第九章多元函数微分法选择题及答案

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第9章多元函数微分法及其应用(题库)答案

C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y

第九章多元函数微分学C自测题及答案

第九章多元函数微分学自测题一、填空题（每题3分，共30分）1．已知22),(y x xy y x f -=+ ，则f(x ,y)= （）。

2．)sin(11lim 00xy xy y x -+→→=（）. 3．已知()=∂∂-=x z y x z 则,2sin ln （）. 4. 可微函数),(y x f 在点),(00y x 达到极值，则必有（）5.由方程2222=+++z y x xyz 确定的函数z =z （x ,y ）,在点（1，0，-1）处的全微分dz =（）．6. 设 22ln arctan y x y x +=，则dy dx=（） 7. 函数221)ln(y x xx y z --+-=的定义域是（）8．函数222y x z -=是否有极值点，若有，写出该点，否则写无（）9. 设)ln(y x e e z +=，则yz x z ∂∂+∂∂= 10 函数f(x,y)=(6x-x 2)(4y-y 2)的极值点有（）．二、单项选择题（每题3分，共15分）1. 设2y zx e u -=，则zu ∂∂＝（） A. 2y zx e --； B.2y zx xe --； C. 22y z x e y x --； D. 22y zx e y x - ２．二元函数),(),(00y x y x f z 在点=可导（偏导数存在）与可微的关系是（）．A. 可导必可微；B. 可导一定不可微；C.可微不一定可导；D.可微必可导．3．函数其它)0,0(),(0),(22≠⎩⎨⎧=+y x y x f yx xy 在（0，0）处（）A. 连续，偏导数存在；B. 连续，偏导数不存在；C. 不连续，偏导数存在；D. 不连续，偏导数不存在。

4. 对函数xy z =，原点（０，０）（）.Ａ．不是驻点；Ｂ．是驻点但非极值点；Ｃ．是驻点且为极大值点；Ｄ．是驻点且为极大值点．5.二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 点的两个偏导都存在，则下列说法正确的是（）.A ． 0000(,)(,)x y dz f x y dx f x y dy =+；B ．函数0(,)z f x y =在0x x =点连续；C ．函数0(,)z f x y =在0y y =点不连续；D ．函数(,)z f x y =在00(,)x y 点连续.三、计算题（每题5分，共55分）1. 设函数)sin ,2(x y y x f z -=，求yx z ∂∂∂2．２．设),,,(y x u f z = yxe u = ．其中f 具有连续的二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2． 3.求偏导数 2(,cos ,)xy z f e xy y =4. 由方程0),(=++x z y y z x F 所确定，其中F 为可微函数，求： yz y x z x ∂∂+∂∂。

多元函数微分学的应用习题及详细解答

（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2

第9章多元函数微分法及其应用近年试题

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （Ａ）（A ）不存在（B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（Ａ）（A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有3条；（D ）不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（Ｂ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零，得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的（Ａ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂．解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反问题，即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点，则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-．因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为（Ｃ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+．（4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(x y z -=；（2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=；（4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+；（2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→；（4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--；（6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+；（2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ；沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ．由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ．解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=，该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→；（2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→；（3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→；（4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ．（2）法1：令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221．法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ．（3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤，而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ．（4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性．解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =；（2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）；（6）z = （7）22y x xyz +=；（8）arctanx yz x y+=-；（9）yx z u =；（10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂．（2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂．（3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+．（4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++．（5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂．（6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂．（7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂，由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂．（8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-．（9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂，用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂；解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu，所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ．（2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=，当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性．解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂，有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂，由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=．习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+；（2）22z x y =+；（3）xyz e =；（4）yxz tanln =；（5）22y x z u +=；（6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++．（3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂，所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解：设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值．解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数：（1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ；（2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ；（3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ．解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂；（2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，；（2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=；（4）(,,)u f x xy xyz =．解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+．（2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂．证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂，所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂．证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=，注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）：（1）),(y x xy f z +=；（2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂．（2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ：（1）1cos y x y =+；（2）yx y e 2+=；（3）xyy x arctan ln22=+；解（1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、，所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+．（2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=．（3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--，当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ．解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂．（1）21z y xz -=；（2）xyz z y x 2222=-+；（3）22)sin(xyz xyz =；（4）yz z x ln =．解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，．法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2，方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂，方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222，即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂．（4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=，方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ．证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ．解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2，方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z，即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---．法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ．（2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ，得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂．方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ，与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=；（2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=；（3）)2(e ),(2y y x y x f x++=；（4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值．解：由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，，因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u 23=为最大. 解令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ．设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

第九章多元函数微分学习题简解

基本训练11．设函数222),(yx xy y x f +=，求⎪⎭⎫⎝⎛x y f ,1．答案：222yx xy +2．求下列函数的定义域：（1）()84ln 2+-=x y z ；答案：)}2(4|),{(2->x y y x ；（2）yx yx z -++=11；答案：|}||),{(y x y x >；（3）xy z arcsin=；答案：}0|||||),{(≠≤x x y y x 且3．求下列极限：（1）11lim 22220-+++→→y x yx y x ；提示：分母有理化；答案：2（2）xxy y x )sin(lim0→→；答案：0（3）()yxy x y x 1cos1sinlim 30+→→．提示：无穷小与有界函数之积仍是无穷小；答案：04．证明极限yx y x y x -+→→00lim不存在：提示：令(x, y ) 沿不同的路径kx y =趋向于原点，极限等于不同的值.5．函数yx z -=1在何处是间断的？答案：在位于xOy 平面的直线y = x 上.6．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222222yx y x y x xy z 的连续性．提示：选取直线kx y =，则2222)0,0(),(l 22)0,0(),(1im limkkkx x kxy x xykxy y x kxy y x +=+=+=→=→随着k 的变化而变化，即22)0,0(),(limyxxyy x +→不存在，函数在除)0,0(外任一点都连续.7．求下列函数的偏导数： (1) 22yx y x z +-+=；答案：221yx x xz +-=∂∂，221yx y yz +-=∂∂（2）yx z tanln =；答案：yx yx y xz cossin1=∂∂，yx y x y x yz cossin2-=∂∂（3）yx z arctan =；答案：)1(22yyx x yxxz +=∂∂，)1(2ln 2yyx x x yz +=∂∂（4）)sec(xy z =；答案：)sec()tan(xy xy y xz ⋅=∂∂，)sec()tan(xy xy x yz ⋅=∂∂8．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(4444442yx y x y x xyy x f ，证明函数),(y x f 在)0,0(处偏导数存在，但不连续．简解： 000lim)0,0()0,(lim )0,0(0=-=-=→→xxf x f f x x x ，同理0)0,0(=y f ；但0≠k 时，442)0,0(),(limy x xykxy y x +=→∞=+==→443)0,0(),(limkxx kxkxy y x ,所以函数在)0,0(处不连续．基本训练21．求下列函数的二阶偏导数： (1) yxz 2=，求22xz ∂∂，yx z ∂∂∂2；答案：2222)12(2--=∂∂y xy y xz ，)ln 21(2122x y xyx z y +=∂∂∂-(2) x y y x z sin sin 33+=，求yx z∂∂∂2；答案：x y y x cos 3cos 322+(3) )l n(xy x z =，求yx z ∂∂∂23．答案：02．设222zy x r ++=，证明rzr yr xr 2222222=∂∂+∂∂+∂∂．简解： rx zyxxxr =++=∂∂222，322222rz yrxr x r xr +=∂∂⋅-=∂∂，同理可得,32222rz xyr +=∂∂32222ry x zr +=∂∂，因此rrz y x zr yr xr 2)(23222222222++=∂∂+∂∂+∂∂3．求下列函数的全微分：(1) y x z arcsi n =；答案：22||x y y xdyydx --（2）)ln(22y x z +=，求)1,1(dz ；答案：dy dx +(3) zy x u =．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++xdz y xdy z dx x yzx yz ln ln4．求函数32y x z =当2=x ，1-=y ，02.0=∆x ，01.0-=∆y 时的全增量及全微分．答案：.2.0,20404.0-=-=∆dz z*5．设有一圆柱，它的底圆半径r 由2cm 增加到05.2cm ，其高h 由10cm 减少到8.9cm ，试确定其体积的近似变化．6．设22uv v u z -=，而y x u cos =，y x v sin =，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：)sin (cos 2sin 232y y y x xz -=∂∂，)cos(sin)sin (cos 2sin 3333y x x y y y x yz +++-=∂∂7．设xy z =，而t e x =，t e y 21-=，求dtdz ．答案：t t e e ---．8．设)arctan(xy z =，而xe y =，求dxdz ．答案：xxex x e 221)1(++．基本训练31．设1)(2+-=a z y eu ax，而x a y sin =，x z cos =，求dxdu ．答案：x e ax sin ．2．设())4(32y x y x z ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．两边取对数答案：()())32ln(3232)4(2414y x y x y x y x xz yx y x +++++=∂∂+-+，()())32ln(32432)4(3414y x y x y x y x yz yx y x +++++=∂∂+-+4．设)(u xF xy z +=，而xy u =，)(u F 为可导函数，求证xy z yz yx z x+=∂∂+∂∂．解答：因为xyu xy xu 1,2=∂∂-=∂∂，故)()()()(u F x y u F y xu u F x u F y xz '-+=∂∂'++=∂∂)()(u F x yu u F x x yz'+=∂∂'+=∂∂，所以 xy z xy u xF xy u F y xy u F y u xF xy yzyx zx+=++='++'-+=∂∂+∂∂))(()()()(5．求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶偏导数）：(1))(zx yz xy f u ++=；答案：)()(xz yz xy f z y xu ++'+=∂∂，)()(xz yz xy f z x yu++'+=∂∂，)()(xz yz xy f y x zu ++'+=∂∂（3）),,(xyz xy x f u =．答案：321f yz f y f xu '+'+'=∂∂，32f xz f x yu '+'=∂∂，3f xy zu '=∂∂6．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，试求yz y xz x ∂∂+∂∂11．简解：因为)()(22)()(2222222222y xfy x f xy x y xf y xfy xz --'-=⋅-'--=∂∂,)()(2)()()2()()(222222222222222y xfy x f yy xf y xfy y x f y y xf yz --'+-=--⋅-'--=∂∂,所以yz y xz x ∂∂+∂∂11)()(222222y xfy x f y --'-=)()(2)(22222222y xyfy x f y y xf --'+-+)(122y x yf -=.7．求下列函数的二阶偏导数（其中f 有二阶连续的偏导数）： (1) )(222z y x f u ++=，求22xu ∂∂；答案：)(4)(22222222z y x f x z y x f ++''+++'.（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f u ,，求22y u ∂∂；答案：2242232f yx f yx ''+'.(3) ),sin (22y x y e f z x +=，求yx z ∂∂∂2；简解：因为 212s i n f x f y e xz x'+'=∂∂，所以)2c o s (2)2c o s (s i n c o s 2221121112f y f y e x f y f y e y e f y e yx z x xx x ''+''+''+''+'=∂∂∂ y e f f xy f y x y y e y y e f x x x cos 4)cos sin (2cos sin 12212211'+''+''++''=.(4) ),,(y x u f z =，yxe u =，求yx z ∂∂∂2；答案：1232113112f e f f xe f e f xe y y y y '+''+''+''+''8．设)()(t x t x y μψμϕ-++=，其中ϕ，ψ是任意的二次可导函数，求证： 22222xy ty ∂∂=∂∂μ．简证：因为 )()(t x t x ty μψμμϕμ-'-+'=∂∂,)()(2222t x t x ty μψμμϕμ-''++''=∂∂又 )()(t x t x xy μψμϕ-'++'=∂∂,)()(22t x t x xy μψμϕ-''++''=∂∂所以22222xy ty ∂∂=∂∂μ.基本训练41．设xy yx arctan ln22=+，求dxdy ．提示：原方程就是xy y x arctan)ln(2122=+，对方程两边关于x 求导;也可以用隐函数的求导方法求解，令xy y xz y x F arctan)ln(21),,(22-+=, 利用隐函数存在定理的求导公式来解. 答案：yx y x -+.2．设03333=-++axyz z y x ，求xz ∂∂，yz ∂∂．答案：axyz xayz xz --=∂∂22，axyz yaxz yz --=∂∂22.3．设0=-xyz e z ，求xz ∂∂，yz ∂∂．简解：令xyz e z y x F z -=),,(，则yz F x -=，xz F y -=， xy e F z z -= xz F y -= 所以xz ∂∂xy eyzxy eyzzz-=---=，yz ∂∂xyexzxy exzzz-=---=因此yx z ∂∂∂2=--∂∂--∂∂+=2)()())((xy e x yz eyz xy e yz y z zzz()zy x e xyz zexy e z xz22223)(1---4．证明由方程0),(=--bz cy az cx ϕ（),(v u ϕ具有连续的偏导数，a ，b ，c 为常数）所确定的函数),(y x f z =满足关系式c yz bx z a=∂∂+∂∂．简解：（方法一）方程两边微分得,0)()(212121ϕϕϕϕϕϕ'+''+'=⇒=-⋅'+-⋅'b a dy c dx c dz dz b dy c dz a dx c因此211ϕϕϕ'+''=∂∂b a c xz ，212ϕϕϕ'+''=∂∂b a c yz ，得c yz bxz a=∂∂+∂∂.（方法二）记),,(bz cy az cx F --=ϕ 则,211ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zx.212ϕϕϕ'+''=-=∂∂b a c F Fxz zy5．设023=+-y xz z ，求22xz ∂∂，22y z ∂∂．答案：3222)23(16x z xz xz --=∂∂，3222)23(6x z zyz --=∂∂7．设223),,(z y x z y x f u ==，其中),(y x z z =是由方程03333=-++xyz z y x 所确定的函数，求)1,0,1(-∂∂xu ．简解：令 xyz z y x z y x F 3),,(333-++=，则,332yz x F x -= xy z F z 332-=；xyz xyz xyz yz x xz --=---=∂∂22223333，所以xz z y x z y x xu ∂∂⋅+=∂∂2322223.232223222xyz xyz z y x z y x --⋅+=基本训练51．求曲线2y x =，3x z =在)1,1,1(处的切线与法平面方程．答案：切线方程611121-=-=-z y x ，法平面方程962=++z y x2．求出曲线t x =，2t y =，3t z =上的点，使在该点的切线平行于平面42=++z y x ．简解：曲线上任一点处的切线的方向向量为 ()23,2,1t t s =，已知平面的法向量为()1,2,1=n . 由题意得 0=⋅n s ，即 03412=++t t ，解得1-=t 或31-=t ，故所求的点为)1,1,1(--，或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,313．求曲线⎩⎨⎧+==++222226y x z z y x 在点)2,1,1(处的切线方程．提示：曲线可以表示为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===2sin 2cos 2z t y tx ，曲线上点)2,1,1(处也就是4π=t 时的切线的方向向量为)0,1,1(-=s.答案：切线方程⎩⎨⎧=--+=-++0222062z y x z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021111z y x4．求曲面xy z arctan=在⎪⎭⎫⎝⎛4,1,1π处的切平面和法线方程．答案：切平面方程022=-+-πz y x ，法线方程241111π-=--=-z y x5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面与法线方程．答案：切平面方程0279=--+z y x ，法线方程111193--=-=-z y x6．在曲面222y x z +=上求一点，使该点处的法线垂直于平面0142=+++z y x ，并写出法线方程．答案：所求点为),3,1,1(-- 法线方程134121-=+=+z y x ．7．求曲面2222z yx +=上平行于平面01422=+-+z y x 的切平面方程．答案：切平面方程012=+-+z y x8．求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数： (1) y e y e z yxcos si n +=，在点⎪⎭⎫⎝⎛2,0π沿向量}1,2{-；提示：方向l 的方向余弦为51cos ,52cos -==βα；ye xz xs i n =∂∂，y e y e y e yz yyxsin cos cos -+=∂∂，βαπππc o s c o s )2,0()2,0()2,0(yz xz lz ∂∂+∂∂=∂∂522πe +=．(2) z e xy u +=，在点)0,1,1(处沿从点)1,2,4(-到)0,1,5(的方向．提示：ze zu x yu y xu =∂∂=∂∂=∂∂,,，方向l 的方向向量)1,1,1(-=s；所以方向l 的方向余弦为：31cos ,31cos ,31cos =-==γβα；代入方向导数公式可得γβαcos cos cos )0,1,1()0,1,1()0,1,1()0,1,1(zu yu xu lu ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂31=9．设从x 轴正向到方向l 的转角为θ，求函数332y xy x u +-=在点)1,1(M 处沿方向l 的方向导数lu ∂∂．问θ为何值时，方向导数lu ∂∂：1）具有最大值；2）具有最小值；3）等于零．提示：2232,23yy xu x x xu +-=∂∂-=∂∂，1)1,1()1,1(=∂∂=∂∂yu xu ，)4sin(2sin cos )1,1(πθθθ+=+=∂∂lu ,所以当4πθ=时，lu ∂∂最大；当45πθ=时，lu ∂∂最小；当43πθ=或47πθ=时，0=∂∂lu ．10．设z y x xy z y x u 62332222---+++=，求)0,0,0(f grad 及)1,1,1(f grad ．答案：k j i f 623)0,0,0(---=grad ，j f 3)1,1,1(=grad11．设22y xy x z +-=，求在点)1,1(处的梯度，并问函数z 在该点沿什么方向使方向导数：1）取最大值；2）取最小值；3）等于零．答案：j i z +=)1,1(grad ，函数z 在)1,1(处沿j i +方向lz ∂∂取最大值，沿j i --方向lz ∂∂取最小值，沿j i +-或j i -方向lz ∂∂取值为零．基本训练61．问函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求方向导数的最大值．提示：22,2,xy zu xyz yu z y xu =∂∂=∂∂=∂∂，4,2)2,1,1()2,1,1(-=∂∂=∂∂--yu xu ,1)2,1,1(=∂∂-zu ，所以kj i u +-=42grad 是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21||=u grad ．2．求下列函数的极值：(1) 22324y xy x x z -+-=；答案：极大值为0)0,0(=f(2) y y ye x e z -+=cos )1(；答案：极大值为2)0,2(=πk f ， ,2,1,0±±=k 3．求函数22y x z +=在条件1=+by a x 下的极值．答案：极小值为2222222222,b a b a b a ba b a ab f +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 4．建造容积为一定的矩形水池．问怎样设计，才能使建筑材料最省．简解：设水池的长宽高分别为z y x ,,，令)(22),,,(V xyz zx yz xy z y x L --++=λλ, 关于λ,,,z y x 求偏导，求得驻点为)4,2,2(333V V V ，这是唯一可能极值点，由问题的实际意义得，所用的建筑材料存在极小值，故长宽高分别为3334,2,2V V V 时，建筑材料最省.5．在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短．提示：目标函数为 13632),(-+=y x y x f ，条件函数为44),(22-+=y x y x ϕ.为了求目标函数的最值，可设)44()632(),,(222-++-+=y x y x y x L λλ，求得可能极值点为)53,58(，)53,58(--, 代入, 比较得所求点⎪⎭⎫ ⎝⎛53,58. 6．设有一槽形容器，底是半圆柱形，其长为H ，截面是半径为R 的半圆，横放在水平面上，其表面积为常数0S ，试求R 与H 的值，使其容积最大．简解：令)(21),,(022S R RH H R H R L -+-=ππλπλ，求得唯一可能极值点为：)32,3(),(0ππS S H R =；因此当π30S R =，π32S H =时，容积最大．7．在平面023=-z x 上求一点，使得它到点)1,1,1(A 、点)4,3,2(B 的距离平方之和为最小．提示：目标函数为2222)2()1()1()1(),,(-+-+-+-=x z y x z y x f 22)4()3(-+-+z y)16543(2222+---++=z y x z y x ，条件函数为z x y x 23),(-=ϕ,答案是点⎪⎭⎫⎝⎛2663,2,1321.本篇自测A 卷一、填空题1．答案：),(y x f 2．答案：不存在3．提示：分式函数在分母为0处间断，答案为：πn x =，或πm y =，（n ，,2,1,0±±=m ）． 4．答案：⎩⎨⎧==0),(0),(0000y x f y x f y x二、单项选择题 1．答案：B2．提示：函数),(y x f 在一点连续、偏导数存在、可微之间有如下关系全微分存在 ⇔ 点存在偏导数在点连续在函数点可微函数在点连续在偏导数P P P P ⇓⇒⇓故答案为B.3．提示：参见第2小题提示，答案为A .4．提示：令3),,(-+-=xy z e z y x F z ，则y F x =，x y F =，1-=z z e F 所以曲面在点)0,1,2(处法向量为：)0,2,1(，从而可得C 为正确答案.三、计算题1. 提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小, 答案为0.2. 答案：)1(21yyy x x yxxz +=∂∂-，)1(2ln yyyx x x x yz +=∂∂3. 提示：两边取对数得()y x y x z ++=2ln )2(ln , 两边关于y 求偏导得122ln(2)2z x y x y z yx y∂+=++∂+.故答案为：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=∂∂+y x y x y x y x yz yx 22)2ln(222.4. 答案：321f y f f xz '+'+'=∂∂，321f x f f yz '+'-'=∂∂5．答案：)22()(122323zzze z y z xy zey xy e ---．6．答案：2222y x y x +-． 7．答案：22212f xy f ''-''. 8．答案：dydx 5252-．9．提示：令09632=-+=∂∂x xxz , 得3-=x 或1=x ,令0632=+-=∂∂y yyz , 得0=y 或2=y ;所以驻点为 )2,1(),0,1(),2,3(),0,3(--, 利用二元函数极值的充分条件可求得极小值为5)0,1(-=f ，极大值为31)2,3(=-f .四、应用题1. 简解：设切点为),,(z y x ，则切点处的方向向量)3,2,1(2x x s =，已知平面的法向量)1,2,1(=n.由题意得 s 与n 垂直, 即 0=⋅n s, 所以03412=++x x , 解得1x =-或13x =-. 故所求点为:)1,1,1(--或⎪⎭⎫ ⎝⎛--271,91,31.2. 简解: 令)1()1543(),,,,(222-++-+++=y x z y x z z y x L μλμλ,分别求关于μλ,,,,z y x 的偏导数得,52,24,23λμλμλ+=+=+=z L y L x L x y x1543-++=z y x L λ,122-+=y x L μ解得可能极值点为：⎪⎭⎫ ⎝⎛1235,53,54⎪⎭⎫ ⎝⎛--1285,53,54. 比较z 的大小得所求点为： ⎪⎭⎫⎝⎛1235,53,54.3. 简解: 设第一卦限内的内接点为),,(z y x , 由空间解析几何知识得: 直角平行六面体的长宽高分别为z y x 2,2,2, 体积xyz V 8=; 故令).1(8),,,(222222-+++=cz by ax xyz z y x L λλ答案为：长、宽、高分别为32a ，32b ，32c 时，有最大体积 abc V 338=．五、证明题1．简解: )(z y x z ϕ+= 两边关于x ，y 求偏导得xz z y xz ∂∂'+=∂∂)(1ϕ，yz z y z yz ∂∂'+=∂∂)()(ϕϕ，解得 )(11z y x z ϕ'-=∂∂，)(1)(z y z yz ϕϕ'-=∂∂, 又 xzz f xu ∂∂'=∂∂)(， yz z f yu ∂∂'=∂∂)(所以xu z yu ∂∂=∂∂)(ϕ.2. 简证: 令 ⎪⎭⎫⎝⎛----=c z b y cz ax f z y x F ,),,(，则cz f F cz f F y x -'=-'=21,， 2221)()()()(c z b y f c z a x f F z ---⋅'+---⋅'=．所以曲面上任一点),,(z y x 处的法向量为：),)()(,,(2121cz b y f cz a x f f f ---⋅'+---⋅'''故点),,(z y x 处的切平面为,0)]()()([)()(2121=----⋅'+---⋅'+-⋅'+-⋅'z Z cz b y f cz a x f y Y f x X f即 .0)])(())([()])(())([(21=-----⋅'+-----⋅'z Z b y c z y Y f z Z a x c z x X f 不论z y x ,,取何值，c Z b Y a X ===,,总能使上式恒成立；即切平面总通过点),,(c b a .本篇自测B 卷一、填空题1．答案：}104|),{(222<+<≤y x x y y x 且． 2．提示：分子有理化，原式41241lim)24(44lim000=++=++-+=→→→→xy xy xy xy y x y x .3．提示：混和偏导数连续，则它们相等；答案为: = .4．提示：函数可微分, 则方向导数存在(显然偏导数连续也保证方向导数存在). 答案为: 函数可微分.二、单项选择题 1．提示：令xy v y x u =+=,，则1u x v=+，1uv y v=+ 代入得21(,)1v f u v u v-=+，故答案为B2．简解：xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→xb a f b x a f xb a f b x a f x x ---+-+=→→),(),(lim),(),(lim),(2b a f x =.3．提示：切点为)0,1,1(, 方向向量为)1,1,1(-，所以答案为D.*4．简解：偏导数存在，不一定可微，故A 错误；由题设条件知曲面),(y x f z =的法向量为}1,1,3{--，故B 错误；曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在点))0,0(,0,0(f 的一个切向量为{1,0,}{1,0,3}x f =，故Ｃ正确；也可以根据曲线的切向量与曲面的法向量互相垂直来判定答案C 正确而D 错误.．三、计算题 1.提示：因为xy yxy x xy y xy x xy =++≤+-≤22222222)()(0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+-≤22222221)(0y x y x y x xy 或，由夹逼准则得0)(lim2222=+-→→yxy x xy y x .2．答案：⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛+'x y f xy x y f xy f )(．3．简解：21)(f x f xz '+''=∂∂ϕ, 所以))(()())((222112112f y f x f y f yx z'''+''-+''''+''-=∂∂∂ψϕψ 221211)()1)()(()(f y f y x f x '''+''-''+'''-=ψψϕϕ. 4．提示：两边关于x 求偏导得：)(222xy x y f x x y f x zzx -⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂+,zx x y f x y x y f xz 22-⎪⎭⎫⎝⎛'-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂.也可以令⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y xf z y x z y x F 222),,(，利用隐函数求偏导公式来计算.5．答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+dz y z x dy x y z dx z x y z y x xzyln ln ln 6. 简解：（解法一）利用全微分的形式不变性，方程两边求微分得：0)()()(21=++-+'++'zdz ydy xdx dz dy F dz dx F ，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(.（解法二）方程两边关于x 求偏导得： 0)1(21=∂∂--∂∂'+∂∂+'xz zx x z F x z F ，解得 z F F F x x z-'+''-=∂∂211，同理得 z F F F y y z-'+''-=∂∂212，所以 z F F dy F y dx F x dz -'+''-+'-=2121)()(. *7．简解：方程组两边对x 求偏导得： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂-022022x v v x u u y x v u v x u x解关于xu ∂∂，xv ∂∂的二元一次方程组得)(24222v u uyxv xu ++=∂∂，)(24222v u vyxu xv +-=∂∂.四、应用题1. 简解：曲面上任一点),,(z y x 处切平面的法向量为 )1,2,2(-=y x n，又已知直线的方向向量为： )2,1,0()2,0,1(⨯=s)1,2,2(--= 由题意, s n//, 即112222-=-=-y x .解得1,1==y x ，代入曲面方程得2=z ，故所求的切平面方程为0)2()1(2)1(2=---+-z y x ，即 0222=--+z y x .*2．简解：x y yh y x xh +-=∂∂+-=∂∂2,2,00),(00),(2,20000x y y h y x x h y x y x +-=∂∂+-=∂∂,所以j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad ，沿梯度j y x i x y y x h )2()2(),(000000-+-=grad方向的方向导数最大，最大值为 00202000855),(y x y x y x g -+=. 令xyy x y x L 855),,(22-+=λ)75(22--+-xy yxλ,由拉格朗日乘数法得)5,5(1-M ，)5,5(2-M ，),35,35(3M )35,35(3--M 为),(00y x g 的可能极值点，计算相应函数值并比较得)5,5(1-M 或)5,5(2-M 可作为攀登的起点．五、证明题 1. 简证：因为=∂∂xz [])]()([2)()(2ax y ax y a ax y ax y a -+++-'-+'ψψϕϕ，[])]()([21)()(21ax y ax y ax y ax y yz --++-'++'=∂∂ψψϕϕ;[])]()([2)()(22222ax y ax y aax y ax y axz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ,[])]()([21)()(2122ax y ax y ax y ax y yz -'-+'+-'++''=∂∂ψψϕϕ.所以022222=∂∂-∂∂yz axz .*2．简证：因为 ()22|||)|2(02/12/3222/32222xy xy yx yxyx =≤+≤，又022||lim2/10=→→xy y x ，所以 ()0lim2/3222200=+→→yx yx y x ，注意到0)0,0(=f ，因此函数在点)0,0(处连续；因为0)0,(≡x f ，所以0)0,0()0,(lim )0,0(0=-=→x f x f f x x ，同理 0)0,0(=y f ；考虑极限 ρρ)0,0(),(limf y x f -→()22222)0,0(),(limy x yx y x +=→，其中22yx+=ρ，若沿直线kx y =取极限，则()22242242)0,0(),()1(1limk kxk xk kxy y x +=+=→随着k 的变化而变化，表明上述极限不存在，因此函数在点)0,0(处不可微．。

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

第九章多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。

（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。

（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为。

（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。

（5）下列极限中存在的是（）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++；（2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+；（4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+；（6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。

3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。

4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。

§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。

（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。

（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。

(完整版)第九章多元函数微分法及其应用答案.doc

第九章多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的必要条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的充分条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （） xy cos(xy 2（） 22) ; （） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （） 1 ; （C ） 12 ; （） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。

多元函数微分学习题及详细解答

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 z z(x, y)
D. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数 x x( y, z) 和 y y(x, z)
3.证明：函数 f (x, y) xy 在点 O(0, 0) 处可微。
证明：由定义，
f
x
(0,
0)
lim
x0
（f x, 0) x
f
(0, 0)
0
4.设
z
xy＋f
(u),
，u
y x
，f
(u)
为可微函数，求:
x
z x
y
z y
解： z x
y
xf
(u)
y x2
f (u)
f (u)
y
y x
f (u)
z x xf (u) 1 x f (u).
y
x
故
x
z x
y z y
x
f
(u)
y
f
(u) x
y
yx
f (u)
xf (u) xy yf (u) xy yf (u)
（3）如果函数 f (x, y) 在点 0, 0 处连续，那么下列命题正确的是（ B ）
A.若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在点 0,0 处可微
x0 x y
y0
B.
若极限 lim x0
f (x, y) 存在，则 x2 y2
f (x, y) 在点 0, 0 处可微
y0
2 ，求
f
xx
(0,0,1),f
yz
(0,
1,0),f
zzx
(2,0,1)

第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题答案(1)

第九章多元函数微分法及其应用1、填空题1) 设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x2) 函数223z x xy y =++的偏导数x z =y x 32+，y z =y x 23+3) 函数xyz e =在点(2,1)处的全微分dz =dy e dx e 222+4) 设sin z uv t =+，而,cos t u e v t ==，则dzdt=t t u ve t cos sin +- 5) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的必要条件 6)()()xy xy y x 42lim0,0,+-→=41-7) 函数xy x y z 2222-+=在(){}02,2=-x y y x 间断8) 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为111111--=-=-z y x9) 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为()()()0162812=-++--z y x10) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu()2,2,192- 11) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为35 2、求ln()z x x y =+的二阶偏导数解：y x x y x x z +++=∂∂)ln( yx xy z +=∂∂2222)(2)(1y x y x y x y y x x z ++=+++=∂∂ 222)()(1y x yy x x y x y x z +=+-+=∂∂∂ 22)(y x y x y z +=∂∂∂ 222)(y x xy z +-=∂∂ 3、 sin uz e v =，而,u xy v x y ==+，求z x ∂∂和z y∂∂ 解：)cos()sin(cos sin y x e y x ye v e v ye xv v z x u u z x z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )cos()sin(cos sin y x e y x xe v e v xe yv v z y u u z y z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 4、已知20xyzez e --+=，求z x ∂∂，z y ∂∂，22xz∂∂解：令z xy e z e z y x F +-=-2),,( 则xy x ye F --= xyy xeF --= z z e F +-=2所以 2-=-=∂∂-z xy z x e ye F F x z 2-=-=∂∂-zxyz y e xe F F y z 322222222)2(])2[()2(2)2()2()2(-+--=-----=-∂∂---=∂∂-------z xy z z xy z z xyz xy z xy z zxyz xye e e e e y e e ye e ye e e y e x z eye e ey x z5、设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求,,,u u v vx y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：将方程的两边对X 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux 在条件下022≠+=-y x x y y x 则22y x yv xu xy y x x v yu x u ++-=----=∂∂22y x xvyu xy y x v y u x xv +-=---=∂∂将方程的两边对y 求导并移项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u y v x yu y v yv y y ux 在条件下022≠+=-y x xy y x22y x yu xv x y y x x u y v y u +-=---=∂∂22y x yvxu xy y x u y vxyv++-=--=∂∂6、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.解：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+2532322dx dz dx dy x dx dz z dx dyy则z y z x z y z x dx dy 61041015532252223++-=---=z y xy z y xy dx dz 610694532223232+-+-=----=169)1,1,1(=dxdy 161)1,1,1(-=dxdz 故所求切线方程为：1)1(169)1(1611--=-=-z y x 所求法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z x x7、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解：令1),,(22--+=z y x z y x F 则}1,2,2{},,{-==y x F F F n z y x}1,2,4{)4,1,2(-=n切平面方程：0)4()1(2)2(4=---+-z y x法线方程：142142--=-=-z y x 8、求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数.解：}1,1{=PQ 则与PQ 同向的单位向量是}22,22{1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz故方向导数为223)0,1(=∂∂lz9、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：→→→+-=k j i g r a d u 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu10、求函数y x y x y x f 44),(22+-+=的极值解：⎩⎨⎧=+==-=042042y f x f yx 得驻点（2，-2）2=xx f 0=xy f 2=yy f 在(2,-2)点002>>-A B AC 且函数在(2,-2)有极小值 -811、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸. 解：设长为x 宽为y 高为z问题可看作xyz V =在条件byz bxz axy A 22++=下的最值令())22(,,,A byz bxz axy xyz z y x F -+++=λλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==++==++=)(22)(022)(02)1(02４　３２ byz bxz axy A y b x b xy F z b x a xz F z b y a yz F z yx λλλλλλ 由（1）—（2）可得 y x =或)-y x (与实际意义矛盾，舍去可推出=-=λa z 将y x =代入（3）得 λb y x 4-==（5）将（5）代入（1）得到 λa z 2-= （6）将（5）（6）代入（4）可以得到 2248abA=λ,分别代入（5）（6）可得 a A y x 3＝＝宽长，aA b a z 32＝高 12、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.解：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++-++++=z y x u z y x z y x u z y x F λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++==+-==++==++=)(01)()(02)(022)1(02222５　４３２ z y x y x z u z F u y y F u x x F z y x λλλ 由(1)(2)知 )1(2λμ+-==y x （6），由（3）得 2μλ-=z （7）由（4）（5）得x x 2122-= （8）将（6）（7）代入（8）得到)31)(1(±-+=λμ （9）将（9）代入（1）得到 231 -==y x （10）由（5）得到 3221±=-=x z （11）将（10）（11）代入 2222z y x d ++=求得最长距离为：359+，最短距离为：359-。

多元函数微积分复习试题.doc

多元函数微积分复习题一、单项选择题1．函数f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微分的( B )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .2 ．设函数 f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可偏导的（ D )(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .3．函数f x, y在点x0, y0 处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ).(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;(C) 必要而且充分条件 ; (D) 既不必要也不充分条件 .4 ．对于二元函数z f (x, y) , 下列结论正确的是 ( C ).A. 若lim A , 则必有 lim f (x, y) A 且有 lim f (x, y) A;x x0 x x y y0 0y y0B. 若在( x0, y0)处z和z都存在 , 则在点 (x0 , y0 ) 处 z f ( x, y) 可微; x yC. 若在( x0, y0)处z和z存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 z f (x, y) 可微; x yD. 若 2 z 和2z都存在 , 则. 2 z 2 z .x2 y2 x2 y25．二元函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足关系( C ).A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ;B.可微可导连续;C.可微可导 , 或可微连续 , 但可导不一定连续 ;D.可导连续 , 但可导不一定可微 .r r1,2, 1 rr（ A ）6. 向量 a 3, 1, 2 , b ，则 a gb(A) 3 (B) 3 (C) 2 (D) 25．已知三点 M （1， 2， 1），A （2，1，1），B （2，1， 2），则 MA? AB =（ C）(A) -1 ； (B) 1 ； (C) 0 ； (D) 2 ；6．已知三点 M （0，1，1）， A （ 2， 2， 1），B （2，1，3），则 | MA AB |=（ B ）(A) 2;(B)2 2 ;(C)2 ;(D)-2;7 ．设 D 为园域 x 2 y 22ax (a0) , 化积分F (x, y)d 为二次积分的正确方法D是_____D____.A.2 a aB.2a 2 a x2dxf ( x, y)dy2 dxf (x, y)dyaC.a 2 acos f ( cos ,sin ) ddaD.2d2a cos f ( cos , sin ) d23 ln x 8．设 Idx1f (x, y)dy , 改变积分次序 , 则 I______.Bln3 dy eyB. ln3 A. f (x, y)dxdy 00 ln3 dy3 D.3C.f ( x, y)dxdy3e yln x f ( x, y)dx f ( x, y)dx19．二次积分2 dcos f (cos , sin) d可以写成 ___________. D1dyy y2f (x, y)dxB.1 1 y 2A. 0 dy f ( x, y) dx0 01dx1D.1 dxx x2C.f ( x, y)dyf (x, y)dy10 ．设是由曲面 x 2 y 2 2z 及 z 2 所围成的空间区域，在柱面坐标系下将三重积分If ( x, y, z) dxdy dz 表示为三次积分， I ________.C2A ．2 1 2f ( cos , sin , z) dzdd222B.2 f ( cos ,sin, z) dz0 ddC ．2d 2 2f ( cos, sin , z)dz0 d22D ．2 d 22 cos , sin , z ) dz0 df (11．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : xa, cy d ，则 P x, y dx（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d12．设 L 为 x0y 面内直线段，其方程为 L : ya, cx d ，则 P x, y dy（ C）L（ A ） a （B ） c（C ） 0（D ） d13．设有级数u n , 则 lim u n0 是级数收敛的（ D）n 1n(A) 充分条件； (B)充分必要条件；(C)既不充分也不必要条件；(D)必要条件 ;14．幂级数nx n 的收径半径 R =（ D）n 1(A) 3(B) 0(C) 2(D) 115．幂级数1 x n 的收敛半径 R （ A）n 1n(A) 1(B) 0(C) 2(D) 316 ．若幂级数a n x n 的收敛半径为 R ，则a n x n 2 的收敛半径为（ A）n 0n 0(A) R(B)R 2(C)R(D)无法求得17.若 lim u0, 则级数u n ()Dn nn 1A. 收敛且和为B. 收敛但和不一定为C. 发散D.可能收敛也可能发散18. 若u n为正项级数, 则(B)n 1A. 若 lim u n 0 , 则u n收敛B. 若u n收敛, 则u n2收敛n n 1 n 1 n 1C. 若u n2,则u n也收敛D. 若u n发散, 则 lim u n 0n 1 n 1 n 1 n19.设幂级数C n x n在点x3处收敛 ,则该级数在点x 1 处( A )n 1A.绝对收敛B. 条件收敛C.发散D.敛散性不定20. 级数sin nx, 则该级数 ( B )( x 0)n 1n!A. 是发散级数B. 是绝对收敛级数C. 是条件收敛级数D. 可能收敛也可能发散二、填空题1．设f ( x, y) sin x ( y 1)ln( x2 y 2 ) ，则 f x (0,1) ___1___.2．设f x, y cos x y 1 ln x 2 y2，则 f x' ( 0,1) =____0______.3．二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的公式是f x, y dxdy f cos , sin d dD D4．三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式是f x, y, z dxdydz f cos , sin , z d d dz5 ．柱面坐标下的体积元素dv d d d z6 ．设积分区域D : x2 y 2 a2, 且 dxdy 9 , 则a 3 。

张宇1000题(最新版)第9,10章习题详解(仅数学一)

4 5
32π 3
【解】由对成性知：
2 2 ∴ ∫ ( x + y )dl = L
∫ x dl = ∫ y dl = ∫ z dl
2 2 2
L L L
2 2 2 32 ( x 2 + y 2＋z 2 )dl = ⋅ 4 ⋅ ds = ⋅ 4 ⋅ 4π = π ∫ ∫ L 3 L 3 3 3
(1,2, −2 )
4 2z ′= 2 = , uz 9 x + y2 + z2
(1,2, −2 )
=
−4 9
12．【答案】
1 0, 2, 3 5
{
}
ro 1 {6 x, 4 y, 6 z} n
(o, 3, 2 )
【解】旋转面方程 3 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 − 12 = 0 单位法向量 n =
2．【答案】C 【解】直线 L 的方向向量 {−28,14, −7} = −7 {4, −2,1} ，平面 π 的法向量为 {4, −2,1} . 3．【答案】C 【解】切平面平行与平面 2 x + 2 y + z − 1 = 0 可知切平面的法向量为 {2, 2,1} ；
′ , z′ 又由 z = 4 − x 2 − y 2 可得曲线切平面的法向量 z x }； y ,1 = {−2 x , −2 y ,1
【解】由梯度和散度的定义知
故
第十章
一、选择题 1. 【答案】C
多元积分学（多元积分学（仅数学一）仅数学一）
【解】因为 W = f ⋅ s ⋅ cos θ ，故 W = 3 ⋅ 3 ⋅ 2. 【答案】B
x 【解】 P = f ( x) − e sin y,

多元函数微分学练习题及答案

六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy

ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y）（）
2 、二元函数 z ln 4 arcsin 1 的定义域是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8

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第九章多元函数微分法选择题及答案
1．
2
2ln y x z -=的定义域为（）．
A ．122≥-y x
B ．
022≥-y x C ．122>-y x D ．
02
2>-y x 2．函数
2
2224)2ln(y x y x z --+-+=的定义域为（）．
A ．22
2
≠+y x B ．42
2
≠+y x
C ．222≥+y x
D ．
422
2≤+<y x 3．如果
),(),(00y x y x f 在的某邻域内)
,(lim
0y x f y y x x →→存在，则
),(),(00y x y x f 在处
（）.
A ．连续
B ．可微
C ．间断
D ．不一定连续 4．函数
),(),(00y x y x f 在处对x 的偏导数为（）.
A ．
x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆)
,(),(00000
lim
B ．
x y x f y y x x f y ∆-∆+∆+→∆),(),(00000
lim
C ．
x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(00000
lim D ．
x y x f y y x f x ∆-∆+→∆),(),(00000
lim
5．如果),(y x f 有连续二阶偏导数，则=
∂∂∂y x y x f )
,(2（）.
A ．0
B ．22)
,(x y x f ∂∂ C ．22),(y y x f ∂∂ D ．x y y x f ∂∂∂),(2
6．对于二元函数),(y x f z =，有（）.
A ．若),(y x f z =连续，则y z x z ∂∂∂∂,
存在． B ．若y z x z ∂∂∂∂,
存在，则),(y x f z =可微． C ．若
y z x z ∂∂∂∂,连续，则),(y x f z =可微． D ．若
A
y x f y y x x ＝),(lim
0→→，则
),(00y x f A =．
7．如果),(00y x 为),(y x f 的极值点，且),(y x f 在),(00y x 处的两个一阶偏导数存在，
则点
),(00y x 必为),(y x f 的（）.
A ．最大值点
B ．驻点
C ．连续点
D ．最小值点
8．如果),(y x f 在),(00y x 的某邻域内连续，则),(y x f 在0x 点（）.
A ．连续
B ．可导
C ．可微
D ．有极值
9．如果),(y x f 在
),(00y x 的某邻域内连续二阶偏导数，且
的
为则),(),(,0),(),(),(000000002y x f y x f y x f y x f y x f yy xx xy <-（）．
A ．极小值
B ．极大值
C ．极值
D ．不一定是极值
10．
=
-+→→1
13lim
0xy xy y x （）．
A ．3
B ．6
C ．不存在
D ．∞
11. 函数),(y x f 在点P ),(00y x 的两个偏导数y x f f ,都存在，则（）．
A ．),(y x f 在P 点必连续
B ．),(y x f 在P 点必可微
C ．
)
,(),(00lim lim
y x f y x f y y x x →→及都存在 D ．
)
,(lim
y x f y y x x →→存在
12、二元函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)
0,0(),(),(2
2y x y x y x xy y x f 在点（0，0）处（）.
A ．连续，偏导数存在
B ．连续，偏导数不存在
C ．不连续，偏导数存在
D ．不连续，偏导数不存在
13、“)
,(),(0000y x f y x f y x 与都存在”是函数),(y x f 在点),(00y x 处连续的（）
条件．
A ．充分非必要
B ．必要非充分
C ．充分且必要
D ．非充分非必要
14、设)(),(
t f xy y x xyf u +=可微，且满足
==∂∂-∂∂),(),,(22y x G y x uG y u
y x u x 则（）．
A ．
y x + B ．y x - C ．22y x - D ．2)(y x +
15、利用变量替换x y v x u =
=,，一定可以把方程z
y z y x z x =∂∂+∂∂化为新的方程
（）．
A ．z u z u
=∂∂ B ．z v z v =∂∂ C ．z v z u =∂∂ D z
u z
v =∂∂
16、曲线)1,1,1(2
2
上点⎪⎩⎪⎨⎧==x
z y
x 处的法平面方程是（）．
A ．0342=+--z y x
B ．0542=-+-z y x
C ．0742=-++z y x
D ．
答案
1. 答案：D
2. 答案：D
3. 答案：D
4. 答案：C
5. 答案：D
6. 答案：C
7. 答案：B
8. 答案：A
9. 答案：A
10. 答案：B
11. 答案：C
12. 答案：C
13. 答案：D
14. 答案：B
15. 答案：A
16. 答案：C。