第二章《二次函数》单元检测试题A

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人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷一．选择题（共10小题）1．二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w=s-t，（s为常数）则w的值（）A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（-2，-9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a-b+c=0；④若方程a（x+5）（x-1）=-1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则-5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为-8．其中正确的结论有（）个A．2 B．3 C．4 D．53．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．4．将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y=（x+1）2-13 B．y=（x-5）2-5C．y=（x-5）2-13 D．y=（x+1）2-55．如果二次函数y=x2+2x+t与一次函数y=x的图象两个交点的横坐标分别为m、n，且m ＜1＜n，则t的取值范围是（）A．t＞-2 B．t＜-2 C．t＞14D．t＜146．已知抛物线y=-x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]=|x|+|y|．若抛物线y=ax2+bx+1与直线y=x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t=2b2-4a+2020，则t的取值范围为（）A．2017≤t≤2018B．2018≤t≤2019C．2019≤t≤2020D．2020≤t≤20212x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．将函数y=-x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．410．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4．则min{-x2+1，-x}的最大值是（）A．√5−12B．√5+12C．1 D．0二．填空题（共6小题）11．抛物线y=（k-1）x2-x+1与x轴有交点，则k的取值范围是12．对于任意实数m，抛物线y=x2+4mx+m+n与x轴都有交点，则n的取值范围是13．当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x+5有最大值m，则m=14．在平面直角坐标系中，已知A（-1，m）和B（5，m）是抛物线y=x2+bx+1上的两点，将抛物线y=x2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为15．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（2，0），若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p（p＞0）有整数根，则p的值有个16．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y=x，y=-x均是“闭函数”．已知y=ax2+bx+c（a≠0）是“闭函数”，且抛物线经过点A（1，-1）和点B（-1，1），则a的取值范围是三．解答题（共7小题）17．已知抛物线C：y=x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A，B（点A在点B的左边），与y轴相交于C．（1）求直线BC的表达式．（2）垂直于y轴的直线l与直线BC交于点N（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2），Q （x3，y3）．若x1＜x2＜x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．19．某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是件，日销售利润是元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？20．某商场销售一批衬衫，进货价为每件40元，按每件50元出售，一个月内可售出500件．已知这种衬衫每涨价1元，其销售量要减少10件．（1）为在月内赚取8000元的利润，售价应定为每件多少元？（2）要想获得的利润最大，该商场应当如何定价销售？21．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y（件）是每件售价x（元）（x为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y关于x的函数解析式；（2）若用w（元）表示工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润，试求w关于x的函数解析式；（3）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是多少元？22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-√33x2−2√33x+√3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，当△PAC的面积最大时，求此时P点的坐标；（2）若点Q是抛物线对称轴上的动点，点M是抛物线上的动点，当以点M、A、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出此时Q点的坐标．x2+2x+2的顶点为A，且与y轴于点B，将抛物线C1沿y=a 23．如图，抛物线C1：y=-12对称后，得到抛物线C2与y轴交于点C．（1）求A、B两点坐标；（2）若抛物线C2上存在点D，使得△BCD为等腰直角三角形，求出此时抛物线C2的表达式．参考答案一、选择题二、填空题11、k≤54且k≠112、n≤−16413、1014、4 15、3 16、−12≤a<0或0<a≤12三、解答题17、18、19、20、21、22、23、。

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第22章二次函数单元测试题(A卷)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣24．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（）x﹣2 ﹣1 0 1 2 3y﹣4 0 2 2 0 ﹣4A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是．12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为．13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为．14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a ﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是．第15题第16题16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是m．三、解答题（共8小题，共72分）17．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（6分）（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．18．已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．（5分）19．已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：（9分）x…﹣1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …（1）求该二次函数的关系式；（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．20．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（8分）（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）21．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（8分）（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．22．某产品每千克的成本价为20元，其销售价不低于成本价，当每千克售价为50元时，它的日销售数量为100千克，如果每千克售价每降低（或增加）一元，日销售数量就增加（或减少）10千克，设该产品每千克售价为x（元），日销售量为y（千克），日销售利润为w（元）．（12分）（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）写出w关于x的函数解析式及函数的定义域；（3）若日销售量为300千克，请直接写出日销售利润的大小．23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）（12分）．（1）试求a，b所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（12分）（1）若点A的坐标是（﹣4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1、选C2、解：∵y=2（x﹣1）2+3，∴其顶点坐标是（1，3）．故选A．3、解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），可设新抛物线的解析式为y=3（x﹣h）2+k，代入得y=3（x+1）2﹣2．故选B．4、解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；B、正确，∵抛物线开口向上，∴a＞0；C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴﹣＞0．故选D．5、选D;6、选D7、解：由列表可知，当x=﹣1或x=2时，y=0；所以当﹣1＜x＜2时，y的值为正数．故选A．8、解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．选A9、选D；10、B二、填空题（每小题3分，共18分）11、解：根据题意得，解得．∴二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．12、解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1，当选x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1．13、解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）．14、解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，根据题意得利润y=（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）=﹣x2+10x+600=﹣（x﹣5）2+625，故为了获得最大利润，则应降价5元，最大利润为625元．15、②③．16、解：当y=0时，﹣x2+x+=0，解之得x1=10，x2=﹣2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．三、解答题（共8小题，共72分）17、解：（I）由已知，a=4，b=﹣11，得，∴该抛物线的对称轴是x=；（II）令y=0，得4x2﹣11x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣，∴该抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣，0），令x=0，得y=﹣3，∴，解得，∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5；（2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，所以，y1=m2﹣4m+5，y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2，y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3，∴①当2m﹣3＜0，即m＜时，y1＞y2；②当2m﹣3=0，即m=时，y1=y2；③当2m﹣3＞0，即m＞时，y1＜y2．20、解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5∵a=﹣＜0∴当x=﹣=时，y有最大值==；解法2：设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）∵点C（0，5）在图象上，∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣，∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=∵a=﹣＜0将x=30代入w=（600﹣10x）（x﹣20）=3000．23、解：（1）将A（1，0），B（0，l）代入y=ax2+bx+c，得：，可得：a+b=﹣1（2分）（2）∵a+b=﹣1，∴b=﹣a﹣1代入函数的解析式得到：y=ax2﹣（a+1）x+1，顶点M的纵坐标为，因为，由同底可知：，（3分）整理得：a2+3a+1=0，解得：（4分）由图象可知：a＜0，因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴x=，∴﹣1＜a＜0，∴舍去，则（1﹣）2=（1+）+2，解得：a=﹣1，由﹣1＜a＜0，不合题意．所以不存在．（9分）综上所述：不存在．（10分）24、解：（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（﹣4，4）．∴点C的坐标是（0，4）把A、C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得，，解得；②四边形AOBD是平行四边形；理由如下：由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4，∴顶点D的坐标为（﹣2，8），过D点作DE⊥AB于点E，则DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C点是抛物线与y轴交点，∴OC=c，∴A点坐标为（﹣c，c），∴顶点横坐标=c，b=c，∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c•c+c，∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2，∴A点坐标可以为（2，2）或者（﹣2，2）．。

八年级数学上册第二章《二次函数》单元检测卷(含答案)

第二章《二次函数》单元检测卷（全卷满分100分限时90分钟）一.选择题（每小题3分共36分）1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）1A.y=3x﹣1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2﹣2t+1D.y=x2+x2.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.3.如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A. B. C. D.4.下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（）A. B. C. D.A.m ＞1B.m ＞0C.m ＞﹣1D.﹣1＜m ＜06.设二次函数y=（x ﹣3）2﹣4图象的对称轴为直线l ，若点M 在直线l 上，则点M 的坐标可能是（） A.（1，0）B.（3，0）C.（﹣3，0）D.（0，﹣4）7.如图，反比例函数y=x k 的图象经过二次函数y=ax 2+bx 图象的顶点（﹣21，m ）（m ＞0），则有（）A.a=b+2kB.a=b ﹣2kC.k ＜b ＜0D.a ＜k ＜08.如图是二次函数y=ax 2+bx+c=（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2.关于下列结论：①ab＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a﹣3b+c ＜0；④b﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（）A.①③④B.②④⑤C.①②⑤D.②③⑤9.若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（）A.x ＜﹣4或x ＞2B.﹣4≤x≤2C.x≤﹣4或x≥2D.﹣4＜x ＜210.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C.则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC 2. 以上说法正确的有（）A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③11.如图，抛物线y=x 2﹣21x ﹣23与直线y=x ﹣2交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），动点P 从A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B.若使点P 运动的总路径最短，则点P 运动的总路径的长为（） A.229 B.329C.25D.35 12.已知抛物线y=﹣x 2+1的顶点为P ，点A 是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图象于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结PA 、PD ，PD 交AB 于点E ，△PAD 与△PEA 相似吗？（） A.始终不相似 B.始终相似 C.只有AB=AD 时相似 D.无法确定二.填空题（每小题分共12分）13.如果函数y=b 的图象与函数y=x 2﹣3|x ﹣1|﹣4x ﹣3的图象恰有三个交点，则b 的可能值是 .14.二次函数y=﹣x 2+2x ﹣3图象的顶点坐标是 .15.把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是 .16.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b 2＞4ac ；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0. 其中结论正确的是 .（填正确结论的序号）三.解答题（共52分）17.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x ﹣1交于点A ，（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.18.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？19.抛物线y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点C 是此抛物线的顶点. （1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）点C 在反比例函数y=xk（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式.20.已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1. （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根.21.如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.22.如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.23.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点. （1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.参考答案一、选择题：二、填空题：三、解答题：17、解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3，∴A（3，2）， ∵点A 关于直线x=1的对称点为B ，∴B（﹣1，2）. （2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：⎩⎨⎧+-=++=cb c b 12392解得：⎩⎨⎧-=-=12c b ∴y=x 2﹣2x ﹣1.顶点坐标为（1，﹣2）. （3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A （3，2）则9a=2，解得：a=92，代入B （﹣1，2），则a （﹣1）2=2，解得：a=2，18、解：y=（x ﹣50）[50+5（100﹣x ）] =（x ﹣50）（﹣5x+550） =﹣5x 2+800x ﹣27500∴y=﹣5x 2+800x ﹣27500=﹣5（x ﹣80）2+4500 ∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下，∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y 最大值=4500.19、解：（1）令y=0，得到x 2﹣4x+3=0，即（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x=1或3，则A （1，0），B （3，0），∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点C 的坐标为（2，﹣1）；（2）∵点C （2，﹣1）在反比例函数y=xk（k≠0）的图象上，∴k=﹣1×2=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣x2； 20、（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣ab2，∴2a+b=0；（2）解：∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b﹣8=0， ∵2a+b=0，∴b=﹣2a ，∴16a﹣8a ﹣8=0，解得：a=1，则b=﹣2，∴ax 2+bx ﹣8=0为：x 2﹣2x ﹣8=0，则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=﹣2，故方程的另一个根为：﹣2.21、解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过A （﹣1，0）、B （0，﹣3），∴⎩⎨⎧-==+-301c c b ，解得⎩⎨⎧-=-=32c b ，故抛物线的函数解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）令x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则点C 的坐标为（3，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴点E 坐标为（1，﹣4），设点D 的坐标为（0，m ），作EF⊥y 轴于点F ， ∵DC 2=OD 2+OC 2=m 2+32，DE 2=DF 2+EF 2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m 2+9=m 2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴点D 的坐标为（0，﹣1）；（3）∵点C （3，0），D （0，﹣1），E （1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根据勾股定理，CD=10132222=+=+OD OC ，∵⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠=EF DO DFE COD DF CO 090，∴△COD≌△DFE（SAS ），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE， ①分OC 与CD 是对应边时， ∵△DOC∽△PDC，∴DP OD DC OC =，即DP 1103=，解得DP=310，过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则DE DP EF PG DF DG ==，即1031013==PG DG ，解得DG=1，PG=31，当点P 在点D 的左边时，OG=DG ﹣DO=1﹣1=0，所以点P （﹣31，0），当点P 在点D 的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P （31，﹣2）； ②OC 与DP 是对应边时， ∵△DOC∽△CDP，∴DC OD DP OC =，即1013=DP ，解得DP=310，过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则DE DP EF PG DF DG ==，即1010313==PG DG ，解得DG=9，PG=3，当点P 在点D 的左边时，OG=DG ﹣OD=9﹣1=8，所以，点P 的坐标是（﹣3，8），当点P 在点D 的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P 的坐标是（3，﹣10），综上所述，满足条件的点P 共有4个，其坐标分别为（﹣31，0）、（31，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）.22、解：（1）由题意得，⎪⎩⎪⎨⎧==+-2201b c b ，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为.y=x 2﹣4x+3；（2）∵点A 与点C 关于x=2对称，∴连接BC 与x=2交于点P ，则点P 即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C 的坐标为（3，0），y=x 2﹣4x+3与y 轴的交点为（0，3）， ∴设直线BC 的解析式为：y=kx+b ， ⎩⎨⎧==+303b b k ，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC 与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P 的坐标为：（2，1）.23、解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax 2+bx+c （a≠0），将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点代入函数解析式得： ⎪⎩⎪⎨⎧=++-==+-02440416c b a c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===4121c b a ，所以此函数解析式为：y=4212-+x x ；（2）∵M 点的横坐标为m ，且点M 在这条抛物线上，∴M 点的坐标为：（m ，4212-+m m ）， ∴S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB =21×4×（﹣21m 2﹣m+4）+21×4×（﹣m ）﹣21×4×4 =﹣m 2﹣2m+8﹣2m ﹣8 =﹣m 2﹣4m ，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m ＜0，当m=﹣2时，S 有最大值为：S=﹣4+8=4.答：m=﹣2时S 有最大值S=4.（3）设P （x ，21x 2+x ﹣4）. 当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x ，则Q （x ，﹣x ）.由PQ=OB ，得|﹣x ﹣（21x 2+x ﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±25.x=0不合题意，舍去. 如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4.四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=﹣x 得出Q 为（4，﹣4）.由此可得Q （﹣4，4）或（﹣2+25，2﹣25）或（﹣2﹣25，2+25）或（4，﹣4）.。

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

第二章二次函数单元测试卷 2022-2023学年北师大版数学九年级下册(含答案)

第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。

第二章《二次函数》2018-2019学年单元测试(含答案)

单元测试(二) 二次函数(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C )A .直线x ＝12B .直线x ＝－12C .y 轴D .直线x ＝2 2.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为(D )A .y ＝(x ＋1)2＋4B .y ＝(x ＋1)2＋2C .y ＝(x －1)2＋4D .y ＝(x －1)2＋2 3.若函数y ＝axa 2－2a －6是二次函数且图象开口向上，则a ＝(B )A .－2B .4C .4或－2D .4或34.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象可能是(D )A. B.C. D.5.二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的(A ) A .向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B .向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C .向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D .向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y >0成立的x 的取值范围是(B )A .x <－4或x >2B .－4<x <2C .x ≤－4或x ≥2D .－4≤x ≤27.如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为(C )A .3 mB .2 6 mC .9 mD .4 3 m8.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D )A .2a －b ＝0B .a ＋b ＋c ＞0C .3a －c ＝0D .当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9.若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为(A )A .x 1＝0，x 2＝4B .x 1＝－2，x 2＝6C .x 1＝32，x 2＝52D .x 1＝－4，x 2＝010.如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为(C )A.26B.24C.16D.14二、填空题(每小题3分，共15分)11.如果点A (－2，y 1)和点B (2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)12.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4.13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m )，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为1.5__m .14.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是(－2，0).15.老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有小华、小彬、小明.(填写姓名即可)三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的表达式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？解：(1)y ＝(x －2)2＋1. (2)当x ＝2时，y 有最小值1.17.(9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (2，0)，B (4，0)，且过点C (0，4). (1)求出抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你求出抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式.解：(1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝ 12x 2－3x ＋4.∵y ＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－12，∴顶点坐标为(3，－12).(2)抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式为y ＝12x 2＋1.18.(9分)如图，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)经过A (4，0)和B (0，4)两点，其顶点为C.(1)求该抛物线的表达式及其顶点C 的坐标；(2)若点M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内. ①设△ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； ②若S 为整数，则这样的M 点有3个.解：(1)∵对称轴为直线x ＝1，∴x ＝－b2a ＝1.∵抛物线经过点A (4，0)和B (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋c ，4＝c ，－b 2a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.当x ＝1时，y ＝－12×1＋1＋4＝92.∴顶点坐标为(1，92).(2)过点M 作MN ∥y 轴交AB 于点N . 设M (x ，－12x 2＋x ＋4)(0<x <4)，∵A (4，0)，B (0，4)∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4. ∴N (x ，－x ＋4).∴MN ＝－12x 2＋2x .∵S △ABM ＝S △AMN ＋S △BMN ＝12(－12x 2＋2x )(4－x )＋12(－12x 2＋2x )·x ＝12(－12x 2＋2x )·4＝2(－12x 2＋2x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.∵0<x <4，∴当x ＝2时，S △ABM 的最大值为4.19.(9分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元.该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元. (1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解：(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴y ＝x 2＋x .(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156.当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资. 答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资.20.(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值.解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12x (18－2x )，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4).(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.21.(10分)九年级七班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. (1)操作发现在作函数y ＝|x |的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≥0），－x （x<0）.请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)类比探究作函数y ＝|x －1|的图象，可以转化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1（x≥1）－x ＋1（x<1），然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y ＝x －1在x 轴下面部分，沿x 轴进行翻折，与x 轴上及上面部分组成了函数y ＝|x －1|的图象，如图2所示； (3)拓展提高如图3是函数y ＝x 2－2x －3的图象，请在原平面直角坐标系作函数y ＝|x 2－2x －3|的图象； (4)实际运用①函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与x 轴有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝0有2个实根； ②函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝5有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝5有2个实根； ③函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝4有3个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝4有3个实根； ④关于x 的方程|x 2－2x －3|＝a 有4个实根时，a 的取值范围是0＜a ＜4.解：(1)如图所示. (3)如图所示.22.(10分)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y (本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本. (1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)y ＝－2x ＋80(20≤x ≤28).(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意，得(x －20)y ＝150，即(x －20)(－2x ＋80)＝150.解得x 1＝25，x 2＝35(舍去). 答：每本纪念册的销售单价是25元.(3)由题意，得w ＝(x －20)(－2x ＋80)＝－2(x －30)2＋200. 当x ＝30时，w 最大.又∵售价不低于20元且不高于28元，－2＜0，∴x ＜30时，y 随x 的增大而增大，即当x ＝28时，w 最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元). 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.23.(11分)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当△P AC 为直角三角形时，求点P 的坐标.解：(1)∵B (4，m )在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6.∴B (4，6). ∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6). ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P (94，174).∴存在符合条件的点P (94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠P AC ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于E 点，与x 轴交于F 点， ∴E (0，2)，F (－2，0).∴△EFO 为等腰直角三角形，∠PFO ＝45°.又∵PC ⊥x 轴，∴∠FPC ＝45°.∴△P AC 为等腰直角三角形. 过A 作AM ⊥P C.∴PM ＝M C.设P (x ，x ＋2).∴M (x ，52)，C (x ，2x 2－8x ＋6).∵PM ＝MC ，∴x ＋2－52＝52－(2x 2－8x ＋6).即2x 2－7x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝12(舍去).当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为(3，5). 如图2，当∠PCA ＝90°时，由A (12，52)知，点C 的纵坐标为52.令2x 2－8x ＋6＝52，解得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为(72，112).综上可知，点P 的坐标为(3，5)或(72，112).。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷(word 含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷一、选择题（共8小题，4*8=32）1．下列函数中，不是二次函数的是( )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝2(x －1)2＋4C ．y ＝12(x －1)(x ＋4) D ．y ＝(x －2)2－x 2 2．如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是( )A ．h ＝mB ．k ＝nC ．k ＞nD ．h ＜0，k ＞03．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋a ，下列说法错误的是( )A ．当x<1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a≤4C ．当a ＝3时，不等式x 2－4x ＋3>0的解集是1<x<3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a ＝－34．下列关于二次函数的说法错误的是( )A ．抛物线y ＝－2x 2＋12x ＋1的对称轴是直线x ＝3B ．对于抛物线y ＝x 2－2x －3，点A(3，0)不在它的图象上C ．二次函数y ＝(x ＋3)2－3的顶点坐标是(－3，－3)D ．函数y ＝2x 2＋4x －3的图象的最低点是(－1，－5)5．点P(m ，n)在以y 轴为对称轴的二次函数y ＝x 2＋ax ＋4的图像上．则m －n 的最大值等于( )A ．154B ．4C ．－154D ．－1746．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c ＞0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a(c －n)；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E 点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD ＝x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二．填空题（共6小题，4*6=24）9．抛物线y ＝－x 2＋15有最________点，其坐标是________．10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋a 的图象与x 轴有两个不同的交点，则a 的取值范围是__________．11．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是直线x ＝1，过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴，若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，32，则点B 的坐标为．12．已知二次函数y ＝x 2＋2mx ＋2，当x>2时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是________．13．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，则a ＋b ＋c ＝________．14．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞5－1．以上结论中，正确的结论序号是________．三．解答题（共5小题，44分）15．(6分) 已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．16．(8分)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的表达式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案)17．(8分) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．(1)求b、c的值；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标；(3)根据图像直接写出：点C关于直线x＝2的对称点D的坐标为________；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示)．18．(10分) 如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．19．(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T1～T5(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶T1到x轴的距离OK＝10．从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P．(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并指出点P会落在哪个台阶上；(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的表达式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2．在△BDE 沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？[注：(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9．高，(0，15)10．a ＜111．⎝⎛⎭⎫2，32 12．m≥－213．014．①④15．解：把(－1，0)，(3，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝a －b －3，0＝9a ＋3b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. 即a 的值为1，b 的值为－2．16．解： (1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A(1，0)，∴0＝1＋m ．∴m ＝－1．∴y ＝x －1．∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A(1，0)，B(3，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－3x ＋2 (2)x<1或x>317．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为(2，0)．∴抛物线为y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，∴b ＝4，c ＝－4．(2)画出抛物线如图：点C 的坐标为(0，－4)．(3)(4，－4)；(4－m ，n)18．(1)将点A(1，0)代入y ＝(x －2)2＋m 中得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，所以二次函数的表达式为y ＝(x －2)2－1．当x ＝0时，y ＝4－1＝3，所以点C 坐标为(0，3)，由于点C 和点B 关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以点B 坐标为(4，3)，将A(1，0)，B(4，3)代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.所以一次函数的表达式为y ＝x －1 (2)当kx ＋b≥(x －2)2＋m 时，1≤x≤419．解：(1)对于抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12，令y ＝0，则－x 2＋4x ＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝6，∵OA ＝2，∴A(－2，0)，∴点A 的横坐标为－2．补画y 轴，如图所示，由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4．5，7)，右边的端点为(6，7)．当x ＝4．5时，y ＝9．75>7，当x ＝6时，y ＝0<7，对于y ＝－x 2＋4x ＋12，当y ＝7时，7＝－x 2＋4x ＋12，解得x ＝－1或x ＝5，∴抛物线与台阶T 4有交点，∴点P 会落在台阶T 4上．(2)设抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋bx ＋c ，抛物线y ＝－x 2＋4x ＋12与台阶T 4的交点为R ，则R(5，7)．由题意知抛物线C ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过R(5，7)，最高点的纵坐标为11，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4c －b 2－4＝11，－25＋5b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝14，c ＝－38或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝2(舍去)，∴抛物线C 的表达式为y ＝－x 2＋14x －38，∴抛物线C 的对称轴为直线x ＝7，易知台阶T 5的左边的端点为(6，6)，右边的端点为(7．5，6)，∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点．(3)对于抛物线C ：y ＝－x 2＋14x －38，令y ＝0，得到－x 2＋14x －38＝0，解得x ＝7＋11或x ＝7－11(舍去)，∴抛物线C 交x 轴于(7＋11，0)，当y ＝2时，2＝－x 2＋14x －38，解得x ＝4(舍去)或x ＝10，∴抛物线经过(10，2)，在Rt △BDE 中，∠DEB ＝90°，DE ＝1，BE ＝2，∴当点D 与(7＋11，0)重合时，点B 的横坐标最大，最大值为8＋11，当点B 与(10，2)重合时，点B 的横坐标最小，最小值为10，∴点B 横坐标的最大值比最小值大11－2．。

第2章《二次函数》单元测试题

第2章《二次函数》单元测试题一．选择题（每小题3分，共12小题）1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=（x﹣1）2﹣x2D．y=﹣2x2+12．已知函数y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（）B．当m=时，函数图象的顶点坐标是（，﹣）D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．44．比较抛物线y=x2、y=2x2﹣1、y=0.5（x﹣1）2的共同点，其中说法正确的是（）A．顶点都是原点B．对称轴都是y轴C．开口方向都向上D．开口大小相同5．将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y=（x﹣3）2B．y=（x+3）2C．y=x2﹣3D．y=x2+36．若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c），则下列正确的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．已知一元二次方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0，有两个实数根x1和x2，（x1＜x2），则下列判断正确的是（）A．﹣2＜x1＜x2＜3B．x1＜﹣2＜3＜x2C．﹣2＜x1＜3＜x2D．x1＜﹣2＜x2＜38．已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y19．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0），下列结论：①ab＜0，②b2＞4，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，边长为1的正方形ABCD顶点A（0，1），B（1，1）；一抛物线y=ax2+bx+c过点M（﹣1，0）且顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上），则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1B．﹣2≤a≤﹣C．﹣1≤a≤﹣D．﹣1≤a≤﹣11．如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（）A．B．C．D．二．填空题（每小题3分，共6小题）13．二次函数y=x（x﹣6）的图象与x轴交点的横坐标是．14．函数y=﹣3（x+2）2的开口，对称轴是，顶点坐标为．15．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是．16．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．17．某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降20%，转型成功后生产呈现良好上升势头，三、四月份稳步增长，月平均增长率为x，设该企业一月份产值为a，则该企业四月份的产值y关于x的函数关系式为18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是．三．解答题（共7小题）19．已知：抛物线y=﹣x2﹣6x+21．求：（1）直接写出抛物线y=﹣x2﹣6x+21的顶点坐标；（2）当x＞2时，求y的取值范围．20．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．21．安徽某水产养殖户去年利用“稻虾混养”使每千克小龙虾养殖成本降为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：P=，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示．（1）求日销售y与时间t的函数关系式？（2）设日销售利润为W（元），求W与t之间的函数表达式；（3）日销售利润W哪一天最大？最大利润是多少？22．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？23．已知抛物线y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2（m是常数）．（1）无论m取何值，该抛物线都经过定点 D．直接写出点D的坐标．（2）当m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式．（3）若在0≤x≤1的范围内，至少存在一个x的值，使y＞0，求m的取值范围．24．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误；B、该函数是反比例函数，故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y=﹣2x+1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确．故选：D．2．【解答】解：当m=0时，y=x﹣1，则y随x的增大而增大，故选项A正确，当m=时，y=x2﹣x=（x﹣）2﹣，则函数图象的顶点坐标是（，﹣），故选项B正确，当m=﹣1时，y=﹣2x2+5x﹣3=﹣2（x﹣）2，则当x＜，则y随x的增大而增大，故选项C错误，∵y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1=2mx2+x﹣4mx+2m﹣1=（2mx2﹣4mx+2m）+（x﹣1）=2m（x﹣1）2+（x﹣1）=（x﹣1）[2m（x﹣1）+1]，∴函数y=2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，无论m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故选项D正确，故选：C．3．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．4．【解答】解：y=x2的顶点坐标为原点，对称轴是y轴，开口向上；y=2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），对称轴是y轴，开口向上；y=0.5（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），对称轴是x=1，开口向上；综合判断开口方向都向上，故选：C．5．【解答】解：将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣3，故选：C．6．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣6x+c，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3．∵点A（﹣1，a），B（2，b），C（5，c）都在二次函数y=x2﹣6x+c的图象上，而三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：（﹣1，a）、（5，c）、（2，b），∴a＞c＞b，故选：B．7．【解答】解：令y=（x﹣3）（x+2），当y=0时，（x﹣3）（x+2）=0，则x=3或x=﹣2，所以该抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）和（3，0），∵一元二次方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0，∴（x﹣3）（x+2）=1，所以方程1﹣（x﹣3）（x+2）=0的两根可看做抛物线y=（x﹣3）（x+2）与直线y=1交点的横坐标，其函数图象如下：由函数图象可知，x1＜﹣2＜3＜x2，故选：B．8．【解答】解：∵抛物线y=﹣5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，而B（2，y2）离直线x=﹣1的距离最远，A（﹣1，y1）点离直线x=﹣1最近，∴y2＜y3＜y1．故选：C．9．【解答】解：∵由抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∴ab＜0，所以①正确；∵点（0，1）和（﹣1，0）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴c=1，a﹣b+c=0，∴b=a+c=a+1，而a＜0，∴0＜b＜1，所以②错误，④正确；∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，而a＜0，∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），而抛物线的对称轴在y轴右侧，在直线x=1的左侧，∴抛物线与x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，∴x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴0＜a+b+c＜2，所以③正确；∵x＞﹣1时，抛物线有部分在x轴上方，有部分在x轴下方，∴y＞0或y=0或y＜0，所以⑤错误．故选：B．10．【解答】解：解：∵顶点是矩形ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点与A点重合，顶点坐标为（0，1），则抛物线解析式y=ax2+1，∵抛物线过M（﹣1，0），∴0=a+1，解得a=﹣1，当顶点与C点重合，顶点坐标为（1，2），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+2，∵抛物线过M（﹣1，0），∴0=4a+2，解得a=﹣∵顶点可以在矩形内部，∴﹣1≤a≤﹣．故选：C．11．【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；D 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B ．12．【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在直线x=1的右侧，∴x=﹣＞1，∴b ＜0，b ＜﹣2a ，即b+2a ＜0， ∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴c ＜0， ∴abc ＞0，∵抛物线与x 轴有2个交点， ∴△=b 2﹣4ac ＞0， ∵x=1时，y ＜0， ∴a+b+c ＜0．故选：C ．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：当y=0时，有x （x ﹣6）=0，解得：x 1=0，x 2=6，∴二次函数y=x （x ﹣6）的图象与x 轴交点的横坐标是0或6．故答案为：0或6．14．【解答】解：函数y=﹣3（x+2）2的开口向下，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标是（﹣2，0），故答案为：向下，直线x=﹣2，（﹣2，0）．15．【解答】解：由二次函数y=x 2﹣2mx （m 为常数），得到对称轴为直线x=m ，抛物线开口向上，当m ≥2时，由题意得：当x=2时，y 最小值为﹣2，代入得：4﹣4m=﹣2，即m=1.5＜2，不合题意，舍去；当﹣1≤m ≤2时，由题意得：当x=m 时，y 最小值为﹣2，代入得：﹣m 2=﹣2，即m=或m=﹣（舍去）；当m ＜﹣1时，由题意得：当x=﹣1时，y 最小值为﹣2，代入得：1+2m=﹣2，即m=﹣1.5，综上，m 的值是﹣1.5或，故答案为：﹣1.5或16．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0. 5x 2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出： ﹣2=﹣0.5x 2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．17．【解答】解：设该企业一月份产值为a，则该企业四月份的产值y关于x的函数关系式为：y=a（1﹣20%）（1+x）2．故答案为：y=a（1﹣20%）（1+x）2．18．【解答】解：①由图象可知：x=1时，y＜0，∴y=a+b+c＜0，故①正确；②由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；③由图象可知：＜0，∴ab＞0，又∵c=1，∴abc＞0，故③正确；④由图象可知：（0，0）关于x=﹣1对称点为（﹣2，0）∴令x=﹣2，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故④错误；⑤由图象可知：a＜0，c=1，∴c﹣a=1﹣a＞1，故⑤正确；故答案为：①②③⑤三．解答题（共7小题）19．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣6x+21=﹣（x+3）2+30，∴该抛物线的顶点坐标是（﹣3，30）；（2））∵抛物线y=﹣x2﹣6x+21=﹣（x+3）2+30，∴当x＞﹣3时，y随x的增大而减小，∴当x＞2时，y的取值范围是y＜﹣（2+3）2+30=5，即当x＞2时，y的取值范围是y＜5．20．【解答】解：（1）将x=2代入y=2x，得：y=4，∴点M（2，4），由题意，得：，∴；（2）如图，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点P的横坐标为m，抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，∴PH=﹣m2+4m，∵B（2，0），∴OB=2，∴S=OB•PH=×2×（﹣m2+4m）=﹣m2+4m，∴K==﹣m+4，由题意得A（4，0），∵M（2，4），∴2＜m＜4，∵K随着m的增大而减小，∴0＜K＜2．21．【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤t≤80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450．②当41≤t≤80时，w=26（﹣2t+200）=﹣52t+5200（3）①当1≤t≤40时，w=﹣（t﹣30）2+2450．=2450；∴当t=30时，w最大②当41≤t≤80时，w=﹣52t+5200=3068，∴当t=41时，w最大∵3068＞2450，∴第41天的日销售利润最大，最大利润为3068元．22．【解答】解：（1）由题意可知y=2x+40；（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），=﹣2x2+80x+2400，=﹣2（x﹣20）2+3200，∵a=﹣2＜0，∴函数有最大值，∴当x=20时，w有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．23．【解答】解：（1）∵抛物线抛物线y=mx2+（2﹣2m）x+m﹣2=m（x﹣1）2+2（x﹣1）∴当x﹣1=0时，无论m为何值，抛物线经过定点 D，∴x=1，y=0，∴定点D（1，0）；（2）∵﹣=﹣=1﹣，==﹣，∴顶点为（1﹣，﹣），∴顶点在函数y=x﹣1上；（3）由（1）、（2）可得，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x=1﹣．①当m＞0时，抛物线开口方向向上，且1﹣＜1，由图象可知，要满足条件，只要x=0式，y=m﹣2＞0，∴m＞2；②当m＜0时，抛物线开口方向向下，且1﹣＞1，由图象可知，不符合题意；综上所述，m的取值范围是：m＞2．24．【解答】解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．∵O′与O关于BC对称，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴当A、P、O′在一条直线上时，OP+AP有最小值．设AP的解析式为y=kx+b，则，解得：k=，b=．∴AP的解析式为y=x+．将y=x+与y=﹣x+3联立，解得：y=，x=，∴点P的坐标为（，）．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴==．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴=，即=，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．25．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，∴x1=﹣2，x2=6．即：A（﹣2，0），B（6，0）．（2）∵抛物线过点A、B、C，∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），将点C的坐标代入，得：﹣4=a（0+2）（0﹣6），解得a=．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4．（3）存在．设点M的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），∴AB=8，AM=m+2．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴=，∴=，∴NH=∴S△CMN=S△ACM ﹣S△AMN=•AM•CO﹣•AM•NH=（m+2）（4﹣）=﹣m2+m+3=﹣（m﹣2）2+4．有最大值4．∴当m=2时，S△CMN此时，点M的坐标为（2，0）．。

《二次函数》单元测试卷 (含答案)

《二次函数》单元测试卷 (含答案)考生姓名：______________ 考号：______________时间限制：90分钟一、选择题（每小题2分，共30分）（每小题2分，共30分）1. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x + 2B. y = 2x^2 + 3x + 1C. y = 1/xD. y = √x2. 设二次函数 f(x) = 2x^2 + 5x - 3，那么它的判别式为（）A. -13B. 17C. 29D. -393. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则该二次函数的判别式必须为（）A. 大于0B. 等于0C. 小于0D. 无法确定4. 已知二次函数 f(x) = 3x^2 + 4x + 2，那么它的对称轴为（）A. x = -2/3B. x = -4/3C. x = 4/3D. x = 2/35. 设函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数图象开口向（）A. 上B. 下C. 左D. 右...二、填空题（每小题3分，共30分）（每小题3分，共30分）1. 设二次函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3，那么它的顶点坐标为（）答案：(5/4, 37/8)2. 若二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (2, -3)，则 a + b+ c 的值为（）答案：-53. 设二次函数 f(x) = -x^2 + 4x + 5，那么它的对称轴的方程为（）答案：x = 24. 若二次函数的图象与y轴相交于点 (0, 6)，则该二次函数必定为（）答案：f(x) = 2x^2 + 35. 设二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，若a > 0，则函数的值域为（）答案：( -∞, f(c) ]...三、解答题（共40分）（共40分）1. 解方程 3x^2 - 2x - 1 = 0解答：首先，我们可以求出这个二次方程的判别式：Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*3*(-1) = 4 + 12 = 16因为判别式大于0，所以方程有两个不相等的实根。

第二章二次函数基础测验

第二章《二次函数》单元基础题测验一、选择题(30分)1、与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（）A 、y=1+21x 2B 、y=(2x+1)2C 、y = (x-1)2D 、y=2x 22．下列关于抛物线y =x 2+2x +1的说法中，正确的是( )A.开口向下B.对称轴为直线x =1C.与x 轴有两个交点D.顶点坐标为(－1，0)3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示, 则点A(a, b)在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．当a ＜0时，抛物线y =x 2+2ax +1+2a 2的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．如图，在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c的图象大致为( )A BC D6．已知二次函数y =－2x 2+4x +k (其中k 为常数),分别取x 1=－0.99、x 2=0.98、x 3=0.99,那么对应的函数值为y 1, y 2, y 3中，最大的为( )A.y 3B.y 2C.y 1D.不能确定，与k 的取值有关7．已知二次函数y ＝2 x 2＋9x+34，当自变量x 取两个不同的值x 1、x 2时，函数值相等，则当自变量x 取x 1＋x 2 时的函数值与（）A ．x ＝1 时的函数值相等B ．x ＝0时的函数值相等C ．x ＝41时的函数值相等 D ．x ＝－49时的函数值相等 8．已知二次函数y=x 2－bx+1（－1≤b ≤1），当b 从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动.下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A 、先往左上方移动，再往左下方移动B 、先往左下方移动，再往左上方移动C 、先往右上方移动，再往右下方移动D 、先往右下方移动，再往右上方移动9．根据下列表格中二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程a x 2＋b x ＋c =0（a ≠0）的一个解x 的范围是（）Ａ．6＜x＜6.17 Ｂ．6.17＜x＜6.18 Ｃ．6.18＜x＜6.19 Ｄ．6.19＜x＜6.20 10．小敏在校运会比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t－4.9t2（t的单位:s, h的单位:m）可以描述他跳跃时重心高度的变化.则他跳起后到重心最高时所用的时间是（） A．0.71 s B．0.70s C．0.63s D．0.36s二、填空题（共24分）11．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式_ ___.12．若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝_________(只要求写出一个)13．平移抛物线y＝x2＋2x＋8.使它经过原点.写出平移后抛物线的一个解析式 .14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+c（a＜0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是 .15.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：a+b+c____0，a-b+c_____0。

第二章二次函数检测题及答案解析

第二章二次函数检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.（兰州中考）已知二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1，则a、b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定2.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.3. （河南中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x24先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的表达式是（）A.y=(x+2)2+2B.y=(x2)2 2C.y=(x2)2+2D.y=(x+2)2 24.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（）A.2，4B.C.2，D.，06.对于函数，使得随的增大而增大的的取值范围是（）A. B. C. D.7.对于任意实数，抛物线总经过一个固定的点，这个点是（）A.（1，0）B.（，0）C.（，3）D. （1，3）8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（）A.B.C.D.9. （呼和浩特中考）已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y=abx2+（a+b）x）（）A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为10. （重庆中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=.下列结论中，正确的是（）A.abc>0B.a+b=0C.2b+c>0D.4a+c<2b二、填空题（每小题3分，共24分）11. （苏州中考）已知点A（x 1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=(x1)2+1的图象上，若x1>x2>1，则y1 y2（填“>”“=”或“<”）.12.如果二次函数(a≠0)的图象顶点的横坐标为1，则的值为.13.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是 .14.将抛物线3)3(22+-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______.15. （湖北襄阳中考）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数表达式是y =60x 1.5x 2，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 16.设三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面积是 .17.函数写成的形式是________，其图象的顶点坐标是_______，对称轴是__________．18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线;乙：与轴两个交点的横坐标都是整数; 丙：与轴交点的纵坐标也是整数.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式__________________．三、解答题（共66分）19.（8分）（·杭州中考）当k 分别取1，1，2时，函数y =（k 1）x 24x +5k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值． 20.（8分）把抛物线向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线重合．请求出的值，并画出函数的示意图．21.（8分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我大炮A 与射击目标B 的水平距离为600 m ，炮弹运行的最大高度为1 200 m. （1）求此抛物线的表达式．（2）若在A 、B 之间距离A 点500 m 处有一高350 m 的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物. 22.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．23.（8分）（·北京中考节选）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数y=kx+6(k≠0)的图象与二次函数的图象都经过点A（3,m），求m和k 的值.24．（8分）（哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值25.（8分）（·武汉中考）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的表达式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=9)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？26.（10分）已知抛物线与轴有两个不同的交点．(1)求的取值范围；(2)抛物线与轴的两交点间的距离为2，求的值.第二章二次函数检测题参考答案一、选择题1. A 解析:∵二次函数y=a(x+1)2b(a≠0)有最小值1,∴a>0且x=1时，b=1.∴a>0,b= 1.∴a>b.2.C 解析:由函数图象可知，所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位，得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在轴左侧，所以，即，只有C符合.同理可讨论当时的情况.各选项均不符合.5.B 解析: 抛物线的顶点坐标是（），所以，解得.6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，由对称轴为直线，知的取值范围是.7.D 解析:当时，，故抛物线经过固定点（1，3）.8.D 解析:画出抛物线简图可以看出，所以.9. B 解析:∵点M的坐标为（a,b）,∴点N的坐标为（a,b）.∵点M在双曲线y=上，∴ab=.∵点N（a,b）在直线y=x+3上,∴a+3=b.∴a+b=3.∴二次函数y=abx2+（a+b）x=x2+3x=（x3）2+.∴二次函数y=abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D 解析:由图象知a ＞0,c ＜0,又对称轴x ==＜0,∴ b ＞0,∴ abc ＜0.又＝，∴ a ＝b ，a +b ≠0.∵ a =b ,∴ y =ax 2+bx +c =bx 2+bx +c . 由图象知,当x ＝1时，y ＝2b +c ＜0，故选项A,B,C 均错误.∵ 2b +c ＜0， ∴ 4a 2b +c ＜0.∴ 4a +c ＜2b ,D 选项正确.二、填空题11. ＞解析:∵ a ＝1＞0，对称轴为直线x =1，∴ 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.故由x 1＞x 2＞1可得y 1＞y 2. 12.13.解析:因为当时，，当时，，所以.14.(5,-2)15. 600 解析:y =60x 1.5x 2= 1.5（x 20）2+600,当x =20时,y 最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m 才能停下来. 16. 解析:令，令，得，所以，所以△的面积是.17.18.本题答案不唯一，只要符合题意即可，如2218181 1.7777y x x y x x =-+=-+-或三、解答题19. 分析：先求出当k 分别取1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值. 解：（1）当k =1时，函数y =4x +4为一次函数，无最值.（2）当k =2时，函数y =x 24x +3为二次函数且图象开口向上，无最大值. （3）当k =1时，函数y =2x 24x +6=(x +1)2+8为二次函数且图象开口向下，对称轴为直线x =1，顶点坐标为（，8），所以当x =1时，y 最大值=8.综上所述，只有当k=1时，函数y=(1)x24x+5k有最大值，且最大值为8.点拨：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.20.解:将整理得.因为抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得，所以将向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得，故，所以.示意图如图所示.21.解:（1）建立平面直角坐标系，设点A为原点，则抛物线过点（0，0），（600，0），从而抛物线的对称轴为直线.又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，则其顶点坐标为（300，1 200），所以设抛物线的表达式为，将（0，0）代入所设表达式得，所以抛物线的表达式为.（2）将代入表达式，得，所以炮弹能越过障碍物.22.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为元，销售量为[件，据此得关系式．解：设售价定为元/件.由题意得，，∵，∴当时，有最大值360.答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．23. 分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x==1,列方程求t的值，确定二次函数表达式.（2）把x=3,y=m代入二次函数表达式中求出m的值，再代入y=kx+求出k的值.解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，则=1，∴t=.∴y=x2+x+.(2)∵二次函数图象必经过A点，∴m=×()2+(3)+= 6.又一次函数y=kx+6的图象经过A点，∴3k+6=6,∴k=4.24. 分析：（1）由三角形面积公式S=得S与x之间的表达式为S=·x（40x）=x2+20x.（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.解：（1）S=x2+20x.（2）方法1：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为==200.∴当x为20 cm时,三角形面积最大，最大面积是200 cm2.方法2：∵a=＜0,∴S有最大值.∴当x===20时，S有最大值为S=×202+20×20=200.∴当x为20 cm时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2..点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.25. 分析：（1）设抛物线的表达式为y=ax2+b(a≠0),将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b; (2)令h=6,解方程（t19）2+8=6得t 1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜.解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线表达式为y=ax2+11.由抛物线的对称性可得B(8,8),∴8=64a+11，解得a=,抛物线表达式为y=x2+11.(2)画出h=(t-19)2+8(0≤t≤40)的图象如图所示.当水面到顶点C的距离不大于5米时，h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.答：禁止船只通行的时间为32小时.点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实际问题中的应用.26.解：（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，∴＞0，即解得c＜.(2)设抛物线与轴的两交点的横坐标为，∵两交点间的距离为2，∴.由题意，得,解得,∴，.。

(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(有答案解析)

一、选择题1．已知二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．18mC ．18m >-且0m ≠ D ．18m 且0m ≠ 2．把二次函数243y x x =-+化成2()y a x h k =++的形式是（） A ．2(2)1y x =++B ．2(2)7y x =++C ．2(2)1y x =--D ．2(2)7y x =-- 3．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2） 4．二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点()7,0A ，直线AB 交y 轴于点()0,7B -，动点(),C x y 在直线AB 上，且17x <<，过点C 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，则CD 的最值情况是（）A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最小值8D ．有最大值8 5．如图，抛物线与x 轴交于()2,0A -，()4,0B 两点，点()P m n ,从点A 出发，沿抛物线向点B 匀速运动，到达点B 停止，设运动时间为t 秒，当3t =和9t =时，n 的值相等．有下列结论：①6t =时，n 的值最大；②10t =时，点P 停止运动；③当5t =和7t =时，n 的值不相等；④4t =时，0m =．其中正确的是（）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③6．已知关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，则m 的取值范围是（）A ．18m >B ．1m >-C ．118m -<<D ．1m 18<< 7．如图，现要在抛物线y ＝x （﹣x +2）上找点P （m ，n ），针对n 的不同取值，所找点P 的个数，四人的说法如下，甲：若n ＝﹣1，则点P 的个数为2；乙：若n ＝0，则点P 的个数为1；丙：若n ＝1，则点P 的个数为1；丁：若n ＝2，则点P 的个数为0．其中说法正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4)a -，点()14,A y 是该抛物线上一点，若点()22,B x y 是该抛物线上任意一点．有下列结论：①420a b c -+>；②抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)-，(3,0)；③若21y y >，则24x >；④若204x ≤≤，则235a y a -≤≤．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．39．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =-+-与反比例函数a b c y x -+=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．已知抛物线24y x bx =++的顶点在x 轴上，则b 的值为（）A ．2B ．4C ．-4D ．11．已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，下列关于此函数图象的描述中，正确的个数是（）①对称轴是直线1x =；②当0x <时，函数值y 随x 的增大而增大；③方程20ax bx c ++=的解为11x =-，23x =；④当1x <-或3x >时，20ax bx c ++<．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知抛物线()()()12121y x x x x x x =--+<，抛物线与x 轴交于(,0)m ，(,0)n 两点()m n <，则m ，n ，1x ，2x 的大小关系是（）A ．12x m n x <<<B ．12m x x n <<<C ．12m x n x <<<D ．12x m x n <<<二、填空题13．已知将抛物线2y ax c =+向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线经过点(0,5)，则1234a c +-的值为______．14．已知二次函数y=ax 2﹣4ax+4，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，y 的值为________________________15．如图已知1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅是x 轴上的点，且112233411n n OA A A A A A A A A -====⋅⋅⋅==，分别过点1A ，2A ，3A ，n A ⋅⋅⋅作x 轴的垂线交二次函数()02>=x x y 的图象于点1P ，2P ，3P ，n P ⋅⋅⋅，若记11OA P △的面积为1S ，过点1P 作1122P B A P ⊥于点1B ，记112P B P △的面积为2S ，过点2P 作2233P B A P ⊥于点2B ，记223P B P △的面积为3S ，…依次进行下去，则3S =______，最后记()111n n n PB P n -->△的面积为n S ，则n S =______．16．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．17．抛物线212133y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，则ABC 的面积为 _______．18．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A 点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m 处达到最高，高度为5m ，水柱落地处离池中心距离为6m ，则水管的长度OA 是________m ．19．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．20．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表：该二次函数图象向左平移____________个单位，图象经过原点． x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 …三、解答题21．如图，抛物线y ＝a （x ﹣1）2+4与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD//x 轴交抛物线的对称轴于点D ，连接BD ，已知点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形COBD 的面积．（3）直线BC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值互为相反数；当0x <时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)(0)x x y x x -≥⎧=⎨<⎩．（1）已知点(1,3)A -在一次函数2y ax =-的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数2283y x x =-+-．①当点(,4)B m -在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当23x -≤≤时，求函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值和最小值． 23．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．（1）假设设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?24．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y （件）与销售单价x （元）(5090)x ≤≤之间的函数关系如图中的线段AB ．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）（1）求出y 与x 之间的函数表达式．（2）该商品每月的总利润w （元），求w 关于x 的函数表达式，并指出销售单价x 为多少元时利润w 最大，该月进货数量应定为多少？（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？25．如图，在平面直角坐标系中，点()2,3A 为二次函数()220y ax bx a =+-≠与反比例函数()0k y k x=≠在第一象限的交点，已知该抛物线()220y ax bx a =+-≠与x 轴正、负半轴分别交于点E 、点D ，交y 轴负半轴于点B ，且1tan 2ADE ∠=．（1）求二次函数和反比例函数的表达式；（2）已知点M 为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点D M B E 、、、，求四边形DMBE 面积的最大值．26．在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A -，点M 为抛物线的顶点，点B 在y 轴上，且OA OB =，直线AB 与抛物线在第一象限交于点()2,6C ，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AB 的函数解析式、点M 的坐标和ABO ∠的余弦值．（3）连接OC ，若过点O 的直线交线段AC 于点P ，将AOC △的面积分成1:2的两部分，求点P 的坐标为______．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，可得△＝221410m m m -⨯->(+)()且0m ≠求解后即可得出结论．【详解】解：∵原函数是二次函数，∴0m ≠，∵二次函数2(21)1y mx m x m =+++-的图象与x 轴有两个交点，则△＝240b ac ->，即221410m m m -⨯->(+)()，解得18m >-． ∴m 的取值范围是18m >-且0m ≠．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，掌握抛物线与x 轴的交点问题与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．2．C解析：C【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．【详解】解：()()22243443421y x x x x x =-+=-++-=--．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键．3．D解析：D【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2)【详解】令x=0，则y=2，∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)，【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；4．B解析：B【分析】根据待定系数法求得抛物线的解析式和AB 的解析式，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，根据图象的位置即可得出2(4)9CD x =--+，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：二次函数2y x bx c =++的图象经过坐标原点O 和点(7,0)A ， ∴04970c b c =⎧⎨++=⎩，解得70b c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数为27y x x =-，(7,0)A ，(0,7)B -，∴直线AB 为：7y x =-，令277x x x -=-，解得：11x =，27x =，∴点E 的横坐标为1，则点C 始终在点D 上方，设(,7)C x x -，则2(,7)D x x x -，2227(7)87(4)9CD x x x x x x ∴=---=-+-=--+，17x ∴<<范围内，有最大值9，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，表示出CD 的关系式是解题的关键．5．A解析：A根据题意首先求得抛物线的对称轴，然后由抛物线的轴对称性质和二次函数的性质解答．【详解】解：过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，根据题意，该抛物线的对称轴是直线x=422- =1．设点Q 的运动速度是每秒v 个单位长度，则∵当t=3和t=9时，n 的值相等，∴x=12[(9v−2)+(3v−2)] =1， ∴v=12． ①当t=6时，AQ=6×12=3，此时点P 是抛物线顶点坐标，即n 的值最大，故结论正确； ②当t=10时，AQ=10×12 =5，此时点Q 与点B 不重合，即n≠0，故结论错误； ③当t=5时，AQ=52，此P 时点的坐标是（12 ，0）；当t=7时，AQ=72，此时点P 的坐标是（32，0）．因为点（12，0）与点（32，0）关于对称轴直线x=1对称，所以n 的值一定相等，故结论错误； ④t=4时，AQ=4×12=2，此时点Q 与原点重合，则m=0，故结论正确．综上所述，正确的结论是①④．故选：A ．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得对称轴和点Q 的运动速度是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，可设()()2121m x x y m m +--+=，从而得到1m +＞0且∆＜0，进而即可求得m 的取值范围．【详解】解：设()()2121m x x y m m +--+=， ∵关于x 的二次三项式()()2121m x m x m +--+的值恒为正，∴()()2121m x m x m +--+＞0，∴在函数()()2121m x x y m m +--+=中， 1m +＞0，且()()22141m m m ∆=--⎡⎤-+⎣⎦＜0，解得：m ＞18故选：A【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数的性质． 7．D解析：D【分析】把P 点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．【详解】解：甲：当n ＝﹣1时，m （﹣m +2）＝﹣1，整理得：m 2﹣2m ﹣1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，即此时点P 的个数为2，故甲的说法正确；乙：当n ＝0时，m （﹣m +2）＝0，解得：m ＝0或2，即此时点P 的个数为2，故乙的说法错误；丙：当n ＝1时，m （﹣m +2）＝1，整理得：m 2﹣2m +1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，即此时点P 的个数为1，故丙的说法正确；丁：当n ＝2时，m （﹣m +2）＝2，整理得：m 2﹣2m +2＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即此时点P 的个数为0，故丁的说法正确；所以正确的个数是3个，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．8．C解析：C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出4a a b c -=++，2b a =-，3c a =-，则可对①进行判断；抛物线解析式为223y ax ax a =--，配成交点式得()()31y a x x =-+，可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算4x =时5y a =，根据二次函数的性质可对④进行判断【详解】①根据抛物线()20y ax bx c a =++≠的图像可知抛物线的对称轴12b x a=-= 2b a ∴=-顶点坐标为（1、4a -）4a a b c ∴-=++3c a ∴=-424435a b c a a a a ∴-+=+-=抛物线开口向上，则0a >420a b c ∴-+>故结论①正确②2b a =-，3c a =-()()22331y ax ax a a x x ∴=--=-+∴抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于（1-、0），（3、0）故结论②正确③A （4、1y ）关于直线1x =的对称点为（2-、1y ）∴当21y y >时，则24x >或22x <-故结论③错误④当4x =时，116416835y a b c a a a a =++=--=∴当204x ≤≤时，245a y a -≤≤故结论④错误故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，也考查了二次函数的性质，解题关键是把求二次函数与x 轴交点问题转化为解关于x 一元二次方程，并熟练掌握二次函数的性质．9．B解析：B【分析】先根据二次函数2y ax bx c =++的图象判断出a 、b 、c 、a b c -+的符号，再用排除法对四个答案进行逐一检验．【详解】解：由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知，0a >，因为图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以0c <，对称轴位于y 轴右侧，可知02b a ->，所以0b <， ∵0a >，0b <，0c <，0ac <，∴b 2−4ac ＞0，-b ＞0，∴二次函数24y bx b ac =-+-的图象过一、二、四象限，故可排除A 、C ；由函数图象可知，当1x =-时，0y >，即0y a b c =-+>，∴反比例函数a b c y x-+=的图象在一、三象限，可排除D 选项，故选：B ．【点睛】此题比较复杂，综合考查了二次函数、一次函数及反比例函数图象的特点，锻炼了学生数形结合解题的思想方法． 10．D解析：D【分析】抛物线的顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标为0，根据顶点纵坐标公式，列方程求解．【详解】解：抛物线24y x bx =++的顶点纵坐标为241441b ⨯⨯-⨯， ∵顶点在x 轴上， ∴241441b ⨯⨯-⨯=0，解得b 2=16，b=±4．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点在x 轴上，则顶点坐标的纵坐标为0．11．D解析：D【分析】利用拋物线的顶点的横坐标为1可对①进行判断；根据二次函数的性质对②进行判断；利用对称性得到拋物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），则可对③进行判断；观察函数图象，当抛物线在x 轴下方时，得出其x 的取值范围,则可对④进行判断.【详解】根据函数图像可知，抛物线的对称轴为直线1x =，故①的说法正确；当1x <时，函数y 随x 的增大而增大，故②的说法正确；点（1-、0）关于1x =的对称点为（3、0），则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3、0），所以方程20ax bx c ++=的解为121,3x x =-=，故③说法正确；由函数图像可知，当1x <-或3x >时，抛物线在x 的下方，即20ax bx c ++<，所以④的说法正确综上所述①②③④的说法都正确故选：D ．【点睛】本题考查了拋物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.也考查了二次函数的性质． 12．A解析：A【分析】根据题意画出草图，结合图象解答即可．【详解】解：当x=x 1时，y=1；当x=x 2时，y=1；又∵m<n ，()()()12121y x x x x x x =--+<的二次项系数大于0，∴函数图象大致如图所示，∴12x m n x <<<，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意画出函数的大致图象是解答本题的关键．二、填空题13．【分析】首先求出平移后的抛物线的解析式把点（05）代入解析式得变形为再把变形为代入求值即可【详解】解：抛物线向右平移2个单位解析式为再向上平移3个单位后得到的抛物线解析式为∵抛物线经过点∴∴∴=故答解析：【分析】首先求出平移后的抛物线的解析式2(2)3y a x c =-++，把点（0，5）代入解析式得435a c ++=，变形为42a c +=，再把1234a c +-变形为3(4)4a c +-代入求值即可．【详解】解：抛物线2y ax c =+向右平移2个单位，解析式为2(2)y a x c =-+，再向上平移3个单位后得到的抛物线解析式为2(2)3y a x c =-++∵抛物线经过点(0,5)，∴435a c ++=∴42a c +=∴1234a c +-=3(4)4a c +- 324=⨯-64=-2=故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握旋转及平移的规律是解题的关键． 14．4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性可以求得的值从而可以求得相应的y 的值【详解】解：∵y=当x 分别取两个不同的值时函数值相等∴∴当x 取时y=故答案为4【点睛】本题考查二次函数图象上的解析：4【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得12x x +的值，从而可以求得相应的y 的值．【详解】解：∵y=()2244244ax ax a x a -+=--+，当x 分别取 12,x x 两个不同的值时，函数值相等，∴124x x +=，∴当x 取12x x +时，y=()242444a a --+=，故答案为4．【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出点P （11）则根据三角形面积公式求得S1＝同样求得S2＝S3＝S4＝所有对应的三角形面积的分母都为2分子为2n-1从而可得Sn=【详解】解：∵当∴点P1（解析：52， 212n - 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出点P （1，1），则根据三角形面积公式求得S 1＝12，同样求得S 2＝32，S 3＝52，S 4＝72，所有对应的三角形面积的分母都为2，分子为2n-1，从而可得S n =212n -．【详解】解：∵()02>=x x y 当1x =，1y =，∴点P 1（1，1）∴S 1＝111122=⨯⨯= 当2x =时，224y ==∴点P 2（2，4）∴S 2()1314122=⨯⨯-=当3x =时，239y ==∴点P 2（3，9）∴S 3()1519422=⨯⨯-= 同理：S 4()17116922=⨯⨯-= ∴S n 212n -= 故答案为：52；212n - 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也涉及到三角形面积公式，图形类规律探索，解题的关键是学会利用数形结合的思想，找出相应三角面积的规律．16．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件，数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=，故答案为13．【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．17．2【分析】由与x 轴交于点AB 即y=0求出x 即得到图象与x 轴的交点坐标与y 轴交于点C 即x=0求出y 得到与y 轴的交点坐标得出ABAC 的长度从而得出△ABC 的面积；【详解】∵与x 轴交于点AB 则解得：即交点解析：2【分析】由212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，即y=0，求出x ，即得到图象与x 轴的交点坐标，与y 轴交于点C ，即x=0，求出y ，得到与y 轴的交点坐标，得出AB 、AC 的长度，从而得出△ABC 的面积；【详解】 ∵212133y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，则2121=033x x -++，解得：11x =- ，23x = ，即交点坐标分别为(-1，0)，(3，0)； ∵212133y x x =-++与y 轴交于点C ，将x=0代入得y=1，∴ 点C(0，1)，∴ △ABC 的面积为：1141222AB OC ⨯⨯=⨯⨯= ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求法，进而得出有关三角形的面积，正确得出有关坐标是解题的关键． 18．【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 将（25）与（60）代入解析式求得a 的值再令x=0求得y 的值即可得出答案【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k 由题意可知抛物线的顶点为（25 解析：154【分析】设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，将（2，5）与（6，0）代入解析式，求得a 的值，再令x=0，求得y 的值，即可得出答案．【详解】解：设抛物线解析式为y=a （x-h ）2+k ，由题意可知抛物线的顶点为（2，5），与x 轴的一个交点为（6，0），∴0=a （6-2）2+5，解得：516a， ∴抛物线解析式为：25(2)516y x =--+ 当x=0时，2515(02)5164y ==--+ ∴水管的长度OA 是154m ．故答案为：154．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．19．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-；再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 20．3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（30）可得结论【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝＝∵抛物线与x 轴一个交点为（−20）∴抛物线与x 轴另一个交点为（30）∴该二次解析：3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），可得结论．【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝012+＝12， ∵抛物线与x 轴一个交点为（−2，0），∴抛物线与x 轴另一个交点为（3，0）， ∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移2个单位，图象经过原点．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决．三、解答题21．（1）y ＝﹣（x ﹣1）2+4；（2）6；（3）存在，当P 31524⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，△PBC 的面积最大，最大值为278．【分析】（1）把A 的坐标代入抛物线解析式求得a 的值即可得解；（2）根据抛物线的性质可以得到CD 、OC 、OB 的值，再根据梯形面积的计算公式可以得到答案；（3）过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点F ，交AB 于点E ，设P （m ，﹣2m +2m+3），则△PBC 的面积可以表示为m 的二次函数，最后根据二次函数的性质即可得到解答．【详解】解：（1）将A （﹣1，0）代入y ＝()214a x -+中，解得：a ＝﹣1，则抛物线解析式为y ＝()214x --+；（2)对于抛物线解析式y ＝()214x --+，令x ＝0，得到y ＝3，即OC ＝3，∵抛物线解析式为y ＝()214x --+的对称轴为直线x ＝1， ∴CD ＝1，∵A （﹣1，0），∴B （3，0），即OB ＝3则COBD S 梯形＝1332+⨯（）＝6；（3）y ＝()221423x x x --+++＝﹣．设直线BC 为(0)y px q p =+≠将B （3，0），C （0，3）代入直线BC 得：直线BC 的解析式为：y ＝﹣x+3．如图，过点P 作y 轴的平行线，交直线BC 于点F ，交AB 于点E ，设P （m ，﹣2m +2m+3），则F （m ，﹣m+3），∴PF ＝﹣2m +2m+3+m ﹣3＝﹣2m +3m ．∴PBC S ＝12PF•OB ＝12（﹣2m +3m ）×3 ＝23327m 228--+（） ∴当m=32时，△PBC 的面积最大，此时﹣2m +2m+3=2332322-+⨯+（）=154，即当P 31524（，）时，△PBC 的面积最大，最大值为278．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数解析式的求法、抛物线的性质及梯形和三角形面积的求法是解题关键．22．（1）-5；（2）①m =3222-，m =222+，m =222-；②最大值为3，最小值为-27【分析】（1）先得到2y ax =-的相关函数，再将点A 代入计算即可；（2）①写出二次函数2283y x x =-+-的相关函数，再代入计算； ②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答．【详解】解：（1）2y ax =-的相关函数为2(0)2(0)ax x y ax x -+≥⎧=⎨-<⎩，将(1,3)A -代入2y ax =-，得5a =-；（2）①二次函数2283y x x =-+-的相关函数为22283(0)283(0)x x x y x x x ⎧-+≥=⎨-+-<⎩，当0m <时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+-，得：m =2+m =22-，当0m ≥时，将(,4)B m -代入2283y x x =-+，得：m =2m =2∴m =2-m =2+m =2- ②当20x -≤<时，2283y x x =-+-，抛物线的对称轴为2x =，此时y 随x 的增大而增大，∴此时273y -≤<-，当03x ≤≤时，函数2283y x x =-+，抛物线的对称轴为2x =，当2x =有最小值，最小值为-5，当0x =时，有最大值，最大值3y =，∴当23x -≤≤时，函数2283y x x =-+-的相关函数的最大值为3，最小值为-27．【点睛】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．23．（1）2101002000(020)y x x x =-++≤<；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）(6050)(20010)y x x =-+-2(10)(20010)101002000(020)x x x x x =+-=-++≤<．（2）2210100200010(52250y x x x =-++=--+)所以，当5x =时，y 取得最大值为2250．答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润⨯销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．24．（1）()1010005090y x x =-+；（2）当销售单价为70元时，总利润w 最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【分析】（1）利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；（3）设当月月利润为m ，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m 与x 函数关系式，根据二次函数性质即可求解．【详解】解：（1）设y 与x 之间函数关系式为()0y kx b k =+≠，将点A （50,500），B （90,100）代入函数关系式得5050090100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴求出y 与x 之间的函数表达式为()1010005090y x x =-+；（2）由题意得()()10100040w x x =-+-21014004000x x =-+-()210709000x =--+，∴当销售单价为70元时，总利润w 最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件；（3）设当月月利润为m ， ()()()()210100040403635010001010136037400m x x x x x =-+----+=-+-， ∵-10＜0，∴当136068220b x a =-==-时，m 最大，答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．【点睛】本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．25．（1）213222y x x =+-；6y x =；（2）9 【分析】（1）将()2,3A 代入反比例函数解析式即可求出k 值；再根据1tan 2ADE ∠=构建直角三角形即可求出D 点坐标；再讲A 、D 两点坐标代入二次函数解析式即可求出二次函数的表达式；（2）作出辅助线后将所求四边形的面积分为三部分，即DHM △、OEB 和梯形HOBM ，分别求出后求和，即可得出面积S 与M 点横坐标m 的二次函数关系式，有函数性质即可求出四边形DMBE 面积的最大值．【详解】解：（1）如图，过A 点作AC x ⊥轴且与x 轴交于点C ；将()2,3A 代入k y x =中，解得6k =， ∴6y x=， ∴3AC =，2OC = ∵1tan 2ADE ∠=， ∴6DC =，∴4DO DC OC =-=，∴(4,0)D -，将A ，D 代入()220y ax bx a =+-≠中得： 422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩ 解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴二次函数表达式为：213222y x x =+-；（2）如图，过M 作MH x ⊥轴于H ，并设点M 的坐标为213(,2)22m m m +-， ∵M 点在第三象限∴213222MH m m =--+ 则+DMBE HOBM S S S S =+△DHM △OEB 四边形梯形， 4212=222m MH m ++⨯++（）MH （）(-) 42=12mMH MH m mMH +--+ =21MH m -+213=2(2)122m m m --+-+ 2=45m m --+2=(2)9m -++∴当2m =-时四边形DMBE 的面积最大，最大面积为9．【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数、反比例函数的解析式以及函数的性质和数形结合的能力，对于学生的综合能力要求较高．26．（1）2122y x x =+；（2）4y x =+，()2,2M --，cos 2ABO ∠=；（3）(2,2)P -或(0,4)【分析】（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式，求出b 、c 的值，即可求解抛物线的解析式；（2）点A （−4，0），OB ＝OA ＝4，故点B （0，4），利用待定系数法求出AB 的表达式，并根据二次函数关系式，可求得点M 的坐标，并由函数关系式得ABO ∠的度数，即可求出ABO ∠的余弦值；（3）OP 将△AOC 的面积分成1：2的两部分，则可利用高相等时，面积比等于底之比得13AP AC =或23AC ，得出13p c y y =或23p c y y =，即可求解．【详解】解：（1）将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：11640214262b c b c ⎧⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩，解得20b c =⎧⎨=⎩，故抛物线的解析式为：2122y x x =+．（2）点(4,0)A -，4OB OA ==，故点(0,4)B ，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋4，将点A 坐标代入得，−4k ＋4＝0，∴k ＝1．∴直线AB 的表达式为：y ＝x ＋4．对于2122y x x =+，函数的对称轴为2x =-，故点()2,2M --，则45ABO ∠=︒，故cos 2ABO ∠=．（3）∵OP 将AOC △的面积分成1:2的两部分， ∴13OAP OAC S S =△△或23OAP OAC S S =△△，则13AP AC =或23AP AC =． ①13AP AC =，则13p c y y =，即163p y =．解得2p y =．当2p y =时，42x +=解得2x =-， ②23AP AC =，则23p c y y =，即236py =．解得4p y =．当4p y =时，44x +=，解得0x =，故点(2,2)P -或(0,4)．故答案为：(2,2)P -或(0,4)．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、面积的计算等，掌握待定系数法、二次函数的图象与性质等相关知识并能灵活应用其解决问题是解题的关键．。

二次函数单元测试题a卷及答案

二次函数单元测试题a卷及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是（）。

A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 0答案：A2. 二次函数y=-2x^2+4x-1的顶点坐标是（）。

A. (1, 3)B. (2, 1)C. (1, 1)D. (2, 3)答案：A3. 若抛物线y=x^2-6x+c与x轴有交点，则c的取值范围是（）。

A. c > 9B. c < 9C. c ≥ 9D. c ≤ 9答案：D4. 二次函数y=x^2-4x+c的对称轴方程是（）。

A. x = 2B. x = -2C. x = 4D. x = -4答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 二次函数y=2x^2-8x+3的顶点坐标为（）。

答案：(2, -5)2. 若二次函数y=x^2+2x-3与y轴交于点（0, -3），则该函数与x轴的交点坐标为（）。

答案：(1, 0)，(-3, 0)3. 已知二次函数y=-x^2+4x-3，求该函数的最小值。

答案：-44. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标为（）。

答案：(1, 3)三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知二次函数y=x^2-2x-3，求该函数的图像与x轴的交点坐标。

答案：解：令y=0，得到方程x^2-2x-3=0，解得x=3或x=-1，所以交点坐标为（3, 0）和（-1, 0）。

2. 已知抛物线y=2x^2-4x+3，求该抛物线的顶点坐标和对称轴。

答案：解：将抛物线方程化为顶点式，即y=2(x-1)^2+1，所以顶点坐标为（1, 1），对称轴为x=1。

四、综合题（每题10分，共20分）1. 已知二次函数y=x^2-6x+c，当x=1时，y=-4。

求c的值，并写出该函数的顶点坐标。

答案：解：将x=1，y=-4代入方程，得到1-6+c=-4，解得c=1。

所以函数为y=x^2-6x+1，顶点坐标为（3, -8）。

新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(答案解析)

一、选择题1．当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 2．下列函数关系式中，属于二次函数的是（）A ．21y x =+B ．21y x x =+C ．()()221y x x x =+--D ．21y x =-3．根据下列表格中的对应值：x 1.981.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（）A ．1.00 1.98x <<B ．1.98 1.99x <<C ．1.99 2.00x <<D ．2.00 2.01x <<4．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图像，对于下列说法：①abc ＞0，②240b ac ->，③a +b +c ＜0，④当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．把抛物线231y x =+向上平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（） A ．233y x =+B ．231y x =-C ．()2321y x =++D ．()2321y x =-+ 6．对于二次函数()2532y x =-+的图象，下列说法中不正确的是（）A ．顶点是()3,2B ．开口向上C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是3x =7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax b =+的图象大致是（）．A ．B ．C ．D ．8．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x 时，0y >，其中正确的是（）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤ 9．如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A ．23x <<B ．34x <<C ．45x <<D ．56x << 10．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．11．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<< 12．在平面直角坐标系中，将函数22y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到图象的函数解析式是（）A ．22(1)5y x =-++B ．22(1)5y x =--+C ．22(1)5y x =-+-D ．22(1)5y x =---第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．在ABC 中，A ∠，B 所对的边分别为a ，b ，30C ∠=︒．若二次函数2()()()y a b x a b x a b =+++--的最小值为2a -，则A ∠=______︒． 14．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端B 处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，则水管AB 的长为_____m ．15．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．16．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，则42a b c ++=___________． x 3-1- 0 1 3 y 552 152 72 72 31217．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．18．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____． 19．若123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --为二次函数245y x x =-+的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系为__________．20．过点()0,2，()2,2，()2,1--的二次函数图象开口向_______（填“上”或“下”）三、解答题21．已知二次函数21y x mx n =++的图象经过点()3,1P -，对称轴是直线1x =-．（1）求m ，n 的值；（2）如图，一次函数2y x b =+的图象经过点P ，与二次函数的图象相交于另一点B ，请求出点B 的坐标，并观察图象直接写出12y y ≥的x 的取值范围．22．如图，已知正三角形ABC 的边长为4，矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，F 、G 点在AB 、AC 边上，求矩形DEFG 的面积的最大值是多少？23．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？24．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，10AC BD ，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？25．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售．已知这种玩具销售量y （个）与每个降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？26．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据选项中的二次函数图象和一次函数图象，判断a 和b 的正负，选出正确的选项．【详解】A 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足0ab >，故错误；B 选项，抛物线开口向上，0a >，一次函数过一、二、四象限，0a <，0b >，不满足ab>0，故错误；C 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过一、三、四象限，0a >，0b <，不满足ab>0，故错误；D 选项，抛物线开口向下，0a <，一次函数过二、三、四象限，0a <，0b <，满足ab>0，正确故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象与各项系数的关系，解题的关键是掌握根据函数图象判断各项系数正负的方法．2．D解析：D【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 3．D解析：D【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大，当 2.00x =时，0.030y =-<，当 2.01x =时，0.010y =>，∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．4．C解析：C【分析】根据抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上即可求出a 、b 、c 的正负，即可判断①；根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-2b a＞0，c ＜0，即b ＜0，∴abc ＞0，∴①正确；由抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，故②正确；由图象可知：x=1时，y=a+b+c ＜0，故③正确；由图象可得，当0<x<-2b a时，y 随着x 的增大而减小，故④错误； ∴正确的个数有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力．5．A解析：A【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．【详解】解：把抛物线231y x =+向上平移2个单位可得233y x =+，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的平移变换，熟悉二次函数的平移规律是解题的关键． 6．C解析：C【分析】根据函数图象和性质逐个求解即可．【详解】解：对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，顶点坐标为（3，2）， A ．二次函数y ＝5（x ﹣3）2+2的图象的顶点坐标为（3，2），故本选项不符合题意； B ．由于a ＝5＞0，所以抛物线开口向上，故本选项不符合题意；C ．由于y ＝5（x ﹣3）2+2＝5x 2﹣30x+47，则△＝b 2﹣4ac ＝900﹣4×5×47＝﹣40＜0，所以该抛物线与x 轴没有交点，故本选项符合题意；D ．对于y ＝5（x ﹣3）2+2，则该函数的对称轴为直线x ＝3，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 7．C解析：C【分析】根据二次函数图象，知道开口和对称轴，判断a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象．【详解】解：根据二次函数图象知：开口向下，则0a < 故一次函数从左往右是下降趋势．对称轴再y 轴左边，故02b a-< 即得：0b < 故一次函数交y 轴的负半轴．则一次函数y ax b =+图象便为C 选项故本题选择C ．【点睛】本题属于二次函数与一次函数的综合，关键在意找到系数的正负．8．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．9．C解析：C【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 10．B解析：B【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断． 11．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．B解析：B【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=-2（x-1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=-2（x-1）2+5．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．75【分析】根据二次函数的性质当时y 有最小值为由此得到=整理得a=b 从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题【详解】∵ab 是的边∴a+b ＞0；∴有最小值且当x=时取得最小值y=根据题意得=整理得a=b解析：75【分析】根据二次函数的性质，当1x 2=-时，y 有最小值为534a b -+，由此得到534a b -+=2a -，整理得a=b ，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】∵a ，b 是ABC 的边，∴a+b ＞0；∴2()()()y a b x a b x a b =+++--有最小值，且当x=()12()2a b a b +-=-+时，取得最小值，y=534a b -+，根据题意，得534a b -+=2a -，整理，得a=b ， ∴ABC 是等腰三角形，∵30C ∠=︒， ∴180180307522C A -∠-∠===︒， ∴∠A 的度数为75︒，故填75.【点睛】本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键.14．【分析】以喷水池中心A 为原点竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3）将（30）代入求得a 值则x ＝0时得的y 值解析：94【分析】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管AB 所在直线为y 轴，与水管垂直的AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，由于喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，所以设抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x≤3），代入（3，0），得：0=a （3-1）2+3，解得：a ＝34-．将a 值代入得到抛物线的解析式为：y ＝34-（x ﹣1）2+3（0≤x≤3），令x ＝0，则y ＝94．即水管AB 的长为94m ，故答案为：94．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．15．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．【分析】先根据和的函数值相同可得二次函数的对称轴为从而可得再根据时的函数值可得从而可得由此即可得【详解】和的函数值相同此二次函数的对称轴为即当时则故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质正确求出二解析：152【分析】先根据0x =和1x =的函数值相同可得二次函数的对称轴为12x =，从而可得=-b a ，再根据1x =-时的函数值可得152a b c，从而可得1522a c ，由此即可得．【详解】 0x =和1x =的函数值相同，∴此二次函数的对称轴为12x =， 122b a ∴-=，即=-b a ，当1x =-时，152ya b c ， 1522a c ，则4242abc a a c ， 2a c ， 152=，故答案为：152．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴是解题关键． 17．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 18．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式再根据二次函数的增减性即可得【详解】二次函数化成顶点式为由二次函数的性质可知当时y 随x 的增大而减小点在此二次函数的图象上且故答案为：【点睛】本题考查二次函数的顶解析：123y y y >>【分析】先将二次函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的增减性即可得．【详解】二次函数245y x x =-+化成顶点式为22()1y x =-+，由二次函数的性质可知，当2x ≤时，y 随x 的增大而减小，点123(4,),(1,),(1,)A y B y C y --在此二次函数的图象上，且4112-<-<<， 123y y y ∴>>，故答案为：123y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的顶点式和增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 20．下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式然后根据二次项系数即可解答【详解】解：设一般式y=ax2+bx+c 由题意得：解得由＜0则该函数图像开口向下故答案为：下【点睛】本题考查了二次函数图像的性质解析：下【分析】先用待定系数法确定二次函数的解析式，然后根据二次项系数即可解答．【详解】解：设一般式y=ax 2+bx+c ，由题意得：2=c 2=42142a b c a b c ⎧⎪++⎨⎪-=-+⎩解得3=-83=42a b c ⎧⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩由3=-8a ＜0，则该函数图像开口向下．故答案为：下．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据题意确定二次函数的解析式是解答本题的关键．三、解答题21．（1）22m n =⎧⎨=-⎩；（2）B （2，6）；3x ≤-或2x ≥【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，从而得到m 、n 的值；（2）先把P 点坐标代入y=x+b 中求出b 得到一次函数解析式为y=x+4，再解方程组2224y x x y x ⎧=+-⎨=+⎩得B 点坐标，然后利用函数图象，写出抛物线在一次函数图象上方所对应的自变量的范围．【详解】解：（1）根据题意得93112m n m -+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，抛物线解析式为222y x x =+-；（2）把()3,1P -代入y x b =+得31b -+=，解得4b =，∴一次函数解析式为4y x =+，解方程组2224y x x y x ⎧=+-⎨=+⎩得31x y =-⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， ∴B 点坐标为()2,6，当3x ≤-或2x ≥时，12y y ≥．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．22．【分析】设EF=x ，先求出三角形ABC 的高AH 的长，由矩形性质FG ∥BC ，推出△AFG ∽△ABC 利用性质得比例式FG AM =BC AH求出4x ⋅，利用矩形面积公式S矩形DEFG =243x x -+利用函数的性质求出最值即可．【详解】过A 作AH ⊥BC 于H ，交FG 于M ，∵正三角形ABC 的边长为4，∴BH=CH=2，在Rt△ABH 中由勾股定理设EF=x ，则AM=，∵矩形DEFG 的DE 两个点在正三角形BC 边上，∴FG∥BC，∴△AFG∽△ABC，∴FG AM=BC AH，∴234AM BCFG==AH23x-⋅，∴S矩形DEFG=FE•FG=2234234323x xx x-⋅=-+，∵23a=-0<，则抛物线开口向下，有最大值，3232x=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭S最大=23．【点睛】本题考查等边三角形内接矩形问题，涉及等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握等边三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质是解题关键．23．（1）y=x2-3x+2；（2）点P的坐标为（32，12）；（3）当t=1时，S△BCN的最大值为1．【分析】（1）先确定c，然后再根据OC=2OA确定A点的坐标，再将A点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，此时PA+PB最小；然后求得直线BC的解析式，最后确定P'的坐标即可；（3）先求出M点坐标，然后再根据S△BCN=S△MNC+S△MNB确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），∴c=2又∵OC=2OA，∴OA=1，即A（1，0）；又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，∴0=12+b×1+2，b=-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；（2）如图：作点A关于直线l对称的对称点，即点B，连接BC，与直线l交于点P'，则PA+PC的最小值为P'B+P'C=BC，设BC的解析式为y=mx+n，令x2-3x+2=0，解得：x=1或2，∴B（2，0），又∵C（0，2），∴202m nn+=⎧⎨=⎩，解得：12mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为：y=-x+2，令x=32，代入，得：y=12，∴当PC+PA最小时，点P的坐标为（32，12）；（3）如图：∵点M是直线l'和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，，∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=12MN▪t+12MN▪（2-t）=12MN▪（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．24．当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出12S AC BD =⋅，再利用配方法求出二次函数最值即可．【详解】解：设AC=x ，四边形ABCD 面积为S ，则BD=10-x ，则：211125(10)(5)2222S AC BD x x x =⋅=-=--+， ∴当x=5时，S 最大=252，所以当AC=BD=5时，四边形ABCD 的面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用．理解对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半是解题关键．25．（1）()10100020y x x =+<<；（2）每个降价5元时，获利最大，最大利润是2250元【分析】（1）由待定系数法可以得到解答；（2）由题意可以得到获利与降价之间的函数关系，根据所得函数的性质即可得到答案．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，当1x =时，110y =；当4x =时，140y =，∴110,4140,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得10,100,k b =⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数解析式为()10100020y x x =+<<．（2）设该玩具每个降价x 元时，小王获利最大，最大利润是w 元．根据题意得()()2604010100101002000w x x x x =--+=-++， ∴()21052250w x =--+，故该玩具每个降价5元时，小王获利最大，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，由题意得到有关变量的函数解析式是解题关键．26．（1）211122y x x =--；（2）-1＜x ＜4．【分析】（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．【详解】（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，∴1016415a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴12a =，12b =-， ∴二次函数的解析式为211122y x x =--；（2）当0y =时，得：01x =+，解得1x =-，当4x =时，得：5y =，解得1x =-，∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，∴图象如图，观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．。

二次函数单元测试题A卷(含答案)

第【2 】22章二次函数单元测试题(A卷)(测验时光：120分钟满分：120分)一.选择题（每小题3分,共30分）1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x22．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的极点坐标是（）A．（1,3）B．（﹣1,3）C．（1,﹣3）D．（﹣1,﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位,再向下平移2个单位,则所得抛物线的解析式为（）A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣24．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,则下列说法不准确的是（）A．b2﹣4ac＞0B．a＞0 C．c＞0 D．5．给出下列函数：①y=2x;②y=﹣2x+1;③y=（x＞0）;④y=x2（x＜﹣1）．个中,y随x的增大而减小的函数是（）A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在统一向角坐标系中,函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数,且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表,则y＞0时,x的取值规模是（）x﹣2 ﹣1 0 1 2 3y﹣4 0 2 2 0 ﹣4A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x 的函数关系式为（）A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图,已知：正方形ABCD边长为1,E.F.G.H分离为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分,共18分）11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C （0,3）,则二次函数的解析式是．12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为．13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为．14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,天天能卖出20个．若这种商品的零售价在必定规模内每降价1元,其日发卖量就增长了1个,为了获得最大利润,则应降价元,最大利润为元．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,给出以下结论：①a+b+c＜0;②a﹣b+c＜0;③b+2a＜0;④abc＞0．个中所有准确结论的序号是．第15题第16题16．如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y（单位：m）与程度距离x（单位：m）之间的关系是．则他将铅球推出的距离是m．三.解答题（共8小题,共72分）17．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（6分）（Ⅰ）求它的对称轴;（Ⅱ）求它与x轴.y轴的交点坐标．18．已知抛物线的极点坐标为M（1,﹣2）,且经由点N（2,3）,求此二次函数的解析式．（5分）19．已知二次函数y=x2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如下表：（9分）x…﹣1 0 1 2 3 4 …y…10 5 2 1 2 5 …（1）求该二次函数的关系式;（2）当x为何值时,y有最小值,最小值是若干？（3）若A（m,y1）,B（m+1,y2）两点都在该函数的图象上,试比较y1与y2的大小．20．如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经由点A（1,0）,B（3,2）．（1）求m的值和抛物线的解析式;（8分）（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）21．二次函数图象过A.C.B三点,点A的坐标为（﹣1,0）,点B的坐标为（4,0）,点C在y轴正半轴上,且AB=OC．（8分）（1）求C的坐标;（2）求二次函数的解析式,并求出函数最大值．22．某产品每千克的成本价为20元,其发卖价不低于成本价,当每千克售价为50元时,它的日发卖数目为100千克,假如每千克售价每下降（或增长）一元,日发卖数目就增长（或削减）10千克,设该产品每千克售价为x（元）,日发卖量为y（千克）,日发卖利润为w （元）．（12分）（1）求y关于x的函数解析式,并写出函数的界说域;（2）写出w关于x的函数解析式及函数的界说域;（3）若日发卖量为300千克,请直接写出日发卖利润的大小．23．二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的极点M在第二象限,且经由点A（1,0）和点B（0,1）（12分）．（1）试求a,b所知足的关系式;（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C,当△AMC的面积为△ABC面积的倍时,求a的值;（3）是否消失实数a,使得△ABC为直角三角形？若消失,要求出a的值;若不消失,请解释来由．24．如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的极点为D,与y轴的交点为C,过点C作CA∥x轴交抛物线于点A,在AC延伸线上取点B,使BC=AC,衔接OA,OB,BD和AD．（12分）（1）若点A的坐标是（﹣4,4）．①求b,c的值;②试断定四边形AOBD的外形,并解释来由;（2）是否消失如许的点A,使得四边形AOBD是矩形？若消失,请直接写出一个相符前提的点A的坐标;若不消失,请解释来由．参考答案一.选择题1.选C2.解：∵y=2（x﹣1）2+3,∴其极点坐标是（1,3）．故选A．3.解：原抛物线的极点为（0,0）,向左平行移动1个单位,再向下平移2个单位,那么新抛物线的极点为（﹣1,﹣2）,可设新抛物线的解析式为y=3（x﹣h）2+k,代入得y=3（x+1）2﹣2．故选B．4.解：A.准确,∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2﹣4ac＞0;B.准确,∵抛物线启齿向上,∴a＞0;C.准确,∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c＞0;D.错误,∵抛物线的对称轴在x的正半轴上,∴﹣＞0．故选D．5.选D;6.选D7.解：由列表可知,当x=﹣1或x=2时,y=0;所以当﹣1＜x＜2时,y的值为正数．故选A．8.解：当x=0时y=1,当y=0时,x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．选A9.选D; 10.B二.填空题（每小题3分,共18分）11.解：依据题意得,解得．∴二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．12.解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1,当选x=2时,二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1．13.解：把x=0代入得,y=﹣4,即交点坐标为（0,﹣4）．14.解：设应降价x元,发卖量为（20+x）个,依据题意得利润y=（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）=﹣x2+10x+600=﹣（x﹣5）2+625,故为了获得最大利润,则应降价5元,最大利润为625元．15.②③．16.解：当y=0时,﹣x2+x+=0,解之得x1=10,x2=﹣2（不合题意,舍去）,所以推铅球的距离是10米．三.解答题（共8小题,共72分）17.解：（I）由已知,a=4,b=﹣11,得,∴该抛物线的对称轴是x=;（II）令y=0,得4x2﹣11x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣,∴该抛物线与x轴的交点坐标为（3,0）,（﹣,0）,令x=0,得y=﹣3,∴,解得,∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5;（2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1,∴当x=2时,y有最小值,最小值是1,（3）∵A（m,y1）,B（m+1,y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上,所以,y1=m2﹣4m+5,y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2,y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3,∴①当2m﹣3＜0,即m＜时,y1＞y2;②当2m﹣3=0,即m=时,y1=y2;③当2m﹣3＞0,即m＞时,y1＜y2．20.解：（1）把点A（1,0）,B（3,2）分离代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：0=1+m,,∴m=﹣1,b=﹣3,c=2,所以y=x﹣1,y=x2﹣3x+2;（2）x2﹣3x+2＞x﹣1,解得：x＜1或x＞3．∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5∵a=﹣＜0∴当x=﹣=时,y有最大值==; 解法2：设图象经由A.C.B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）∵点C（0,5）在图象上,∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1）,解得：a=﹣,∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）∵点A,B的坐标分离是点A（﹣1,0）,B（4,0）,∴线段AB的中点坐标为（,0）,即抛物线的对称轴为直线x=∵a=﹣＜0将x=30代入w=（600﹣10x）（x﹣20）=3000．23.解：（1）将A（1,0）,B（0,l）代入y=ax2+bx+c,得：,可得：a+b=﹣1（2分）（2）∵a+b=﹣1,∴b=﹣a﹣1代入函数的解析式得到：y=ax2﹣（a+1）x+1,极点M的纵坐标为,因为,由同底可知：,（3分）整顿得：a2+3a+1=0,解得：（4分）由图象可知：a＜0,因为抛物线过点（0,1）,极点M在第二象限,其对称轴x=,∴﹣1＜a＜0,∴舍去,则（1﹣）2=（1+）+2,解得：a=﹣1,由﹣1＜a＜0,不合题意．所以不消失．（9分）综上所述：不消失．（10分）24.解：（1）①∵AC∥x轴,A点坐标为（﹣4,4）．∴点C的坐标是（0,4）把A.C两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c得,,解得;②四边形AOBD是平行四边形;来由如下：由①得抛物线的解析式为y=﹣x2﹣4x+4,∴极点D的坐标为（﹣2,8）,过D点作DE⊥AB于点E,则DE=OC=4,AE=2,∵AC=4,∴BC=AC=2,∴AE=BC．∴=,又∵AB=AC+BC=3BC,∴OB=BC,∴在Rt△OBC中,依据勾股定理可得：OC=BC,AC=OC, ∵C点是抛物线与y轴交点,∴OC=c,∴A点坐标为（﹣c,c）,∴极点横坐标=c,b=c,∵将A点代入可得c=﹣（﹣c）2+c•c+c,∴横坐标为±c,纵坐标为c即可,令c=2,∴A点坐标可认为（2,2）或者（﹣2,2）．。

人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)

一、选择题1．对于二次函数()()2140y ax a x a =+->，下列说法正确的是（）①抛物线与x 轴总有两个不同的交点；②对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点； ③若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<； ④当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤ A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定3．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．将二次函数221y x x =+-化为2()y x h k =-+的形式时，结果正确的是（）A ．2(1)2y x =+-B ．2(1)2y x =--C ．2(1)2y x =-+D ．2(1)3y x =++5．如果二次函数2112y x ax =-+，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，且关于x 的分式方程4311x ax x ++=--有正整数解，则所有符合条件的a 的值之和为（）． A ．9 B ．8 C ．4 D ．36．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，此图象与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)、(3，0).下列说法：0abc >；方程20ax bx c ++=的根为11x =-，23x =；当1x >时，y 随着x 的增大而增大；420a b c ++<.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．4D ．37．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m9．如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点()2,0和()3,0之间，对称轴是1x =．对于下列说法：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④()(a b m am b m +≥+为实数）﹔⑤当13x时，0y >，其中正确的是（）A ．①②⑤B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤10．据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP 总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP 总值为y 千亿元人民币，平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．7.9(12)y x =+B ．27.9(1)y x =-C ．27.9(1)y x =+D ．27.97.9(1)7.9(1)y x x =++++11．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．抛物线y=2(x －1)2－3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（） A ．x =－3B ．x =－1C ．x =－2D ．x =4二、填空题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．14．已知函数y ＝ax 2﹣（a ﹣1）x +1，当0<x <2时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____．15．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．16．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．17．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．18．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,3)-，这个二次函数的解析式可以是_______________________． 19．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接） 20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．如图，点O 是矩形ABCD 对角线的交点，过点O 的两条互相垂直的直线分别交矩形与动点E 、F 、G 、H ，点E 在线段AB 上运动，4=AD ，2AB =，设AE x =，AH y =（1）四边形EFGH 是什么特殊四边形？请说明理由；（2）写出y 关于x 的关系式，并写出y 的取值范围；（3）求四边形EFGH 的面积及其最值． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ，B （点A 在B的左侧），与y 轴交于点C ．（1）若OB=OC=3，求抛物线的解析式及其对称轴；（2）在（1）的条件下，设点P 在抛物线的对称轴上，求PA+PC 的最小值和点P 的坐标．23．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？24．已知关于x 的方程(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数时，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象确定实数a 的取值范围．（3）已知抛物线y ＝(k-1)x 2+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标25．疫情期间，某防疫物晶销售量y （件）与售价x （元）满足一次函数关系，部分对应值如下麦，当售价为70元时，每件商品能获得40%的利润．售价x （元）．．． 70 65 60 ．．．销售量y （个）．．．300350400．．．（2）售价为多少时利润最大？最大利润为多少？26．如图，已知抛物线2y ax c =+过点()2,2-，()4,5，过定点()0,2F 的直线y kx b =+与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）求证：BF BC =．（3）若1k =，在直线y kx b =+下方抛物线上是否存在点Q ，使得QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】①由y=0，一元二次方程()214=0ax a x +-，判别式()2=14a ∆-=0即可判断①；②抛物线中c=0，恒过原点，当x=4，函数值为4即可判断②；③抛物线对称轴为：122x a =-当11222a<-<时，解得102a <<，求出12a >即可判断③；④0a >，对称轴为：1222x a=-<，由抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大即可判断④．【详解】①由y=0，()214=0ax a x +-，()2=14a ∆-，当1=04a >时，()2=14=0a ∆-有一个交点，为此抛物线与x 轴总有两个不同的交点不正确；②由()()2140y ax a x a =+->中c=0，抛物线恒过原点（0，0），当x=4，()4=1166144416y a a a a ⨯-=++=-，抛物线恒过（4，4），为此对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()4,4和()0,0两点正确； ③()()2140y ax a x a =+->对称轴为：1441122222b a a x a a a a--=-=-==-，当11222a<-<时，解得102a <<，∴12a >，为此当12a >，若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有012x <<正确； ④()()2140y ax a x a =+->对称轴为：122x a=-， ∵0a >，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大，由此1222x a=-≤，解得10a>即0a >，为此当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，则102a <≤不正确．故选择：B ．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，抛物线过定点，抛物线的对称轴，抛物线的增减性等问题，掌握抛物线的性质以及一元二次方程根的判别式是解题关键．2．A解析：A 【分析】根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=312-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＞y 2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．3．B解析：B 【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102ba-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >， ∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键4．A解析：A 【分析】加上一次项系数的一半的平方凑成完全平方式，把一般式化为顶点式．【详解】221y x x =+-=22111x x ++--=2(1)2y x =+-，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的一般式转化为顶点式，掌握方法是解题的关键．5．C解析：C 【分析】由二次函数的性质可先确定出a 的范围，再由二次函数的性质可确定出a 的范围，解分式方程确定出a 的取值范围，从而可确定出a 的取值，可求得答案．【详解】解：∵二次函数2112y x ax =-+， ∴抛物线开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当x ＜a 时，y 随x 的增大而减小， ∵当x≤1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥1，解分式方程4311x ax x ++=--可得x ＝72a -， ∵关于x 的分式方程4311x ax x++=--有正整数解， ∵x≠1，∴满足条件的a 的值为1，3，∴所有满足条件的整数a 的值之和是1＋3＝4，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、分式方程的解，通过解分式方程以及二次函数的性质，找出a 的值是解题的关键．6．C解析：C 【分析】①由抛物线的开口方向、与y 轴的交点判定a 、c 的符号，根据对称轴确定b 的符号； ②根据二次函数图象与x 轴的交点解答； ③利用对称轴和二次函数的图象的性质作出判断； ④将x=2代入函数关系式，结合图象判定y 的符号．【详解】解：①∵抛物线的开口向上，对称轴在y 轴的右边，与y 轴的交点在y 的负半轴上， ∴a ＞0，-b2a＞0，c ＜0，即b ＜0， ∴abc ＞0，正确；②二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点是（-1，0）、（3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-1，x 2=3 故本选项正确；③函数对称轴是直线x=1，根据图象当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④根据图象可知抛物线与x 轴的交点坐标是（-1，0），（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0∴当x=1时4a+2b+c ＜0，正确．共有四个正确的，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目．7．D解析：D【分析】先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为ts ，点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32BC s =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤，由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，3AB cm =，()3BP AB AP t cm ∴=-=-，()21132322S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+，则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键．8．B解析：B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+，代入得12a =-，12c =，∴抛物线的解析式为21122y x =-+．当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =． ∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．9．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断出c 的大小，然后根据对称轴判断b 的大小，然后根据特殊值求出式子的大小即可；【详解】∵对称轴在y 轴的右侧，∴a 、b 异号，∵开口向下，∴0a <，0b >，∵函数图像与y 轴正半轴相交，∴0c >，∴0abc <，故①正确；∵对称轴12b x a=-=， ∴20a b +=，故②正确；∵20a b +=，∴2b a =-，∵当1x =-时，0y a b c =-+＜，∴()23＜0a a c a c --+=+，故③错误；根据图示，当1m =时，有最大值；当1m ≠时，有2am bm c a b c ++≤++，∴()(a b m am b m +≥+为实数），故④正确；根据图示，当13x 时，y 不只是大于0，故⑤错误；故正确的答案是①②④；故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析判断是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，第三季度季度GDP 总值约为7.9（1+x ）元，第四季度GDP 总值为7.9（1+x ）2元，则函数解析式即可求得．【详解】解：设平均每个季度GDP 增长的百分率为x ，则y 关于x 的函数表达式是：y=7.9（1+x ）2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 11．D解析：D【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据二次函数图象的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，由此即可得出答案．【详解】由题意，平移后的抛物线的解析式为2213()3y x =-+-，即22(2)3y x =+-，则此时抛物线的对称轴是直线2x =-，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．二、填空题13．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 14．【分析】分a ＜0a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时利用二次函数的性质可得出﹣≥2解之可得出a 的取值范围；当a=0时原函数为一次函数y=x+1由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大进而可得出a= 解析：113a -≤≤ 【分析】分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况考虑：当a ＜0时，利用二次函数的性质可得出﹣()12a a --≥2，解之可得出a 的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，由一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，进而可得出a=0符合题意；当a ＞0时，利用二次函数的性质可得出，﹣()12a a --≤0，解之可得出a 的取值范围．综上此题得解．【详解】解：根据题意得：当a ＜0时，﹣()12a a --≥2，解得：﹣13≤a ＜0；当a ＝0时，原函数为一次函数y ＝x +1，∵1＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴a ＝0符合题意；当a ＞0时，﹣()12a a --≤0，解得：a ≤1．综上所述：a 的取值范围是﹣13≤a ≤1，故答案为﹣13≤a ≤1．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，分a ＜0，a=0及a ＞0三种情况，找出a 的取值范围是解题的关键． 15．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点．故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．16．【分析】根据题意可确定出AB 两点的坐标从而求出对称轴为x=1依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上从而根据题意画出图形求解即可【详解】解：如图所示使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上过点E 作EF ⊥AB 则解析：2339424y x x =-- 【分析】根据题意可确定出A ，B 两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE 最小则D 点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．【详解】解：如图所示，使DE 最小则D 点必在对称轴x=1上，过点E 作EF ⊥AB ，则AF=BF ，∴AD=BD ，∵BD 为ABC 的AC 边上的高线，∴∠ADB=90°，∴∠DBF=∠BDF=45°，∴DF=BF=2．当x=1时，y=-4a ，∵抛物线开口向上，∴a>0，∴EF=4a ．∵DE=1，∴4a-2=1解得：a=34．∴抛物线解析式为3(1)(3)4y x x =+- 即2339424y x x =-- 故答案为：2339424y x x =--．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．17．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d解析：319+【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²，即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)， 319【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．18．【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3取a=-1b=0即可得出结论【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c ∵抛物线开口向下∴a ＜0∵抛物线与y解析：23=--y x【分析】根据二次函数的性质可得出a ＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c=-3，取a=-1，b=0即可得出结论．【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ．∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，-3），∴c=-3．取a=-1，b=0时，二次函数的解析式为y=-x 2-3．故答案为：y=-x 2-3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a ＜0，c=-3是解题的关键．19．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>> ∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）菱形；（2）522x y =-35()22y ≤≤；（3）2 (1)4EFGH S x =-+菱，最大值为5，最小值为4．【分析】（1）由矩形的性质可得AO =CO ，BO =DO ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，由“AAS ”可证△AEO ≌△CGO ，△DHO ≌△BFO ，可得EO =GO ， HO =FO ，可证四边形EHGF 是平行四边形，且EG ⊥HF ，可得四边形EHGF 是菱形；（2）由菱形的性质可得EH GH =，由勾股定理可得2222AE AH DH DG +=+，即可求解；（3）由面积的和差关系可得四边形EFGH 的面积=x 2﹣2x +5=(x ﹣1)2+4，由二次函数的性质可求解．【详解】解：（1）在矩形ABCD 中， OD OB =，AD BC ∥∴ADB DBC ∠=∠在ODH 和OBF 中，ADB DBC OD OB HOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ODH OBF ASA ≌∴OH OF =在OAE △和OCG 中，同理可得OE OG =∴四边形EFGH 为平行四边形又∵EG FH ⊥∴平行四边形EFGH 为菱形(2)∵AE x =，AH y =，4=AD ，2AB =∴4DH y =-，2DG BE x ==-由（1）可知EH GH =∴2222AE AH DH DG +=+即2222(4)(2)x y y x +=-+- 25x y +=522x y =- 又52x y =-，0x ≥，20x -≥，即02x ≤≤，∴0522y ≤-≤3522y ≤≤ ∴522x y =-，3522y ≤≤ (3) EFGH 112422(4)(2)22S x y y x =⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅--菱 422x y xy =+-5542222x x x x --=+⋅-⋅ 225x x =-+2(1)4x =-+∵02x ≤≤，∴当0x =或2x =时， 5S =最大；当1x =时， 4S =最小．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，二次函数的性质，利用勾股定理列出方程是解本题的22．（1）243y x x =-+，对称轴为直线2x =；（2）最小值为P 坐标(2，1)．【分析】（1）根据题意得到B 、C 两点坐标，利用待定系数法及对称轴公式求解即可；（2）连接BC 交对称轴于点P ，根据对称性及两点之间线段最短可知此时PA+PC 最小，根据勾股定理可求出最小值，再由B 、C 两点坐标求出解析式，从而求得点P 坐标．【详解】解：（1）由题意知，B(3，0)，C(0，3)，将B 、C 坐标代入可得：3930c b c =⎧⎨++=⎩，解得：43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为243y x x =-+， ∴对称轴为直线42221b x a -=-=-=⨯；（2）∵点A ，B 关于直线2x =对称，∴连接BC 交对称轴于点P ，此时PA+PC=PB+PC 的值最小，最小值为BC ，在Rt OBC 中，OB=OC=3， ∴22223332BC OB OC =+=+=，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，把x =2代入3y x =-+得：y =1，∴点P(2，1)，∴PA+PC 的最小值为32，点P 的坐标为(2，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求表达式，轴对称最短，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．23．（1）甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）每听罐头的价钱应为25元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，列出分式方程进行求解；（2）先根据（1）中的结果算出水果成本，然后设降价m 元，表示出销量和单个利润，列出总利润的表达式，最后求出最值；（3）令（2）中的利润为6万元，列式求出m 的值，取范围内的值求出罐头价钱．【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，根据题意得，180********x x =+，解得：6x =，经检验，6x =是方程的根，28x ∴+=，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：60.580.57⨯+⨯=元，每听罐头的总成本为：5773157+⨯+=元，设降价m 元，则利润()()22815300010001000W m m m =--+=-+()210000390001000564000m m +=--+， 10000-<，∴当5m =时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，()2100056400060000W m =--+=，解得：7m =或3m =，但是降价的幅度不超过定价的15%，3m ∴=， ∴售价为28325-=（元），答：每听罐头的价钱应为25元．【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程或者函数表达式进行求解．24．（1）证明见解析；（2）a ＞1或a ＜﹣4；（3）（0，2）、（﹣2，0）．【分析】（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；（2）通过解(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0得到k ＝2，由此得到该抛物线解析式为y ＝x 2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到(k-1)x 2+（2k-1）x+2﹣y ＝0恒成立，由此列出关于x 、y 的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．【详解】（1）证明：①当k ＝1时，方程为x+2＝0，所以x ＝﹣2，方程有实数根，②当k≠1时，∵△＝（2k-1）2﹣4x(k-1)×2＝4k 2-12k+9=(2k-3)2≥0，即△≥0，∴无论k 取任何实数时，方程总有实数根（2）解：令y ＝0，则(k-1)x 2+（2k-1）x+2＝0，（x-2）[(k-1)x+1]=0解关于x 的一元二次方程，得x 1＝﹣2，x 2＝11-k， ∵二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，∴1-k ＝-1，k=2．∴该抛物线解析式为y ＝x 2+3x+2，由图象得到：当y 1＞y 2时，a ＞1或a ＜﹣4．（3）依题意得(k-1)x 2+（2k-1）x+2﹣y ＝0恒成立，即k （x 2+2x ）-x 2-x ﹣y+2＝0恒成立，得：x 2+2x=0；x 1=0，y 1=2；x 2=-2，y 2=0所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．25．(1) y=-10x+1000；(2)售价为75元时有最大利润为6250元【分析】(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，然后再代入点(70,300)和点(65,350)即可求解；(2)由售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，进而得出商品的单个利润为(x-50)，再乘以销售量y 即得到关于x 的二次函数，再利用二次函数求出最大利润即可．【详解】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b ，代入点(70,300)和点(65,350)，∴3007035065k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为：y=-10x+1000；(2)∵售价为70元时，每件商品能获得40%的利润求出商品的成本为50元，∴商品的成本为：70÷(1+40%)=50元，∴商品的单个利润为：(x-50)元，设销售额为w 元，则w=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)=-10x²+1500x-50000，此时w 是关于x 的二次函数，且对称轴为x=75，∴当x=75时，w 有最大值为：-10×75²+1500×75-50000=6250元，故答案为：售价为75元时有最大利润为6250元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常常利函数的增减性来解答，我们首先要读懂题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．26．（1）2114y x =+；（2）见解析；（3）存在，最大值为222+，此时Q 点坐标为。

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第二章《二次函数》单元检测试题
一、选择题（每题3分，共24分）
1，已知点（a ，8）在二次函数y ＝a x 2的图象上，则a 的值是（）
A ，2
B ，－2
C ，±2
D ，
2，抛物线y ＝x 2＋2x －2的图象最高点的坐标是（）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3）
3，若y =（2-m ）2
3m x -是二次函数，且开口向上，则m 的值为（）
A.
D.0
4，二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则下列结论
正确的是（）
A. a b c ><>000，，
B. a b c <<>000，，
C. a b c <><000，，
D. a b c <>>000，， 5，如果二次函数y ax bx c =++2（a ＞0）的顶点在x 轴上方，那么（） A ，b 2－4ac ≥0 B ，b 2－4ac ＜0 C ，b 2－4ac ＞0 D ，b 2－4ac ＝0
6，已知h 关于t 的函数关系式为h =12gt 2（g 为正常数，t 为时间），则如图2中
函数的图像为（）
7，已知二次函数y=－12x 2－3x －52
，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且－3<x 1<x 2<x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系是（）
A.y 1>y 2>y 3
B.y 1<y 2<y 3；
C.y 2>y 3>y 1
D.y 2<y 3<y 1
8，关于二次函数y =x 2+4x －7的最大（小）值，叙述正确的是（）
A.当x =2时，函数有最大值
B.x =2时，函数有最小值
C.当x =－1时，函数有最大值
D.当x =－2时，函数有最小值 0t h
A 0t h
B 0t
h 0t h C
图2 图1
一、填空题（每题3分，共24分）
9，二次函数y =－12
2x 2+3的开口方向是_________. 10，抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝4的交点坐标是__________.
11，若二次函数y =ax 2的图象经过点（－1，2），则二次函数y =ax 2的解析式是＿＿
12，已知抛物线22b x x y ++=经过点)4
1,(-a 和),(1y a -，则1y 的值是 . 13，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），则二次函数的解析式是．
14，若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为（2，b ），则k ＝＿＿，b ＝＿＿. 15，函数y =9－4x 2，当x =_________时有最大值________.
16，两数和为10，则它们的乘积最大是_______，此时两数分别为________.
二、解答题（共52分）
17，求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标.
（1）y =4x 2+24x +35；（2）y =-3x 2+6x +2；（3）y =x 2-x +3；（4）y =2x 2+12x +18.
18，已知抛物线C 1的解析式是5422+-=x x y ，抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，求抛物线C 2的解析式．
19
（1 （2）当x 从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16.
（3）请你编出一个二次项系数是1的二次函数，使得当x =4时，函数值为16.编
出的函数解析式是什么？
20，已知抛物线y =x 2－2x －8.
（1）试说明该抛物线与x 轴一定有两个交点.
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B （A 在B 的左边），且它的顶点为P ，求△ABP 的面积.
21，已知：如图3，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =4，AC =8，
点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE =x ，DF =y .
（1）用含y 的代数式表示AE .
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围. （3）设四边形DECF 的面积为S ，求出S 的最大值.
22，某校的围墙上端由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，如图4所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB 间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固，拱高OC 为0.6米．
（1）以O 为原点，OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y =ax 2的解析式；
（2）计算一段栅栏所需立柱的总长度（精确到0.1米）.
D C B F
E A 图
3
图4
23，（2006 重庆课改）已知：m ，n 是方程2
650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2y x bx c =-++的图象经过点A （0m ，
），B （0n ，）．（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C ，D 的坐标
和BCD △的面积；（注：抛物线2
y ax bx c =++(0)a ≠的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，）；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH x ⊥轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把PCH △分成面积之比为2:3的两部分，请求出P 点的坐标．。

第二章《二次函数》单元检测试题A

人教版九年级上册数学第二单元二次函数单元测试卷(含答案)

二次函数单元测试题A卷(含答案)

八年级数学上册第二章《二次函数》单元检测卷(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)

第二章 二次函数 单元测试卷 2022-2023学年 北师大版数学九年级下册(含答案)

第二章《二次函数》2018-2019学年单元测试(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元测试训练卷(word 含答案)

第2章《二次函数》单元测试题

《二次函数》单元测试卷 (含答案)

第二章 二次函数基础测验

第二章二次函数检测题及答案解析

(必考题)初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测题(有答案解析)

二次函数单元测试题a卷及答案

新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(答案解析)

二次函数单元测试题A卷(含答案)

人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)

第二章二次函数单元测试卷 2022-2023学年北师大版数学九年级下册(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试训练卷(word 含答案)

第二章二次函数基础测验