华东版《方程与不等式》复习建议

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初三数学方程(组)与不等式(组)知识精讲华东师大版-推荐下载

观察图象得交点为（-1，-4）。
用心爱心专心
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力通根保1据护过生高管产中线工资0不艺料仅高试可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时各卷，类调需管控要路试在习验最题；大到对限位设度。备内在进来管行确路调保敷整机设使组过其高程在中1正资中常料，工试要况卷加下安强与全看过，25度并52工且22作尽护下可1关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编工保写况护复进层杂行防设自腐备动跨与处接装理地置，线高尤弯中其曲资要半料避径试免标卷错高调误等试高，方中要案资求，料技编试术5写、卷交重电保底要气护。设设装管备备置线4高调、动敷中试电作设资高气，技料中课并术3试资件且、中卷料中拒管包试试调绝路含验卷试动敷线方技作设槽案术，技、以来术管及避架系免等统不多启必项动要方方高式案中，；资为对料解整试决套卷高启突中动然语过停文程机电中。气高因课中此件资，中料电管试力壁卷高薄电中、气资接设料口备试不进卷严行保等调护问试装题工置，作调合并试理且技利进术用行，管过要线关求敷运电设行力技高保术中护。资装线料置缆试做敷卷到设技准原术确则指灵：导活在。。分对对线于于盒调差处试动，过保当程护不中装同高置电中高压资中回料资路试料交卷试叉技卷时术调，问试应题技采，术用作是金为指属调发隔试电板人机进员一行，变隔需压开要器处在组理事在；前发同掌生一握内线图部槽纸故内资障，料时强、，电设需回备要路制进须造行同厂外时家部切出电断具源习高高题中中电资资源料料，试试线卷卷缆试切敷验除设报从完告而毕与采，相用要关高进技中行术资检资料查料试和，卷检并主测且要处了保理解护。现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

方程与不等式教学复习建议

方程与不等式教学复习建议首先，在复习方程与不等式之前，学生们应该回顾一下相关的基本知识和概念。

包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、一元一次不等式和一元二次不等式的定义、性质和解法。

这些基础知识是学习方程与不等式的基础，是深入理解和应用方程与不等式的前提。

其次，在复习方程与不等式的解法时，学生们可以采用多种方法进行巩固。

比如，可以通过代入法、消元法、配方法等来解一元一次方程；通过公式法、配方法等来解一元二次方程；通过加减消元法、代入法等来解二元一次方程；通过分析法、套值法等来解一元一次不等式；通过图像法、套值法等来解一元二次不等式。

通过练习不同的解法，学生们可以更灵活地运用方程与不等式的解法，增加解题的思路和方法。

接下来，学生们可以通过大量的例题进行巩固。

在解题过程中，学生们应注意先理解题意，将问题转化为方程或不等式，然后运用相应的解法来求解。

并注意求解过程中的合理性和解的判定条件。

通过解题，学生们可以增加对方程与不等式的熟悉程度，掌握题型的套路和解题的技巧。

此外，学生们应该注重分析问题和归纳总结。

在解题过程中，学生们应该注意思考解题的思路和步骤，总结规律和特点。

通过分析问题，学生们可以更好地理解方程与不等式的含义和应用场景。

通过归纳总结，学生们可以总结解题方法和技巧，为以后的学习和应用打下基础。

最后，做好习题和试卷的复习是巩固和提高的重要方式。

学生们可以针对方程与不等式的知识点，选择一些经典的习题和试题进行练习。

可以选择一些基础的题目进行巩固，也可以选择一些较难的题目进行拓展。

通过做题，学生们可以更全面地巩固和应用方程与不等式的知识，发现和解决问题，提高解题和思考的能力。

总之，方程与不等式是高中数学中的重要内容，学生们在复习时应该注意巩固基础知识，多种解法的掌握，大量习题的练习，问题的分析和总结。

通过不断地复习和实践，学生们可以更好地理解和应用方程与不等式，提高解题和思维的能力。

希望以上建议能对学生们的方程与不等式的复习有所帮助。

华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效= 工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率=比率部分全体=； (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解. （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”. 3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x -=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤? 【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得 478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0. ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象， ∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4. ∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.【总结升华】. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根， ∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0， ∴k≤3．又∵k 为正整数， ∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x （1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

(完整版)方程与不等式的知识点梳理

方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

最新华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(基础)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（基础）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a c x x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是： ①去分母，方程两边都乘以最简公分母； ②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1. 4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集. （2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集. 要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，已知函数y ＝ax+b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于,y ax b y kx=+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是________．【思路点拨】两图象的交点就是方程组的解. 【答案】4,2x y =-⎧⎨=-⎩【解析】由图象可知y ＝ax+b 与y ＝kx 的交点P 的坐标为(-4，-2)，所以二元一次方程组,y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解为4,2.x y =-⎧⎨=-⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透，平时应加强这方面的练习与思考．举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．【答案】（1）证明：()[]()3412----=∆m m124122+-+-=m m m 1362+-=m m ()432+-=m∵不论m 取何值时，()032≥-m ∴()0432>+-m ，即0>∆∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.. （2）将2=x 代入方程()0312=-+--m x m x ，得3=m再将3=m 代入，原方程化为022=-x x ，解得2,021==x x ．2．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcab b kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根. 【思路点拨】（1）根据一元一次方程及根的条件，求k 的值；（2）把交点坐标代入二次函数的解析式求出值；（3）根据根的判别式和一元一次方程的根为正实数得出x 有两不相等的实数根．【答案与解析】（1）解：由 kx =x +2，得(k -1) x =2.依题意 k -1≠0.∴ 12-=k x .∵ 方程的根为正整数，k 为整数, ∴ k -1=1或k -1=2. ∴ k 1= 2, k 2=3.（2）解：依题意，二次函数y=ax 2-bx+kc 的图象经过点（1，0）， ∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .∴222222222a ab ab b a ab b a b a ab b a b akc ab b kc -+-+-=-+--=+-)()()(=.122-=--a ab aba（3）证明：方程②的判别式为 Δ=(-b)2-4ac= b 2-4ac.由a ≠0, c ≠0, 得ac ≠0.( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b 2-4ac= (a+kc)2-4ac=a 2+2kac+(kc)2-4ac = a 2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).∵ 方程kx=x+2的根为正实数， ∴ 方程(k-1) x=2的根为正实数.由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. ∴ 4ac(k-1)>0.∵ (a-kc)2≥0,∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,∵ 抛物线y=ax 2-bx+kc 与x 轴有交点,∴ Δ1=(-b)2-4akc =b 2-4akc ≥0. (b 2-4ac)-( b 2-4akc)=4ac(k-1).由证法一知 k-1>0,∴ b 2-4ac> b 2-4akc ≥0.∴ Δ= b 2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根. 【总结升华】方程与函数综合题. 中考所考知识点的综合与相互渗透. 举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x .（1）若x=－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）解：把x =－2代入方程，得0)2()2()1(24=+--⋅--m m m ，即022=-m m .解得01=m ，22=m .当0=m 时，原方程为022=+x x ，则方程的另一个根为0=x .当2=m 时，原方程为0822=+-x x ，则方程的另一个根为4=x . （2）证明：[][])2(4)1(22+-⨯---m m m 482+=m ，∵对于任意实数m ，02≥m ， ∴0482>+m .∴对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.类型二、解不等式（组）3．（2015•江西样卷）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【答案与解析】解：，∵解不等式①得：x ≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x ≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤，在数轴上表示不等式组时，能根据不等式的解集找出不等式组的解集．举一反三：【变式】（2014•泗县校级模拟）求不等式组的整数解，并在数轴上表示出来．【答案】解：，由①得：x ＞﹣2，由②得：x≤6，∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤6．∴整数解是：﹣1，0，1，2，3，4，5，6．在数轴上表示出来为：．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组12,22(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的取值范围．【思路点拨】解方程求出x 的值（是用含有m 的式子表示的），再解不等式组求出x 的取值范围，最后方程的解与不等式组的解结合起来求m 的取值范围. 【答案与解析】解方程22124x mx x +=--，得x ＝-m-2．因为24(4)x m m -=+，所以m ≠-4且m ≠0时，有240x -≠．所以方程22124x mx x +=--的解为x ＝-m-2．其中m ≠-4且m ≠0．解不等式组12,22(3)8,xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩得x ≤-2．由题意，得-m-2≤-2，解得m ≥0．所以m 的取值范围是m ＞0．【总结升华】方程与不等式的综合题，是中考考查的重点之一．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】如果不等式组2223xa xb ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，那么a b +的值为．【答案】解不等式组得：34-22b a x +≤＜，因为不等式组2223x a x b ⎧+⎪⎨⎪-<⎩≥的解集是01x <≤，所以4-20312a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得21a b =⎧⎨=-⎩所以1a b +=.5．某采摘农场计划种植B A 、两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O 元，那么B A 、两种草莓各种多少亩? (2)若要求种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多? 【思路点拨】（1）根据等量关系：总收入=A 地的亩数×年亩产量×采摘价格+B 地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解；项目品种 A B 年亩产（单位：千克）1200 2000 采摘价格（单位：元/千克）6040（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数y 随x 的变化求出最大利润．【答案与解析】设该农场种植A 种草莓x 亩，B 种草莓)6(x -亩依题意，得：460000)6(200040120060=-⨯+⨯x x 解得：5.2=x , 5.36=-x (2)由)6(21x x -≥，解得2≥x 设农场每年草莓全部被采摘的收入为y 元，则：4800008000)6(200040120060+-=-⨯+⨯=x x x y ∴当2=x 时，y 有最大值为464000答：(l)A 种草莓种植2.5亩, B 种草莓种植3.5亩．(2)若种植A 种草莓的亩数不少于种植B 种草莓的一半，那么种植A 种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y 随x 的变化，结合自变量的取值范围确定最值．举一反三：【变式】某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果，或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．（1）设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若运送三种苹果所获利润的情况如下表所示：苹果品种甲乙丙每吨苹果所获利润（万元）0.220.210.2设此次运输的利润为W （万元），问：如何安排车辆分配方案才能使运输利润W 最大，并求出最大利润．【答案】（1）∵ 81011(10)100x y x y ++--=，∴ y 与x 之间的函数关系式为 310y x =-+． ∵ y ≥1，解得x ≤3．∵ x ≥1，10x y --≥1，且x 是正整数，∴ 自变量x 的取值范围是x =1或x =2或x =3．（2）80.22100.2111(10)0.20.1421W x y x y x =⨯+⨯+--⨯=-+．因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，此时20.86W =（万元）．获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．类型四、用不等式（组）解决决策性问题6．为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙 A90盆 30盆 B 40盆 100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A 种造型的成本为1000元，搭配一个B 种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x 个A 种造型，则需要搭配(50-x)个B 种造型，由题意，得9040(50)3600,30100(50)2900,x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩解得30≤x ≤32．所以x 的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A 种造型30个，B 种造型20个；A 种造型31个，B 种造型19个；A 种造型32个，B 种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．举一反三：【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例4】【变式】某商场“家电下乡”指定型号冰箱，彩电的进价和售价如下表所示：（1）按国家政策，购买“家电下乡”产品享受售价13％的政府补贴.若到该商场购买了冰箱，彩电各一台，可以享受多少元的补贴？(2)为满足需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱，彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的56. ①请你帮助该商场设计相应的进货方案；②用哪种方案商场获得利润最大？（利润=售价-进价），最大利润是多少？【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）（2）①设冰箱采购x 台，则彩电采购（40-x ）台，解不等式组得231821117x ≤≤，因为x 为整数，所以x =19、20、21，方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台，方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，方案一：冰箱购买21台，彩电购买19台.②设商场获得总利润为y 元，则y =(2420-2320)x +(1980-1900)(40-x )=20x +3200 ∵20＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x =21时，y 最大=20×21+3200=3620（元）.。

函数、方程与不等式的复习建议

种常见的数学模型，它不仅是初中数学中的重要内容，而且还是
一
ｒ一２ｘ
（用阴表｛一ｘ２所成区２影示。２＋，围的域）
≥ ０
种重要的数学思想，也是贯穿初中数学的一条主线，而其中蕴
涵的数学思想和方法则是我们解决问题的重要手段。
：一ｒ一２）ｆ
故、６是方程纽一ｘ的解。ｙ２＋２（）２－２表示直线ｘ＝－２Ｉｋｖ．
及它右边部分的区域；ｙ≤－ｘ＼２＋２Ｉ
Ｉ
部域ｙ０示轴其尸ｌ钳分表雾区：横及上的ｌ
《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的等，时无刻不在潜移默化地影响着学生，以，师自己要有无所教决定》出，养学生创新精神和实践能力是全面推进素质教创新意识。这就要求教师要以更新的观念和知识技术武装自指培育的重点，此，们必须重新认识教师的职责和作用．树立己，断的获取新知识，收新理念，习新经验．新的思想因我要不接学以以学生为本的教育观念。在教学过程中．师要做到心中有学和学识启迪学生。样，教学中就能借助教材这个载体．心教这在精生．坚持启发式和讨论式教学， “ 学生为主体 ” 创设教组织教学内容，计教学环节，思教学流程，循善诱。燃要要以来设构循点学情境，计教学流程。虑教学环节，用教学手段，而真学生的创新火花．发学生的创新意识设考运从激正作到教师的教为学生的学服务．师的讲解为学生的活动服教二、设和谐愉悦的课堂环境。学生敢于创新创使务．学的过程为学生的发展服务教心理学研究表明．教学环境与学生学习有着必然的联系．

方程与不等式复习建议

方程与不等式复习建议一、考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，其中配方法还可用于考察非负性4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用二、考点及考题形式分析：近四年资阳市的中考试题中，考查方程与不等式知识的分值平均占到15%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法，以选择题为主；分式方程的解法一般作为解答题，一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用，常见题型为选择题和填空题，难度一般不大；一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主（重后者）；方程和方程组的应用主要有两个方面：一是建立方程模型解直角三角形，二是列二元一次方程组及一元一次不等式组解方案设计类及决策类问题．方程，不等式贯穿在函数知识的考察中作解答题（难点）。

三、易错点分析：1、一元二次方程的取值范围（二次项系数不为0）例：已知关于x 的二次方程（1－2K ）x 2－201=-x k 有实数根，则K 的取值范围是解析：此题有两处易错，一是：忽视二次项系数1－2K ≠0，二是：有实数根是ac b 42-≥0，而不是ac b 42-＞0. 答案：2110≠≤≤k k 且 2、关于一元一次不等式组有解无解的条件或已知整数解求字母系数的取值范围（考虑是否相等）.例：如果一元一次不等式组3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >.则a 的取值范围是: （）A .3a >B .3≥aC .3≤aD .3 a解析:利用同大取大可以得到a <3易忽视a =3时解集也为3x >这种情况，导致错选D 答案：C3、解分式方程（验根）例：解方程x x-=-22482 解析：解分式方程时易忘记检验，导致结论出错.答案：两边同时乘以（4－x 2）并整理得8=2（2+x ），解之得x =2经检验x =2是增根，原方程无解.4、换元法、用整体代入解方程或不等式（理解整体的非负性或整体是否有解）. 例：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x , 则22y x +的值等于解析：学生解题时易直接换元令a y x =+22，解得42=-=a a 或然后直接填答案，易忽视a 不能为负数这个隐含条件.答案：45、方程的解、函数的性质、函数图象、不等式的解集之间的转换（理清联系，多用图形分析法）。

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)

第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习题型一不等式的性质应用【例1】若,,R a b c ∈，则下列命题为假命题的是（） A a b a b > B ．若a b >，则ac bc > C ．若0b a >>，则11ab> D ．若22ac bc >，则a b > 【答案】B【解析】对A a b 0a b >≥，故选项A 正确；对B ：因为a b >，R c ∈，所以当0c >时，ac bc >；当0c =时，ac bc =；当0c <时，ac bc <，故选项B 错误；对C ：因为0b a >>，所以由不等式的性质可得110ab>>，故选项C 正确；对D ：因为22ac bc >，所以20c >，所以a b >，故选项D 正确. 故选：B.【变式1-1】已知120b a<<，则下列不等式正确的是（） A ．11a b ab <+ B ．21a b ab >+ C ．2ab a b>+ D ．22ab b < 【答案】A【解析】方法一：因为120ba<<，可知0,0a b <<，所以20a b <<，所以0ab >，0a b +<，所以11a b ab <+，21a b ab <+，0ab a b<+，所以A 正确，B ，C 错误．因为20a b <<，所以22ab b >，所以D 错误，故选：A方法二；因为120b a<<，设10a =-，2b =-，所以20ab =，12a b +=-，228b =，所以11a b ab <+，21a b ab <+,2ab a b<+,22ab b >, 所以A 正确，B ，C ，D 错误,故选：A【变式1-2】（多选）若0a b >>，则下列正确的是（）A．55a ab b+<+ B ．2a b +> C ．11a b b a+>+ D >【答案】ABC【解析】选项A ，因为0a b >>，所以()()55055b a b b a a a a -+-=<++，55b b a a +∴<+，故A 正确；选项B ，由均值不等式，当0,0a b >>，2a b+≥，由于0a b >>，故等号不成立，即2a b+>B 正确；选项C ，由于0a b >>，故110ba >>，故11a b b a+>+，故C 正确；选项D ，取4,1a b ===D 错误故选：ABC【变式1-3】（多选）若0a b <<，且1a b +=，则在22,,2,a a b ab b +四个数中正确的是（） A ．222a b ab +> B ． 12a < C ．12b < D ．22b a b >+【答案】ABD【解析】由于0a b <<，则222a b ab +>，又1a b +=，所以1012a b <<<<，又()()2222122120a b b a b ab b ab b a ab a b +-=+--=--=-=-<，即22b a b >+.故选：ABD题型二利用不等式求代数式的取值范围【例2】已知23,21<<-<<-a b ，则2-a b 的取值范围为（） A ．(0,2) B ．(2,5) C ．(5,8) D ．(6,7) 【答案】C【解析】23,21<<-<<-a b ，故426a <<，12b <-<，得528<-<a b 故选：C【变式2-1】若实数x ，y 满足1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，则2x y +的取值范围（）A ．[1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[9,)+∞ 【答案】A【解析】设2()(52)x y m x y n x y +=+++，则5221m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得13m n ==，故112()(52)33x y x y x y +=+++，又因1522x y x y +≥⎧⎨+≥⎩，所以()()1112,523333x y x y +≥+≥，所以21x y +≥.故选：A.【变式2-2】已知15a b ≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围.【答案】[20]1-，【解析】设()()32a b m a b n a b -=++-，则有：32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()()153222a b a b a b -=++-.因为15a b ≤+≤，所以()115222a b ≤+≤，因为13a b -≤-≤，所以()5515222a b -≤-≤，所以()()1521022a b a b -≤++-≤，即23210a b -≤-≤，所以32a b -的取值范围为.【变式2-3】已知1260a <<，1536b <<，求2a b -，2ab的取值范围．【答案】2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】因为1536b <<，所以72230b -<-<-．又1260a <<，所以127226030a b -<-<-，即60230a b -<-<．因为1260a <<，所以242120a <<，因为1536b <<，所以1113615b <<，所以2421203615a b <<，即2283a b<<．所以2a b -的取值范围是()60,30-，2a b 的取值范围是2,83⎛⎫ ⎪⎝⎭．题型三解一元二次不等式【例3】已知集合{}210210A x x x =-+≤，{}7524B x x =-≤-≤，则A ∩B =（）A ．132xx ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．{}67x x ≤≤C ．{}27x x -≤≤D ．{}36x x ≤≤ 【答案】D【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤.故选：D【变式3-1】不等式23180x x -++<的解集为（）A ．{6x x >或3}x <- B ．{}36x x -<< C ．{3x x >或6}x <- D ．{}63x x -<< 【答案】A【解析】23180x x -++<可化为23180x x -->，即()()630x x -+>，即6x >或3x <-．所以不等式的解集为{6x x >或3}x <-.故选：A【变式3-2】解下列不等式：（1）262318x x x -≤-<；（2）1232x x +≥-；（3）2320x x -+>. 【答案】（1）{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）{2x x <-或11x -<<或}2x > 【解析】（1）原不等式等价于22623318x x x x x ⎧-≤-⎨-<⎩，即22603180x x x x ⎧--≥⎨--<⎩，即()()()()320630x x x x ⎧-+≥⎪⎨-+<⎪⎩，所以2336x x x ≤-≥⎧⎨-<<⎩或，所以32x -<≤-或36x <≤，所以原不等式的解集{32x x -<≤-或}36x ≤<；（2）由1232x x +≥-，可得155203232x x x x +-+-=≥--，所以()()55320320x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得213x <≤，所以原不等式的解集为213xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（3）原不等式等价于23200x x x ⎧-+>⎨≥⎩或23200x x x ⎧-+>⎨<⎩，分别解这两个不等式组，得01x ≤<或2x >或10x -<<或2x <-，故原不等式的解集为{2x x <-或11x -<<或}2x >.【变式3-3】解下列关于x 的不等式：（a 为实数）（1）220x x a ++<；（2）102ax x ->-.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=，Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-±-，所以220x x a ++<的解为：1111a x a ---<<-+-，综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a ---<<-+-∣；（2）原不等式等价于()()120ax x -->，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a<，所以解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣；当12a >时，12a<，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.题型四三个“二次”之间的关系【例4】已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c -+<的解集为{}23x x -<<，则不等式20bx ax c -+<的解集是（）A ．()2,3-B ．()(),23,-∞-+∞C ．()3,2-D ．()(),32,-∞-+∞U 【答案】A【解析】不等式20ax bx c -+<的解集是()2,3-，所以方程20ax bx c -+=的解是2-和3，且0a >，则()()2323b a c a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得b a =，6c a =-，所以不等式20bx ax c -+<化为260ax ax a --<，即260x x --<，解得23x -<<，所以，所求不等式的解集是()2,3-．故选：A ．【变式4-1】不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式0ax cbx c+≤-的解集为______．【答案】()[),48,-∞+∞【解析】因为20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则0a <，且对应方程的根为-2和4，所以242b a-=-+=，248c a=-⨯=-，且0a <，不等式0ax c bx c +≤-可化为8028ax aax a-≤-+，则8028x x -≤-+，即804x x-≤-，解得4x <或8x ≥．故答案为()[),48,-∞+∞．【变式4-2】已知不等式20ax bx c ++>的解集是{|}x x αβ<<，0α>，则不等式20cx bx a ++>的解集是____________. 【答案】11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集是{|}0x x αβα<<>（），可知：α，β是一元二次方程20ax bx c ++=的实数根，且0a <；由根与系数的关系可得：ba αβ+=-，c aαβ⋅= ，所以不等式20cx bx a ++>化为210c bx x a a++<，即：()210x x αβαβ-++<；化为()()110x x αβ--<；又,0<>αβα，110αβ∴>>；∴不等式20cx bx a ++<的解集为：{x |11x βα<<}，故答案为：11βα⎛⎫⎪⎝⎭，【变式4-3】已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<.故选：A【变式4-4】已知二次函数2y x bx c =++图象如图所示.则不等式230bx cx -+≤的解集为_________.【答案】(][),13,-∞-⋃+∞【解析】根据二次函数2y x bx c =++的图象可知，1,2-为方程20x bx c ++=的两根，故12,12b c -+=--⨯=，即1,2b c =-=-，则230bx cx -+≤即2230x x -++≤，也即2230x x --≥，()()310x x -+≥，解得3x ≥或1x ≤-.故不等式解集为(][),13,-∞-⋃+∞. 故答案为：(][),13,-∞-⋃+∞.题型五一元二次不等式恒成立与有解问题【例5】“关于x 的不等式220x ax a -+>对x ∀∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（） A ．01a << B ．02a << C ．102a << D ．1a > 【答案】B【解析】由“关于x 的不等式220x ax a -+>对R x ∀∈恒成立”，可得()2240a a --<，解得：01a <<.故选：B ．【变式5-1】已知对任意[]1,3m ∈，215mx mx m --<-+恒成立，则实数x 的取值范围是（）A ．6,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1515∞∞⎛⎫-+-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1515-+⎝⎭ 【答案】D【解析】对任意[]1,3m ∈，不等式215mx mx m --<-+恒成立，即对任意[]1,3m ∈，()216m x x -+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，261x x m-+<恒成立，所以对任意[]1,3m ∈，2min612x x m ⎛⎫-+<= ⎪⎝⎭，所以212x x -+<1515x -+<< 故实数x 的取值范围是1515-+⎝⎭．故选：D ．【变式5-2】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是（） A ．(0，1] B ．[0，1) C ．(,1]-∞ D ．(,1)-∞ 【答案】D【解析】当0a =时，不等式为210x +<，有实数解，满足题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下，所以不等式2210ax x ++<有实数解，满足题意；当0a >时，要使不等式有实数解，则需满足440∆=->a ，解得01a <<，综上，a 的取值范围是(,1)-∞.故选：D.【变式5-3】已知命题p ：“[1,5]x ∃∈，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．4a < B ．4a <- C ．4a > D ．4a >- 【答案】A【解析】由题意不等式250x ax -->在[1,5]上有解，所以150a -->或25550a -->，解得4a <-或4a <，所以4a <．故选：A ．题型六利用基本不等式求最值【例6】已知0a >，0b >，则()28a b a b⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为___________.（人教B 版）【答案】18 【解析】0a >，0b >，()2828101021088128b a b a b a b a a b a b =++≥+⨯⎛⎫∴+⎝⎭++= ⎪当且仅当28b aa b =，即2b a =时，等号成立，()28a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴的最小值为18，故答案为：18.【变式6-1】已知正实数a 、b 满足11m a b+=，若11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为4，则实数m 的取值范围是（）A ．{}2B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．()0,∞+ 【答案】B【解析】因为,a b 为正实数，11a b b a ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=12ab ab++1224≥⋅=ab ab，当1ab ab =，即1ab =时等号成立，此时有1b a=，又因为11m a b +=，所以1a m a+=，由基本不等式可知12a a +≥（1a =时等号成立），所以2m ≥.故选：B.【变式6-2】已知正实数a ，b 满足12a b +=，则12ab a+的最小值是（） A ．52 B ．3 C ．92D．1 【答案】A【解析】因为12a b +=，所以12>0a b =-，所以02b << ，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<< ，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号，所以12ab a+的最小值是52.故选：A.【变式6-3】已知正实数x ，y 满足211x y +=，则436xy x y --的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．12 【答案】C【解析】解：由0x >，0y >且211x y +=，可得2xy x y =+，所以43648362xy x y x y x y x y --=+--=+()2142448yxx y x y x y ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y =，即4x =，2y =时取等号．故选：C【变式6-4】下列命题中不正确的为（）①.若正实数a ，b 满足2a b +=，则222a b +的最小值为83②.已知0a >，0b >，21a b +=，则a b +的最大值为2 ③.存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6 ④.若2x y +=，则11211x y +++的最小值为56A ．④B ．②④C ．③④D ．①② 【答案】A【解析】①正实数a ，b 满足2a b +=，故2b a =-，所以()22222228222344333a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，当23a =时，222283332a a b ⎛⎫=-+ +⎪⎝⎭取得最小值为83，故①正确；②因为0a >，0b >，所以()22221212a ba b ab ab a b +=++=+≤++=，当且仅当a b =时，等号成立，故(0,2a b ⎤+∈⎦，所以a b +的最大值为2，②正确； ③因为30,30a b >>，所以233233236a ba b a b ++≥⋅=⨯=，当且仅当33a b =，即1a b ==时，等号成立，故存在实数a ，b 满足2a b +=，使得33a b +的最小值是6，③正确； ④当1x =-，3y =时，满足2x y +=，此时111351211446x y +=-+=-<++，故11211x y +++的最小值不是56；④错误故选：A题型七基本不等式恒成立问题【例7】已知0,0x y >>且141x y +=，若28x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．{}|3x x ≤-}C ．{}|1x x ≥D ．{}|91x x -<< 【答案】D【解析】∵0,0x y >>，且141x y +=，∴144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥=，当且仅当3,6x y ==时取等号，∴min ()9x y +=，由28x y m m +>+恒成立可得2min 8()9m m x y +<+=，解得：91m -<<，故选：D.【变式7-1】已知实数x 、y 满足2241x y xy +-=，且不等式20x y c ++>恒成立，则c 的取值范围是（）A ．()+∞B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．()+∞D ．(-∞ 【答案】B【解析】2241x y xy +-=，225(2)151(2)8x y xy x y ∴+=+≤++，当且仅当2x y =时“=”成立，()2823x y ∴+≤2x y ≤+≤又不等式20x y c ++>恒成立，0c ∴>，c ∴>c ∴的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭．故选：B ．【变式7-2】若对任意正数x ，不等式22214a x x+≤+恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[)0,∞+ B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】依题意得，当0x >时，2222144x a x x x+=++… 恒成立，又因为44x x+…，当且仅当2x =时取等号，所以，24x x+的最大值为12，所以1212a +…，解得a 的取值范围为1[,)4-+∞．故选：B【变式7-3】对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．92a ≤ B ．a ≥ C ．113a ≤ D ．a ≤【答案】D【解析】依题意，对任意12x ≤≤及13y ≤≤，不等式2220x axy y -+≥恒成立等价于对任意12x ≤≤及13y ≤≤，2222x y x ya xy y x +≤=+恒成立. 设yt x =，则22x y t y x t +=+.因为12x ≤≤，13y ≤≤，所以1112x ≤≤，则132y x ≤≤，即132t ≤≤，则2t t+≥当且仅当2t t=，即t = ∴a ≤故选：D.【变式7-4】若关于x 的不等式4142x a x +≥-对任意2x >恒成立，则正实数a 的取值集合为（） A ．（－1，4] B ．（0，4） C ．（0，4] D ．（1，4] 【答案】C【解析】由题意可得4(2)1842x a x a-+--…对任意2x >恒成立，由0,2a x >>，可得4(2)122x a x -+-…当且仅当4(2)12x a x -=-即2x =则84a -…04a <….故选：C.【变式7-5】已知a >b >c ，若14m a b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（） A ．3 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【解析】由a b c >>，知0a b ->，0b c ->，0a c ->，由14m a b b c a c +---…，得14()()m a c a b b c -+--…，又a c ab bc -=-+-，1414()()[()()]()a c a b b c a b b c a b b c ∴-+=-+-+----4()559a b b c b c a b --=+++--…，当且仅当4()a b b cb c a b--=--，即2()b c a b -=-时，14()()a c a b b c -+--取得最小值9，9m ∴…，m ∴的最大值为9．故选：D ．。

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《方程与不等式》复习建议“方程与不等式”是初屮数学最重要的内容之一，是贯穿初屮数学教学的一条主线，是学生解决实际问题的一种工具。

在近年屮考屮考察该部分知识约占20-30分。

一、课程标准的要求（1）方程与方稈组%1能够根据具体问题屮的数量关系，列出方稈，体会方程是刻慚现实世界的一个有效的数学模型。

%1经历用观察、tai图或计算器等手段佔计方程解的过程。

%1会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

%1理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方稈。

%1能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

（2）不等式与不等式组%1能够根据具体问题屮的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基木性质。

%1会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。

会解由两个一元一次不等式成的不等式组，并会用数轴上确定解集。

%1能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。

二、考试标准的要求知识要点知识技能目标过稈性目标了解理解掌握灵活运用经历体验探索根据具体问题屮的数最关系出列出方程（组）7估计方程的解V7解一元一次方稈7解简单的二元一次方程（组）7解可化为一元一次方程的分式方程7配方法7用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程V列方程（组）解应用题，要检验结果是否合理7解分式方程必须验根7不等式的意义7不等式的基木性质77解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集7解由两个一元一次不等式成的不等式组7根据具体问题屮的数量关系，列出一元一次不等式（组）7三、复习重点能正确、熟练的解一元一次方稈、简单的二元一次方程组，理解配方法，并熟练的用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；掌握简单分式方程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程屮的分式不超过两个）并会验根；能根据具体问题屮的数量关系，列出方程（组），并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

华东师大初中数学中考总复习：方程与不等式综合复习--知识讲解(提高) (精选)

中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题：工作量=工效×工时工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题：部分=全体×比率全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题：售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解. （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程 1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y kx b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由．【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小．【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0．由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大．【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想．举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277 关联的位置名称（播放点名称）：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110．故今年最少可招收“宏志班”学生110名．【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式；（2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可．【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【高清课程名称：方程与不等式综合复习高清ID 号： 405277关联的位置名称（播放点名称）：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根；（2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。

方程与不等式教学复习建议PPT教学课件

章节 ห้องสมุดไป่ตู้次方程(组) 及其应用
一元二次方程及应用
分式方程及应用
一元一次不等式(组)及应用
知识综合
教学内容
1. 等式的概念及性质. 2.方程、方程的解和解方程的概念。 3.一元一次方程的概念及解题步骤。 4.一元一次方程(组)的应用.
1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的四种解法：直接开方法，因式分解分解法，配方法，公式法。 3.根的判断式。 4.一元二次方程的应用。
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内容
方程 (组)
不等式 (组)
《课标》要求
1.能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程. 3.会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过2个） 4.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程. 5.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
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三、方程不等式的复习建议
（二）建议在复习的各个阶段都要注意以下几点
1、复习中要遵循教材，但不能拘泥于教材 2、加强集体备课 3、注重通性通法 4、进一步体会数学思想方法 5、对知识的拓展要适度 6、重视定时小测验。

方程、不等式复习建议.docx

第四讲几类方程的概念及解法课标解读：能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程，掌握代入消元法和加减消元法。

中考说明：见中考说明第68、69页 (一)几类方程的概念1 .已知方程(zn-2) ?w|_, +5 = 2是关于x 的一元一次方程. (1) 求加的值.(2) 写出这个方程并求解.2. __________________________________ 下列方程中，关于兀、y 的二元一次方程有个.4. (1) 一元二次方程6x(x-2) = (x-l)(x + 3)中，二次项系数是一次项系数是常数项是(2) _____________________________________________________ 若(m-2)x"3-4+x-3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是 ____________________________________(3) 关于x 的方程(m-2) x 2+x —1=0有实根,(二)解方程1 •解方程：(1)3 —2(兀一2) =—兀.11 3 (2)解方程---------------------- =-x + 1 2 兀+2 41 — Y|2x x + 32. (1)解方程一=——(l)5x- y = 7；(4)5x + 3y ；(2) xy = 5； (5) X I 2+2X + 1 = ；(3) 丄+ 5y = 0；X (6) x 2+ x = x 2+ y.3. 下列方程中是分式方程的是(A.2x+l=0B.x+— =11 1C. — x=6D. —3 X 求m 的取值范围.(3)解方程——+ 2 =——,可知方程()x — 2 2 —兀A.解为x = 2B・解为x = 4 D.无解(4) 6x(x -2) = (x-2)(x + 3)(5) x 2-x=6(6) 兀 + 2 = (x — 2)(2尤-1) - 3(7) X 1- 2mx + m 2- n 2= 0(8) (m + n)x 2+ 2nx = m-n (加+ 斤工0)9r加-4. (1)分式方程一-2 = —^有增根，则m 值为 _____________ .x — 3 x — 3 2r+ 1(2)己知关于兀的方程2x 2-/a + l =()的一个解与方程一=4的解相同.1 — x5. (1)已知关于x 的方程(a-l)x-4 = 0的解是整数，则a 的整数值为 ____________________________v — 4 1<\ — I I⑵当k 取什么整数时，关于X 的方程〒-丁飞的解是正整数?3.解下列方程： (1) 16(X -3)2=9(2) X 2+4A -4=0 (用公式法和配方法)(3) x 2= 6x①求£的值; ②求方程2x 2-/a + l = 0的另一个解.第五讲解方程组及方程(组)的解(一)解二元一次方程组1 •用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组(1)变式训练：(1) 己知Jx+y —3+(2兀+)一5)2=0,则2y ~x= ______________ .(2) 若3#我+2严+以二0是关于兀、)‘，的二元一次方程，则3= ______ , b= ______ (3)若单项式5严夕与-是关于兀、〉，的同类项，则2a+3b= ______________(6) 若关于x 、y 的方程组]% 3 '"的解满足x+y=3,则m=_______________ .[2x4- y = 5 (7) 直线y = —x+3与y = —2x+5的交点坐标为 __________(8) 已知一次函数y = kx + hxi 点A (1, 3)和B (2, 5),求这个一次函数解析式.(9) 二次函数 y = F+bx + c 过点 A (1, 4)和点 B (2, 9).① 求二次函数的解析式；② 把二次函数图象向下平移3个单位得到一个新的二次函数图象，把这个新的二次函数配成顶点式, 并写出顶点坐标.(2)严2円 2x + 3y = 4(4)(5) 若方程组是方程组mx 一 ny = 32nvc -ny = 5的解, 则 m-2n =2x-3y = -1x+2y=3 与“处+ ◎" 有相同的解，贝I 」(希_2)心”= 2mx+ny = 52.在3X3的方格内，已经填写了一些代数式和数.(1)在图①中各行、各列和各对角线上三个数之和相等，请你求出x、y的值;(2)把满足(1)的其它6个数填入图②的方格内.图①图②(二)方程(组)的解1.(1)已知x=2是一元二次方程x2 + mx + 2 = 0的一个解，则加的值是A.-3B.3C.OD.0 或3X — ci 3(2)若兀二3是方程—= 1的解，则。

中考数学第一轮复习《方程与不等式的综合应用》教案

方程与不等式的综合运用学习目标：1．进一步加强方程(组）与不等式(组)的之间的联系;2.会运用方程(组）或不等式(组）模型解决实际问题, .在问题解决的过程中理解数学思想方法.学习重点:方程（组）或不等式(组)的综合运用学习难点:方程(组)或不等式(组)的综合运用课前准备:下列问题你能不能不用老师点拨就把别人讲懂?请先尝试看,看自己有无“漏洞”.问题1:若不等式组2x x a<⎧⎨≥⎩ 无解,那么a 的取值范围是问题2：如果关于x 的方程3211ax x x =-++ 无解，则a 的值为判断方程ax bx c ++=0（a ≠０,a,b,c 为常数)一个解x 的范围是( ）A 、 3<ｘ<３.２３B 、 3．２３<ｘ＜3．24C 、 3.２4＜x<3.25D 、 3.25<ｘ<３.26问题４：甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天,然后乙加入合作，完成剩下的工作,设工作总量为１,Ａ.9 Ｂ.10 C.11 Ｄ.1２问题５：某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机。

已知该厂家生产三种不同型号的电视机,出厂价分别为：甲种每台１５0０元，乙种每台２１０0元,丙种每台２500元。

(1）商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元,请你研究一下商场的进货方案;(２)若商场销售一台甲种电视机可获利15０元,销售一台乙种电视机可获利２０0元，销售一台丙种电视机可获利２５0元,在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？（3)若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。

教学过程（一）与大家交流你的“课前准备”是否有“漏洞”？你能以知识点或题型给它们分类吗？解决这些问题后,你发现了哪些解题规律或数学思想方法?（二)变一变，你还认识下列问题吗？请运用发现的规律或方法挑战下列问题,试试你的能力吧!问题1：若关于x 的不等式组3155x a x a≥-⎧⎨≤-⎩无解，则二次函数21(2)4y a x x =--+的图象与x 轴（ )Ａ. 没有交点Ｂ. 相交于一点 C ．相交于两点 D. 相交于一点或没有交点问题２：已知不等式组 111x x x k >-⎧⎪<⎨⎪<-⎩(１）当12k =时,不等式组的解集是 ; 当3=k 时，不等式组的解集是；当2-=k 时，不等式组的解集是；(2)由（１）知不等式组的解集随实数ｋ的变化而变化，当k 为任意实数时,写出不等式组的解集。

初中数学方程与不等式学习技巧

初中数学方程与不等式学习技巧学习初中数学方程与不等式时，以下是一些有效的学习技巧：1.理解定义和基本概念：首先确保你清楚方程与不等式的定义和基本概念。

方程是一个包含未知数的数学语句，通过等号连接；而不等式则使用不等号（如大于、小于或等于）来连接表达式。

2.学习方程的解法：掌握解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程等不同类型方程的解法。

了解移项、合并同类项、去括号、配方等基本步骤和技巧。

3.学习不等式的解法：理解不等式解集的概念，并学习如何求解一元一次不等式、一元二次不等式等。

注意不等式的解法与方程有所不同，特别是在处理不等号时要特别小心。

4.利用图形辅助理解：方程和不等式的解往往可以在数轴上表示。

学会利用数轴来直观地理解方程的解和不等式的解集。

5.进行大量的练习：通过做大量的练习题来巩固对方程与不等式概念和解法的理解。

从简单的题目开始，逐步挑战更复杂的题目，提升自己的解题能力。

6.关联和对比：将方程与不等式进行关联和对比，理解它们之间的联系和区别。

例如，一元一次方程和一元一次不等式在解法上有一定的相似性，但不等式的解集通常是一个区间而不是一个具体的数。

7.掌握实际问题的建模：方程与不等式常常用于解决实际问题。

学会将实际问题转化为数学模型（即方程或不等式），然后求解。

8.总结归纳：将学习到的方程与不等式的知识和技巧进行归纳整理，形成自己的知识体系。

这样可以帮助你更好地记忆和应用这些知识。

9.参加讨论和求助：与同学或老师讨论方程与不等式相关的问题，通过交流和分享来加深对它们的理解。

遇到难以解决的问题时，及时向老师或同学求助。

10.持续复习：定期复习方程与不等式的概念和解法，确保你能够长期记忆和应用它们。

在复习过程中，可以不断回顾和巩固之前学过的知识，形成更加完整的知识体系。

遵循这些学习技巧，你将能够更好地掌握初中数学中的方程与不等式知识，提高解题能力。