K12推荐学习四川省成都石室中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 理

四川省成都石室中学2018-2019学年高二数学10月月考试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.已知集合(){}(){}2
2
,10,,1A x y x y B x y x y A B =
+-==+=⋂=，则 （ ）
A.{}01，
B.()(){}0110，，，
C. (){}01，
D.(){}10，
2.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2
224x y +-=所截得的弦长为（ ）
A.12 3.设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则
的
值是（ ）
A. 2
B.
C.4
D.
4.下列函数中，与函数3
y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）
A.y =
B.tan y x =
C.1y x x
=+
D.x x
y e e -=-
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ ）
A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
C.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D.3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A.
1
3
B.
32 C.1
2
D.1
7.如图所示，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是AC 的中点，1AA =， 则异面直线1AB 与BD 所成的角为( )
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
8.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线． 已知ABC ∆的顶点()()2,0,0,4A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（ ）
A.()4,0-
B.()3,1--
C.()5,0-
D.()4,2--
9.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若
该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ ）
A.
81500π B. π4 C. 925π D.9
100π
10.平行四边形
内接于椭圆
，直线
的斜率
，则直线
的斜率
( )
A. B. C. D.
11.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点O 的对称点为Q ，OP b =，113PF QF =，
则E 的离心率为（ ）
2 12.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，1260F PF ∠=︒，记椭圆和
双曲线的离心率分别12,e e ，则22
12e e +的最小值是（ ）
A.1+
D. 3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为________.
14.设12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点,点(),M a b ,若
1230MF F ∠=︒,则双曲线的渐近线方程为_________.
15.在平面直角坐标系x O y 中，点Q 为圆1)4()3(2
2
=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的
最大值是________.
16.已知F 是椭圆C ：22
12516
x y +
=的右焦点，P 是椭圆上一点，36(0,)5A ，当AFP △周长最大时，该三角形的面积为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
18. (本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程．
19.(本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==． （Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
20. (本小题满分12分)
如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，1BC =.P 是ABC △内一点，且90BPC ∠=︒.
（Ⅰ）若30ABP ∠=︒，求线段AP 的长度； A
C B B 1 C 1
A 1
D
（Ⅱ）若120APB ∠=︒，求ABP △的面积.
21. (本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为12⎫⎪⎭ .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 被直线OP 平
分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.
22. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点
F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 的斜率为0时，
7AB CD +=.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求AB CD +的取值范围.
高二数学理科
1.已知集合(){}(){}
2
2,10,,1A x y x y B x y x y A B =
+-==+=⋂=，则 （ B ）
A.{}01，
B.()(){}0110，，，
C. (){}01，
D.(){}
10，
2.过原点且倾斜角为30︒的直线被圆()2
224x y +-=所截得的弦长为（ D ）
A.12 3.设椭圆
的左焦点为，直线与椭圆交于
两点，则的
值是（ C ） A. 2 B.
C.4
D.
4.下列函数中，与函数3
y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）
A.y =
B.tan y x =
C.1
y x x
=+
D.x x
y e e -=-
5.当曲线y =240kx y k -+-=有两个相异的交点时,实数k 的取值范围是 （ C ）
A. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
C. 3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 3,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线
段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ C ）
A.
1
3
B.
32 C.1
2
D.1
7.如图所示，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 是AC 的中点，1AA =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为( C )
A.30︒
B.45︒
C.60︒
D.90︒
8.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这
条直线为欧拉线．已知A B C ∆的顶点()()2,0,0,4
A B ，若其欧拉线的方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标为（A ）
A.()4,0-
B.()3,1--
C.()5,0-
D.()4,2--
9.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若
该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（ D ）
A.
81500π B. π4 C. 925π D.9
100π
10.平行四边
形
内接于椭
圆，直
线的斜
率，则直
线的斜率
( B ) A. B.
C ．
D.
11.已知双曲线E ：22
221x y a b
-= ()0,0a b >>，点1F 为E 的左焦点，点P 为E 上位于第一
象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足113PF QF =，若O 为双曲线E 的中心，
OP b =，则E 的离心率为（ B ）
C.2
12.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F ，P 是它们的一个交点，1260F PF ∠=︒，记椭圆和
双曲线的离心率分别12,e e ，则22
12e e +的最小值是（A ）
A.1
D. 3 13.等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若2n
n S a =+，则实数a 的值为 1-
14.设12,F F 分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左右焦点,点(),M a b ,若
1230MF F ∠=︒,则双曲线的渐近线方程为
_____y =____.
15.在平面直角坐标系x O y 中，点Q 为圆1)4()3(2
2
=-++y x 上的一动点，直线
02:1=+-k y kx l 与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ．则当实数k 变化时，线段PQ 长的最大值是 8 .
16.已知F 是椭圆C ：22
12516
x y +
=的右焦点，P 是椭圆上一点，36(0,)5A ，当AFP △周长最大时，该三角形的面积为_________5
144_________.
17.(本小题满分10分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为12，且248,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n a
n b 2=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .依题意有
123242812,.
a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即12
14,
0.a d d a d +=⎧⎨-=⎩ 由0d ≠，解得1
2,2.
a d =⎧⎨=⎩
所以2n a n =. ………………………6分
（Ⅱ）所以2224n a n n n b ===.
因为1
1144,44
n n n n b b b ++===，……………8分
所以数列{}n b 是以4为首项，4为公比的等比数列.
所以4(14)4(41)143n n
n S -==--. ………………10分
18. (本小题满分12分)
已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到定点()1,0A -的距离与到定点()1,0B
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点()1,2M 的直线l 与曲线C 交于两点,M N ，若4MN =，求直线l 的方程． 解：
（Ⅰ）由题意得PA PB ……2分
=
……3分
化简得：2
2
610x y x +-+=（或2
2
(3)8x y -+=）即为所求． ……5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22
610x y x +-+=得2y =±，
所以4MN =，满足题意。

……8分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()21y k x -=- 由
圆
心
()
3,0到直线20kx y k --+=的距
离
2d ==
……10分
解得，此时直线l 的方程为2y =
综上所述，满足题意的直线l 的方程为：1x =或2y =. ……12分
19. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．
（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1；
（Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．
（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，
所以AD BC ⊥．
因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，
所以1BB ⊥底面ABC ．
又因为AD ⊂底面ABC ，所以1BB AD ⊥. 而1B B
BC B =,
所以AD ⊥平面11BB C C ．
因为AD ⊂平面1AB D ，所以平面1AB D ⊥平面11BB C C ．……………………4分
（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A B
AB E =，连接DE ．
由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点.
因为D 是BC 的中点， 所以1//DE AC ． 又因为DE ⊂平面D AB 1，
1
AC ⊄平面D AB 1， 所以C A 1∥平面D AB 1． ……………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1， A
C B
B 1
C 1
A 1
D
A
C
B
B 1
C 1
A 1
D
E
所以1A 与C 到平面D AB 1的距离相等， 所以111A AB D C AB D V V --=．
由题设及12AB AA ==，得12BB =
，且ACD S ∆=
．
所以1111123323
C AB
D B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯=⨯=，
所以三棱锥11A AB D -
的体积为11A AB D V -=． ………………………12分
20. (本小题满分12分)
如图，在ABC △中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，1BC =.P 是ABC △内一点，且90BPC ∠=︒.
（Ⅰ）若30ABP ∠=︒，求线段AP 的长度； （Ⅱ）若120APB ∠=︒，求ABP △的面积. 解：（Ⅰ）因为=
6
PBC ∠π
， 所以在Rt PBC 中，=2BPC ∠π ，=1BC ，=3
PBC ∠π
， 所以1
=
2
PB ． 在APB 中，=
6ABP ∠π ，1
=2
BP
，AB ，
由余弦定理得222117
=+-2cos =3+
-2424
AP AB BP AB BP PBA ⋅⋅∠⋅ ，
所以=
2
AP ．…………4分 （Ⅱ）设=PBA α∠ ，则=PCB α∠ ，
在Rt PBC 中，=2
BPC π
∠ ，=1BC ，=PCB α∠ ，
所以PB=sin α ，
在APB 中，=ABP α∠ ，=sin BP α
，AB ，2=
3
APB π
∠ ，
由正弦定理得sin =
2sin
sin -33αππα⎛⎫
⎪⎝⎭ ，…………8分
所以11
sin =-sin 222ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以sin =cos 2
αα ， 又22sin +cos =1αα ，
所以2
3sin =7α ，
所以211S =sin =22ABP AB BP ABP α⋅⋅∠…………12分
21. (本小题满分12分)
直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为12⎫⎪⎭ . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知点()2,1P ，不经过原点的直线l 与椭圆C 相交于AB 两点，线段AB 被直线OP 平
分，且0PA PB ⋅=.求直线l 的方程.
解：
（Ⅰ）设椭圆方程为22
2213x y b b
+=+，代入点12⎫⎪⎭，得
， 故椭圆方程为2
214
x y +=. ……………4分
（Ⅱ）由条件知OP ：1
2
y x =，
设l ：y kx m =+ ()0m ≠ 代入2
214
x y +=得
()222148440k x kmx m +++-=
122814km x x k +=-+ ，2122
44
14m x x k
-=+………………6分 AB 中点224,1414km
m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线OP 上 ， 2221414m km k k =-++ ，1
2
k =- ………………8分
此时122x x m +=，2
1222x x m =-
0PA PB ⋅=，()()1212112211022x x x m x m ⎛⎫⎛⎫
--+-+--+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()212125341042m x x x x m +-+++-= 解得1m =，满足，
故所求直线方程为
. ………………12分
22. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
()22
22
10x y a b a b
+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，.当直线AB 的斜率为0时，7AB CD +=.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求AB CD +的取值范围. 解：
小初高试卷+教案
K12学习精品WIRD （Ⅰ）由题意知，12
c e a ==，∴22222,4,3.a c a c b c === 当直线AB 的斜率为0时，2,AB a = 72CD a ∴=-.
2222, 72,b b CD a a a
=∴-= 解得得221,4,3c a b ===. ∴椭圆的方程为22
143
x y +=.……………………4分 （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=.……5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，()1,0F ，
设()()1122,,,,A x y B x y 直线AB 的方程为()1y k x =-，则直线CD 的方程为
1(1)y x k
=--. 将直
线AB 的方程代入椭圆方程，整理得()22223484120
k x k x k +-+-=，………………7分
解得2
12434k x k +=+，2224
34k x k
-=+. ()212212134k AB x k
+∴=-=+.……………………8分 同理,()2222112(1)1214343k k CD k k
++==++. ……………………9分 ()()()()()2222222212112184134343434k k k AB CD k k k k +++∴+=
+=++++. 令()211t k t =+>，则23441k t +=-，23431k t +=+.
设()()()222413*********(),24
t t f t t t t t -+==-++=--+ ()()(1491, 0,1, 12,.4t f t t ⎤>∴∈∴∈⎥⎦())8448,77AB CD f t ⎡∴+=∈⎢⎣
. 综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48,7.7⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
……………………12分。