复杂的鸡兔同笼问题
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复杂的鸡兔同笼问题专题训练
一、知识要点和基本方法
1.鸡兔同笼的基本问题是:已知鸡、兔总头数和总脚数,求鸡、兔各有多少只.
(1)解决鸡兔同笼问题的方法通常是用假设法,解题思路是:
先假设笼子里装的全是鸡,根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1只兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔.
(2)解决鸡兔同笼问题的基本关系式是:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数).
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数-鸡脚数).
注意,这两个基本关系式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,又知总数,所以另一个也就知道了.
2.鸡兔同笼问题的变型有两类:
(1)将鸡、兔的总头数和总脚数中的“两数之和”变成“两数之差”,这样得到三种情况:
已知鸡、兔头数之差和总脚数,求鸡兔各有多少只;
已知鸡、兔脚数之差和总头数,求鸡兔各有多少只;
已知鸡、兔头数之差和脚数之差,求鸡兔各有多少只.
(2)将基本问题中同笼的是鸡、兔两种不同东西,还可以引伸到同笼中不同东西是三种,四种等等.
注意:鸡兔同笼问题的两种变型均可转化成基本问题来解决.
二、例题精讲
例1、在同一个笼子中,有若干只鸡和兔,从笼子上看有40个头,从笼子下数有130只脚,那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只
分析:题目中给出了鸡、兔共有40只,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚,两只后脚也捆起来,也看成是一只脚,那么兔子就成了2只脚(即把兔子都当成两只脚的鸡).鸡兔总的脚数是40×2=80(只)比题中所说的130只要少
130-80=50(只).
现在松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数就会增加2,即80+2=82.再松开一只兔子脚上的绳子,总的脚数又增加2,即82+2=84,…一直继续下去,直至增加到50.因此,兔子数是50÷2=25(只).
实际上,这就是上述基本关系式(2).
解:(130-40×2)÷(4-2)
=(130-80)÷2
=50÷2
=25(只).
40-25=15(只).
答:笼子中有兔子25只,有鸡15只.
例2、蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀,现在这三种小虫共21只,有140条腿和24对翅膀,求每种小虫各几只
分析:此题中出现了3种昆虫,不仅有腿的比较,而且又出现了翅膀,显然比例1复杂了.解此题的关键就是将3种昆虫转化为2种昆虫,这样解起来就比较容易了.
突破口在于:蝉和蜻蜓都有6条腿.
解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目考虑,可以把昆虫分成“8条腿”和“6条腿”
两种,利用基本关系式算出8条腿的
蜘蛛数=(140-6×21)÷(8-6)
=(140-126)÷2
=14÷2
=7(只).
因此,知道了6条腿的昆虫共有
21-7=14(只),
也就是蜻蜓和蝉共有14只.因为蜻蜓和蝉共有24对翅膀,现在再用一次基本关系式,得蝉数=(14×2-24)÷(2-1)
=(28-24)÷1
=4(只).
因此,蜻蜓数是14-4=10(只).
答:有7只蜘蛛,4只蝉,10只蜻蜓.
例3、鸡与兔共40只,鸡的脚数比兔的脚数少70,问鸡与兔各多少只
解:假设再补上70只鸡脚,也就是再有鸡70÷2=35(只),则鸡与兔的脚数就相等,兔的脚数是鸡的脚数4÷2=2(倍).于是鸡的只数是兔的只数的2倍.
因此,兔的只数是
(40+70÷2)÷(2+1)=25(只),
鸡的只数是
40-25=15(只).
答:鸡15只,兔25只.
例4、在一个停车场上,停放的车辆(汽车和三轮摩托车)数恰好是24.其中每辆汽车有四个轮子,每辆摩托车有三个轮子.这些车共有86个轮子.那么,三轮摩托车有多少辆
分析:我们可将汽车“看作兔子”,将三轮摩托车“看作鸡”,轮子“看作腿”,就可用鸡兔同笼的原理来解此题.
解:24辆车如果都算作汽车,那么将有24×4=96(个)轮子.比现有的86个多10个轮子.每一辆三轮摩托车比每一辆汽车少一个轮子,故要有10辆三轮摩托车来抵消10个轮子.答:共有10辆三轮摩托车.
公式套用:若用基本关系式,鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
“翻译”为摩托车车辆数计算公式(这里将摩托车看作“鸡”):
摩托车数=(汽车轮子数×车辆总数-轮子总数)÷(汽车轮子数-摩托车轮子数),
即有
摩托车数:(4×24-86)÷(4-3)=10(辆).
三、专题特训
1.有一首民谣:“一队猎手一队狗,二队并着一起走,数头一共三百六,数腿一共八百九。”问民谣中有多少个猎手和多少条狗
2.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张
3.春风小学3名同学去参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道倒扣3分,不做得0分,这3名同学都做了所有题.小明得了87分,小红得了74分,小华得了9分.问他们三人一共答对了多少题
4.某班同学外出春游,买车票99张,共花280元,其中单程每张2元,往返每张4元,问单程票与往返票相差几张
5.某商场为招揽顾客举办购物抽奖,奖金有三种:一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元,共有100人中奖,奖金总额为9500元.问其中二等奖有多少名
6.有一堆硬币,面值为1分、2分、5分三种,其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍,已知这堆硬币面值总和是1元,问5分的硬币有多少个
7.箱子里有红、白两种颜色的玻璃球.红球数是白球数的3倍多2个.每次从箱子里取出7
只白球,15只红球.若经过若干次取球以后,箱子里剩下3只白球,53只红球.那么箱子里原有红球多少只
8.甲、乙二人射击,若命中,甲得4分,乙得5分,若不中甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发
9.姣姣和甜甜两位同学进行数学比赛,商定算对一题给20分,错一题扣12分.姣姣和甜甜各算了10道题,两人共得208分,姣姣比甜甜多得64分,问姣姣和甜甜各算对了多少道题
10.某种考试已举行了24次,共出了426题,每次出的题数有25道,或者16道,或者20道,那么,其中考25题的有多少次
答案与解析
参考答案
1.猎手有275人,狗有85人。
2.最多可买1角邮票6张。
3.共答对了20道。
解:三人共得87+74+9=170(分),比满分少300-170=130(分),因此3人共做错
130÷(10+3)=10(道)所以,共答对30-10=20(题)。
4.单程票比往返票多17张。
解:设99张均为往返票,应花99×4=396(元),比实际多花396-280=116(元) .因一张往返票比一张单程票多2元,所以单程票116÷2=58(张),往返票有99-58=41(张),两者相差17张。
5.二等奖13名。
设都是三等奖,奖金就多下9500-50×100=4500(元),一个一等奖要增加1000-50=950(元),一个二等奖要增加250-50=200(元).因此
950×一等奖个数+200×二等奖个数=4500(元).
很明显一等奖个数是偶数,2,4,6,….6×950>×950余下的钱就不能被200整除,因此一等奖个数只能是2.
二等奖个数是
(4500-950×2)÷200=13(个).