第一部分 第二章 §2 2.3 第一课时 直线和圆的位置关系

|a－2＋3| |a＋1| 解析：圆心到直线的距离d＝ ＝ 2 ， 2 a ＋1 a ＋1 由 3＝ 4－d2，得a＝0.
答案：0
8．过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20 ＝
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52， 0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程． ∴圆心C(1,2)，半径r＝5. 由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三 角形， ∴圆心到直线的距离d＝ |AB| 2 r － 2 ＝ 52－42＝3.
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股 定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利 用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 2
法二：∵圆的圆心在直线y＝2x上， 设圆的圆心为(m,2m)，因圆过点(3,2)， 则半径r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线y＝2x＋5相切． |2m－2m＋5| ∴ 2 ＝ m－32＋2m－22 2 ＋－12
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2， 解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
4 解得m＝2或5. 当m＝2时，圆心为(2,4)，半径r＝ 5. 4 4 8 当m＝5时，圆心为(5，5)，半径r＝ 5. 故所求的圆的方程为： 42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－5) ＋(y－5) ＝5.
2 2
[例3]
如图所示，求＝20截得弦长为6 2 的直线的方程．
[一点通]
直线与圆的位置关系的两种判定方
法：代数法与几何法．直线与圆的位置关系是本节的重 点内容，也是高考重点考查内容之一．用方程研究直线 与圆的位置关系体现了解析几何的基本思想．判定直线
与圆的位置关系主要看交点个数，判别式法中方程组解
的个数即交点个数，而几何法利用数形结合更易判断，
因此在实际应用中应多用几何法．
两圆相离 0个 两圆内含 两圆相交 两圆内切 1个 两圆外切 2个
圆心距与半径
d>r1＋r2 d<|r1－r2| |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d＝r1＋r2
图示
直线与圆的位置关系的判断有两种方法： 代数法和几何法，代数法就是通过解方程组来判断 位置关系；几何法是通过圆心到直线的距离与半径
3 5 B. 5 6 5 D. 5
(
)
解析：圆心为(1,0)，半径为
2 ，圆心到直线的距离d＝ 1 6 2－5＝5 5.
|2－0－1| 1 ＝ ，弦长l＝2 r2－d2＝2 5 5
答案：D
7．(2012· 安徽重点中学统考)设直线ax－y＋3＝0与圆 (x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的 长为2 3，则 a＝________.
r相比较，相比代数法，几何法显得要更方便些．
[例1]
当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆
x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
[思路点拨] 利用代数法或几何法求解．代数法
注意判别式与交点个数的关系，几何法则要对圆心到直 线的距离与圆的半径的大小作比较．
[精解详析] 方程并化简得
法一：将直线mx－y－1＝0代入圆的
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
相切
相离
D＝ r
D>r
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
直线与圆相离⇔d>r.
x2＋y2＝9， 问题2：方程组 3x＋4y－5＝0.
有解吗？
提示：由方程组得 0.
25x2－30x－119＝
∵Δ＝302＋100×119>0， ∴方程组有解．
问题3：圆x2＋y2＝9的圆心到直线3x＋4y－
5＝0的距离是多少？
5 提示：d＝5＝1.
问题4：根据问题2，问题3，可知直线3x＋4y－5
(2)几何法： l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( 2 ) ＋d2＝r2， 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角
形，数形结合利用勾股定理得到．
6．(2012· 福建三明市高一检测)直线 2x－y－1＝0 被圆 (x－1)2＋y2＝2 所截得的弦长为 30 A. 5 2 30 C. 5
圆与圆的位置关系及判定
2 已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1，
C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2， 2 则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，
x1－x22＋y1－y22 r2，圆心距d＝|C1C2|＝
.
则两圆C1，C2有以下位置关系
位置关系 公共点个数
|6k＋4| ∵圆心到直线的距离为 2，∴ ＝ 2， 1＋k2 7 即17k ＋24k＋7＝0.∴k＝－1或k＝－17.
2
∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0.
[一点通]
求弦长的常用方法
(1)代数法： ①将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利 用两点间距离公式求弦长． ②设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所 得方程两根为x1，x2，则弦长d＝ 1＋k2|x2－x1|.
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
12 解得k＝ 5 . 12 ∴所求直线l的方程为y－3＝ 5 (x－2)． 即12x－5y－9＝0. ②若直线l的斜率不存在，则直线x＝2也符合题意． ∴所求直线l的方程为x＝2. 综上可知，所求直线l的方程为12x－5y－9＝0或x＝2.
5．(2012· 兴义检测)求经过点(3,2)，圆心在直线y＝2x上，
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
解析：因为直线y＝x＋b与x2＋y2＝2相切， |b| ∴ ＝ 2. 2 ∴b＝± 2.
答案：B
4．已知直线l过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
相 切，求直线l的方程． 解：经检验知，点P(2,3)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1
的外部. ①若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y－3＝ k(x－2)． ∵直线l与圆相切， |k×1－－2－2k＋3| ∴ ＝1， 2 k ＋1
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
解：法一：由直线与圆的方程得
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0.
消去y，得x2－3x＋2＝0.
∵Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0， ∴直线与圆相交，有两个交点．
2
①当直线AB⊥x轴时，∵l过(4，－4)， ∴AB方程为x＝4，点C(1,2)到l的距离d＝|4－1|＝3， 满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，设方程为 y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0. |k－2－4k－4| 3 ∴d＝ ＝3，解得k＝－4. k2＋－12 3 ∴l的方程为y＋4＝－4(x－4)，即3x＋4y＋4＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
[一点通]
(1)明确圆心的位置及圆的半径与两平行线间的 距离之间的关系是解决本题的关键． (2)要注意应用切线的如下性质： ①过切点且垂直于切线的直线必过圆心； ②过圆心且垂直于切线的直线必过切点．
3．(2012· 北京崇文一模)若直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2相 切，则b的值为 A．± 4 C．± 2 B．± 2 D．± 2 2 ( )
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
[精解详析]
过A(2,1)与两直线垂直的直线方程为
1 1 y－1＝2(x－2)，即y＝2x. 1 x＝－6， y＝ x， 2 由 解得 y＝－3. 2x＋y＋15＝0， 则A(2,1)，B(－6，－3)是圆C的直径的两个端 1 点，于是圆心为(－2，－1)，半径r＝2|AB|＝2 ∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20. 5.