全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集第17讲 线段与角

全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集全国数学竞赛辅导(八年级)教学案全集-第十一讲线段与角

线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念，这两个概念在日常生活中有着广泛的应用．

小明做作业需要买一些文具．在他家的左边200米处有一家文具店，他从家出发向文具店走去，走到一半发现忘了带钱，又回家取钱买了文具后回到家中．问小明共走了多长的路程？

在高层建筑中，一般都设有电梯，人们上楼一般都乘坐电梯，你想过吗，设计电梯与线段的什么性质有关？

钟表是大家熟悉的计时工具，你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合？什么时候时针与分针成90°角？

我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题，不少问题很有趣，也颇费脑筋，对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会．

例1 已知：AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E，F分别是AB和CD的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD的长(如图1－6)．

分析线段EF是线段AD的一部分，题设给出了EF的长度，只要知道线段EF占全线段AD的份额，就可求出AD的长了．

解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4，E是AB中点，F是CD中点，将线段AD 9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位，则AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2．从而

EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，

例2 在直线l上取 A，B两点，使AB=10厘米，再在l上取一点C，使AC=2厘米，M，N分别是AB，AC中点．求MN的长度(如图1－7)．

分析因为是在直线上取C点，因此有两种情形：C点在A点的右侧或C点在A点的左侧．

解若C点在A点的右侧(即在线段AB上)．因为AC=2厘米， N为 AC 中点，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M为AB中点，所以AM=5厘米．则

MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1－7(a))．

若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上)，此时

MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 1－7(b))．

线段的最基本性质是“两点之间线段最短”，这在生活中有广泛应用．前面所提到的高层建筑所设电梯的路线，就是连接两层楼之间的线段，而楼梯的路线则是折线，电梯的路线最短．

例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？

分析将河流看作直线l(如图1－9所示)．设羊群在河边的饮水点为C＇，则羊群行走路程为AC＇+C＇B．设A关于直线l的对称点为A＇，由对称性知C＇A＇=C＇A．

因此，羊群行走的路程为

A＇C＇+C＇B．

线段A＇C＇与 C＇B是连结点A＇与点B之间的折线．由线段的基本性质知，连结点A＇与点B之间的线中，线段A＇B最短．设线段A＇B与直线l交于C．那么，C点就是所选的最好的饮水地点，下面我们来说明这一点．

解作A关于直线l的对称点A＇．连结B，A＇，并设线段BA＇与l 交于C．设C＇是l上不同于C的另外一点，只要证明

AC＇+C＇B＞AC+CB ①

即可．

利用线段基本性质及点关于直线的对称性知

AC＇=C＇A＇及 CA=CA＇，

所以

AC＇+C＇B=C＇A＇+C＇B，

AC+CB=CA＇+CB=A＇B．

而C＇A＇与C＇B是连结A＇，B的折线，而A＇B则是连结这两点之间的线段，所以

C＇A＇+C＇B＞A＇B=A＇C+CB=AC+CB，

从而①成立，即选择C点作为羊群的饮水点，羊群的行程最短．

例4将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．

分析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图 1－10)，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，因此，

AB＜BC+CD+DE+EA．

如果AB是最长的一段，上面的不等式关系仍然成立，从而可以求出它的取值范围．

解设最长的一段AB的长度为x厘米，则其余4段的和为(10-x)厘米．由线段基本性质知x＜10-x，所以x＜5，即最长的一段AB的长度必须小于5厘米．

例5若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角．

分析这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念，概念清楚了，问题不难解决．

解设这个角为α，则这个角的余角为90°-α，这个角的补角为180°-α．依照题意，这两个角的比为

(90°-α)∶(180°-α)=2∶7．

所以

360°-2α=630°-7α，5α=270°，

所以α=54°．从而，这个角的邻补角为

180°-54°=126°．

例6若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？

分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动

解在2点30分时，时钟的分针指向数字6；在2点50分时，时钟的分针指向数字10，因此，分针共转过“四格”，每转“一格”为30°，故分针共转过了

4×30°=120°．

在钟表中，有很多有关分针、时针的转角问题．解决这类问题的关

倍)．

例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？

分析在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差 5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度(是它的12倍)，因此，总有一刻，分针“追上”时针(即两者重合)．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．

解如分析，在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了(150°+α)．因为分钟转速是时针的12倍，所以

150°+α=12α，