学好几何符号语言
数学几何定理符号语言(学生版本)
1、基本事实：经过两点有且只有一条直线 。
（两点确定一条直线）2、基本事实：__________________最短。
________________最短3、补角性质：同角或等角的补角相等 。
几何语言：∵∠A+∠B=180°，∠A+∠C =180°∴__________________（同角的补角相等）∵∠A+∠B=180°，∠C +∠D =180°，∠A=∠C∴__________________（等角的补角相等）4、余角性质：同角或等角的余角相等。
几何语言：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C =90°∴∠B=∠C （同角的余角相等）∵∠A+∠B=90°，∠C +∠D =90°，∠A=∠C∴__________________（等角的余角相等）5、对顶角性质：对顶角相等。
∠1=∠26、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（垂线段最短）8、（基本事实）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
9、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 。
几何语言：∵ a ∥b ，a ∥c ∴∴____________10、两条直线平行的判定方法：几何语言：如图所示（1） 同位角相等，两直线平行。
（2）内错角相等，两直线平行。
∵∠1=∠2 ∴____________ ∵∠3=∠4 ∴____________（3）同旁内角互补，两直线平行。
∵∠5+∠6=180°∴________________11、平行线性质：几何语言：如图所示（1） 两直线平行，同位角相等。
∵a ∥b ∴________________（2） 两直线平行，内错角相等。
∵a ∥b ∴________________（3） 两直线平行，同旁内角互补。
∵a ∥b ∴________________12、平移：（1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
初中八年级数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容八年级上册第十一章三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
4、多边形知识要点梳理1、n边形的内角和等于（n-2）×180°。
多边形的定理2、任意凸形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于2)3(nn（1）正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。
（2）多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释：①从n 边形一个顶点可以引（n －3）条对角线，将多边形分成（n －2）个三角形。
②n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
面面平行→线面平行符号语言
面面平行→线面平行符号语言面面平行是空间几何中的一个概念，它指的是两个平面之间的关系，即这两个平面是平行的。
在符号语言中，我们可以使用数学符号和文字来表示面面平行的概念。
首先，我们可以使用符号“//”来表示平行关系。
当两个平面平行时，我们可以写成“面1 // 面2”，其中面1和面2表示两个平面。
此外，我们还可以使用文字来进一步描述面面平行的特点。
首先，平行平面之间的距离是相等的。
这意味着平行平面上的任意一点到另一个平面上的点的垂直距离是相等的。
因此，我们可以写成“平行平面之间的距离相等”。
其次，平行平面的法向量方向相同或相反。
平行平面具有相同或相反的法向量，这意味着它们的法向量对应的方向向量是相同的。
我们可以使用文字来表达这一特点，例如“平行平面的法向量方向相同”。
最后，平行平面之间没有交点。
这意味着两个平行平面上的任意一条直线都不会与另一个平面相交。
我们可以使用文字来描述这一特点，例如“平行平面之间没有交点”。
除了平行平面之外，我们还可以描述面和直线之间的平行关系。
当一个面和一条直线平行时，我们可以使用符号“∥”来表示。
例如，“面 // 直线”表示面和直线平行。
此外，我们还可以使用文字来进一步描述面和直线之间的平行关系。
与平行平面类似，面和直线之间的距离是相等的。
这意味着面上的任意一点到直线上的点的垂直距离是相等的。
我们可以写成“面和直线之间的距离相等”。
总的来说，面面平行和面直线平行是空间几何中的重要概念。
在符号语言中，我们可以使用“//”和“∥”符号来表示平行关系，同时可以使用文字来进一步描述平行关系的特点，如距离相等和法向量方向。
这些符号和文字的使用可以帮助我们准确地表达面面平行和面直线平行的概念，在数学和几何学中有广泛的应用。
九年级几何符号语言知识点
九年级几何符号语言知识点几何学是一门研究形状、大小、相对位置以及其属性的学科。
在几何学中，符号语言是一种用于描述几何概念、定理和推理的工具。
对于九年级的学生来说，了解并掌握几何符号语言的知识点是非常重要的。
本文将介绍九年级几何符号语言的主要知识点，帮助学生深入理解和应用几何概念。
1. 点、直线和平面的符号表示在几何学中，点用大写字母表示，如点A，点B。
直线用小写字母表示，如直线l，m。
平面用大写字母加横线表示，如平面P。
2. 相关线段和角的符号表示线段通常用AB表示，其中A和B分别表示线段的两个端点。
角通常用∠ABC表示，其中A、B、C分别表示角的三个顶点，而角的顶点是角的中心。
3. 特殊角的标记和表示直角是90°角，通常用⊥表示。
锐角是小于90°的角，通常用∠ABC表示。
钝角是大于90°的角，通常用∠ABC表示。
4. 平行线和垂直线的符号表示当两条直线平行时，通常用∥表示，如AB ∥ CD。
当两条直线垂直时，通常用⊥表示，如AB ⊥ CD。
5. 三角形和四边形的符号表示三角形有不同类型，根据边长和角度关系的不同，分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
通常用∆ABC表示三角形。
四边形有不同类型，如矩形、正方形、梯形等。
通常用ABCD表示四边形。
6. 同位角和相邻角的符号表示同位角是指两条平行线被一条截线所切割产生的对应角，通常用内角符号来表示，如∠1和∠3表示同位角。
相邻角是指两个共享一个边且其余两个边在直线上的角，通常用外角符号来表示，如∠1和∠2表示相邻角。
7. 合同三角形和全等四边形的符号表示合同三角形指的是具有相同形状但可能不同大小的三角形，通常用≌表示，如△ABC ≌△DEF。
全等四边形是指具有相同形状和大小的四边形，通常使用≌表示，如ABCD≌EFGH。
8. 重心、垂心和外心的符号表示重心是指一个三角形的三条中线的交点，通常用符号G表示，如△ABC的重心为G。
关于几何语言1
例如，“读下列语句，并画出它们的图形：直线a、b相交于点C，直 线b、c相交于点A，直线a、c相交于点B。这时我们说‘直线a、b、 c两两相交‘。”此题要求我们把几何文字语言“翻译”成几何图形语 言，如果“翻译”（画）成图4就错了，因为题中a虽然出现两次 （“直线a、c相交”和“直线a、b相交”），可是都在同一道题中， 所以在图中只能出现一次。至于直线b、c同样如此，分别在图中只 允许出现一次。正确的“翻译”（画法）应是图5。
注意理解下面这几种常见的几何叙述:
(1),"有且只有",如:经过两点作直线,有且只有一 条直线; (2),"确定",如:两点确定一条直线; (3),"连结AB"
正确书写几何符号。不能臆造几何符号。
通行的几何符号已经得到了人们的公认，成了世界通用的 符号，一般是不能随意变动t和随便臆造，如“∠ ”表示锐 角， 表示钝
读句画图：
(1)画射线AM； (2)射线AM上截取线段AB； (3)再在射线AM上顺次截取BC=CD=AB。 试观察图中的线段AB、AC、AD、BC、BD之间有什么关系？
A
B
C
D
M
3、要联系实际去理解概念。如“点A在直线a上”，不能理 解成“点A在直线a的上面”。
4、注意不要犯循环定义的错误.如：“有公共端点且 互为反向延长线的两条射线形成的图形是一条直线” ，这是事实，但是，这不能作为“直线”的定义， 原因是：射线是由直线定义的，所以射线不能再 定义直线。
5、注意定义中的条件。如：互余的定义“如 果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫 做互为余角”，这里“两个”角是一个条件， 是三个角就不对。
将定义翻译成符号语言并画出图形．符号语言能将文字语言与图形 结合起来，有利于学生理解几何概念的本质属性，也为文字证明 题打下基础．例如： （1）点M是线段AB的中点,可画出图1，翻译为符号语言： AM=BM，或BM= AB，或AB=2AM=2BM. （2）两直线相交，对顶角相等，可画出图2，翻译为符号 语言：∠BOC=∠AOD，∠AOC=∠DOB； （3）直级AB与CD互相垂直，垂足为O，可画出图3，翻译 为AB⊥CD，或∠AOD=90°．
立体几何中的符号语言洋葱数学
立体几何中的符号语言洋葱数学
洋葱数学是一种几何学符号语言，用于描述和计算立体几何中的图形和关系。
它的核心思想是利用层层递进的圆锥体将不同维度的图形和关系分离出来，并用符号表示它们之间的联系。
以下是洋葱数学中常见的符号：
- 圆锥体：洋葱数学中的核心图形，用于分离不同维度的图形和关系。
一般表示为一个向内收缩的圆锥体。
- 平面：用于表示二维图形和关系，通常表示为一个圆形或一个正方形。
- 空间：用于表示三维图形和关系，通常表示为一个球体或一个正方体。
- 交集：用于表示两个或更多图形的重叠部分，通常表示为两个圆形或两个正方形重叠的部分。
- 并集：用于表示两个或更多图形的无重叠部分和重叠部分的总和，通常表示为包含所有图形的最小圆锥体。
- 补集：用于表示一个图形在另一个图形内部的部分，通常表示为一个圆形或正方形与一个包含它的圆锥体的差集。
洋葱数学的应用非常广泛，包括计算几何体积、表达和比较多维数据、设计三维图形模型等。
它不仅是一种理论语言，也是实际应用的必备工具。
三角形全等判定的文字语言和符号语言
文章标题：深入探讨三角形全等判定的文字语言和符号语言在几何学中，三角形全等判定是一个非常基础且重要的概念。
通过文字语言和符号语言来探讨三角形全等判定，既能帮助我们更深入地理解这一概念，也能加深我们对几何学知识的认识。
在本文中，将会深入讨论三角形全等判定的文字语言和符号语言，帮助读者从不同角度全面了解这一重要的几何学概念。
一、三角形全等判定概述三角形是平面几何学中最基本的图形之一，而全等三角形则是具有相等边长和相等内角的三角形。
全等三角形的判定是几何学中的重要内容之一，它通过一定的条件来判断两个三角形是否全等。
在这里，我们可以用文字语言和符号语言来阐述全等三角形的判定条件，让读者更加清晰地理解这一概念。
1. 文字语言表述全等三角形的判定条件可以使用文字语言进行阐述，其中包括以下几种条件：（1）SSS全等判定：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等，则这两个三角形全等。
（2）SAS全等判定：如果一个三角形的两条边和夹角分别等于另一个三角形的两条边和夹角，则这两个三角形全等。
（3）ASA全等判定：如果一个三角形的两个夹角和边分别等于另一个三角形的两个夹角和边，则这两个三角形全等。
通过以上文字语言的表述，读者可以清晰地了解三角形全等判定的条件和原理，从而更好地掌握这一知识点。
2. 符号语言表述除了文字语言外，我们还可以使用符号语言来表述三角形全等判定的条件。
在几何学中，常用的符号包括线段符号、角符号等。
通过符号语言的表述，我们可以将全等三角形的条件用简洁明了的符号表示出来，更加直观地展示全等三角形的判定条件。
二、个人观点和理解对于三角形全等判定的文字语言和符号语言，我个人认为文字语言更适合于对概念的深入理解，而符号语言则更适合于简洁地表示和描述条件。
文字语言能够通过语言文字的组合来描述全等三角形的判定条件，能够更加贴近我们的日常语言表达习惯，让人易于理解和接受。
而符号语言则更加直观和简洁，能够用更小的空间表述更多的内容，对于几何学的研究和推理更加方便和高效。
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言直线与平面垂直的判定定理是几何学中的一个重要定理，用来判断一条直线与一个平面是否垂直相交。
本文将使用符号语言来描述这一定理，以增强准确性和简洁性。
1. 引言直线与平面垂直的判定定理是研究三维空间中直线和平面相互关系的基本内容之一。
通过使用符号语言，我们可以更加准确地描述这个定理，并帮助读者更好地理解其中的数学原理。
2. 符号定义在使用符号语言描述直线与平面垂直的判定定理之前，我们首先需要明确一些符号的定义：- 直线：用L表示；- 平面：用P表示；- 垂直关系：用⊥表示。
3. 直线向量首先，我们需要定义直线的向量表示。
对于直线L，我们可以用向量→d⃗来表示。
即：L:→d⃗。
4. 平面法线向量接下来，我们定义平面的法线向量。
对于平面P，我们用向量→n⃗来表示。
即：P:→n⃗。
5. 垂直关系表示根据垂直关系的定义，直线L与平面P垂直相交等价于直线L的方向向量→d⃗与平面P的法线向量→n⃗互相垂直。
因此，我们可以用数学形式来表示这一关系：L⊥P，当且仅当→d⃗⋅→n⃗ = 0。
解释：当直线的方向向量与平面的法线向量的点积等于0时，表示直线与平面垂直相交。
6. 应用举例为了更好地理解直线与平面垂直的判定定理的应用，我们来看一个实际的例子。
假设直线L的向量表示为→d⃗ = (1, 2, 3)，平面P的法线向量表示为→n⃗ = (2, -1, 1)。
我们可以通过计算点积来判断直线与平面的关系：→d⃗⋅→n⃗ = 1 × 2 + 2 × (-1) + 3 × 1 = 2 - 2 + 3 = 3。
由于→d⃗⋅→n⃗≠ 0，我们可以得出结论：直线L与平面P不垂直相交。
7. 其他判定定理除了上述直线与平面垂直的判定定理，还存在其他几个相关的定理：- 平行判定定理：两个向量的点积等于0时，表示它们垂直相交。
- 一般平面垂直判定定理：对于平面Ax + By + Cz = D 和直线P0(r0, s0, t0) + t(a, b, c)，当且仅当Aa + Bb + Cc = 0时，平面与直线垂直相交。
直线与平面平行的判定定理符号语言
直线与平面平行的判定定理符号语言直线与平面平行的判定定理一、引言在几何学中，直线与平面的关系是非常重要的一个概念。
当我们讨论直线和平面的关系时，我们通常会遇到一个问题：如何判断一条直线是否与一个平面平行？本文将介绍直线与平面平行的判定定理。
二、符号语言在介绍定理之前，我们需要先了解一些符号语言。
1. 直线L2. 平面P3. 点A4. 点B5. 向量→AB（从点A指向点B的向量）6. 法向量n（垂直于平面P且长度为1的向量）三、定义在介绍定理之前，我们需要先了解一些基本定义。
1. 直线L和平面P是相交的，如果它们有一个公共点。
2. 直线L和平面P是垂直的，如果它们相交且相交处的角度为90度。
3. 直线L和平面P是平行的，如果它们不相交且它们在同一个三维空间内。
四、定理现在，我们来介绍直线与平面平行的判定定理。
当且仅当一条直线L上存在一个点A，并且从A出发沿着这条直线L的任意向量→AB所得到的点B都在平面P上，且向量→AB与平面P的法向量n垂直时，直线L与平面P是平行的。
五、证明为了证明这个定理，我们需要分两步进行。
第一步：证明如果直线L与平面P平行，则从直线L上任意一点A出发到达平面P上的任意一点B所得到的向量→AB都与平面P的法向量n垂直。
假设直线L与平面P是平行的。
我们取一个点A在直线L上，并且从A出发沿着这条直线L得到另一个点B。
由于直线L和平面P是平行的，因此从A出发到达平面P上的任意一点B所得到的向量→AB都与该平面内所有向量垂直。
而根据向量垂直性质可知，这些向量都与该平面法向量n垂直。
第二步：证明如果从直线L上任意一点A出发到达平面P上的任意一点B所得到的向量→AB都与平面P的法向量n垂直，则直线L和平面P是平行的。
假设从直线L上任意一点A出发到达平面P上的任意一点B所得到的向量→AB都与该平面法向量n垂直。
我们需要证明直线L和平面P是平行的。
我们假设直线L与平面P不平行。
那么它们必然相交，并且相交处的角度不为90度。
面面平行的证明方法符号语言
面面平行的证明方法符号语言一、引言面面平行是几何学中一个重要的概念，它指的是两条直线在空间中不相交且方向相同。
在证明几何定理时，面面平行也是一个常用的工具。
本文将介绍如何使用符号语言来证明面面平行的方法。
二、符号语言简介符号语言是一种用符号来表达思想和信息的语言系统。
在几何学中，我们常用符号来代替图形和文字，以简化证明过程。
下面是一些常用的几何符号：1. 直线：用小写字母表示，例如l、m、n等。
2. 点：用大写字母表示，例如A、B、C等。
3. 线段：用两个点表示，例如AB、CD等。
4. 角度：用三个点表示，例如∠ABC、∠DEF等。
5. 平行：用“//”表示，例如AB//CD。
6. 垂直：用“⊥”表示，例如AB⊥CD。
三、证明方法在使用符号语言证明面面平行时，我们需要注意以下几点：1. 定义清晰：首先需要清晰地定义什么是面面平行。
2. 使用公理和定理：在证明过程中需要使用几何公理和定理。
3. 逻辑性强：证明过程需要严密的逻辑性。
下面是使用符号语言证明面面平行的步骤：1. 定义：设直线l和m在空间中不相交，且方向相同，则称l和m面面平行。
2. 假设：设AB//CD，EF//CD。
3. 证明：根据平行公理，可得∠ABC=∠EDF（对顶角），∠ACB=∠FDE（对顶角），因此三角形ABC与三角形EDF全等。
又因为AB=EF，BC=FD，所以AC=DE。
根据三角形相似定理可知，三角形ABC与三角形EDF相似。
由于AB//CD，EF//CD，所以∠BAC=∠FDE（内错角）。
又因为三角形ABC与三角形EDF相似，所以∠CAB=∠DEF（对应角）。
综上所述，可得直线AB和EF在空间中不相交且方向相同，即AB//EF。
4. 结论：根据定义可知，直线AB和EF面面平行。
四、总结使用符号语言证明面面平行需要清晰的定义、准确的假设、严密的逻辑推理。
在证明过程中需要运用几何公理和定理，并注意对应关系、全等关系、相似关系等重要概念。
三角形全等判定的文字语言和符号语言
三角形全等判定的文字语言和符号语言三角形全等是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形在形状和大小上完全相同的情况。
全等性质在几何学及其应用中有着广泛的应用，涵盖了三角形的多个方面。
本文将从深度和广度上分析三角形全等的判定方法，探讨其在文字语言和符号语言中的表达方式，并分享个人对三角形全等判定的理解和观点。
一、三角形全等的判定方法为了判断两个三角形是否全等，我们需要比较它们的对应边和对应角的长度和大小。
根据几何学的原理，以下是一些常用的三角形全等判定方法：1. SSS法则（边-边-边法则）：如果两个三角形的三条边的长度分别相等，那么它们是全等的。
若三角形ABC和三角形DEF的边长分别满足AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判定它们是全等的。
2. SAS法则（边-角-边法则）：如果两个三角形的一对相对边长度相等且夹角也相等，那么它们是全等的。
若三角形ABC和三角形DEF的边长和夹角满足AB=DE，BC=EF，∠BAC=∠EDF，则可以判定它们是全等的。
3. ASA法则（角-边-角法则）：如果两个三角形的一对相对角度相等且夹边长度也相等，那么它们是全等的。
若三角形ABC和三角形DEF 的角度和边长满足∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，则可以判定它们是全等的。
4. RHS法则（直角-斜边-斜边法则）：如果两个直角三角形的一条斜边和另外两边分别相等，那么它们是全等的。
若三角形ABC和三角形DEF是直角三角形，满足AB=DE，∠BAC=∠EDF，AC=DF，则可以判定它们是全等的。
以上是常用的判定方法，它们提供了多种角度和边长的比较方式，使得我们能够全面、灵活地判断三角形的全等性质。
二、三角形全等的文字语言表达在文字语言中，我们可以使用恒等符号或描述性语言来表达三角形的全等性质。
常见的表达方式包括：1. 使用恒等符号：在数学和几何学中，我们使用≡符号来表示“全等”。
当我们想要表示两个三角形全等时，可以写作∆ABC ≡ ∆DEF，其中ABC和DEF分别代表两个三角形的顶点。
几何符号语言训练初探
几何符号语言训练初探耿㊀征(徐州市第十三中学ꎬ江苏徐州２２１００６)摘㊀要:«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»要求训练学生合情推理和演绎推理的能力ꎬ而这两种能力主要体现在几何符号语言的表达上.几何符号语言作为数学语言的重要分支ꎬ在几何学中既是几何知识的载体ꎬ又是学生逻辑推理的重要体现ꎬ可以说几何的学习离不开对几何语言的理解与掌握.在初中数学学习中ꎬ所有几何知识的学习都涉及符号语言的训练和表达.可见ꎬ提高几何符号语言的表达能力至关重要.关键词:几何ꎻ符号语言ꎻ训练策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)１１－００２３－０３收稿日期:２０２４－０１－１５作者简介:耿征(１９８３ )ꎬ男ꎬ江苏省徐州人ꎬ硕士研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»指出ꎬ学生要会用数学的语言表达和描述现实世界.在这种理念的指导下ꎬ笔者先对两个案例进行分析ꎬ指出学生学习几何符号语言存在的困难ꎬ再针对困难从宏观和微观两个方面给出解决策略.１案例分析例１㊀如图１ꎬ在әＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＥ是角平分线ꎬＣＤ是高ꎬＡＥ㊁ＣＤ相交于点Ｆ.求证:øＣＦＥ＝øＣＥＦ.图１㊀例１题图证明㊀因为øＡＣＢ＝９０ʎꎬ所以øＣＥＦ＋ø１＝９０ʎ(直角三角形两锐角互余).因为ＣＤ是әＡＢＣ的高ꎬ所以øＡＦＤ＋ø２＝９０ʎ(直角三角形两锐角互余).因为ＡＥ平分øＣＡＢꎬ所以ø１＝ø２＝１２øＣＡＢ(角平分线的定义)ꎬ所以øＣＥＦ＝øＡＦＤ(等角的余角相等).因为øＡＦＤ＝øＣＦＥ(对顶角相等)ꎬ所以øＣＦＥ＝øＣＥＦ(等量代换).在此证明过程中ꎬ像 因为øＡＣＢ＝９０ʎꎬ所以øＣＥＦ＋ø１＝９０ʎ(直角三角形两锐角互余) ㊁ 因为ＡＥ平分øＣＡＢꎬ所以ø１＝ø２＝１２øＣＡＢ(角平分线的定义) ㊁ øＣＥＦ＋ø１＝９０ʎꎬøＡＦＤ＋ø２＝９０ʎꎬø１＝ø２ꎬ所以øＣＥＦ＝øＡＦＤ(等角的余角相等) 这些符号语言的描述ꎬ是相关结论最基本的描述ꎬ但对于 因为ＡＥ平分øＣＡＢꎬ所以ø１＝ø２＝１２øＣＡＢ(角平分线的定义)ꎬ所以øＣＥＦ＝øＡＦＤ(等角的余角相等) ꎬ有的学生都说不出来ꎬ这说明学生不理解角平分线的定义ꎬ因此无法有条理地写出证明过程.３２由此可以看出ꎬ在证明几何命题时ꎬ学生需根据已知条件和所证结论选择合适的几何定理作为推理的依据ꎬ并将几何定理或概念用符号语言表示出来ꎬ这是学生学习几何符号语言的第一个困难.例２㊀如图２ꎬ在四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＡＢＣ＝øＡＤＣ＝９０ʎꎬＭ㊁Ｎ分别是ＡＣ㊁ＢＤ的中点ꎬ连接ＢＭꎬＤＭꎬＭＮ.求证:ＭＮʅＢＤ.图２㊀例２题图解析㊀根据已知条件øＡＢＤ＝øＡＤＣ＝９０ʎꎬ易得әＡＢＤ和әＡＤＣ都是直角三角形.根据图形结构特征ꎬＢＤ是әＡＢＤ的斜边ꎬＡＣ是әＡＢＣ的斜边.又因为Ｍ㊁Ｎ分别是ＡＣ㊁ＢＤ的中点ꎬ根据直角三角形斜边上中线的性质可得ＢＭ＝ＡＭ＝ＭＣꎬＤＭ＝ＡＭ＝ＭＣꎬ所以ＢＭ＝ＤＭꎬ即әＢＭＤ是等腰三角形.由等腰三角形 三线合一 性质可知ＭＮʅＢＤ.显然ꎬ本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质和等腰三角形 三线合一 的性质ꎬ这是«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»规定的最基础最核心的内容ꎬ是学生必须掌握的基础知识.从图形方面来看ꎬ本题涉及直角三角形和等腰三角形ꎬ这学生最常见的基本图形.学生见到这个图形很多遍了ꎬ但是仍然存在困难ꎬ不知道该如何下手.为什么会这样呢?笔者认为ꎬ符号语言的学习ꎬ归根结底就是对每个定理的符号语言的学习.符号语言表达能力的训练ꎬ本质上是对文字语言的理解ꎬ就是用图形和符号理解几何命题.而符号语言表达的本质ꎬ就是图形和符号的联想ꎬ即由图形想到相应的符号语言.由此可以看出ꎬ学生缺少文字语言和图形语言㊁符号语言之间的互相转化的能力ꎬ是几何符号语言学习的第二个困难ꎬ是影响学生几何推理能力的关键.２解决策略２.１从宏观方面而言ꎬ需建构知识体系学生对几何图形的认识ꎬ是一个由简单到复杂的过程.先是认识点㊁线ꎬ再到形㊁体ꎻ先是每种图形的定义㊁表示方法ꎬ再到每种图形的性质和判定ꎻ先是孤立学习每个图形ꎬ再到图形之间的联系和结合.２.１.１建立图形体系对于点而言ꎬ初中阶段仅仅认识其表示方法ꎻ对于线而言ꎬ包括直线㊁射线和线段ꎬ根据直线的位置关系ꎬ有相交线和平行线两种ꎬ而相交线又会产生角ꎻ对于形而言ꎬ初中阶段主要研究三角形㊁四边形和圆三种图形ꎬ如图３所示.图３㊀基本几何图形体系图２.１.２建立图形性质和判定体系以四边形为例ꎬ初中阶段主要从旋转角度研究特殊的四边形ꎬ包括平行四边形㊁矩形㊁菱形㊁正方形ꎬ而每一种图形的性质和判定研究的过程又很相似ꎬ具体见表１和图４.表１㊀特殊四边形性质判定体系表图形对称性边角对角线轴对称图形中心对称图形对边平行且相等四边相等对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分相等互相垂直平行四边形矩形菱形正方形４２图４㊀特殊四边形判定关系图２.２从微观上而言ꎬ需建立不同语言相互转化的桥梁数学语言包括文字语言㊁图形语言和符号语言.在初中数学学习中ꎬ所有的数学问题基本是通过这三种语言来描述的ꎬ许多数学问题的解决也是依靠数学语言之间的转换实现的[１].２.２.１明确每个命题的本质 条件和结论在学习 三角形内角和定理 时ꎬ教师可提出问题:你能将其改写为 如果 ꎬ那么 的形式吗?学生思考并回答:如果一个图形是三角形ꎬ那么它的三个内角的和是１８０ʎ.教师总结ꎬ此命题的条件就是 一个三角形 ꎬ结论就是 三个内角的是１８０ʎ .教师由此引导根据条件画出几何图形ꎬ并根据条件和结论ꎬ用符号语言描述这个命题ꎬ然后利用所学知识进行证明.学生完成后ꎬ教师总结ꎬ得到三角形内角和定理ꎬ如表２所示.表２㊀三角形内角和定理三种语言表文字语言图形语言符号语言三角形的三个内角的和是１８０ʎ因为әＡＢＣꎬ所以øＡ＋øＢ＋øＣ＝１８０ʎ㊀㊀每个命题都是由条件和结论组成的ꎬ而这也正是每个命题的本质ꎬ明确了条件和结论ꎬ学生就不会再出现条件和结论分离的情况.因此ꎬ每个命题的学习ꎬ都需先引导学生明确条件和结论.２.２.２有意识强化三种语言之间的联系对于每一个命题ꎬ文字语言㊁图形语言和符号语言是不可分割的.在初中数学教学中ꎬ教师需有意识引导学生强化三种语言之间的相互转化.例３㊀如图５ꎬ在әＡＢＣ中ꎬＡＣ＝５ꎬＢＣ＝４ꎬＡＢ的垂直平分线ＤＥ分别交ＡＢ㊁ＡＣ于点Ｅ㊁Ｄ.求әＢＣＤ的周长.图５㊀例３题图解析㊀根据已知条件可知ＤＥ是线段ＡＢ的垂直平分线ꎬ由线段垂直平分线的性质可知ＤＡ＝ＤＢ.从而әＢＣＤ的周长为ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＢ＝ＢＣ＋ＣＤ＋ＡＤ＝ＢＣ＋ＡＣ＝９.显然ꎬ本题主要考查线段垂直平分线的性质ꎬ即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.解决本题的关键是实现文字语言㊁图形语言㊁符号语言之间的相互转化ꎬ从而建立已知条件与所求结论之间的逻辑关系ꎬ为问题解决创造条件.在解决本题时ꎬ教师可引导学生在图５中标注已知条件中的垂直平分线ꎬ并根据垂直平分线的性质表达推理过程.即 因为ＥＤ垂直平分ＡＢꎬ所以ＤＡ＝ＤＢ .显然ꎬ当学生在图形中标注垂直平分线时ꎬ就自然能够写出相应的符号语言.因此ꎬ对学生而言ꎬ每一道几何命题都是强化训练的一次机会.每遇到一个问题ꎬ教师都要引导学生借助关键词找到相应的图形.这样就能够将文字语言㊁图形语言和符号语言紧紧联系在一起.３结束语在日常教学中ꎬ有意识地从宏观方面构建几何图形体系ꎬ从微观方面关注每个定理三种语言之间的转化ꎬ可以有效提高学生几何符号语言表达能力ꎬ从而提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力ꎬ提升学生的几何推理能力.参考文献:[１]郭鑫培ꎬ闫瑞敏. 玩转 数学语言解题不再困难[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):８９－９１.[责任编辑:李㊀璟]５２。
(北师大)七下几何证明符号语言汇总
OB A
C
A
1 O2
B
C
全等三角 形的性质
全等三角 形的对应 边、对应 角相等。
如图所示 ∵△ABC≌△DEF ∴∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F， AB=DE，BC=EF，AC=DF
A
D
B
CE
F
全等三角 形的判定 方法
（1）边边 边
（2）边角 边
（3）角边 角
（4）角角 边
（5）斜 边、直角 边
A
C
F E
P
DB
推论：角 的内部到 角的两边 的距离相 等的点在 角的平分 线上。
（推论）几何语言：
如图所示
∵EC⊥PA 于 C，ED⊥PB 于 D，EC=ED ∴点 E 在∠APB 的平分线 上
A
C
F E
P
DB
轴对称的 性质
线段垂直 平分线的 性质
如果两个 连接任意一对对应点的线 、 图形关于 段被对称轴垂直平分。 某条直线 ∵两个图形关于某条直线 对称，那 对称 么对称轴 ∴A0=0B 是任何一 l⊥AB 对对应点 连线的垂 直平分 线。 线段垂直 （性质）几何语言： 平分线上 如图所示 的点与这 ∵MN 是线段 AB 的垂直平 条线段两 分线（或 MN⊥AB 于 D，AD 个端点的 ＝BD） 距离相等 ∴CA=CB
在△ABC 和△DEF 中 AB=DE， BC=EF，
AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） 在△ABC 和△DEF 中 AB=DE， ∠A=∠D，
AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SAS） 在△ABC 和△DEF 中 ∠A=∠D， AB=DE， ∠B=∠E ∴△ABC≌△DEF（ASA） 在△ABC 和△DEF 中 ∠A=∠D， ∠B=∠E，
关于几何语言1
现在起,我们就应该学习怎样正确、规范地使用 几何语言。下面根据图形介绍几种常用的几 何语言。
图形
几何的学习,离不开几何语言的正确使用.从
b
O
M
N l l
A B C D A B
a
语言描 直线a与 M是直线 N是直线l 延长线 b相交于 上一点 外一点 段AB到 述
点O. 或直线l 或直线l 经过点M 不经过 点N 点C ,使
2CB=AB
延长线 段BA到D, 使DA=AB 或反向延 长线段AB 到D,使 DA=AB
在直线 的同一方向上画 AB=3cm, l AC=2cm,AD=5cm;在DA的延长线上画DE=6cm,DF=8cm.那 FB 么点A是____的中点, 1 FB 1 ED ED 的中点; 点C是____ BD ____ _____. 3 3 F E A C B D
将定义翻译成符号语言并画出图形．符号语言能将文字语言与图形 结合起来，有利于学生理解几何概念的本质属性，也为文字证明 题打下基础．例如： （1）点M是线段AB的中点,可画出图1，翻译为符号语言： AM=BM，或BM= AB，或AB=2AM=2BM. （2）两直线相交，对顶角相等，可画出图2，翻译为符号 语言：∠BOC=∠AOD，∠AOC=∠DOB； （3）直级AB与CD互相垂直，垂足为O，可画出图3，翻译 为AB⊥CD，或∠AOD=90°．
·
··
··
·
l
1 线段AB＝16cm,M是AB的 点,N是AM 3 8 16 或 的中点,则MN=_______. 3 3 ·N ·M · · · N · M · A B A (1) (2)
· B
1 16 1 8 (1 ) AM 16 , MN AM 3 3 2 3 2 32 1 16 ( 2 ) AM 16 , MN AM 3 3 2 3
初中几何要过好语言关
初中几何要过好语言关
几何的基础语言形式有三种：一是文字语言、二是图形语言、三是符号语言。
这三种语言在几何学习中是并存的，通常又是相互渗透和转化的，要求学生不仅要理解文字语言，还要能准确的画出图形并用符号语言表示，将其中一种语言形式“翻译”成其他语言形式。
比如：在讲直线﹑射线﹑线段的概念时(以射线为例)
文字语言：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。
图形语言：画出图形
符号语言：射线OA（端点必须在前），或射线 m。
初中八年级数学几何定理符号语言
初中数学“图形与几何”内容20.全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。
如图所示：几何语言：∵△ABC≌△DEF∴∠A=∠D∠B=∠E∠C=∠FB C E F AB=DEBC=EFAC=DF21.边边边：三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）几何语言：如图所示∵AB=DE FEDAB CBC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF22.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（SAS）几何语言：如图所示∵AB=DE FEDAB C∠A=∠DAC=DF∴△ABC ≌△DEF23.角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（ASA ）几何语言：如图所示FEDABC∵∠A=∠DAB=DE ∠B=∠E ∴△ABC ≌△DEF24.角角边：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（AAS ）几何语言：如图所示FEDABC∵∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ∴△ABC ≌△DEF25.斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（H L ）∵AB=DE ，BC=EF （AB=DE ，AC=DF ） ∴△ABC ≌△DEF对对应点连线的垂直平分线。
29.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
（等边对等角） E FPA BCD几何语言：如图所示，在△ABC 中∵AB ＝AC∴∠B ＝∠C （等边对等角）32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
33.那几何语言：如图所示，在△ABC 中∵∠B ＝∠C∴AB ＝AC （等角对等边） 34.等边三角形的性质定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 。
半。
几何语言：如图所示C∵∠C ＝90°，∠B ＝30° ∴AC ＝21AB （或者AB ＝2AC ） 40.平行四边形的对边平行。
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD ，AD ∥BC 41.平行四边形的对边相等。
人教版七年级数学 关于几何语言 21页
看图说话、写话.看图说话或写话，不但能训练学生的语 言能力，而且可提高学生的识图能力，为今后证明几何题 奠定基础．例如，图4可叙述为“射线AB”；图5可叙述为 AC=BC=a，或AB=2a且C是AB中点；图6可叙述为 AB⊥CD，垂足为M，AM=BM，或CD是线段AB的垂 直平分线．
彻底理解每一个几何符号的含意
3、要联系实际去理解概念。如“点A在直线a上”，不能理 解成“点A在直线a的上面”。
4、注意不要犯循环定义的错误.如：“有公共端点且 互为反向延长线的两条射线形成的图形是一条直线” ，这是事实，但是，这不能作为“直线”的定义， 原因是：射线是由直线定义的，所以射线不能再 定义直线。
5、注意定义中的条件。如：互余的定义“如 果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫 做互为余角”，这里“两个”角是一个条件， 是三个角就不对。
一个几何概念，一般以文字语言来叙述，使用时要转化为 符号语言，以便叙述，同时还要用图形表示，展示其直观 性。如：“线段AB的中点M”，“直译”为“M是线段AB的 点”如图4，“意译”为“AM＝BM”、“AM＝ AB”或“A 2AM”。 反之，要注意符号语言和图形语言的文字叙述。例如： 图5译成“在直线L上有两点A、B”。 图6，若∠AOC＝∠BOC，译成“OC平分∠AOB”或“ ∠AOB的平分线OC”等。 互译过程中，用笔练和口练形成训练学生，让学生边实 践边学习，养成规范的几何语言的叙述、表示和画图。
2CB=AB
延长线 段BA到D, 使DA=AB 或反向延 长线段AB 到D,使 DA=AB
在直线 的同一方向上画 AB=3cm, l AC=2cm,AD=5cm;在DA的延长线上画DE=6cm,DF=8cm.那 FB 么点A是____的中点, 1 FB 1 ED ED 的中点; 点C是____ BD ____ _____. 3 3 F E A C B D
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学好几何符号语言
数学的说理性很强，因此用文字语言来叙述说理过程时，写的人嫌麻烦，读的人又觉得累赘，写和读的人都跟不上思考，常常迫使思路中断。
为了简化叙述，自古至今数学家们努力创造了大量缩写符号，简化叙述，使解决问题的思路顺畅。
代数的符号率先出现，最早使用数学符号的是公元3世纪的数学家丢番图。
随着科学的迅速发展，作为科学公仆的数学迫切需要改进表述方式方法，于是现代数学的符号体系开始在欧洲形成了。
许多数学符号很形象，一看就明了它的含意。
如第一个使用现代符号“＝”的数学家雷科德就这样说道：“再也没有别的东西比它们更相等了。
”他的巧妙构思得到了公认，从而相等符号“＝”沿用了下来。
最灿烂而美丽的图形科学──几何，为了进一步发展，许多几何符号应运而生。
如平行符号“∥”多么简单又形象，给人们抽象而丰富的想象，在同一个平面内的两条线段各自向两方无限延长，它们永不相交，揭示了两条直线平行的本质。
数学符号有两个基本功能，一是准确、明了地使别人知道指的是什么概念，二是书写简便。
自觉地引入符号体系的是法国数学家韦达（1854—1603年），而现代数学符号体系却采取笛卡儿（1596—1650年）使用的符号，欧拉（1707一1783）为符号正规化工作作出不少贡献。
如用a、b、c表示三角形ABC的三边等等，都应归功于欧拉。
数学中的符号越来越多，往往被人们错误地认为数学是一门难懂而又神秘的科学。
当然，如果不了解数学符号含意的人就看不a懂大量天书般符号的数学，唯有进了数学大门才能真正发觉数学符号给数学理论的表达和说理带来莫大的方便，甚至感到是必不可少的。
说来也奇怪，地球上不同地区采用不同的文字，可是数学符号却成了世界通用语言。
因此为了学好几何，必须加强几何符号语言的训练。
第一，彻底理解每一个几何符号的含意
例如符号A、B、C......没有什么几何意义，只有分别在它们前面或后面写上“点”字，才表示图1中的点。
又如AB前面写上“直线”“线段”或“射线”，就分别表示图2中（a）、
(b）、（c）的几何图形，否则符号AB就表示线段AB的长度，是一个数，因此3AB和AB 分别表示线段AB长度的三倍和三分之一。
再如符号∠ABC和△ABC表示不同的几何图形，前者是角（图（3a）），后者是三角形（图（3b））。
显然，要真正了解一个几何符号，必须首先理解相应的几何概念。
第二，正确书写几何符号。
数学符号大多是经过长期发展而形成的。
有些数学事实曾经有过五花八门的符号，如减号，数学家丢番都用符号“↑”表示，后人又用字母m（minus）表示，到15世纪才确认用符号“-”表示。
因此，一个好的数学符号经历了适者生存的规律的考验。
对这些数学符号（包括几何符号）都要严格按标准书写，书写几何符号是叫人容易看懂，不是叫人去猜谜语。
第三，不能臆造几何符号。
通行的几何符号已经得到了人们的公认，成了世界通用的符号，一般是不能随意变动的。
对于没有的符号也不能随便臆造，如“∠”表示锐角，表示钝角，“”表示直角，似乎很有意义，然而真正用起来就会发生许多不便，说明了这种符号的引人没有必要，也不可行。
不要臆造新的几何符号，并不是要大家墨守成规，不要创新。
事实上，新的数学知识产生，必然有新的符号出现。
大科学家爱因斯坦在他的遗稿中就有不少新的符号，至今尚未破译，不知道他说些什么，如果他生前公布了他研究的新成果，说不定这些符号也就此出世了。
但是，作为学生不要想入非非，重要的是要打好基础。
最后，我们再谈谈几何文字语言、几问图形语言和几何符号语言三者的关系。
这三种语言都是几何语言，在学习或研究几何中都很重要，缺一不可，因此就存在着它们间“互译”的问题。
例如，“读下列语句，并画出它们的图形：直线a、b相交于点C，直线b、c相交于点A，直线a、c相交于点B。
这时我们说‘直线a、b、c两两相交‘。
”此题要求我们把几何文字语言“翻译”成几何图形语言，如果“翻译”（画）成图4就错了，因为题中a虽然出现两次（“直线a、c相交”和“直线a、b相交”），可是都在同一道题中，所以在图中只能出现一次。
至于直线b、c同样如此，分别在图中只允许出现一次。
正确的“翻译”（画法）应是图5。
只有正确理解它们，才能进行正确互译。