2019年高考数学课时27抛物线单元滚动精准测试卷文
2019年高考数学课时29曲线与方程单元滚动精准测试卷文
课时29 曲线与方程模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．与两圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上 【答案】B【解析】圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上．2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对 【答案】C【解析】由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0xy ＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1.3．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)【答案】A4．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 【答案】A【解析】 设A (0，a )，B (b,0)，则由|AB →|＝3得a 2＋b 2＝9.设P (x ，y )，由OP →＝13OA →＋23OB →得(x ，y )＝13(0，a )＋23(b,0)，由此得b ＝32x ，a ＝3y ，代入a 2＋b 2＝9得9y 2＋94x 2＝9⇒x 24＋y 2＝1.5．如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 【答案】B【解析】由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝R (R 为圆的半径)且R >|OA |，故E 的轨迹为椭圆． 6．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 248＝1(x ≥1) 【答案】A7．直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是__________． [答案]x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)【解析】(参数法)设直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.8．已知直线l ：2x ＋4y ＋3＝0，P 为l 上的动点，O 为坐标原点．若2OQ →＝QP →，则点Q 的轨迹方程是________．[答案]2x ＋4y ＋1＝0【解析】设点Q 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 1，y 1)．根据2OQ →＝QP →得2(x ，y )＝(x 1－x ，y 1－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝3y .∵点P 在直线l 上，∴2x 1＋4y 1＋3＝0，把x 1＝3x ，y 1＝3y 代入上式并化简，得2x ＋4y ＋1＝0，即为所求轨迹方程．9．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，动圆M 过点F 2且与圆F 1相内切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与(1)中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．10．如图，过圆x 2＋y 2＝4与x 轴的两个交点A 、B ，作圆的切线AC 、BD ，再过圆上任意一点H 作圆的切线，交AC 、BD 于C 、D 两点，设AD 、BC 的交点为R .(1)求动点R 的轨迹E 的方程；(2)过曲线E 的右焦点F 作直线l 交曲线E 于M 、N 两点，交y 轴于P 点，且记PM ＝λ1MF ，PN ＝λ2NF ，求证：λ1＋λ2为定值．【解析】(1)设点H 的坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4.由题意可知y 0≠0，且以H 为切点的圆的切线的斜率为：－x 0y 0， 故切线方程为：y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，展开得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20＝4.即以H 为切点的圆的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝4，∵A (－2,0)，B (2,0)，将x ＝±2代入上述方程可得点C ，D 的坐标分别为C (－2，4＋2x 0y 0)，D (2，4－2x 0y 0)，则l AD ：y 4－2x 0y 0＝x ＋24 ①，及l BC ：y 4＋2x 0y 0＝x －2－4②.将两式相乘并化简可得动点R 的轨迹E 的方程为：x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆且其右焦点为F (3，0)．(ⅰ)当直线l 的斜率为0时，M 、N 、P 三点在x 轴上，不妨设M (2,0)，N (－2,0)，且P (0,0)．此时有|PM |＝2，|MF |＝2－3，|PN |＝2，|NF |＝2＋3，[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）11．（5分）动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－6x －10y ＋24＝0 B ．x 2－6x －6y ＋24＝0C ．x 2－6x －10y ＋24＝0或x 2－6x －6y ＝0 D ．x 2－8x －8y ＋24＝【答案】A【解析】本题满足条件|PA|＝|y|＋1，即x－2＋y－2＝|y|＋1，当y>0时，整理得x2－6x －10y＋24＝0；当y≤0时，整理得x2－6x－6y＋24＝0，变为(x－3)2＋15＝6y，此方程无轨迹．12．（10分）已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．。
抛物线(测)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，焦点坐标为，即为，故选B.2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线的焦点坐标为（0，－1），实数a的值等于（）A. 4B. －4C.D.【答案】B3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】D4.已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（）A. 4B. 5C. 6D. 11【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴线段的中点到轴的距离为，故选B.5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知为的三等分，作于，如图，则，，故选B.6．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】C7．【四川省高2019届第一次诊断】设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】抛物线的焦点为（0，2），∴椭圆的焦点在y轴上，∴c=2，由离心率 e=，可得a=4，∴b2=a2-c2=，故.故选A.8.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A9.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届考前押题卷（二）】已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，，设，，则的最小值为A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，抛物线的焦点坐标为，直线方程为，当斜率存在时，设直线的方程为，联立抛物线方程，可得，设出，则，依据抛物线定义得出，当斜率不存在时，，则的最小值是4，故选D.10.【河南省中原名校2018届高考预测金卷】过抛物线上的焦点，作直线与抛物线交于，两点，已知，则（）A． 2 B． 3 C． D．【答案】B11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的轴长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B12.【山东省青岛市2019届9月调研】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（）A． B． 1 C． 2 D． 4【答案】B【解析】分别是的中点，，且轴，，由抛物线定义知，为正三角形，则，正三角形边长为，，又可得为正三角形，，故选C.二、填空题13.已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是_____________．【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填.14.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（三）】若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是________.【答案】1015.【2018届江苏省南京市溧水高级中学高三上学期期初模拟】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距离为5，则直线的斜率为 .【答案】【解析】试题分析：由抛物线定义得：又点位于第一象限，因此从而16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为__________．【答案】6【解析】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得，，，过的直线设为，与联立得：，，计算得出且，三、解答题17.【四川省成都市棠湖中学2019届高三第一次月考】如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1. 过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足（1）求抛物线C的方程；（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点【解析】⑴设抛物线方程为C：，由其定义知，又，所以，18.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知是抛物线的焦点，点是不在抛物线上的一个动点，过点向抛物线作两条切线，切点分别为.（1）如果点在直线上，求的值；（2）若点在以为圆心，半径为4的圆上，求的值.【答案】（1）1（2）16试题解析：解：因为抛物线的方程为，所以，所以切线的方程为，即①，同理切线的方程为②，设，则由①②得以及，由此得直线的方程为．（1）由于点是直线上的一个动点，所以，即直线的方程为，因此它过抛物线的焦点．当时，的方程为，此时，所以；当时，把直线方程代入抛物线方程得到，从而有，所以．综上，．（2）由（1）知切线的方程为，切线的方程为，联立得点．设直线的方程为，代入得．因此，所以点的坐标为，由题意，所以，从而.19.如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.（1）求点A，B的坐标；（2）求的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）；（2）设圆的圆心为，点的坐标为，由题意知，点，关于直线对称，故有，解得.即点.20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线上，点是抛物线上的动点．（Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）过点作抛物线的两条切线，、分别为两个切点，求面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 的方程为其准线方程为；(Ⅱ)2.【解析】试题分析; （I）由题意抛物线的焦点为抛物线的顶点（，由此算出从而得到抛物线的方程，得到的准线方程；试题解析：（Ⅰ）的方程为其准线方程为．（Ⅱ）设，，，则切线的方程：，即，又，所以，同理切线的方程为，又和都过点，所以，所以直线的方程为.联立得，所以.所以．点到直线的距离．所以的面积所以当时，取最小值为.即面积的最小值为2.21．【浙江省诸暨市2018届5月】已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于不同两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过点作轴的垂线交直线（是原点）于，过作直线的垂线与抛物线的另一交点为，中点为.①求点的纵坐标；②求的取值范围.【答案】（1）;（2）见解析.【解析】【详解】（1）设：，∴∴，∴∴（2）直线：∴即，∴，即直线：22．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析【解析】（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．．所以为定值．。
2019年高考数学(文科)单元滚动精准测试卷 课时05函数及其表示-有答案
课时05 函数及其表示模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1.已知f (x )＝e(x ∈R)，则f (e 2)等于( ) A ．e 2B ．e C. e D ．不确定【答案】B【解析】因为f (x )＝e(x ∈R)，所以f (e 2)= e 2.下列函数中，与y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝(x －1)2＋1C ．y ＝x 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，x >0，0，x ＝0，－x 2|x |，x <0【答案】D【解析】A 中解析式不同，B 中定义域不同，C 中定义域不同．3.已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ 1x ，－2x x，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52【答案】A4.设集合M={x|0≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A.①②③④B.①②③C.②③D.②【答案】C.【解析】由映射的定义，要求函数在定义域上都有图象，并且一个x 对应着一个y ，据此排除①④，选C. 5.给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射；②f （x ）=是函数；③函数y=2x （x ∈N）的图象是一条直线；④f （x ）=xx2与g(x)=x 是同一个函数.其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】A6.某地一年内的气温Q (t )(单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃.令C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，C (t )与t 之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是( )【答案】A【解析】C (t )表示时间段[0，t ]的平均气温，所以起点和Q (t )气温一样；又已知该年的平均气温为10℃，所以t ＝12时，C (12)＝10℃；t ＝6时，C (6)接近0，再由C (t )在[6,12]上逐渐上升，再慢慢下降至10℃知选A.7．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于 .【答案】1【解析】a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－12x x，1x x ＜，若f (a )＝a ，则实数a 的值是__________．【答案】－1或239．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值.【解析】(1)y ＝(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9. (3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16， 解得x ＝2或x ＝－6(舍)； 若x ＜1，则x 2＋2＝16， 解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.10．某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象．【分析】：考查函数建模及理解函数与图象的对应关系． 【解析】分段求出每箱支付的费用． 当x ＝1时，y ＝48×0.9；当x ＝2时，y ＝48×0.85；当x ＝3时，y ＝48×0.8； 当3<x ≤10时，x ∈N 时，y ＝48×0.75. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧48×0.9，x ＝1，48×0.85，x ＝2，48×0.8，x ＝3，48×0.75，3<x ≤10，x ∈N图象如下图所示：[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）1．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f (x )的图象恰好通过n (n ∈N *)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝(13)x；④φ(x)＝ln x，其中是一阶整点函数的是____________________________________．【答案】①④12．（5分）设函数f(x)(x∈N)表示x除以2的余数，函数g(x)(x∈N)表示x除以3的余数，则对任意的x∈N，给出以下式子：①f(x)≠g(x)；②g(2x)＝2g(x)；③f(2x)＝0；④f(x)＋f(x＋3)＝1.其中正确的式子编号是________．(写出所有符合要求的式子编号)【答案】③④【解析】当x是6的倍数时，可知f(x)＝g(x)＝0，所以①不正确；容易得到当x＝2时，g(2x)＝g(4)＝1，而2g(x)＝2g(2)＝4，所以g(2x)≠2g(x)，故②错误；当x∈N时，2x一定是偶数，所以f(2x)＝0正确；当x∈N时，x和x＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f(x)和f(x＋3)中有一个为0、一个为1，所以f(x)＋f(x＋3)＝1正确．。
2019-2020年高三数学阶段滚动检测一
2019-2020年高三数学阶段滚动检测一一、选择题1．如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是()A．A∩B B．∁U(A∩B)C．A∩(∁U B) D．(∁U A)∩B2．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是() A．“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”B．“若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0”C．“若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0”D．“若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0”3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁R N)等于()A．{x|x<1} B．{x|x≥－1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1≤x<1}5．下列各组函数中是同一个函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x2与g(x)＝x4；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④6．若a＝2－3.1，b＝0.53，c＝log3.14，则a，b，c的大小关系是() A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x ，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )C ．4D ．28．给出下列四个函数： ①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x .这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－1，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)． 其中是“定义域上的M 函数”的有( )C ．4个D ．5个二、填空题 13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M ；(2)设关于x 的不等式(x －a )(x ＋a －2)<0(a ∈R )的解集为N ，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22， 当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2， 因为x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)， 消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)．17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0， ∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)．(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1. 当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a . 若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ， 不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a<0，取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝⎛⎭⎫21－a ＝(a －1)·21－a－a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1， ∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34， g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝⎛⎭⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]． .。
2019版高考数学(文)一轮复习课时跟踪检测(四十八)+抛物线(普通高中)+含解析.docx
课时跟踪检测(四十八)抛物线(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1.已知抛物线x 2=2py(p>Q)的准线经过点(1, -1),则抛物线的焦点坐标为()A. (0,1)B. (0,2) C ・(1,0) D ・(2,0)解析：选A 由抛物线x 2=2py(p>0)的准线为j=—£= —1,得p=2,故所求抛物线 的焦点坐标为(0,1).2.已知是抛物线y=2x 的一条焦点弦，MB|=4,则力3中点(7的横坐标是()A. 2B.| C 2 解析：选 C 设 A(x if ji), B(x 2f 丁2),则\AB\=xi+x 2+p=4t =3,所以点(7的横坐标是驾出=号・3・设抛物线G y 2=4x 的焦点为F,准线/与x 轴的交点为 作准线/的垂线，垂足为Q ・若△"F 的面积为2,则点P 的坐标为( A. (1,2)或(1, -2)B. (1,4)或(1, -4)C. (1,2) 解析：选A 设点P 的坐标为(xo, jo).因为的面积为2,所以㊁X2XbM=2,即热|=2,所以x 0=l,所以点P 的坐标为(1,2)或(1, -2).4.已知点F 是抛物线y 2=x 则线段AB 的中点到丿轴的距离为()C 4 解析：选 B 设 A(x At y A )t B(X R , y R )f 则 \AF\+ |^F| =x A +^=x A -\-x R +p =3, 则肋的中点呼)到j,轴的距离孑=呼=宁今.5・已知点力(0,2),抛物线Ci ： y=ax(a>^)的焦点为F,射线场与抛物线C 相交于点 M,与其准线相交于点N.若|FM| ： |MN|=1 ：诟，则"的值为()D 2又卩=1,所以X\+X2 过抛物线C 上一点P的焦点，A f 〃是该抛物线上的两点.若\AF\+\BF\=3, D. 1A -4C ・1解析：选D 依题意，点F 的坐标为%，0)，设点M 在准线上的射 影为K,由抛物线的定义知\MF\=\MK\t \KM\ : \MN\=1 : ^5,则阳：0—2 8 \KN\ 8\KM\=2*1. •: kFN= = 一：，kFN= ~\XM\ = — 2，2,解得 a=4・4_0 6・已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点F 的直线交抛物线于B 两点，O 为坐标 原点.若△力0〃的面积为4,则\AB\=()A ・6B ・8C ・ 12 D. 16解析:选 D 设 皓，j J, B 佇，J 2),F(1,0).当/B 丄 x 轴时 f \AB\=4t S^AOB =^\OF\-\AB\ 勺卩2=一4•由的面积为4,得务"一力以1=4,所以7.已知点P 在抛物线/=4x±,且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为舟，则点P 到x 轴的距离为 ________ .解析：设点P 的坐标为(XP , »),抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-l,根据抛物线的 定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故一—丄)z解得Xp=l,所以J*=4,所以bsl=2・答案:28. 一个顶点在原点，另外两点在抛物线/=2x±的正三角形的面积为 _______________ 解析：如图，根据抛物线的对称性得ZAOx=30°・直线0/1的方程y=票,代入y 2=2x f 得 X 2—6x=0,解得x=0或x=6.即得/的坐标为(6,2^3).：.\AB\=4yj3t 正三角形 0AB 的面积为 1x4^3X6=12^3.答案：12萌 D. 4 Ti+j2 = 56,因此\AB\=X\+x 2+p= 2 2 J + 2 1 +2 = 16.4=2,不成立，所以学一9.已知抛物线/=4x,过焦点F的直线与抛物线交于B两点，过B分别作y轴的垂线，垂足分别为C, D,贝IJ|/IC|+|BZ)|的最小值为 ________ ・解析:由题意知F(1,O), \AC\+\BD\=\AF\+\FB\-2=\AB\-29即\AC\+\BD\取得最小值时当且仅当凶〃1取得最小值.依抛物线定义知当为通径，即\AB\=2p=4时为最小值, 所以\AC\+\BD\^)最小值为2.答案：210.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作一条直线交抛物线于力，B两点.若|/1F|=3,则\BF\= __________ ・解析：设A(x Af y A)f B(x Bf yn),点/在第一象限，则HF|=v^ + l=3,所以x A=2f y A=2yj2f 所以直线AB的斜率为&=豁=2並则直线的方程为y=2yj2(x-l)9 与抛物线方程联立整理得2?_弘+2=0, x A+x B=^f 所以x^=|, 答案：IB级——中档题目练通抓牢1・已知抛物线C：J2=8X的焦点为F, P是抛物线C的准线上一点，且P的纵坐标为正数，Q是直线PF所以\BF\=x z/+^=|+1 =|.与抛物线(7的一个交点.若\PQ\=yf2\QF\,则直线PF的方程为()A. x—丿一2=0 B・ x+y—2=0C. x-j+2=0D. x+y+2=(i解析：选B 如图，过点0作QM丄/于点M.V\QF\等于点0到准线的距离|0M|,・*. \PQ\=^2\QM\f :. ZPQM=45° , A ZPFO=45° , ・・・直线PF的倾斜角为135° ,即斜率A=-l,・・・直线PF的方程为丿一0=-lX(x-2),即x+y—2 = 0.2.已知点P是抛物线y2=2x±的动点，点P在v轴上的射影是M,点/伶4),则网+ \PM\的最小值是( )7A运 B. 49C运 D. 5解析：选C 设抛物线y2=2x的焦点为F,贝']\PF\=\PM]+^f :. \PM\=\PF\-^.・・・ \PA | + \PM\=\PA\+\PF\-^.7将x=2代入抛物线方程y 2=2x f 得y=±\[j.・・•萌V4,・••点力在抛物线的外部.・••当P, A f F 三点共线时，丽|+|PF|有最小值.••吩 4 ・・・"1=寸6-务+S - 0)2=5・1 9:.\PA\+\PM\^最小值 5-^=2- 3•如图，过抛物线y 2=2px （p>Q ）的焦点尸的直线依次交抛物线及其准 线于点B, C,若|BC|=2|〃F|,且|/1冋=3,则抛物线的方程为（） 2 3 2A. y =尹 B- y =3x2 9 2 C. y =^x D. y =9x 解析：选B 如图，分别过点力，B 作准线的垂线，交准线于点£, ED,G设 \BF\=a,则 \BC\=2a fD ° / 噸 x由抛物线的定义得，|〃0|=心9 < 故ZBCD=30° ,在直角三角形/G?中，因为\AE\=\AF\=3f \AC\=3+3a f 2\AE\=\AC\f所以6=3+3“，从而得«=1, 因为BD 〃尸G,所以鬻=跆・1 2 3即”=3，解得p=2,因此抛物线方程为j ，=3x ・一 X 2 V 24. （2017•山东高考）在平面直角坐标系xQr 中，双曲线卩一”=1@>0, Q0）的右支与焦 点为F 的抛物线1=2妙（p>0）交于力，〃两点.若\AF\+\BF\=4\OF\t 则该双曲线的渐近线 方程为 __________ .解析：设A （x lf ji ）, B （x 2f 力），由抛物线的定义可知\AF\=yi +^f \BF\=y 2+^f由 \AF\+ \BF\=yi +^+y 2+^=yi +y 2+p =4\OF\=2p f得 yi+yi=p^消去 x,得 a 2y 2—2pb 2y+a 2b 2=0,2pb 2 2 2ph 2 *=P ，答案：y=±^x5.已知直线y=a 交抛物线y=x 2于B 两点.若该抛物线上存在点C,使得ZACB 为直角，则实数“的取值范围为 ____________________ ・解析：如图，设(7(X(), xj)(xo^«), A(—y[a, a), B(y[a f a), 则C4 =(—诵一xo, a —xi), CB =@—xo, a —xl).VC4 丄 CB, :.~CA ~CB=O f即—(a —xo)+(a —xj)2=0, (a —x ：)(—1+a —xj)=0.・•・£=□—1 MO, .•.“Mi.答案：［b +8)6.已知抛物线y 2=2px(p>^焦点为F,力是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的 点，力到抛物线准线的距离等于5,过力作力〃垂直于y 轴，垂足为3, 03的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN 丄E4,垂足为N,求点N 的坐标.解：⑴抛物线y 2=2px 的准线为x=—2,于是 4+f=5, .\p=2.:.抛物线方程为y2=4x ・⑵・・•点/的坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2).又・・・F(1,O),・••畑=x=2py所以yi+y2= 所以双曲线的渐近线方程为y=因为以与PB 的斜率存在且倾斜角互补, 所以kp^ = —kpB ・由A(x i9 ji), B(x 2f j ，2)均在抛物线上， 0=4七‘ %；=4兀2, ①②所以厂2 一 拈T必 2所以 口+2= —0，2+2)・所以必+必=_4・由①一②得，J2=4(xj —x 2),所以如=北=点=一3总2)・C 级——重难题目自主选做・・・MN 丄 FA f :. k MN =-^.・・・昭的方程为j=|(x-l),①3MN 的方程为y-2=~^x 9②8 4联立①②，解得X=T ，丿=7•如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(l,2),A (X 19 n), Bg,力)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程.⑵当刃与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求yi +y 2的值及直线 AB 的斜率.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px(p>Q).因为点P(l,2)在抛物线上， 所以22=2pXl,解得p=2.故所求抛物线的方程是j ，=4x,准线方程是x=~l.⑵设直线刃的斜率为每M ,直线P 〃的斜率为心炉・・・"的坐标为(兀2工1),1.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于B 两点，分别过B 两点作准线 的垂线，垂足分别为川，B'两点，以线段B 1为直径的圆C 过点£(一2,3),则圆C 的方程为()A. (X +1)2+(J -2)2=2B ・(X +1)2+0^-1)2=5C ・(X +1)2+(J +1)2=17D. (x+l)2+(y+2)2=26解析：选B 设直线/B 的方程为x —l=ty.设A(x i9 ji), B(x 2t j 2),则(—1, Ji), B' (—1, J2).•"•ji+^2=4r,歹卩2= 一4・又•・•以R B'为直径的圆C 过点£(-2,3),^1 = (-1,3-Ji), ^1 = (一1,3-必)，:.A' E B' E = 1 + (3-JI )(3-J 2)=0,即阳2—3(^1+丁2)+10=—4—12(+10=0,解得 t=^•"1+72=2,.•.圆c 的圆心为(一；~\也护)=(一1,1).半径*咛匚血呼如=诟.・••圆C 的方程为(x+1)2 + 3 — 1)2 = 5.2. (2018-武汉调研)已知直线y=k(x-2)与抛物线八y 2=^x 相交于B 两点,M 是 线段力〃的中点，过M 作j ，轴的垂线交厂于点N.(1)证明：抛物线厂在点N 处的切线与直线力〃平行；⑵是否存在实数R 使瓦T •両=0?若存在，求A 的值；若不存在，请说明理由.y=k(x-2),解：⑴证明：由｛ 2 1消去并整理, y=^得 2A 2X 2-(8^2+1)X +8^2=0.X1+X2 8A 2+1x-l=osJ 2=4X ,得)，一4°,—4 = 0.设 A(x lf ji), B(X 2, y 2),则 Xi+*2 = 8^+1 2k 2 xix 2=4,由题设条件可知，P V =J<M =玉，心=2丿召=80 ・"（缶£）・设抛物线厂在点N 处的切线/的方程为将x=2y 2代入上式，得2/wj ，—卩+令—哉2=（）. •・•直线/与抛物线厂相切,ni —ky 即 ///AB,（2）假设存在实数％,使祐•両=0,则N4丄NB. ・.・M 是的中点，・・・ \MN\=^\AB\.由(1),得HB|=V1-H 2I VI -X 2|=yj 1+k^yj (xi +x 2)2—4XJX 2•••MN 丄y 轴， .8A 2+1 1 16k 2+l：• M 、1=氏M —兀vl= 4&2 =―防~•16k 2+1 1 -^A /16A 2+1 — 1 ・・・^p —=^/iTT ・U 2& ，解得k*. 故存在 A=±|,使 NA^ NB =0. 1/.J = l-4X2wX16k 2+1 2k@7=yjl+k 2^。
抛物线(练)-2019年高考数学(文)---精校解析 Word版
A基础巩固训练1．【河北省衡水中学2019届高三上期中】抛物线的焦点坐标是（）A． (0,1) B． (1,0) C． (0,2) D． (0,)【答案】D2．抛物线的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C). (D).【答案】D【解析】由抛物线标准方程中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.3．【河北省衡水中学2018届押题卷四】抛物线的焦点为，点，若线段的中点在抛物线上，则（）A． B． C． D．【答案】D4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届第八次模拟】已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A． B． C． D．【答案】C【解析】因为抛物线的焦点在轴负半轴，所以抛物线开口向左，所以抛物线的标准方程是，又，所以抛物线方程为，故选C.5．【2018届山西省孝义市高三上学期入学摸底】抛物线上的一点到轴的距离与它到坐标原点的距离之比为，则到点的焦点的距离是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】设 ,则所以到点的焦点的距离是 ,选D.B能力提升训练1．【2017课标II，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为( )A. B. C. D.【答案】C2.【黑龙江省2018年仿真模拟（八）】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（）A． B． 1 C． 2 D． 4【答案】C【解析】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.本题选择C选项.3．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( )A．B．2 C．D．3【答案】B【解析】由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选4．【湖南湖北八市十二校2019届高三第一次联考】已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若，则的值等于（）A． B． C． 2 D． 4【答案】C5.【2018届河南省名校联盟高三第一次段考】过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】设，抛物线焦点，直线AB方程为，联立，，所以，则，则题型ABCD的面积，所以，选A.C思维扩展训练1．已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是()A. B.C. D.【答案】C2．【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（）A． 5 B． 6 C． D．【答案】C3.如图，过抛物线的焦点作直线与抛物线及其准线分别交于三点，若，则__________．【答案】【解析】根据抛物线的几何性质，，所以，求得，，解得：,而.4．【2016高考新课标1文数】在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C：于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.（I）求；（II）除H以外,直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I）2（II）没有5.【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据抛物线的定义知，，∵，∴，∴．，，∴，令，，则．。
2019年高考数学(文科)单元滚动精准测试卷 课时26双曲线-有答案
课时26 双曲线模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( ) A.17 B.15 C.174 D.154【答案】A【解析】由题意知，b a ＝4，则双曲线的离心率e ＝c a＝1＋b 2a2＝17.2．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B3．若双曲线过点(m ，n )(m >n >0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( ) A ．在x 轴上B ．在y 轴上C ．在x 轴或y 轴上D ．无法判断是否在坐标轴上【答案】A 【解析】∵m >n >0，∴点(m ，n )在第一象限且在直线y ＝x 的下方，故焦点在x 轴上．4．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A ．2 2 B.10 C ．4 2 D ．210 【答案】D【解析】 根据已知△PF 1F 2是直角三角形，向量PF 1→＋PF 2→＝2PO →，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2→|＝210.5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，(a,0)、(0，b )为直线l 上两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.233【答案】A6．P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且1PF ·2PF ＝0，若△F 1PF 2的面积是9，则a ＋b 的值等于( )A ．4B ．7C ．6D ．5 【答案】B【解析】设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，则xy ＝18，x 2＋y 2＝4c 2，故4a 2＝(x －y )2＝4c 2－36，又c a＝ 54，∴c ＝5，a ＝4，b ＝3，得a ＋b ＝7. 7．已知平面内有一固定线段AB ，其长度为4，O 为AB 的中点，动点P 满足||PA －||PB ＝3，则||AB 2||OP 的最大值是______．【答案】43【解析】由双曲线的定义，可知动点P 的轨迹为以A 、B 两点为焦点，3为2a 的双曲线靠近点B 的一支，显然||OP 的最小值为a ，故||AB 2||OP 的最大值为43.【失分点分析】在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.8．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1·PF 2的最小值为________．【答案】－2【解析】由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1＝(－1－x ，－y )，PF 2＝(2－x ，－y )，PA 1·PF 2＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1·PF 2取得最小值－2.9．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线方程； (2)求证：MF 1·MF 2＝0； (3)求△F 1MF 2面积．∴MF 1·MF 2＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1·MF 2＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.10．点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的一点，已知PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2|PF 2|，O 为坐标原点．(1)求双曲线的离心率e ；(2)过点P 作直线分别与双曲线两渐近线相交于P 1，P 2两点，且OP 1→·OP 2→＝－274，2PP 1→＋PP 2→＝0，求双曲线E 的方程．[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）11．（5分）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为a 22(O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D12.（10分）已知双曲线C 的渐近线方程为3y x =，右焦点(,0)F c 3 （1）求双曲线C 的方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于D ， 求证：||||AB FD 为定值. 【解】：（1）设双曲线方程为由题知∴双曲线方程为：2213y x -=（2）设直线l 的方程为(2)y k x =-代入2213yx -=整理得设的中点00(,)P x y则代入l 得：0263ky k -=-AB 的垂直平分线方程为。
椭圆-2019年高考数学(文)单元滚动精准测试卷+Word版含解析
AB，过 A 作椭圆右准线的垂线
AM ，垂足为 M ，则直线 BM
必经过点 ( )
A． (2,0) C． (3,0)
B.
5， 0 2
D.
7， 0 2
【答案】 B
3． 已知 F1、F 2 分别为椭圆
C
：
x2 a2＋
y2 b2＝
1(a
>
b>0)
的左、右焦点，过
F 1 且垂直于 x 轴的直线交椭圆
C于
A， B 两点，若△ ABF 2 为钝角三角形，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围 为 ( )
模拟训练（分值： 60 分 建议用时： 30 分钟）
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1． 设 P 是椭圆 x ＋y ＝1 上一点， M 、 N 分别是两圆： (x＋ 2)2＋ y2＝ 1 和 (x－ 2)2＋ y2＝ 1 上的点，则 |PM | 95
＋ |PN|的最小值、最大值分别为 ( )
A． 4,8
B． 2,6
C． 6,8 【答案】 A
4．设椭圆
x2 y2
a2＋
2
b
＝
1(
a
>b>0)
的离心率为
e＝ 12，右焦点为
F(c ,0)，方程 ax2＋ bx－c＝ 0 的两个实根分别为
x1 和 x2，则点 P(x1， x2 )(
)
A．必在圆 x2＋y2＝ 2 内
B．必在圆 x2＋ y2＝2 上
C．必在圆 x2＋ y2＝2 外
D．以上三种情形都有可能 【答案】 A
1
2 DF 2 得－ 3c＝－ a＋2c，即 a＝ 5c，故 e＝ 5.
7．已
知椭圆
x2 y2 a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的左、右焦点分别为
2019年高考数学(文)一轮复习第八章 解析几何跟踪检测 (四十九)抛物线及答案
课时跟踪检测 (四十九) 抛物线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A．y2＝2x B．y2＝－2xC．y2＝4x D．y2＝－4x解析：选D 由准线x＝1知，抛物线方程为：y2＝－2px(p>0)且p2＝1，p＝2，∴抛物线的方程为y2＝－4x，故选D．2．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( )A．2 B．1 2C．32D．52解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是x1＋x22＝32．3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C 的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A．－43B．－1C．－34D．－12解析：选C 由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，所以直线AF的斜率为k＝3－0－2－2＝－34．4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－＝12， 解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2．答案：25．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°．直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ， 得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6． 即得A 的坐标为(6,23)．∴|AB |＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝123．答案：12 3二保高考，全练题型做到高考达标1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a )B ．(a,0)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，116a D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫116a ，0 解析：选C 将y ＝4ax 2(a ≠0)为标准方程得x 2＝14ay (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C ． 2．(2016·山西高三考前质量检测)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是( )A ．x 2＝2yB ．x 2＝2yC ．x 2＝yD ．x 2＝22y解析：选A 由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，－p 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，－p 2，∴S △FAB ＝12·2p ·p ＝1，则p ＝1，即抛物线C 1的方程是x 2＝2y ，故选A ．3．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2.得：x 2－5p 3x ＋p24＝0，∴x 1＋x 2＝5p 3，x 1x 2＝p 24，所以x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以|AF ||BF |＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3．4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是( )A ．8B ．192C ．10D ．212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |，又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10．所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B ．5．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x解析：选B 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ， 所以2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1， 因为BD ∥FG ，所以1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ．6．抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫±33p ，－p 2． 又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6． 答案：67．(2017·广西质检)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53．答案：538．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为________米．解析：由题意，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵点(2，－2)在抛物线上，∴p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y ． 当y ＝－3时，x ＝±6．∴水位下降1米后，水面宽为26米． 答案：2 69．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M ．(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2．∴抛物线方程为y 2＝4x ． (2)∵点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又∵F (1,0)，∴k FA ＝43，∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34．又FA 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，∴N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9．(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4．由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x ． (2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0， 则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以2＝8(4λ＋1)，整得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2． 故λ的值为0或2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD―→的最大值等于( ) A ．－4 B ．－16 C ．4D ．－8解析：选B 依题意可得，FA ―→·FB ―→＝－(|FA ―→|·|FB ―→|)． 又因为|FA ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1， 所以FA ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)． 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4． 所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2． 所以FA ―→·FB―→＝－(4k 2＋4)． 同FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4．所以FA ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16．当且仅当k ＝±1时等号成立．2．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2．故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1． (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ．则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB ．由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1， 所以y 1＋2＝－(y 2＋2)． 所以y 1＋y 2＝－4．由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。
2019年高考数学课时27抛物线单元滚动精准测试卷文
课时27 抛物线模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 【答案】C2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若＝0，则等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)． ∵＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6，故选B.3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 【答案】C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716【答案】A【解析】如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|32＋42＝2，故选A.【规律总结】重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.5．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x 【答案】B【解析】由题可知抛物线焦点坐标为(a 4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，∴a ＝±8.6．已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点( ) A ．(2,5) B ．(－2,5) C ．(5，－2) D ．(5,2) 【答案】C7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升12米后，水面的宽度是________．【答案】43米【解析】设抛物线方程为x 2＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8， 故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2＝－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x ＝±2 3.故水面宽43米．8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点．若椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点与点F 重合，右顶点与A 、B 构成等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为__________．【答案】13【解析】由y 2＝4x 得，抛物线的焦点为F (1,0)，过点F 且垂直于x 轴的直线与该抛物线的交点坐标分别为：A (1,2)，B (1，－2)，又椭圆C 右焦点的坐标为(1,0)，椭圆右顶点与A ，B 构成等腰直角三角形，所以椭圆的右顶点坐标为(3,0)，即a ＝3，所以e ＝c a ＝13.9.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.10．在平面直角坐标系xO y 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A 、B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ·OB 的值；(2)如果OA ·OB ＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）11．（5分）点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为________．【答案】3【解析】由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，由点到直线的距离公式，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 204－y 02＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个． 12．（5分）已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．【答案】4【解析】依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x ＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到抛物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.。
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课时28 直线与圆锥曲线的位置关系模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）1．抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2x C ．x 2＝2y D ．y 2＝－2x【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故应选B.2．已知椭圆x 24＋y 23＝1的长轴的左、右端点分别为A 、B ，在椭圆上有一个异于点A 、B 的动点P ，若直线PA 的斜率k PA ＝12，则直线PB 的斜率k PB 为( )A.34B.32 C ．－34 D ．－32【答案】D3．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x【答案】D【解析】分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.8105【答案】C【解析】设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.弦长|AB |＝42×5－t 25≤4105.5．如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24， 其中p >0，直线l 经过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1， 圆C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24B.p 23C.p 22 D ．p 2【答案】A6．已知椭圆x 24＋y 23＝1，若在此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m 的取值范围是( )A ．(－21313，2213)B ．(－21313，21313)C ．(－213，21313) D ．(－2313，2313) 【答案】B【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 21＝12 ①，3x 22＋4y 22＝12 ②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 联立得x ＝－m ，y ＝－3m ，而M (x ，y )在椭圆的内部，则m 24＋9m 23<1，即－21313<m <21313.7．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－18.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)．则该椭圆的离心率的取值范围是________．【答案】(13，25)【解析】设椭圆的半焦距为c ，长半轴长为a ，由椭圆的定义及题意知，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2a －2c ＝10，得到a －c －5＝0，因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以1<2c 10－2c <2，∴52<c <103，∵e ＝c a ＝c c ＋5＝1－5c ＋5，且13<1－5c ＋5<25，∴该椭圆的离心率的取值范围是(13，25)． 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆C 上任意一点到椭圆C 两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l ：y ＝kx －2与椭圆C 交于A ，B 两点，点P (0,1)，且|PA |＝|PB |，求直线l 的方程． 【解析】(1)由已知2a ＝6，e ＝ca ＝63， 解得a ＝3，c ＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 23＝1y ＝kx －2得，(1＋3k 2)x 2－12kx ＋3＝0，10．椭圆G ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆G 上一点，且满足F 1M →·F 2M →＝0.(1)求离心率e 的取值范围；(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为5 2. (ⅰ)求此时椭圆G 的方程；(ⅱ)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P (0，33)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 【解析】(1)设M (x 0，y 0)，∵M 在椭圆G 上，∴x 20a 2＋y 20b2＝1，①又F 1M →·F 2M →＝0，∴(x 0＋c ，y 0)·(x 0－c ，y 0)＝0.②由②得y 20＝c 2－x 20，代入①整理得x 20＝a 2(2－a 2c2)．又0≤x 20≤a 2，∴0≤a 2(2－a 2c2)≤a 2，解得(c a )2≥12，即e 2≥12，又0<e <1，∴e ∈[22，1)． (2)(ⅰ)当e ＝22时，设椭圆G 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1，H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b .[新题训练] （分值：15分 建议用时：10分钟）11．（5分）当x >1时，直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，4)【解析】由题可知，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝ax －a，整理可得x 2－ax ＋a ＝0，当Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝0或a＝4，此时直线与抛物线相切，因为直线横过定点(1,0)，结合图形可知当a ∈(－∞，4)，x >1时直线y ＝ax －a 恒在抛物线y ＝x 2的下方．12．（10分）如图，已知点D (0，－2)，过点D 作抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的切线l ，切点A 在第二象限，如图16－3.(1)求切点A 的纵坐标；(2)若离心率为32的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)恰好经过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，k 1，k 2，若k 1＋2k 2＝4k ，求椭圆方程．【解析】 (1)设切点A(x0，y0)，且y0＝x202p ，由切线l 的斜率为k ＝x0p ，得l 的方程为y ＝x0p x －x202p ，又点D(0，－2)在l 上，k1＋2k2＝y0x0＋2y1x1＝x1y0＋2x0y1x0x1＝。
高考数学一轮复习抛物线专题练习(含答案)
2019年高考数学一轮复习抛物线专题练习（含答案）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
下面是查字典数学网整理的2019年高考数学一轮复习抛物线专题练习，希望岁考生复习有帮助。
(2019泰州中学检测)给定圆P：x2+y2=2x及抛物线S：y2=4x，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程.[解] 圆P的方程为(x-1)2+y2=1，则其直径长|BC|=2，圆心为P(1,0)，设l的方程为ky=x-1，即x=ky+1，代入抛物线方程得：y2=4ky+4，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，有则(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2=(y1-y2)2=16(k2+1)2，因此|AD|=4(k2+1).根据等差数列性质得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，即l方程为x-y-=0或x+y-=0.2.(2019苏州调研)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.求证：直线AC经过原点O.【常规证法】抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，显然直线AB的斜率不为0，当AB斜率不存在时，直线AP方程为x=，不妨设A在第一象限，则易知A，B，C，此时kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，A，O，C三点共线，即直线AC经过原点O.当AB斜率存在且不为0时，设直线AB方程为y=k代入y2=2px得k2x2-(k2+2)px+=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=，(y1y2)2=p4，由题意知y1y20，y1y2=-p2kOC======kOA直线AC过原点O，综上，直线AC经过原点O.【巧妙证法】因为抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，而直线AB的斜率不为零，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线方程消去x得y2-2pmy-p2=0.若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=-p2. 因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为k===，即k也是直线OA的斜率，所以直线AC 经过原点O.3.(2019南师附中检测)设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y2=2px(p0)上位于x轴两侧的两点.(1)若y1y2=-2p，证明直线AB恒过一个定点;(2)若p=2，AOB(O是坐标原点)为钝角，求直线AB在x轴上的截距的取值范围.[解] (1)设直线AB在x轴上的截距为t，则可设直线AB的方程为x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直线AB恒过定点(1,0).(2)因为AOB为钝角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)把点P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).解得p=4，抛物线方程为y2=-8x.当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py(p0)，把点P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).解得p=.抛物线方程为x2=-y.综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.[答案] y2=-8x或x2=-y4.(2019广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C 的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程;(3)当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值.[解题思路] (1)由点到直线的距离求c的值，得到F(0，c)后可得抛物线的方程;(2)采用设而不求策略，先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，结合导数求切线PA，PB的方程，代入点P的坐标，根据结构，可得直线AB的方程;(3)将|AF||BF|转化为关于x(或y)的函数，再求最值. [解] (1)依题意，设抛物线C的方程为x2=4cy(c0)，由点到直线的距离公式，得=，解得c=1(负值舍去)，故抛物线C的方程为x2=4y.(2)由x2=4y，得y=x2，其导数为y=x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x=4y1，x=4y2，切线PA，PB的斜率分别为x1，x2，所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1)，即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA，PB均过点P(x0，y0)，所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，所以和为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由消去x并整理得到关于y的方程为y2+(2y0-x)y+y=0.由一元二次方程根与系数的关系得y1+y2=x-2y0，y1y2=y.所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y+x-2y0+1.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0-y0-2=0，即x0=y0+2，所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，所以当y0=-时，|AF||BF|取得最小值，且最小值为.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
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课时27 抛物线
模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）
1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4 B．－2
C．4或－4 D．12或－2
【答案】C
2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，
则等于( )
A．9 B．6
C．4 D．3
【答案】B
【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)．
∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.
又由抛物线定义知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故选B.
3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3C.115D.37
16
【答案】A
【解析】如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为P 到F 的距离，由图可知，距离和的最小值即F 到直线l 1的距离d ＝
|4＋6|32＋42
＝2，故选A.
【规律总结】重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价
转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
5．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2
＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的
面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2
＝±4x B ．y 2
＝±8x
C ．y 2
＝4x D ．y 2
＝8x
【答案】B
【解析】由题可知抛物线焦点坐标为(a 4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2(x －a
4
)，令
x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a
2)，所以S △OAF ＝12·
|a|4·|a|
2
＝4，∴a ＝±8.
6．已知抛物线y 2
＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点( )
A ．(2,5)
B ．(－2,5)
C ．(5，－2)
D ．(5,2)
【答案】C
7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升1
2
米后，水面的宽度是
________．
【答案】43米
【解析】设抛物线方程为x 2
＝－2py ，将(4，－2)代入方程得16＝－2p ·(－2)，解得2p ＝8，
故方程为x 2＝－8y ，水面上升12米，则y ＝－32，代入方程，得x 2
＝－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12，x ＝±2 3.故水面
宽43米．8．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点．若椭圆
C ：x2a2＋y2
b2
＝
__________．
8．已知抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线交该抛物线于A 、B 两点．若椭圆C ：x2a2＋
y2
b2
＝1(a ＞b ＞0)的右焦点与点F 重合，右顶点与A 、B 构成等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为__________． 【答案】
1
3
【解析】由y 2
＝4x 得，抛物线的焦点为F (1,0)，过点F 且垂直于x 轴的直线与该抛物线的交点坐标分别为：A (1,2)，B (1，－2)，又椭圆C 右焦点的坐标为(1,0)，椭圆右顶点与A ，B 构成等腰直角三角形，所
以椭圆的右顶点坐标为(3,0)，即a ＝3，所以e ＝c a ＝1
3
.
9.已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于
5
5
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 【解析】(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2
＝4x ，
其准线方程为x ＝－1.
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，
设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，
消去x得y2－4ty－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
[新题训练] （分值：10分建议用时：10分钟）
11．（5分）点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于
2
2
，则这样的
点P 的个数为________．
【答案】3
【解析】由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2
＝4x ，设点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫y204，y0，由点到
直线的距离公式，知⎪⎪⎪⎪
⎪⎪y204－y02
＝
2
2
，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P 个数有三个．12．（5分）已知点M 是抛物线y 2
＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2
＋(y －1)2
＝1上，则|MA |＋|MF |
的最小值为________．
12．（5分）已知点M 是抛物线y 2
＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2
＋(y －1)2
＝1上，
则|MA |＋|MF |的最小值为________．
【答案】4
【解析】依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x ＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到抛物线的准线
x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.。