1.1.1算法的概念
第一章 1.1.1 算法的概念
答案B
解析第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.
5．已知一个算法：
(1)给出三个数x、y、z；
(2)计算M＝x＋y＋z；
(3)计算N＝ M；
(4)得出每次计算结果．
则上述算法是()
A．求和B．求余数
D．有的算法执行完后，可能无结果
答案C
解析算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A项不对；算法能重复使用，故B项不对；每个算法执行后必须有结果，故D项不对；由算法的有序性和确定性，可知C项正确．
类型二算法的阅读理解
例2下面算法要解决的问题是________________________________________．
A．这个算法可以求所有的零点
B．这个算法可以求任何方程的零点
C．这个算法能求所有零点的近似解
D．这个算法可以求变号零点的近似解
答案D
解析二分法的理论依据是函数的零点存在性定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
4．有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为()
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．
40
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．算法就是某个问题的解题过程
B．算法执行后可以产生不同的结果
C．解决某一个具体问题的算法不同，结果不同
D．算法执行步骤的次数不可以很多，否则将无法实施
【高中数学必修三】1.1.1 算法的概念
b2c1 b1c2 第二步：解(3)得：x a1b2 a2b1
(2) a1 (1) a2 : (a1b2 a2b1 ) y a1c2 a2c1 (4) 第三步：
a1c2 a2c1 第四步： 解(4)得：y a1b2 a2b1
b2 c1 b1c2 x a1b2 a 2 b1 a c a 2 c1 y 1 2 a1b2 a 2 b1
第三步：取区间中点 m
含零点的区间为 [m, b]. 将新得到的含零点的区间仍记为 [a, b]. 第五步：判断 [a, b] 的长度是否小于d或f(m)是否等于0． 若是，则m是方程的近似值；否则，返回第三步．
【例2】 x 2 2 0( x 0) 写出用“二分法”求方程 法． 取d=0.005，可以得到以下表格：
【例1】(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
(2)设计一个算法，判断35是否为质数．
第一步：用2除35，得余数为1，所以2不能整除35． 第二步：用3除35，得余数为2，所以3不能整除35． 第三步：用4除35，得余数为3，所以4不能整除35． 第四步：用5除35，得余数为0，所以5能整除35． 因此，35不是质数．
简单地说，算法就是解决 问题的程序或步骤。
问题创设
小品“钟点工”片段
问： 要把大象装冰箱，分几步？
答：分三步：
第一步：打开冰箱门 第二步：把大象装冰箱 第三步：关上冰箱门
算法：就是解决一个问题的程序与步骤．
问题创设
x 2 y 1 ① 解二元一次方程组 ， 2 x y 1 ② 并写出具体求解步骤
算法分析：按照逐一相加的程序进行. 算法1 第一步:计算1+2,得3;
1.1.1《算法的概念》课件
例6. 利用二分法求函数y=f(x) (x在定义区 间D) 上的一个变号零点x0的近似值x，使 它与零点的误差不超过正数ε ，即使|x－ x0|<ε ，写出它的一个算法. S1 在D内取一个闭区间[a，b]，使f(a)与 f(b)异号，即f(a)f(b)<0； S2 令x0=
ab 2
，计算f(x0)；
S4 ⑥代入⑤.得
a 2 2 b1 a 1 2 b 2 x 1 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 x a 1 1 b 2 a 2 1 b1 2 a1 1 a 2 2 a 2 1 a1 2 ⑦
⑧
S5 输出结果x1，x2， S6 若a11b2－a21b1≠0. 则执行下一步；否
数的最大公因数的算法等。因此，
算法其实是重要的数学对象。
一、算法的概念
算法(algorithm)一词源于算术(algorism), 即算术方法，是指一个由已知推求未知的 运算过程。后来，人们把它推广到一般，
把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步 骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣 机的使用说明书是操作洗衣机的算法， 歌谱是一首歌曲的算法。 在数学中，主要研究计算机能实现的 算法，即按照某种机械程序步骤一定可 以得到结果的解决问题的程序。比如解 方程的算法、函数求值的算法、作图的 算法，等等。
S3 如果c>max, 则max=c.
S4 max就是a, b, c中的最大值。
例3 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。 解：算法1： S1 计算1+2得到3； S2 将第一步中的运算结果3与3相加得到6 S3 将第二步中的运算结果6与4相加得到10
算法的概念
gcd(60,24)=gcd(24,60 mod 24)=gcd(24,12) =gcd(12,24 mod 12)=gcd(12,0)=12
下面是该算法的一个更加结构化的描述。
1.1 算法的概念和描述
用于计算 gcd（m，n）的欧几里得算法：
第一步： 如果 n=0，返回 m的值作为结果，同时函数结束；否则，进入第二步。
第二步：m 除以 n，将余数赋给 r。
第三步： 将 n 的值赋给 m，将r 的值赋给 n，返回第一步。
我们也可以使用伪代码来描述这个算法：
算法 Euclid（m，n）
//使用欧几里得算法计算gcd（m，n）
//输入∶两个不全为0的非负整数m，n
//输出∶m，n的最大公约数
while n≠0do
{ r←mmodn
m←n
n←r
} return m
图1.2 欧几里得算法的流程图
上面的伪代码也可以用流程图来加以描述，如图1.2所示。
第一节、水文现象与桥涵水文的研究意义
第一章 算法的概念
↘1 . 1 ↘1 . 2
算法的概念和描述 算法的时间复杂度和空间复杂度
1.1 算法的概念和描述
【1.1பைடு நூலகம்1 算法的概念】
算法是一系列解决问题的清晰指令，也就是对于符合一定规范的输入在有限步骤内求
解某一问题所使用的一组定义明确的规则。通俗点说，就是计算机解题的过程。在这个过
程中，无论是形成解题思路还是编写程序，都是在实施某种算法。前者是推理实现的算法，
人教版高中数学必修三第一章第1节 1.1.1 算法的概念 课件(共65张PPT)
1.写出求方程 x 2 + bx + c = 0 的解的 一个算法 ，并画出算法流程图。
开始
计算△＝b2 – 4 c
N
△≥0？
Y
输出无解
输出 x b
2a
结束
四、练习
2.任意给定3个正实数,设计一个算法,判断以这3个数为三 边边长的三角形是否存在.画出这个算法的程序框图.
算法步骤如下：
第一步:输入3个正实数 a,b,c;
计算机的问世可谓是20 世纪最伟大的科学 技术发明。它把人类社会带进了信息技术时代。 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要 求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
现算法代的研科究和学应用研正是究本课的程的三主题大！支柱
算法（2） 第一步，用2除35，得到余数1。因为余数 不为0，所以2不能整除35。
第二步，用3除35，得到余数2。因为余数 不为0，所以3不能整除35。
第三步，用4除35，得到余数3。因为余数 不为0，所以4不能整除35。
第四步，用5除35，得到余数0。因为余数 为0，所以5能整除35。因此，35不是质数
语句A
左图中,语句Ａ和语句Ｂ是依次执 行的,只有在执行完语句Ａ指定的
操作后,才能接着执行语句Ｂ所指
语句B
定的操作．
四、练习 2.设计一个求任意数的绝对值的算法，并画出程序框图。
2. 算法：
框图：
第一步：输入x的值；
第二步：若x≥0，则输出x； 若否，则输出-x；
开始 输入x
x≥0?
是
输出x
高一数学人教A版必修3课件：1.1.1 算法的概念 一
必须是明确和有效的，而且能够在有限步内
完成．
例1 下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋ 1＝4，„，99＋1＝100； ③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广 州市观看亚运会开幕式；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，„.
把较大数放在前面，依次类推，由大到小排列
这三个数．
变式训练2
写出能找出a、b、c三个数中最小
值的一个算法．
解：第一步：输入a、b、c，并且假定min＝a;
第二步：若b<min成立，则用b的值替换min；
否则直接执行下一步；
第三步：若c<min成立，则用c的值替换min， 否则直接执行下一步； 第四步：输出min的值，结束．
【解析】
第一步，若a<b，交换a，b的值后,
则是大数在前，小数在后．
第二步，比较a与c，若a<c，则c在a的前面．
第三步，则c在b的前面．
这样得出的结论是由大到小的顺序．
【答案】
B
【思维总结】
这是一个比较大小的算法，必
须先任意取出两个数进行比较，并把两者中的
较大数找出，然后再将它与第三个数比较，并
第二步，令i＝1，S＝1.
第三步，判断“i≤n”是否成立，若不是，输出
S，结束算法；若是，执行下一步．
第四步，令S的值乘i，仍用S表示，令i的值增加 1，仍用i表示，返回第三步．
【思维总结】
法一称为累乘法，将步骤一
直写下去，便得到任意有限个数相乘的算法. 法二具有代表性，重复做同一种动作时，可 以用这种算法来解决，能节约大量的程序步 骤．同时它还体现了算法的本质：对一类问 题的机械的、统一的求解方法，其中S称为累 乘变量，i称为计数变量．
算法初步知识点
高中数学必修3知识点总结第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.2. 算法的特点:(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.1.1.2程序框图1、程序框图基本概念：（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
第一章 数据结构与算法(含有vb试题)
1.2.2 基本概念和术语
数据结构是一门研究数据组织、 存储和运算的一般方法的学科。
计算机管理图书问题 在图书馆里有各种卡片：有按书名编排的、 有按作者编排的、有按分类编排 如何将查询图书的这些信息存入计算机中 既要考虑查询时间短，又要考虑节省空间
1.2.2 基本概念和术语
数据结构是一门研究数据组织、 存储和运算的一般方法的学科。
线性表
A．线性结构
1．数据的逻辑结构 数 据 结 构 的 三 个 方 面
栈
队
B．非线性结构
树形结构 图形结构
2、数据的存储结构Fra bibliotekA 顺序存储
B 链式存储
3、数据的运算：检索、排序、插入、删除、修改等。
树形结构
全校学生档案管理的组织方式 计算机程序管理系统也是典型的树形结构
A
D B C
E
F
G
H
A B C D
第一章. 数据结构与算法
1.1 算法
1.1.1 算法基本概念 算法：是指解题方案的准确而完整的描 述。 算法不等于程序，也不等计算机方法， 程序的编制不可能优于算法的设计。
算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序 的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此 顺序将在有限的次数下终止。特征包括： （1）可行性； （2）确定性，算法中每一步骤都必须有明确定 义，不充许有模棱两可的解释，不允许有多义性； （3）有穷性，算法必须能在有限的时间内做完， 即能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行 时间的含义； （4）拥有足够的情报。
1.4 栈和队列
1.4.1 栈和队列的定义
栈和队列是两种特殊的线性表，它们是 运算时要受到某些限制的线性表，故也 称为限定性的数据结构。
人教版高中数学必修三课件：1.1.1 算法的概念
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
解:方法一,算法如下: 第一步,将等号左边因式分解,得(x-3)(x+1)=0①; 第二步,由①式得x-3=0或x+1=0; 第三步,解x-3=0得x=3,解x+1=0得x=-1,即x=3或x=-1.
考点类析
例2 写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 解:方法二,算法如下: 第一步,移项,得x2-2x=3①; 第二步,①式等号两边同时加1并配方,得(x-1)2=4②; 第三步,②式等号两边同时开方,得x-1=±2③; 第四步,解③式得x=3或x=-1.
预习探究
(4)不唯一性:求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个,也可以有不同 的算法,这些算法有繁简、优劣之分. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以通过设计合理的算法去解决.
预习探究
知识点三
算法的设计要求
设计算法的要求主要有以下几点: (1)写出的算法必须能解决一类问题,并且能够重复使用; (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少; (3)要保证算法的各个步骤有效,计算机能够执行,且在有限步骤后能得到结果.
备课素材
累加、累乘问题的算法 解决一个问题的算法一般不是唯一的,不同的算法有优劣之别,保证得到正 确的结果是对每个算法的最基本的要求.另外,还要求算法的每个步骤都要 易于实现、易于理解,效率要高,通用性要好等.
备课素材
备课素材
[例2] 求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法.
解:算法如下:
备课素材
[小结]
知识 1.算法的概念; 2.算法的特性; 3.算法的设计
方法
易错
1.根据具体的问题进行判断,是 给出问题,在书写步骤时,不能
第1章 1.1.1 算法的概念 教师配套用书课件(共30张ppt)
明目标、知重点 填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
探究点二：算法的步骤设计
思考3 要判断整数89是否为质数，按照例1的思路需用2～88逐一去除89求余数，需要 87个步骤，这些步骤基本是重复操作，如何改进这个算法，减少算法的步骤呢？
答 (1)用i表示2～88中的任意一个整数，并从2开始取数；
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
探究点二：算法的步骤设计
例2 写出用“二分法”求方程x2－2＝0(x>0)的近似解的算法．
解 第一步，令f(x)＝x2－2，给定精确度d.
第二步，确定区间[a，b]，满足f(a)f(b)<0. a＋b 第三步，取区间中点m＝ . 2
第四步，若f(a)f(m)<0，则含零点的区间为[a，m]；否则，含零点的区间为[m，b]．将新得 到的含零点的区间仍记为[a，b]．
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.1
[情境导学]
赵本山和宋丹丹的小品《钟点工》中有这样一个问题：宋丹丹：要把
大象装入冰箱，总共分几步？哈哈哈哈，三步．第一步，把冰箱门打开；第二步， 把大象装进去；第三步，把冰箱门带上．
1.1.1算法的概念
第二步：在n的因数中加入1和n.
第三步：输出n的所有因数.
什么是算法呢？ 1、 计算： 5 (4 2) 6
第一步：去括号 第二步：乘除 第三步：加减,得出结果
什么是算法呢？
2.一位商人有9枚金币，其中有一枚略轻的假币， 你能用天平（无砝码）将假币找出来吗？
第一步：把9枚金币平均分成三组，每组三枚。
第二步： 先将其中的两组放在天平的两边，如果天平不 平衡，那么假金币就在轻的那一组；如果天平 左右平衡，则假金币就在未称量的那一组里。 第三步：取出含假币的那一组，从中任取两枚金币放在天 平两边进行称量，如果天平不平衡，则假金币在 轻的那一边；若平衡，则未称的那一枚就是假币。
1.任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个 数为半径的圆的面积算圆的面积: S=πr2; 第三步:输出圆的面积S.
2.任意给定一个大于1 的正整数n,设计一个算 法求出n的所有因数. (P4 练习2)
第一步：依次以2~(n-1)为除数去除n,检 查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不 是,则不是n的因数.
n(n 1) 1 2 3 4 n 2 第一步:取 n =6;
第二步:计算
n( n 1) 2
;
第三步:输出计算结果. 点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步 骤较少. 找出好的算法是我们的追求目标.
3.设计一个算法，判断7是否为质数。 质数：只能被1和自身整除的大于1的整数。 答案参考课本P3 例1 4.有人对歌德巴赫猜想“任何大于4的偶数都 能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步 骤： 第一步：检验6=3+3
什么是算法呢？
一般地, 按照一定规则解决某一类 问题的明确和有限的步骤称为算法 (algorithm)。
数学：1.1.1《算法的概念》PPT课件(新人教A版必修3)
法上的一大成就。此外,在社会上得到广泛使用
的珠算口诀就可以看做是典型的算法,它把复杂
的计算(例如除法)描述为一系列按口诀执行的简
单的算珠拨动操作。 中国古代数学以算法为主要特征，其中最具代表 性的就是《九章算术》。
《九章算术》是战国、秦、汉时期数学发展的 总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。其 内容按类分章，以数学问题的形式出现，包括分数四 则运算、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、 盈不足术、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定 理和求勾股数的方法）等。其中方程组解法和正负数 加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点 来说，它形成了一个以筹算为中心，与古希腊数学完 全不同的独立体系。
（2）确定性(definiteness）
算法的确定性，是指算法中的每一个步骤都必须
是有明确定义的，不允许有模棱两可的解释，也不允许
有多义性。这一特征也反映了算法与数学公式的明显差
异。在解决实际问题时，可能会出现这样的情况：针对
某种特特殊问题，数学公式是正确的，但按此数学公式 设计的计算过程可能会使计算机系统无所适从，这是因 为，根据数学公式设计的计算过程只考虑了正常使用的 情况，而当出现异常情况时，该计算过程就不能适应了。
一种计算公式，而根据精度要求确定的计算过
程才是有穷的算法。
算法的有穷性还应包括合理的执行时间的含义。
如果一个算法的执行时间是有穷的，但却需要
执行千万年．显然这就失去了算法的实用价值。
例如，克莱姆(Cramer )规则是求解线性代数
方程组的一种数学方法，但不能以此为算法，
这是因为，虽然总可以根据克莱姆规则设计出 一个计算过程用于计算所有可能出现的行列式， 但这样的计算过程所需的时间实际上是不能容 忍的。
1.1.1算法的概念
x1 x2 第二步：令m (因方程的根在区间（x1，x2 ）内). 2 判断f ( m )是否为0。若f ( m ) 0, 则m为所求； 若否，则进行第三步.
第三步：若f ( x1 ) f ( m ) 0, 则令x1＝m; 若f ( x1 ) f ( m ) 0, 则令x2＝m .
1.写出你在家里烧开水过程的一个算法. 2.已知平面直角坐标系的两点A(－1，0)， B(3，2)，写出求直线AB的方程的一个算 法.
章头图体现了中国古代数学与现代计算机科学的联系， 它们的基础都是“算法”. 算法对于我们来说并不陌生. 从小学我们就开始接触算 法，熟悉许多问题的算法. 如，做四则运算要先乘除后加减， 从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠 算口诀更是算法的具体体现. 广义地说，算法就是做某一件 事的步骤或程序. 菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明 书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法.在数学中， 主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一 定可以得到结果的解决问题的程序.
第四步：判断 x1－x2 0.05是否成立？ 若是，则x1，x2之间的任意取值均为满足条件的近似根； 若否，则返回第二步.
练习
任意给定一个正实数a，试设计一个算法 求以a为直径的圆的面积. 解 第一步：输入a的值.
第二步：________________________. 第三步：________________________.
一般来说，“用算法解决问题” 可以利用 计算机帮助完成.
思考
一位商人有9枚银元，其中有1枚略 轻的是假银元.你能用天平（不用砝码） 将假银元找出来吗？
例题
用二分法求方程 x 2 2 0
的近似正根，精确度0.05.
1.1.1算法的概念
新知探究
康 乐 中 学
x y 35 问题3：解方程组 2 x 4 y 94
(1) (2)
(2) 得： － 24 (3) (3) (1) 2 2 (2) 得： －2 y2 y 24 第一步 , (1) 加 第二步, 解(3)得： y 12
减 得： 4 (2)得： 2 x (4) 46 (1) 4 , (1) (2) 2 x 46 消 第三步 元 法 第四步, 解(4)得： x 23 x 23 第五步, 得到方程组的解: y 12
(1) (2)
由（1）得: x 35 y 第一步 , 代 入 第二步, 将（3）代入（2）得:
(3)
(4)
消 2(35 y) 4 y 94 元 法 第三步, 解（4）得: y 12
(5)
第四步, 将（5）代入（3）得: x 23 x 23 第五步, 得到方程组的解: y 12
（4）
新知探究
算法的概念
康 乐 中 学
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜 谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机 的算法......
在数学中算法通常指按照一定规则解决某一 类问题的明确和有限的步骤.
现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行 并解决问题。常见的编程语言有：BASIC、VisualBasic 、C语言、C++、Java......
(4)
新知探究
a1 x b1 y c1 写出一般二元一次方程组 a2 x b2 y c2
康 乐 中 学
(1) (2)
a1b2 a2b1 0 的解法步骤.
第二步,解（3）得
2020版数学人教A版必修3课件：第一章 1.1.1 算法的概念 .pdf
第一章§1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念学习目标XUEXIMUBIAO1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 算法的概念12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行 的过程数学中的算法通常是指按照解决某一类问题的 和 的步骤现代算法通常可以编成 ，让计算机执行并解决问题算术运算一定规则明确有限计算机程序知识点二 算法的特征算法的五个特征(1)有限性：一个算法的步骤是的，它应在有限步操作之后停止.(2)确定性：算法中的每一步应该是 的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的 .有限确定步骤序列(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.知识点三 算法的设计1.设计算法的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.2.设计算法的要求①写出的算法必须能解决一类问题.②要使算法尽量简单、步骤尽量少.③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.1.算法是解决一个问题的方法.( )2.一个算法可以产生不确定的结果.( )3.算法的步骤必须是明确的、有限的.( )4.求解一类问题的算法是唯一的.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√×2题型探究PART TWO题型一 对算法概念的理解例1 下列说法正确的是A.算法就是某个问题的解题过程√B.算法执行后可以产生不同的结果C.解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D.算法执行步骤的次数不可以很多，否则无法实施解析 选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以为无限次.反思感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想.跟踪训练1 下列描述不是解决问题的算法的是A.从中山到北京先坐汽车，再坐火车B.解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1√C.方程x2－4x＋3＝0有两个不相等的实根D.解不等式ax＋3＞0时，第一步移项，第二步讨论解析 A选项，从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题；B选项，解可化为一元一次方程的分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题；D选项，解不等式ax＋3＞0时，第一步移项，将不等式化为ax＞－3，第二步讨论a的符号，进而根据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题；选项C只是一个真命题，没有解决什么问题，因此不是算法.题型二 算法的设计解 如图，先给r ，l 赋值，计算h ，再根据圆锥体积公式V＝ πr 2h 计算V ，然后输出结果.多维探究命题角度1 直接应用数学公式设计算法例2 有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法.第一步，令r ＝3，l ＝5.第四步，输出运算结果.反思感悟 利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.跟踪训练2 已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.解 第一步，输入a的值.第四步，输出S的值.命题角度2 非数值性问题的算法例3 所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法.解 算法如下：第一步，给出任意一个正整数n(n＞1).第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束.第三步，令m＝1.第四步，将m的值增加1，仍用m表示.第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束.第六步，判断m能否整除n，①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；②如果不能整除，则转第四步.反思感悟 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法.(2)借助有关变量或参数对算法加以表述.(3)将解决问题的过程划分为若干步骤.(4)用简练的语言将这个步骤表示出来.跟踪训练3 判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解 第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i＝2.第三步，用i除n，得到余数r.第四步，判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.第五步，判断“i>(n－1)”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.核心素养之数学运算解方程组的算法设计HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN典例 写出解方程组的一个算法.解 方法一 (代入消元法) 第一步，由①得y＝7－2x.③第二步，将③代入②，得4x＋5(7－2x)＝11.④第三步，解④得x＝4.第四步，将x＝4代入③，得y＝－1.方法二 (加减消元法)第一步，①×5－②得，(2×5－4)x＝7×5－11.⑤第二步，解⑤得x＝4.第三步，①×2－②，得(1×2－5)y＝7×2－11.⑥第四步，解⑥得y＝－1.素养评析 (1)设计算法时，经常遇到解方程组的算法问题，一般是按照数学上解方程组的方法进行设计，但应注意全面考虑方程组解的情况，即先确定方程组是否有解，有解时有几个解，然后依据求解步骤设计算法步骤. (2)从对运算方法的选择，运算程序的设计，到最后求得运算结果，整个过程就是典型的数学运算素养的体现.3达标检测PART THREE1.下列关于算法的说法正确的是A.一个算法的步骤是可逆的√B.描述算法可以有不同的方式C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题D.算法只能用一种方式显示解析 由算法的定义知A，C，D错.2.下列叙述中：①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x＞x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为√A.2B.3C.4D.5解析 根据算法的含义和特征知，①②③都是算法；④⑤不是算法.其中④只是一个问题，而没有解决问题，不能称为算法；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾.3.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(1)计算c＝；(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；(3)输出斜边长c的值.(2)(1)(3)其中正确的顺序是________.解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.4.下面是解决一个问题的算法：第一步：输入x.第二步：若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.第三步：输出2x－1.第四步：输出x2－2x＋3.12当输入x的值为__时，输出的数值最小值为____.当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以f(x)min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.解析 第一步是给a ，b ，c 赋值.第二步运行后a >b .第三步运行后a >c .第四步运行后b >c ，所以a >b >c .第五步运行后，显示a ，b ，c 的值，且从大到小排列.5.下面算法要解决的问题是____________________________________________.第一步，输入三个数，并分别用a ，b ，c 表示.第二步，比较a 与b 的大小，如果a <b ，则交换a 与b 的值.第三步，比较a 与c 的大小，如果a <c ，则交换a 与c 的值.第四步，比较b 与c 的大小，如果b <c ，则交换b 与c 的值.第五步，输出a ，b ，c .输入三个数a ，b ，c ，并按从大到小的顺序输出6.写出解二元一次方程组的算法.解 第一步，①＋2×②得7x＝1.③第三步，②×3－①×2得7y＝5.④课堂小结KETANGXIAOJIE1.算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.2.算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用.(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少.(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.。
2014-2015学年高中数学(人教版必修三)课时训练第一章 1.1.1 算法的概念
题型一算法的概念
例1 早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷
水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，从下列选项中选最好的 一种算法( )
栏 目 链 接
A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶 、S3烧水、S4泡面、S5吃 饭、S6听广播 B．S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃 饭、S5听广播
6．普遍性：一个算法不一定只解决一个具体问题，
可以解决一类问题．
栏 目 链 接
自测自评
1．下列关于算法的说法正确的有( B )
①求解某一类问题的算法是唯一的；
栏 目 链 接
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步必须是明确的，不能有歧义或模糊． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C．S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4
吃饭同时听广播
D．S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸 刷牙、S4刷水壶
栏 目 链 接
解析：烧水与洗脸刷牙可同时进行，吃饭时可听广播．
答案：C 点评：算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通 常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现 了特殊与一般的数学思想．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练 2．已知某梯形的底边长AB＝a，CD＝b，高为h，写 出一个求这个梯形面积S的算法．
解析：第一步，输入梯形的底边长 a 和 b，以及高 h. 第二步，计算 a＋b 的值． 第三步，计算(a＋b)×h 的值． a＋b h 第四步，计算 S＝ 的值． 2 第五步，输出结果 S.
题型二 数值型问题的算法设计
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【例2】写出用“二分法”求方程x220(x0) 近似解的算 法．
第一步：令 f(x)x22,给定精确度d．
第二步：确定区间[a,b], 满足 f(a)f(b)0
第三步：取区间中点
m
a
2
b
第四步：若 f(a)f(m )0,则含零点的区间为[a,m]; 否则，
2019年8月22日星期四11时47分25秒 云在漫步
【例2】写出用“二分法”求方程x220(x0) 近似解的算 法．
二分法：把满足 f(a)f(b)0的函数 f (x)的零点所在的区间 [a,b] “一分为二”为区间[a,m ][,m ,b] ，根据f(a)f(m )0 是否，找出零点所在的区间，仍记做[a,b] ．对所得的区间 重复以上步骤，直到包含零点的区间[a,b] “足够小”， 那么此区[a间,b] 内的数即为方程的近似解．
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【例1】(1)设计一个算法，判断7是否为质数．
只能被1和它本身整除的大于1的整数叫质数． 判断一个大于1的整数n是否为质数，用比这个整数小比 1大的数去除n，如果不能整除，则n就是质数． 第一步：用2除7，得余数为1，所以2不能整除7． 第二步：用3除7，得余数为1，所以3不能整除7． 第三步：用4除7，得余数为3，所以4不能整除7． 第四步：用5除7，得余数为2，所以5不能整除7． 第五步：用6除7，得余数为1，所以6不能整除7．
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解法2.可以运用下面公式直接计算. 1234 nn(n1) 2
第一步:取n =6
第二步:计算 n(n 1)
2
第三步:输出计算结果.
点评:解法1繁琐,步骤较多; 解法2简单，步骤较少. 找出 好的算法是我们的追求目标.
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因此，7是质数．
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(2)设计一个算法，判断35是否为质数． 第一步：用2除35，得余数为1，所以2不能整除35． 第二步：用3除35，得余数为2，所以3不能整除35． 第三步：用4除35，得余数为3，所以4不能整除35． 第四步：用5除35，得余数为0，所以5能整除35．
含零点的区间为 [m,b].将新得到的含零点的区间仍记为[a,b].
第五步：判断 [a,b] 的长度是否小于d或f(m)是否等于0． 若是，则m是方程的近似值；否则，返回第三步．
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取d=0.005，可以得到以下表格：
a
1 1 1.25 1.375 1.375 1.40625 1.40625 1.4140625 1.4140625
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1、一个 带着一条 、一头 和一篮 要过河,但只 有一条小船.乘船时,农夫只能带一样东西.当农夫在场的时 候,这三样东西相安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜. 请设计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过河.
第一步:农夫带羊过河; 第二步:农夫独自回来; 第三步:农夫带狼过河; 第四步:农夫带羊回来; 第五步:农夫带蔬菜过河; 第六步:农夫独自回来; 第七步:农夫带羊过河.
1.2 基本算法语句 当今世界，越来越多的事情要交付计算机完成．但自然 语言或程序框图描述的算法，计算机是无法“理解”的．用 算法语句描述算法是用计算机解决问题的前提条件．一般的 操作顺序是先设计算法，再按照程序框图表示算法，最后将 程序框图转化为算法语句．本节介绍了输入语句、输出语句、 赋值语句、条件语句和循环语句.
解: 1.把银元分成3组，每组3枚． 2．先将两组分别放在天平的两边．如果天平不 平衡，那么假银元就放在轻的那一组；如果天平 左右平衡，则假银元就在末称的第3组里． 3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚放 在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一 边就是假银元；如果天平两边平衡，则没称的 那一枚就是假银元．
因此，35不是质数．
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探究 您能写出“判断整数n(n>2)是否为质数”的算法么？
第一步：给定大于2的整数n． 第二步：令i=2 第三步：用i除n，得余数r．判断余数r是否为0，若 是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1， 仍用i表示这个数． 第四步：判断i是否大于n-1，若是，则n是质数；否则， 返回第三步．
第一步：(1 ) b 2 (2 ) b 1: ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) x b 2 c 1 b 1 c 2( 3 )
第二步：解(3)得：xab12bc21
b1c2 a2b1
第三步：(2 ) a 1 (1 ) a 2: ( a 1 b 2 a 2 b 1 ) y a 1 c 2 a 2 c 1( 4 )
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1.1.1 算法的概念
学习目标 1.通过已学过的二元一次方程组的方法，初步认识、体会 算法的基本思想。 2.了解算法的含义、特征。
学习重点 根据求解数学问题的一般方法与步骤，体会算法的基本 思想。
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1
3 3
5
算法：就是解决一个特定问题的方法与步骤．
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二、归类 对于一般的二元一次方程组 a a 1 2x x b b 1 2y y c c 1 2 ((2 1 ,a 1 b ))2 a 2 b 10 您能写出一般的求解步骤么?
b
2 1.5 1.5 1.5 1.4375 1.4375 1.421875 1.421875 1.41796875
|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625
区间(1.4140625，1.41796875)中的实数都是当精确 度为0.005时的原方程的近似解．
一、实例
用不同方法解二元一次方程组 出具体求解步骤
2xx2yy
1 1
① ②
，并写
第一步： ①＋②×2，得：5x1 ③ 第二步： 解③，得：x 1
5 第三步： ②－①×2，得： 5y3 ④
代入法、消元法
第四步： 解④，得：y 3
5
第五步： 得到方程组的解为
x
y
学习过程 我们完成任何事，都要有一个步骤，合理安排步骤， 会达到事半功倍的效果。从数学的角度来讲，在解决某些 问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的步骤，通过 实施这些步骤来解决问题，我们通常把这些步骤称为解决 问题的一种算法。这种描述不是算法的定义，但反映了算 法的基本思想。
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随着计科学和信息技术的飞速发展，算法思想已经渗 透到社会的方方面．在以前的学习中，虽然没有出现算法 这个名词，但实际上在数学学习中已经渗透了大量的算法 思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等．完成这 些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想．
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算法：在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计 算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必 须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
算法的特点： 1.通用性：能用来解决同一类问题； 2.确定性：每一步都应该是能有效执行且有确定的结果，而 不应该是模棱两可的； 3.有穷性：应能在有限步内解决问题. 4.可行性：计算机可以解决．
2、任意给定一个正实数,设计一个算法求以这个数为半径 的圆的面积.
第一步:输入任意一个正实数r； 第二步:计算圆的面积: S=πr 2;
第三步:输出圆的面积S.
第四步：解(4)得：yaa11bc22
a2c1 a2b1
第五步：得到方程组的解为：
x
y
b2c1
a1b2 a1c2
b1 c 2
a 2b1 a2c1
a 1b2 a 2 b1
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三、算法的基本思想及特征 一般地,对于一类问题的机械式地、统一地、按部就班地 求解过程称为算法(algorithm)．它是解决某一问题的程 序或步骤. 所谓 “算法”就是解题方法的精确描述.从更广义的角度 来看,并不是只有“计算”的问题才有算法,日常生活中处处 都有.如乐谱是乐队演奏的算法,菜谱是做菜肴的算法,珠算 口诀是使用算盘的算法. 按照这样的理解,我们可以设计出很多具体数学问题的算 法.下面看几个例子:
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2、把大象装进冰箱里，一共分几步？ 第一步：把冰箱门打开 第二步：把大象装进冰箱 第三步：把冰箱门关上
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3、思考以下问题的算法： 一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元．你
能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？
1.3 算法案例 算法学习的一个最大的特点就是操作实践性强．了解经 典的算法案例有助于深入理解算法的特征、进一步体会算法 的思想．本节列举了辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法 与进位制等案例．
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1.1.1 算法的概念 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
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