九年级数学上册专题四+二次函数的图象性质与系数的关系同步测试+新人教版
人教版九年级数学上册22.1二次函数的图像和性质同步练习 附答案解析(一)
22.1二次函数的图像和性质同步练习(一)一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.2、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.B.C. 2mD. 1m3、已知是的二次函数，与的对应值如下表：其表达式为（）.A.B.C.D.4、抛物线与轴的交点坐标是（）.A.B.C.D.5、在抛物线上的一个点是（）.A.B.C.D.6、一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是（）A.B.C.D.7、如图，在矩形中，，，，，则四边形的面积的最大值是（）A.B.C.8、如图，正方形的边长为，以正方形的顶点、、、为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.9、若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.10、小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（）A.B.C.D.11、如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）A.B.C.D.12、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（）A.B.C.D.13、二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.B.C.D.14、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.15、某工厂一种产品的年产量是件，如果每一年都比上一年的产品增加倍，两年后产品与的函数关系是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、二次函数的最小值为．17、抛物线的对称轴是直线．18、若抛物线经过点，则．19、若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是____________20、抛物线经过点和两点，则．（分数写成a/b形式）三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．22、已知二次函数，当，求函数？；当？时，函数的值为.23、已知二次函数的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①；②；③；④．22.1二次函数同步练习(一) 答案部分一、单项选择题（本大题共有15小题，每小题3分，共45分）1、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，顶点坐标为，故正确答案为：．2、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.B.C. 2mD. 1m【答案】A【解析】解：由题意可得水喷出的最大高度为故正确答案是3、已知是的二次函数，与的对应值如下表：其表达式为（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：二次函数经过点，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，故设解析式为，将点代入解析式，得：，，，故正确答案是.4、抛物线与轴的交点坐标是（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】解：令，，即与轴的交点坐标为，故正确答案是：.5、在抛物线上的一个点是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】解：当时，,故点不在抛物线上，当时，,故点不在抛物线上，当时，,故点在抛物线上，当时，,故点不在抛物线上，故正确答案是：.6、一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数的关系式是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：根据一直角边长为，则另一条直角边为，根据题意得出：．7、如图，在矩形中，，，，，则四边形的面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：设，则，，设四边形的面积为，依题意，得，即：，，抛物线开口向下，函数有最大值为．8、如图，正方形的边长为，以正方形的顶点、、、为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：易得阴影部分的面积为个圆的面积，故由题意得，属于二次函数，根据自变量的取值为，有实际意义的函数在第一象限，故正确的选项应为9、若不等式对恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由得，，当时，不成立，，关于的一次函数，当时，，当时，，不等式对恒成立，，解得．10、小颖用计算器探索方程的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根，则方程的另一个近似根（精确到）为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：抛物线与轴的一个交点为，又抛物线的对称轴为：，另一个交点坐标为：，则方程的另一个近似根为．11、如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：二次函数的顶点为，对称轴为，而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，右侧交点横坐标的取值范围是．12、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列四个结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：因为二次函数的图象与轴的交点在轴的上方，所以；由已知抛物线对称轴是直线，得；由图知二次函数图象与轴有两个交点，故有；直线与抛物线交于轴的下方，即当时，，即．13、二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：抛物线与轴有两个交点，；抛物线开口向上，；抛物线与轴的交点在轴的正半轴，；抛物线的对称轴在的正半轴上，．14、抛物线的顶点坐标是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：顶点式，顶点坐标是，抛物线的顶点坐标为．15、某工厂一种产品的年产量是件，如果每一年都比上一年的产品增加倍，两年后产品与的函数关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：某工厂一种产品的年产量是件，每一年都比上一年的产品增加倍，一年后产品是：，两年后产品y与x的函数关系是：．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16、二次函数的最小值为．【答案】-4【解析】解：二次函数的开口向上，顶点坐标为，所以最小值为．故答案为：．17、抛物线的对称轴是直线．【答案】【解析】解：，其对称轴为．故答案是：．18、若抛物线经过点，则．【答案】-1【解析】解：抛物线经过点，，解得：．故答案为：．19、若抛物线的顶点在轴的下方，则的取值范围是____________【答案】【解析】解：此抛物线的顶点坐标为由题意得即20、抛物线经过点和两点，则．（分数写成a/b形式）【答案】0【解析】解：把点和分别代入得由方程组得，则．三、解答题（本大题共有3小题，每小题10分，共30分）21、求抛物线的顶点和对称轴．【解析】解：，抛物线的顶点坐标为，对称轴是．故答案是：，．22、已知二次函数，当，求函数？；当？时，函数的值为.【解析】解：把代入函数解析式得：；令，则有：，，解得，；综上可知当时，；当，或时，函数的值为.正确答案是：；，.23、已知二次函数的图象如图所示，请结合图象，判断下列各式的符号．①；②；③；④．【解析】解：①抛物线开口向下，则，对称轴在轴的左侧，则，则，抛物线与轴的交点在轴的下方，则，；②抛物线与轴没有交点，所以；③当自变量为时，图象在轴下方，则时，；④当自变量为时，图象在轴下方，则时，．。
人教版九年级数学上册《二次函数 的图象和性质》同步测试题及答案【精】
22.1.3 二次函数2)(h x a y -=的图象和性质（二）知识点：抛物线2)(h x a y -=的特点有：(1)当0>a 时，开口向 ；当0<a 时，开口向 。
(2)对称轴是 ，顶点坐标是 。
(3)当0>a 时，在对称轴的左侧（h x <），y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随x 的 ；当0<a 时，在对称轴的左侧（h x <），y 随x 的 ，在对称轴的右侧（h x >），y 随x 的 。
(4)当x 时，函数y 的值最大（或最小），是 。
一．选择题1.把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，得到新的图象的函数表达式是（ ）A. 32+=x yB. 32-=x yC. 2)3(+=x yD. 2)3(-=x y2.抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）A.3),0,3(-=-x 直线B. 3),0,3(=x 直线C. 3),3,0(-=-x 直线D. 3),3,0(-=x 直线3.已知二次函数2)1(3+=x y 的图象上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ）A.321y y y >>B. 312y y y >>C. 213y y y >>D. 123y y y >>4.把抛物线2)1(6+=x y 的图象平移后得到抛物线26x y =的图象，则平移的方法可以是（ ）A.沿y 轴向上平移1个单位长度B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度5.若二次函数12+-=mx x y 的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ） A. 2 B. 2- C.0 D. 2±6.对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x yC.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y 7.对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）A. 当0>x 时，y 随x 的增大而减小B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小8.二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0,0）；③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题1.抛物线2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步测试题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步测试题（附答案）一、选择题1．下列函数中一定是二次函数的是（）A．y=3x−1B．y=ax2+x C．y=x3+2D．y=x2−3x2．抛物线y=(x+3)2−4的顶点坐标是（）A．(3,4)B．(−3,4)C．(3,−4)D．(−3,−4)3．二次函数y=(m−2)x2+2x−1中，m的取值范围是（）A．m>2B．m<2C．m≠2D．一切实数x2上关于对称轴对称的两点，若点A的横坐标是−2，则点 B横坐标4．已知A、B是抛物线y=−12为（）A．2 B．3 C．4 D．55．把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=−2(x+1)2+2B．y=−2(x+1)2−2C．y=−2(x−1)2+2D．y=−2(x−1)2−26．已知点A(−3,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)在抛物线y=−(x−2)2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y1<y3<y2D．y3<y1<y27．已知二次函数y=(m−2)x2（m为实数，且m≠2），当x≤0时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（）A．m<0B．m>2C．m>0D．m<28．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1，0)，其对称轴为直线x=1，下面结论中正确的是（）A．abc>0B．2a−b=0C．4a+2b+c<0D．9a+3b+c=0二、填空题9．抛物线y=(x−1)2+2的对称轴是直线.10．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．11．已知二次函数y=−2(x−2)2+m的图像经过原点，那么m的值为．12．二次函数y=x2−4x−1的最小值是．13．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段AB的长为．三、解答题14．已知抛物线y=ax2经过点(-1，2)．（1）求抛物线的函数表达式，并判断点(1，2)是否在该抛物线上．（2）若点P(m，6)在该抛物线上，求m的值．15．已知抛物线y=x2+mx+n经过点A(−5，6)，B(2，6)．（1）求抛物线的表达式。
九年级数学：二次函数图像和性质同步检测(有答案)
2020-2020度第一学期人教版九级数学22.1 二次函数图像和性质课时同步检测考试总分： 99 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）1.如果函数y =(k −3)x k 2−3k+2+kx +1是关于x 的二次函数，那么k 的值是（）A.1或2B.0或3C.3D.02.如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1, 0)，(0, 2)，某抛物线的顶点坐标为D(−1, 1)且经过点B ，连接AB ，直线AB 与此抛物线的另一个交点为C ，则S △BCD :S △ABO =()A.8:1B.6:1C.5:1D.4:13.函数y =−x 2+1的图象大致为（）A. B.C. D.4.如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为(2, −1)，抛物线与y 轴的交点为(0, 3)，当函数值y <3时，自变量x 的取值范围是（）A.0<x<2B.0<x<3C.0<x<4D.1<x<35.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列四个结论：①ac<0；②a+b+c>0；③4a−2b+c<0；④4ac−b2>0．其中正确的结论有（）A.1B.2C.3D.46.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，a+b+c，a−b+c，2a+b，2a−b中，其值为正的式子的个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个7.若A(−3, y1)、B(0, y2)、C(2, y3)为二次函数y=(x+1)2+1的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y2二、填空题（共6 小题，每小题 3 分，共18 分）8.二次函数y=(x−1)2+2，当x=________时，y有最小值．9.已知抛物线的顶点坐标为(−1, −2)，且通过点(1, 10)，则该抛物线的解析式为________．10.将二次函数y=2x2−4x+7配方成y=a(x+m)2+k的形式为________．11.若二次函数y=ax2(a≠0)，图象过点P(2, −8)，则函数表达式为________．12.已知y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x>0时，y随x增大而增大，则k=________．2二次函数y=ax三、解答题（共5 小题，每小题12 分，共60 分）14.已知抛物线y=3x2−6x+10，求它的对称轴和顶点坐标．15.已知函数y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0，△<0，画出函数的大致图象．16.已知四个互不相等的实数x1，x2，x3，x4，其中x1<x2，x3<x4．(1)请列举x1，x2，x3，x4从小到大排列的所有可能情况；(2)已知a为实数，函数y=x2−4x+a与x轴交于(x1, 0)，(x2, 0)两点，函数y=x2+ax−4与x轴交于(x3, 0)，(x4, 0)两点．若这四个交点从左到右依次标为A，B，C，D，且AB=BC= CD，求a的值．17.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=−1，且经过点(−4, 5)．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线y有无最小值，若有，求出最小值．若无，请说明理由；(3)当−2<x<3时，求y的取值范围．18.已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0, 3a)，对称轴为x=1．(1)试用含a的代数式表示b、c．(2)当抛物线与直线y=x−1交于点(2, 1)时，求此抛物线的解析式．(3)求当b(c+6)取得最大值时的抛物线的顶点坐标．答案1.D2.B3.B4.C5.B6.A7.B8.19.y=3(x+1)2−210.y=2(x−1)2+511.y=−2x212.213.1−814.解：∵y=3x2−6x+10=3(x2−2x)+10=3(x−1)2+7，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1, 7)．15.解：∵a<0，∴抛物线开口方向向下．∵a<0，b>0，则ab<0，∴该抛物线的对称轴在y轴的左侧．∵c<0，∴该抛物线与y轴交于负半轴．∵△<0，∴该抛物线与x轴没有交点，故其图象如图所示：．16.解：(1)x1<x2<x3<x4，x1<x3<x2<x4，x1<x3<x4<x2，x3<x4<x1<x2，x3<x1<x4<x2，x3<x1<x2<x4；(2)上述6种情况中第3，6种情况不可能出现．否则，两个函数的对称轴相同，则a=−4，从而x1=x3，x2=x4，这与题意不符，在其他4种情况中，都有|x2−x1|=|x4−x3|，因此有√16−4a=√a2+16，即a=0或−4（舍去），经检验a=0满足题意．17.解：(1)∵由抛物线的对称轴为x=−1，∴x=−b2×1=−1，得b=2∵抛物线y=x2+2x+c经过点(−4, 5)∴5=(−4)2+2×(−4)+c解得c=−3∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；(2)∵a=1>0∴抛物线y=x2+2x−3有最小值，最小值为y=(−1)2+2×(−1)−3=−4；(3)∵y=x2+2x−3，当y=0时，x2+2x−3=0，(x−1)(x+3)=0，x1=1，x2=−3，∵对称轴为x=−1，最小值为y=−4，∴−2<x<3时，−4≤y<12．18.解：(1)∵抛物线与y轴交于点(0, 3a)∴c=3a∵对称轴为=1，∴x=−b2a=1∴b=−2a；(2)∵抛物线与直线y=x−1交于点(2, 1)，∴(2, 1)在抛物线上，∴1=a×22+2(−2a)+3a∴a=13∴b=−2a=−23c=3a=1∴抛物线为y=13x2−23x+1；(3)∵b(c+6)=−2a(3a+6)=−6a2−12a=−6(a+1)2+6当a=−1时，b(c+6)的最大值为6；∴抛物线y=−x2+2x−3=−(x−1)2−2故抛物线的顶点坐标为(1, −2)．。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=1x2B．y=2x+1C．y=12x2+2x3D．y=−4x2+52．二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．-2 D．33．在同一平面直角坐标系中作出y=2x2，y=−2x2，y=12x2的图象，它们的共同点是（）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．当x>0时，y随x的增大而减小4．抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（）A．（－2，0）B．（0，1）C．（0，－1）D．（－2，0）5．已知A(0，y1)，B(3，y2)为抛物线y=(x−2)2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1=y2C．y1<y2D．无法确定6．已知抛物线y=−(x−b)2+2b+c（b，c为常数）经过不同的两点(−2−b，m)，(−1+c，m)那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（）A．(−2，−7)B．(−1，−3)C．(1，8)D．(2，13)7．关于x的二次函数y=ax2+bx+c图象经过点(1，0)和(0，−2)，且对称轴在y轴的左侧，若t= a−b，则t的取值范围是（）A．−2<t<2B．−2<t<0C．−4<t<0D．−4<t<2 8．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过(0，0)，(4，0)两点．则下列四个结论正确的有（）①4a+b=0；②5a+3b+2c>0；③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．10．抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．11．将二次函数y=2x2−8x+13化成y=a(x+ℎ)2+k的形式为. 12．对于二次函数y=−2(x+3)2−1，当x的取值范围是时，y随x的增大而减小．13．点P(m，n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是.三、解答题14．已知抛物线的顶点是(−3，2)，且经过点(1，−14)，求该抛物线的函数表达式．15．指出函数y=−12(x+1)2−1的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−116．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC 的面积．17．如图，已知抛物线y=ax2＋bx−3过点A(−1，0)，B(3，0)点M、N为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx−3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；18．在直角坐标系中，设函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）（1）求函数图象的对称轴.（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.（3）已知当x=0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q<p+r，求证：m<0.参考答案1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．A8．C9．-110．下降11．y=2(x−2)2+512．x＞-313．74≤n<414．解：∵抛物线的顶点是(−3，2)∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2∵抛物线经过点(1，−14)∴−14=a(1+3)2+2，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−(x+3)2+2．15．解：由y=−12(x+1)2−1得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；∵抛物线y=−12x2的顶点坐标是（0，0）∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1）∴抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−1．16．解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2 解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x 1=−√2，x 2=√2∴BC =2√2∴S △ABC =12×2√2×2=2√2．17．（1）解：把A(−1，0)，B(3，0)代入y =ax 2+bx −3得：{a −b −3=09a +3b −3=0解得{a =1b =2故该抛物线解析式为：y =x 2−2x −3（2）解：由(1)知，抛物线解析式为：y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴该抛物线的对称轴是x =1，顶点坐标为(1，−4).如图，设点M 坐标为(m ，m 2−2m −3)∴ME =|−m 2+2m +3|∵M 、N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧∴点N 的横坐标为2−m∴MN =2m −2∵四边形MNFE 为正方形∴ME =MN∴|−m 2+2m +3|=2m −2分两种情况：①当−m 2+2m +3=2m −2时，解得：m 1=√5，m 2=−√5（不符合题意，舍去） 当m =√5时，正方形的面积为(2√5−2)2=24−8√5；②当−m2+2m+3=2−2m时，解得：m3=2+√5，m4=2−√5(不符合题意，舍去) 当m=2+√5时，正方形的面积为(2+2√5)2=24+8√5；综上所述，正方形的面积为24−8√5或24+8√5.18．（1）解：∵函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）∴函数图象的对称轴为x=−1（2）证明：令y=0，则0=m(x+1)2+4n即(x+1)2=−4nm∵ m，n异号>0∴−4nm∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；（3）证明：由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，∵2q−(p+r)=2(16m+4n)−(m+4n+25m+4n)=6m<0∴m<0.。
人教版九年级数学上册：22.1.4二次函数的图象和性质同步测试题及答案(新审)
（ 2）求 ABD 的面积。
3、如图所示，二次函数 y=-x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（ 3，0），另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C． （ 1）求 m 的值； （ 2）求点 B 的坐标； （ 3）该二次函数图象上有一点 D（ x， y）（其中 x＞ 0，y＞ 0），使 S△ABD=S△ABC， 求点 D 的坐标．
D． -1＜ t＜ 1
bx c(a 0) 的 图 象 如 图 所 示 对 称 轴 为
1
x= ．下列结论中，正确的是（
）
2
A ． abc 0 B ． a b 0 C． 2b c 0 D． 4a c 2b
8、二次函数 y ax 2 bx c 的图像如图所示，反比列函数
标系内的大致图像是（
）
y
y
y
a y 与正比列函数 y bx 在同一坐
1
4
即与 x轴得交点为（ 3，0）或（ 1，0）
则 P（ 0， 9 ）， Q（ 3，0）或（ 1，0），所以直线 PQ 可分两种情况： 4
10 若 P（ 0， 9 ）， Q (3,0 ) 4
3
设 l PQ : y k1 x b1 , 则 b1
9
k1
4 解得
3 k1 b1 0
b1
4 9
4
y 3x 9 44
（ 1）求点 A 与点 C 的坐标； （ 2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 y ax2 bx 的关系式．
y
22.1.4 二次函数
a( x
h)2
k (a
0) 的图像和性质
一、理解新知
1、直线 x=h （h， k） 2、相同 不同 向右平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位； 向右平移 h 个单位，再向下平移 |k|个单位；向左平移 |h|个单位，再向上平移 k 个单位；
最新人教版九年级上册二次函数的图象和性质 同步练习 含答案
人教版九年级上册同步练习二次函数的图象和性质一．选择题（共10小题）1．下列函数属于二次函数的是（）A．y＝x﹣B．y＝（x﹣3）2﹣x2C．y＝﹣x D．y＝2（x+1）2﹣12．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠13．下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y＝x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定4．抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）5．抛物线y＝x2+4x+7的对称轴是（）A．直线x＝4B．直线x＝﹣4C．直线x＝2D．直线x＝﹣2 6．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣17．下列对二次函数y＝x2﹣2x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．经过原点D．对称轴右侧部分下降8．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．abc＞0B．a+b+c＝0C．4a﹣2b+c＜0D．b2﹣4ac＜0 10．二次函数y＝﹣x2+ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当x＞2.5时，y随x的增大而减小C．当x＝﹣1时，b＞5D．当b＝8时，函数最大值为10二．填空题（共8小题）11．若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝．12．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为．13．二次函数y＝x2﹣16x﹣8的最小值是．14．当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝．15．二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），则m的值为．16．将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为．17．已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）三．解答题（共6小题）19．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y═x2﹣mx+m2+m．（1）若该抛物线经过原点，求m的值；（2）求证该抛物线的顶点在直线y＝x上；（3）若点A（﹣4，0），B（0，2），当该抛物线与线段AB只有一个公共点时，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴与x轴交于点A，将点A向左平移b个单位，再向上平移3﹣b2个单位，得到点B．（1）求点B的坐标（用含b的式子表示）；（2）当抛物线经过点（0，2），且b＞0时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．21．把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n ＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．23．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣x+3相交于x 轴上的点A，y轴上的点B．顶点为P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）现将抛物线向左平移m个单位，当抛物线与△PBA有且只有一个公共点时，求m的值．24．已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A．自变量x的次数不是2，故A错误；B．y＝（x﹣3）2﹣x2整理后得到y＝﹣6x+9，是一次函数，故B 错误C．由可知，自变量x的次数不是2，故C错误；D．y＝2（x+1）2﹣1是二次函数的顶点式解析式，故D正确．故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，又∵||＜|﹣2|＜|4|，∴抛物线y＝x2的图象开口最大，故选：A．4．解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣5的顶点坐标是（3，﹣5），故选：C．5．解：因为a＝1，b＝4，c＝7，所以对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故选：D．6．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．故选：C．7．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，A．由a＝1＞0知抛物线开口向上，此选项错误；B．此抛物线的对称轴为直线x＝1，此选项错误；C．当x＝0时，y＝0，此抛物线经过原点，此选项正确；D．由a＞0且对称轴为直线x＝1知，当x＞1，即对称轴右侧时，y随x的增大而增大，此选项错误；故选：C．8．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．9．解：由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，故选项A正确；当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故选项B错误；当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故选项C错误；该函数图象与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误；故选：A．10．解：∵二次函数y＝﹣x2+ax+b∴对称轴为直线x＝﹣＝2∴a＝4，故结论A正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向下，∴当x＞2.5时，y随x的增大而减小，故结论B正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＞0即﹣1﹣4+b＞0∴b＞5，故结论C正确；当b＝8时，y＝﹣x2+4x+8＝﹣（x﹣2）2+12∴函数有最大值12，故结论D不正确；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．12．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．13．解：y＝x2﹣16x﹣8＝（x﹣8）2﹣72，由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为﹣72，故答案为：﹣72．14．解：∵y＝﹣x2+4x﹣6，＝﹣（x2﹣4x+4）+4﹣6，＝﹣（x﹣2）2﹣2，∴当x＝2时，二次函数取得最大值．故答案为：2．15．解：∵根二次函数y＝x2﹣4x+5﹣m2的图象过点（0，4），∴5﹣m2＝4，解得m＝±1．故答案为±1．16．解：将抛物线y＝2（x+3）2+4先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，故答案为y＝2（x+2）2﹣1．17．解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．18．解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a﹣b+c＝0，x＝﹣＝2，即4a+b＝0，因此①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x＝5时，y＝25a+5b+c＝0，又b＝﹣4a，所以5a+c＝0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x＝2时，y最大＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵抛物线经过原点，∴m2+m＝0，解得m1＝0，m2＝﹣2；（2）∵y═x2﹣mx+m2+m＝（x﹣m）2+m，∴该抛物线的顶点坐标为（m，m），∴抛物线的顶点直线直线y＝x上；（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（﹣4，0），B（0，2）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝+2，令x+2＝x2﹣mx+m2+m，整理得x2﹣（m+）x+m2+m ﹣2＝0，△＝（m+）2﹣4×（m2+m﹣2）＝0，解得m＝，∵此时对称轴为x＝﹣＝＞0，故舍去；把A（﹣4，0）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+5m+8＝0，解得m＝﹣2或﹣8；把B（0，2）代入y＝x2﹣mx+m2+m得，m2+m+﹣2＝0，解得m＝﹣1，由图象可知，该抛物线与线段AB只有一个公共点时，﹣8≤m≤﹣1﹣或﹣2≤m≤﹣1+．20．解：（1）由题意得抛物线y＝﹣x2+2bx+b2+1的对称轴为，∴点A坐标为（b，0），∴点B坐标为（0，3﹣b2）（2）把（0，2）代入y＝﹣x2+2bx+b2+1中，解得b＝±1．∵b＞0，∴b＝1．∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+2；（3）当抛物线过点B时，抛物线AB有一个公共点，∴b2+1＝3﹣b2∴b＝±1，如图：当b＞1时，抛物线与线段AB无交点；当b＝1时，抛物线与线段AB有一个交点；当﹣1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＝﹣1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜﹣1时，抛物线与线段AB无交点．∴若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则﹣1≤b≤1．21．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．22．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a ﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a＝或a＝﹣1，∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．23．解：（1）∵直线y＝﹣x+3交于x轴上的点A，y轴上的点B，∴A（3，0），B（0，3），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）当抛物线经过点B时，抛物线与△PBA有且只有一个公共点，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴P（1，4），将抛物线向左平移m个单位，P对应点为（1﹣m，4），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1+m）2+4，把B（0，3）代入得，3═﹣（﹣1+m）2+4，解得m1＝2，m2＝0（舍去），故m的值为2．24．解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；（2）设直线OA解析式为y＝kx，把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），当m＝﹣＝时，PC取得最大值，最大值为＝．。
人教版九年级上册数学同步练习《二次函数的图象和性质》(习题+答案)
22.1 二次函数的图象和性质内容提要1.一般地，形如2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的函数叫做二次函数.其中，x 是自变量，a ，b ，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象为抛物线，叫做抛物线2y ax bx c =++.3.二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象与性质：（1）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的图象都可以由抛物线2y ax =向左（右）向上（下）平移得到，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定.（2）抛物线()2y a x h k =-+的顶点为(),h k .当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下.对称轴为直线x h =.（3）二次函数()()20y a x h k a =-+≠的性质：①当0a >，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而增大；当x h =时，y k =最小.②当0a <，在对称轴左侧()x h <，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧()x h >，y 随着x 的增大而减小；当x h =时，y k =最大.4.研究二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象特征和性质，一般都用配方法将二次函数的表达式转化为()2y a x h k =-+的形式.若问题只要求对称轴或顶点坐标，也可以直接利用顶点坐标公式计算.5.用描点法画二次函数的图象，一般采用“五点法”（顶点及抛物线上的两组对称点）；若只需画二次函数的大致图象，且抛物线与x 轴有两个交点时，可用“四点法”（顶点及抛物线与坐标轴的三个交点）.6.研究与二次函数相关的实际问题，常常需要结合图象，运用“数形结合”的方法解决.7.求二次函数的解析式，一般采用“待定系数法”. 22.1.1 二次函数基础训练1．下列函数中是二次函数的为（ ） A ．31y x =-B ．231y x =-C ．()221y x x =+-D ．323y x x =+-2．若函数()23y a x x a =-++是二次函数，那么a 不可以取（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33．下列问题中的两个变量，能构成二次函数关系的是（ ） A ．在一定时间内，汽车行驶的速度与行驶路 B ．底边长度一定，三角形的面积与高 C ．正方体的体积与边长D ．计算圆的面积时，面积与半径的关系4．已知二次函数2y ax c =+，当2x =时，9y =；当3x =时，19y =，则a c +的值是（ ） A ．4B ．2C ．1D ．35．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（ ） A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2- 6．二次函数()()31y x x =+-化为一般形式后一次项系数为.7.在半径为4的圆中，挖去一个长为a 、宽为1a -的矩形，则余下部分的面积y 与a 的函数关系式为.8.正方形对角线长为x cm ，面积为y 2cm ，则y 与x 的函数关系式是.9.张燕存入银行人民币500元，年利率为x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，那么两年后的本息和y 与x 的函数关系式是.10.已知函数()()222231y m m x m x m =--+-+.（1）当y 是x 的一次函数时，求m 的值并写出函数解析式； （2）当y 是x 的二次函数时，求m 的取值范围.22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质基础训练1．函数23y x =-的图象开口向 ，对称轴是，顶点是 .2.已知抛物线()20y ax a =≠经过点()2,8-，则a =.3.把函数22y x =-的图象沿x 轴翻折，得到的图象的解析式是 .4.函数2y x =，22y x =-图象的开口大小分别记为A ，B ，则A 与B 的大小关系为.5.若直线y ax =经过第一、三象限，则抛物线2y ax =（ ） A ．开口向上，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 B ．开口向上，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 C ．开口向下，且当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．开口向下，且当0x >时，y 随x 的增大而增大 6．已知二次函数2y ax =，下列说法不正确的是（ ） A ．对称轴为y 轴B ．当0a <，0x ≠时，y 总为负值C ．当0a >时，y 有最小值０D ．当0a <，0x <时，y 随x 的增大而减小７．已知点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 都在函数22y x =-的图象上，且1230x x x >>>，则（ ） A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y <<D ．213y y y <<８．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落的时间t 满足212s gt =（g 是不为０的常数），则s 与t 的函数图象大致是（ ）9．函数()20y ax a =≠与直线y x =-交于点()1,b . （1）求a ，b 的值；（2）画出此二次函数的图象；x…2-1-0 1 2 …y……（3）结合图象，写出这个二次函数的性质.22.1.3二次函数()2=-+的图象和性质y a x h k基础训练（1）二次函数2=+的图象和性质y ax k1.抛物线2y x=-的顶点坐标为；当x时，y随x的增大而减少.212.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点()0,1的抛物线的解析式y=.3.将抛物线23y x=+的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为. 4．函数21=+的图象大致是（）y x5．已知二次函数21=-的图象开口向下，则直线1y ax=-经过的象限是（）y axA．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．抛物线21y x 2=-+的对称轴是（ ） A ．直线12x =B ．直线12x =-C ．y 轴D ．直线2x =7．对于抛物线231y x =-，下列说法不正确的是（ ） A ．向上平移一个单位可得到抛物线23y x = B ．当0x =时，函数有最小值1- C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 D ．与抛物线231y x =-+关于x 轴对称8．（1）在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：22y x =-； 21y x 2=-+； 221y x =--.x… 2- 1- 0 1 2 … 22y x =- … … 221y x =-+ … … 221y x =--……（2）写出抛物线2y ax k =+与2y ax =的关系.基础训练（2）二次函数()2y a x h =-的图象和性质1.函数()221y x =-的图象的对称轴是，顶点坐标是 .2.函数()221y x =-+的图象可以由函数22y x =-的图象向 平移1个单位得到；当x时，y 有最大值是.3.一个顶点在x 轴上的抛物线，其形状和开口方向与抛物线212y x =的相同，并且对称轴是直线2x =，这个函数的解析式是.4.将抛物线2y x =-向右平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A ．()22y x =-+ B ．22y x =-+ C ．()22y x =--D ．22y x =--5．如果y kx b =+的图象在第一、二、三象限内，那么函数()2y k x b =-的图象大致是（ ）6．抛物线()21y x =-与直线1y x =-在同一坐标系中交点的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定7．（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象：2y x =-；()22y x =-+；()22y x =--.x… 4-3-2- 1- 0 1 2 3 4 … 2y x =- …… ()22y x =-+……()22y x =--… …（2）写出抛物线()2y a x h =-与2y ax =的关系.基础训练（3）二次函数()2y a x h k =--的图象和性质1．抛物线()2534y x =+-的对称轴是 ，顶点坐标是 . 2.二次函数()2425y x =-++，当x =时，y 有最大值是；当x时，y 随x 的增大而增大.3.将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为.4.已知抛物线()21433y x =--与x 轴的一个交点坐标为()1,0，则抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（ ） A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,05．在不同坐标系中画出下列函数的图象： （1）()2211y x =+-；（2）()21252y x =+-.6．写出抛物线()2y a x h k =-+与()2y a x h =-及2y ax =的关系.7.已知抛物线()232y a x =-+经过点()1,2-. （1）求a 的值；（2）若点()1,A m y ，()2,B n y ()3m n <<都在该抛物线上，试比较1y 与2y 的大小.8.如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A 点10米处的立柱EF 的高度为3.6米.（1）以AB 中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，求抛物线顶点C 的坐标； （2）求与OC 相邻的立柱的高.22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质基础训练（1）二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标与配方法1．二次函数221y x x =--+化成()2y a x h k =-+的形式是.2.抛物线2y ax bx c =++的顶点是()2,1A ，且经过点()1,0B ，则抛物线的函数关系式为.3.函数243y x x =-+，当x =时，y 有最小值是；当x时，y 随x 的增大而减小.4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为()22y x h k =--+，则下列结论正确的是（ ） A ．0h >，0k > B ．0h <，0k > C ．0h <，0k <D ．0h >，0k <5．抛物线24y x x =-的对称轴是直线（ ）. A ．2x =-B ．4x =C ．2x =D ．4x =-6．抛物线2221y x ax a a =-+++的顶点在第二象限，则常数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．1a >C ．12a -<<D ．1a <-或2a >7．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．用二次函数的顶点坐标公式求下列函数的顶点坐标. （1）221y x x =--； （2）2243y x x =-++.9．先将下列函数解析式化为()2y a x h k =-+形式，然后在不同坐标系内画出图象. （1）24y x x =-+；（2）2361y x x =++.基础训练（2）二次函数2y ax bx c =-+的图象和性质1．抛物线2253y x x =+-的对称轴是直线 ；顶点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是.2.已知函数26y x x m =-+的最小值为1，那么m 的值为 .3.已知抛物线265y x x =-+的图象如图所示，当0y =时，x =.4.二次函数223=--的图象如图所示.当0y x xy<时，自变量x的取值范围是.5.二次函数2=++的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：y ax bx c①0a<；②0c>；③函数有最大值；④在对称轴左侧，y随x增大而增大.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在同一平面直角坐标系中，函数2=+与y bx ay ax bx=+的图象可能是（）7．将抛物线2=-++先向左平移2个单位，再向上平移1个单位.y x x365（1）求平移后抛物线的解析式；（2）求平移后抛物线的对称轴和抛物线与y轴的交点坐标；（3）在（1）的条件下，求当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？8.如图，抛物线()20y ax bx c c =++≠过点()1,0-和点()0,3-，且顶点在第四象限，设P a b c =++，求P 的取值范围.基础训练（3）用待定系数法求二次函数的解析式1.若二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.2.已知二次函数2y x bx c =++，当2x =时，0y =；当1x =-时，3y =，则这个二次函数的解析式为.3.抛物线的顶点在原点，且过点()3,27-，则这条抛物线的解析式为.4.已知二次函数的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是；（2）根据图象回答：当x时，0y >.5.已知二次函数22y x bx =+-的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则它与x 轴的另一个交点坐标是（ ） A ．()1,0B ．()2,0C ．()2,0-D ．()1,0-6．已知二次函数图象经过()1,0，()2,0和()0,2三点，则该函数的解析式是（ A ．222y x x =++ B ．232y x x =-+ C ．232y x x =++D ．223y x x =-+7．在下列条件下，分别求二次函数的解析式：（1）已知抛物线2y ax bx c =++与23y x =-形状相同，开口方向相反，顶点坐标为()2,4-； （2）当3x =时，最小值5y =，且过点()1,11； （3）对称轴为y 轴，且经过点()2,3，()1,6-.8.如图，抛物线()214y a x =-+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C .过点C 作CD x ∥轴，交抛物线的对称轴于点D ，连接BD .已知点A 的坐标为()1,0-. （1）求该抛物线的解析式； （2）求梯形COBD 的面积.能力提高1．抛物线2251y ax x a =+-+过坐标原点，且开口方向向上，则a 的值是 .2.在二次函数221y x x =-++的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是.3.抛物线经过点()2,6-和()4,6，则抛物线的对称轴是（ ）4.已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是.5.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点为()0,3-，则下列说法不正确的是（ ） A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是直线1x =C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与x 轴的交点为()1,0-，()3,06．已知0b <，二次函数221y ax bx a =++-的图象为下列四个图象之一，试根据图象分析a 的值应等于（ ）7．二次函数()223y x =-++在43x -≤≤-范围内的最大值是 . 8.抛物线283y x x 2=-+关于x 轴对称的抛物线的解析式是.9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax =+与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线213y x =于点B ，C ，求BC 的长度.10.在关于,x y 的二元一次方程组2,21x y a x y +=⎧⎨-=⎩中，（1）若3a =，求方程组的解；（2）若()3S a x y =+，当a 为何值时，S 有最小值？是多少？11.如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点，与x 轴相交于点()8,0E ，抛物线的顶点A 在第四象限，点A 到x 的距离4AB =，点(),0P m 在线段OB 上，连接PA ，将线段PA 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PC ，过点C 作y 轴的平行线交x 轴于点G ，交抛物线于点D ，连接BC 和AD .（1）求抛物线的解析式；（2）求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）； （3）当四边形ABCD 是平行四边形时，求点P 的坐标.拓展探究1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2210y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B . （1）求抛物线的顶点坐标.（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点. ①当1m =时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围.2.已知关于x 的一元二次方程()2240x a x a +++=.（1）求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线()21:24C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为2a，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式； （3）点(),A m n 和(),B n m 都在（2）中抛物线2C 上，且A ，B 两点不重合，求代数式m n +的值.22.1 参考答案：22.1.1 二次函数 基础训练1．B 2．D 3．D 4．D 5．A 6．2 7．216y a a π=-++ 8．212y x =9．2500(1)y x =+ 10．（1）13m =，21m =-，29y x =+或21y x =-+ （2）3m ≠且1m ≠- 22.1.2 二次函数2y ax =的图象和性质1．向下 y 轴 坐标原点 2．2- 3．22y x = 4．A B > 5．B 6．D 7．A 8．B 9．（1）1a =-，1b =- （2）略（3）当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大；当0x =时，函数有最大值，是0．22.1.3 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质 基础训练（1）1．(0,1)- 0< 2．答案不唯一 3．24y x =+ 4．A 5．D 6．C 7．C8．（1）图略，共同的性质有：开口向下；对称轴都是y 轴；在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在对称轴右边，y 随x 的增大而减小等．（2）开口对称轴相同，抛物线2y ax k =+由2y ax =向上平称k 个单位得到 基础训练（2）1．直线1x = (1,0) 2．左 1=- 0 3．21(2)2y x =- 4．C 5．D 6．C7．（1）略 （2）抛物线2y ax =向右平移h 个单位得到2()y a x h =+ 基础训练（3）1．直线3x =- (3,4)-- 2．2- 5 2<- 3．24(2)1y x =--- 4．C 5．略 6．略 7．（1）1a =- （2）12y y < 8．（1）(0,10)C （2）9.6米 22.1.4 二次函数2y ax bx c =++的图象和性质 基础训练（1）1．2(1)2y x =-++ 2．2(2)1y x =--+ 3．2 1- 2< 4．A 5．C 6．A 7．D 8．（1）(1,2)- （2）(1,5) 9．（1）2(2)4y x =--+ （2）23(1)2y x =+- 图略 基础训练（2）1．54x =- 549,48⎛⎫-- ⎪⎝⎭ (0,3)- 2．10 3．1或5 4．13x -<< 5．D 6．C7．（1）23(1)9y x =-++ （2）对称轴为直线1x =-，与y 轴交点坐标为(0,6) （3）1x >-时，y 随x 增大而减小8．抛物线2(0)y ax bx c c =++≠过点(1,0)-和点(0,3)-，0a b c ∴=-+，3c -=，3b a ∴=-． 当1x =时，2y ax bx c a b c =++=++，3326P a b c a a a ∴=++=+--=-．顶点在第四象限，0a >，30b a ∴=-<，3a ∴<，03a ∴<<，6260a ∴-<-<，即60P -<<． 基础训练（3）1．3 4- 2．22y x x =- 3．23y x =- 4．（1）22y x x =- （2）2x >或0x < 5．C 6．B7．（1）23(2)4y x =++ （2）23(3)52y x =-+ （3）27y x =-+8．（1）2(1)4y x =--+ （2）8 能力提高1．1 2．1x < 3．直线1x = 4．2m ≥- 5．C 6．C 7．2 8．22(2)5y x =--+ 9．6BC = 10．（1）1,1x y =⎧⎨=⎩ （2）2(1)S a a a a =+=+，当12a =-时，S 有最小值，是14-．11．（1）2124y x x =- （2）(AAS)PCG APB ∆∆≌，4PG AB ∴==，CG PB =． (,0)P m ，4PB m ∴=-，(4,0)G m +，(4,4)C m m ∴+-．（3）当四边形ABCD 是平行四边形时，CD AB =，AB CD ∥．AB x ⊥轴，CD x ∴⊥轴，∴点C ，D 的横坐标相同．把4x m =+代入2124y x =-得2144y m =-，21(4,4)4D m m ∴+-．21(4)(4)4CD m m ∴=---．又4CD AB ==，21(4)(4)=44m m ∴---，化简得24160m m +-=，225m =-+，225m =--（舍去），(225,0)P ∴-+． 拓展探究1．（1）将抛物线表达式变为顶点式2(1)1y m x =--，则抛物线顶点坐标为(1,1)-．（2）①1m =时，抛物线表达式为22y x x =-，因此A ，B 的坐标分别为(0,0)和(2,0)，则线段AB 上的整点有(0,0)，(1,0)，(2,0)共3个；②抛物线顶点为(1,1)-，则由线段AB 之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为1-或者0，所以即要求AB 线段上（含AB 两点）必须有5个整点；又令抛物线表达式2210y mx mx m =-+-=，得到A ，B 两点坐标分别为1,0m ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,0m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到23m≤<，1194m ∴<≤．2．（1）22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+，而20a ≥，2160a ∴+>，即0∆>．∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．（2）抛物线1C 与x 轴的一个交点的横坐标为2a ，∴当2a x =时，0y =，22()(4)22a aa ∴⨯++⨯+ 0a =．化简得230a a +=，即(3)0a a +=．0a ≠，3a ∴=-．∴抛物线1C 的解析式为223y x x =+-．又22125232()48y x x x =+-=+-．因此，抛物线1C 的顶点为125(,)48--．由题意得平移后抛物线2C 的顶点为(0,3)-，∴抛物线2C 的解析式223y x =-．（3）点(,)A m n 和(,)B n m 都在抛物线2C 上，223n m ∴=-，且223m n =-．222()n m m n ∴-=-．2()()n m m n m n ∴-=-+．()[2()1]0m n m n ∴-++=．A ，B 两点不重合，即m n ≠，2()10m n ∴++=．12m n ∴+=-．。
九年级数学：二次函数图像与性质的同步测试(含答案)
二次函数图像与性质同步测试题一．选择题（每题4分，共24分）1.若2y mx nx p =+-（其中,,m n p 是常数）为二次函数，则（ ） A.,,m n p 均不为0 B.00m n ≠≠且 C.0m ≠ D.00m p ≠≠且 2.下列抛物线的顶点坐标为（0,1）的是（ ）A.21y x =+ B.21y x =- C.()21y x =+ D.()21y x =-3.关于二次函数235y x =-+，下列说法正确的是（ ） A.它的开口方向向上 B.当x ＜0时，y 随x 的增大而加增大 C.顶点坐标是（5,0） D.当x =0时，y 的最小值是54.已知点()()()1234,,2,,1,y y y ---都在函数2y x =的图像上，则（ ）A.123y y y ＜＜B.132y y y ＜＜C.321y y y ＜＜D.213y y y ＜＜13.抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A.先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B.先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度D.先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 6.当ab ＞0，函数2y ax =与y ax b =+的图像可能是（ ）一．填空题（每题4分，共24分）7.若()223y k x kx =-+-是二次函数，则k 的取值范围___________8.抛物线214y x =+的开口__________,对称轴是_________. 9.已知抛物线25y x =-，当x =______时，y 有最____值等于___.10.抛物线()21y x =-可看作抛物线2y x =向___平移_____个单位长度得到。
11.抛物线215y x =-+向下平移3个单位长度，则顶点坐标为______。
12.已知二次函数224y x x =-+-，它的顶点坐标为______，当x ________时，y 随x 的增大而增大，当x ________时，y 随x 的增大而减小。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题（附答案）姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．拋物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．2．函数是关于的二次函数，则的值为（）A．B．C．D．3．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A．B．C．D．4．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（）A．B．C．D．5．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与x轴交于点A，点A的坐标为，则的值为（）A．B．0 C．1 D．26．已知点，在二次函数的图像上，若，则必有（）A．B．C．D．7．如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（）A．-2 B．C．D．08．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知是关于的二次函数，则m= .10．已知二次函数，则的最小值是．11．已知二次函数，当时，的取值范围是．12．若抛物线的图象与轴有交点，那么的取值范围是.13．已知抛物线，若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，则实数的最小值为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
15．二次函数的图象经过点．（1）求二次函数的对称轴；（2）当时，求此时二次函数的表达式；把化为的形式，并写出顶点坐标．16．已知抛物线是常数的开口向上且经过点和．（1）当时，求抛物线的顶点坐标；（2）若二次函数在时，的最大值为，求的值；（3）若射线与抛物线仅有一个公共点，求的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．（1）求点A的坐标；（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－(x－m)2＋m2的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交AB于点M，Q，直线PM交x轴于点N．（1）若点P在y轴的左侧，且N为PM中点，求抛物线的解析式；（2）求线段PQ长的最小值，并求出当PQ的长度最小时点P的坐标；（3）若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且PN＞MN，求m的取值范围．参考答案：1．C 2．C 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D9．-110．311．12．13．-914．解：对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）15．（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线（2）解：二次函数的图象经过点此时二次函数的表达式为；顶点坐标为．16．（1）解：抛物线是常数经过点，和抛物线的顶点坐标为；（2）解：抛物线是常数的开口向上且经过点和二次函数，在时，的最大值为时，或时或解得舍弃或；（3）解：和直线的解析式为抛物线抛物线在的范围内仅有一个交点即方程在的范围内仅有一个根整理得在的范围内只有一个解即抛物线在的范围内与轴只有一个交点观察图象可知，时解得．当方程有等根时，解得或舍弃当时，交点的横坐标为，符合题意或．17．（1）解：∵点A是抛物线的顶点∴和∴点A的坐标为(4,2)（2）解：∵AB平行于x轴∴又B在抛物线y＝x2+1上∴∴底为AB=3，高恒为218．（1）解：∵抛物线y＝－(x﹣m)2＋m2的顶点为P∴P（m，m2）∵PM⊥x轴∴M（m，－m－2），N（m，0）∵N为PM中点∴m2－m－2＝0解得m1＝－1，m2＝2∵点P在y轴左侧∴m＝－1∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋1．（2）解：由y＝－x－2＝0，解得x＝－2，所以A（－2，0），OA＝2．当x＝0时，y＝－x－2＝－2，所以B（0，－2），OB＝OA＝2．∵∠AOB＝90°∴∠OAB＝∠OBA＝45°∵PM⊥x轴，PQ⊥y轴∴∠PQM＝∠PMQ＝45°∴PQ＝PM＝m2－(－m－2)＝(m＋ )2＋．∵a＝1＞0∴当m＝－时，PQ的值最小，最小值为此时点P的坐标为（－，）．（3）解：易知，当m＝－2时，M，N重合，不合题意；当m＝0时，P，N重合，不合题意；当m＜－2时（如图），PN＞MN，符合题意；当m＞－2时（如图），PN－MN＝m2－[－(－m－2)]＝m2－m－2＝(m－ )2－．由m2－m－2＝0，解得m1＝－1，m2＝2又∵a＝1＞0∴当－2＜m＜－1或m＞2时，PN－MN的值大于0，即PN＞MN；综上可知，m的取值范围是m＜－2或－2＜m＜－1或m＞2。
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)
人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题(附答案)姓名班级学号成绩一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．抛物线的顶点坐标是（）A．B．C．D．2．二次函数的图象与轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．0个D．无法确定3．把抛物线向右平移2个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C． D．4．如图，在用一坐标中，函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．5．已知二次函数（为实数，且），当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知，和三点都在二次函数的图象上，则，和的大小关系为（）A．B．C．D．7．已知二次函数，当时，y有最小值和最大值5，则m的取值范围为（）A．B．C．D．8．如图，抛物线交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①一元二次方程有两个相等的实数根；②若点，和在该函数图象上，则；③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是；④在y轴上找一点D，使的面积为1，则D点的坐标为.以上四个结论中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．已知二次函数y＝3（x﹣3）（x+2），则该函数对称轴为直线．10．关于x的函数与x轴有唯一交点，则a的值是.11．已知二次函数有最小值，则的值是．12．已知二次函数y=x2＋2mx＋2，当x＞2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是. 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知点在以y轴为对称轴的抛物线上，求的最大值．15．抛物线．（1）求顶点坐标，对称轴；（2）x取何值时，y随x的增大而减小？（3）x取何值时，y＝0；x取何值时，y＞0；x取何值时，y＜0 ．16．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．（1）当，时，比较与的大小，并说明理由；（2）若对于，都有，求的取值范围．17．已知：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）．（1）求该抛物线的函数解析式和直线AB的函数解析式；（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．18．已知抛物线（a为常数，）的图象经过原点，点A在抛物线上运动．（1）求a的值．（2）若点和点都是这个抛物线上的点，且有，求t的取值范围．（3）设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，过点A作轴，垂足为点B，过点D作轴，垂足于点C，试问四边形的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值和对应的x值，如果不存在，请说明理由．参考答案：1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．D 8．C9．x＝10．0或111．112．m≥-213．-214．解：∵二次函数的对称轴是直线x=0∴∴a=0∴该二次函数的解析式为：∵点在该函数的图象上∴∴∴当m=1时，取得最大值-3．15．（1）解：．顶点坐标为（2，2），对称轴为直线；（2）解：当时，y随x的增大而减小；（3）解：令y=0，即-2x2+8x-6=0，解得x=1或3，抛物线开口向下当或时，y＝0；当时，y＞0；当或时，y＜0．16．（1）解：由题意可知，在抛物线上抛物线开口向上，对称轴为直线，到对称轴的距离相同；（2）解：当时，则解得和抛物线经过点和对称轴为直线对于，都有解得解得．17．（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B（0，3）和点A（3，0）∴，解得∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3设直线AB的函数解析式为y＝kx＋m，由题意，得，解得∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3．（2）解：设点M的坐标为（a，－a2＋2a＋3），则N点坐标为（a，－a＋3）∵M，N在第一象限∴MN＝－a2＋2a＋3－（－a＋3）＝－a2＋2a＋3＋a－3＝－a2＋3a＝－＋∴当a＝时，点M与点N之间的距离的最大，最大值为，此时点M的坐标为，点N的坐标为．18．（1）解：将原点坐标代入抛物线可得：∵∴；（2）解：把代入抛物线可得：点P和点Q代入抛物线解析式可得：∵∴∴∴；（3）解：由抛物线解析式可得对称轴为平行于轴，设且和由抛物线的对称性可知、两点的中点坐标在对称轴上∴∴∵和都和轴垂直，平行于轴∴四边形是矩形由函数图象可知点纵坐标∴四边形的周长为：∴当时四边形周长有最大值。
人教版九年级数学上册：二次函数的图象和性质同步练习 附加答案
22.1.2 二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质（三）知识点:1、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的对称轴为 ，顶点坐标为 。
2、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 与抛物线)0(2≠=a ax y 的形状 ，位置 ，将抛物线)0(2≠=a ax y 进行平移可得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ，平移规律为： 当0,0>>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<>k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0><k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；当0,0<<k h 时，将抛物线)0(2≠=a ax y 得到抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y ；3、抛物线)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象特点：0>a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ； 0<a 时，抛物线开口向 ，左 右 ，顶点最 ；一、选择题：1、抛物线21)1(22+--=x y 的顶点坐标为（ ） A 、（-1，21） B 、（1，21） C 、（-1，—21） D 、（1，—21）2、对于2)3(22+-=x y 的图象，下列叙述正确的是（ ）A 、顶点坐标为（-3,2）B 、对称轴是直线3-=yC 、当3≥x 时，y 随x 的增大而增大D 、当3≥x 时，y 随x 的增大而减小 3、将抛物线2x y =向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）A 、3)1(2++=x yB 、3)1(2+-=x yC 、3)1(2-+=x yD 、3)1(2--=x y 4、抛物线2)1(22-+-=x y 可由抛物线22x y -=平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A 、先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B 、先向右平移1个单位，再向下平移2个单位C 、先向左平移1个单位，再向上平移2个单位D 、先向左平移1个单位，再向下平移2个单位5、如图，把抛物线y=x 2沿直线y=x 平移2个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后的抛物线解析式是（ ）A 、y=（x+1）2-1B ．y=（x+1）2+1C ．y=（x-1）2+1D ．y=（x-1）2-1 6、设A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （3，3y ）是抛物线k x y +--=2)21(21上的三个点，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A 、1y <2y <3yB 、2y <1y <3yC 、3y <1y <2yD 、2y <3y <1y7、若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l8、二次函数n m x a y ++=2)(的图象如图所示，则一次函数n mx y +=的图象经过（ ）A 、第一、二、三象限B 、第一、二、四象限C 、第二、三、四象限D 、第一、三、四象限 二、填空题：1、抛物线1)3(22-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 取最 值为 。
九年级数学上册专题四二次函数的图象性质与系数的关系同步测试新人教版
九年级数学上册专题四二次函数的图象性质与系数的关系同步测试新人教版 [见A 本P22](教材P47习题22‘2第6题)下列情形时，如果a >0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在什么位置。
(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等的实数根；(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；(3)方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根；如果a <0呢？解：a ＞0，抛物线开口向上：(1)抛物线与x 轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x 轴下方．(2)抛物线与x 轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x 轴上．(3)抛物线与x 轴无交点，抛物线的顶点在x 轴上方．a ＜0，抛物线开口向下：(1)抛物线与x 轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x 轴上方．(2)抛物线与x 轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x 轴上．(3)抛物线与x 轴无交点，抛物线的顶点在x 轴下方．已知二次函数y ＝－x 2＋3x －35，当自变量x 取m 时对应的函数值大于0，设自变量x 分别取m －3，m ＋3时对应的函数值为y 1，y 2，则( D )A ．y 1＞0，y 2＞0B ．y 1＞0，y 2＜0C ．y 1＜0，y 2＞0D ．y 1＜0，y 2＜0如图1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2‘其中正确的个数是( B )图1A ．1B ．2C ．3D ．4函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图3所示，有以下结论：①b 2－4c >0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<x <3时，x 2＋(b －1)x ＋c <0‘其中正确的个数是( B )图2A．1 B．2 C．3 D．4二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示：图3(1)判断a，b，c及b2－4ac的符号；(2)若|OA|＝|OB|，求证：ac＋b＋1＝0‘解：(1)由图象知：开口向上，∴a＞0，对称轴－b2a＞0，∴b＜0，与y轴交于负半轴，∴c＜0，与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0；(2)∵|OA|＝|OB|，且|OB|＝|c|＝－c，∴ax2＋b x＋c＝0有一根为c，从而ac2＋bc＋c＝0，又∵c≠0，∴ac＋b＋1＝0‘。
九年级数学上册22-1-4二次函数y=ax2bxc的图象和性质同步测试(新版)新人教版
九年级数学上册22-1-4二次函数y＝ax2bxc的图象和性质同步测试（新版）新人教版第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质[见A本P18]1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C )A．y＝－x＋3 B．y＝5xC．y＝2xD．y＝－2x2＋x－72．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( A )A．(3，－4) B．(3，4)C．(－3，－4) D．(－3，4)【解析】∵y＝x2－6x＋5＝x2－6x＋9－9＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标是(3，－4)．故选A.3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( A )A．x<1 B．x>1C．x<－1 D．x>－1【解析】∵a＝－1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是x＝1，∴当x＜1时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大．故选A.4．关于y＝－x2＋3x－的图象，下列说法不正确的是( B )A．开口向下B．对称轴是x＝－3C．顶点坐标是(3，2)D．顶点是抛物线的最高点【解析】 a＝－＜0，开口向下，故A正确；对称轴为x＝－＝－＝3，故B不正确；当x＝3时，y最大值＝－×32＋3×3－＝2，故顶点坐标为(3，2)，C正确；D正确．5．下列关于二次函数的说法错误的是( B )A．抛物线y＝－2x2＋3x＋1的对称轴是x＝34B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3的图象上C．二次函数y＝(x＋2)2－2的顶点坐标是(－2，－2)D．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的最低点是(－1，－5)6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D ) A．(－2，3) B．(－1，4)C．(1，4) D．(4，3)7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为( B )A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2【解析】把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4向左平移2个单位再向上平移3个单位得到y＝x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝2，c＝0，选B.8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是( B )图22－1－25A．y1≤y2 B．y1<y2C．y1≥y2 D．y1>y2【解析】∵a＜0，x1＜x2＜1，∴y随x的增大而增大∴y1＜y2.故选B.9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．【解析】原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y＝(x＋1)2－4的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y＝(x－1)2＋2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4的图象，故③正确．10．用配方法将二次函数y＝－x2－x＋化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝－(x ＋1)2＋2__；它的开口向__下__，对称轴是__x＝－1__，顶点坐标是__(－1，2)__．【解析】 y＝－x2－x＋＝－(x2＋2x－3)＝－[(x＋1)2－4]＝－(x＋1)2＋2.a＝－＜0，它的图象开口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，2)．11．y ＝2x2－bx ＋3的对称轴是x ＝1，则b 的值为__4__．【解析】 由对称轴公式得－＝1，解得b ＝4.12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x 为何值时，y 值最大(小)．(1)y ＝－2x2－8x ＋8;(2)y ＝5x2＋6x ＋7；(3)y ＝3x2－4x;(4)y ＝－2x2＋5.解：(1)y ＝－2(x2＋4x －4)＝－2(x2＋4x ＋4－8)＝－2(x ＋2)2＋16.a ＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x ＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x ＝－2时，y 有最大值．(2)∵a ＝5，b ＝6，c ＝7，∴－＝－＝－0.6，4ac －b24a＝＝＝＝5.2. 抛物线开口向上，对称轴为x ＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x ＝－0.6时，y 有最小值．(3)y ＝3＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x2－43x ＋49－49 ＝3－.抛物线开口向上，对称轴为x ＝，顶点坐标为.当x ＝时，y 有最小值．(4)抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，5)，当x ＝0时，y 有最大值．13．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( A )A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1【解析】∵二次函数y＝－x2－7x＋的对称轴为x＝－＝－＝－7.∵0＜x1＜x2＜x3，∴三点都在对称轴右侧，又∵a＜0，在对称轴右侧y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3.14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为( C )A．直线x＝1 B．直线x＝－2C．直线x＝－1 D．直线x＝－4【解析】∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，∴－2a＋b＝0，即b＝2a，∴抛物线y＝ax2＋bx的对称轴为直线x＝－＝－1.故选C.15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；(2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．图22－1－26解：(1)x ＝1，(1，3)；(2)填表如下：抛物线的图象如图所示．(3)因为在对称轴x ＝1的右侧，y 随x 的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2.图22－1－2716．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－x2＋bx ＋c 的图象经过B ，C两点．(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围．解：(1)由题意，得C(0，2)，B(2，2)，∴∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43，c ＝2，∴该二次函数的解析式为y ＝－x2＋x ＋2.(2)令－x2＋x ＋2＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴当y ＞0时，－1<x<3.17．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．(1)求抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的解析式；(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM ＋OM 的最小值．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点代入y ＝ax2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝－4，c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0，解这个方程组，得a ＝－，b ＝1，c ＝0，所以抛物线解析式为y ＝－x2＋x.(2)如图，由y ＝－x2＋x ＝－(x －1)2＋，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称垂直平分线段OB ，所以OM ＝BM ，OM ＋AM ＝BM ＋AM.连接AB 交直线x ＝1于M ，则此时OM ＋AM 最小．过A 点作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝＝＝4，因此AM ＋OM 的最小值为4.18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y ＝ax2＋bx ＋c(a<0)过矩形顶点B ，C.(1)当n ＝1时，如果a ＝－1，试求b 的值；(2)当n ＝2时，如图(2)，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．(1) (2)解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x ＝，∴－＝，解得b ＝1；(2)因为抛物线过C(0，1)，所以c ＝1，故可设所求抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋1，由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M ，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝83，∴所求抛物线的解析式为y ＝－x2＋x ＋1.第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式[见B 本P18]1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为( A)A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23C ．(－1，5) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，143【解析】 设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝32，∴y ＝－x2＋x ＋＝－(x2－2x －3)＝－[(x2－2x ＋1)－4]＝－[(x －1)2－4]＝－(x －1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象上部分点的坐标满足下表：则该函数图象的顶点坐标为( B )A ．(－3，－3)B ．(－2，－2)C ．(－1，－3)D ．(0，－6)【解析】 ∵x ＝－3和－1时的函数值都是－3相等，∴二次函数的对称轴为直线x ＝－2，∴顶点坐标为(－2，－2)．故选B.3．抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线的解析式为( D )A ．y ＝－2x2－x ＋3B ．y ＝－2x2＋4x ＋5C ．y ＝－2x2＋4x ＋8D ．y ＝－2x2＋4x ＋6【解析】 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝6，∴y ＝－2x2＋4x ＋6，故选D.4．抛物线的形状、开口方向与y ＝x2－4x ＋3相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为( C )A ．y ＝(x －2)2＋1B ．y ＝(x －2)2－1C ．y ＝(x ＋2)2＋1D ．y ＝(x ＋2)2－1【解析】 依题意得a ＝，可得该抛物线的解析式为y ＝(x ＋2)2＋1，故选C.5．抛物线y ＝2x2＋bx ＋c 的顶点坐标是(1，－2)，则b ＝__－4__，c ＝__0__．【解析】 依题意得y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x2－4x ，所以b ＝－4，c ＝0.6．已知点A(1，2)，B(－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A ，B两点，则此二次函数可为__y ＝x2＋1(答案不唯一)__．【解析】 设y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)，则∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝2－a ，－2b ＋c ＝5－4a ， 解得∴y ＝ax2＋(a －1)x ＋3－2a.取a ≠0的数即可，如当a ＝1时，y ＝x2＋1.7．如图22－1－30，已知二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为__3__．【解析】 依题意得解得所以y ＝x2－x －2，令x2－x －2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以AC 长为3.图22－1－30图22－1－318．已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象如图22－1－31所示．(1)这个二次函数的解析式是__y ＝x2－2x__；(2)当x ＝__3或－1__时，y ＝3.【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)，则解得a ＝1，b ＝－2，c ＝0，∴y ＝x2－2x.(2)当x2－2x ＝3时，解得x1＝3，x2＝－1，所以当x ＝3或－1时，y ＝3.9．抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是__①③④__．(填写序号)①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；②函数y ＝ax2＋bx ＋c 的最大值为6；③抛物线的对称轴是x ＝；④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．【解析】 从表中取出三个点代入y ＝ax2＋bx ＋c ，求出函数解析式，进行判断．10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式．解：设抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2－1，把点(2，1)代入解析式得：a －1＝1，解得a ＝2，∴这个函数的解析式为y ＝2(x －1)2－1.11．根据下列条件，求二次函数的解析式：(1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)；(2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)．解：(1)设函数的解析式是y ＝a(x －2)2＋3，代入点(3，1)得：a ＝－2，则函数的解析式是：y ＝－2(x －2)2＋3；(2)设函数的解析式是y ＝ax2＋bx ＋c.根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－2，c ＝－1，4a －2b ＋c ＝－11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝－1，则函数的解析式是：y ＝－2x2＋x －1.12．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应的解析式及顶点坐标．解：根据题意，得：⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝2，a ＋b ＋c ＝4，25a ＋5b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝2，c ＝52，∴此抛物线对应的解析式y ＝－x2＋2x ＋，即y ＝－(x －2)2＋，∴顶点坐标为.13．当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．解：∵当k ＝1时，函数y ＝(k －1)x2－4x ＋5－k 没有最大值；当k ≠1时，当函数图象开口向下时函数y ＝(k －1)x2－4x ＋5－k 有最大值，∴k－1＜0，解得k ＜1，∴当k ＝－1时函数y ＝(k －1)x2－4x ＋5－k 有最大值，此时函数解析式为y ＝－2x2－4x ＋6＝－2(x ＋1)2＋8，且最大值为8.图22－1－3214．如图22－1－32，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象交x 轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y 轴于点C(0，－2)，过点A ，C 画直线．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P 在x 轴正半轴上，且PA ＝PC ，求OP 的长．解：(1)设该二次函数的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －2)，将x ＝0，y ＝－2代入，得－2＝a(0＋1)(0－2)，解得a ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －2)，即y ＝x2－x －2.(2)设OP ＝x ，则PC ＝PA ＝x ＋1，在Rt △POC 中，由勾股定理，得x2＋22＝(x ＋1)2，解得x ＝，即OP ＝.图22－1－3315．如图22－1－33，二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，且A 点坐标为(－3，0)，经过B 点的直线交抛物线于点D(－2，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BD 的解析式．解：(1)将A(－3，0)，D(－2，－3)的坐标代入y ＝x2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧9－3b ＋c ＝0，4－2b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－3， ∴y ＝x2＋2x －3.(2)由x2＋2x －3＝0，得 x1＝－3，x2＝1，∴B 的坐标是(1，0)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，∴直线BD 的解析式为y ＝x －1.图22－1－3416．如图22－1－34，已知二次函数y ＝x2＋bx ＋c 过点A(1，0)，C(0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．解：(1)∵二次函数y ＝x2＋bx ＋c 过点A(1，0)，c(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0c ＝－3 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝－3 ∴二次函数的解析式为y ＝x2＋2x －3；(2)∵当y ＝0时，x2＋2x －3＝0，解得：x1＝－3，x2＝1；∴A(1，0)，B(－3，0)，∴AB ＝4，设P(m ，n)，∵△ABP 的面积为10，∴AB ·|n|＝10，解得：n ＝±5，当n ＝5时，m2＋2m －3＝5，解得：m ＝－4或2，∴点P 坐标为(－4，5)或(2，5)； 当n ＝－5时，m2＋2m －3＝－5，方程无解，故点P 坐标为(－4，5)或(2，5)．。
人教版九年级上册数学《二次函数的图象与系数的关系》同步练习(含答案)
二次函数的图象与系数的关系一 、选择题（本大题共1小题）1.关于二次函数2y ax bx c =++图象有下列命题：（1）当0c =时，函数的图象经过原点；（2）当0c >时，函数的图象开口向下时，方程20ax bx c ++=必有两个不等实根；（3）当0b =时，函数图象关于原点对称．其中正确的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二 、填空题（本大题共1小题）2.已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________．三 、解答题（本大题共2小题）3.已知：关于x 的方程()213210ax a x a --+-=（1）当a 取何值时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；（2）求证：a 取任何实数时，方程总有实数根.4.已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 是正整数）的图象经过点()14A -，和()21B ，，且与x 轴有两个不同的交点，求b c +的最大值．012)31(2=-+--a x a ax二次函数的图象与系数的关系答案解析一 、选择题1.C ；当0c =时，函数的图象经过原点，正确；（2）当0c >时，函数的图象开口向下时，图象与x 轴有2个交点，所以方程20ax bx c ++=必有两个不等实根，正确；（3）当0b =时，函数图象关于y 轴对称，错误．有两个正确．二 、填空题2.23m <<；因为函数图像开口向上，所以()20m ->，又因为顶点在第三象限，所以函数对称轴在y 轴左侧，所以20m >；因为函数图像又与y 轴的负半轴相交，所以()30m --<．综上所述可得()202200330m m m m m m ⎧->>⎧⎪⎪>⇒>⎨⎨⎪⎪<--<⎩⎩ ∴23m <<三 、解答题3.考查二次函数的对称轴的性质，以及函数图象与坐标轴交点的情况．(1)解：∵二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =- ∴()11322a a --=- 解得1a =-经检验1a =-是原分式方程的解.所以1a =-时，二次函数()21321y ax a x a =--+-的对称轴是2x =-；（2）1）当0a =时，原方程变为10x --=，方程的解为1x =-；2）当0a ≠时，原方程为一元二次方程，， 当240b ac -≥时，方程总有实数根∴()()2134210a a a ----≥⎡⎤⎣⎦整理得，2210a a -+=,()210a -≥∵0a ≠时 ()210a -≥总成立所以a 取任何实数时，方程总有实数根. 012)31(2=-+--a x a ax 012)31(2=-+--a x a ax4.由函数经过点()14A -，，()21B ，，则有 4421a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得132b a c a =--⎧⎨=-⎩． 因为二次函数与x 轴有两个不同的交点，则240b ac ∆=->，即()()24320a a a a ---->，整理为()()9110a a -->，解得19a <或1a >．由于a 为正整数，所以2a ≥．又因为324b c a +=-+-≤，且当2a =、3b =-、1c =-时，满足题意，故b c +的最大值为4-．。
人教版九年级数学上册《二次函数图象和性质》 同步练习
二次函数图像和性质小结与测验班级： 姓名：一．填空题：1．二次函数2y ax =的图像开口向＿＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿，图像有最＿＿＿点，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
2．抛物线y=－21(2)2x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。
当x = 时，函数y 有最 值是 .3．化243y x x =++为y =a 2()x h -k +的形式是＿＿＿＿，图像的开口向＿＿＿＿，顶点是＿＿＿，对称轴是＿＿＿＿。
当x = 时，函数y 有最 值是 . 4、已知抛物线342++=x x y ，请回答以下问题：⑴、它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ； ⑵、图像与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。
5、二次函数2243y x x =--，当x = 时，函数y 有最 值是 . 6（1）二次函数y=-x 2+6x+3的图像顶点为_________对称轴为_________。
二次函数122--=x x y 的顶点坐标为 ，对称轴为 。
（2）二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为________，对称轴为__________。
7．二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。
8、抛物线3)2(32-+=x y 可由抛物线2)2(32++=x y 向 平移 个单位得到． 9、将2)3(652+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 10、把抛物线1)1(2---=x y 向 平移 个单位，再向_____平移_______个单位得到抛物线3)2(2-+-=x y ．11．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 过第二、三、四象限，则a 0，b 0，c 0．12.已知二次函数232)1(2-++-=m mx x m y ，则当=m 时，其最大值为0．二．选择题：1. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a ＞0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＞0 C.a ＜0,b ＞0,c ＜0 D.a ＜0,b ＞0,c ＞02.抛物线y=-2x 2-4x-5经过平移得到y=-2x 2，平移方法是( )A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位B.向左平移1个单位，再向上移3个单位C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位D.向右平移1个单位，再向上移3个单位 3、二次函数y=x 2+6x-2的最小值为（ ） A 11 B -11 C 9 D -94．已知正比例函数kx y =的图像如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图像大致为（ ）A B C D5．二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个（D ）1个第5题 第6题 第7题 6、二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)， 则此拋物线的对称轴是（ ）（A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x = 7、如图所示，二次函数y=x 2-4x+3的图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点， 则△ABC 的面积为（ ）A 、6B 、 4C 、3D 、 18.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论： ①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0， 其中正确的个数是_________9.二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b 2-4ac>0④0<ab中，正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个O xy-1 1y O x y O x yO xOxyyOxB A xCy23-xy10.下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）11.在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是三．解答题：1.已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。
人教版-数学-九年级上册-新版数学九上 二次函数的图象和性质 同步练习
初中-数学-打印版二次函数的图象和性质同步练习南头初级中学 杨伟海一．选择题：1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A. xy+x 2=1B. x 2-y+2=0C. y=21xD. y 2-4x=3.2．抛物线y=-2(x+3)2-4的顶点坐标是（ ）A. (3, -4)B. (-3, 4)C. (-3, -4)D. (-4, 3)3．把二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A. y=3(x-2)2+1B. y=3(x+2)2-1C. y=3(x-2)2-1D. y=3(x+2)2+14．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论①a ＞0，②c ＞0，③b 2-4ac＞0，其中正确的有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是(A ．ab x -= B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝36．已知函数4212--=x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜47．已知反比例函数)0(≠=a xay ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则函数a ax y +=2的图象经过的象限是（ ）A 、第三、四象限B 、第一、二象限C 、第二、三、四象限D 、第一、二、三象限.二．填空题： 1．若42)2(--=mx m y 是二次函数，则m=2．二次函数x x y 22--=的开口 ，对称轴是3．已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y 轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次函数表达式：4．函数=y=21(x-1)2+3，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大.5．二次函数y=x 2-2x-3的最小值是 6．抛物线y=ax 2+x+2经过点（-1，0），则a=7．二次函数y=x 2+x-6的图象与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴交点的坐标是初中-数学-打印版2．用配方法把函数y=-3x 2-6x+10化成y=a(x-h)2+k 的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值.3．已知二次函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）（1）求这个二次函数的关系式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围.4．如图二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过A 、B 、C 三点， （1）观察图象，写出A 、B 、C （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴（3）观察图象，当x 取何值时，y<0？y=0？y>0?初中-数学-打印版。
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二次函数的图象性质与系数的关系 [见A 本P22]
(教材P47习题22.2第6题)
下列情形时，如果a >0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在什么位置。
(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等的实数根；
(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；
(3)方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根；
如果a <0呢？
解：a ＞0，抛物线开口向上：
(1)抛物线与x 轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x 轴下方．
(2)抛物线与x 轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x 轴上．
(3)抛物线与x 轴无交点，抛物线的顶点在x 轴上方．
a ＜0，抛物线开口向下：
(1)抛物线与x 轴相交(有两个交点)，抛物线的顶点在x 轴上方．
(2)抛物线与x 轴相切(只有一个交点)，抛物线的顶点在x 轴上．
(3)抛物线与x 轴无交点，抛物线的顶点在x 轴下方．
已知二次函数y ＝－x 2＋3x －35
，当自变量x 取m 时对应的函数值大于0，设自变量x 分别取m －3，m ＋3时对应的函数值为y 1，y 2，则( D )
A ．y 1＞0，y 2＞0
B ．y 1＞0，y 2＜0
C ．y 1＜0，y 2＞0
D ．y 1＜0，y 2＜0
如图1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为x ＝1，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论：①2a ＋b ＝0；②4a －2b ＋c ＜0；③ac ＞0；④当y ＜0时，x ＜－1或x ＞2.其中正确的个数是( B )
图1
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
函数y ＝x 2＋bx ＋c 与y ＝x 的图象如图3所示，有以下结论：①b 2－4c >0；②b ＋c ＋1＝0；③3b ＋c ＋6＝0；④当1<x <3时，x 2＋(b －1)x ＋c <0.其中正确的个数是( B )
图2
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图4所示：
图3
(1)判断a，b，c及b2－4ac的符号；
(2)若|OA|＝|OB|，求证：ac＋b＋1＝0. 解：(1)由图象知：开口向上，
∴a＞0，
对称轴－b
2a＞0，
∴b＜0，
与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2－4ac＞0；
(2)∵|OA|＝|OB|，且|OB|＝|c|＝－c，
∴ax2＋b x＋c＝0有一根为c，从而ac2＋bc＋c＝0，又∵c≠0，∴ac＋b＋1＝0.。