备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题二 不等式的解法 含解析
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题五 非线性规划问题 Word版含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y+-+--的最小值是 ．【答案】3.【解析】221x y +≤表示圆221x y +=及其内部，易得直线630x y --=与圆相离，故6363x y x y --=--．当220x y +-≥时，22632 4.x y x y x y +-+--=-+如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数24z x y =-+，则可知当34,55x y ==时，min 3z =；当220x y +-<时，2263834x y x y x y +-+--=--，可行域为大的弓形内部，目标函数834z x y =--，同理可知当34,55x y ==时，min 3z =． 综上所述：()min22633x y x y+-+--=．精彩解读【试题来源】2015年浙江高考理数第14题．【母题评析】本题考查了线性规划的运用；分类讨论的数学思想；直线与圆的位置关系．【思路方法】解决此类问题的关键是将线性规划解决问题的思想迁移到非线性规划问题中.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是 ．【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5．【命题意图】本题考查非线性规划的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力．【难点中心】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．III ．理论基础·解题原理常见代数式的几何意义（1表示点(),x y 与原点()0 0，之间的距离；（2(),x y 与点() a b ，之间的距离；（3）yx 表示点(),x y 与原点()0 0，连线的斜率； （4）y b x a--表示点(),x y 与点() a b ，连线的斜率．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等． 【技能方法】非线性规划问题常利用目标函数或可行域的几何意义求解． V ．举一反三·触类旁通非线性规划主要有三大题型：平方型、分式型和其他类型（绝对值型）． 考向1 平方型的非线性规划问题【例3】【2016高考山东文理】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．10D ．12 【答案】C【规律总结】非线性规划主要有两大题型：平方型和分式型． 其中平方型——看成两点间的距离求解．【跟踪训练】【2016年安徽安庆高三检查】如果点(),x y P 在平面区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩上，则()221x y ++的最大值和最小值分别是（ ）A ．3．9，95 C ．9，2 D ．3，【答案】B 【解析】如图，先作出点()P x y ，所在的平面区域．22)1(++y x 表示动点P 到定点(01)Q -，距离的平方．当点P 在(10)-，时，22PQ =，而点Q 到直线012=+-y x 的距离的平方为925<；当点P 在(02)，时，离Q 最远，92=PQ ．因此22)1(++y x 的最大值为9，最小值为95．故选B ．考向2 分式型的非线性规划问题【例4】【2016年湖南师大附中高三三模】设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则z ＝y x ＋xy的取值范围是（ ）A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，103B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103【答案】D【解析】本题可先求得x y 的范围，在求z 的范围．令x yk =，可变形为kxy =),0(存在所以因为k x ≠，【规律总结】（1）yx 表示点(),x y 与原点()0 0，连线的斜率； （2）y b x a--表示点(),x y 与点() a b ，连线的斜率．【跟踪训练】【2016重庆巴蜀中学3月月考】已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥>0620y x x y x ，则xy x 22++的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．6 【答案】C考向3 其它类型的非线性规划问题【例5】【2016山东滨州二模】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2,43,x y x x y 则y x z 3-=的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．554 【答案】A 【解析】x【规律总结】这种绝对值型的可以考虑几何意义，如本题是化归为点到直线的距离来求解．【跟踪训练1】【2016山东菏泽一模】若,x y 满足不等式组3401360x y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，表示平面区域为D ，已知点(0,0),(1,0)O A ，点M 是D 上的动点，||OA OM OM λ⋅=，则λ的最大值为_________.【答案】【解析】作可行域：由题知：所以设M （x ，y ），由得： 即的最大值为【跟踪训练2】【2016届江苏泰州、扬州、靖江中学高三下学期期初联考】已知三个正数,,a b c 满足3a b c a ≤+≤，223()5b a a c b ≤+≤，则2b ca-的最小值是 ． 【答案】185-【解析】由3a b c a ≤+≤得13b c a a ≤+≤，由223()5b a a c b ≤+≤得2253())1(b c b a a a≤≤+，设,b c a x y a ==，则,x y 满足2213315x y x y x≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，平面区域如下图，令22b c x y a z -=-=，即1122y x z =-，所以当411,55y x ==时，z 有最小值185-．。
备战高考黄金100题解读与扩展系列之不等式专题二 不等式的解法 Word版含解析
．题源探究·黄金母题【例】求不等式错误！未指定书签。
的解集．【解析】注意到错误！未指定书签。
，所以原不等式的解集为错误！未指定书签。
．精彩解读【试题来源】人教版版必第页例．【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点．【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．．考场精彩·真题回放【例】【高考上海理数】设错误！未指定书签。
，则不等式错误！未指定书签。
的解集为．【答案】．【解析】由题意得：，即，故解集为．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，再进一步求解．本题也可利用平方法．【例】【高考江苏，】不等式错误！未指定书签。
的解集为．【答案】错误！未指定书签。
【解析】由题意得：错误！未指定书签。
，解集为错误！未指定书签。
【命题意图】本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．．理论基础·解题原理考点一一元二次不等式我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是的不等式叫做一元二次不等式．当错误！未指定书签。
时，（）若方程错误！未指定书签。
的两实根分别为错误！未指定书签。
，则不等式错误！未指定书签。
的解集为错误！未指定书签。
或错误！未指定书签。
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；（）若方程错误！未指定书签。
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，则不等式错误！未指定书签。
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无实数根，则不等式错误！未指定书签。
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高三数学不等式的解法2
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2d视频转3d视频1、将要转换的2D添加到转换器上。可以看到转换器的添加按钮，左上角“添加”按钮，点击，选择，添加。 2、在添加到转换器存放栏上后，就可以在“添加”按钮右边的第二个按钮，看到“3D效果”按钮，直接点击设置后，跳出一个对话框，在进行选择，可以默认状态。 3、单击对话框之后，就可以进到3D效果设置界面上。可以详细看到下面的3D效果设置，有“红/青、红/绿、红/蓝、蓝/黄、交错、并排”等。 4、可以是设置上面的效果，选择“红/青”之后，可以在上面的预览按钮上看到，在前面的是“红色”，在后面的是“青色”，这些就是3D设置的效果。 5、在设置完成之后，就可以看到经过3D效过3D设置的效果提示。想要修改效果设置的，还可以直接点击眼镜，之后在弹出的下列栏上选择其它效果。 6、3D效果设置完成之后，格式转换功能，可以把设置好的3D文件转换成日常常见的格式。 7、选好要转换的格式就可以到转换。单击右下角的“转换”按钮之后。就可以对3D效果和格式进行转换了，转换一会即可完成。
2d视频转3d视频 梨视频怎么删除下载的视频1、手机开机，在手机桌面打开梨； 2、登录进入后，在梨页面，点击我的； 3、在我的页面，点击我的缓存； 4、在我的缓存页面，点击管理； 5、在管理状态下，找到要删除的，点击×； 6、这样下载的就删除成功了。
梨视频怎么删除下载的视频 《一下视频》1、进入界面之后首页为欢迎语，同时有清晰的找朋友标识。在主界面向左滑动会出现找朋友功能，可以自动读取绑定的微博帐号下的关注以及粉丝，快速找到与自己相关的一下好友；向右滑动会出现菜单，包括推荐、附近、我的、消息以及设置等等。 2、在这个版本中我们可以看到在头像的位置做了优化，主界面的大半部分都是个人资料区域。可以快速方便地更换头像好背景。在设置方面，可以绑定腾讯微博、新浪微博，同时新增了非WIFI自动上传开关以及推送提醒设置。一下是一款主打原创与分享的应用，可以将自己身边的新鲜事拍下来上 进行分享，所以拍摄的功能是必须要具备的。 3、一下完整支持前后摄像头，并且可以快速上传。点击首页左下角的“+”号可以弹出拍摄、好友、上传三个按钮，点击拍摄之后会打开相机进行拍摄，在拍摄的时候新增了11中滤镜，可以赋予不同的风格，可以更好地丰富拍摄体验。如果手机上已经有需要上传直接点击第三个按钮即可。新版本的一 频的入口只有这一个地方，笔者觉得似乎缺少了一键拍摄这个功能。 4、一下提供了“推荐”和“附近”两种入口，“推荐”是由系统推荐的，附近则运用LBS技术查找周边的，可以查看附近正在发生的事情。在观看的方式上可以直接在界面点击中间的播放按钮进行观看，还可以点击放大进行全屏观看。一下提供了“推荐”和“附近”两种入口，“推荐”是由系统推荐的，附近则运 术查找周边的，可以查看附近正在发生的事情。在观看的方式上可以直接在界面点击中间的播放按钮进行观看，还可以点击放大进行全屏观看。 5、当然，在观看的同时我们也可以进行评论。在详情的下边或者点击都有评论入口。每一个的左上角有的时间，右上角有的观看人数。可以点击表情图标赋予喜怒哀乐四种不同的表情，增加互动。在观看方面一下做得比较好，页内快速播放很实用。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》真题汇编及答案
【最新】数学《不等式》期末复习知识要点一、选择题1．已知函数()2222,2{log ,2x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2054f x m m ≤- 成立，则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：2154m m ≤-，解得：114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择B 选项.点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．2．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122y x⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yxx y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z的最小值为min314z=--=-，则1 222yx x y-⎛⎫⋅=⎪⎝⎭的最小值为41216-=.故选：A．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．3．设变量,x y满足约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数5z x y=+的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】根据约束条件211x yx yx y-≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩画出可行域如图：目标函数z＝5x+y可化为y＝-5x+z，即表示斜率为-5，截距为z的动直线，由图可知，当直线5z x y=+过点()1,0A时，纵截距最大，即z最大，由211x yx y+=⎧⎨+=⎩得A（1，0）∴目标函数z＝5x+y的最小值为z＝5故选D【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．设实数满足条件则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，表示直线在轴的截距加上1，根据图像知，当时，且时，有最大值为.故选：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则2||||PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4C ．232D ．421【答案】B 【解析】 【分析】设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()200080x y y =≥，因为点(0,4)A ，则()()2222200000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.又知点Q 在圆22(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，要使2||||PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.所以()()222000003632516||||33y y y PA PQ y y +-+++==++()002536643y y =++-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.所以2||||PA PQ 的最小值为4.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.6．已知实数x ，y 满足不等式||x y +≥，则22x y +最小值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】B 【解析】 【分析】先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据22x y +表示圆心在原点的圆求解其最小圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得当0y ≥时，x y +≥ （2）当0y <时，x y -≥如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由22xy +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，又由2d ==，所以24d =，即22xy +最小值为4.故选：B .【点睛】本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.7．若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项D错误，因为选项C正确，故选C．【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一需要在A B件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元C ．400千元D ．440千元【答案】B 【解析】设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：2348069600,0,x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．9．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【答案】D【解析】【分析】根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果.【详解】设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得3212,28,0,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数34z x y=+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，可得目标函数在点P处取得最大值，由28,3212,x yx y+=⎧⎨+=⎩得()2,3P，则max324318z=⨯+⨯=（万元）.选D.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10．设x，y满足102024xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，向量()2,1a x=r，()1,b m y=-r，则满足a b⊥r r的实数m 的最小值为（）A．125B．125-C．32D．32-【答案】B【解析】 【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r，由a b ⊥r r得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=⎧⎨=⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴416122555m y x =-=-=-， 故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为（ ） A ．32B ．53 C ．74D ．95【答案】D 【解析】 【分析】根据2m n +=，化简135112(1)(2)n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，Q131111212n m n m n ++=++++++ 3511(1)(2)(1)(2)m n m n m n ++=+=++⋅++⋅+Q 21225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12m n +=+时，即3122m n ==，取等号， ∴139125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．若、a b 均为实数，则“()0->ab a b ”是“0a b >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】通过列举，和推理证明可以推出充要性. 【详解】若()0ab a b -＞中，取12a b --＝，＝，则推不出0a b ＞＞； 若0a b ＞＞，则0a b -＞，则可得出()0ab a b -＞； 故“()0ab a b -＞”是“0a b ＞＞”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．13．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫-⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案. 【详解】由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，222sin a b c C ++=两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以03C π-=，即3C π=，又a b =，所以ABC ∆是等边三角形， 故选D 项. 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.14．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（ ）AB．2C．D ．172【答案】A 【解析】 【分析】先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果. 【详解】作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．7【答案】B 【解析】 【分析】由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 由2x y xy +=得：211x y+= ()212222225529x y x yx y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号） 2x y ∴+的最小值为9故选：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.16．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3 B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.17．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.18．若 x y ，满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值是（ ）A ．0B ．3-C ．32D ．3【答案】B 【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2A B C ，所以直线z x y =-过点B 时取最小值3-，选B.19．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。
2017版高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第二节不等式的解法课件文
R
∅
∅
►一个重要求解：解一元二次不等式. (1)[ 解一元二次不等式的一般步骤：①化为标准形式 ( 二次项 系数大于 0).②确定判别式 Δ 的符号， 若 Δ≥0 ， 则求出该不等 式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无实根. ③结合二次函数的图象得出不等式的解集 ] 不等式 x2 － 2x ＜ 3
[ 点评 ]
解含参数的一元二次不等式 ，若二次项系数为常数，
可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不易因 式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.
一元二次不等式恒成立问题求解策略
一元二次不等式恒成立问题的解决方法
方法
解读 (1) ax2＋ bx＋c≥0 对任意实数 x 恒成
适合题型
[点评]
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相
应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于
0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x轴下方. 若限制在某个区间上恒成立 ，则先求出这个区间上的最值， 再转化为关于最值的不等式问题. (2)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是
f（m）＞0， 或者即使能容易 题，若 f(x)＞0 恒成立⇔ f（n）＞0， f（m）＜0， 若 f(x)＜0 恒成立⇔ f（n）＜0
【例2】 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
答案 C
[方法归纳] 用函数思想研究方程和不等式是高考的热点， 将二次函数的图象位置与对应一元二次不等式的解集的范围
2017高考数学精彩试题分类总汇编-不等式(含文科理科及详细解析汇报)
2017年高考数学试题分类汇编：不等式1〔2017文〕0x ≥，0y ≥，且x +y =1，如此22x y +的取值X 围是__________．【考点】3W ：二次函数的性质．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用． 【分析】利用条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x+y=1，如此x 2+y 2=x 2+〔1﹣x 〕2=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，如此令f 〔x 〕=2x 2﹣2x+1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f 〔〕==．最大值为：f 〔1〕=2﹣2+1=1． 如此x 2+y 2的取值X 围是：[，1]． 故答案为：[，1]．【点评】此题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以与计算能力．2〔2017某某〕a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，如此a 的取值X 围是___________．【考点】3H ：函数的最值与其几何意义．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质与应用． 【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：〔﹣∞，]．【点评】此题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3〔2017新课标Ⅲ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕f x=│x+1│–│x–2│.函数()f x≥1的解集；〔1〕求不等式()f x≥x2–x +m的解集非空，某某数m的取值X围.〔2〕假如不等式()【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质与应用；5T ：不等式．【分析】〔1〕由于f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f〔x〕≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f〔x〕≥1的解集；，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x，分x≤1、﹣1〔2〕依题意可得m≤[f〔x〕﹣x2+x]max=，从而可得m的取值X围．＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g〔x〕max【解答】解：〔1〕∵f〔x〕=|x+1|﹣|x﹣2|=，f〔x〕≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f〔x〕≥1的解集为{x|x≥1}．〔2〕原式等价于存在x∈R使得f〔x〕﹣x2+x≥m成立，，设g〔x〕=f〔x〕﹣x2+x．即m≤[f〔x〕﹣x2+x]max由〔1〕知，g〔x〕=，当x≤﹣1时，g〔x〕=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g〔x〕≤g〔﹣1〕=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g〔x〕=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈〔﹣1，2〕，∴g〔x〕≤g〔〕=﹣+﹣1=；当x≥2时，g〔x〕=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g〔x〕≤g〔2〕=﹣4+2+3=1；综上，g〔x〕=，max∴m 的取值X 围为〔﹣∞，]．【点评】此题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4〔2017新课标Ⅲ理数〕．[选修45：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=│x +1│–│x –2│． 〔1〕求不等式f 〔x 〕≥1的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值X 围．解：〔1〕当1x ≤-时()()()1231f x x x =-++-=-≤无解当12x -<<时()1(2)212111f x x x x x x =++-=--≥≥∴12x <<当2x ≥时()1(2)3312f x x x x =+--=>∴≥综上所述()1f x ≥的解集为 [1,)+∞.〔2〕原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即 2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+由〔1〕知 2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，2()3g x x x =-+-5〔2017新课标Ⅱ文〕[选修4−5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=.证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥； 〔2〕2a b +≤. 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.6〔2017新课标Ⅱ理〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕330,0,2a b a b >>+=．证明：〔1〕55()()4a b a b ++≥； 〔2〕2a b +≤． 【解析】〔1〕()()()()()5565562333344222244++=+++=+-++=+-≥a b ab a ab a b ba b a b ab a b ab a b〔2〕因为()()()()()33223233323+3+3+2++244a +=+++=+≤=+b a a b ab b ab a b a b a b a b所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.7〔2017新课标Ⅰ文数〕[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.解：〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-<≤. 〔2〕当[1,1]x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值X 围为[1,1]-.8〔2017新课标Ⅰ理数〕设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，如此A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【考点】72：不等式比拟大小．【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质与应用；59 ：不等式的解法与应用． 【分析】x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k ＞1．lgk ＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．如此x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比拟出大小关系．应当选：D．【点评】此题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9〔2017新课标Ⅰ理数〕．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕函数f 〔x 〕=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. 〔1〕当a =1时，求不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集；〔2〕假如不等式f 〔x 〕≥g 〔x 〕的解集包含[–1，1]，求a 的取值X 围.【解析】〔1〕当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.①10〔2017某某文〕假如a ，b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为 .【考点】7F ：根本不等式．【专题】34 ：方程思想；4R ：转化法；5T ：不等式．【分析】【方法一】两次利用根本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即， 即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=〞；∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】此题考查了根本不等式的应用问题，是中档题．11〔2017某某理〕假如,a b ∈R ，0ab >，如此4441a b ab++的最小值为___________. 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥，当且仅当21a b ==时取等号 12〔2017某某文〕假如直线1(00)x y a b a b+=＞，＞ 过点〔1,2〕,如此2a +b 的最小值为 .【答案】8〔7〕〔2017某某理〕假如0a b >>，且1ab =，如此如下不等式成立的是 〔A 〕()21log 2a b a a b b +<<+〔B 〕()21log 2a b a b a b<+<+〔C 〕()21log 2a b a a b b +<+<〔D 〕()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B【解析】221,01,1,log ()log 1,2a b a b a b ><<∴<+>= 12112log ()a b a a b a a b b b+>+>+⇒+>+，所以选B.13〔2017某某〕某公司一年购置某种货物600吨，每次购置x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，如此x 的值是 ▲ ．【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.14(2017年某某卷)［选修4-5：不等式选讲］〔本小题总分为10分〕,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【解析】由柯西不等式可得22222()()()a b c d ac bd ++≥+， 即2()41664ac bd +≤⨯=，故8ac bd +≤.15〔2017理〕能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．假如a ＞b ＞c ，如此a +b ＞c 〞是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【考点】FC ：反证法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，举例即可，此题答案不唯一【解答】解：设a，b，c是任意实数．假如a＞b＞c，如此a+b＞c〞是假命题，如此假如a＞b＞c，如此a+b≤c〞是真命题，可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，〔答案不唯一〕，故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】此题考查了命题的真假，举例说明即可，属于根底题．16.〔2017•新课标Ⅲ文数〕设x，y满足约束条件如此z=x﹣y的取值X围是〔〕A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11 ：计算题；31 ：数形结合；35 ：转化思想；5T ：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的X围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A〔0，3〕，由解得B〔2，0〕，目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值X围：[﹣3，2]．应当选：B．【点评】此题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以与可行域的作法是解题的关键．。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
022 不等式 - 副本
专题03 不等式（高考押题）2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1.若a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．ln a >ln bB ．0.3a >0.3bC ．a >bD.3a >3b2.设a ＝lg e ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解析 0<lg e<1，即0<a <1，b ＝(lg e)2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lg e ＝12a <a ， 又b ＝(lg e)2<lg10lg e ＝12lg e ＝c ，因此a >c >b .故选B. 答案 B3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析 (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立， 即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立． ∴x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，∴－12<a <32，故选C. 答案 C4．函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}5．已知点A (－2，0)，点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0上的一个动点，则|AM |的最小值是( )A ．5B ．3C ．2 2D. 655解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域如图，结合图象可知|AM |的最小值为点A 到直线2x ＋y －2＝0的距离，即|AM |min ＝|2×（－2）＋0－2|5＝655.答案 D6．如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析 不等式组表示的可行域如图，A (1，2)，B (1，－1)，C (3，0)∵目标函数z ＝kx －y 的最小值为0，∴目标函数z ＝kx －y 的最小值可能在A 或B 时取得； ∴①若在A 上取得，则k －2＝0，则k ＝2，此时，z ＝2x －y 在C 点有最大值，z ＝2×3－0＝6，成立；②若在B 上取得，则k ＋1＝0，则k ＝－1，此时，z ＝－x －y ，在B 点取得的应是最大值， 故不成立，∴k ＝2，故答案为B.答案 B7．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1)C ．(－1，22－1)D ．(－22－1，22－1) 解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0， 解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)，∴k ＋1<22，即k <22－1. 答案 B8．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82学优高考网9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n 2＋n ＋22D ．n 2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n （n ＋1）2＝n 2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案 C11．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜ba B.b －ac ＞0 C.b 2c <a 2c D.a －c ac ＜0解析：∵c <b <a 且ac <0，∴c <0，a >0，∴c a <b a ，b －ac >0，a －c ac <0， 但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c <a 2c 不一定成立．答案：C12．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝⎛⎭⎫－13，即⎩⎨⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a <0，不等式x 2－bx －a <0可化为1a x 2－b a x －1>0，即－16x 2＋56x －1>0，解得2<x <3.答案：A13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且1x ＋ay ≥4对任意的x ，y ∈(0,1)恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4] B ．4，＋∞) C ．(0,1] D ．1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－x )的图象可以为( )解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B15．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6B ．4 2C ．2 2D ．2 6解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32时，等号成立．故选B. 答案：B16．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0x －y ≥02x －y －2≥0，则z ＝y －1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，13B.⎣⎡⎦⎤－12，13C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞D.⎣⎡⎭⎫－12，1解析：由题知可行域如图阴影部分所示，∴z ＝y －1x ＋1的取值范围为k MA,1)，即⎣⎡⎭⎫－12，1.答案：D17．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a ”是“0<ab <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D18．已知函数y ＝x －4＋9x ＋1(x >－1)，当x ＝a 时，y 取得最小值b ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．2C ．3D ．8解析：y ＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5，因为x >－1，所以x ＋1>0，9x ＋1>0.所以由基本不等式，得y ＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2x ＋1·9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即(x ＋1)2＝9，即x ＋1＝3，x ＝2时取等号，所以a ＝2，b ＝1，a ＋b ＝3.答案：C19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( ) A ．－4,2] B ．(－4,2) C ．－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．故选B.答案：B20．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 解析：x 2＋ax －2>0，即ax >2－x 2. ∵x ∈1,5]，∴a >2x －x 成立．∴a >⎝⎛⎭⎫2x －x min .又函数f (x )＝2x －x 在1,5]上是减函数，∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝25－5＝－235，∴a >－235.故选A. 答案：A21．已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg xy ≤2，2≤lg x 3y ≤3变形，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lg x －lg y ≤2，2≤3lg x －12lg y ≤3，令⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg y ＝a ，3lg x －12lg y ＝b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＝2b －a 5，lg y ＝2b －6a5.∴lgx 33y＝3lg x －13lg y＝3·2b －a 5－13·2b －6a 5 ＝1615b －15a .由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤2，2≤b ≤3， 得⎩⎨⎧－25≤－15a ≤－15，3215≤1615b ≤165.∴2615≤1615b －15a ≤3， 即2615≤lg x 33y ≤3.∴lgx 33y的取值范围是⎣⎡⎦⎤2615，3. 22．据调查，湖南某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3 000元．为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作．据统计，如果有x (x >0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x %，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000 a 元(a >0为常数)．(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？ 解 (1)据题意，得(100－x )·3 000·(1＋2x %)≥100×3 000， 即x 2－50x ≤0，解得0≤x ≤50. 又x >0，故x 的取值范围是(0，50]．(2)设这100万农民的人均年收入为y 元，则y ＝ （100－x ）×3 000×（1＋2x %）＋3 000ax100 ＝－60x 2＋3 000（a ＋1）x ＋300 000100＝－35x －25(a ＋1)]2＋3 000＋375(a ＋1)2(0<x ≤50)． ①若0<25(a ＋1)≤50，即0<a ≤1， 则当x ＝25(a ＋1)时，y 取最大值；②若25(a ＋1)>50，即a >1，则当x ＝50时，y 取最大值．答：当0<a ≤1时，安排25(a ＋1)万人进入加工企业工作，当a >1时，安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．23．某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品 3 9 4 B 产品1045已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.目标函数为 z ＝7x ＋12y .作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20， 24)时z 取最大值．∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．24．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．25．设函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)设F (x )＝ax 2＋f ′(x )(a ∈R )，讨论函数F (x )的单调性；(3)斜率为k 的直线与曲线y ＝f ′(x )交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，求证：1x 2<k <1x 1.(1)解 f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0. ∴当x ＝1e 时，f (x )min ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)解 F (x )＝ax 2＋ln x ＋1(x >0)， F ′(x )＝2ax ＋1x ＝2ax 2＋1x (x >0)，当a ≥0时，恒有F ′(x )>0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令F ′(x )>0，得 2ax 2＋1>0， 解得0<x <－12a ；令F ′(x )<0，得2ax 2＋1<0， 解得x >－12a .综上，当a ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a <0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递减．①令函数g (t )＝t －1－ln t (t ≥1)，则g ′(t )＝1－1t ≥0(t ≥1)，故g (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，g (t )＝t －1－ln t >g (1)＝0， 即t －1>ln t (t >1)成立．②令函数h (t )＝t ln t －(t －1)(t ≥1)， 则h ′(t )＝ln t ≥0(t ≥1)，故h (t )在1，＋∞)上是增函数，∴当t >1时，h (t )＝t ln t －(t －1)>h (1)＝0， 即t －1<t ln t (t >1)．由①②知(*)成立，得证．。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解2---不等式的解法
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
【知识网络】一元二次不等式解法不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅要点诠释：一元二次不等式的步骤：（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a >（2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点二、高次不等式的解法高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1, x2, ……,xn 是互不相等的实常数）叫做一元n 次不等式(n ∈N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x 轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x 轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x 的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式.要点诠释：(1))(x f >)(x g ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(x g x f x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(x g x f x g(2))(x f >g(x) ⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 或 ⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f ⇔⎩⎨⎧>≥)()(0)(2x g x f x g 或⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f (3))(x f <g(x) ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f 要点四、指对不等式的解法解法指导：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性. 要点诠释：(1))()(x g x f a a >(a>0,a ≠1).当0<a<1时，f(x)<g(x); 当a>1时，f(x)>g(x). (2)m ·(a x )2+n ·(a x )+k>0.令a x =t(t>0)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.(3)log a f(x)>log a g(x) (a>0, a ≠1).当0<a<1时，⎩⎨⎧<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧<>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x f x g x f x g x f当a>1时，⎩⎨⎧>>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>>)()(0)()()(0)(0)(x g x f x g x g x f x g x f(4) 0)(log ))((log 2>+⋅+⋅k x f n x f m a a .令log a f(x)=t(t ∈R)，转化为mt 2+nt+k>0，先求t 的取值范围，再确定x 的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集。
2017年高考试题分类汇编(不等式)
2017年高考试题分类汇编（不等式）考点1 解不等式或不等式的证明 考法1 解不等式1.（2017·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则A ．32AB x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ B.A B =∅C ．32A B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭ D.A B R =2.（2017·全国卷Ⅰ·理科）已知集合{}1A x x =<,{}31x B x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅ 3.（2017·全国卷Ⅰ·理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3] 4.（2017·天津卷·文科）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考法2不等式的证明1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<2.（2017·天津卷·理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a << 3.（2017·北京卷·文科）能够说明“设,,a b c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为_____________．4.（2017·山东卷·理科）已知命题p :任意0x >，ln(1)0x +>；命题q :若a b >,则22a b >.下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝5．（2017·山东卷·理科）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．21log ()2a b a a b b +<<+B ．21log ()2a b a b a b <+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+<D ．21log ()2a ba b a b +<+<6.（2017·山东卷·文科）已知命题p ：存在x R ∈:210x x -+≥；命题q ：若22a b <,则a b <.下列命题为真命题的是A.p q ∧B.C.p q ⌝∧D.p q ⌝∧⌝ 考点2 简单线性规划1.（2017·全国卷Ⅰ·理科）设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 .2.（2017·全国卷Ⅲ·理科）若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y=-的最小值为____．3.（2017·全国卷Ⅲ·文科）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A.[]3,0-B.[]3,2-C.[]0,2D.[]0,34.（2017·北京卷·文理科）若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为 A.1 B.3 C.5 D.95.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．96.（2017·天津卷·理科）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩,则目标函数z x y =+的最大值为A.23B.1C.32D.3 7.（2017·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最大值是A ．0B ．2C ．5D ．68.（2017·山东卷·文科）已知,x y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的最大值是A.3-B.1-C.1D.39.（2017·浙江卷）若,x y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+->⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的取值范围是A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞10.（2017·全国卷Ⅰ·文科）设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则z x y =+的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 考点3 不等式选讲1.（2017·全国卷Ⅰ·文理科）已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.2.（2017·全国卷Ⅱ·文理科）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （Ⅰ）55()()4a b a b ++≥； （Ⅱ）2a b +≤．3.（2017·全国卷Ⅲ·文理科）已知函数()12f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式()1f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。
备战2017高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题二 不等式的解法 含解析
I ．题源探究·黄金母题【例1】求不等式错误!未找到引用源。
的解集． 【解析】注意到错误!未找到引用源。
，所以原不等式的解集为错误!未找到引用源。
．精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第78页例1．【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点． 【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考上海理数】设x 错误!未找到引用源。
，则不等式 错误!未找到引用源。
的解集为__________．【答案】(2,4)．【解析】由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)．【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，再进一步求解．本题也可利用平方法． 【例3】【2015高考江苏，7】不等式错误!未找到引用源。
的解集为________．【答案】错误!未找到引用源。
【解析】由题意得：错误!未找到引用源。
，解集为错误!未找到引用源。
【命题意图】本题主要考查指数不等式与一元二次不等式的解法． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．【难点中心】解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．III ．理论基础·解题原理考点一 一元二次不等式我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是2的不等式叫做一元二次不等式．当错误!未找到引用源。
时，（1）若方程错误!未找到引用源。
的两实根分别为错误!未找到引用源。
，则不等式错误!未找到引用源。
的解集为错误!未找到引用源。
或错误!未找到引用源。
，不等式错误!未找到引用源。
的解集为错误!未找到引用源。
；（2）若方程错误!未找到引用源。
的两实根分别为错误!未找到引用源。
高三数学一轮复习——不等式的解法3
1 • x 2 • (5 − x 2 ) < 1 4
转下页
{
(5 − x ) x > 0
2 2
等价吗？ 等价吗？
{x
1 2 2 • x • (5 − x ) < 1 4
{
5 − x2 > 0
2 2 2
且
x≠0
( x ) − 5x + 4 > 0
− 5<x<0
2
{ x < −2
∴ 数轴
− 5< x<0
t > 8或 t < −
5
x +1
+ 256 < 5 • (2 )
所以原不等式的解 集为：
{x
x > 2}
(舍去)
2 x +1 > 8 = 23
x +1 > 3
∴
x>2
想一想，你能不能解出来？
例4:解不等式：
1 log 1 (5 − x ) + log 2 2 + 2 > 0 x 2
2
或
1 log 2 5 − x2
log a x − 1 > 3 − log a x
解:
（a>0,且a≠1) 且
{ {
原不等式等价于:
3 − loga x ≥ 0
或
log a x − 1 > (3 − log a x) 2 ∴ log a x > 2 2 3 − log x < 0 即: log a x > log a a
∴2 < log a
不等式的解法3 不等式的解法
无理不等式，指数、对数 无理不等式，指数、 不等式的解法
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
专题2 命题真假的判断 跳出题海之高中数学必做黄金100题 (解析版
第2 题命题真假的判断所以，AB ⊂α，即l3 ⊂α，命题p1为真命题；命题p4 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假②四种命题的真假关系同一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，互为逆否命题的两个命题同真假；互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系．因此任何一个命题的原命题、否命题、逆命题和逆否命题这四个命题中，真命题与假命题的个数总是偶数．考点二含有逻辑联结词命题真假的判断逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．（1）复合命题有三种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （⌝p ）．（2）复合命题的真假判断：“p 或q ”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p 且q ”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p ”形式复合命题的真假判断方法：真假相对．（3）含逻辑联结词命题真假的等价关系：① p ∨q 真⇔p , q 至少一个真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；②p ∨q 假⇔p , q 都假⇔(⌝p)∧(⌝q)真；③p ∧q 真⇔p , q 都真⇔(⌝p)∧(⌝q)假；④ p ∧q 假⇔p , q 至少一个假⇔(⌝p)∨(⌝q)真；( ) 0 0 0【答案】B【解析】对于①中，当 x = 2 时， x 2 = 2 为有理数，故①错误；对于②中，若 a ⋅ b = 0 ，可以有 a ⊥ b ，不一定要 a = 0 或b = 0 ，故②错误；对于③中，命题“若 x 2 + y 2 = 0 ， x ∈ R ， y ∈ R ，则 x = y = 0 ”为真命题， 其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中， f (-x ) =e - x - e x -x= e x - e - x =x (x ) ，且函数的定义域是(-∞, 0) (0, +∞) ，定义域关于原点对称，e x - e - x所以函数 f x =是偶函数，故④正确. x综上，真命题的个数是2 .故选：B.3.（2020·广西兴宁）以下四个命题：①若 p ∧ q 为假命题，则 p ，q 均为假命题；②对于命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0, 则⌝p 为： ∀x ∉ R, x 2 + x +1 0; ；③ a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件；④ f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 为偶函数的充要条件是ϕ= π2其中真命题的个数是（ ）fx x【答案】A【解析】对①，若 p ∧ q 为假命题，则 p , q 中至少一个为假命题，故①错误；对②，命题 p : ∃x ∈R, x 2+ x +1 < 0 的否定为⌝p : ∀x ∈ R, x 2 + x +1 0 ，故②错误；对③，当 a = 2 时，函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数；当函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥)上为增函数时， a > 1，即 a = 2 是函数 f (x ) = log a x 在区间(0, +¥ )上为增函数的充分不必要条件，故③正确；对④，当ϕ=3π时， f (x ) = sin⎛ 3π+ωx ⎫= -cos ωx ， f (-x ) = -cos(-ωx ) = -cos ωx = f (x ) ，此时 22 ⎪ ⎝ ⎭函数 f ( x ) = sin (ωx +ϕ) 也是偶函数，故④错误；故选：A4.（2020·安徽省六安中学） 已知命题 p ： ∃x ∈ R ，x - 2 > 0 ；命题q ： ∀x ≥ 0 ， < x ，则下列说法中正确的是A ．p ∨ q 是假命题 B ．p ∧ q 是真命题C ． p ∧ (⌝q ) 是真命题D ． p ∨ (⌝q ) 是假命题【答案】C【解析】命题 p ， ∃x 0 = 3, x 0 - 2 > 0 ，即命题 p 为真，对命题 q ，去x = 1 , = 1 > x = 1，所以命题 q 为假， ⌝p 为真 424所以 p ∧ (⌝q ) 是真命题故选：C.5.（2020·安徽相山高三）下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2 = 1 ，则x = 1 ”的否命题为：“若x2 = 1 ，则x ≠ 1”．B.若p ∨q 为真命题，则p, q 均为真命题.C.命题“存在x ∈R ，使得x2 +x +1 < 0 ” 的否定是：“对任意x ∈R ，均有x2 +x +1< 0 ”．D.命题“若x =y ，则sin x = sin y ”的逆否命题为真命题．【答案】D【解析】对于A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；对于B．若p∨q 为真命题，则p 与q 至少有一个为真命题，因此不正确；对于C．“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确对于D．由于命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，正确．故选D．6.（2020·安徽金安）下列结论正确的个数为（）①设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件；②已知命题p : ∀x > 0 ，总有(x+1)e x>1，则⌝p : ∃x ≤ 0 ，使得(x+1)e x0 ≤1；0 0③已知函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，其图象过点(0, 3) ，则其对称中心为2 ⎪2⎝⎭⎛kπ-π⎫4 6 , 0 ⎪(k ∈Z ) ；⎝⎭④已知随机变量ξ~ N(1,δ2 )，若P(ξ< 3) = 0.6 ，则P(-1 <ξ< 1) = 0.1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①，根据面面平行的判定知，由“ m//β”不能推出“α//β”，根据面面平行的性质知由“α//β”可得到“ m//β”，所以“ m//β”是“α//β”的必要而不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题p : ∀x > 0 ，总有(x +1)e x > 1 ，则⌝p : ∃x0 >0 ，使得(x+1)e x0 ≤1，故②不正确；对于③：因为函数y = tan(ωx +ϕ) ⎛ω> 0,|ϕ|<π⎫的最小正周期为π，所以ω= 2 ，2 ⎪2⎝⎭又其图象过点(0, 3) ，所以tanϕ= 3 ，所以ϕ=π，所以y = tan(2x +π，) 3 3令2x +π=kπ(k ∈Z ) ，得x =kπ-π, k ∈Z ，所以其对称中心为⎛kπ-π0 ⎫(k ∈Z )，故③正确；3 24 6 4 6, ⎪⎝⎭对于④，因为随机变量ξ~ N(1,δ2 )，所以P(ξ<1)=0.5，又P(ξ< 3) = 0.6 ，所以P(1 <ξ< 3) = 0.6 - 0.5 = 0.1 ，所以P(-1 <ξ< 1) =P(1 <ξ< 3) = 0.1 ，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.2 a 2 2 2【答案】A【解析】令 f (x ) = e x + x ，则易知 f (x ) = e x + x 在 R 上单调递增，所以当 x < 0 时， f (x ) = e x + x < 1 < 2 ，即e x < 2 - x ；因此命题 p : ∃x ∈ R , 2 - x > e x为真命题； 由 a > 0 得 a 2 +1 > 1；所以，当 a > 1时， log a (a + 1) > 0 ；当0 < a < 1时， log a (a + 1) < 0 ；因此，命题 q : ∀a ∈ R + ，且a ≠ 1, log (a 2+1) > 0 为假命题； 所以命题 p ∧ ⌝q 是真命题.故选 A8.（2020·全国高三）对于实数 a ，b ，m ，下列说法：①若 a > b ，则am 2 > bm 2 ；②若 a > b ，则 a | a |> b | b | ； ③若b > a > 0, m > 0 ，则a + m > a ；④若a >b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，则 2a + b 的最小值为 ．其 b + m b 中是真命题的为（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】对于①，当 m = 0 时， am 2 = bm 2 = 0 ，所以①是假命题．对于②，当 a > 0 时， a | a |> b | b | 成立；当 a < 0 时， a a > b b 等价于- a 2 > - b 2 ，即a 2 < b 2 ，因为b < a < 0 ，所以a 2 < b 2 ，所以 a | a |> b | b | 成立；当 a = 0 时， b < 0 ，所以a a > b b 成立．所以②是真命题．2 2 对于③，因为b > a > 0, m > 0 ，所以a + m - a = (a + m )b - (b + m )a = (b - a )m > 0 ，所以 a + m > a ， b + m b (b + m )b (b + m )b b + m b所以③是真命题．对于④，因为 a > b > 0 ，且| ln a |=| ln b | ，所以 a > 1 > b > 0 ，且ln a = - ln b ，所以 ab = 1 ，因为2a + b = 2a + 1 ≥ 2 ，当且仅当 2a = 1 ，即 a = 2 时成立， 2 < 1，不合题意，所以 2a + b 的最小 a a 2 2值不是2 ，又由⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 ，因为 a > 1，所以⎛ 2a + 1 ⎫' = 2 - 1 > 0 ， a ⎪ a 2 a ⎪ a 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 y = 2a + 1 是 a 的增函数， 2a + 1在 a > 1时没有最小值．所以④是假命题． a a故选：B.9.（2020·厦门市湖滨中学）给出下列四个命题：①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为64 ；②“平面向量 a , b 的夹角为锐角，则 a ⋅b > 0 ”的逆命题为真命题；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0) ，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x + 1”；④ a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y - 1 = 0 平行的必要不充分条件． 其中正确的命题个数是（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4【答案】B【解析】①若样本数据 x 1 , x 2 , x 10 的方差为16 ，则数据 2x 1 -1, 2x 2 -1, 2x 10 -1 的方差为 22 ⨯16 = 64 ，a 2 a a故①正确；②命题的逆命题为：“若 ⋅ b > 0 ，则平面向量, b 的夹角为锐角”，为假命题， 当向量夹角为 0 度时，满足⋅ b > 0 ，故②错误；③命题“ ∀x ∈(-∞, 0)，均有e x > x +1 ”的否定是“ ∃x ∈(-∞, 0) ，均有e x ≤ x +1 ”，故③正确；④当 a = 0 时，直线方程分别化为： x + 1 = 0, x -1 = 0 ，此时两直线平行，当a ≠ 0 时，若两直线平行，则 1 = - 1 , 1 ≠ 1 ，解得 a = -1，a a 2 a a 2综上 a = -1是直线 x - ay + 1 = 0 与直线 x + a 2 y -1 = 0 平行的充分不必要条件，故④错误.故选 B.10.【多选题】（2020·山东临沂）下列命题正确的是（ ）A ．若随机变量 X ~B (100, p ) ，且 E ( X ) = 20 ，则 D ⎛ 1 X +1⎫ = 5 2 ⎪ ⎝ ⎭B. 已知函数 f( x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在[0, +∞) 上单调递减 f (1) = 0 ，则不等式 f (log 2x ) > 0 的 ⎛ 1 ⎫解集为 , 2 ⎪ ⎝ ⎭C. 已知 x ∈ R ，则“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的充分不必要条件D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 y ˆ = 0.3x - m ，若样本中心点为(m , -2.8) ，则 m = 4【答案】BD【解析】对 A ， E ( X ) = 20 ，∴ 100 p = 20 ⇒ p = 1 ，∴ D ( X ) = 100 ⋅ 1 ⋅ 4= 16 ， 5 5 5故选：BD.对 D ， 样本中心点为(m , -2.8) ，∴ 0.3⋅ m - m = -2.8 ⇒ m = 4 ，故 D 正确；对 C ， x -1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 ，∴“ x > 0 ”推不出“ 0 < x < 2 ”，而“ 0 < x < 2 ”可以推出“ x > 0 ”， ∴“ x > 0 ”是“ x -1 < 1 ”的必要不充分条件，故 C 错误；2x < 1 ⇔ 1 < x < 2 ，故 B 正确； 2 2 ∴ log x < 1 ⇔ -1 < log 对 B ， 函数 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，∴ f (| x |) = f (x ) ， f (log 2 x ) > 0 ⇔ f (| log 2 x |) > f (1) ， ，故 A 错误； 4⎭ ⎪ ⎝ ⎫ 1 2 ⎛ 1 D X +1 = D ( X ) = 4。
备战2020高考黄金100题解读与扩展系列之不等式：专题一 不等式性质的应用
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知0,0,a b c >><求证：c c a d>．【证明】10,0,0a b ab ab>>∴>> ．于是11,a b ab ab ⋅>⋅即11,b a >由0c <，得c c a d>．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修5第74页例1．【母题评析】本题考查了不等式的重要性质．作为基础题，不等式性质的应用，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】熟记不等式常用性质即可！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标I】若101a b c >><<，，则( )A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <【答案】C【解析】用特殊值法．令3a =，2b =，12c =，得112232>，选项A 错误；11223223⨯>⨯，选项B错误；2313log 2log 22<，选项C 正确；3211log log 22>，选项D 错误，故选C ．【命题意图】本题主要考查不等式的性质、指数函数、对数函数、幂函数的性质．本题能较好的考查考生分析问题、解决问题的能力等．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏易，考查基础知识的识记与理解．【难点中心】比较指数式或对数式的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同或幂的指数相同，通常利用指数函数或对数函数或幂函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．本题采用特殊值法．III ．理论基础·解题原理1．比较法原理：0,0,0.a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=2．a b b a >⇔<（反对称性）；3．若,,a b b c >>则a c >（传递性）4．若a b >，则a c b c +>+；5．若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <；6．若,a b c d >>，则a c b d +>+；7．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >；8．若0a b >>，则11a b <；若0a b <<，则11a b>；9．若0a b >>，则(),2nna bn N n >∈≥；10．若0a b >>),2n N n >∈≥．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度较小，往往考查对基础知识的识记与理解．【技能方法】解决此类问题的关键是在不等式的求解证明中，必须在不等式的常见性质体系下进行分析．（1）用作差比较法比较数式的大小关键是变形，常将两个代数式作差后变形为常数或平方和的形式或几个因式积的形式等，常有的变形技巧有因式分解、配方、通分、分母（分子）有理化等．作差比较法的一般步骤：作差——变形——与0比较大小——下结论．（2）当用作差法难以比较数式的大小时，可以试用作商比较法（前提是两个代数式同号）．作商比较法的一般步骤：作商——变形——与1比较大小——下结论．（3）在运用不等式的性质时，一定要掌握它们成立的条件．如两边同乘以（或除以）一个正数，不等号的方向不变，若同乘以（或除以）一个负数，则不等号的方向改变．因此在分式不等式中，若不能肯定分母是正数还是负数，则不要轻易去分母．又如，同向不等式相乘、不等式两边同时乘方或（或开方）时，要求不等式两边都是正数．（4）应用不等式的性质解题的常见类型及方法：①注意观察从已知不等式到目标不等式的变化，它是如何变形的，这些变形是否符合不等式的性质及性质的条件；②若比较大小的两式是指数或对数模型，注意联想单调性；③恰当运用赋值法和淘汰法探究解答选择题、填空题．【易错指导】（1）比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推理都要有充分的依据．（2）不等式性质的等价性：在不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向还是双向，也就是说每条性质是否具有可逆性．（3）由于同向不等式相加或相乘会使范围变大，所以在求有关不等式取值范围的问题时，尽量少用不等式相加或相乘，次数越少越好，最好“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，这是避免出错的一条捷径．V ．举一反三·触类旁通考向1 利用不等式的性质判定大小【例4】【2016高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则 （ ）A ．110x y ->B ．sin sin 0x y ->C ．11()(022xy-<D ．ln ln 0x y +>【答案】C【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数；(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．【跟踪练习1】【长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学】若实数,a b ∈R 且a b >，则下列不等式恒成立的是A ． 22a b > B ． 1ab>C ． 22a b >D ． lg()0a b -> 【答案】C【解析】根据函数的图像与不等式的性质可知：当a b >时，22a b>为正确选项，故选C ．【跟踪训练2】【2016届河南新乡名校学术联盟高三高考押题四文数学】已知x ，y ，z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y x z <<【答案】A【解析】,,x y z 均为正实数，22log 1x x ∴=->，即2log 1x <-，102x ∴<<．212log 2yyy -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1012y⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ，即20log 1y <-<，21log 0y ∴-<<，即112y <<．212log 2zz z -⎛⎫== ⎪⎝⎭，1012z⎛⎫<< ⎪⎝⎭ ，20log 1z ∴<<，即12z <<，所以x y z <<，选A ．考向2 求范围的问题【例5】已知22ππαβ-≤<≤，求的,22αβαβ+-取值范围．【答案】222παβπ+-<<；022παβ--≤<．【解析】,,22424424πππαππβπαβ-≤<≤∴-≤<-<≤．两式相加得222παβπ+-<<．,,424424222πβππβππαβπ--<≤∴-≤-<∴-≤< ．又,0,0222αβπαβαβ--<∴<∴-≤<．【名师点睛】利用不等式的性质可以求参数或某些代数式的取值范围，但在变换过程中要注意掌握、准确使用不等式的性质．求含有字母的代数式的取值范围时，要注意题设中的条件．如本例若忽视αβ<，则会导致取值范围变大．【跟踪练习】已知[0,1],[2,4]a b a b -∈+∈，则42a b -取值范围是 ．【答案】【解析】[0,1],[2,4],42()3()[2,4]3[0,1]a b a b a b a b a b -∈+∈∴-=++-=+ [2,7],=42[2,7].a b ∴-∈考向3 不等式的性质与充要条件【例6】【2016押题卷2课标Ⅱ卷】已知命题p ：R x ∈∀，0312>+x ，命题q ：“20<<x ”是”1log 2<x ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．)(q p ⌝∧D ．()p q ⌝∨【答案】C．【解析】根据指数函数的性质可知，命题p 为真命题；由2log 102x x <⇒<<，所以“20<<x ”是“1log 2<x ”的充要条件，所以命题q 为假命题，所以)(q p ⌝∧为真命题，故选C ．【跟踪练习】【2016全国大联考1课标Ⅱ卷】设,x y R ∈，则4()0x y x -<是x y <的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。
2017高考黄金100题解读与扩展之不等式：专题四 简单的线性规划问题 含解析
I．题源探究·黄金母题【例1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪．1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14g脂肪,花费28元；而1kg食物B含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？【解析】设每天食用x kg实物A，y kg实物B，总成本为z元，则0.1050.1050.075, 0.070.140.06, 0.140.070.06,0,0.x yx yx yxy+≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数为2821.z x y=+二元一次不等式组①等价于精彩解读【试题来源】人教版A 版必5第88—89页例5．【母题评析】本题考查线性规划问题，作为基础题，是历年来高考的一个常考点．【思路方法】解决此类问题的关键是通过线性约束条件，准确作出可行域，再根据目标函数的几何意义解题．775,7146,1476,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域（如图），即可行域．考虑2821z x y =+,将它变形为4321z y x =-+，这是斜率为43-，随z变化的一族平行直线． 是直线在y 轴上的截距,当21z取得最小值时，z 的值最小．当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数2821z x y =+取得最小值．由图可见，当直线2821z x y =+经过可行域上的点M 时,截距21z 最小,即z 最小．解方程组775,1476,x y x y +=⎧⎨+=⎩得点14,77M ⎛⎫⎪⎝⎭,因此，当14,77x y ==时，2821z x y =+取最小值,最小值为16．由此可知每天食用食物A 约143克，食物B 约571克,能够满足日常饮食要求，又使花费最低,最低成本为16元． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016年高考北京理数】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】C ． 【解析】作出如图可行域,则当y x z +=2经过点P 时, 取最大值,而)2,1(P ，∴所求最大值为4,故选C ．【命题意图】本题主要考查线性规划问题．【考试方向】这类试题在考查题型上,通常以选择题或填空题的形式出现，属于容易题．【难点中心】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数,求出最大值与最小值，从而得到相应范围．若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解．如变式2,需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化,得到最优解．【例3】【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为__________．【答案】32．【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max13122z=+=．【命题意图】本题考查简单的线性规划问题． 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，为基础题． 【难点中心】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1）作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域,然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线（等值线是指目标函数过原点的直线）；(3）求出最终结果．III ．理论基础·解题原理1．二元一次不等式的几何意义:二元一次不等式(),,0Ax By C ++><≥≤在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧的所有点的平面区域．对于在直线0Ax By C ++=同一侧的所有点(),x y ，实数Ax By C ++的符号相同,故只需在此直线的某一侧取一个特殊点()00,x y ,由实数00Ax By C ++的符号，即可判断0Ax By C ++>表示直线哪一侧的平面区域．2. 线性规划的有关概念：(1）线性约束条件:在上述问题中，不等式组是一组变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，故又称线性约束条件．(2）线性目标函数:关于,x y 的一次式2z x y =+是欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫线性目标函数．（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．(4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(),x y 叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现,一般难度较小，属于基础题．【技能方法】1．判断二元一次不等式(),,0Ax By C ++><≥≤表示的平面区域的方法:（1)特殊点法(线定界，点定域）；(2)符号判断法(同上异下)．2。
2017版高考数学课件：6.2 不等式的解法
第七页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
当-1<m<- 1时,有1<- <12,则对任意x∈[1,2], f(x)≥0恒成立等价于
2
m
f
f
(1) 0, 即
(2) 0,
4mm350,0,解得m≥-
5, 4
所以-1<m<- 1.
2
当m≤-1时,有- 1≤1,此时f(x)在区间[1,2]上为减函数,
而有M∩∁RN=[-1,2].
c
第三页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
2.关于x的不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),则关于x的不等式 集为 ( )
a>x0的b 解 x2
A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
答案 B 不等式ax-b>0的解集是(-∞,1),说明方程ax-b=0的解是1,且a<
即
x
1 a
(x-1)>0.
因为 1<1,所以x>1或x< 1.
a
a
c
iii)当a>0时,原不等式可化为
x
(1ax-1)<0,
①若0<a<1,则 >11,所以1<x< ;1
②若a=1,则 1=1a,不等式无解; a
a
第十五页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
③若a>1,则 1<1,所以 <1x<1.
c
x
|
1
x
,故12 -1<10x<
,解1得x<lg
2
1 2
高考数学命题热点名师解密专题：不等式的性质的解题技巧(理)含答案解析
专题32 不等式的性质的解题技巧一．【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用． 二．【知识要点】1．不等式的定义用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式． 2．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ． 3．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b < a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a+c >b+c ；a >b ，c >d ⇒a+c >b +d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac < bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； (5)倒数法则：a >b ，ab >0⇒11a b<； (6)乘方性质：a >b >0⇒nna b > (n ≥2，n ∈N *)； (7)开方性质：a >b >0n na b >(n ≥2，n ∈N *)；(8)有关分数的性质：若a >b >0，m >0，则 ①真分数的性质：b a <b ＋ma ＋m；b a >b －m a －m(b －m >0)； ②假分数的性质：a b >a ＋mb ＋m；a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab ；变式：a 2＋b 22≥ab ；当且仅当a ＝b 时等号成立；(2)如果a ≥0，b ≥0，则a ＋b 2≥ab ；变式：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．5．(1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝P (定值)，则由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝P 24可知，当a ＝b 时，ab 有最大值P24；(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2ab＝2S可知，当a＝b时，a＋b有最小值2S.三．典例分析（一）由已知条件判断不等式例1．已知条件甲：，条件乙：且，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.练习1．已知，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①取,则，但,故①错；②因,所以,因此；即②正确；③因,所以，故③正确；④因，由，得,所以,故④正确.练习2．有下列四个命题：①已知-1＜a＜b＜0，则0.3a＞a2＞ab；②若正实数a、b满足a+b=1，则ab有最大值；③若正实数a、b满足a+b=1，则有最大值；④∀x，y∈（0，+∞），x3+y3＞x2y+xy2．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①已知﹣1＜a＜b＜0，则0.3a＞1，1＞a2＞ab＞0，即有0.3a＞a2＞ab正确；②若正实数a、b满足a+b＝1，则ab≤（）2，有最大值正确；③若正实数a、b满足a+b＝1，则，有最大值正确；练习3．设，给出下列三个结论：①；②；③．其中所有的正确结论的序号是 ( )A．①③B．①②C．②③D．①②③【答案】B【解析】逐一分析所给的不等式：由于，故，结合可得，说法①正确；由于，故幂函数在区间上单调递减，结合可得，说法②正确；由于，故，对数函数单调递减，故，说法③错误.综上可得：所有的正确结论的序号是①②.本题选择B选项.练习4．已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意在区间内有唯一实数解令，解得，∴函数在区间[1，e]上单调递增，则，则的取值范围为.故选A.（三）作差法比较大小例3．已知，，，则与的大小关系为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以,故选D.练习1．设，，，，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以可得因为，所以递减，所以可得，故选D.练习2．设且，则与的大小关系为( ) A．B．C．与值有关,大小不定D．以上都不正确【答案】A【解析】，，当时,，；当时,；当时,，，综上可得，故选A.练习3．若则下列式子：（1），（2），（3），（4）.其中恒成立的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】(1) =,当a=1,b=-2.时不等式不成立；(2)=当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)恒成立.选项正确.(4),故不正确.故答案为：A.（四）作商法比较大小15．设＜＜＜1，则( )A．a a＜a b＜b a B．a a＜b a＜a b C．a b＜a a＜b a D．a b＜b a＜a a【答案】C【解析】∵＜＜＜1，∴0＜a ＜b ＜1.∴＝aa －b＞1.∴a b ＜a a.∵＝，,0＜＜1，a ＞0，∴＜1.∴a a＜b a.∴a b＜a a＜b a. 故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.练习1．若a ＞0，b ＞0，则p ＝与q ＝a b ·b a的大小关系是( )A ．p≥qB ．p≤qC ．p ＞qD ．p ＜q 【答案】A【解析】,若则，； 若则，∴若则，∴p≥q，故选：A练习2．设ln22a =， ln33b =， ln55c =，则,,a b c 三个数从大到小的排列顺序为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．b c a >> D ．c a b >> 【答案】B 【解析】由题意得．∵，∴b a >．又，∴a c >．∴ b a c >>．选B ．（五）利用不等式性质证明不等式 例5．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”.（1）若是“一阶比增函数”，求实数a的取值范围。
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III．理论基础·解题原理
考点一一元二次不等式
我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是2的不等式叫做一元二次不等式．当错误！未找到引用源。
时，
（1）若方程错误！未找到引用源。
的两实根分别为错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
；
（2）若方程错误！未找到引用源。
的两实根分别为错误！未找到引用源。
，则不等式错
误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
；
（3）若方程错误！未找到引用源。
无实数根，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
．考点二分式不等式
（1）错误！未找到引用源。
；（2）错误！未找到引用源。
；
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
考点三简单的含绝对值不等式
（1）错误！未找到引用源。
；
（2）错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
；
（3）错误！未找到引用源。
；
（4）错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，一般难度中等或偏易，考查一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式的解法．
【技能方法】
（1）利用一元二次方程和二次函数的图像是解一元二次不等式的根；
（2）分式不等式的解法——化为整式不等式求解；
（3）解含绝对值的不等式，去绝对值符号有下列三种常用方法：
①定义法（又称零点分段法）：错误！未找到引用源。
②公式法：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．
③平方法：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
．
解形如错误！未找到引用源。
的不等式，只需将“错误！未找到引用源。
”看成一个整体，即可化成错误！未找到引用源。
型不等式求解．
【易错指导】
（1）对一些表现形式上是一元二次不等式的问题，不要忽视其中的二次项的系数有可能为零的情况，这时可能是一元一次不等式，可能一次项系数也是零，要充分考虑这些可能性．（2）分式不等式化为整式不等式时，应注意原不等式中的分母不为零这一条件．
（3）含绝对值的不等式去绝对值符号时易犯未判断绝对值里面式子的正负而直接去绝对
值符号的错误．在解含绝对值的不等式的变形过程中，应当保证是“同解”变形．
V．举一反三·触类旁通
考向1 一元二次不等式的解法
【例4】【2016全国大联考2课标I卷】设集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于（）
A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C
【名师点睛】（1）若方程错误！未找到引用源。
的两实根分别为错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
；
（2）若方程错误！未找到引用源。
的两实根分别为错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
；
（3）若方程错误！未找到引用源。
无实数根，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
，不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
．【跟踪练习】【2016河北三市联考】若集合错误！未找到引用源。
，集合错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）
A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C．
【解析】由已知可得错误！未找到引用源。
．
考向2 简单分式不等式的解法
【例5】【2016押题卷1山东卷】已知全集为错误！未找到引用源。
，且集合错误！未找到引用源。
则错误！未找到引用源。
等于
（）
A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C
【解析】由题意知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
，∴错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
．【名师点睛】先将分式不等式右边化零，化为以下四种类型之一再等价转化为整式不等式求解：
（1）错误！未找到引用源。
；（2）错误！未找到引用源。
；
（3）错误！未找到引用源。
（4）错误！未找到引用源。
【跟踪训练】不等式错误！未找到引用源。
的解集是．
考向3 简单的绝对值不等式的解法
【例6】【2016山东实验中学打靶测试】关于错误！未找到引用源。
的不等式错误！未找到引用源。
的解集为（）
A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
D．错误！未找到引用源。
【答案】C
【解析】错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，即解集为错误！未找到引用源。
，选C．
【方法归纳】这种绝对值不等式可以用零点分段法．去绝对值符号有下列三种常用方法：
①定义法（又称零点分段法）：错误！未找到引用源。
②公式法：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．
③平方法：错误！未找到引用源。
；错误！未找到引用源。
．
【跟踪训练1】【2016全国大联考1山东卷】若不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
等于————．
【答案】错误！未找到引用源。
．
【解析】显然，当错误！未找到引用源。
时，不合题意，当错误！未找到引用源。
时，
由错误！未找到引用源。
可得错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，因此错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
．【跟踪训练2】【2016辽宁大连八中、二十四中联考】已知错误！未找到引用源。
是定义域为错误！未找到引用源。
的偶函数，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
，那么，不等式错误！未找到引用源。
的解集是．
【答案】错误！未找到引用源。
【解析】
考向4 简单的指数不等式、对数不等式的解法
【例7】【2015-2016学年吉林长春十一中高一上学期期中】不等式错误！未找到引用源。
的解集为．
【答案】错误！未找到引用源。
．
【解析】由于错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，整理得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，因此解集为错误！未找到引用源。
．
【名师点睛】简单的指数不等式（对数不等式）可以利用指数函数（对数函数）的单调性求解．
（1）当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
；
（2）当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
．
【跟踪训练1】【2016年河南八校高三联考】若不等式错误！未找到引用源。
的解集为错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为__________．【答案】错误！未找到引用源。
【跟踪训练2】【2016押题卷1山东卷】函数错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
）满足错误！未找到引用源。
且错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
上的导数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则不等式错误！未找到引用源。
的解集为．
【答案】错误！未找到引用源。
．。