线面垂直方法的总结
线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案讲解
直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。
2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。
如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。
（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。
2、 直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。
3、 二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。
其作用是衡量二面角的大小；范围：00180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭.【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面（ ）A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥βB ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥βC ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥βD ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或a ∥β;选项C:若a ⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确. 【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 （ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________. 【答案】90ºN MB 1A 1C 1D 1D C【解析】方法一:连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M,所以,DN ⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN ⊥A 1D 1,故夹角为90º方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-==MA DN 所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，= 0,故DN ⊥D 1M,所以夹角为90º【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=2222211111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-1111111111112222AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅=+-++-=11111116cos ,6||||23AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅ 【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【答案】 2【解析】∵EF ∥面AB 1C ，∴EF ∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点．∴EF ＝12AC ＝ 2.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥.（1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE ,∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB , 所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC , ⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC . 【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面P AC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB ∥平面ACM . （2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .（3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO＝52，从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中， tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC,AC ⊥BD.（1）证明:BD ⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.PEA DC【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD 中,由DPO ∠30=,得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形AOD 中,222,OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ==-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小. 【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =,则122aC O =,1112230C D a C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】1．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC =2.将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 2．（2012四川理）下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个 4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ）A ．m 与n 异面.B ．m 与n 相交.C ．m 与n 平行.D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β 7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为（ ）A ．23 B ．33 C ．23 D ．639.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，23SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ）A ．1B 3C ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．33 B ．33 C ． 23 D ． 83311.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为___ _.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 .α•AB•β14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂. B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 . 15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上， 11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。
线面垂直的7种判定方法
线面垂直的7种判定方法
1.看线面的夹角：如果线面的夹角为90度，则可以判定为线面垂直。
2. 使用直角三角形定理：如果一条线与一面相交，且与该面的垂线长度为a，线的长度为b，面的长度为c，则如果a+b=c，则可以判定该线面垂直。
3. 使用垂线的特性：通过绘制垂线来判定线面的垂直关系。
如果垂线与面相交，且垂线与线垂直，则可以判定该线面垂直。
4. 使用水平仪：使用水平仪来测量线面的倾斜角度，如果倾斜角度为0度，则可以判定该线面垂直。
5. 使用测量工具：使用测量工具来测量线面的高度和长度，如果高度和长度相等，则可以判定该线面垂直。
6. 观察图形：观察线面的图形形状，如果线面呈现出一个直角，则可以判定该线面垂直。
7. 使用数学公式：如果线面的斜率相乘为-1，则可以判定该线面垂直。
例如，如果线的斜率为2，面的斜率为-1/2，则2*(-1/2)=-1，因此可以判定该线面垂直。
- 1 -。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示： b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
α⊥βαβαβaab,，b,⇒⊥⊂=⋂⊥a。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。
2．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果 ，那么这两个平面互相垂直。
推理模式：两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥证明：平面1AB C ⊥平面11A BC3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点（Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 14、如图，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF 并证明你的结论6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC.7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD8、如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==,将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .VDC BA SA求证：AB DE ⊥9、如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD10、如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ,AB AS BC AB =⊥,.过A 作SB AF ⊥，垂足为F ,点G E ,分别是棱SC SA ,的中点。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面垂直是一个非常基础而重要的概念。
我们经常需要证明某条线与某个平面垂直，或者证明两个平面相互垂直。
下面我们将介绍几种证明线面垂直的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
方法一，利用垂直平分线。
垂直平分线是指一条直线将一个角平分成两个相等的角，并且垂直于两条边。
利用垂直平分线可以证明线面垂直的关系。
具体步骤如下：1. 连接线段的中点，得到垂直平分线。
2. 证明垂直平分线与线面的夹角相等。
3. 根据夹角的性质，得出线面垂直的结论。
方法二，利用垂直平行四边形。
垂直平行四边形是指一个四边形中，对角线相互垂直且相等。
利用垂直平行四边形也可以证明线面垂直的关系。
具体步骤如下：1. 证明四边形是垂直平行四边形。
2. 根据垂直平行四边形的性质，得出线面垂直的结论。
方法三，利用垂直平行截割线。
垂直平行截割线是指一条直线与两条平行线相交，且与这两条平行线的夹角相等。
利用垂直平行截割线也可以证明线面垂直的关系。
具体步骤如下：1. 证明截割线与两条平行线的夹角相等。
2. 根据夹角的性质，得出线面垂直的结论。
方法四，利用垂直投影。
垂直投影是指一个点在一个平面上的投影点与该点到平面的距离垂直。
利用垂直投影也可以证明线面垂直的关系。
具体步骤如下：1. 证明点在平面上的投影点与该点到平面的距离垂直。
2. 根据垂直投影的性质，得出线面垂直的结论。
综上所述，证明线面垂直的方法有很多种，其中利用垂直平分线、垂直平行四边形、垂直平行截割线和垂直投影是比较常见的方法。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握这些方法，从而更加灵活地运用在实际问题中。
线面垂直的判定定理的证明方法
线面垂直的判定定理的证明方法线面垂直是三维空间中一个非常重要的概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在工程学和物理学中也有着非常大的作用。
本文将介绍线面垂直的判定定理的证明方法。
一、定义我们先来明确什么是“线面垂直”。
设线段AB的起点为A，终点为B，面平行于向量n，如图所示：若向量AB与向量n垂直，则称线段AB与平面垂直。
二、判定定理现在我们可以给出线面垂直的判定定理：定理：线段AB与平面N垂直的充分必要条件是向量AB与法向量n垂直。
即，AB⊥N⟺AB⊥n三、证明方法下面，我们将给出上述定理的证明方法。
对于任意一点M在平面N上，根据向量的定义，我们可以得到→NM=A→+x*n→其中，A是向量N平面上的任意一点到M的向量，x是实数。
由于向量A在平面N上，所以A⋅n=0所以，x*n⋅n=0因此，x=（-A*n）/ (n*n)，其中“A”点表示向量A的模长。
所以，→NM=A→+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB=→BM-→BN，所以→AB=→BM-→BN=→NM-→NB因此，→AB=[A→+[-A*n]/(n*n)*n→]-B→= [A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB与n垂直，我们可以得到→AB⋅n=([A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→)⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]/(n*n)*n→⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]由于A点在平面N上，所以A→⋅n=0因此，→AB⋅n=-B→⋅n-[-A*n]也就是说，→AB⊥n⟺-B→⋅n-[-A*n]=0⟺B→⋅n=[-A*n]B→⋅n 是向量B在n上的投影，[-A*n]是向量A的负向量在n上的投影。
因此，当且仅当向量AB与n垂直时，向量B在n上的投影等于向量A 的负向量在n上的投影，即B→⋅n=[-A*n]。
综上所述，向量AB垂直于平面N的充分必要条件是向量AB垂直于平面N的法向量n，即AB⊥N⟺AB⊥n。
四、总结本文介绍了线面垂直的判定定理及其证明方法。
高中数学必修2立体几何专题-线面垂直方法总结
【 证 明 】(1) 在 四 棱 锥 P—ABCD 中 ， 因 为 PA⊥ 底 面 ABCD ， CD 平 面 ABCD ， 故 PA⊥CD. 又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平 面PAC. 而AE 平面PAC，所以CD⊥AE. (2) 由 PA ＝ AB ＝ BC ， ∠ ABC ＝ 60° ， 得 △ABC是等边三角形，故AC＝PA.
2. 在 正 方体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 棱 长为2，M是AD1上任意一点，M到平 面BCB1的距离是_2______.
3.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE，
SF及EF把这个正方形折成
一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥
所以DC / /EB. 又 因 为 DC 平 面 ABE， EB 平 面 ABE， 所以DC / /平面ABE.
2因为DC 平面ABC，所以DC AF .
又 因 为 BAC＝ ， 且 AB＝ AC， 所 以 AF BC .
2 而 BC DC＝ C， 所 以 AF 平 面 BCDE.
直
四
棱
柱
A
B
C
D
－
A1
B1C
1
D
中
1
，
侧
棱
A
A1＝
6，
底 面 A B C D 是 菱 形 ， A B＝ 2 ， A B C＝ 6 0 ， P为 侧 棱
【素材】第一章第五节_证明线面垂直的四种方法
证明线面垂直的四种方法直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。
一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。
例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。
证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD⊂面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。
点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。
二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。
例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。
证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只需证l平行于γ的一条垂线即可。
设α∩γ=c，β∩γ=d，在α内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。
同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。
又AQ⊄β，BR⊂β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。
点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。
三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
立体几何线线垂直专题(史上最全)
P
证明：∵ PA O 所在平面， BC 是 O 的弦，∴ BC PA.
又∵ AB 是 O 的直径， ACB 是直径所对的圆周角，∴
BC AC .
∵ PA AC A, PA 平面PAC ， AC 平面 PAC .
A
∴ BC 平面 PAC ， AE 平面 PAC，∴ AE BC . ∵ PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点. ∴ AE PC .
∵ BD⊥ AC ∴ AC 为 A
1
BD A1C 同理可证A C1 BC 1
C 在平面 AC 上的射影 A1C 平面BC1D
练习； 1、 如图在三棱锥 P— ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平 面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上.证明：AP⊥BC；
9
C1 B1
C B
2、直三棱柱
ABC 平面 。
DE AB
AC, AD BD E AB ，是
A
E
又∵CE DE E
∴ AB 平面CDE
（2）由（1）有 AB 平面 CDE
B
C
AB
ABC
又∵
平面
，
CDE 平面 ABC ∴平面
例 2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥
D
P ABCD 的底面是菱
形． PB PD E PA
A
∴ BC 平面 PAC ， AE 平面 PAC，∴ AE BC . ∵ PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点. ∴ AE PC .
E O B 图2 C
∵ PC BC C , PC 平面
，
平面
PBC BC
PBC .
∴ AE 平面 PBC .
线面垂直平行六种关系的证明方法
线面垂直平行六种关系的证明方法
线与面垂直的证明方法：
1.利用垂线相交定理来证明。
根据垂线相交定理，如果一条线与一个
平面相交，并且与平面上的两条相交线垂直，则该线与该平面垂直。
2.利用向量垂直的概念来证明。
如果一条直线的方向向量与平面的法
向量垂直，则该直线与平面垂直。
可以通过计算两个向量的点积来判断它
们是否垂直。
3.利用两个向量叉积为零的性质证明。
如果一条直线上的两个向量的
叉积等于零，则该直线与平面垂直。
这可以通过计算两个向量的叉积并判
断结果是否为零来证明。
面与面垂直的证明方法：
1.利用两个平面的法向量垂直的性质来证明。
如果两个平面的法向量
是垂直的，则这两个平面垂直。
2.利用两个平面的方向向量垂直的性质来证明。
如果两个平面的方向
向量是垂直的，则这两个平面垂直。
线与线平行的证明方法：
1.利用两条直线的方向向量平行的性质来证明。
如果两条直线的方向
向量平行，则这两条直线平行。
2.利用两条直线的斜率相等的性质来证明。
如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
面与面平行的证明方法：
1.利用两个平面的法向量平行的性质来证明。
如果两个平面的法向量是平行的，则这两个平面平行。
2.利用两个平面的方向向量平行的性质来证明。
如果两个平面的方向向量是平行的，则这两个平面平行。
这些证明方法可以通过几何图形的性质、向量运算、计算几何等方法来进行证明。
具体的方法选择要根据题目的要求和已知条件来确定。
线与面垂直的判定定理
线与面垂直的判定定理线与面垂直的判定定理一、引言在几何学中，线与面的关系是非常重要的一个问题。
其中，线与面垂直的关系更是几何学中最基本和最重要的概念之一。
因此，如何判定一条线与一个平面是否垂直是我们需要研究的问题。
二、定义在三维空间中，如果一条直线与一个平面相交，并且这条直线所在的方向向量与该平面法向量垂直，则称这条直线与该平面垂直。
三、判定条件1. 点法式判定法点法式是指用一个点和该点处于平面上的法向量来表示一个平面方程。
因此，我们可以通过以下步骤来判断一条直线是否与一个平面垂直：（1）设该平面方程为Ax+By+Cz+D=0；（2）设该直线所在点为P(x0,y0,z0)，方向向量为V(a,b,c)；（3）计算出该点到该平面上任意一点Q(x,y,z)所连成的向量PQ(x-x0,y-y0,z-z0)，并将其与该平面法向量N(A,B,C)做内积运算得到结果K；（4）如果K=0，则说明该点处于该平面上，并且由于该向量与平面法向量垂直，因此该直线与该平面垂直。
2. 交点判定法另一种判断一条直线是否与一个平面垂直的方法是通过计算该直线与该平面的交点，并判断该交点是否处于该直线上。
（1）设该平面方程为Ax+By+Cz+D=0；（2）设该直线所在点为P(x0,y0,z0)，方向向量为V(a,b,c)；（3）将该直线方程和平面方程联立得到参数t，即：(Ax0+By0+Cz0+D)/(aA+bB+cC+t(a^2+b^2+c^2)^0.5)=t（4）如果t=0，则说明该交点为P(x0,y0,z0)，即该点处于该直线上，由于此时向量V和平面法向量N垂直，因此该直线与平面垂直。
四、结论根据以上两种方法可以得到如下结论：如果一条直线所在的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线与这个平面相互垂直。
反之亦然。
因此，我们可以根据这个结论来判断一条直线和一个平面是否相互垂直。
五、应用举例在实际应用中，我们经常需要判断一条直线和一个平面是否相互垂直。
证明线面垂直的几种方法
证明线面垂直的几种方法证明线面垂直的几种方法线面垂直是一个基本的几何概念，它在许多数学和物理问题中都有着重要的应用。
下面将介绍几种证明线面垂直的方法。
方法一：利用勾股定理勾股定理是最为常见的证明线面垂直的方法之一。
该定理表明，如果一个三角形的两条边平方和等于第三条边平方，则这个三角形是直角三角形，而且直角所对应的两条边就是线面所在的两条边。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以测量出AE、EB、ED、EC四个长度，并计算出它们的平方和。
如果满足AE²+EB²=ED²和EB²+EC²=BC²，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
方法二：利用向量乘积另一种证明线面垂直的方法是利用向量乘积。
具体来说，如果两个向量A和B之间的点积为0，则这两个向量互相垂直。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以找到任意一个点P，然后计算向量AP、BP、EP以及FP。
如果满足向量AP·BP=0和向量EP·FP=0，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
方法三：利用投影投影是另一个证明线面垂直的常用方法。
具体来说，如果一个线段的投影与一个平面的法向量垂直，则这个线段与该平面垂直。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以找到EF 在ABCD平面上的投影，然后计算该投影与ABCD平面的法向量之间的点积。
如果点积为0，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
总之，以上三种方法都是证明线面垂直的有效工具。
选择哪种方法取决于具体情况和问题所涉及的数学知识。
无论使用哪种方法，都需要对几何概念有深入的理解，并且需要仔细地进行计算和分析，以确保结果正确无误。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面的垂直关系是十分重要的，而如何证明线面的垂直关系也是我们学习的重点之一。
下面我将介绍几种常见的证明线面垂直的方法，希望能对大家有所帮助。
第一种方法是利用垂直平分线。
当一条线段被垂直平分时，我们可以利用垂直平分线的性质来证明线面垂直。
具体方法是，我们先找到线段的中点，然后画出垂直平分线，最后利用垂直平分线的性质证明线面垂直的关系。
第二种方法是利用垂直角的性质。
在平面几何中，垂直角是指两条相交直线的内角，它们的度数相加等于90度。
利用垂直角的性质可以很容易地证明线面的垂直关系。
具体方法是，我们先找到两条相交直线，然后利用垂直角的性质证明它们的垂直关系。
第三种方法是利用垂直投影的性质。
在空间几何中，垂直投影是指一个点在另一个平面上的投影与该点到该平面的连线垂直。
利用垂直投影的性质可以很容易地证明线面的垂直关系。
具体方法是，我们先找到一个点和一个平面，然后利用垂直投影的性质证明它们的垂直关系。
第四种方法是利用垂直距离的性质。
在空间几何中，垂直距离是指一个点到一个平面的最短距离。
利用垂直距离的性质可以很容易地证明线面的垂直关系。
具体方法是，我们先找到一个点和一个平面，然后利用垂直距离的性质证明它们的垂直关系。
以上就是几种常见的证明线面垂直的方法，希望对大家有所帮助。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来证明线面的垂直关系，从而解决实际问题。
希望大家能够灵活运用这些方法，提高自己的几何证明能力。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面的垂直关系是一个非常重要的概念，它在我们日常生活和数学领域中都有着广泛的应用。
那么，如何证明两条线或者一个线与一个平面是垂直的呢？下面我们将介绍几种常见的方法来证明线面垂直的关系。
首先，我们来看一种常见的证明方法——利用垂直的定义。
根据几何学中的定义，如果两条线或者一条线与一个平面相交且所成的角为90度，则它们之间的关系就是垂直的。
因此，我们可以通过测量所成角的大小来证明线面的垂直关系。
例如，我们可以使用量角器或者直角三角形的性质来测量所成角的大小，如果所得的角度为90度，那么我们就可以得出它们是垂直的结论。
其次，我们可以利用垂直的性质来证明线面的垂直关系。
在几何学中，垂直线和平面的性质是相互关联的，我们可以通过利用这些性质来证明线面的垂直关系。
例如，如果一条线与一个平面垂直，那么它在平面上的投影一定是垂直于平面的。
因此，我们可以通过测量线在平面上的投影来证明线面的垂直关系。
如果线的投影与平面上的直线垂直，那么我们就可以得出它们是垂直的结论。
另外，我们还可以利用垂直的性质来进行间接证明。
例如，如果我们已知一条线与一个平面垂直，而另一条线与这个平面相交，我们可以通过推导和推理来证明这两条线是垂直的。
这种方法需要我们灵活运用几何学中的定理和性质，通过逻辑推理来得出结论。
除了上述方法外，我们还可以利用向量的方法来证明线面的垂直关系。
在向量的运算中，垂直的向量有着特定的性质，我们可以通过计算向量的内积或者外积来得出线面的垂直关系。
这种方法在数学和物理领域中有着广泛的应用，通过向量的计算可以准确地证明线面的垂直关系。
综上所述，证明线面垂直的方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
无论是利用垂直的定义、性质，还是通过向量的计算，都可以帮助我们准确地证明线面的垂直关系。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法，灵活运用几何学中的知识来解决实际问题。
判定线面垂直的方法
判定线面垂直的方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊怎么判定线面垂直呀。
你想想看，线面垂直就好像一个人站直了一样，稳稳当当的。
那怎么知道一条线是不是和一个平面垂直呢？
咱可以这样理解呀，就好比你是那条线，平面就是大地。
如果你能直直地站在大地上，不管从哪个方向推你，你都不会倒，那你不就和大地垂直啦？
先来说一个办法，那就是如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那这条线就和这个平面垂直啦。
这就好像是你站在地上，有两条绳子紧紧地拉住你，而且这两条绳子还不是平行的，那你肯定就稳稳地垂直于地面啦！你说是不是这个理儿？
再比如，有个平面，你总能找到一个和它垂直的直线吧。
然后呢，要是你这条线和那个垂直直线平行，那你不也就和平面垂直啦？这就跟找个榜样似的，榜样能站直了，你跟着学，你也能站直咯！
还有哦，如果两个平面互相垂直，那在其中一个平面内垂直于交线的直线，不就和另一个平面垂直啦？这就好比两堵墙面对面立着，你在其中一堵墙上找到一条线和它们的交界线垂直，那这条线肯定也和对面那堵墙垂直呀！
哎呀呀，其实线面垂直不难判断呀，只要你用心去想，去观察，就一定能搞明白的！就像你走路一样，走得多了，自然就知道怎么走稳啦！
总之呢，判定线面垂直就是要多观察、多思考，把那些抽象的概念和我们生活中的例子联系起来，这样不就好理解多啦？大家可别嫌麻烦呀，数学的世界就是这么奇妙，等你掌握了这些方法，你就会发现线面垂直其实挺好玩的呢！就像解开一个谜题一样，当你找到答案的时候，那种成就感，啧啧，别提多棒啦！所以呀，加油吧，朋友们，让我们一起在数学的海洋里畅游，把线面垂直这些知识都拿下！。
立体几何线面、面面垂直专题方法题型总结(超级全面)
立体几何线面、面面垂直专题总结 一、 线线垂直证明思路方法：1. 根据平面几何的勾股定理、等腰三角形三线合一等2. 由线面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内所有直线1.已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =，E 是BC 中点，求证：BC AD ⊥.ECBA2.如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD//BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．（1）证明：PC⊥CD；（2）若E是PA的中点，证明：BE//平面PCD；（3）若PA=3，求三棱锥B﹣PCD的体积．3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA，E是BC的中点．1（1）求证：AE⊥B1C；（2）求异面直线AE 与A 1C 所成的角的大小； （3）若G 为C 1C 中点，求二面角C -AG -E 的正切值．4.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，点是的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：.二、线面垂直ABCD P −AC AB ⊥ABCD PA 面⊥E PD PB AC ⊥AEC PB 平面//证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）； （3）（较常用）； （4）； （5）（5）（面面垂直线面垂直）常用.1.如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是BC 中点，点F 在PB 上，且PE=2FB ．（1）求证：AC ⊥平面AEF ；（2）求证：PD ∥平面AEF ．//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭//a a αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭a b a a a bαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⇒2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD且PO=6，M为BD的中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=√2，点D为A1C1的中点．（I）求证：BC1∥平面AB1D；（II）求证：A1C⊥平面AB1D；（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，90AD AF CD===．4∠=︒，//DABAB CD，2AB=．（1）求证：AC⊥平面BCE；（2）求证：AD AE⊥．5.如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB=1，∠APB=90°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面APQ；（Ⅱ）求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．三、面面垂直（1）面面垂直判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（2）性质：①若，二面角的一个平面角为，则；②（面面垂直线面垂直）； ③. ④1.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，∠ACB=90°，E ，F ，G 分别是1AA ，AC ，1BB 的中点，a a ααββ⊂⎫⇒⊥⎬⊥⎭⇒αβ⊥MON ∠90MON ∠=︒a AB a a a ABαβββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭⇒A a A a a αβααβ⊥⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪⊥⎭且CG⊥C G．（1）求证：CG∥平面BEF；（2）求证：平面BEF⊥1平面AC G．112.如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D是BC边的中点，AA1=AB=1．（1）求证：平面ADB1⊥平面BB1C1C；（2）求点B到平面ADB1的距离．5.如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC．（1）求证：平面BED⊥平面PAC；（2）求二面角F-DE-B的大小；（3）若PA=6，DF=5，求PC与平面PAB所成角的正切值．6.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=√2AD=2√2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=√2，M 为线段BC的中点．（1）求证：直线MF∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面EAD；（3）求直线BF与平面BED所成角的正弦值．四、综合练习1.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（1）求证：BC⊥平面ACFE；（2）当EM为何值时，AM//平面BDF？写出结论，并加以证明．（3）当EM为何值时，AM⊥BE？写出结论，并加以证明．2.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．3.如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD．BD且EF＝12(1) 求证：BF∥平面ACE；(2) 求证：平面EAC⊥平面BDEF;(3) 求几何体ABCDEF的体积．4．如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1AC 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1AOC ； （3）线段OC 上是否存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ？说明理由．5．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥底面111A B C ，1AC AA =，90BAC ︒∠=，D 是BC 中点，求证：（1）1//A B 平面1AC D ；（2）平面11A B C ⊥平面1AC D ．6．在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为AB 和1DD 的中点.（1）求证：//EF 平面1BCD ；（2）在棱11C D 上是否存在一点M ，使得平面MEF ⊥平面1BCD ？若存在，求出11C M D M 的值；若不存在，请说明理由.。
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线面垂直方法的总结
学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，同学们可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，下简单分析常见的线面垂直证明方法.
一、应用勾股定理
如果一个三角形的边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2，则这个三角形是直角三角形，可以得到线线垂直的关系.
例1 如图所示，点P 是梯形ABCD 所在平面外一点，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，已知BD =2AD =8，AB =4 5 .设M 是PC 上的一点.
求证:BD ⊥平面P AD .
证明:∵PD ⊥平面ABCD , BD ⊂平面ABCD ,
∴BD ⊥PD . ∵BD =8，AD =4，AB =4 5 ， ∴AD 2+BD 2=CD 2,
∴∠ADB =90°，
∴BD ⊥AD . 又∵PD ⊂平面P AD ,AD ⊂平面P AD , PD ∩ AD =D ,
∴BD ⊥平面P AD .
二、应用等腰(等边)三角形三线合一性质
所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时也是高和角分线,可以很轻松地得到线线垂直,从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.
例2 如图所示，已知P A 垂直于圆O 所在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A ,B 的任意一点，且P A =AC ,点E 是线段PC 的中点.
求证：AE ⊥平面PBC .
证明：∵P A ⊥圆O 所在平面，BC 是圆O 的弦， ∴BC ⊥P A .
又∵AB 是圆O 的直径，∠ACB 是直径所对的圆周角，
∴BC ⊥AC .
∵P A ∩AC =A ,P A ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC .
∴BC ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC ， ∴AE ⊥BC .
∵P A =AC ，点E 是线段PC 的中点. ∴AE ⊥PC . ∵PC ∩BC =C ,PC ⊂平面PBC ,BC ⊂平面PBC .
∴AE ⊥平面PBC .
三、应用平面图形的几何性质
在立体几何问题的解决中,平面图形的性质产生了很重要的地位,在学习立体几何的过程中,平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间,但要注意平面图形的性质，在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.
例3 如图所示,四边形ABCD 是菱形,点P 是菱形ABCD 所在平面外一点，∠BCD=60°，
A B C D
P M A C B P
E O
E是CD的中点,P A⊥平面ABCD.
求证:BE⊥平面P AB.
证明:∵P A⊥平面ABCD,BE ⊂平面ABCD, ∴BE⊥P A,
∵底面ABCD是菱形,∠BCD=60°，
∴∠ABD=60°.
∵E是CD的中点,
∴∠DBE=30°,
∴∠ABE=∠BCD+∠DBE=60°+30°=90°,
∴BE⊥AB.
∵P A ∩AB=A,P A ⊂平面P AB,AB ⊂平面P AB,∴BE⊥平面P AB. A
B
C
E
D
P。