高中数学 第3章 第3节 模拟方法—概率的应用 几何概型同步练习 北师大版必修3
高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用学案 北师大版必修3(2021年最新整理)
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3模拟方法——概率的应用学习目标课标描述：初步体会几何概型的意义。
学习目标分解：1、学生通过试验、交流，结合对实例的分析，体会学习几何概型的必要性；2、学生通过讨论、类比,能说出古典概型和几何概型的区别和联系；3、学生通过体验，能总结几何概型的意义，并会利用几何概型概率公式求简单问题的概率。
学习重点:几何概型的意义。
学习难点：几何概型中随机试验结果个数的无限性理解.学习方法:试验、交流、归纳等方法的综合应用.学习过程:Ⅰ、体验与思考情境一、甲、乙二人玩转盘游戏。
如图，规定当指针指向阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜。
分析：1、所有可能的试验结果与甲获胜包含的试验结果;2、能否用古典概型公式求甲获胜的概率，为什么？情境二、长为3米的绳子，从中间随机剪开，则得到的每段绳长都不小于1米的概率是多少?归纳：以上两个问题的共同特点是什么？如何求以上两个随机事件发生的概率？Ⅱ总结阅读课本P135~P136，回答：什么是几何概型？其概率公式是什么？举例说明：举一个几何概型的实例.(图2）(图3）（图1)2比较并探究：古典概型与几何概型的区别与联系是什么？Ⅲ应用阅读课本P136例1。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_20
§3.3模拟方法——概率的应用教学设计一、教材内容分析《模拟方法——概率的应用》是北师大版高中教材必修三第3章第3节的内容,安排在《随机事件的概率》和《古典概型》两节之后。
本小节共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。
另外，本节内容的学习，可以帮助学生全面系统地掌握概率知识，体会抽象概括建立模型的思想方法和数形结合的思想方法，为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法。
二、学生情况分析学生之前已经学习了一般性随机事件，概率统计定义以及古典概型.而且有了一定的观察和归纳能力，几何概型的内容可以和古典概型的内容进行类比学习.但是，古典概型研究有限的事件，而几何概型研究无限事件，如何实现两者的过渡以及如何将问题实际背景转化为相应的长度，面积，体积等几何模型是有困难的，需要教师创设好的问题情境，选择好例题，帮助学生形成几何概型的概念，掌握计算方法。
三、教学目标1、过程与方法：通过自主探究、讨论交流，参与概念产生与发展的过程；经历观察、分析、类比等方法，养成逻辑推理能力；感知用图形解决概率问题的方法，渗透化归、数形结合等思想方法。
2、知识与技能：（1）了解模拟方法的基本思想，会用这种思想解决某些具体问题:如求某些不规则图形的近似面积；（2）记住几何概型的概念和特征，了解古典概型和几何概型的区别与联系；（3）掌握几何概型的计算方法和步骤，用几何概型来解决一些纯数学问题和实际生活问题。
3、情感态度与价值观：感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用；充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题；形成从有限向无限探究的意识，养成合作交流的习惯。
四、教学重点与难点重点：几何概型概念的建构和建立合理的几何概型进行简单的几何概率计算。
高中数学 第三章 概率 3_3 模拟方法——概率的应用教案 北师大版必修31
§3模拟方法——概率的应用整体设计教学分析这部分是新增加的内容．介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概型的意义，所以教科书中选的例题都是比较简单的．随机模拟部分是本节的重点内容．几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子．本节的教学需要一些实物模型为教具，教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果．在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．三维目标1．通过师生共同探究，体会数学知识的形成，正确理解几何概型的概念；掌握几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力．2．本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯，会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型，会进行简单的几何概率计算，培养学生从有限向无限探究的意识．重点难点教学重点：理解几何概型的定义、特点，会用公式计算几何概率．教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.复习古典概型的两个基本特点：(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件发生都是等可能的．那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢？为此我们学习几何概型．思路2.图1中有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？图1为解决这个问题，我们学习几何概型．思路 3.在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况．例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个．这就是我们要学习的几何概型．推进新课新知探究提出问题1．随意抛掷一枚均匀硬币两次，求两次出现相同面的概率？2．试验1.取一根长度为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．问剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭，假设射箭能射中靶面内任何一点都是等可能的．问射中黄心的概率为多少？3．问题1,2中的基本事件有什么特点？两事件的本质区别是什么？4．什么是几何概型？它有什么特点？5．如何计算几何概型的概率？有什么样的公式？6．古典概型和几何概型有什么区别和联系？活动：学生根据问题思考讨论，回顾古典概型的特点，把问题转化为学过的知识解决，教师引导学生比较概括．讨论结果：1．硬币落地后会出现四种结果：分别记作(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．每种结果出现的概率相等，P (正，正)＝P (正，反)＝P (反，正)＝P (反，反)＝14.两次出现相同面的概率为14＋14＝12. 2．经分析，第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点．第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122 cm 的大圆内的任意一点．在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的“等可能性”，但是显然不能用古典概型的方法求解．考虑第一个问题，如图2，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的13，于是事件A 发生的概率为P (A )＝13.图2第二个问题，如图3，记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.图33．硬币落地后会出现四种结果(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)是等可能的，绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点，也是等可能的，射中靶面内任何一点都是等可能的，但是硬币落地后只出现四种结果，是有限的，而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的，即一个基本事件是有限的，而另一个基本事件是无限的．4．几何概型．对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．几何概型的基本特点：a．试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；b．每个基本事件出现的可能性相等．5．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.6．古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的；区别是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同．应用示例思路1例1 判断下列试验中事件发生的概率是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图4所示，有一个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．图4活动：学生紧紧抓住古典概型与几何概型的区别与联系，然后判断．解：(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．点评：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关．例2 某人午休醒来，发觉表停了(图5)，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率．图5活动：学生分析，教师引导，假设他在0～60之间的任一时刻，打开收音机是等可能的，但0～60之间有无数个时刻，不能用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率，因为他在0～60之间的任一时刻打开收音机是等可能的，所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件，所以可用几何概型的概率计算公式计算．解：记“等待的时间短于10分钟”为事件A ，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A 发生．由几何概型的求概率公式得P (A )＝60－5060＝16，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为16. 点评：打开收音机的时刻X 是随机的，可以是0～60之间的任何时刻，且是等可能的．我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 称为[0,60]上的均匀随机数.变式训练某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率(假定车到来后每人都能上)．解：可以认为人在任一时刻到站是等可能的．设上一班车离站时刻为a ，则某人到站的一切可能时刻为Ω＝(a ，a ＋5)，记A g ＝{等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g ＝(a ＋2，a ＋5)中的任一时刻，故P (A g )＝g 的长度Ω的长度＝35. 点评：通过实例初步体会几何概型的意义.思路2例1 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于20分钟的概率．活动：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率．可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．解：设A ＝{等待的时间不多于20分钟}，我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于[40,60]这一时间段内，因此由几何概型的概率公式，得P (A )＝60－4060＝13. 即此人等车时间不多于20分钟的概率为13. 点评：在本例中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X 服从[0,60]上的均匀分布，X 为[0,60]上的均匀随机数.变式训练在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型公式可以求得概率．解：记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝0.004.故钻到油层面的概率是0.004.例2 小明家的晚报在下午5：30～6：30之间任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？活动：学生读题，设法利用几何概型公式求得概率．解：建立平面直角坐标系，如图6中x ＝6，x ＝7，y ＝5.5，y ＝6.5围成一个正方形区域G .设晚餐在x (6≤x ≤7)时开始，晚报在y (5.5≤y ≤6.5)时被送到，这个结果与平面上的点(x ，y )对应．于是试验的所有可能结果就与G 中的所有点一一对应．图6由题意知，每一个试验结果出现的可能性是相同的，因此，试验属于几何概型．晚报在晚餐开始之前被送到，当且仅当y ＜x ，因此图5中的阴影区域g 就表示“晚报在晚餐开始之前被送到”．容易求得g 的面积为78，G 的面积为1.由几何概型的概率公式，“晚报在晚餐开始之前被送到”的概率为P (A )＝g 的面积G 的面积＝78. 变式训练在1 L 高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL ，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析：麦锈病种子在这1 L 中的分布可以看作是随机的，取得的10 mL 种子可视作构成事件的区域，1 L 种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．解：取出10 mL 种子，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为A ，则P (A )＝0.01. 故取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是0.01.知能训练1．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，求乘客到达站台立即乘上车的概率．答案：由几何概型知，所求事件A 的概率为P (A )＝111. 2．两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2 m 的概率．答案：记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13. 3．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )．A ．0.5B ．0.4C ．0.004D ．不能确定解析：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500＝0.004. 答案：C4．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r ＜a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．答案：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图7所示，这样线段OM 长度(记作OM )的取值范围就是[0，a ]，只有当r ＜OM ≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P (A )＝r ，a ]的长度[0，a ]的长度＝a －r a.图7拓展提升1．约会问题两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，然后就可离去，试求这两人能会面的概率．解：因为两人谁也没有讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙两人各自到达的时刻)组成．以8点钟作为计算时间的起点，设甲、乙各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为Ω：{(x ，y )|0≤x ≤60,0≤y ≤60}，画成图为一正方形．以x ，y 分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为|x －y |≤20.这是一个几何概型问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出(如图8)．图8所求概率为P ＝g 的面积G 的面积＝602－402602＝59. 2．〔蒲丰(Buffon)投针问题〕平面上画很多平行线，间距为a .向此平面投掷长为l (l ＜a )的针，求此针与任一平行线相交的概率．解：设针的中点与最接近的平行线之间的距离为x ，针与平行线的交角为φ(见图9)．样本空间为Ω：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫φ，x ⎪⎪⎪0≤φ≤π，0≤x ≤a 2为一矩形．针与平行线相交的充要条件是g ：x ≤l 2sin φ(见图10)．所求概率是P ＝g 的面积Ω的面积＝⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2·sin φd φπ·a 2＝2l a π.图9 图10注：因为概率P 可以用多次重复试验的频率来近似，由此可以得到π的近似值．方法是重复投针N 次(或一次投针若干枚，总计N 枚)，统计与平行线相交的次数n ，则P ≈n N.又因a 与l 都可精确测量，故从2l a π≈n N ，可解得π≈2lN an.历史上有不少人做过这个试验．做得最好的一位投掷了3 408次，算得π≈3.141 592 9，其精确度已经达到小数点后第六位．设计一个随机试验，通过大量重复试验得到某种结果，以确定我们感兴趣的某个量，由此而发展的蒙特卡洛(Monte.Carlo)方法为这种计算提供了一种途径．课堂小结几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例．作业习题3—3 A 组 1,2.设计感想本节课首先对古典概型进行了复习，使学生掌握古典概型的适用条件，巩固了古典概型的概率计算公式，接着设计了多个试验，从课题的引入，到问题的提出都非常有针对性，引人入胜，接着从新的问题中引出几何概型这一不同于古典概型的又一概率模型，并通过探究，归纳出几何概型的概率计算公式，同时比较了古典概型和几何概型的区别和联系，通过思路1和思路2两种不同的例题类型和层次，加深理解和运用，由于它们与实际生活联系密切，所以要反复练习，达到为我们的工作与生活服务的目的，然而这部分内容在高考中是新内容，因此同学们要高度重视，全面把握，争取获得好成绩．备课资料几何概型是高中数学新增加的内容，其特点鲜明，题目类型较为固定．高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下．1．与长度有关的几何概型例1有一段长为10 m 的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3 m ，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3 m ，也就是说只能在距两端都为3 m 的中间的4 m 中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题．解：记两段木棍都不小于3 m 为事件A ，则P (A )＝10－3－310＝25. 2．与面积有关的几何概型这里有一道十分有趣的题目：例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛，比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷，可以看到里面有一张小方几，要将一枚铜板扔到这张方几上．已知铜板的直径是方几边长的34，谁能将铜板整个地落到方几上就可以进行下一轮比赛．郭靖一扔，铜板落到小方几上，且没有掉下，问他能进入下一轮比赛的概率有多大？图11分析：这是一道几何概型问题，在几何概型中，样本空间是问题所涉及的整个几何图形，在本题中，样本空间就是小方几的桌面面积．一个事件就是整个几何图形的一部分，这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比．解：不妨设小方几的边长为1，铜板落到小方几上，也就是铜板的中心落到方几上，而要求整个铜板落到小方几上，也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个14×14的小正方形内(如图11)，这时铜板中心到方几边缘的距离≥铜板边长的38.整个方几的面积为1×1＝1，而中央小正方形的面积为14×14＝116，所以郭靖进入下一轮比赛的概率为1161＝116. 例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟．问两人能够见面的概率有多大？解：设甲到的时间为(9＋x )小时，乙到的时间为(9＋y )小时，则0≤x ≤1,0≤y ≤1. 点(x ，y )形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以(0,0)，(1,0)，(0,1)，(1,1)为顶点(如图12)．图12由于两人都只能停留5分钟即112小时，所以在|x －y |≤112时，两人才能会面． 由于|x －y |≤112是两条平行直线x －y ＝112，y －x ＝112之间的带状区域，正方形中除去这个带状区域是两个三角形，其面积之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11122.从而带形区域在这个正方形内的面积为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11122＝23144，因此所求的概率为231441＝23144. 3．与体积有关的几何概型例4 在5 L 水中有一个病毒，现从中随机地取出1 L 水，含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5 L 水中的分布可以看作是随机的，取得的1 L 水可以看作构成事件的区域，5 L 水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可能用体积比公式计算其概率．解：“取出1 L 水，其中含有病毒”这一事件记作事件A ，则P (A )＝取出的水的体积所有水的体积＝15＝0.2. 从而所求的概率为0.2.现在我们将这个问题拓展一下：例5 在5 L 水中有两个病毒，现从中随机地取出1 L 水，含有病毒的概率是多大？ 分析：此题目与上一题有一点区别，即现在在5 L 水中含有两个病毒，我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙．随机地取1 L 水，由上题我们可知含有病毒甲的概率为15，含有病毒乙的概率也是15，而这两种情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况，所以应当将这种情况去掉．解：记“取1 L 水，含有病毒甲”为事件A ；“取1 L 水，含有病毒乙”为事件B ，则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB .从而所求的概率为P ＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )＝15＋15－15×15＝925＝0.36.4．与角度有关的几何概型例6 如图13，在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．图13解：设事件A 是“作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，则μA ＝90°－30°－30°＝30°，而μΩ＝90°，由几何概型的计算公式得P (A )＝μA μΩ＝30°90°＝13. 注意：在高中数学阶段，我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握．这里只是列出了几道与几何概型有关的题目，可以说，在高中数学学习阶段，这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型，希望能对大家有一点帮助． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第三章概率3.3模拟方法_概率的应用学案含解析北师大版必修3
3 模拟方法——概率的应用考纲定位重难突破1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系.重点：几何概型的特点及概念.难点：应用几何概型的概率公式求概率.授课提示：对应学生用书第48页[自主梳理]1．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关．即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．2．几何概型概率的计算几何概型的概率公式在几何概型中，事件的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）[双基自测]1．几何概型与古典概型的区别是()A．几何概型的基本事件是等可能的B．几何概型的基本事件的个数是有限的C．几何概型的基本事件的个数是无限的D．几何概型的基本事件不是等可能的解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.答案：C2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，13，故应选A中的游戏盘．答案：A3．在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为12，则实数m的值为() A．0B．1C．2 D．3解析：区间[－1，3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由2m4＝12，得m＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第49页探究一 与长度、角度有关的几何概型[典例1] 某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．[解析] 设上辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图．记等车事件大于10分钟为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上时，事件A 发生，区域T 1T 2的长度为15，区域T 1T 的长度为5.所以P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13.(1)与长度有关的几何概型概率的求法 ①与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为： P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤a ．找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．b ．找到事件A 发生时对应的区域d ，确定d 的边界点是问题的关键．c ．利用几何概型概率公式求概率． (2)与角度有关的几何概型概率的求法①如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.②解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中阴影部分的概率为________．解析：圆盘对应的圆心角为360°，阴影部分对应的圆心角为75°，故投中阴影部分的概率P ＝75°360°＝524.答案：524探究二 与面积有关的几何概型[典例2] 一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD ＝2，DC ＝2，BC ＝1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率． [解析] 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，如图所示．在Rt △AFD 中，因为AD＝2，DF ＝BC ＝1，所以AF ＝1，∠A ＝π4，所以梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52.扇形DAE 的面积S 2＝π×(2)2×π42π＝π4.根据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为( )A.312πB.334πC.34D.3π解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径为R ，则R ＝33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 213πa 2＝334π，故选B.答案：B探究三 与体积有关的几何概型[典例3] 正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，在正方体内随机取一点M .求点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内的概率．[解析] 记“点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内”为事件E .因为棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3， 由正方体的性质可知V B ′－A ′BC ＝13S B ′BC ·A ′B ′＝16a 3.故P (E )＝V B ′－A ′BC V ＝16a 3a 3＝16.如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M-ABCD 的体积不超过16(事件A)的概率．解析：设M到平面ABCD的距离为h，则V M-ABCD＝13S底面ABCD·h≤16.又S底面ABCD＝1，所以只要h≤12即可．所有满足h≤12的点组成以正方形ABCD为底面，12为高的长方体，其体积为12，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M-ABCD的体积不超过16(事件A)的概率为P(A)＝121＝12.古典概型与几何概型的综合问题[典例](本题满分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈Z时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈R时，求点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．[规范解答](1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本事件总数n＝25，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1＝625.…………………………………………………6分(2)如图所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，则构成该事件的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点构成所求事件的区域如图所示的阴影部分，其面积为14×π×22＝π，故所求概率P2＝π16.………………12分[规范与警示] 1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是几何概型是解决本题的难点，也是易错点．2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本事件的个数是有限的，且是等可能的，显然属于古典概型；正确求解基本事件总数及点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本事件个数是求解本题的关键．3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本事件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键．[随堂训练] 对应学生用书第50页1．已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( ) A.19 B.18 C.14 D.38解析：因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}，所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.答案：B2.任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是________．解析：利用几何概型，其测度为面积．设大正方形的边长为1，面积为1，∵第三个正方形的边长为12，所以面积为12×12＝14，∴所投点落在第三个正方形内的概率为14.答案：143．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.。
2019-2020年北师大版数学必修三：第3章+§3 模拟方法——概率的应用及答案
§3模拟方法——概率的应用1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；③利用概率公式P(A)＝mn计算．思考：几何概型与古典概型有何区别？[提示]几何概型与古典概型的异同点1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．m是n的近似值D[随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为()A.78 B.56 C.34 D.12A[问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.] 3．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A.310B.15C.25D.45B [∵25＜S ＜49，∴5＜AP ＜7，∴P (25＜S ＜49)＝7－510＝15.]4．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．31 000 [由几何概型知，P ＝31 000.]【例1】 (1)某公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________． (2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．(1)35 (2)12 [(1)法一 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记等车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35.即候车时间不超过3 min 的概率为35.法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min ”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35.(2)如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝DE ＋FG ＋MNBC ＋CA ＋AB＝3＋2＋112＝12.]如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.1．(1)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为( )A ．1B.23C.310D.25 (2)如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是________．(1)C (2)16 [(1)令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f (x )的图像是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图像在x 轴下方，即f (x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，所以P ＝2－(－1)5－(－5)＝310. (2)因为在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为圆周角，所以该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16.]【例2】 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解] 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 所占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积. 2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．2．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为( )A.π24B.π12C.π8D.π6A [在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积是半径为1的球的14，体积为14×43×π×13＝π3，∴所求概率为π38＝π24，故选A.][探究问题]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．【例3】 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[解] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生需x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μn ＝1, 所以P (A )＝μA μn ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可.3．(1)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12(1)B (2)B [(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.故选B.(2)易知点C 的坐标为(1,2)，点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．思考辨析(1)从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型．(2)从区间[－10,10]内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型． ( )(3)从一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内任取一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率模型是几何概型． ( )(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．( ) [解析] (1)×，是古典概型．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等．(3)√，符合几何概型的特征．(4)√，由几何概型的特点可知．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0B．0.002C．0.004D．1C[由几何概型公式得：P＝2500＝0.004.]3.如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任做一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．16[记B＝{射线OA落在∠xOT内}，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝60°360°＝16.]4．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？[解]记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0 min到23min之间的时间段内按错键，P(A)＝2330＝145.。
北师大版高中数学必修三模拟方法---概率的应用(27张PPT)
分析:由于区域A的面积是正方形面的1／4,
因此大约有1／4的芝麻(25个)落在阴影部分
A
A内.
下面我将通过计算机做模拟实验,来验证分析的结果是否正确.
典型例题
例2. 求解“引入新课”中的问题。 解:设“飞船在主着陆场内着陆”为事件A,
P(A)
=
1202 2002
=
9. 25
与面积成比例
P(A)=
构成事件A的区域面积 试验的所有可能出现的结果所构成的区域面积
典型例题 例3 . 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯 水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率. 分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随
问题提出 2.下图是卧室和书房地板的示意图，图中所有方砖除颜 色外完全相同，甲壳虫 分别在卧室和书房中自由地 飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里， 甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
书房
提升总结
事实上，甲壳虫停留在黑砖上的概率与黑砖的总 面积有关.
问题提出
3.用大小两个玻璃盆分别去捞鱼缸中红白相间的金鱼， 哪个捞到金鱼的概率大？
如何计算飞船在主着陆场内着陆的概率？
构成事(件2A)的区每域长个度(结面积果或体的积) 发生的可能性大小相等．
事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.
正确理解几何概型的概念；
用线段MN表示30cm的绳子，E、F为MN的两个三等分点.
∵EF= 10cm,∴P如(A)=果每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的
新北师大高中数学必修3第三章 §3 模拟方法——概率的应用
率为
()
1
1
A.2
B.3
1
1
C.4
D.6
解析：选D P＝1158－ －1142＝16.
2．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样
放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为 ( )
A．0
B．0.002
C．0.004
D．1
解析：选C 由几何概型公式得P＝5200＝0.004.
3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形圆心角为 90°)，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在 阴影部分的概率为________． 解析：S扇形＝14×π×22＝π， S阴影＝S扇形－S△OAB＝π－12×2×2＝π－2， ∴P＝π－π 2＝1－π2. 答案：1－π2
(2)设MP＝x，则NP＝16－x，由S＝x(16－x)>60⇒x2－16x ＋60<0，(x－6)(x－10)<0⇒6<x<10，所以P＝146＝14.
[答案] (1)B (2)A
[类题通法]
如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意 义上的线段长度，这种概率称为长度型的几何概型．可按下列 公式来计算其概率：
[答案] (1)C (2)1π6
[类题通法] 在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借 助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区 域特征，分别计算其面积，以公式P(A)＝ 试验的构全成部事结件果A的构区成域的面区积域面积计算事件的概率即可．
[针对训练]
1．在一球内有一棱长为 1 的内接正方体，一点在球内运动，
半球的体积V半球＝12×43π×13＝23π.则点P到点O的距离小于1或等于1
2 的概率为：32ππ＝13，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－13＝23.
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_9
小结： 几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用 几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条 件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的几 何度量有关，而与该区域的形状、位置无关。
作业：
第153页 习题3—3 A组 2 B组 2
分析：假设他在 0～60 分钟之间任何一个时刻到 车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间有无 穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件 发生的概率.
可以通过几何概型的求概率公式得 到事件发生的概率.因为客车每小时 一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个 时刻到站等车是等可能的，所以他在 哪个时间段到站等车的概率只与该 时间段的长度有关,而与该时间段的 位置无关,这符合几何概型的条件.
分析：正方形的面积只与边长有关，此题可以 转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M， 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概 率．
例 3、在 1 升高产小麦种子中混入了一种带麦锈 病的种子，从中随机取出 10 毫升，则取出的种 子中含有麦锈病的种子的概率是多少？
分析：病种子在这 1 升中的分布可以看作是随 机的，取得的 10 毫克种子可视作构成事件的区 域，1 升种子可视作试验的所有结果构成的区 域，可用“体积比”公式计算其概率。
解：取出 10 毫升种子，其中“含有病种子”
取出的种子体积
这一事件记为 A，则 P(A)= 所有种子的体积
10 = 1000 =0.01．
练习： 1、已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min，
求乘客到达站台立即乘上车的概率。
2、把长度为12 cm 的
线段随机的剪为两段， 求以这两段为邻边所 做的矩形面积不超过 32 的cm概2 率
最新北师大版高中数学必修三第三章概率 模拟方法——概率的应用
§3 模拟方法——概率的应用 学 习目标 1.了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率． 2.了解几何概型的意义．导思什么是几何概型，它与古典概型有何异同？1．几何概型的概念向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，则称这种模型为几何概型． 几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．几何概型有什么特点？提示：几何概型有两个特点：①无限性．在一次试验中，可能出现的结果有无限个，即无限个不同的基本事件．②等可能性．每个基本事件发生的可能性(概率)是均等的．2．几何概型的概率计算公式P (点M 落在G 1)＝1G G 的面积（长度或体积）的面积（长度或体积）几何概型的概率计算公式中G 与G 1的度量是否必须一致？提示：G 与G 1的度量必须一致，或者都是长度，或者都是面积，或者都是体积．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( × )提示：几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置无关．(2) 事件B “从区间[－10，10]上任意取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率”是几何概型．( × )提示：因为区间[－10，10]上的整数只有21个，是有限的．(3)几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等．( × )提示： 几何概型和古典概型的每个基本事件出现的可能性都相等．2．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10，10]上任取一个数，求取到的数在[0，1]内的概率；②从区间[－10，10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；③向一个边长为4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm 的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选D.①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10，10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；③中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．3．(2021·全国乙卷)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 随机取1个数，则取到的数小于13 的概率为( )A ．34B ．23C ．13D ．16【命题意图】本题主要考查与长度有关的几何概型，考查考生利用数形结合思想解题的能力．【解析】选B.由题意可知，本题是几何概型，测度为长度，记A 为“取到的数小于13 ”，则P (A )＝13－012－0＝23 .类型一 与长度(或角度等一维度量)有关的几何概型(数学建模) 【典例】1.某公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________.2．已知方程x 2＋3x ＋p 4 ＋1＝0，若p 在[0，10]中随机取值，则方程有实数根的概率为________．【思路导引】1.结合汽车停留时间与乘客到达车站的时刻，应用几何概型计算．【思路导引】2．首先计算使方程x 2＋3x ＋p 4 ＋1＝0有实数根的实数p 的取值范围，应用几何概型计算概率．【解析】1.方法一：设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记候车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35 .即候车时间不超过3 min 的概率为35 .方法二：容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35 .答案：352．因为总的基本事件是[0，10]内的全部实数，所以基本事件总数为无限个，符合几何概型的条件，事件对应的测度为区间的长度，总的基本事件对应区间[0，10]，长度为10，而事件“方程有实数根”应满足Δ≥0，即9－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4＋1 ≥0，得p ≤5，所以对应区间[0，5]，长度为5，所以所求概率为510 ＝12 .答案：121．与长度有关的几何概型的计算公式如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度 .2．与长度有关的几何概型解题三步骤(1)找到区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D 的长度．(2)找到事件A 发生时对应的区域d ，确定d 的边界点是问题的关键．(3)利用几何概型概率公式求概率．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A ．112B ．38C ．116D ．56【解析】选C.由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580 ＝116 .类型二 与面积有关的几何概型(数学建模)角度 1计算事件的概率【典例】有下列四个游戏盘，将它们水平放稳后，向上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )【思路导引】结合图形，分别计算获奖概率，应选择获奖概率较大的游戏盘．【解析】选A.A 中奖概率为38 ，B 中奖概率为14 ，C 中奖概率为13 ，D 中奖概率为13 .可见游戏盘A 获奖概率最大．角度2 随机模拟的应用【典例】从区间[0，1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4n mB ．2n mC ．4m nD ．2m n【思路导引】一方面，运用几何概型表示出事件的概率；另一方面，用试验中事件发生的频率接近概率，两式相等即可求解．【解析】选C.易知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤1，0≤y n ≤1在平面直角坐标系中表示的平面区域为正方形及其内部，设该正方形的面积为S ，由x 2n ＋y 2n <1构成的图形的面积为S ′，则S ′S ＝14π1 ≈m n ，所以π≈4m n .与面积有关的几何概型的概率求法(1)与面积有关的几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积 . (2)解与面积有关的几何概型问题应注意：①根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关；②找出或构造随机事件对应的几何图形，并能求出有关图形的面积；③在研究射击、射箭、射门、投掷等问题时，常转化为几何概型，利用面积计算来求其概率．1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45【解析】选C.设|AC |＝x ，则|BC |＝12－x ，所以x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212 ＝23 .2.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为( )A ．3π32B ．（3－22）π2C ．（2－2）π4D ．π8 【解析】选B.如图所示，设正方形的边长为1，其中的4个过正方形的中心，且内切正方形的两邻边的小圆的半径为r ，O 1，O 2，O 3，O 4为所在圆圆心，连接AC ，BD 交于点O ，作O 2E ⊥AB 于点E ，则BE ＝O 2E ＝O 2O ＝r ，所以BO 2＝2 r .因为BO 2＋O 2O ＝BO ＝12 BD ＝22 ，所以2 r ＋r ＝22 ，所以r ＝2－22 . 所以黑色部分的面积S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－22 2＝3－222 π，正方形的面积为1， 所以在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为3－222 π.3．在正方形ABCD 内任取一点P ，则使∠APB ＞90°的概率是( )A ．π8B．π4C．π3D．π6【解析】选A.如图，由题意知点P落在以AB为直径的半圆内时∠APB＞90°，设正方形边长为2，则S正方形＝4，S半圆＝π2，所以所求概率P＝π24＝π8.4.我国古代数学家赵爽给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2，设其中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A．866 B．500 C．300 D．134【解析】选D.因为勾股比为1∶3，不妨设勾为1，则股为3，大正方形的边长为2，小正方形的边长为3－1.设落在黄色图形内的图钉数为n，则有n1 000＝（3－1）24，解得n≈134.【补偿训练】采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．【解析】根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527，9857，8636，6947，4698，8045，9597，7424，所以估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为820 ＝0.4.答案：0.4类型三 与体积有关的几何概型(数学建模)【典例】1.有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________.2．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求小蜜蜂“安全飞行”的概率．【思路导引】1.求出圆柱的体积和圆柱内到O 点的距离小于或等于1的半球的体积，再应用几何概型概率公式计算．【思路导引】2．正确理解“安全飞行”对应的空间体积，应用几何概型概率公式计算．【解析】1.先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12 ×43π×13＝23 π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为23π2π ＝13 ，故点P 到点O的距离大于1的概率为1－13 ＝23 .答案：23【解析】2．棱长为3的正方体的体积为3×3×3＝27，而小蜜蜂若要“安全飞行”，则需控制在以原正方体中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂“安全飞行”区域的体积为1×1×1＝1.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为127 .解与体积有关的几何概型的概率问题如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 所占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积 .1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6【解析】选B.点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记“点P 到点O 的距离大于1”为事件M ，则所求概率P (M )＝23－12×4π3×1323＝1－π12 .2．在半径为2的球O 内任取一点M ，则|OM |>1的概率为( )A ．78B ．56C ．34D ．12【解析】选A.问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23 ＝78 . 3．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P -ABC <12V S -ABC 的概率是______． 【解析】由V P -ABC <12 V S -ABC 知，P 点在三棱锥S -ABC 的中截面A 0B 0C 0的下方，P＝1－VS -A 0B 0C 0V S -ABC＝1－18 ＝78 . 答案：78。
数学北师大版必修3知识导航3.3模拟方法——概率的应用
§3 模拟方法——概率的应用知识梳理 概率,但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复模拟方法来估计某些随机事件发生的概率.大量的重复试验,可以节约大量的时间和金钱,所以它是一种非常有效而且应用广泛的方法.例如,使用随机数来模拟大量的抛掷硬币的试验;求不规则图形的近似面积或不规则物体的近似体积;利用计算机模拟自然灾害的发生等.当现实中的试验难以实施或不可能实施时,模拟可以给我们提供一个解决问题的方案. 知识导学在古典概型中利用等可能性的概念,成功地计算了某一类问题的概率,不过,古典概型要求的可能结果的总数必须是有限个.但现实中许多问题的结果却是无限多个,我们希望把这种做法推广到无限多结果,而又有某种等可能性的场合,得到随机事件的概率,这便用到模拟方法,如前面我们利用随机数表产生随机数来模拟抛掷硬币的试验、通过4人依次摸球来模拟摸奖活动等都是模拟方法.模拟方法的基本思想可以通过几何概型来体现.几何概型也是一种概率模型,它是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个;它的特点是在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有关.大家可以通过一些实物模型(落在某区域内的芝麻、转盘等模型),体会几何概型的意义和几何概型的概率公式;结合实例弄清几何概型的两个基本特征:(1)无限性,在一次试验中,可能出现的结果有无限个;(2)等可能性,每个结果的发生是等可能的.利用模拟方法,可以来估计现实生活中某些随机事件的概率.疑难突破1.古典概型与几何概型的区别剖析:几何概型与古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的(等可能性是一致的);但几何概型的基本事件总数有无限多个,古典概型的基本事件总数有有限个.古典概型中试验的所有结果只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果,并且每一次试验结果出现的可能性相同;而几何概型中进行一次试验相当于向几何体G 中取一点,对G 内任意子集,事件“点取自g ”的概率与g 的测读(长度、面积或体积)成正比,而与g 在G 中的位置、形状无关.例如,抛掷硬币出现正面或者反面的概率属于古典概型问题,而向一个大小一定的正方形及其内切圆内随机丢一粒种子,求种子落入内切圆的概率,这就属于几何概型问题. 古典概型中随机事件A 的概率可以通过公式P (A )=n m 来计算;而几何概型事件A 的概率的计算公式为P (A )=.)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构造事件A 2.用随机模拟估算几何概率剖析:随机模拟试验是研究随机事件的概率的重要方法.用计算机或计算器模拟试验,关键是把实际问题中的事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围,即转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型,也就是怎样用随机数来刻画影响随机事件结果的量.可从以下几个方面考虑:(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数;如长度、角度型只用一组,而面积型需要两组;(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围;(3)由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式.典题精讲例1 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想收听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.思路分析:假设他在0~60分钟之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,但0~60分钟之间有无穷多个时刻,故不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率,我们可以通过随机模拟的方法得到事件发生的概率的近似值,也可以通过几何概型的求概率公式得到.因为电台每隔1小时报时一次,他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的,所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解:设A ={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A 恰好是打开收音机的时刻位于［50,60］时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得P (A )=61605060=-,即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为61. 绿色通道:本例中,打开收音机的时刻x 是随机的,可以是0~60分钟之间的任一时刻,并且是等可能的,我们称x 服从［0,60］上的均匀分布,x 是［0,60］上的均匀随机数.变式训练 取一根长度为3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段都不少于1 m 的概率有多大?思路分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m 的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个,所以,可用几何概型考虑.解:记“剪得两段都不少于1 m”为事件A ,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生,由于中间一段的长度等于绳长的31,所以事件A 发生的概率是P (A )=31. 例2 某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过,求乘客候车时间不超过4分钟的概率,并尝试用计算机模拟该试验.思路分析:本题为一道综合性问题,先分析出所求的问题为几何概型,再根据几何概型的计算公式计算结果,最后设计出模拟试验.解:设乘客到达车站的时间是随机的,则由题意可得,P (A )=.52)10,0()4,0(=的长度区间的长度区间 模拟试验:用计数器n 记录做了多少次试验,用计数器m 记录其中有多少次出现在(0,4)内,变换rand()*产生随机数,并判断随机数是否在［10n ,10n +4］之中,如果在,则为m+1,如果不在则m 保持不变.变式训练 甲盒中有红,黑,白三种颜色的球各3个,乙盒子中有黄,黑,白三种颜色的球各2个,从两个盒子中各取1个球.(1)求取出的两个球是不同颜色的概率.(2)请设计一种随机模拟的方法,来近似计算(1)中取出两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤).解:(1)设A ＝“取出的两球是相同颜色”,B ＝“取出的两球是不同颜色”.则事件A 的概率为:P (A )＝.92692323=⨯⨯+⨯ 由于事件A 与事件B 是对立事件,所以事件B 的概率为:P (B )＝1P (A )＝1.9792 (2)随机模拟的步骤:第1步:利用计算机(计算器)产生1~3和2~4两组取整数值的随机数,每组各有N 个随机数.用“1”表示取到红球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黄球. 第2步:统计两组对应的N 对随机数中,每对中的两个数字不同的对数n .第3步:计算N n Nn 就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值. 例3 某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少?思路分析:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能用古典概型的概率公式计算,我们用计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%. 解:S1:利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.S2:1,2,3,4表示投中,用5,6,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是40%. 因为是投篮三次,所以每三个随机数作为一组.例如:产生20组随机数:812,932,569,683,271,989,730,537,925,907,113,966,191,431,257,393,027,556,156,278.这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表示恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为205=25%. 变式训练 同时抛掷两枚骰子,计算都是1点的概率.思路分析:抛掷两枚骰子,相当于产生两个1到6的随机数,因而我们可以产生随机数,然后两个一组分组,每组第一个数表示一枚骰子的点数,第二个数表示第二枚骰子的点数.解:利用计算器或计算机产生1到6的取整数值的随机数,两个随机数作为一组,统计随机数总组数N 及其中两个随机数都是1的组数N 1,则频率NN 1即为抛掷两枚骰子都是1点的概率的近似值.问题探究问题 如图3-3-1的正方形中随机撒一大把豆子,设计一个可以估计出落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比的模拟试验,你能以此估计出圆周率吗?图3-3-1探究:利用计算机或计算器产生随机数模拟上述过程,步骤如下:第一步:产生0~1区间的均匀随机数,a 1=rand,b 1=rand;第二步:经平移和伸缩变换,a =(a 10.5)*2,b =(b 10.5)*2;第三步:数出落在圆a 2+b 2＜1内的豆子数N 1,计算π=NN 14(N 表示落在正方形中的豆子数).同时我们会发现,随着试验次数的增加,得到的π的近似值精度会越来越高.。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》培优课课件_8
定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点
M，若点M落在子区域G
1 ≠G的概率与G
的面积成
1
正比,而与G的形状、位置无关，即
P（点M落在G
）=Βιβλιοθήκη G的面积1
，
1 G的面积
则称这种模型为几何概型.
古典概型的本质特征： (1)基本事件的个数有限. (2)每一个基本事件都是等可能发生的． 几何概型的特点： （1）试验的所有可能出现的结果有无限多个,
的距离均超过 1.
试验的全部区域构成的长度是 3＋4＋5＝12，事件 A 的区 别是 1＋2＋3＝6.则 P(A)＝162＝12.
1.某商场为了吸引顾客，设立 了一个可以自由转动的转盘， 并规定:顾客每购买100元的商 品，就能获得一次转动转盘的 机会.如果转盘停止时，指针正 好对准红、黄或绿的区域，顾 客就可以获得100元、50元、20 元 的 购 物 券 （ 转 盘 等 分 成 20 份）.
绿
黄
黄
绿
绿 绿红
甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？
他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？
解：甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以 获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份， 其中1份红色、2份黄色、4份绿色，因此对于顾客来 说：
P（获得购物券）=
1 2 4 7 , 20 20
（2）每一个试验结果出现的可能性相同. 我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型 称为古典概型.
古典概型中，试验的所有可能结果（基本事 件）数为n，随机事件A包含m个基本事件，那么 随机事件A的概率规定为：
P( A)
事件A包含的可能结果数 试验的所有可能结果数
北师大版高中数学必修3《三章 概率 3 模拟方法——概率的应用 模拟方法——概率的应用》优质课教案_6
几何概型一、教材分析本节课为北师大版教材必修3第三章概率部分第3节的内容。
几何概型是概率必修章节的收尾篇，它是继古典概型之后学习的另一类等可能概型；几何概型的研究，是古典概型的拓广，将古典概型试验结果有限个拓广到无限个；课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。
概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，让学生初步形成用随机的观念去观察、分析、研究客观世界的态度，并获取认识世界的初步知识和科学方法。
二、学情分析学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型公式解决概率题，大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣，逐渐会把一些问题模型化。
但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
三、设计思想本节课遵循引导发现、循序渐进的思路，采用问题探究式教学，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中建构几何概型的概念以及归纳出几何概型公式，具体流程如下：情境引入→概念形成→实际应用→课堂反思→作业布置四、教学目标知识与技能目标：通过师生共同探究，从实验中体会几何概型概念的形成，理解几何概型的特点，掌握几何概型的概率公式。
了解古典概型和几何概型的区别与联系，选择合适的概率模型解决实际问题。
过程与方法目标：让学生经历概念的建构这一过程，进一步体会从特殊到一般的思想；通过实际应用，培养学生数形结合的能力，能够选择适当的观察角度，将实际问题转化为概率模型来解决，以及把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
情感与态度目标:通过创设情境激发学生学习数学的情趣，培养其积极探索的精神。
通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值，增强了学生学习数学的自信心。
五、教学重点与难点重点：理解几何概型的定义、特点、及几何度量的寻找，会用公式计算几何概率。
难点：将实际问题转化为几何概型。
六、教学过程设计（一）情景引入问题1：某某同学掷一枚均匀的硬币，让其同桌猜正面向上的概率，请问其猜对的概率是多少?问题：这个实验是什么概率模型?定义是什么?这是古典概型，它是这样定义的：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
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模拟方法——概率的应用 几何概型 同步练习
1．在边长为2的正方形ABCD 中，连结各边中点得到四边形EFGH ．向ABCD 中随机地撒一粒芝麻，则它落在四边形EFGH 内的概率为_________．
2．在线段AB 上任取三点1x ，2x ，3x ，则2x 位于1x 与3x 之间的概率为_________，A 1x ，A 2x ，A 3x 能构成一个三角形的概率为_________．
3．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一名乘客候车时间不超过3分钟的概率是________．
4．在边长为3的正三角形ABC 中，连结各边中点D ，E ，F ，假设向△ABC 中随机撒一粒小米，则它落在△DEF 内的概率为________．
试验的结果所构成的区域的几何度量用面积表示。
请解决以下5-7题。
5．取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如图3-3-2），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。
6．如图3-3-3在一个边长为3cm 的正方形内部画一个边长为2cm 的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率。
7．向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，求PBC ∆的面积小于2S 的概率。
试验的结果所构成的区域的几何度量用体积表示。
请解决以下8-9题。
8．有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，小杯水中含有这个细菌的概率为 。
9．在1L 高产小麦种子中混入了一粒麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是 。
10．已知地铁列车每10min 一班，在车站停1min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为 。
11．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，那么这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 。
几何概型的问题，在高考中主要考查基本类型，难度不会太高，涉及面可能较广。
12．如图3-3-4，在直角坐标系中，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为 。
答案：。