取值范围是故选A．10．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A．90° B．45° C．60° D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GF∥AB，GE∥CD，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案．【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．∴GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，sin∠GEF=∴∠GEF=30°．故选D．11．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若已知数列{a n}，的前n项的“均倒数”为，又b n=，则++…+=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】先求出，再求出a n=10n﹣5，从而==（），由此能求出++…+的值．【解答】解：∵数列{a n}的前n项的“均倒数”为，∴=，∴，∴a1=S1=5，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（5n2）﹣=10n﹣5，n=1时，上式成立，∴a n=10n﹣5，∴b n==2n﹣1， ==（），∴++…+=（1﹣+…+）==．故选：C．12．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为V1、V2、V3，则（）A．V1=V2+V3B．V12=V22+V32C． =+D． =+【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设直角三角形的三边分别为a、b、c，a2+b2=c2，即c为斜边，分别求得V1、V2、V3的值，可得结论．【解答】解：设直角三角形的三边分别为a、b、c，a2+b2=c2，即c为斜边，则以边c所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V1，则V1 =π•c=πa2•b2•，以边a所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V2，则V2 =πb2•a，以边b所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积为V3，则V3 =πa2•b，∴=+，故选：C．二．填空题（每个题5分，共20分）13．已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为 1 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图的原则，高平齐、长对正、宽相等来判断几何体的俯视图即可．【解答】解：根据三棱锥的俯视图是顶角为120°的等腰三角形，且底边长为2，∴三棱锥的底面三角形的高为×tan30°=1，即，侧视图的宽为1，由正视图的高为2⇒侧视图的高为2，∴其面积S=1．故答案是：1．14．某同学在借助计算器求“方程lgx=2﹣x的近似解（精确到0.1）”时，设f（x）=lgx+x﹣2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x=1.8．那么他所取的x的4个值中最后一个值是 1.8125 ．【考点】二分法求方程的近似解．【分析】根据“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间即可．【解答】解：根据“二分法”的定义，最初确定的区间是（1，2），又方程的近似解是x≈1.8，故后4个区间分别是（1.5，2），（1.75，2），（ 1.75，1.875），（1.75，1.8125），故它取的4个值分别为 1.5，1.75，1.875，1.8125，最后一个值是1.8125．故答案为：1.8125．15．已知=（﹣2，﹣1），=（λ，1），若和的夹角为钝角，则λ的取值范围是λ＞﹣且λ≠2 ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围．【解答】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且﹣λ+2≠0∴﹣2λ﹣1＜0．且λ≠2∴λ＞﹣且λ≠2．故答案为：λ＞﹣且λ≠216．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③m⊥β④n⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：若②③④则①或若①③④则②．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定与性质，分别探究①②③⇒④，①②④⇒③，①③④⇒②，②③④⇒①的真假，即可得到答案．【解答】解：若①m⊥n，②α⊥β，③m⊥β成立，则n与α可能平行也可能相交，也可能n⊂α，即④n⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④n⊥α成立，则m与β可能平行也可能相交，也可能m⊂β，即③m⊥β不一定成立；若①m⊥n，③m⊥β，④n⊥α成立，则②α⊥β成立若②α⊥β，③m⊥β，④n⊥α成立，则①m⊥n 成立故答案为：若②③④则①或若①③④则②三．解答题（共6道题，70分）17．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，要使直线l不经过第四象限，则，解得k的取值范围是k≥0．（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，∴A（﹣，0），B（0，1+2k），又﹣＜0且1+2k＞0，∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）=（4k++4）≥（4+4）=4，当且仅当4k=，即k=时，取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．18．如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cos∠B=（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】解三角形．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】解：（1）因为∠D=2∠B，cos∠B=，所以cosD=cos2B=2cos2B﹣1=﹣．…因为∠D∈（0，π），所以sinD=．…因为 AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S===．…（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以AC=2．…因为BC=2，，…所以=．所以 AB=4．…19．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB=，CE=EF=1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF∥平面BDE；（Ⅱ）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF⊥平面BDF；【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF=CG=1，且CE=1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，所以CF⊥平面BDE．20．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，设f（x）=a2x2﹣（a2﹣b2）x﹣4c2．（1）若，求角C的大小；（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数；余弦定理．【分析】（1）由题意可得：a2﹣（a2﹣b2）﹣4c2=0，即可得到b=2c，根据正弦定理可得：sinB=2sinC，，可得，再结合角C的范围求出答案即可．（2）由题意可得：a2+b2=2c2，根据余弦定理可得：再由2c2=a2+b2≥2ab可得ab≤c2，进而求出cosC的范围即可根据余弦函数求出角C的范围．【解答】解：（1）由题意可得：f（1）=0，∴a2﹣（a2﹣b2）﹣4c2=0，∴b2=4c2，即b=2c，∴根据正弦定理可得：sinB=2sinC．，可得，∴，∴，∴．，∴．（2）若f（2）=0，则4a2﹣2（a2﹣b2）﹣4c2=0，∴a2+b2=2c2，∴根据余弦定理可得：．又2c2=a2+b2≥2ab，∴ab≤c2．∴．21．函数f（x）=（a﹣1）4x+2x+3．（1）当a=时，求函数f（x）在的最值．（2）当x∈（﹣1，3），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当a=时，配方得f（x）=﹣•4x+2x+3=﹣（2x﹣1）2+，从而求函数的最值；（2）化简可得1﹣a＜，从而令g（x）==3（2﹣x）2+2﹣x，从而求得．【解答】解：（1）当a=时，f（x）=﹣•4x+2x+3=﹣（2x﹣1）2+，∵x∈，∴2x∈[，8]，∴当2x=1，即x=0时，f max（x）=，当2x=8，即x=3时，f min（x）=﹣21；（2）∵f（x）＞0，∴（a﹣1）4x+2x+3＞0，∴1﹣a＜，令g（x）==3（2﹣x）2+2﹣x，∴x∈（﹣1，3），∴2﹣x∈（，2），∴3（2﹣x）2+2﹣x∈（，14），∵当x∈（﹣1，3），f（x）＞0恒成立，∴1﹣a≤，故a≥；即实数a的取值范围为[，+∞）．22．已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．（Ⅰ）分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．（II），由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】（Ⅰ）解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．（Ⅱ），若c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．。