角平分线和全等三角形证明分类

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全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．
2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如全等，记作 ≌
1．如图，已知AB=AC，AD=AE，BF=CF，求证： ≌ 。
2．如图，△ABC，△BDF为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD；（2）CE⊥AD。
3．如图，AB=AC，AD=AE，BE和CD相交于点O，AO的延长线交BC于点F。
求证：BF=FC。
4．已知：如图1，AD∥BC，AE=CF，AD=BC，E、F在直线AC上，求证：DE∥BF。
A、6 B、5 C、4 D、3
5．如图，要使 ≌ ，则下列条件能满足的是（）
A、AC=BC，AD=CE，BD=BE B、AD=BD，AC=CE，BE=BD
C、DC=EC，AC=BC，BE=AD D、AD=BE，AC=DC，BC=EC
6．如图， ≌ ，点A和点D、点E和点F分别是对应点，则AB=，，AE=，CE=，AB//，若，则DF与BC的关系是．
1．在△ABC和△ 中，若AB= ，AC= ，还要加一个角的条件，使△ABC≌△ ，那么你加的条件是（）
A．∠A=∠ B.∠B=∠ C.∠C=∠ D.∠A=∠
2．下列各组条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（）
A．AB=DE，BC=EF；CA=CD B.CA=CD；∠C=∠F；AC=EF
C．CA=CD；∠B=∠E D.AB=DE；BC=EF，两个三角形周长相等

《角的平分线的性质》全等三角形

应用。
05
CATALOGUE
复习与巩固
复习全等三角形和角的平分线的性质的基本概念和性质
总结全等三角形的定义、判定方法以及性质。回顾角的平分线的性质的定义、判定方法和性质。
与前一章节的内容进行衔接，展示如何利用前一章节的知识来证明全等三角形。
通过练习巩固所学知识
选择题
根据全等三角形和角的平分线的性质的定义和判定方法，设计多个选择题，考察学生对基
角的平分线的性质
一个角的平分线将对应的边分成两段，其中较长的一段等于较短的一段。
利用角的平分线的性质证明全等三角形的实例
题目
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：△ABC是等腰三角形。
证明过程
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，∴根据角的平分线的性质和HL定理可得 △ADE≌△ADF(HL)，∴∠ADE=∠ADF，又∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴根据角的平分线的性质和AAS定理可得 △ABC是等腰三角形。
常见的错误和注意事项
常见的错误
在证明过程中，容易忽略HL定理的应用，或者在应用HL定理时忽略了对应边相等的前提条件。
VS
注意事项
在利用角的平分线的性质证明全等三角形时，需要仔细分析题目的条件和结论，选择合适的判定定理和性质进行证明。同时，需要注意定理应用的前提条件和限制条件。
04
CATALOGUE
角角边定理（AAS）
如果两个三角形的两个角对应相等，且其中一个角的对应边也相等，则这两个三角形全等。
02
CATALOGUE
角的平分线的性质
角的平分线的定义

构造全等三角形的四种技巧

构造全等三角形的四种技巧在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念。

全等三角形是指两个或两个以上的三角形，它们的形状和大小完全相同。

理解并能够构造全等三角形，对于解决各种几何问题有着至关重要的作用。

以下是构造全等三角形的四种技巧：利用公理：全等三角形的公理是：如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等。

这个公理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后根据这些边长画出两个三角形。

这两个三角形的形状和大小将会完全相同。

利用角平分线：角平分线定理指出，一个角的平分线将对应的边分为两段，这两段与角的两边形成的两个小三角形是全等的。

通过这个定理，你可以通过一个角的平分线，构造出一个全等三角形。

利用中垂线：中垂线定理指出，一条中垂线将一个线段分为两段，这两段与线段的两端形成的两个小三角形是全等的。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后通过中垂线将这些边分为两段。

这样，你就可以得到两个全等的三角形。

利用平行线：平行线定理指出，如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的对应线段成比例。

这个定理可以用来构造全等三角形。

确定你需要构造的全等三角形的所有边长，然后在两条平行线上画出对应的线段。

由于这些线段成比例，因此它们形成的两个小三角形是相似的。

如果这些相似三角形的对应边长度相等，那么它们就是全等的。

以上就是构造全等三角形的四种技巧。

理解和掌握这些技巧，对于解决各种几何问题有着重要的作用。

已知两个三角形全等，则它们对应边上的高也________；对应角平分线也________；对应边上的中线也________。

两个直角三角形全等，除了用定义外，还可以用以下________判定。

已知三角形ABC全等三角形DEF，且AB=18cm，BC=20cm，CA=15cm，则DE=________cm，DF=________cm，EF=________cm.做衣服需要依据身体部位的大小来选择布料，而教学则需要依据学生原有的知识基础来选择教学方法。

(完整版)利用角平分线构造全等三角形

善于构造活用性质安徽张雷几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题.1.显“距离”, 用性质很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换）又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点．【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线，•故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证．【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ．∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上，D C A EHI F G2DCBA35EF14即BP是∠MBN的平分线．2.构距离,造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等,可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题．例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB•上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．因为∠C=90°，AC=BC，又DE⊥AB，∴DE=EB．∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，∴CD=DE．由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．∴AC=AE．∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB．例4．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．求证：AD=CD+AB．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．∵DM平分∠ADC，∠C=90°．MC=ME．根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED．同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD．即AD=CD+AB．3.巧翻折, 造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等．即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．例5.如图，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD•垂直于∠ABC•的平分线BD 于D，BD交AC于E，求证：BE=2CD．分析：要证BE=2CD，想到要构造等于2CD的线段，结合角平分线，•利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形（△BCD ≌△BFD），然后证明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．证明：延长BA、CD交于点F∵BD ⊥CF （已知） ∴∠BDC=∠BDF=90° ∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠1=∠2 在△BCD 和△BFD 中21()()()BD BD BDC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩已知公共边已证∴△BCD ≌△BFD （ASA ） ∴CD=FD ，即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。

三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF.(第1题)题型2证明角相等2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E.求证：∠ADB＝∠CDE.(第2题)证明位置关系3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.(第3题)证明倍分关系4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.(第4题)证明和、差关系5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC.(第5题)证明不等关系6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.(第6题)专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造基本图形法1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.(第1题)翻折法2．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第2题)旋转法3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE ＋DF＝EF，求∠EAF的度数．(第3题)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4题)加倍折半法5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(第5题)截长补短法6．如图所示，AB∥CD，BE、CE分别为∠ABC、∠BCD的平分线，点E 在AD上．求证：BC＝AB＋CD.(第6题)专训三：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：先分类，再画图，后计算．当顶角和底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．当底和腰不确定时，分类讨论4．(2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－5|＋(10－y)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求∠B的度数．由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()(第10题)A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．(第11题)专训四：三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习了互逆命题与互逆定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形，线段垂直平分线与角平分线等常见的轴对称图形的性质与判定．本章的考点较多，也是中考的重点考查内容．互逆命题、基本事实、互逆定理1．下列命题是真命题的是()A．无限小数是无理数B．相反数等于它本身的数是0和1C．对顶角相等D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形2．下列命题及其逆命题是互逆定理的是()A．全等三角形的对应角相等B．若两个角都是直角，则它们相等C．同位角相等，两直线平行D．若a＝b，则|a|＝|b|全等三角形的性质与判定3．如图所示，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，那么图中的全等三角形有()A．3对B．2对C．1对D．0对(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，AC＝5，F是高AD和BE的交点，AD＝BD，则BF的长是()A．7 B．6 C．5 D．45．(2015·杭州)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC，求证：DM＝DN.(第5题)等腰三角形的判定与性质6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．8．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N.若AB＝6 cm，AC＝9 cm，则△AMN 的周长为________．9．(中考·淄博)如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD.(第9题)尺规作图10．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法如下：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB，AC.△ABC即为所要求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()(第10题)A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)线段垂直平分线与角平分线11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC 于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周长等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．点D是线段AC的中点(第11题)(第12题)12．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°13．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝12(AD＋AB)．问：∠1和∠2有何关系？并说明理由．(第13题)思想方法a．分类讨论思想14．等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角度数为________．15．(2014·安顺)已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足2a－3b＋5＋(2a＋3b－13)2＝0，则此等腰三角形的周长为() A．7或8 B．6或10C．6或7 D．7或10b．方程思想16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数．(第16题)c．转化思想17．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE＝12(AC－AB)．(第17题)答案专训一1．证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD ＝∠FAD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.2．证明：过点C 作CG ⊥AC 交AE 的延长线于G ，则CG ∥AB ，∴∠BAF ＝∠G.又∵AF ⊥BD ，AC ⊥CG ，∴∠BAF ＋∠ABF ＝90°，∠CAG ＋∠G ＝90°.∴∠ABF ＝∠CAG.在△ABD 和△CAG 中，⎩⎨⎧∠ABF ＝∠CAG ，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACG ＝90°，∴△ABD ≌△CAG(A .S .A .)．∴AD ＝CG ，∠ADB ＝∠G.又∵D 为AC 的中点，∴AD ＝CD ，∴CD ＝CG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.又∵AB ∥CG ，∴∠ABC ＝∠GCE.∴∠ACB ＝∠GCE.又∵CE ＝CE ，∴△CDE ≌△CGE(S .A .S .)．∴∠G ＝∠CDE.∴∠ADB ＝∠CDE.(第3题)3．证明：如图，连接ED ，FD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.在△BDE 和△CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CF ，∠B ＝∠C ，BE ＝CD ，∴△BDE ≌△CFD(S .A .S .)．∴DE ＝DF.又∵点G 是EF 的中点，∴DG ⊥EF.4．证明：∵AD ，BE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°，又∵∠BHD ＝∠AHE ，∴∠EBC ＝∠EAH.在△BCE 和△AHE 中，⎩⎨⎧∠EBC ＝∠EAH ，BE ＝AE ，∠BEC ＝∠AEH ＝90°，∴△BCE ≌△AHE(A .S .A .)．∴AH ＝BC.又∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝2BD ，∴AH ＝2BD.5．证明：如图，延长CB 至E ，使BE ＝BA ，则∠BAE ＝∠E.∵∠ABC ＝2∠C ＝2∠E ，∴∠E ＝∠C ，∴AE ＝AC.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC.∵∠BAE ＝∠E ，∠E ＝∠C ，∴∠BAE ＝∠C.又∵∠EAD ＝∠BAE ＋∠BAD ，∠EDA ＝∠C ＋∠DAC ，∴∠EAD ＝∠EDA.∴AE ＝DE.∴AC ＝DE ＝BE ＋BD ＝AB ＋BD.(第5题)(第6题)6．证明：如图，在AB 上截取AE ，使AE ＝AC ，连接PE.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD.在△AEP 和△ACP 中，⎩⎨⎧AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ACP(S .A .S .)，∴PE ＝PC.在△PBE 中，BE ＞PB －PE ，∴AB －AC ＞PB －PC.专训二1．证明：如图，过点B 作BG ⊥BC 交CF 的延长线于点G.∵∠ACB ＝90°，∴∠2＋∠ACF ＝90°.∵CE ⊥AD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠1＋∠ACF ＝180°－∠AEC ＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD 和△CBG 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AC ＝CB ，∠ACD ＝∠CBG ＝90°，∴△ACD ≌△CBG(A .S .A .)．∴∠ADC ＝∠G ，CD ＝BG.∵点D 为BC 的中点，∴CD ＝BD.∴BD ＝BG.又∵∠DBG ＝90°，∠DBF ＝45°，∴∠GBF ＝∠DBG －∠DBF ＝90°－45°＝45°.∴∠DBF ＝∠GBF.在△BDF 和△BGF 中，⎩⎨⎧BD ＝BG ，∠DBF ＝∠GBF ，BF ＝BF ，∴△BDF ≌△BGF(S .A .S .)．∴∠BDF ＝∠G.∴∠ADC ＝∠BDF.点拨：本题运用了构造基本图形法，通过作辅助线构造△CBG 、△BGF 是解题的关键．(第1题)(第2题)2．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE.∵BD ⊥AD ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°，∴△ABD ≌△FBD(A .S .A .)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB ＝∠1＋∠C ，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3题)3．解：如图，延长CB 到点H ，使得BH ＝DF ，连接AH.∵∠ABE ＝90°，∠D ＝90°，∴∠ABH ＝∠D ＝90°.在△ABH 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABH ＝∠D ＝90°，BH ＝DF ，∴△ABH ≌△ADF.∴AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF.∴∠BAH ＋∠BAF ＝∠DAF ＋∠BAF ，即∠HAF ＝∠BAD ＝90°. ∵BE ＋DF ＝EF ，∴BE ＋BH ＝EF ，即HE ＝EF.在△AEH 和△AEF 中，⎩⎨⎧AH ＝AF ，AE ＝AE ，EH ＝EF ，∴△AEH ≌△AEF.∴∠EAH ＝∠EAF.∴∠EAF ＝12∠HAF ＝45°.点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，使AD 边与AB 边重合，得到△ABH.4．证明：过点O 作OD ∥BC 交AB 于点D ，∴∠ADO ＝∠ABC. ∵∠BAC ＝60°，∠C ＝40°，∴∠ABC ＝80°.∴∠ADO ＝80°.∵BQ 平分∠ABC ，∴∠QBC ＝40°.∴∠AQB ＝∠C ＋∠QBC ＝80°.∴∠ADO ＝∠AQB.易知∠DAO ＝∠QAO ，OA ＝OA ，∴△ADO ≌△AQO.∴OD ＝OQ ，AD ＝AQ.∵OD ∥BP ，∴∠PBO ＝∠DOB ，又∵∠PBO ＝∠DBO ，∴∠DBO ＝∠DOB.∴BD ＝OD.∴BD ＝OQ.∵∠BAC ＝60°，∠ABC ＝80°，BQ 平分∠ABC ，AP 平分∠BAC ， ∴∠BAP ＝30°，∠ABQ ＝40°，∴∠BOP ＝70°.∵∠BAP ＝30°，∠ABC ＝80°，∴∠APB ＝70°.∴∠BOP ＝∠APB ，∴BO ＝BP.∴AB ＋BP ＝AD ＋DB ＋BP ＝AQ ＋OQ ＋BO ＝BQ ＋AQ.5．解：在DC 上截取DE ＝BD ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AD 是线段BE 的垂直平分线，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB.∵AB ＋BD ＝CD ，DE ＝BD ，∴AB ＋DE ＝CD.而CD ＝DE ＋EC ，∴AB ＝EC ，∴AE ＝EC.故设∠EAC ＝∠C ＝x ，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.6．证法一：用截长法，如图①所示，在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.(第6题)因为BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，所以∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE.在△ABE 和△FBE 中，因为⎩⎨⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，所以△ABE ≌△FBE.所以∠A ＝∠EFB.因为AB ∥CD ，所以∠A ＋∠D ＝180°.因为∠BFE ＋∠EFC ＝180°，所以∠EFC ＝∠D.在△EFC 和△EDC 中，因为⎩⎨⎧∠FCE ＝∠DCE ，∠EFC ＝∠D ，EC ＝EC ，所以△EFC ≌△EDC.所以FC ＝DC.所以BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CD.证法二：用补短法，如图②所示，延长BE 交CD 的延长线于点G.因为AB ∥CD ，所以∠ABE ＝∠G.因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠CBE.所以∠CBE ＝∠G.因为CE 平分∠BCD ，所以∠BCE ＝∠GCE.在△BEC 和△GEC 中，因为⎩⎨⎧∠CBE ＝∠G ，∠BCE ＝∠GCE ，CE ＝CE ，所以△BEC ≌△GEC.所以BC ＝GC ，BE ＝GE.在△ABE 和△DGE 中，因为⎩⎨⎧∠ABE ＝∠G ，∠AEB ＝∠DEG ，BE ＝GE ，所以△ABE ≌△DGE.所以AB ＝DG.所以BC ＝CG ＝GD ＋DC ＝AB ＋CD.专训三1．D 2.C 3.32°4．C 5.23或25 6.257．解：设等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D.(1)当高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC 的内部，如图①，∵∠DBC ＝25°，∴∠C ＝90°－∠DBC ＝90°－25°＝65°，∴∠ABC ＝∠C ＝65°，∠A ＝180°－2×65°＝50°.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC 的内部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠A ＝90°－∠ABD ＝65°，∴∠C ＝∠ABC ＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC 的外部时，∵∠ABD ＝25°，∴∠BAD ＝90°－∠ABD ＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.(第8题)9．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD.(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，则AB－BC＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝8 cm；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，则BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝2 cm；但是当AB＝2 cm时，三边长为2 cm，2 cm，5 cm，而2＋2＜5，不符合三角形三边关系，故舍去，故腰长为8 cm.10．B11．解：(1)当点D，E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，(第11题)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D，E在点A的同侧，且点D在D′的位置，点E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D，E在点A的两侧，且点E在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D，E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.专训四1．C 2.C 3.A 4.C5．证明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝23AB，AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15 cm9．证明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB ＝AD.10．C 11.D 12.D(第13题)13．解：∠1与∠2互补．理由：作CF ⊥AN 于F(如图)，∵AC 平分∠MAN ，∴∠3＝∠4，又∵CE ⊥AM ，CF ⊥AN ，∴CF ＝CE ，∠CFA ＝∠CEA ＝90°，∴Rt △ACF ≌Rt △ACE ，∴AF ＝AE.∵AE ＝12(AD ＋AB)＝12(AF －DF ＋AE ＋BE)＝AE ＋12(BE －DF)，∴BE －DF ＝0，∴BE ＝DF ，又CE ＝CF ，∠CEB ＝∠CFD ，∴△DFC ≌△BEC(S .A .S .)，∴∠5＝∠2，∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°.即∠1与∠2互补．14．70°或40° 点拨：本题运用了分类讨论思想，将已知条件外角等于110°分为底角处的外角和顶角处的外角两种情况进行讨论，解题时要防止漏解．15．A 点拨：∵2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，∴⎩⎨⎧2a －3b ＋5＝0，2a ＋3b －13＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3. 当a 为底边长时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b 为底边长时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7.综上所述，此等腰三角形的周长为7或8.16．解：设∠ABD 的度数为x.∵AD ＝DE ＝EB ，∴∠A ＝∠AED ＝2∠ABD ＝2x.∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝3x.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x.∴∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝8x ＝180°.∴x ＝22.5°.∴∠A ＝2x ＝45°.17．证明：如图，延长BE 交AC 于F.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠FAE.(第17题)在△ABE 和△AFE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∴△ABE ≌△AFE(A .S .A .)．∴∠ABF ＝∠AFB ，BE ＝FE ，AB ＝AF.∴BE ＝12BF.∠ABC ＝∠ABF ＋∠FBC＝∠AFB ＋∠FBC ＝∠C ＋∠FBC ＋∠FBC ＝∠C ＋2∠FBC ，又∵∠ABC ＝3∠C ，∴3∠C ＝∠C ＋2∠FBC.∴∠C ＝∠FBC.∴BF ＝CF.∴BE ＝12CF.∵CF ＝AC －AF ＝AC －AB ，∴BE ＝12(AC －AB)．点拨：本题运用了转化思想，通过添加辅助线构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质将AC 与AB 的差转化为AC 与AF 的差是解题的关键．。

三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．题型五：线段的垂直平分线例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．的中点，ABC ，则BED 的面积为（【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键．【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△．【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意；当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意；当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意；当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．八年级期末）如图，在ABC 中，【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠．故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等

全等三角形综合复习1. 全等三角形的概念及性质；2. 三角形全等的判定；3. 角平分线的性质及判定。

知识点一：证明三角形全等的思路通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求证：ACF BDE ∆≅∆。

知识点二：构造全等三角形例 2. 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

求证：21C ∠=∠+∠。

例3. 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接,AE EF 和CF 。

求证：AE CF =。

知识点三：常见辅助线的作法1. 连接四边形的对角线例4. 如图，AB //CD ，AD //BC ，求证：AB CD =。

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

2. 作垂线，利用角平分线的知识例5.如图，,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线，它们交于点P。

求证：BP为MBN∠的平分线。

解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

3. “截长补短”构造全等三角形例 6.如图，在ABC∆中，AB AC>，12∠=∠，P为AD上任意一点。

求证：AB AC PB PC->-。

全等三角形和角平分线专题讲解

CE O D BA21C E DBA 2143C O B A全等三角形专题讲解专题一全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º，∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．GA B F D E C ODA CB 要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2．即∠3=∠4，所以BO=CO ．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ， CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如右图示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ． ∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生FCEDBA CEDBAA OQ M CPBN A D C PBHF EGAD CBA学生用数学的意识﹒练习：1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ．求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图，∠A=∠D ，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能AD CBAODCBAFCGBEAF DCB E7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．8．如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．10．已知：如图，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带①和②去 (B)带①去(C)带②去 (D)带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并43O E DC B A 21F ED C BA 2113．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O 连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OAB 的理由是（）（A ）边角边（B ）角边角（C ）边边边（D ）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC=︒90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ．在△ACD 和△BCE 中，∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4． ∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝︒90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．求证：AE=ED ．A FH D CG B EA D CB E A F DC B E CEBA D点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ． ∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ， ∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ． ∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ． ∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ． ∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ．在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ， ∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ，即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ．∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．例11 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ． 1CF E BADQPCBACB AD 然后再证明CD 与这两条线段都相等．证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．∵DF ∥AB ，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3，∴DF=BF ．∵DE ⊥BD ，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C ，CD=DF ． ∴CD=EF=BF ，即CD=21BE ．练习：1．如图，在△ABC 中，∠B=90º， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．CEBA D CB AD4321C EBADCEBADCBAD5．如图，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．求证：AB -AC ＞EB -EC ．6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ， AD=CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A+∠C=180º．7．如图所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知，如图，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC ，∠A=100º， BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．ACB D ACF E B MD10．如图，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（） A ．9 B ．8 C ．7 D ．611．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．12．已知：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。

角平分线定理证明过程

角平分线定理证明过程1. 引言角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了一个角的平分线与角的两边所构成的比例关系。

在本文中，我们将详细介绍角平分线定理的证明过程。

2. 定理表述设在三角形ABC中，有一条从顶点A出发的角平分线AD，它将∠BAC平分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。

那么，根据角平分线定理可知：AB/AC = BD/DC3. 证明过程为了证明角平分线定理，我们需要利用几何性质和一些基本的推导。

下面是证明过程的详细步骤：步骤1：延长AD首先，在三角形ABC中，从点D出发向BC方向延长AD到点E。

即使得AD=DE。

步骤2：观察△ABD与△AEC由于∠BAD和∠DAC是相等的（根据题设），我们可以得到以下结论：∠ABD = ∠DAC又因为直角三角形ABD与AEC有共同边AD，所以可以推导出：∠ABD = ∠AEC根据等角定理，我们可以得到以下结论：△ABD与△AEC是全等的步骤3：观察△BDA与△CED由于△ABD与△AEC是全等的，我们可以得到以下结论：∠BDA = ∠CEA又因为直角三角形BDA与CED有共同边AD，所以可以推导出：∠BDA = ∠CED根据等角定理，我们可以得到以下结论：△BDA与△CED是全等的步骤4：观察比例关系根据步骤3中的结果，我们知道△BDA与△CED是全等的。

那么，它们的边长比例也应该相等。

根据全等三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BD/CE = BA/EA （1）又因为直线DE平行于BC（根据步骤1），所以根据平行线分割比例定理可知：BD/DC = BA/AC （2）将（1）和（2）两式进行比较，我们可以发现它们具有相同的左侧分子和右侧分母。

因此，我们可以得出以下结论：AB/AC = BD/DC这就证明了角平分线定理。

4. 总结通过以上证明过程，我们成功地证明了角平分线定理。

该定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了角的平分线与角的两边所构成的比例关系。

角平分线的性质与全等三角形

角平分线的性质与全等三角形一、知识回顾1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

∵△ABC≌△A＇B＇C＇∴AB=A＇B＇,BC=B＇C＇,AC=A＇C＇; ∠A=∠A＇, ∠B=∠B＇, ∠C=∠C＇二、典型例题例1：下列定理中逆定理不存在的是（）A．角平分线上的点到这个角的两边距离相等B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C．同位角相等，两直线平行D．全等三角形的对应角相等分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的，选项D的逆定理是不存在的．解答：A、角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确；B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确；C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确；D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在．故选D．___________________________________________________________________________ ___例2：如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等的理由是（）A．SAS B．AASC．SSS D．ASA分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．解答：由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．故选B．___________________________________________________________________________ ___例3：已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法，正确的有（）①DE=DF，②AE=AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图**有3对全等三角形．A．B． 3个C．4个D．5个分析：根据题意可以推出DE=DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．解答：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，AD平分∠EDF．故选B．___________________________________________________________________________ ___例4：（2002·四川）以下命题中，真命题是（）①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．A．①、③B．①、④C．①、②、④D．②、③、④分析：同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；全等三角形的面积比相等．解答：A、根据平面内两条直线的位置关系，故正确；B、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；C、不符合全等三角形的判定定理，故错误；D、根据全等三角形的定义，故正确．故选B．___________________________________________________________________________ ___例5：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）A．∠DAE=∠CBE B．CE=DEC．△DEA不全等于△CBE D．△EAB是等腰三角形分析：由题中条件可得，△ABD≌△BAC，由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得△ADE≌△BCE，所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△EAB为等腰三角形，进而可得出结论．解答：∵∠1=∠2，∠C=∠D，且AB为公共边，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，又∠1=∠2，∴∠DAE=∠CBE，A正确；又AD=BC，∠D=∠C，∴△ADE≌△BCE，C错误；∴CE=DE，B正确；∵∠1=∠2△EAB为等腰三角形，D正确．故C错，选C．三、解题经验角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。

三角形的全等判定(ASA、AAS、SSS、HL)和角的平分线

三角形的全等判定一、证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思咱有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。

例如：易得两边对应相等，则应再找⎩⎨⎧）第三边相等（夹角相等2)1(，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。

二、全等三角形的应用证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。

三、添辅助线构造全等三角形常见的辅助线有：如下图，△ABC 中，BD=DC ，延长AD 到E ，使DE=AD ，连结CD 或BE 。

则有结论△CDE ≌△BDA 或△BDE ≌△CDA ②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC ，则在AB 必有结论△ADE ≌△ADC.如图(2)，若延长AC 到E ，使AE=AB ，连结DE ，必有结论△ADE ≌△ADB.例1 已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB 。

求证：AB=DC 。

分析：要证AB=DC ，只需证明△ABC ≌DCB 。

证明：说明：证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。

本例要证明AB=DC ，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。

_ C _例2 已知：如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：BE ⊥AC 。

分析：本题考察“HL ”公理的应用。

要证BE ⊥AC ，可证∠C+∠1=90°，而∠2+∠1=90°，只需证∠2=∠C 。

从而转化为证明它们所在的△BDF 与△ADC 全等，而这由“HL ”公理不难得证。

全等三角形证明方法归纳经典-（1）

..【第1部分全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。

（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。

（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。

（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。

（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。

（3）全等三角形周长，面积相等。

4、寻找对应元素的方法图3图1图2（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，如果两个三角形全等，那么，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（①边边边（SSS SSS SSS）） ②边角边（②边角边（SAS SAS SAS）） ③角边角（③角边角（ASA ASA ASA）） ④角角边（④角角边（AAS AAS AAS）） ⑤斜边，直角边（⑤斜边，直角边（HL HL HL））注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA AAA；；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA SSA。

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

初中数学_三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线一.命题的证明及应用在中考常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．证明：如图１：∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①∠1＋∠2＋∠D=180°②①－②得：∠1＋∠2＋∠A＝∠D③由②得：∠1＋∠2=180°－∠D④把③代入④得：∴180°－∠D＋∠A＝∠D∠D=90°+∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．证明：如图２：∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠2=180°－（∠DBE+∠DCF）=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）=180°－（∠A+180°）=180°－∠A－90°=90°－∠A；点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①∠1+∠E=∠4②①×代入②得：∠E=∠A．点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EFCE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH∵EG=EH∴AE是△ABC的外角平分线．点评利用角平分线的性质和判定能够证明．应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．可以直接得：∠=×96°=3°．点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．例３（203陕西第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD 的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．例４(2003年山东省)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°点评从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．二.角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

全等三角形及角平分线难题ppt解答

1 这样的点共有_________ 个。 9、如图所示，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC， 5 则△PDE的周长是_________________ cm。 10、在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD： 6cm DB=3：5，则D到AB的距离等于_________ 。
（二）填空题 6、如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE， 55O ∠1=250，∠2=300，则∠3=________________
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7、如图所示，DA⊥AB，EA⊥AC，AB=AD，AC=AE， 90O BET和CD相交于O，则∠DOE的度数是_______________. 角平分线 8、到三角形三边距离相等的点是三角形的___________ 交点，
∴△ADE≌△BCF(SAS) ∴∠E=∠F ∴DF∥BF 例2、如图所示，AD=BC，FD=EB，AB=CD，求证∠E=∠F. 证明：易证：△ADB≌△BCD(SSS) ∴ ∠ABD=∠CDB ∴ ∠BDF=∠EBD 又BE=DF,BD=BD ∴ △EDB≌△BFD(SAS)
例3、如图所示，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF=BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG=CE，求证： AF=AG. 证明：∵AE=BE,GE=CE, ∠AEG=∠CEB ∴ △ECB≌△GAE(SAS) 同理AF=BC ∴AG=AF
∴∠EDC=∠C=40O
易证△AEB≌△FEB(SAS),∴∠EFB=∠A=100O ∴ED=EF
∴BC=BD+DC=BE+AE.
例7、已知：如图所示PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线，它们交于P；PD⊥BM于D，PF⊥BN于E，则BP是∠MBN的平分线吗？说明理由。是。 ∵PA、PC分别是△ABC的外角∠MAC、∠NCA的平分线又∵PD⊥BM，PF⊥BN ∴PM=PE=PF, ∴BP是∠MBN的平分线。

全等三角形题型归类及解析

全等三角形题型归类及解析全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线具有轴对称性，因此我们可以充分利用这一特点，常用的辅助线有两种：一是利用截取的线段构造全等三角形，二是通过平分线上的一点作两边的垂线。

此外，还要掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。

例如，在三角形ABC中，点D在边BC上，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长度。

又如，在图中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，要判断PM与PN的关系。

还有，在△ABC中，E在边AC上，且∠AEB=∠ABC，要证明∠ABE=∠C；如果∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，且AB=5，AC=8，要求DC的长度。

2、中点型由中点可产生以下XXX：1、中线、倍长中线2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线4、三角形的中位线例如，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥XXX于D，BE平分∠ABC，且∠ABC=45°，与CD相交于点F，H是BC边的中点，DH与BE相交于点G，要证明BF=AC和CE=BF/2.还有，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，要判断BE+CF与EF的大小关系，并证明结论。

又如，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，要证明AF=EF。

3、多个直角型除了以上两种常见的题型，还有一些涉及多个直角的题目，需要运用勾股定理和全等三角形的性质来解决。

例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，要证明XXX。

要证明BE=CF，根据题目已知，AD是BC的中线，所以AD=DC，又因为DF=DE，所以三角形ADF和CED相等，所以∠A=∠C，即AB∥CF，同理可得BE∥AC，所以BE=CF，证毕。

中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(一)全等类

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC 的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED ＝△ACD，又由△ACB＝2△B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝CD．【详解】（1）猜想：AB AC CD=+．AB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△．△ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析 (3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：△AD 平分EAC ∠，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，△180180AED ACD ︒-∠=︒-∠，即FED ACB ∠=∠，△2ACB B ∠=∠，△2∠=∠，FED B又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，+===，△AB AE EB ED CD△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC 的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED （SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE ACBAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD△△AED（SAS）．△△AED=△C=90°，CD=ED，又△△ACB=2△B，△C=90°，△△B=45°．△△EDB=△B=45°．△DE=BE，△CD=BE．△AB=AE＋BE，△AB=AC＋CD．（2）证明：在AB取一点E使AC=AE，在△ACD和△AED中，AC AEBAD EADAD AD＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩,△△ACD△△AED，△△C=△AED，CD=DE，又△△C=2△B，△△AED=2△B，△△AED是△EDC的外角，△△EDB=△B，△ED=EB，△CD=EB，△AB=AC+CD；（3）猜想：AB=CD﹣AC证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析．【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1图2图3D B邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△ABCD 的周长为56，AB BC +=BE 平分∠EQ EF ==ABC S S ∆∆=【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ．（1）如图1，若CD △OA ，CE △OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系；（2）如图2，若△AOB =120°，△DCE =△AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM△OA于M，CN△OB于N，证明△CMF△△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：△OP平分△AOB，CF△OA，CG△OB，△CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM△OA，CN△OB，△OP平分△AOB，CM△OA，CN△OB，△AOB=120°，△CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC=△BOC=60°（角平分线的性质），△△DCE=△AOC，△△AOC=△BOC=△DCE=60°，△△MCO=90°-60° =30°，△NCO=90°-60° =30°，△△MCN=30°+30°=60°，△△MCN=△DCE，△△MCF=△MCN-△DCN，△NCG=△DCE-△DCN，△△MCF=△NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

证明全等三角形的对应角平分线相等

证明全等三角形的对应角平分线相等
设两个全等三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。

我们需要证明角A的平分线与角D的平分线相等。

首先，我们可以通过SAS（边-角-边）条件得出两个三角形的第三边相等，即AC=DF。

然后，我们可以通过ASA（角-边-角）条件得出两个三角形的第二边相等，即∠BAC=∠EDF。

接下来，我们需要证明∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相等。

假设∠BAC的平分线与∠EDF的平分线交于点O。

我们可以通过AO和DO分别连接点A和点D，然后利用三角形AOB和三角形DOD的相似性来证明AO/DO=AB/DE=1（根据题设条件）。

因此，AO=DO，即∠BAO=∠EDO。

同理，我们可以通过BO和EO分别连接点B和点E，然后利用三角形BOA和三角形EOD的相似性来证明BO/EO=BA/ED=1（根据题设条件）。

因此，BO=EO，即∠ABO=∠EDO。

由于∠BAO=∠EDO且∠ABO=∠EDO，所以∠BAO=∠ABO。

因此，∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相等。

综上所述，我们证明了全等三角形的对应角平分线相等。

角平分线和全等三角形证明分类

精锐教育学科教师辅导讲义之宇文皓月创作学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T 角平分线C专题精讲授课日期时段教学内容1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB。

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB，∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，而且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．【例题讲解】1．在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。

2．如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB3.如图，P 为∠AOB 内一点，OA=OB ，且△OPA 与△OPB 面积相等，求证∠AOP=∠BOP.4.如图，AB=AC ，AD=AE ，BD 、CE 交于O ，求证AO 平分∠BAC.EDCBAEABCD F【同步练习】1.在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE 相等？为什么？⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长2．已知，如图DABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点。