【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结课件
【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础知识检测 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步基础知识检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 下列说法正确的是( )A ．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大B ．若两直线关于x 轴对称，则此二直线斜率互为倒数C ．若与x 轴不垂直的两直线关于y 轴对称，则此二直线斜率互为相反数D ．若两直线垂直，则此二直线斜率互为负倒数 [答案] C[解析] A 倾斜角为钝角时，斜率小于0；倾斜角为锐角时，斜率大于0.B 两直线关于x 轴对称，斜率一正一负，不可能互为倒数．D 分别平行于x ，y 轴的两直线垂直，其中一直线斜率不存在．2．直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋2＝0平行，则a 等于( ) A ．32 B ．2 C ．－1 D ．2或－1[答案] D[解析] 由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2－a －2＝0， ∴a ＝2或－1.3．已知A (－4,2,3)关于xOz 平面的对称点为A 1，A 1关于z 轴的对称点为A 2，则|AA 2|等于( )A ．8B ．12C ．16D ．19[答案] A[解析] A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)， ∴|AA 2|＝＋2＋－2＋－2＝8.4．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)[答案] D[解析] 该题考查圆的一般方程与标准方程的互化．将一般式化为标准式(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. ∴圆心坐标为(2，－3)．5．直线3x ＋4y －2＝0与直线6x ＋8y －5＝0间的距离是( ) A ．3 B ．7 C ．110 D ．12[答案] C[解析] 根据两平行线间距离公式得|－2－－5232＋42＝110. 6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与x 轴相切于原点，则( ) A ．D ＝0，E ＝0，F ≠0 B ．E ＝0，F ＝0，D ≠0 C ．D ＝0，F ＝0，E ≠0 D ．F ＝0，D ≠0，E ≠0[答案] C[解析] ∵方程表示的圆与x 轴切于原点，∴这个圆过原点且圆心在y 轴上，∴F ＝0，D ＝0，E ≠0. 7． 不论a 为何实数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] 由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限． 8．已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[答案] B[解析] 由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴r ＝|a －－a2＝|a －－a －4|2，解得a ＝1，r ＝2，∴圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.9．过点P (4,2)作圆x 2＋y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －2)2＝20 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝20[答案] A[解析] 由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，半径r ＝12|OP |＝5，故所求圆方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．－42≤m ≤4 2 B ．－4≤m ≤4 2 C ．－4≤m ≤4 D ．4≤m ≤4 2[答案] B[解析] 设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如图所示．则m 是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤4 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．(山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案] 2 2[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转化与化归思想． 点(3,1)在圆内，要使弦长最短，须圆心C (2,2)与点N (3,1)所在直线与弦垂直，此时|CN |＝2，则弦长为24－2＝2 2.12．直线ax ＋y －4＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是________． [答案] (－1,2)[解析] 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y －4＝0x －y －2＝0得x ＝61＋a ，y ＝4－2a1＋a. ∵x >0，y >0.∴－1<a <2.13．过点A (0,1)与B (4,0)的直线l 1与过点(4,1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k 为________．[答案] 4[解析] 当围成四边形内接于一个圆时，l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝－1，而k 1＝－14，∴k 2＝4.14．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．[答案] (2，2)[解析] 本题考查直线与圆的知识．设P (x ，y )，画出示意图：由OA ＝1，∠APO ＝30°知OP ＝2，即x 2＋y 2＝2，与x ＋y －22＝0，联立解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝2，所以P 点坐标为(2，2)．解决直线与圆问题通常采用数形结合的方法．15．直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心(1,2)，r ＝5，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，k 2＝2－01－0＝2，∴0≤k l ≤2.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.求：(1)直线l 的方程；(2)直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.17．(本小题满分12分)过点A (4，－3)作圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程．[解析] ∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0.(2)若切线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.18．(本小题满分12分)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ＝a ，E 是PC 的中点，AC 与BD 交于点G .(1)试建立适当的空间直角坐标系，求P ，A ，E ，G 的坐标； (2)求|EG |.[解析] (1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (a,0,0)，P (0,0，a )，C (0，a,0)． 因为E 是PC 的中点， 所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.因为在正方形ABCD 中，G 是AC 的中点，所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0. (2)|EG |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22 ＝22a . 19．(本小题满分12分)直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点P (m ，12)使得△ABP 和△ABC 的面积相等，求m 的值．[解析] 如图所示，∵直线y ＝－33x ＋1和x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A (3，0)，B (0,1)，∴|AB |＝2.又∵△ABP 和△ABC 的面积相等， ∴CP ∥AB ，故可设CP 的方程为：y ＝－33x ＋c (c >1)． 依题意由S △ABP ＝S △ABC 得|c －1|1＋13＝3，∴c ＝3，∴直线CP 的方程为y ＝－33x ＋3， 又点P (m ，12)在直线y ＝－33x ＋3上，所以12＝－33m ＋3，解得m ＝532.所以m 的值为532.20．(本小题满分13分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， ∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0① 又P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1、x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根． ∴x 1＋x 2＝－2③x 1x 2＝4m －275.④ 又P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③④代入，得y 1y 2＝m ＋125.⑤将④⑤代入①，解得m ＝3.将m ＝3代入方程②，检验得Δ>0成立，∴m ＝3. 21．(本小题满分14分)已知圆心为C 的圆经过点A (－1,1)和B (－2，－2)，且圆心在直线L ：x ＋y －1＝0上，(1)求圆心为C 的圆的标准方程；(2)设点P 在圆C 上，点Q 在直线x －y ＋5＝0上，求|PQ |的最小值； (3)若直线kx －y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为8，求k 的值． [解析] (1)AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，k AB ＝3，则AB 中垂线l 的方程为y ＋12＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，即y ＝－13x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －1，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.∴l 与L 的交点即为圆心C (3，－2)，半径r ＝|AC |＝5， ∴圆C 的标准方程为：(x －3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)∵圆心C 到直线x －y ＋5＝0的距离为d ＝|3＋2＋5|2＝52>r ， ∴直线与圆C 相离，则|PQ |的最小值为d －r ＝52－5. (3)由条件可知：圆心C 到直线的距离为d ＝52－42＝3.根据点到直线的距离公式得：|3k ＋2＋5|k 2＋1＝3，解得：k ＝－2021.。
【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步综合能力检测 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 若直线l 的倾斜角是直线y ＝x －3的倾斜角的两倍，且经过点(2,4)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝2xB ．x ＝4C ．x ＝2D ．y ＝2x －3[答案] C[解析] 直线y ＝x －3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l 的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l 的方程为x ＝2.2．若点P (3,4)和点Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝2，b ＝－1 C ．a ＝4，b ＝3 D ．a ＝5，b ＝2 [答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3＝－1，a ＋32－b ＋42－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝2.3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．a <－2 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <23[答案] D[解析] 由D 2＋E 2－4F >0，得a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.4．若直线(1＋a )x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为( ) A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1D ．－1[答案] D[解析] 将圆x2＋y2－2x＝0的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，∴其圆心为(1,0)，半径为1.若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与该圆相切，则圆心到直线的距离d等于圆的半径r，∴|1＋a＋1|＋a2＋1＝1，∴a＝－1.5．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是( )A．(0,8,0) B．(0,2,0)C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0)[答案] C[解析] 点P在y轴上，可设为(0，y,0)，因为|PA|＝7，A(2,5，－6)，所以22＋y－2＋62＝7，解得y＝2或8.故选C.6．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )A．3 3 B．2 3C． 3 D．1[答案] B[解析] 本题考查了直线与圆位置关系处理方法，弦长等知识，如图所示．设AB的中点为D，则OD⊥AB，由点到直线距离公式得|OD|＝|－5|32＋42＝1.∴AD2＝OA2－OD2＝4－1＝3，∴|AD|＝3，∴弦长|AB|＝2 3.7．已知A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－5)2＋(y－5)2＝4}，则A∩B等于( ) A．∅B．{(0,0)}C．{(5,5)} D．{(0,0)，(5,5)}[答案] A[解析] 集合A是圆O：x2＋y2＝1上所有点组成的，集合B是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝4上所有点组成的．又O (0,0)，r 1＝1，C (5,5)，r 2＝2，|OC |＝52，∴|OC |>r 1＋r 2＝3.∴圆O 和圆C 相离，无公共点．∴A ∩B ＝∅.8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y ＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＋kx －y ＝0得(1＋k 2)x 2＋2kx ＝0，∵两交点恰好关于y 轴对称，∴－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.9．从原点向圆x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为( ) A ．23π B ．π C ．32π D ．43π [答案] B[解析] 如图所示，数形结合，圆心C (3,0)半径r ＝32，在Rt △OCA 中，OC ＝3，CA ＝32，∴∠OCA ＝60°从而∠ACB ＝120°，劣弧AB 长l ＝120π180×32＝π.10．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6[答案] B[解析] 考题分析：本题考查圆的相关知识．圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0得圆心(3,4)，半径为5. 由题意知，AC 为圆的直径且BD ⊥AC ，∴|BD |＝252－12＝46，|AC |＝10. ∴S 四边形ABCD ＝12×46×10＝206，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．直线l 过点(－5，－10)且在圆x 2＋y 2＝25上截得的弦长为52，则直线l 的方程为________________．[答案] x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0[解析] 若直线l 的斜率不存在，则其直线方程为x ＝－5，此时直线l 与圆相切，不符合题意．故设直线l 的斜率为k ，其方程为y ＋10＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －10＝0 由(|5k －10|1＋k 2)2＋(522)2＝25可得k ＝1或k ＝7. 即x －y －5＝0或7x －y ＋25＝0为所求．12．光线从点M (3，－2)照射到y 轴上一点P (0,1)后，被y 轴反射，则反射光线所在的直线方程为________．[答案] x －y ＋1＝0[解析] 点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝1－－0－－x ＝x ，即x －y ＋1＝0.13．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________．[答案] 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0[解析] 圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0.14．以点A (2，－1)为圆心，在直线3x －4y ＋10＝0上截得的弦长为6的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0[解析] 点A 到直线的距离d ＝|6＋4＋10|5＝4.又弦长为6，∴圆的半径为5.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝25，即x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0.15．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ∶y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －3)2＋y 2＝4[解析] 设圆心C (a,0)，由已知a >0作CD ⊥AB ，则由|AB |＝22⇒AD ＝2，|CD |＝|a －1|2.|CA |＝|a －1|，由勾股定理得：(2)2＋(|a －1|2)2＝(|a －1|)2⇒a ＝3或a ＝－1，又a >0，∴a ＝3，∴r ＝3－1＝2， ∴⊙C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解析] (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a ＋1)×0＋0＋2－a ＝0， ∴a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，由题设l 在两轴上的截距存在， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即x ＋y ＋2＝0.∴l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴欲使l 不经过第二象限，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.17．(本小题满分12分)一束光线l 自A (－3,3)发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0有公共点．求：(1)反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2)在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围． [解析] 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1.(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线方程为x ＋y ＝0，此即为光线l 所在直线的方程．(2)点A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)，设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k 2＝1，解得k ＝43或k ＝34.所以过点A ′的圆C 的两条切线方程分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝34(x ＋3)．分别令y ＝0，得x 1＝－34，x 2＝1，所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－34，1]．18．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线x －3y ＝0上，且圆C 与y 轴相切，若圆C 截直线y ＝x 得弦长为27，求圆C 的方程．[解析] 设C (a ，b )，半径为r >0，点C 在x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0， 又C 与y 轴相切， ∴r ＝|a |，又圆C 在y ＝x 上截弦长为27， 则圆心到y ＝x 的距离d ＝|a －b |2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －3b ＝0，r 2＝a 2，a －b 22＋7＝r 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r ＝3.∴圆C 方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9， 或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.19．(本小题满分12分)(1)已知直线l ：3x －y ＋1＝0，求l 关于x 轴对称的直线方程； (2)已知圆M ：x 2＋y 2＝4，求过点P (2,4)与圆M 相切的切线方程．[解析] (1)方法一：∵所求直线与l 关于x 轴对称， 又k 1＝3，∴所求直线斜率为－ 3. ∵直线l 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，∴所求直线为y ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13， 即3x ＋y ＋1＝0.方法二：在直线l 上取两点(0,1)，(3，4)， ∵所求直线与l 关于x 轴对称，∴点(0，－1)和(3，－4)在所求直线上． ∴所求直线的斜率为k ＝－3， ∴所求直线为y ＋1＝－3x ， 即3x ＋y ＋1＝0.(2)∵点P (2,4)不在圆O 上， ∴可设切线PT 为y ＝k (x －2)＋4， ∵d ＝r ，∴|－2k ＋4|1＋k 2＝2，解得k ＝34. ∴y ＝34(x －2)＋4，即3x －4y ＋10＝0.∵过圆外一点作圆的切线应该有两条，∴另一条直线的斜率不存在，易求另一条切线为x ＝2.20．(本小题满分13分)直线y ＝kx 与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0相交于两个不同点A ，B ，当k 取不同的实数值时，求AB 中点的轨迹．[解析] 方法一：联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0，y ＝kx ，消去y ，得(1＋k 2)x 2－(6＋4k )x ＋10＝0.设此方程的两根为x 1，x 2，AB 的中点坐标为P (x ，y )， 由根与系数的关系和中点坐标公式得x ＝x 1＋x 22＝6＋4k ＋k 2＝3＋2k1＋k2，① 又∵P 点在直线y ＝kx 上， ∴y ＝kx ，即k ＝y x.②将②代入①，得x ＝3＋yx1＋y x2(x ≠0)，整理得x 2＋y 2－3x －2y ＝0.∵点P 始终在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴点P 的轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 方法二：∵直线y ＝kx 过坐标原点，圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的圆心为C (3,2)， 设AB 的中点为M ，则MC ⊥AB ， ∴点M 在以OC 为直径的圆上， 此圆的圆心为(32，1)，半径为132，其方程为(x －32)2＋(y －1)2＝134，即x 2＋y 2－3x －2y ＝0.又∵点M 在圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0的内部，∴轨迹是圆x 2＋y 2－3x －2y ＝0位于圆x 2＋y 2－6x －4y ＋10＝0内的部分弧． 21．(本小题满分14分)已知点P (2,0)及圆C ：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋4＝0. (1)若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程．(2)设过点P 的直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，当|MN |＝4时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．(3)设直线ax －y ＋1＝0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解析] (1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，由|3k ＋2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝－34. 所以直线方程为y ＝－34(x －2)，即3x ＋4y －6＝0.当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件． 即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.(2)由于|CP |＝5，而弦心距d ＝r 2－|MN |22＝5，所以d ＝|CP |＝ 5. 所以P 恰为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2＋6(a －1)x ＋9＝0. 由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点， 故Δ＝36(a －1)2－36(a 2＋1)>0， 即－2a >0，解得a <0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)． 设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝－1k PC，所以a ＝12.由于12∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。
《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第二章平面解析几何初步2.2.2第1课时Word版含解析
第二章 2.2.2 第1课时一、选择题1．在x 轴上截距为2，在y 轴上截距为－2的直线方程为( ) A ．x －y ＝2 B ．x －y ＝－2 C ．x ＋y ＝2 D ．x ＋y ＝－2[答案] A[解析] 所求直线方程为x 2＋y－2＝1，即x －y ＝2.2．若过原点的直线l 的斜率为－3，则直线l 的方程是( ) A ．x －3y ＝0 B ．x ＋3y ＝0 C ．3x ＋y ＝0 D ．3x －y ＝0 [答案] C[解析] 由点斜式方程可得直线l 的方程为y ＝－3x ，即3x ＋y ＝0. 3．与直线3x －2y ＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( ) A ．y －3＝32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝－32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)[答案] A[解析] ∵直线3x －2y ＝0的斜率为32，所求直线过点(－4,3)，故其方程为y －3＝32(x ＋4)．4．(2015·广东清远市高一期末测试)过点(1,2)且斜率为3的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x －1 D ．y ＝x －1 [答案] C[解析] 由题意可得所求直线的方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1.5．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[答案] D[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7， 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72.6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 为( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12[答案] D[解析] 由题知直线过点(1,0)， ∴2m 2＋m －3＝4m －1， 则m ＝－12或m ＝2.二、填空题7．直线y ＝32x －2的截距式方程是________．[答案] x 43＋y－2＝1[解析] 令x ＝0，得y ＝－2， 令y ＝0，得x ＝43，故直线y ＝32x －2的截距式方程是x 43＋y－2＝1.8．直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b )在直线l 上，则b 的值为________． [答案] 2 015[解析] 由直线的两点式得方程y ＋16＝x ＋13，点(1 007，b )在直线l 上，则有b ＋16＝1 007＋13，解得b ＝2 015. 三、解答题9．求与两坐标轴围成面积是12，且斜率为－32的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝－32x ＋b ，令y ＝0得x ＝23b ，由题意知12·|b |·|23b |＝12，∴b 2＝36，∴b ＝±6，∴所求直线方程为y ＝－32x ±6.10．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系用直线AB 的方程表示．试求：(1)直线AB 的方程；(2)旅客最多可免费携带多少行李？[解析] (1)由图知，点A (60,6)、B (80,10)在直线AB 上．所以由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB 的方程为x －5y －30＝0. (2)依题意，令y ＝0，得x ＝30. 即旅客最多可免费携带30 kg 行李.一、选择题1．直线bx ＋ay ＝1(b ≠0)在x 轴上的截距是( ) A ．1bB ．bC ．1|b |D ．|b |[答案] A[解析] 令y ＝0，得bx ＝1，∵b ≠0， ∴x ＝1b，故选A ．2．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )[答案] B[解析] 直线的斜率和截距同号，由图象选B. 3．经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程不是( ) A ．y －1＝－34(x －2)B ．3x ＋4y －10＝0C ．x 103＋y52＝1D ．y －11＋2＝x －26－2[答案] D[解析] 经过A (2,1)、B (6，－2)两点的直线方程为y －1－2－1＝x －26－2，故D 不对．4．已知过点A (－2，m ＋1)和B (m,3)的直线与直线y ＝－2x ＋1的斜率相等，则m 的值为( )A ．0B ．－6C ．2D ．10[答案] B[解析] 由题意，得m ＋1－3－2－m ＝－2，解得m ＝－6.二、填空题5．(2015·广东珠海市高一期末测试)过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．[答案] 2x －y ＝0或x ＋y －3＝0[解析] 当截距为0时，其方程为y ＝2x ； 当截距不为0时，设其方程为x a ＋ya ＝1，∴1a ＋2a＝1， ∴a ＝3，故所求方程为x ＋y －3＝0.6．已知直线l 方程为y ＋1＝25(x －52)，且l 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b ，则|a ＋b |等于________．[答案] 85[解析] 由y ＋1＝25(x －52)得y ＝25x －2，∴a ＝25，b ＝－2，∴|a ＋b |＝85.三、解答题7．求斜率为34且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．[解析] 设直线方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－43b .∴|b |＋|－43b |＋b 2＋(－43b )2＝12.∴|b |＋43|b |＋53|b |＝12，∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝34x ±3.8．已知直线l 经过点(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． [解析] 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k ；令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意得－2－3k ＝3＋2k ，解得k ＝－1或k ＝－23.∴l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)．即为y ＝－x ＋1或y ＝－23x .9．有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10 min 内只进水，不出水，在随后的30 min 内既进水又出水，得到时间x (min)与水量y (L)之间的关系如图所示．求y 与x 的函数关系．[解析] 当0<x <10时，直线段过点O (0,0)、A (10,20)．∴k OA ＝2010＝2.∴此时方程为y ＝2x .当10≤x ≤40时，直线段过点A (10,20)、B (40,30)， ∴k AB ＝30－2040－10＝13.∴此时方程为y －20＝13(x －10)即y ＝13x ＋503.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0<x <10)13x ＋503(10≤x ≤40).。
《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题第二章平面解析几何初步2.3.4Word版含解析
第二章 2.3.4一、选择题1．(2015·辽宁锦州市高一期末测试)圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是()A．外切B．内切C．外离D．内含[答案] A[解析]圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心C2(0,3)，半径r2＝2，∴两圆心的距离|C1C2|＝(0－0)2＋(3－0)2＝3，∴|C1C2|＝r1＋r2＝3，故两圆外切．故选A．2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为()A．1 B．2C．3 D．4[答案] C[解析]两圆心的距离d＝5，由题意，得r＋2＝5，∴r＝3.3．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B 两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[答案] C[解析]圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标分别为(2，－3)和(3,0)，AB 的垂直平分线必过两圆圆心，只有选项C正确．4．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B[解析]⊙C1圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，⊙C2圆心C2(2,1)，半径r2＝2，|C1C2|＝13，0<13<4，∴两圆相交．5．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是()A．(1，－2) B．(3，－2)C ．(2，－1)D ．(2＋2，2－3)[答案] B [解析] 验证法：所求的点应在圆心(2，－3)与点(0，－5)确定的直线x －y －5＝0上，故选B.6．动点P 与定点A (－1,0)，B (1,0)连线的斜率之积为－1，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2[答案] B[解析] 直接法，设P (x ，y )，由k P A ＝y x ＋1，k PB ＝y x －1及题设条件y x ＋1·y x －1＝－1(x ≠±1)知选B.二、填空题7．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是________．[答案] 相交[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2.故两圆相交．8．两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦所在直线的方程是____________．[答案] x ＝23[解析] 两圆的方程x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4相减，得公共弦所在直线的方程为x ＝23. 三、解答题9．判断下列两圆的位置关系．(1)C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(2)C 1：x 2＋y 2－2y ＝0，C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0；(3)C 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0，C 2：x 2＋y 2＋12x ＋6y －19＝0；(4)C 1：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －6y －3＝0.[解析] (1)∵C 1：(x －1)2＋y 2＝4，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2.∴圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心坐标为(2，－1)，半径r 2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，r2＝8，d＝|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10.∵r1＋r2＝10，∴d＝r1＋r2，两圆外切．(4)∵C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，r2＝4，d＝|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵r1＋r2＝6，r2－r1＝2，∴r2－r1<d<r1＋r2，两圆相交．10．已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－13＝0，C2：x2＋y2－2ax－6y＋a2＋1＝0(其中a>0)相外切，且直线l：mx＋y－7＝0与C2相切．求：(1)圆C2的标准方程；(2)m的值．[解析](1)由题知C1：(x－1)2＋(y－2)2＝18，C2：(x－a)2＋(y－3)2＝8.因为C1与C2相外切，所以圆心距d＝r1＋r2，即(a－1)2＋(3－2)2＝32＋22，所以a＝8或－6(舍去)．所以圆C2的标准方程为(x－8)2＋(y－3)2＝8.(2)由(1)知圆心C2(8,3)，因为l与C2相切，所以圆心C2到直线l的距离d＝r，即|8m＋3－7|m2＋1＝22，所以m ＝1或17.一、选择题1．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是( )A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝6或(x －4)2＋(y －6)2＝6C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ＋4)2＋(y －6)2＝36或(x －4)2＋(y －6)2＝36[答案] D[解析] 由题意可设圆的方程为(x －a )2＋(y －6)2＝36， 由题意，得a 2＋9＝5，∴a 2＝16，∴a ＝±4.2．过圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0内的点M (3,0)作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．x ＋4y －3＝0D ．x －4y －3＝0[答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的圆心C (1，－2)，当CM ⊥l 时，l 截圆所得的弦最短，k CM ＝－2－01－3＝1，∴k l ＝－1，故所求直线l 的方程为y －0＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0. 二、填空题3．⊙O ：x 2＋y 2＝1，⊙C ：(x －4)2＋y 2＝4，动圆P 与⊙O 和⊙C 都外切，动圆圆心P 的轨迹方程为______________________．[答案] 60x 2－4y 2－240x ＋225＝0[解析] ⊙P 与⊙O 和⊙C 都外切，设⊙P 的圆心P (x ，y )，半径为R ，则|PO |＝x 2＋y 2＝R ＋1，|PC |＝(x －4)2＋y 2＝R ＋2， ∴(x －4)2＋y 2－x 2＋y 2＝1，移项、平方化简得：60x 2－4y 2－240x ＋225＝0.4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝49－x 2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋m }，且A ∩B ≠∅，则m 的取值范围是________________．[答案] －7≤m ≤7 2[解析] 由A ∩B ≠∅，即直线y ＝x ＋m 与半圆y ＝49－x 2有交点，如图所示．如图可知，－7≤m ≤7 2.三、解答题5．求经过两圆x 2＋y 2－2x －3＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的交点，且圆心在直线2x －y ＝0上的圆的方程．[解析] 解法一：由两圆方程联立求得交点A (1，－2)，B (3,0)，设圆心C (a ，b )，则由|CA |＝|CB |及C 在直线2x －y ＝0上，求出a ＝13，b ＝23. ∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.解法二：同上求得A (1，－2)、B (3,0)，则圆心在线段AB 的中垂线y ＝－x ＋1上，又在y＝2x 上，得圆心坐标⎝⎛⎭⎫13，23.∴所求圆的方程为3x 2＋3y 2－2x －4y －21＝0.6．求⊙C 1：x 2＋y 2－2y ＝0与⊙C 2：x 2＋y 2－23x －6＝0的公切线方程．[解析] ⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝12，圆心C 1(0,1)，半径r ＝1，⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝32，圆心C 2(3，0)，半径R ＝3，圆心距|C 1C 2|＝2，∴|C 1C 2|＝R －r ，故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C 1C 2上， ∵C 1C 2：x ＋3y －3＝0，∴切线斜率k ＝ 3.设切线方程为y ＝3x ＋b ，由圆心C 1(0,1)到切线距离d ＝1，得|－1＋b |2＝1，∴b ＝3或－1.由C 2(3，0)到切线距离d ′＝3，得|3＋b |2＝3， ∴b ＝3或－9，∴b ＝3，∴公切线方程为y ＝3x ＋3，即3x －y ＋3＝0.7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．[解析] 解法一：设圆B 的半径为r ，∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0. ①∵圆A 的方程x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0. ②∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0. ③又∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③，并整理得：r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝⎛⎭⎫t ＋352＋215≥215，所以t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215. 解法二：如图，设圆A 、圆B 的圆心分别为A 、B .则A (－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M 、N 两点．∴MN 为圆A 的直径．∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M 、N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB |＝|AB |2＋|AM |2＝|AB |2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB |的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB |最小．于是，可求得B ⎝⎛⎭⎫－35，－65，r min ＝215， 故圆B 的方程是⎝⎛⎭⎫x ＋352＋⎝⎛⎭⎫y ＋652＝215.。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 1.2.1平面的基本性质与推论课件
[ 解析]
∵E∈AB，∴E∈平面 ABD，
∵H∈AD，∴H∈平面 ABD，∴EH⊂平面 ABD. ∵F∈BC，∴F∈平面 BCD， ∵G∈CD，∴G∈平面 BCD， ∴FG⊂平面 BCD. 又∵EH∩FG＝P， ∴P∈平面 ABD，P∈平面 BCD， 又平面 ABD∩平面 BCD＝BD，∴P∈BD.
不共线 的三点确定一个平面． 平面，也可简单地说成，________ 一个 公共点，那么 公理 3 如果不重合的两个平面有 ________ 它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线．
2．推论1 个平面．
经过一条直线和________ 直线外 的一点，有且只有一
相交 直线有且仅有一个平面． 推论2 经过两条________ 平行 直线有且仅有一个平面． 推论3 经过两条________ 判定直线在平面内的依据 ， 3．公理1的作用是__________________________ 确定平面的依据 公理2及它的三个推论的作用是____________________ ． 判定两平面相交的依据，也是证明点共 公 理 3 的 作 用 是 ____________________________________ 线或线共点的依据 _______________________________ ．
出如来佛的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成
为一条线，大家说如来佛的手掌像什么？
一、平面的基本性质 1．公理1 两点 在一个平面内，那 如果一条直线上的________ 么这条直线上的所有点都在这个平面内． 这时我们说，直线在平面内或平面经过直线．
公理2
经过_________________ 不在同一条直线上 的三个点，有且只有一个
课堂典例讲练
成才之路人教A版数学必修2-章末总结2
专题二 线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明 在这一章中，我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关 系的判定定理与性质定理，这些定理之间并不是彼此孤立的， 线线、线面、面面之间的平行与垂直关系可相互转化．做题时
要充分运用它们之间的联系，挖掘题目提供的有效信息，综合
运用所学知识解决此类问题．
第二章
章末总结
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
(2013· 辽宁· 文科)如图， AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平 面，C 是圆 O 上的点． (1)求证：BC⊥平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG∥平面 PBC.
第二章
Hale Waihona Puke 章末总结成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2
第二章
章末总结
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专题突破
第二章
章末总结
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专题一 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面． 2 ．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交．
如右图所示， 在四棱锥 P－ABCD 中， 底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点， 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)求证：PA∥平面 EDB； (2)求证：PB⊥平面 EFD； (3)求二面角 C－PB－D 的大小．
[分析]
本题(1)(2)考查线面关系，应充分考虑平行、垂直
【成才之路】2015-2016学年高中数学(人教A版)必修二课件：章末归纳总结4
利用转化与化归的思想将方程解的个数问题转化
为两个函数图象的交点个数问题，作出两个函数的图象，利用 图象形结合的思想求解．
第四章
章末归纳整合
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·数学 ·必修2
第四章
章末归纳整合
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·数学 ·必修2
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
y (1)求x的最大值和最小值； (2)求 y－x 的最小值； (3)求 x2＋y2 的最大值和最小值．
第四章
章末归纳整合
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[解析]
(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以点(2,0)为
圆心，半径为 3的圆． y 设x＝k，即 y＝kx，当直线 y＝kx 与圆(x－2)2＋y2＝3 相切 |2k－0| 时，斜率 k 取得最大值和最小值，此时有 2 ＝ 3，解得 k k ＋1 y ＝± 3故x的最大值为 3，最小值为－ 3.
第四章
章末归纳整合
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教版 ·数学 ·必修2
32 2 求圆心在圆(x－2) ＋y ＝2 上，且与 x 轴和直 1 线 x＝－2都相切的圆的方程．
[解析] 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 32 2 1 ∵圆(x－2) ＋y ＝2 在直线 x＝－2的右侧， 且所求的圆与 x 1 轴和直线 x＝－2都相切， 1 1 ∴a>－2.∴r＝a＋2，r＝|b|.
第四章
章末归纳整合
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过点 P( － 2 ，－ 3) 作圆 C ： (x － 4)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 9
【成才之路】高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2
【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 解析几何初步基础巩固 北师大版必修2一、选择题1．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 [答案] A[解析] 本题考查了点与圆的位置关系．因为32－4×3＝－3<0，所以点P (3,0)在圆内，故过点P (3,0)的直线l 与圆相交． 本题不需要求解直线方程，只需判断点与圆的位置关系，便可得出答案．2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0和圆C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．0条 [答案] B[解析] 由x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，得圆心和半径分别为O 1(－2,2)，r 1＝1. 由x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0，得圆心和半径分别为O 2(2,5)，r 2＝4.因为d (O 1，O 2)＝5，r 1＋r 2＝5，即r 1＋r 2＝d (O 1，O 2)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线．3．(广东高考)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0[答案] A[解析] 设直线方程为x ＋y ＋m ＝0，直线与圆相切，则|m |2＝1，m ＝－2或m ＝2(由直线与圆的切点在第一象限知不合题意，故舍去)，所以选A.4．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25B ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9[答案] D[解析] 设动圆圆心为(x ，y )． 当两圆内切时，x －2＋y ＋2＝4－1＝3， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝9； 当两圆外切时，x －2＋y ＋2＝4＋1＝5， 即(x －5)2＋(y ＋7)2＝25.故应选D.二、填空题5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x a ＋y b ＝1}，若A ∩B 是单元素集，则a ，b 满足的关系式为________．[答案] a 2＋b 2＝a 2b 2[解析] ∵A ∩B 是单元素集，∴直线x a ＋y b ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切，由点到直线的距离公式可得： |－ab |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝a 2b 2. 6．圆心在直线2x ＋y ＝0上，且与直线x ＋y －1＝0切于点(2，－1)，则圆的方程是________________________．[答案] (x －1)2＋(y ＋2)2＝2[解析] ∵圆与直线x ＋y －1＝0相切，并切于点M (2，－1)．如图所示，则圆心必在过点M (2，－1)且垂直于x ＋y －1＝0的直线l 上，l 的方程是y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2， 即圆心O 1(1，－2)，r ＝－2＋－1＋2＝ 2. 则方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.7．一个圆过(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝13与(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1的交点，且圆心在y 轴上，则这个圆的方程为________．[答案] x 2＋y 2－2y ＋12＝0[解析] 设圆的方程为(x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋4)＋λ(x 2＋y 2＋6x ＋4y )＝0，∴圆心坐标为(－2＋3λ1＋λ，－1＋2λ1＋λ)． ∵圆心在y 轴上，∴2＋3λ＝0.∴λ＝－23，代入圆的方程化简即可． 三、解答题8．设点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上．(1)求x －2＋y 2的最小值； (2)求y ＋2x ＋1的最小值． [解析] (1)式子x －2＋y 2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离．因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是22＋12＝5，圆的半径是1，所以x －2＋y 2的最小值是5－1.(2)式子y ＋2x ＋1的几何意义是点P (x ，y )与定点(－1，－2)连线的斜率．如图，当为切线l 1时，斜率最小．设y ＋2x ＋1＝k ，即kx －y ＋k －2＝0，由直线与圆相切，得|－1＋k －2|k 2＋1＝1， 解得k ＝43.故y ＋2x ＋1的最小值是43.。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明章末归纳总结课件 新人教A版选修2-2
[解析]
类比推理要找两类事物的类似特征，平面几何中
的线，可类比立体几何中的面．故可类比得出真命题“夹在两 个平行平面间的平行线段相等”．
x 4．设 f(x)＝ 2，试通过计算 f(f(x))，f(f(f(x)))，来猜想 1＋x 的解析式： x 1＋nx2 ＝________________.
[答案]
数学归纳法 数 学 归 纳法 是 专 门证 明 与 正整 数 有 关的 命 题 的一 种 方 法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是 命题成立的基础，称为“归纳奠基”(或称特殊性)．第二步解
决的是延续性(又称传递性)问题称为归纳递推．运用数学归纳
法证明有关命题要注意以下几点：
1．两个步骤缺一不可． 2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里， 必须利用“归纳假设”即必须用上“当n＝k时结论正确”这一 结论．
演绎推理 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般 判断为前提，而作出关于某个该类事物的判断的思维过程，因 此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎推理一般是以三段论
的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组
成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的 一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．
)
[答案] D
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这 两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，
故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D.
2．(2014·东北四校联考)根据下面一组等式
S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34，
若定义在区间 D 上函数 f(x)对于 D 上的几个值
《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件第二章推理与证明章末归纳总结2
一、选择题
1．(2015·内蒙古鄂托克旗高级中学高二期中)请看下列推理
• [解析] 对于A，若存在直线n，使n∥l且 n∥m，则有l∥m，与l，m异面矛盾； 对于C， 过点P与l，m都相交的直线不一定存在，反例 如图(l∥α)；对于D，过点P与l，m都异面的直 线不唯一．
二、填空题
5．已知等式
cosα·cos2α
＝
sin4α 4sinα
，
cosα·cos2α·cos4α
• 6．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线 BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则 cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－ A1B1C1D1中，可写出类似的命题： _______________
_______________________________________
____________
• 7．设f(x)＝x(ex＋a·e－x)(x∈R)是偶函数，则 实数a＝__________.
• [答案] －1
• [解析] 本题考查函数的奇偶性、演绎推理等 知识．
• 由条件知，g(x)＝ex＋a·e－x为奇函数，故g(0) ＝0，
• 解得a＝－1.
• 三、解答题
• 8．设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)、 f(2)、f(3)、…，f(10)的值，同时作出归纳推 理，并用n＝40验证猜想是否正确．
• 5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作 为推理依据．书写证明过程时，一定要注意 不能把“假设”误写为“设”，还要注意一 些常见用语的否定形式．
【成才之路】2015版高中数学(人教版·必修5)章末归纳整合第二章数列
章末归纳整合一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．151[答案] B[解析] ∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.2．(2013河南禹州高二期中测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1 [答案] B[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368 [答案] B[解析] 由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392. 4．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为( )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－3 [答案] B[解析] 设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2b 1＝3. 5．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( ) A ．65B ．56C ．20D ．110[答案] B[解析] 由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n·a 1＝a 1·q n ＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56. 6．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[答案] C[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________.[答案] 0[解析] ∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29D ． ∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0. 8．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．[答案] 4[解析] 本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n .[解析] 由S n ＝10n －n 2可得，a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2.n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2 (n ≤5)，50－10n ＋n 2 (n ≥6). 10．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎨⎧ b n ＋1＝13S n ①b n ＝13S n －1 ②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2). (3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432 ＝37[(43)2n －1]．。
《成才之路》2015-2016学年高中数学人教A版选修2-1课件第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线第2课时
N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝ 3 a，故点M的坐标为
M(2a， 3 a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，
所以e＝ 2，故选D.
最值问题
设双曲线中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心
率为
5 2
，已知点P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是2，求
双曲线方程． [解析] 设双曲线方程为
为双曲线的渐近线．
“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这 两条直线____逐__渐____接近，接近的程度是无限的．
对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，渐近线是
刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时应先画出它的渐近
线．
____y双 _＝_曲 _±_ba线 _x_____ax.22
－
• 2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近 线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个 顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画 出双曲线的草图．
求双曲线x32－y42＝1的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐 标．
[解析] 由题意知a2＝3，b2＝4， 所以c2＝a2＋b2＝3＋4＝7，解得a＝ 3，b＝2，c＝ 7. 因此，双曲线的实轴长2a＝2 3，虚轴长2b＝4. 顶点坐标为(－ 3，0)、( 3，0)， 焦点坐标为(－ 7，0)、( 7，0)．
又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线方程为1x22 －y82＝1. 解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1，(－4<k<16)，
将点(3
2
，2)代入得k＝4，故所求双曲线方程为
x2 12
－
y2 8
＝
1.
高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A(含解析)新人教B版必修2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第二章 平面解析几何初步综合测试A 新人教B 版必修2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5[答案] B[解析] 由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.2．(2015·福建南安一中高一期末测试)已知直线经过点A (0,4)和点B (1,2)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－2C ．2D ．不存在[答案] B[解析] 由斜率公式得，直线AB 的斜率k ＝2－41－0＝－2.3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐标可以为( )A ．(0,1，－1)B ．(0，－1,6)C ．(0,1，－6)D ．(0,1,6)[答案] C[解析] 由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴1＋y －22＋z －22＝1＋y ＋32＋z －12，即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－32， ∴直线在x 轴上的截距为－32，故选A ．5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或2[答案] C[解析] 当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k＝2k －32.解得k ＝5，故选C ．6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )A ．－2 3B ．0C ． 3D ．2 3[答案] B[解析] 如图所示．由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与m 的取值有关[答案] C[解析] 由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2[答案] A[解析] 由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16， ∴－2<a <2.9．(2015·辽宁沈阳二中高一期末测试)设A 、B 是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 由题意知，点P 在线段AB 的垂直平分线x ＝2上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －y ＋1＝0，得y ＝3.∴P (2,3)．令x －y ＋1＝0中y ＝0，得x ＝－1， ∴A (－1,0)．又∵A 、B 关于直线x ＝2对称， ∴B (5,0)．∴直线PB 的方程为y 3－0＝x －52－5，即x ＋y －5＝0.10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝|1＋m |2＋2＝1＋m2，圆x 2＋y 2＝m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m2＝1－m22≥0，得d ≥r ，故选C ．11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] C[解析]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x2＋y2＋4x－4y－1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．12．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A．1.4 m B．3.5 mC．3.6 m D．2.0 m[答案] B[解析]圆半径OA＝3.6 m，卡车宽1.6 m，∴AB＝0.8 m，∴弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5 m.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________．[答案]－2或8[解析]由题意，得|6－4k＋6|32＋－42＝4，∴k＝－2或8.14．以点A(2,0)为圆心，且经过点B(－1,1)的圆的方程是________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]由题意知，圆的半径r＝|AB|＝－1－22＋1－02＝10.∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． [答案] －1或3[解析] 圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得|1－a |1＋3＝1，∴a ＝－1或3.16．(2015·山东莱州市高一期末测试)已知直线l 垂直于直线3x ＋4y －2＝0，且与两个坐标轴构成的三角形的周长为5个单位长度，直线l 的方程为________．[答案] 4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0[解析] 由题意可设直线l 的方程为y ＝43x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ，令y ＝0，得x ＝－34b .∴三角形的周长为|b |＋34|b |＋54|b |＝5，解得b ＝±5，故所求直线方程为4x －3y ＋5＝0或4x －3y －5＝0.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A 、B 的坐标分别为A (－5,3)、B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．[解析] 如图，设正方形ABCD 两顶点C 、D 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－12，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15＋45m y ＝25－25m，点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ，25－25m ，∵|AE |＝|BE |， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m －32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋45m －m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)．E 点坐标为(－3,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－5＋x 122＝3＋y12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝1.即点C (－1,1)， 又∵⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－4＋x 222＝0＋y22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2＝4，即点D (－2,4)．∴点B (－4,0)、点C (－1,1)、点D (－2,4)．18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．[解析] 设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k，由题设条件12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－2k ·||2k ＋2＝1，∴2(k ＋1)2＝|k |，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <02k 2＋5k ＋2＝0，∴k ＝－2或－12，∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋mx 2＋y 2＋2y ＝0，得5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0.Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4[(m ＋1)2－5]， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；(3)当m <－1－5或m >－1＋5时，直线与圆相离．20．(本题满分12分)求与圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)，且半径为1的圆C 2的方程．[解析]解法一：由圆C 1：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，知圆心为C 1(2，－1)， 则过点A (4，－1)和圆心C 1(2，－1)的直线的方程为y ＝－1， 设所求圆的圆心坐标为C 2(x 0，－1)， 由|AC 2|＝1，即|x 0－4|＝1， 得x 0＝3，或x 0＝5，∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 解法二：设所求圆的圆心为C 2(a ，b )， ∴a －42＋b ＋12＝1，①若两圆外切，则有a －22＋b ＋12＝1＋2＝3，②联立①、②解得a ＝5，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； 若两圆内切，则有a －22＋b ＋12＝2－1＝1，③联立①、③解得a ＝3，b ＝－1， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1，或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1.21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0.求：(1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长．[解析] (1)由两圆方程x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0相减，得x －y ＋4＝0. 故它们的公共弦所在直线的方程为x －y ＋4＝0.(2)圆x 2＋y 2＋6x －4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r ＝13， ∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝|－3－0＋4|12＋－12＝22， ∴公共弦长l ＝2132－222＝5 2.22．(本题满分14分)(2015·湖南郴州市高一期末测试)已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(2)在(1)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． [解析] (1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴m <5.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，得5y 2－16y ＋m ＋8＝0， ∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝m ＋85.x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∵OM ⊥ON ，∴k OM ·k ON ＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， ∴16－8×165＋8＋m ＝0，∴m ＝85.(2)以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0， 即x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.又x 1＋x 2＝4－2y 1＋4－2y 2＝8－2(y 1＋y 2)＝85，∴以MN 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.。
【成才之路】高中数学 第二章章末归纳总结课件 新人教A选修11
∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)， ∴kAD·kBD＝－1， 即x1y－1 2·x2y－2 2＝－1， ∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 3(m3＋2－4k42k2)＋43(m＋2－4k32 )＋31＋6m4kk2＋4＝0， 7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得 m1＝－2k，m2＝－27k，且满足 3＋4k2－m2>0.
[解析] 设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)， 代入x22＋y2＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0. ∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F， ∴方程有两个不等实根． 记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 N(x0，y0)， 则 x1＋x2＝－2k42k＋2 1， x0＝12(x1＋x2)＝－2k22k＋2 1，y0＝k(x0＋1)＝2k2k＋1，
交于点 A，B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点
F1 关于直线 l 的对称点，设A→M＝λA→B. • (1)证明：λ＝1－e2； • (2)确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形． • [分析] 解析几何中的向量问题，化为坐标处理．
[解析] (1)证法一：因为 A，B 分别是直线 l：y＝ex＋a
即ae(λ－a2 1)2＋(λba2)2＝1， 所以(1－e2λ)2＋1－λ2e2＝1，
即 e4－2(1－λ)e2＋(1－λ)2＝0， 解得 e2＝1－λ，即 λ＝1－e2.
(2)因为 PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1 为钝角，要 使△PF1F2 为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，
• [例3] 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭 圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
【成才之路】高中数学 第二章末归纳总结课件 新人教A必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
[解析]
[解析] (1)证明：设 x1，x2∈R，且 x1<x2，
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修1
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/192022/1/192022/1/191/19/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/192022/1/19January 19, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/192022/1/192022/1/192022/1/19
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＝0.这里m、n为待定的系数．
[例2]
[ 解析]
已知三角形△ABC的顶点A(1，－1)、B(1,4)、C(4，
设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点 A(1，
－2)，求三角形的外接圆的方程．
－1)、B(1,4)、C(4，－2)代入， 2＋D－E＋F＝0 得17＋D＋4E＋F＝0 20＋4D－2E＋F＝0 D＝－7 ，解得E＝－3 F＝2
解释几何现象，表述几何问题．
本章内容主要有两大部分：前一部分主要介绍了直线的倾 斜角与斜率，直线方程的各种形式，点到直线距离公式和两点
间距离公式．应特别注意直线方程不同形式的适用范围．
后一部分是圆的方程，点、直线、圆与圆的位置关系，要 牢牢把握圆的两种形式方程中各几何量含义，点、直线、圆与 圆位置关系的代数及几何表示．要切实弄清圆的有关几何性 质．
.
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定 在直线 y＝3 上，又由解法一，知圆心在直线 x－y＝0 上，
x－y＝0 由 y＝3
，得圆心为(3,3)．
∴半径 r＝ 32＋32＝3 2， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
最后介绍了空间直角坐标系和空间两点间的距离公式，解
析几何是数形结合的典范，故学习本章要深刻体会数形结合思 想，自觉运用数形结合方法去分析和解决实际问题．
专 题 研 究
待定系数法的应用
解析几何中求直线方程、求圆的方程是一类重要的问题， 求解此类问题时常使用待定系数法．待定系数法的典型特征，
就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或
.
∴所求圆的方程为 x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
直线与圆、圆与圆的位置关系 判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手： ①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程组成的方程组有无 实数解，方程组有几组实数解，直线与圆就有几个公共点，方 程组没有实数解，直线与圆就没有公共点，判断圆与圆的位置 关系时慎用此法；②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆 位置关系的几何结论转化为相应的代数结论．
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人教B版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
平面解析几何初步
第二章
章末归纳总结
1
知 识 结 构
3
专 题 研 究
2
学 后 反 思
4
课 时 作 业
知 识 结 构
学 后 反 思
用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱出来，
用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问题开辟了一条全新 的道路． 本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直角坐标 系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算，对方程的研究来
角形面积为3，试求直线的方程．
－3 1 a ＋b＝1 1|ab|＝3 2
3
.
则直线方程：( 3－1)x＋3( 3＋1)y－6＝0 或( 3＋1)x－3( 3－1)y＋6＝0.
[点评]
在利用直线的特殊形式求直线方程时，常将斜率k
和截距a、b作为待定的系数．求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直 线可设方程为Ax＋By＋m＝0，垂直的直线则可设为Bx－Ay＋n
[ 点评 ] 的捷径． 注意题目的隐含条件，数形结合是解决此类问题
[ 例 4]
求经过点 (0,6) 且与圆 C ： x2 ＋ y2 ＋ 10x ＋ 10y ＝ 0 相切
于原点的圆方程．
[ 解析] 解法一：将圆 C 化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2 ＝50，则圆心为(－5，－5)． ∴经过此圆心和原点的直线方程为 x－y＝0. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 0－a2＋0－b2＝r2 2 2 2 0 － a ＋ 6 － b ＝ r 由题意，得 a－b＝0 a＝3 ，解得b＝3 r＝3 2
[例3]
设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16，求k为何
值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出最短弦长；能否求
得k的值，使直线l被圆O所截得的弦最长？
[ 解析] 则 L＝2 解法一：设所截得的弦长为 L， 9 16－ 2 . k ＋1
显然，当 k＝0 时，Lmin＝2 7； 不论 k 取何值，L 均无最大值，故弦长取不到最大值．
的交点的所有圆中面积最小的圆的方程．
的连线为直径的圆，因此，只需求出交点，便可确定所求圆的
圆心和半径．
[ 解析]
x＝－2 解法一：解方程组 2 2 x ＋y ＋2x－4y－11＝0
，
得两交点的坐标为 A(－2,2＋ 15)、B(－2,2－ 15)． 从而圆心 C 的坐标为(－2,2)， 1 1 ＝ 15. 2 ＋ 15 － 2 － 15 半径 r＝2|AB|＝2 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
解法二：直线 l 过定点 P(0,3)，由平面几何知识知：当直线 l⊥OP 时，l 被⊙O 截得的弦最短，此时，k＝0，最短弦长为 2 16－9＝2 7. 由于当且仅当直线 l 过圆心时，被圆 O 截得的弦(直径)最 长，但此时，直线 l 的斜率不存在，故不存在 k 的值，使直线 l 被圆 O 截得的弦最长．
解法二：直线 x＝－2 与圆 x2＋y2＋2x－4y－11＝0 的交点 A、B 的横坐标都为－2，从而圆心 C 的横坐标为－2. 设 A、B 的纵坐标分别为 y1、y2，把直线方程代入圆方程， 整理得 y2－4y－11＝0.则 y1＋y2＝4，y1y2＝－11. y1＋y2 ∴圆心 C 的纵坐标为 2 ＝2. 1 1 半径 r＝2|y2－y1|＝2 y1＋y22－4y1y2 1 2 ＝2 4 －4×－11＝ 15. 因此，所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝15.
最值问题 解析几何中的最值问题是人们工作和生活追求的目标，最
值问题是各部分内容、各个章节的最重要的题型之一．本章研
究直线与圆中的最值，常用联立方程组，用二次函数的值域及 判别式Δ来解决．
[例5] [ 分析 ]
求经过直线x＝－2与已知圆x2＋y2＋2x－4y－11＝0 过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两点
全部)是待定的，根据题目所给的条件，列出待定系数所满足的 关系，解方程或方程组即可获解．
[ 例 1]
[ 解析]
已知直线经过点 P( － 3,1) ，且与两坐标轴围成的三
x y 设所求直线的方程为a＋b＝1，由题意有
a＝3＋ 3 ，解得 b＝－1＋ a＝3－3 3 ，或 b＝－1－ 3