第2课时 利用导数研究函数的单调性(导学案)精华版

解析 (1)∵f′(x)＝3x2－a，由条件 f′(x)≥0 即 a≤3x2 在 x ∈R 时恒成立．而 3x2≥0，∴a≤0， ∴实数 a 的取值范围是(－∞，0]． (2)由条件 f′(x)≤0 即 a≥3x2 在 x∈(－1,1)时恒成立． ∵x∈(－1,1)时，3x2∈(0,3)，∴只要 a≥3 即可， ∴实数 a 的取值范围是[3，＋∞)．
2
【解】
3 2 x －a a f′(x)＝2x－ 2＝ . 2 x x
要使 f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的， 则 f′(x)≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立， 2x3－a 即 ≥0 在 x∈[2，＋∞)时恒成立． x2 ∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3 在 x∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3 是单调递增的， ∴(2x3)min＝16，∴a≤16. 当 a＝16 时， 2x3－16 f′(x)＝ ≥0(x∈[2， ＋∞)， 有且只有 f′(2)＝0， 2 x ∴a 的取值范围是 a≤16.
当 a>0 时，函数
间是 0，
2a . 2
题型三
在某种单调性限制条件下求参数范围
已知函数 f(x)＝x3－ax－1， (1)若函数 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围； (2)若函数 f(x)在区间(－1,1)上单调递减，求实数 a 的取 值范围．
【思路分析】 (1)按照利用导数求函数的单调性的步骤去求解． (2)当函数 f(x)在给定的区间上递增时， 则在该区间上恒有 f′(x)≥0，从而得到关于实数 a 的不等式．
ax 1 4.已知函数 f ( x) 在 (0, ) 内单调递减, x2 1
a< 则实数 a 的取值范围是__________. 2
(ax + 1) (x + 2)-(ax + 1)(x + 2) 2a - 1 f(x)= = 2 (x + 2) (x + 2)2 1 令f(x)< 0在(0， + ∞)上恒成立，得a < , 2 1 1 1 另外，a = 时，f(x)= 不适合, 因此 a < . 2 2 2
C
A
）
x 0 x
图1
0
y B x 0
D
y
y f ( x)
3、函数 f ( x) 的定义域为开区 间 (a, b) ，导函数 f ( x) 在 (a, b) O a 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（ ） A． 4 个 B． 3 个 C ．2 个 D． 1 个
2
1 【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，导数 y′＝4x－x ＝ 4x2－1 1 1 x ，令 y′>0，得 x>2.令 y′<0，得 0<x<2.因此函数的单 1 1 调增区间是2，＋∞，函数的单调减区间是0，2.
题型二
求含参数的函数的单调区间
a 求函数 f(x)＝x＋x(a≠0)的单调区间．
(1) 已知函数 f(x)＝ex－ax－1， 若函数 f(x)在定义域 R 内 单调递增，求实数 a 的取值范围.
【解析】 (1)f′(x)＝ex－a，由条件，得 f′(x)>0，即 a<ex 恒成 立， ∵ex>0，∴a≤0. ．
a (2)已知函数 f(x)＝x ＋x(x≠0，常数 a∈R)．若函 数 f(x)在 x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求 a 的取 值范围．
y f '( x )的图象如 1、设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，
右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
y f ( x)
1 2
x o
y
y f ( x)
1 2 x
y
y f '( x )
2 x
o
(A)
y
(B)
y
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y f ( x)
2
1、函数的单调性 函数 y f ( x) 在某个区间 ( a, b) 内可导 ①函数的单调性的充分条件 若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为增函数； 若 f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函数。 ②函数的单调性的必要条件 若 f ( x) 为增函数，则 f ( x) 0 ； 若 f ( x) 为减函数，则 f ( x) 0 。
y f ( x)
1 2
x
o
1
x
o
(C)
(D)
2.函数f(x)=x3－3x2+1是减函数的区间为（
D）
Ａ.(2,+∞)
Ｄ.(0,2)
Ｂ.(－∞,2)
3
Ｃ.(－∞,0)
2
3、当 x 0 ，函数 间为
y x 2x x 1单调增区
1 (0, )和（ 1， ） 3 ______
。
2. 导数法求函数的单调区间的一般步骤:
（1）求出函数f（x）的定义域A； （2）求出函数 f（x）的导数
f ( x) ；
x A （3）不等式组 的解集为f（x）的单调增区间； f ( x ) 0 x A （4）不等式组 的解集为f（x）的单调减区间； f ( x ) 0
（1）求函数 y＝x－ln x 的单调递增区间
（， 1 ） ______
【点拨】 求函数的单调区间，要先求函数的定义域．
(2)、函数 y x3 15x2 33x 5 单调增 区间为 ______ (, 1)和（ 11， ） 。
注意:两个单调区间不能用“U”联结。
（3 ） 求函数 y＝2x －ln x 的单调区间．
b
x
D
y
y f ( x)
3、函数 f ( x) 的定义域为开区 间 (a, b) ，导函数 f ( x) 在 (a, b) O a 内的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点（ ） A． 4 个 B． 3 个 C ．2 个 D． 1 个
b
x
[1，＋∞)， 4．函数 y＝x2－2x 的单调递增区间是_________ 单调递减区间是_________ (－∞，1] ． cosx ；在区间 5．函数 f(x)＝sinx 的导数 f′(x)＝_____ π 增 0 ， 上， f(x) 单调递 ____( 填“增”或“减”) ， 2 > 填“>”或“<”)． f′(x)___0(
【点评】问题归结为不等式恒成立问题，要特别注意 a 是 否取等号.
【点拨】 已知函数 f(x)是增函数(或减函数)， 求参数的取 值范围时，应令 f′(x)≥0[或 f′(x)≤0]恒成立，解出参数的 取值范围，然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等于 0，若能 恒等 于 0 ，则 参数 的这 个值 应舍 去； 若不 恒为 0 ， 则由 f′(x)≥0[或 f′(x)≤0]， x∈(a， b)恒成立解出的参数的取值范 围确定．
题型一
求不含参数的函数的单调区间
求函数 f(x)＝xlnx 的单调区间．
【解析】由函数 f(x)＝xln x，知函数的定义域为(0，＋ 1 ∞)．由 f′(x)＝ln x＋1>0，解得 x> e.由 f′(x)＝ln x＋1<0，解 1 － 得 0<x<e .故函数 f(x)＝xln x 的单调递增区间是(e 1， ＋∞)， 单 － 调递减区间是(0，e 1)．
1. 函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（
）
A.（－∞，2）
B.（0,3）
C.（1,4）
D.（2,＋∞）
选D. f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x －2）ex， 令f′（x）>0,解得x>2.
y 2.如果函数 y f ( x) 的图象如图 1 所示， 那么导函数 y f ( x) 的图象可能是（ y y x 0 y A x 0
注意： 要验证端点处的值是否符合条件
5、函数 f ( x) x ax 的减区间为 (1,1) ，则 a
3
3 的值是_____
反思小结
导数法求函数的单调区间的一般步骤:
（1）求出函数f（x）的定义域A； （2）求出函数 f（x）的导数
f ( x) ；
x A （3）不等式组 的解集为f（x）的单调增区间； f ( x ) 0 x A （4）不等式组 的解集为f（x）的单调减区间； f ( x ) 0
【思路分析】 求导，注意因式分解，关于实数 a 的取值 对导数 f′(x)正负的影响分类讨论．
解析 函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
2 a x －a f′(x)＝1－x2＝ x2 .
①a<0 时，f′(x)>0 在定义域内恒成立，所以 f(x)的单调增 区间为(－∞，0)和(0，＋∞)； ② a>0 时，令 f′(x)>0 得 x> a或 x<－ a， 令 f′(x)<0 得－ a<x< a且 x≠0. ∴f(x)的单调增区间为(－∞，－ a)和( a，＋∞)， 单调减区间为(－ a，0)和(0， a)．
【点评】求单调区间可用求导方法，但一定要注意定义域.
讨论函数 f(x)＝x2－aln x 的单调性．
【解析】函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，
2 a 2x －a f′(x)＝2x－x ＝ x ，
设 g(x)＝2x2－a，由 g(x)＝0，得 2x2＝a.
当 a＝0 时，f′(x)＝2x>0，函数 f(x)在区间(0，＋∞)上为增 函数； 当 a<0 时，g(x)>0，即 f′(x)>0，函数 f(x)在区间(0，＋∞) 上为增函数； 2a 2a 当 a>0 时，由 g(x)＝0，得 x＝ 2 或 x＝－ 2 (舍去)．