学案15：抛物线(一).doc
高二文科数学抛物线的性质学案
《抛物线的几何性质》导学案教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；焦半径公式2．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点、难点：抛物线的几何性质及其运用教学过程：抛物线不是双曲线的一支二、讲解新课：（1）焦半径公式：；（2）焦点弦公式：；（3）通径公式：；三、典例讲解：【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程例1、已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (3，－23)，求它的标准方程.变式训练1、已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过(2M -，，求它的标准方程。
例2、已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，若抛物线上一动点P 到3(2)2A ，、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程。
变式训练2、抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为0135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
【题型二】有关焦点弦的问题例3、斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。
变式训练3、1.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且5||2AB p =，求AB 所在的直线方程。
2. 过点(41)Q ，作抛物线28y x =的弦AB ，恰被Q 平分，求AB 所在的直线方程。
【题型三】直线与抛物线例4、已知直线l 过点3()2A p p -，且与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点，求直线l 的方程。
变式训练4、抛物线22(0)y px p =>有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是2y x =，斜边长为，求此抛物线的方程。
【题型四】抛物线中的最值问题 例5、如图所示，若A （3，2），F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，求|PF|＋|PA|的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
3.3.2 抛物线的简单几何性质(第1课时)
对称性
对称中心为原点 两条对称轴
对称中心为原点 两条对称轴
无对称中心 一条对称轴
顶点 离心率 决定形状的因素
4个 0<e<1 e 决定扁平程度
2个
1个
e>1
e＝1
e 决定“张口”大小 p 决定“张口”大小
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课时学案
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题型一 抛物线的几何性质
例 1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的
写出△AOB的面积，利用面积列方程求解 . 【解析】 由题意，设抛物线方程为 y2＝2mx(m≠0)，焦点 Fm2 ，0，直线 l：
x＝m2 ，∴A，B 两点坐标为m2 ，m，m2 ，－m，∴|AB|＝2|m|.∵△OAB 的面积为 4， ∴12·m2 ·2|m|＝4，∴m＝±2 2.∴抛物线方程为 y2＝±4 2x.
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探究2
利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点弦：解决焦点弦问题.
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思考题 2 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 ＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3.求这个抛物线的方程.
2.抛物线方程中，参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，2p等于 焦点到抛物线顶点的距离.
3.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系， 所以要注意相互转化.
其准线方程分别为 x＝－3 或 x＝3.
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探究1
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径) 长为 2p；离心率恒等于 1.
抛物线及其标准方程学案
攸县二中高二数学备课组学案执笔人谢庆华课题：抛物线及其标准方程（一）第 1 课时目标1、知识与技能：使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程。
2、方法与过程：要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
重点：抛物线的定义和标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导及抛物线标准方程的四种类型。
教学过程【1】导入新课1、我们在哪些地方见过或研究过抛物线？(举例说明)2、通过多媒体观看实际生活中的与抛物线有关的图片。
3、回顾椭圆与双曲线的第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹(定点F不在定直线l上)，当0＜e＜1时是；当e＞1时是；那么当e=1时，它又会是什么曲线呢？4、简单实验：如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义。
【2】新知探究：1、抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的。
2、抛物线的标准方程：①设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？取过定点F且垂直于l的直线为x轴，设x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)。
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合P={M||MF|=d}。
学案1：2.7.1 抛物线的标准方程
2.7.1抛物线的标准方程学习目标核心素养1．理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2．掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)1．通过抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养．2．借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养．【情境导学】情境引入在某电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——击炮，击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要“走入”抛物线看一看追击炮的弹道曲线．新知初探1．抛物线的定义思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？2．抛物线的标准方程 图形标准方程焦点坐标准线方程⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2思考2：确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个量？思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ 初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)标准方程y 2＝2px (p ＞0)中的p 的几何意义是焦点到准线的距离．( ) (2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) 2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－83．抛物线y 2＝－16x 的焦点坐标为( ) A ．(－4,0) B ．(4,0) C ．(0,4) D ．(0，－4)4．抛物线x 2＝16y 的准线方程为 ．【合作探究】【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点M(－6,6)；(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．[思路探究][规律方法]求抛物线的标准方程主要利用待定系数法，其步骤为：(1)依据条件设出抛物线的标准方程的类型；(2)求参数p的值；(3)确定抛物线的标准方程.提醒：当焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程.[跟进训练]1．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点P(－5,25)到焦点的距离为6，求抛物线的标准方程．[探究问题]1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？2．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？3．抛物线方程中参数p 的几何意义是什么？【例2】 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12．求点M 的轨迹方程．[思路探究] 把|MF |比M 到y 轴的距离大12，转化为|MF |与点M 到x ＝－12的距离相等，从而利用抛物线定义求解．[母题探究]1．(变换条件、改变问法)若本例中点M 所在轨迹上一点N 到点F 的距离为2，求点N 的坐标．2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．[规律方法]抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．【例3】(1)探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是()A．11．25 cm B．5．625 cmC．20 cm D．10 cm(2)某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．[规律方法]求抛物线实际应用的五个步骤(1)建立适当的坐标系．(2)设出合适的抛物线方程．(3)通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求出需要求出的量．(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．[跟进训练]2．河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m 时，水面宽为8 m ，一小船宽4 m ，高2 m ，载货后船露出水面上的部分高0．75 m ，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．【学以致用】1．抛物线y 2＝4x 上的点M (4，y 0)到其焦点F 的距离为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．62．抛物线的准线方程为x ＝－4，则抛物线方程为( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．y 2＝16x D ．y 2＝8x 3．若抛物线y 2＝2px (p ≠0)的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则实数p ＝ ． 4．抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．【参考答案】【情境导学】新知初探 1． 抛物线的定义 相等定点F定直线l思考1：[提示] 不一定．当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线；l 不经过点F 时，点的轨迹是抛物线． 2． 抛物线的标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0)思考2：[提示] 确定两个量，一个是p ，另一个是一次项系数的正负． 思考3：[提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 初试身手1．[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)√ 抛物线的标准方程中p (p ＞0)即为焦点到准线的距离．(2)√ 一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴还是负半轴上． (3)× 当定点在直线上时，不表示抛物线． 2．B [由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18．]3．A [y 2＝－16x ，∴p ＝－8，∴p2＝－4，开口方向向左，∴焦点坐标为(－4,0)．]4．y ＝－4 [抛物线的焦点在y 轴上，开口方向向上，故准线方程为y ＝－p2，且2p ＝16，∴p2＝4，∴准线方程为y ＝－4．] 【合作探究】【例1】[解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3，∴抛物线的方程为y 2＝－6x ．若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p ＞0)， 将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y ．综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y ． (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4， ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ． ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y ．综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y ． [跟进训练]1．[解] 设焦点F (a,0)，|PF |＝(a ＋5)2＋20＝6， 即a 2＋10a ＋9＝0，解得a ＝－1，或a ＝－9．当焦点为F (－1,0)时，p ＝2，抛物线的开口向左，其方程为y 2＝－4x ； 当焦点为F (－9,0)时，p ＝18，抛物线开口向左，其方程为y 2＝－36x ．[探究问题]1．[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M ；一个定点F ，即抛物线的焦点；一条定直线l ，即为抛物线的准线；一个定值，即点M 与点F 的距离和M 到l 的距离之比等于1．定点F 不能在直线上，否则，动点M 的轨迹就不是抛物线．2．[提示] 焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”． 3．[提示] 抛物线的标准方程中参数p 的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p 的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误． 【例2】[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12， 所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等． 由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)， 其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． [母题探究]1．[解] 设点N 的坐标为(x 0，y 0)，则|NF |＝2，即⎝⎛⎭⎫x 0－122＋y 20＝4 ①， 又由例题的解析知点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)，故y 20＝2x 0 ②， 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32，y 0＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝32，y 0＝－3，故点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3或⎝⎛⎭⎫32，－3． 2．[解] 如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF |等于点M 到其准线l 的距离|MN |， 于是|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时， |MA |＋|MN |取最小值，亦即|MA |＋|MF |取最小值，最小值为3＋12＝72．这时点M 的纵坐标为2，可设M (x 0,2)， 代入抛物线方程得x 0＝2，即M (2,2)．类型三抛物线的实际应用【例3】(1)B[如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p＞0)．∵A(40,30)在抛物线上，∴302＝2p×40，∴p＝454，∴光源到反光镜顶点的距离为p2＝4542＝458＝5．625(cm)．](2)解：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．即抛物线方程为x2＝－25y．∵每4米需用一根支柱支撑，∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6．由图知，AB是最长的支柱之一．设点B的坐标为(2，y B)，解得y B＝－425，点A的坐标为(2，－4)，∴|AB|＝y B－(－4)＝－425＋4＝3．84，∴最长支柱的长为3．84米．[跟进训练]2．[解]如图所示，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意可知点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y ． 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54． 又知船面露出水面上的部分高为0．75 m ，所以h ＝|y A |＋0．75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2 m 时，小船开始不能通航．【学以致用】1．C [由抛物线y 2＝4x ，得F (1,0)，如图，|FM |＝4＋p 2＝4＋1＝5． ]2．C [抛物线的准线为x ＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线．设方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p 2＝4，p ＝8，抛物线方程为y 2＝16x ．] 3．4 [因为椭圆x 26＋y 22＝1，所以a 2＝6，b 2＝2， 所以c 2＝a 2－b 2＝4，故c ＝2，所以右焦点为(2,0)，所以p 2＝2，p ＝4．] 4．[解] 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10，即9＋p 2＝10，∴p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝－4x ．将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6．∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第三章 抛物线 抛物线的简单几何性质(1)
当且仅当
∴△ 与△
,即
=
=
时,等号成立.
面积之和的最小值是
.
+
≥
×
=
,
9.已知抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为,为坐标原点,为抛物线上一点,且
|| = 4||,△ 的面积为4 3,则抛物线方程为() B
，即直线的斜率为±
或
= −
，故C正确；
(−, )，(−, )，∴ ⋅ = + = − = ，从而∠ = ∘ ，故
A正确；
( + , )，
∴ ⋅ = ( + ) + − ⋅ ( + ) + = + =
在第一象限,则(, ),联立൝
得
= ,
△
所以
△
=
||| |
||| |
= .
5.设抛物线 2 = 2( > 0)的焦点为，点(0,2).若线段的中点在抛物线上，则
3 2
2
=____，到该抛物线准线的距离为____.
解得 = ,∴ = .
(
) = ,
2
14.直线过抛物线: 2 = 2( > 0)的焦点(1,0),且与交于,两点,则 =___,
1
1
1
+
=___.
||
||
[解析]由题意知
= ,从而 = ,
《抛物线及其标准方程》教案
《抛物线及其标准方程》教案《抛物线及其标准方程》教案教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。
下面是小编整理的《抛物线及其标准方程》教案，欢迎大家分享。
《抛物线及其标准方程》教案篇1一、目标1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线。
例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。
到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。
拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有MH=MF,即点M 与定点F和定直线的距离相等。
（也可以用几何画板度量MH，MF的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
2020版高中数学第二章抛物线的几何性质(第1课时)抛物线的几何性质学案新人教B版
第1课时 抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的几何性质知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × ) 2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × ) 3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ ) 4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一 由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m ， 所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以点A 的坐标为(2p,2p )，同理可得B (2p ，－2p )， 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程． 解 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的短轴所在直线为x 轴，∴抛物线的对称轴为x 轴． 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝5，∴a ＝±20. ∴抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究本例中，若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1. 解 由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1， 同理得∠OFB 1＝∠BFB 1，∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可． 跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意． 所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，故选B.3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为________． 答案 10解析 由y 2＝8x ，得p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由焦点弦公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2×x 1＋x 22＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号) 答案 ②⑤解析 由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上， 所以②符合．又因为它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)， 设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也符合． 而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意． 所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴． 解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，x ＝－14aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，0，x ＝14aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，y ＝－14a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14a ，y ＝14a答案 C解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，∴其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析 由题意知|AB |＝2p ，则S △ABP ＝12×2p ×p ＝p 2，又∵2p ＝12，∴p ＝6，S △ABP ＝62＝36.3．抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点为F 1，抛物线C 2：x 2＝12y 的焦点为F 2，则过F 1且与直线F 1F 2垂直的直线l 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －3y －2＝0答案 C解析 由题意知，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 所以直线F 1F 2的斜率为－14，则直线l 的斜率为4.故直线l 的方程为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即4x －y －2＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x答案 C解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.又|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝10， 即p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，点A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．43B ．8C ．83D ．16 答案 B解析 抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，焦点F (2,0)，设A (－2，y 0)，k AF ＝y 0－0－2－2＝－3，则y 0＝43，∴P (x 0,43)，将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝8x ， (43)2＝8x 0，得x 0＝6.由抛物线定义可知|PF |＝|PA |＝x 0＋p 2＝6＋42＝8.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)．∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，消去y ，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0， 经检验当b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. 二、填空题8．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________. 答案 13解析 设P (x,12)，代入y 2＝16x ，得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.9．抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点重合，则m ＝________.答案 13解析 抛物线y ＝116x 2可化为x 2＝16y ，则其焦点为(0,4)，∴3＋m ＝16，则m ＝13.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 32解析 由题意知F (1,0)，且AB 与x 轴不垂直， 则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________． 答案 48 3解析 设一个顶点为(x,2x )，则tan30°＝2x x ＝33，∴x ＝12.∴S ＝12×12×83＝48 3.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得 8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )(x ≥0)，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |min ＝23， 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32 ＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，点F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 M 到准线的距离大于p ，即y 0＋2＞4，∴y 0＞2.15．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标．解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1， 即4x 3－4x 1x 23－x 21－x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．。
抛物线及其标准方程学案
F F F 学校： 沅陵一中 学科：数学 编写人：李 威 审稿人：课题：抛物线及其标准方程（1）高二 班 组 号 姓名 时间 周 课时一、学习目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程二、学习重点抛物线的定义及标准方程三、学习难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）预习要求：阅读教材64页---66页内容。
自学检测： 1. 叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)， 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线。
2.焦点在x 轴正半轴的抛物线的标准方程为 ,其焦点坐标是 ,它的准线方程是 。
3.抛物线的标准方程2y =2px （p >0）中p 的几何意义： 。
4.平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹是（ ）A .抛物线B .直线C .抛物线或直线D .不存在5.抛物线y 2＝3x 的焦点坐标是 ，准线方程是 。
合作探究：探究1 设抛物线焦点F 到准线l 的距离为(0)p p >，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.∙ ∙ ∙x yOFl x y OF l 探究2对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线，你能写出对应的标准方程、焦点坐标、准线方程吗？探究3观察、归纳，寻找四种形式抛物线的异同：相同点不同点图 形标准方程 焦点位置 焦点坐标 准线方程x y O F ly 2=2px（p>0）x 轴正半轴上(2p ,0) x=-2p x yO F l练习反馈: 填 表：典例解析：例1 已知抛物线的标准方程是26y x =, 求它的焦点坐标和准线方程变式1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：⑴ 0522=+x y ； ⑵24x y =；例2 已知抛物线的焦点是F ()3,0，求它的标准方程。
变式2：已知抛物线的焦点F 到准线L 的距离为6。
高中数学同步学案 抛物线
抛物线2．4．1 抛物线及其标准方程预习课本P64～67,思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹叫做抛物线？它的焦点、准线分别是什么？2．抛物线的标准方程有几种形式？分别是什么？[新知初探]1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程 焦点坐标 准线方程y 2＝2px(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p2x 2＝2py(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py(p>0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )(2)抛物线y 2＝20x 的焦点坐标是(0,5)( ) 答案：(1)× (2)×2．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是( ) A ．y ＝12B ．y ＝18C ．x ＝14D ．x ＝18答案：D3．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等,则点P 的轨迹方程为________． 答案：y 2＝8x求抛物线的标准方程[典例] (1)过点M(－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限, ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左,焦点在x 轴上, 设其方程为y 2＝－2px(p>0),将点M(－6,6)代入,可得36＝－2p×(－6), ∴p ＝3．∴抛物线的方程为y 2＝－6x ．若抛物线开口向上,焦点在y 轴上,设其方程为x 2＝2py(p>0), 将点M(－6,6)代入可得,36＝2p×6, ∴p ＝3,∴抛物线的方程为x 2＝6y ．综上所述,抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y ． (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0), ∴抛物线的焦点是F(2,0), ∴p2＝2,∴p ＝4, ∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ． ②∵直线l 与y 轴的交点为(0,－3), 即抛物线的焦点是F(0,－3),∴p2＝3,∴p ＝6, ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y ．综上所述,所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y ．求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程．②直接根据定义求p,最后写标准方程．③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数． [活学活用]求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0；(3)y 2＝ax(a>0)．解：(1)因为p ＝7,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0,准线方程是x ＝72． (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y,因为p ＝15,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110,准线方程是y ＝－110．(3)由a>0知p ＝a 2,所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0,准线方程是x ＝－a 4．抛物线定义的应用[典例] (1)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|＝54x 0,则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)(浙江高考)如图,设抛物线y 2＝4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A ．|BF|－1|AF|－1B ．|BF|2－1|AF|2－1 C ．|BF|＋1|AF|＋1 D ．|BF|2＋1|AF|2＋1[解析] (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－14．因为|AF|＝54x 0,根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF|＝54x 0,解得x 0＝1,故选A ． (2)由图形可知,△BCF 与△ACF 有公共的顶点F,且A,B,C 三点共线,易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC||AC|．由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l 的方程为x ＝－1．∵点A,B 在抛物线上,过A,B 分别作AK,BH 与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y 轴分别交于点N,M ．由抛物线定义,得|BM|＝|BF|－1,|AN|＝|AF|－1．在△CAN 中,BM ∥AN,∴|BC||AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1．[答案] (1)A (2)A抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题．[活学活用]1．已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74解析：选C 根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF|＋|BF|)－14＝32－14＝54． 2．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,如果A,B 在抛物线C 的准线上的射影分别为A 1,B 1,那么∠A 1FB 1为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．2π3解析：选C 由抛物线的定义可知|BF|＝|BB 1|,|AF|＝|AA 1|,故∠BFB 1＝∠BB 1F,∠AFA 1＝∠AA 1F ．又∠OFB 1＝∠BB 1F,∠OFA 1＝∠AA 1F,故∠BFB 1＝∠OFB 1,∠AFA 1＝∠OFA 1,所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2,即∠A 1FB 1＝π2．抛物线的实际应用[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0．04米．若不考虑水下深度, 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[解] 如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系．因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,－2)．设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0),则102＝－2p×(－2),所以p＝25,所以抛物线方程为x2＝－50y,即y＝－150x2．若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x＝8时,y＝－150×82＝－1．28,即船体在x＝±8之间通过,B(8,－1．28),此时B点距水面6＋(－1．28)＝4．72(米)．而船体高为5米,所以无法通行．又因为5－4．72＝0．28(米),0．28÷0．04＝7,150×7＝1 050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1 050吨,而船最多还能装1 000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔．求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(4)求解：求出需要求出的量；(5)还原：还原到实际问题中,从而解决实际问题．[活学活用]如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米．水位下降1米后,水面宽________米．解析：建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x 2＝－2py,则点(2,－2)在抛物线上,代入可得p ＝1,所以x 2＝－2y ．当y ＝－3时,x 2＝6,所以水面宽为26米． 答案：2 6层级一学业水平达标1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．148D ．124解析：选C 将方程化为标准形式是x 2＝112y,因为2p ＝112,所以p ＝124．故到焦点的距离最小值为148．2．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切,则p 的值为( ) A ． B ．1 C ．2D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p 2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切,∴－p 2＝－1,即p ＝2．3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若FP ＝4FQ ,则|QF|＝( )A ．72 B ．52 C ．3D ．2解析：选C 过点Q 作QQ′⊥l 交l 于点Q′,因为FP ＝4FQ ,所以|PQ|∶|PF|＝3∶4,又焦点F 到准线l 的距离为4,所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C ．4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切,与直线y ＝0相切,则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆D ．圆解析：选A 由题意知,圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1,即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线．5．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2,则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x,由于ca＝a 2＋b2a2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2,所以b a ＝3,所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ．抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,所以p22＝2,所以p ＝8,所以抛物线方程为x2＝16y ．6．抛物线x ＝14my 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx,得2p ＝4m,∴p ＝2m,即焦点(m,0)． 答案：(m,0)7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是________． 解析：设点M 的横坐标为x,则点M 到准线x ＝－1的距离为x ＋1, 由抛物线的定义知x ＋1＝10,∴x ＝9, ∴点M 到y 轴的距离为9. 答案：98．对标准形式的抛物线,给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上,②满足,①不满足；设M(1,y 0)是y 2＝10x 上一点,则|MF|＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6,所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0,过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k ＝－2,此时存在,所以④满足．答案：②④9．已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点M(m,－3)到焦点的距离为5,求m 的值、抛物线方程和准线方程．F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2,解：法一：如图所示,设抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0),则焦点准线l ：y ＝p 2,作MN ⊥l,垂足为N,则|MN|＝|MF|＝5,而|MN|＝3＋p 2,3＋p2＝5,即p ＝4．所以抛物线方程为x 2＝－8y,准线方程为y ＝2． 由m 2＝－8×(－3)＝24,得m ＝±26．法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py(p>0),则焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2．∵M(m,－3)在抛物线上,且|MF|＝5, 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y,m ＝±26,准线方程为y ＝2． 10．如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)? 解：如图所示．(1)依题意,设该抛物线的方程为x 2＝－2py(p>0),因为点C(5,－5)在抛物线上, 所以该抛物线的方程为x 2＝－5y ． (2)设车辆高为h,则|DB|＝h ＋0．5, 故D(3．5,h －6．5),代入方程x 2＝－5y,解得h ＝4．05, 所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．层级二 应试能力达标1．过点A(3,0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线D ．抛物线解析：选D 设P 为满足条件的点,则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离,即点P 在以点A 为焦点,y 轴为准线的抛物线上,所以点P 的轨迹为抛物线．故选D ．2．抛物线y 2＝4x 的焦点为F,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为( )A ．2 3B ．4C ．6D ．4 3解析：选D 如图,∵△FPM 是等边三角形． ∴由抛物线的定义知PM ⊥l ． 在Rt △MQF 中,|QF|＝2, ∠QMF ＝30°,∴|MF|＝4, ∴S △PMF ＝34×42＝43．故选D ． 3．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB,则AB 中点到x 轴的最短距离为( ) A ．34 B ．32C ．1D ．2 解析：选D 设AB 的中点为M,焦点为F(0,1)．过M 作准线l ：y ＝－1的垂线MN,过A 作AC ⊥l 于C,过B 作BD ⊥l 于D,则|MN|＝|AC|＋|BD|2＝|AF|＋|BF|2≥|AB|2＝3,所以AB 中点到x 轴的最短距离为3－1＝2,此时动弦AB 过焦点,故选D ．4．设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|＝5．若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0,设点A(0,2),抛物线上点M(x 0,y 0),则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－2,AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2．由已知得,AF ·AM ＝0,即y 20－8y 0＋16＝0,因而y 0＝4,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4． 由|MF|＝5得,⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5,又p ＞0,解得p ＝2或p ＝8,故选C ．5．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA ＋FB ＋FC ＝0,则|FA |＋|FB |＋|FC |＝________．解析：因为FA ＋FB ＋FC ＝0,所以点F 为△ABC 的重心,则A,B,C 三点的横坐标之和为点F 的横坐标的三倍,即x A ＋x B ＋x C ＝3,所以|FA |＋|FB |＋|FC |＝x A ＋1＋x B ＋1＋x C ＋1＝6．答案：66．从抛物线y 2＝4x 上的一点P 引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|＝5,设抛物线的焦点为F,则△MPF 的内切圆的面积为________．解析：如图,∵|PM|＝5, ∴点P 的坐标为(4,4), ∴S △PMF ＝12×5×4＝10．设△PMF 的内切圆圆心为O′,半径为r, ∴S △PMF ＝S △O ′PM ＋S △O ′PF ＋S △O ′MF , 即12(5＋5＋25)r ＝10,解得r ＝5－52, 故△PMF 内切圆的面积为πr 2＝15－552π．答案：15－552π7．已知M 是抛物线y 2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合),F 是其焦点． 求证：以MF 为直径的圆与y 轴相切．证明：如图,过M 作MN ⊥l 于N,交y 轴于点Q,O′是MF 的中点,作O′R⊥y 轴于R ．∵|MF|＝|MN|,|OF|＝|OP|＝|QN|, ∴|O′R|＝12(|OF|＋|QM|)＝12(|QM|＋|QN|) ＝12|MN|＝12|MF|, ∴以MF 为直径的圆与y 轴相切．8．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点,F 为抛物线的焦点．(1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d,A(－1,1),求|PA|＋d 的最小值； (2)若B(3,2),求|PB|＋|PF|的最小值．解：(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x ＝－1． 由抛物线的定义,知|PF|＝d,于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．如图,连接AF,交抛物线于点P,则最小值为22＋12＝5． (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中,得y ＝±12, 因为12>2,所以点B 在抛物线内部．自点B 作BQ 垂直准线于点Q,交抛物线于点P 1(如图)． 由抛物线的定义,知|P 1Q|＝|P 1F|,则|PB|＋|PF|≥|P 1B|＋|P 1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4． 即|PB|＋|PF|的最小值为4．2．4．2 抛物线的简单几何性质预习课本P68～72,思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质？[新知初探]抛物线的简单几何性质类型y 2＝2px(p>0)y 2＝－2px(p>0)x 2＝2py(p>0)x 2＝－2py(p>0)图象性质焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x≥0,y ∈Rx≤0,y ∈Rx ∈R,y≥0x ∈R,y≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O(0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左 向上向下1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线x 2＝2py(p>0)有一条对称轴为y 轴( ) (2)抛物线y ＝－18x 2的准线方程是x ＝132( )答案：(1)√ (2)×2．过抛物线y 2＝8x 的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64 答案：B3．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p>0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上,则p ＝________．答案：4抛物线方程及其几何性质[典例] 已知A,B 是抛物线y 2＝2px(p>0)上不同的两点,O 为坐标原点,若|OA|＝|OB|,且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB 的方程．[解] 如图所示．设A(x 0,y 0),由题意可知,B(x 0,－y 0),又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0是△AOB 的垂心,则AF ⊥OB,∴k AF ·k OB ＝－1, 即y 0x 0－p 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 0x 0＝－1,∴y 20＝x 0⎝⎛⎭⎪⎫x 0－p 2,又y 20＝2px 0,∴x 0＝2p ＋p 2＝5p 2．因此直线AB 的方程为x ＝5p2．根据抛物线的几何性质求抛物线的方程,一般利用待定系数法,先“定形”,再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义,并结合图形,必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F 在x 轴上,直线l 过F 且垂直于x 轴,l 与抛物线交于A,B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于4,求此抛物线的标准方程．解：由题意,可设抛物线方程为y 2＝2ax(a≠0),则 焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0,直线l ：x ＝a 2, ∴A,B 两点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ,⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a , ∴|AB|＝2|a|． ∵△OAB 的面积为4,∴12·a2·2|a|＝4,∴a ＝±22． ∴抛物线方程为y 2＝±42x ．直线与抛物线的位置关系[典例] 若抛物线2．[证明] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y,得x 2－12x ＋16＝0．∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A,B,∴可设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有x 1＋x 2＝12,x 1x 2＝16． ∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝ x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0, ∴OA ⊥OB ,即OA ⊥OB ．将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点,求此直线方程． 解：显然,直线斜率k 存在, 设其方程为y －2＝k(x ＋3),由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x ＋3，y 2＝4x ，消去x,整理得ky 2－4y ＋8＋12k ＝0．① (1)当k ＝0时,方程①化为－4y ＋8＝0,即y ＝2, 此时过(－3,2)的直线方程为y ＝2,满足条件． (2)当k≠0时,方程①应有两个相等实根．由⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，Δ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧k≠0，16－4k 8＋12k ＝0，得k ＝13或k ＝－1．所以直线方程为y －2＝13(x ＋3)或y －2＝－(x ＋3),即x －3y ＋9＝0或x ＋y ＋1＝0．故所求直线有三条,其方程分别为：y ＝2,x －3y ＋9＝0,x ＋y ＋1＝0．抛物线中的最值问题[典例] 在抛物线y 2,并求出距离的最小值． [解] 法一：设p(x 0,y 0)是y 2＝2x 上任一点,则点P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0＋3|2＝y 22－y 0＋32＝|y 0－12＋5|22,当y 0＝1时,d min ＝524,∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1． 法二：设与抛物线相切且与直线x －y ＋3＝0平行的直线方程为x －y ＋m ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，y 2＝2x ，得y 2－2y ＋2m ＝0,∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0,∴m ＝12．∴平行直线的方程为x －y ＋12＝0,此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离,则d min ＝3－122＝524,此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1．解决与抛物线有关的最值问题时,一方面注意从几何方面观察、分析,并利用抛物线的定义解决问题；另一方面,还要注意从代数角度入手,建立函数关系,利用函数知识求解．总之,与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆C 的半径能取到的最大值为________．解析：依题意,结合图形的对称性可知,要使满足题目约束条件的圆的半径最大,圆心位于x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0＜a ＜3),则由条件知圆的方程是(x －a)2＋y 2＝(3－a)2．由⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2＋y 2＝3－a2，y 2＝2x ，消去y 得x 2＋2(1－a)x ＋6a －9＝0,结合图形分析可知,当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a －9)＝0且0＜a ＜3,即a ＝4－6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径是3－a ＝6－1． 答案：6－1层级一学业水平达标1．已知抛物线的对称轴为x 轴,顶点在原点,焦点在直线2x －4y ＋11＝0上,则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－11x B ．y 2＝11x C ．y 2＝－22xD ．y 2＝22x解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中, 令y ＝0得x ＝－112,∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，0,即p 2＝112,∴p ＝11,∴抛物线的方程是y 2＝－22x,故选C ．2．过点(2,4)作直线l,与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点,这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2＝8x 上,∴过点(2,4)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行．3．设O 为坐标原点,F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA ·AF ＝－4,则点A 的坐标为( )A ．(2,±2 2)B ．(1,±2)C ．(1,2)D ．(2,22)解析：选B 设A(x,y),则y 2＝4x,① 又OA ＝(x,y),AF ＝(1－x,－y), 所以OA ·AF ＝x －x 2－y 2＝－4．②由①②可解得x ＝1,y ＝±2．4．过点(1,0)作斜率为－2的直线,与抛物线y 2＝8x 交于A,B 两点,则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1), 即y ＝－2x ＋2．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2－4x ＋1＝0,∴x 1＋x 2＝4,x 1·x 2＝1． ∴|AB|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋416－4＝5×12＝215．5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32,焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0,直线AB 的斜率k ＝33,故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34,代入抛物线方程y 2＝3x,整理得x 2－212x ＋916＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝212．由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12,结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38,所以△OAB 的面积S ＝12|AB|·d＝94．6．直线y ＝x －1被抛物线y 2＝4x 截得的线段的中点坐标是________．解析：将y ＝x －1代入y 2＝4x,整理,得x 2－6x ＋1＝0．由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝6,x 1＋x 22＝3,∴y 1＋y 22＝x 1＋x 2－22＝6－22＝2． ∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),若|AB|＝7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p,即x 1＋x 2＋2＝7,得x 1＋x 2＝5,于是弦AB 的中点M 的横坐标为52． 因此,点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72．答案：728．过抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A,B 两点(点A 在y 轴左侧),则|AF||FB|＝________．解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2,与x 2＝2py 联立得A,B 两点的横坐标为x A ＝－33p,x B ＝3p,故A －33p,16p,B 3p,32p,所以|AF|＝23p,|BF|＝2p,所以|AF||BF|＝13． 答案：139．已知抛物线y 2＝6x,过点P(4,1)引一弦,使它恰在点P 被平分,求这条弦所在的直线方程． 解：设弦的两个端点为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)．∵P 1,P 2在抛物线上,∴y 21＝6x 1,y 22＝6x 2． 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2,代入①得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3．∴直线的方程为y －1＝3(x －4),即3x －y －11＝0．10．已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F,且与抛物线相交于A,B 两点． (1)若|AF|＝4,求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．解：由y 2＝4x,得p ＝2,其准线方程为x ＝－1,焦点F(1,0)．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． (1)由抛物线的定义可知,|AF|＝x 1＋p 2,从而x 1＝4－1＝3．代入y 2＝4x,解得y 1＝±23．∴点A 的坐标为(3,23)或(3,－23)． (2)当直线l 的斜率存在时, 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)． 与抛物线方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，消去y,整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0． ∵直线与抛物线相交于A,B 两点, 则k≠0,并设其两根为x 1,x 2, ∴x 1＋x 2＝2＋4k2．由抛物线的定义可知,|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4．当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝1,与抛物线相交于A(1,2),B(1,－2),此时|AB|＝4, ∴|AB|≥4,即线段AB 的长的最小值为4．层级二 应试能力达标1．边长为1的等边三角形AOB,O 为坐标原点,AB ⊥x 轴,以O 为顶点且过A,B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x 解析：选C 设抛物线方程为y 2＝ax(a≠0)．又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32，12(取点A 在x 轴上方),则有14＝±32a,解得a ＝±36,所以抛物线方程为y 2＝±36x ．故选C ．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于A,B 两点,若它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有两条C ．有无穷多条D ．不存在解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由抛物线的定义,知|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且|AB|min ＝2p ＝4,所以这样的直线有两条．故选B ．3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A,B 两点,若AB 中点的横坐标为2,则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2D ．3解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2>0,得k>－1．则由4k ＋2k2＝4,得k ＝2．故选C ． 4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若MA ·MB＝0,则k ＝( )A ．12B ．22C ． 2D ．2解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y ＝k(x －2),将其代入y 2＝8x,得k 2x 2－4(k 2＋2)x ＋4k 2＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2＋2k 2，x 1x 2＝4.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝k x 1－2，y 2＝k x 2－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2x 1＋x 2＋4]. ③∵MA ·MB ＝0,∴(x 1＋2,y 1－2)·(x 2＋2,y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0,即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．5．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p ＝________；若抛物线C 上一点A 到其准线的距离与到原点距离相等,则A 点到x 轴的距离为________．解析：∵抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),∴p 2＝1,即p ＝2.∵点A 到其准线的距离与到原点距离|OA|相等,且点A 到准线的距离等于|AF|,∴|OA|＝|AF|,∴A 点的横坐标为12,∴y 2A ＝4×12＝2,解得|y A |＝2,即A 到x 轴的距离为 2.答案：226．顶点为坐标原点,焦点在x 轴上的抛物线,截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15,则抛物线方程为________．解析：设所求抛物线方程为y 2＝ax(a≠0),联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2＋(4－a)x ＋1＝0,则Δ＝(4－a)2－16>0,得a>8或a<0．设直线与抛物线的交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝a －44,x 1x 2＝14．所以|AB|＝1＋22[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15, 解得a ＝12或a ＝－4．所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ． 答案：y 2＝12x 或y 2＝－4x7．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k(x ＋1)相交于A,B 两点,O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10 时,求实数k 的值．解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－x ，y ＝k x ＋1消去x,得ky 2＋y －k ＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意,知k≠0,则y 1＋y 2＝－1k ,y 1y 2＝－1．由A,B 在抛物线y 2＝－x 上,可知y 21＝－x 1,y 22＝－x 2,则y 21y 22＝x 1x 2． 因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1,所以OA ⊥OB ．(2)设直线与x 轴交于点N ． 令y ＝0,得x ＝－1,即N(－1,0)．因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON||y 1|＋12|ON|·|y 2|＝12|ON||y 1－y 2|,所以S △OAB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋4＝10． 解得k ＝±16．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F,直线y ＝4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|＝54|PQ|．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一圆上,求l 的方程．解：(1)设Q(x 0,4),代入y 2＝2px 得x 0＝8p ．所以|PQ|＝8p ,|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p．由题设得p 2＋8p ＝54×8p ,解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．所以C 的方程为y 2＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直, 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4m,y 1y 2＝－4． 故AB 的中点为D(2m 2＋1,2m), |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝4(m 2＋1)． 又l′的斜率为－m,所以l′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3．将上式代入y 2＝4x,并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0．设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3＋y 4＝－4m ,y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ,|MN|＝1＋1m2|y 3－y 4| ＝1＋1m2·y 3＋y 42－4y 3y 4＝4m 2＋1 2m 2＋1m2． 由于MN 垂直平分AB,故A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|,从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2,即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4m 2＋122m 2＋1m4．化简得m 2－1＝0,解得m ＝1或m ＝－1．所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(安徽高考)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 解析：选C 由双曲线焦点在y 轴上,排除选项A 、B,选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ,故选C.2．θ是任意实数,则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆解析：选C 由于θ∈R,对sin θ的值举例代入判断．sin θ可以等于1,这时曲线表示圆,sin θ可以小于0,这时曲线表示双曲线,sin θ可以大于0且小于1,这时曲线表示椭圆．3．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1,F 2,若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2,则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2 C.12或2 D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k,|F 1F 2|＝3k,|PF 2|＝2k.若曲线C 为椭圆,则2a ＝6k,2c ＝3k,∴e ＝12；若曲线C 为双曲线,则2a ＝2k,2c ＝3k,∴e ＝32.4．设F 1,F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为2时,PF 1―→·PF 2―→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选B 设P(x 0,y 0),又F 1(－2,0),F 2(2,0),∴PF 1―→＝(－2－x 0,－y 0),PF 2―→＝(2－x 0,－y 0)．|F 1F 2|＝4,S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2,∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1,∴x 20＝3(y 20＋1)＝6,∴PF 1―→·PF 2―→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 准线x ＝－2,Q(－2,0),设l ：y ＝k(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时,x ＝0,即交点为(0,0), 当k≠0时,Δ≥0,－1≤k＜0或0＜k≤1. 综上,k 的取值范围是[－1,1]．6．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B(0,b)和一个焦点F(c,0),则直线l 的方程为x c ＋yb ＝1,即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc|b 2＋c 2＝14×2b ,解得c a ＝12,即e ＝12.故选B.7．已知|AB ―→|＝3,A,B 分别在y 轴和x 轴上运动,O 为原点,OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→,则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1 解析：选A 设P(x,y),A(0,y 0),B(x 0,0),由已知得(x,y)＝13(0,y 0)＋23(x 0,0),即x ＝23x 0,y ＝13y 0,所以x 0＝32x,y 0＝3y.因为|AB ―→|＝3,所以x 20＋y 20＝9,即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y)2＝9,化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.8．(四川高考)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A,B 两点,与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选D 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(5＋rcos θ,rsin θ)则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当直线l 的斜率不存在时,显然符合条件的直线l 有两条． 当直线l 的斜率存在时,可得2rsin θ(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2) ⇒k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2rsin θ.又∵k MC ＝rsin θ－05＋rcos θ－5＝sin θcos θ.∴k AB ＝－1k MC ＝－cos θsin θ.∴2rsin θ＝－cos θsin θ⇒r ＝－2cos θ>2.由于M 在抛物线的内部,∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12. ∴|rsin θ|<2 3.∴|rsin θ|＝r·r 2－4r ＝r 2－4<23⇒r 2<16⇒0<r<4.因此2<r<4.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分) 9．以双曲线x 24－y212＝1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0),顶点(±2,0),故椭圆的焦点为(±2,0),顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y212＝110．设P 是双曲线x 2a 2－y29＝1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,则a ＝________.F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF 1|＝3,则|PF 2|＝________.解析：双曲线x 2a 2－y29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0,故a ＝2.又P 是双曲线上一点,故||PF 1|－|PF 2||＝4,而|PF 1|＝3,则|PF 2|＝7.答案：2 711．设F 1,F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点,P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点,则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4, 设P 点坐标为(x,y)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y|＝12×4×22＝ 2.答案： 212．已知直线y ＝k(x ＋2)(k>0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A,B 两点,F 为C 的焦点,则F 的坐标为________．若|FA|＝2|FB|,则k ＝________.解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0),将y ＝k(x ＋2)代入y 2＝8x,得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0,设A(x 1,y 1), B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8－4k2k 2,x 1x 2＝4,由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x 1＋2＝2(x 2＋2),即x 1＝2＋2x 2,代入x 1x 2＝4,整理得x 22＋x 2－2＝0,解得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)．所以x 1＝4,8－4k 2k 2＝5,解得k 2＝89,又因为k>0,所以k ＝223.答案：(2,0)22313．抛物线y 2＝2px(p>0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1,则p ＝________,抛物线上横坐标为3的点到准线的距离为________．解析：依题意,设抛物线的焦点为F,点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0),则有|QF|＝x 0＋p 2的最小值是p2＝1,则p＝2.横坐标为3的点到准线的距离为3＋p2＝4.答案：2 414．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32.则双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为________,若渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为____________．解析：由题意,双曲线的渐近线方程为y ＝±x.因为椭圆的离心率为32,所以e ＝c a ＝32,c 2＝34a 2＝a 2－b 2,所以b 2＝14a 2,即a 2＝4b 2.代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1,即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1,所以x 2＝45b 2,x ＝±25b,y 2＝45b 2,y＝±25b,则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ,所以四边形的面积为4×25b×25b ＝165b 2＝16,所以b 2＝5,所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.答案：y ＝±x x 220＋y25＝115．已知二次曲线x 24＋y2m ＝1,当m ∈[－2,－1]时,该曲线的离心率的取值范围是________．解析：∵m ∈[－2,－1],∴曲线方程化为x 24－y2－m ＝1,曲线为双曲线,∴e ＝4－m2. ∵m ∈[－2,－1], ∴52≤e≤62.答案：52,62三、解答题(本大题共6小题,共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0,b>0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6,求抛物线的方程和双曲线的方程．解：依题意,设抛物线的方程为y 2＝2px(p>0),∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上,∴6＝2p×32.∴p ＝2,∴所求抛物线的方程为y 2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上, ∴c ＝1,即a 2＋b 2＝1,又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上, ∴94a 2－6b2＝1, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.17．(本小题满分15分)已知抛物线方程为y 2＝2x,在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M,N 两点,O 为坐标原点．若OM ⊥ON,求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋2消去x 得ky 2－2y ＋4＝0.∵直线l 与抛物线相交,。
学案1：2.7.2 抛物线的几何性质
2.7.2抛物线的几何性质学习目标核心素养1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质．(重点)2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(重点、难点)3．掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识．通过抛物线的几何性质的学习，培养直观想象、数学运算素养．【情境导学】情境引入如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形成的抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构成抛物面的线——抛物线的几何性质．新知初探1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点离心率e＝思考1：抛物线x2＝2py(p＞0)有几条对称轴？思考2：抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？思考3：参数p对抛物线开口大小有何影响？2．焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则初试身手1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线是中心对称图形．()(2)抛物线的范围为x∈R．()(3)抛物线关于顶点对称．()(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但离心率都相同．()2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点F的距离是() A．8B．6C．4D．23．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则|AB|＝．4．顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是．【合作探究】【例1】(1)平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的标准方程是．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[规律方法]用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置．不同的焦点设出不同的方程．[跟进训练]1．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线方程．【例2】(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O 为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p ＞0)上，求这个三角形的边长．[规律方法]利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点：解决焦点弦问题．提醒：解答本题时易忽略A，B关于x轴对称而出错．[跟进训练]2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，求抛物线的标准方程．[探究问题]以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，回答下列问题：(1)过焦点F的弦长|AB|如何表示？还能得到哪些结论？(2)以AB为直径的圆与直线l具有怎样的位置关系？(3)解决焦点弦问题需注意什么？【例3】已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝52p，求AB所在直线的方程．[思路探究]根据弦长求出直线斜率，进而求得直线方程．[母题探究]1．(改变问法)本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离．2．(变换条件)本例中，若A 、B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1．[规律方法]解决过焦点的直线与抛物线相交有关的问题时，一是注意直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题，二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用.解题时注意整体代入思想的运用，简化运算.【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的轨迹问题，可以利用抛物线的标准方程，结合抛物线的定义．3．抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，其中x 1，x 2分别是点A ，B 横坐标的绝对值；抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的过焦点的弦长|AB |＝y 1＋y 2＋p ，其中y 1，y 2分别是点A ，B 纵坐标的绝对值．4．求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．【学以致用】1．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．182．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( ) A ．(2，±22)B ．(1，±2)C．(1,2) D．(2,22)4．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是．5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y ＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B．(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．【参考答案】【情境导学】新知初探2．抛物线的几何性质(0,0)1思考1：[提示]有一条对称轴．思考2：[提示]抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．思考3：[提示]参数p(p＞0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．初试身手1．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)×在抛物线中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化．(2)×抛物线的方程不同，其范围不同，y2＝2px(p＞0)中x≥0，y∈R．(3)×(4)√离心率都为1，正确．2．A[∵抛物线的方程为y2＝8x，∴其准线l的方程为x＝－2，设点P(x0，y0)到其准线的距离为d，则d＝|PF|，即|PF|＝d＝x0－(－2)＝x0＋2，∵点P到y轴的距离是6，∴x0＝6，∴|PF|＝6＋2＝8．]3．8[∵y2＝4x，∴2p＝4，p＝2．∵由抛物线定义知：|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．]4．y2＝24x或y2＝－24x[∵顶点与焦点距离为6，即p2＝6，∴2p＝24，又对称轴为x轴，∴抛物线方程为y2＝24x或y2＝－24x．]【合作探究】【例1】(1)y 2＝5x [线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0，与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫54，0， ∴抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫54，0，∴其标准方程是y 2＝5x ．] (2)解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3． [跟进训练]1．[解] 设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点P (x 0，y 0)． 因为点P 到对称轴距离为6，所以y 0＝±6，因为点P 到准线距离为10，所以⎪⎪⎪⎪x 0＋a2＝10． ① 因为点P 在抛物线上，所以36＝2ax 0． ②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，x 0＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，x 0＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x 0＝－9. 所以所求抛物线方程为y 2＝±4x 或y 2＝±36x ．类型二抛物线性质的应用【例2】(1)43 [如图，设A (x 0，y 0)，过A 作AH ⊥x 轴于H ，在Rt △AFH 中，|FH |＝x 0－1，由∠AFO ＝120°，得∠AFH ＝60°，故y 0＝|AH |＝3(x 0－1)，所以A 点的坐标为()x 0，3(x 0－1)， 将点A 坐标代入抛物线方程可得3x 20－10x 0＋3＝0， 解得x 0＝3或x 0＝13(舍)，故S △AKF ＝12×(3＋1)×23＝43．](2)解：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2．又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0．∵x 1＞0，x 2＞0,2p ＞0，∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p ．∴|AB |＝2y 1＝43p ． [跟进训练]2．[解] 由已知得c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，解得ba ＝3．即渐近线方程为y ＝±3x ，而抛物线准线方程为x ＝－p2，于是A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－32p ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，32p ，从而△AOB 的面积为12·3p ·p 2＝3．可得p ＝2，因此抛物线开口向右，所以标准方程为y 2＝4x ．类型三焦点弦问题[探究问题](1) [提示] ①|AB |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点关系)． ②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．③A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝p 24，y 1·y 2＝－p 2．④S △AOB ＝p 22sin θ．⑤1|AF |＋1|BF |＝2p(定值)． (2) [提示] 如图，AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，相应的准线为l ．所以以AB 为直径的圆必与准线l 相切．(3) [提示] 要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．【例3】[解] ∵过焦点的弦长|AB |＝52p ， ∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵y 2＝2px 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0．∴直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋14k 2p 2＝0(k ≠0)， ∴x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k 2，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝k 2p ＋2p k 2＋p ， 又|AB |＝52p ，∴k 2p ＋2p k 2＋p ＝52p ，∴k ＝±2． ∴所求直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p 2． [母题探究]1．[解] 设AB 中点为M (x 0，y 0)，由例题解答可知2x 0＝x 1＋x 2＝32p ， 所以AB 的中点M 到y 轴的距离为34p ． 2．[解] 由例题解析可知AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，即x ＝1k y ＋p 2，代入y 2＝2px 消x 可得y 2＝2p k y ＋p 2，即y 2－2p ky －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2， 由A 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 1，B 1点的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，得kA 1F ＝－y 1p ，kB 1F ＝－y 2p ． ∴kA 1F ·kB 1F ＝y 1y 2p2＝－1，∴∠A 1FB 1＝90°． 【学以致用】1．A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12．] 2．D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x 2＋y 2＝(x －4)2＋y 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝16x ，x ＝2⇒⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2. 所以符合题意的点为(2，±42)．]3．B [由题意知F (1,0)，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，AF →＝⎝⎛⎭⎫1－y 204，－y 0， 由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∴点A 的坐标为(1，±2)，故选B ．] 4．158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14． ∵|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∴y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158．] 5．[解] (1)抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2， 由|PF |＝2得：1＋p 2＝2，得p ＝2． 所以抛物线的方程为y 2＝4x ．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，可得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，Δ＝16k 2＋16＞0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2． ∵直线l 经过抛物线C 的焦点F ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，解得k ＝±1， 所以k 的值为1或－1．。
抛物线及其标准方程学案doc
抛物线及其标准方程学案一、学情分析：学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．二、教学法说明： 1.理解抛物线的概念2．掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形 3．培养学生运用数形结合的思想理解有关问题三、重点和难点 1、教学重点：抛物线的定义及四种标准方程2、教学难点：抛物线定义及标准方程的推导四、教学过程：引入: 1.我们对二次函数 的图象已经有了哪些认识？ 2.展示生活中抛物线的实例 3.抛物线的生成:动画展示从中发现pc pm=,及动点p 到定点F 和到定直线 l 的距离相等1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
（F l ∉）定点F 叫做抛物线的焦点 定直线l 叫做抛物的准线2.复习求曲线方程的步骤（36页）3、推导抛物线标准方程体现不同的坐标系建立方式 ,得出标准方程y 2=2px （p ＞0） 方程y 2= 2px （p ＞0）叫做焦点在X 轴的正半轴上抛物线的标准方程.其中p 为正常数，它的几何意义是：_______________(,0)2p F 焦点:2px =-准线例1:已知抛物线的标准方程是y 2= 4x ，求它的焦点坐标和准线方程；变式1已知抛物线的标准方程是y = 4x 2，求它的焦点坐标和准线方程；变式2已知抛物线的标准方程是y = 4ax 2，求它的焦点坐标和准线方程；例2、求点A （-3，2）的抛物线的标准方程。
本节课收获1。
抛物线的定义，标准方程与其焦点、准线2。
抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判断方法 3。
注重数形结合的思想和分类讨论的思想 作业：课本67页练习1、2、3()20y ax bx c a =++≠。
抛物线及其标准方程教案
抛物线及其标准方程（教案）数学组刘伟教学目标A、知识目标①理解并掌握抛物线的定义。
②根据抛物线定义推导抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程。
B、能力目标①在研究抛物线的定义过程中培养学生严谨、周密的思考能力及抽象概括能力。
②通过选择恰当的坐标系进一步培养学生的直觉判断能力及思维优化意识。
③通过写出不同位置的抛物线的标准方程，培养学生的类比思维能力。
C、情感目标（数学文化功能）①通过函数的图象上点的几何特征的探索，激发学生学习激情，通过新旧知识间的联系体验培养学生自主学习信心和勇气。
②通过学生欣赏抛物线图形的对称性等及图形与方程的统一性质唤起美感意识。
③通过建立坐标系求标准方程的解析思想的训练进一步增强学生解决实际问题的适应性、灵活性。
教学重点和难点1、教学重点：①．抛物线的标准方程。
②．标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系。
2、教学难点：①．应用标准方程的形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系解题。
②．培养学生选择适当坐标系的能力。
教学方法在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理（学生的认知过程是一个同化与顺应的过程），通过类比、对比、和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去（如二次函数与抛物线方程的对比，从移图到适当建立坐标系方法的归纳等）。
设计思想：抛物线是学生非常熟悉的一种曲线，但对它是满足什么条件的动点的轨迹却很陌生．为此，可由椭圆与双曲线的第二定义引入课题，再通过“拉线教具”（flash）的演示引入抛物线的定义，这样可以使学生一开始就看到椭圆、双曲线、抛物线这三种曲线的联系与区别．接着按求曲线方程的步骤推导焦点在x轴正方向上的抛物线的标准方程．再改变坐标系的建立方式，给出另外三种类型的标准方程．通过形数结合的对比，让学生把握抛物线的四类标准方程的图形、焦点和准线的位置，识别它们之间的差异．在解有关抛物线的问题时，要求学生能MKFND′ABCD′迅速写出焦点坐标和准线方程，在练习中反复领会“依形判数”“就数论形”的方法，达到熟练运用标准方程的技能技巧．教学过程：一、引入在讲抛物线的概念时，由椭圆、双曲线的第二定义（统一定义）引入，提出：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹，当e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线，那么当e ＝1时，又是什么曲线呢？接着，用“拉线教具”（flash ）演示．如图，在平板上把三角板较短的直角边BC 紧靠在固定的直尺边缘DD ′上，取一条与另一直角边AC 等长的细线，一端固定在三角板的顶点A 上，另一端固定在平板F 处，然后用铅笔紧靠三角板的AC 的边缘，把细线轻轻拉紧，并将三角板紧靠直尺沿DD ′移动，笔尖M 画出的图形便是抛物线，在此基础上可引入抛物线的定义．二、新授内容：1．在“拉线画抛物线”的基础上，提出抛物线的定义，然后推导抛物线的标准方程．（1）在推导标准方程之前，首先让学生考虑怎样建立坐标系？由定义可知直线KF 是曲线的对称轴，所以把KF 作为x 轴可以使方程不会出现y 的一次项，因线段KF 的中点适合条件，即它在抛物线上，所以以KF 的中点为原点，方程中就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程比较简单．（2）设焦点到准线的距离｜KF ｜＝p （p ＞0），这是抛物线方程中参数p 的几何意义．因为抛物线的顶点是KF 的中点，所以知道了p ，焦点F （2p ，0），准线2p x -=都可以确定了．由于抛物线的标准方程中只有一个参数p ，所以只需一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．（3）由于p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 永远大于零．这点必须向学生强调．以防止以后设错标准形式，而出现p 为负值的错误．2．如果选取坐标系使得抛物线的顶点在原点，对称轴和一条坐标轴重合，那么随着焦点在x 轴或y 轴的正半轴或负半轴的不同情况（课件演示），引导学生得到四种不同的抛物线的标准方程：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py （p ＞0）．由y 2＝2px 的焦点坐标、准线方程和图形，用类比的方法得到y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py 的焦点坐标、准线方程和图形： （1）教学中要通过例题阐明：y 2＝2px 的焦点坐标F （2p ,0），准线方程2p x -=中，2p 是2p 的41（其它三种标准形式也是这样），如：y 2＝6x 中，2p ＝6，23462==p ．所以焦点坐标是F （23，0），准线方程是23-=x ．（2）标准方程有四种形式，要防止如下错误：求过点A （－2，6）的抛物线的标准方程时，设抛物线标准方程为y 2＝2px ，把x ＝－2，y ＝6代入得p ＝－9，所以，抛物线的标准方程为y 2＝－18x ，结果错了，原因是标准方程的设定不全面，正确的思路是根据条件画出示意图，从而确定所求抛物线方程分别为x 2＝2py （p ＞0）或y 2＝－2px （p ＞0）．将A （－2，6）分别代入y x 342=⇒或y 2＝－18x ．在设所求方程时，最好用标准方程，此时注意p ＞0．3.根据上表中抛物线的标准方程与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系，判断抛物线的焦点位置、开口方向的方法：“一次定轴”------ 一次项的变量如果为x（或y），则焦点就在对应的坐标轴上！“符号定向”------ 一次项的系数的符号决定了开口方向: 符号为正, 开口向正方向; 符号为负, 开口向负方向.三、例析：例1．(1) 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，求它的焦点坐标和准线方程；例2．已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程。
抛物线标准方程1
抛物线标准方程（一 ）（学案）教学目标：1、理解抛物线的概念和几何性质2、掌握抛物线的标准方程教学重点：正确理解抛物线的定义，能用定义解题教学难点：掌握抛物线标准方程的4种形式，焦点坐标及准线方程教学过程：（一）课前准备：1、到两定点距离相等的点的轨迹是________________________2、到两相交之间距离相等的点的轨迹是____________________3、思考：到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是____________________（二）新课概念1、抛物线定义：在平面内到一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线。
其中点F 为抛物线的焦点，定直线l 为抛物线的准线。
2、若点F 在l 上，则满足条件的点的轨迹是________________________________3、抛物线标准方程的推导过程（见黑板）4、抛物线标准方程的注意事项：（1）抛物线标准方程的形式是______________（2）抛物线的开口方向由______________决定（3）抛物线的焦点位置和焦点坐标由_____________决定（4）抛物线的准线方程由_________________决定（三）例题选讲例1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82= （2）28y x = （3）y x 82-= （4）28x y -=例2、若动圆O 和直线3-=x 相切并过点)0,3(，求圆O 的圆心轨迹方程例3、点P 和点F )0,5(的距离比它到直线7-=x 的距离小2，求点P 的轨迹方程。
点P 和点F )0,5(的距离比它到y 轴的距离大5，求点P 的轨迹方程。
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学案15：抛物线（一）
班级姓名
1.抛物线的概念：平面内到一个定点尸和一条定直线/（尸不在/上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点
尸叫做抛物线的 _____ ，直线/叫做抛物线的_________ .
2.抛物线的标准方程与几何性质
三、焦点弦及其性质
1.抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。
2.抛物线焦点弦的性质：若抛物线的方程为y2=2px （p>0）,过抛物线的焦点F理，0）的直线交抛物
线于 A （xp y
l ）> B（X2，y
2
）两点，则:
%1yiY2=—p2；
%1X|X2=* ；
%1焦点弦长：IABI=Xi + x2+p；通径：IABI=2p
%1IABI="% （其中。
为直线的倾斜角）；
sin °
IAFI 十旧F| —p ;
%1过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为&、B。
F抛物线的焦点，则匕A/FB，=90°；
%1以弦AB为直径的圆与准线相切。
典例分析
题型一：抛物线的标准方程
例1： (1)己知抛物线标准方程是x = 4)，2,求它的焦点坐标和准线方程.
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0-2),求它的标准方程.
(3)已知抛物线的准线方程为y=2,求抛物线的标准方程。
(3)求经过点A(2-3)的抛物线的标准方程。
变式1：己知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，若抛物线上一动点P到4(2,：)、F两点距离之和的最小值为4,求抛物线C的方程。
题型二：抛物线的几何性质及焦点弦问题
例2： (1)斜率为1的直线/经过抛物线y2 = 4x的焦点，旦与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。
(2).过点2(4,1)作抛物线y2 = 8%的弦AB,恰被Q平分，求AB所在的直线方程。
变式2： (1)过抛物线/=4x焦点作直线交抛物线于人(而，)，J,研习，携，若也+花=6,贝iJIABI=()
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
(2)过抛物线y = (。
〉0)的焦点尸作直线交抛物线于P, Q两点，若线段PF、QF的长分别是p、q,
1=( )
则1
+
p q
1 4
A. 2。
B. —
C. 4。
D.—
la a
题型三：抛物线中的最值问题
例3：若A (3, 2),抛物线y2=2x的焦点F,求|PF| + |PA|的最小值,及取得最小值时点P的坐标。
变式3：定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线)，2 =尤上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求此时AB中点M的坐标。
课后巩固
1、抛物线x2+y=0的焦点位于( ).
A、x轴的负半轴上
B、x轴的正半轴上
C、y轴的负半轴上
D、y轴的正半轴上
2、抛物线y=4ax2(a<0)的焦点坐标为( )
A、(l/4a,0)
B、(0, l/16a)
C、(0,-l/16a)
D、(l/16a, 0) 1 ,
3、抛物线y = 的准线方程为()
A、y=l/32
B、y=2
C、y=T/4
D、y=4
4、抛物线y2=8x的焦点到准线的距离为( )
(A) 2 (B) 4 (C) 16 (D) 32
5、抛物线y2=8x上一点A到y轴的距离为10,则点A到准线的距离为( )
A、 11
B、 13
C、 12
D、 14
6、抛物线y2=2px(p>0)±横坐标为6的点到焦点的距离为8,则焦点到准线的距离为( )
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6
7、顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点(2, -3)的抛物线方程为( )
)9 -> 4 ) 9 、？ 4 ° 9、， 4
A、 y" = — x
B、x"=——y C^ x~二—y或) =——x D、y二一工或x =——y
• 2 3 2 3 2 3
8、抛物线x2=-2py(p>0)±一点p (m, -2)到焦点的距离为4,则m的值为( )
A、-2
B、4
C、2 或-2
D、4 或-4
9、抛物线的顶点在双曲线3x3^12的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的标准方程为( )
A^ y2= - 4x B、、y2= - 8x C> x2= - 9y D^ y2= -18x
10、抛物线y=-4x ± 一点到焦点的距离为4,则它的横坐标为( )
2 3 B、 -3 C、 5 D、 -5
11、方程X2-3X+2=0的两根，可以分别为( )
A 一抛物线和一双曲线的离心率B两抛物线的离心率
C 一抛物线和一椭圆的离心率D两椭圆的离心率
12、抛物线y2= 8x上一点A到焦点的距离为5,则点A的坐标为
13、抛物线x2=-16ky的焦点到准线的距离为2,贝Uk的值为
14、经过P(4, -2)的抛物线标准方程是
15、巳知抛物线y』4x上一点M(x, y)到焦点的距离为10,求点M到准线的距离及M点的坐标。
16..抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线截得的弦长为
8, 试求抛物线的方程。
17.巳知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|ABI=?p，求AB所在的直线方程。
【题型三】直线与抛物线
一、直线与抛物线的位置关系
1.直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。
即把x=my + n
代入 y2=2px (p>0)消去 x 得:y2—2pmy—2pn=0 ①，
当方程①的判别式△ =()<=>直线与抛物线相切；
2.直线与抛物线相交：
(1)直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行；
(2)直线与抛物线有两个不同的交点0方程①的判别式△>()；
3.直线与抛物线相离 <=> 方程①的判别式△ <0。
【例3](1)已知直线/过点A(-|p, p)且与抛物线y2=2px(p>0)R有一个公共点，求直线/的方程。
(2)抛物线)，2=2px(p>0)有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y = 2x,斜边长为5右，求此抛物线的方程。
【题型四】定值问题
【例4】已知过抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点F的直线交抛物线于A(M，乂)，Bg力)两点，
求证：(1) M私为定值；(2) 为定值。
\FA\ \FB\
【题型五】直线过定点问题
【例5】A、B是抛物线y2=2px (p>0)上的两点，且0A10B (0为坐标原点) 求
证：(1)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；
(1)直线AB经过一-个定点；
(2)求0在线段AB上的射影M的轨迹方程。
【例6]抛物线y2 = 2px (p>0)上有两个动点A、B及一定点M (p, 0p),
成等差数列，求证：线段AB的垂直平分线过定点。