高等量子力学-理论方法-5概述
高等量子力学内容介绍
4学时
♥ 均与经典力学的哈密顿形式密切相关 † 路径积分—源于经典力学的拉格朗日形式 ♥ 便于推广到相对论形式 ♥ 把含时与不含时问题纳于同一框架处理
♥ 便于考察量子学与经典力学之关系
相对论量子力学初步
• 6学时
• 14学时
角动量理论
• 角动量理论在分子原子原子核和基本粒子物理中有广 泛的应用.
• 10学时
二次量子化方法
使用产生算符合湮灭算符在对称化的希尔伯特空间处 理处理全同粒子系统的有效方法 • 二次量子化方法的基本概念 • 6学时
路径积分 路径积分方法的由来
●量子力学三种形式与经典力学的关系
† 矩阵力学—泊松括号→对易子
• 在五个基本原理的基础上建立量子力学的理论体系.
• 对量子力学的一些基本内容作简短的必要的重复,但主
要还是介绍属于高等量子力学的范围的新内容,如算符
的构造、代数运算、三种绘景、密度矩阵等
• 30学时
量子力学中的对称性
• 量子力学中对称性非常重要:
对称性的研究可以给出寻找运动规律的的某些线索； 对称性的存在,在未建立方程时,可以给解的形式以确定 的限制并将借进行分类； 薛定谔方程能精确求解的不多,据对称性分析可以确定 体系某些确定的知识—能级简并； 可使矩阵元的计算简化，为微扰计算提供合适的波函数； • 学习时空对称性与和他们相联系的守恒律
标准内容内容
量子力学中的对称性 角动量理论 二次量子化方法 路径积分 散射的量子理论 相对论量子力学初步
本课程教学内容安排
• • • • • • • • 希尔伯特空间 量子力学的理论结构 量子力学中的对称性 角动量理论 散射的量子理论 二次量子化方法 路径积分 相对论量子力学初步
如何正确理解和运用高等物理学中的量子力学理论
如何正确理解和运用高等物理学中的量子力学理论量子力学是现代物理学中最重要的分支之一，它对于我们理解自然界的奥秘起到了关键作用。
然而，量子力学的概念和理论往往具有抽象和复杂的特点，使得许多学生在学习过程中感到困惑。
在这篇文章中，我们将探讨如何正确理解和运用量子力学理论。
一、量子力学的基本概念1.波粒二象性：量子力学中最基本的观念之一是物质的波粒二象性。
这意味着微观粒子既具有波动性质，也具有粒子性质。
2.量子态：量子系统的一种特定状态，它可以由波函数来描述。
波函数包含了量子系统的所有可能信息，包括位置、动量、自旋等。
3.量子叠加：量子系统可以同时处于多个状态的叠加，这种现象是量子力学与经典物理学的本质区别。
4.量子纠缠：两个或多个量子粒子之间产生的一种强烈的关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态变化也会即时影响到另一个粒子的状态。
5.不确定性原理：由海森堡提出，它指出在同一时间无法同时精确知道一个粒子的位置和动量。
二、量子力学的基本数学工具1.波函数：描述量子系统状态的数学函数，通常用复数幅度表示。
2.薛定谔方程：量子力学的核心方程，描述了量子态随时间的演化。
3.算符：在量子力学中，物理量不是直接测量，而是通过对应的算符来操作波函数，得到物理量的期望值。
4.测量理论：量子力学的测量问题是一个复杂而深入的话题，涉及到量子态的坍缩以及观测者和量子系统之间的相互作用。
三、量子力学的基本原理1.互补原理：量子力学中的一个基本原理，表明量子现象无法用经典物理学的概念完整描述，而是需要互补的视角。
2.哥本哈根诠释：由波尔和海森堡等人提出，强调了量子系统的概率性和不确定性。
3.多世界诠释：一种试图避免量子测量问题中的坍缩概念的诠释，提出了量子宇宙中的所有可能历史都并存。
四、如何正确理解和运用量子力学1.数学基础：熟练掌握复数、线性代数、微积分等数学工具，是理解和运用量子力学的前提。
2.概念深入：量子力学中的概念非常抽象，需要通过大量的思考和练习来深入理解。
高等量子力学
高等量子力学引言量子力学是描述微观粒子行为的一门物理学科，其实质是一种非经典的物理理论。
在近百年的发展中，量子力学已经成为现代物理学的基石，并为许多技术和应用领域提供了支持。
通过研究量子力学，科学家们不仅深入理解了微观世界的奇妙现象，而且开展了众多的实验和应用，如量子计算、量子通信和量子隐形传态等。
本文将介绍高等量子力学的基本概念、主要原理和相关应用。
量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.波粒二象性：根据量子力学理论，微观粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
粒子性指的是微观粒子像粒子一样在空间中存在，并具有质量和速度等属性；波动性指的是微观粒子像波一样表现出干涉、衍射等现象。
2.不确定性原理：根据海森堡的不确定性原理，无法同时精确测量微观粒子的位置和动量，精确测量其中一个属性将导致另一个属性的不确定性增加。
这个原理限制了我们对微观世界观测的精确度。
3.波函数和薛定谔方程：量子力学中的波函数描述了微观粒子的状态。
波函数的演化遵循薛定谔方程，通过解薛定谔方程可以得到粒子在不同时间点的波函数演化情况。
4.量子态叠加和干涉：在量子力学中，量子态可以叠加和干涉。
当两个量子态发生干涉时，会产生干涉图样。
干涉图样的分布形式与波长、干涉源之间的距离等因素有关。
高等量子力学的主要内容高等量子力学是对基础量子力学进行深入研究和发展的理论体系，其主要内容包括：1.多粒子量子力学：高等量子力学研究多个微观粒子之间的量子力学相互作用。
多粒子量子力学描述了粒子之间的纠缠态、量子统计和玻色-爱因斯坦凝聚等现象。
2.开放量子系统：高等量子力学研究开放量子系统的动力学行为。
在实际应用中，量子系统往往会与外界环境发生相互作用，导致量子态的衰减和退相干。
高等量子力学通过密度算符和量子耗散规律等来描述开放量子系统的行为。
3.相干态和量子测量：高等量子力学研究相干态和量子测量的理论和实验。
相干态是多粒子量子系统的纯态，能够实现量子计算和量子通信等应用。
高等量子力学 课件 【ch05】开放量子系统动力学
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
量子力学入门概念
量子力学入门概念1. 量子力学的起源20世纪初，人们对微观世界的探索逐渐深入，经典物理学无法完全解释微观粒子的行为。
在这个时候，量子力学诞生了。
量子力学是研究微观粒子的理论物理学分支，奠定了整个现代物理学的基础。
它的诞生标志着经典物理学迈向现代物理学的新纪元。
2. 波粒二象性在量子力学中最重要的概念之一就是波粒二象性。
根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波的性质。
例如，光既可以被看作是一束光子（粒子），也可以被看作是一束电磁波（波）。
这种波粒二象性颠覆了人们对物质本质的传统认识，是量子力学理论的核心之一。
3. 不确定性原理量子力学引入了著名的海森堡不确定性原理。
该原理指出，在测量一个微观粒子的位置和动量时，无法同时准确知道它们的数值。
换言之，在量子尺度上，测量过程会对系统本身造成干扰，从而导致位置和动量无法同时确定。
这种不确定性原理挑战了经典物理学对测量过程的传统理解。
4. 玻恩统计与费米-狄拉克统计玻恩和费米、狄拉克分别提出了两种描述微观粒子行为的统计方法：玻恩统计和费米-狄拉克统计。
其中，玻恩统计适用于玻色子（如光子），而费米-狄拉克统计适用于费米子（如电子）。
这些统计方法为我们解释微观世界中粒子组成和行为提供了重要参考。
5. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了微观粒子的运动规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的波函数，从而推断出其在空间中的分布和运动状态。
薛定谔方程的提出极大地推动了人们对微观世界的认识和探索。
6. 量子纠缠量子纠缠是量子力学中一个令人费解但又不可忽视的现象。
当两个量子系统发生纠缠后，它们之间将建立一种特殊的联系，即使它们在空间上相隔甚远，改变一个系统中粒子的状态都会立刻影响到另一个系统中相关粒子的状态。
这种非局域关联关系挑战了我们对现实世界本质的理解。
7. 量子力学在科技领域应用除了在基础物理学中具有重要地位外，量子力学还在科技领域有着广泛应用。
高等量子力学 教材
高等量子力学是研究微观粒子，如原子、分子、光子等行为的物理学分支。
这门学科主要关注量子系统中粒子的波粒二象性、不确定性原理、量子纠缠等现象。
高等量子力学教材通常包括以下主要内容：
1. 量子力学基本原理：介绍波函数、薛定谔方程、测量理论等基本概念。
2. 量子力学数学基础：涵盖复数、矩阵、线性代数、群论等数学工具。
3. 量子力学基本定理：阐述算符、本征值、本征函数等基本定理。
4. 量子力学近似方法：介绍微扰理论、量子力学中的近似方法等。
5. 量子力学中的特殊理论：涵盖相对论量子力学、量子场论等高级理论。
6. 量子力学应用：讲解原子物理、分子物理、核物理、粒子物理等领域中的具体应用。
7. 量子信息与量子计算：介绍量子比特、量子门、量子算法等概念。
高等量子力学教材的目的是帮助读者深入理解量子力学的基本原理和方法，为进一步研究物理学和其他相关学科打下坚实基础。
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
《高等量子力学》课件
弹性散射和散射振幅
讨论弹性散射和散射振幅在量子力学中的重要性和 实验方法。
广义相对论和黑洞解释
探索广义相对论和量子力学如何解释黑洞和宇宙的 起源和性质。
原子结构和分子谱学
介绍原子结构和分子谱学的基本概念和实验方法。
第三部分：应用和实验
超导量子干涉仪和QED效应
量子热力学和量子信息
揭示量子热力学和量子信息领域中的新理论和 实验进展。
探索超导量子干涉仪和量子电动力学效应在实 验室中的应用。
干涉和纠缠
阐述干涉和纠缠的特性和重要性，以及实验验 证。
量子统计和量子相变
探讨量子统计和量子相变在凝聚态物理中的关 键作用。
哥本哈根解释和悖论
解读哥本哈根解释及其涉及的悖论和思考。
拓扑态和拓扑物质
介绍拓扑态和拓扑物质在量子领域中的前沿研 究和发展。
3
测量和测量算符
探索测量在量子力学中的意义，并介绍测量算符的概念。
4
Heisenberg不确定关系
阐述Heisenberg不确定关系对于测量的限制和角度的重要性。
5
哈密顿算符和Schrödinger方程
深入研究哈密顿算符和Schrödinger方程在量子力学中的作用。
第二部分：量子力学的基本理论
基态和激发态
《高等量子力学》PPT课 件
欢迎大家参加《高等量子力学》PPT课件，本课程将全面介绍量子力学的基本 原理、数学工具、应用和实验领域。让我们一起踏上奇妙的量子世界之旅！
第一部分：基础概念和数学工具
1
量子力学的发展和基本假设
追溯量子力学的发展历程，并介绍背后的基本假设和原理。
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结理论物理张四平学号：220120922061第一章希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。
例: 0 + 2 = 2 + 0 ;2 + 0 =0 即：2 =- 0 （存在逆元）（2 a）b=2（ab）2 （a+b）=2 a+ 2 b （2 ， 0 ）=（ 0 ， 2 ）* （2 ， 0 a）=（ 2 ，0 ）a 矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一； 2 （-1 ）=- 2 ；（0 +2 x）=0 x+2 x；2、正交矢量：（2 ，0 ）=0；模方：| 2 || 2 |= （2 ，2）；schwarts 不等式：| （2, 2 ）| 弓2 II 2 | ; 三角不等式：| 2 + 0 I弓2 I+I 0 I;3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集；对于同一矢量,左右因子不同, dirac 符号：<2 I0 >=（2 , 0）右矢量满足：I2 >+I0 >=I0 >+I 2 >；I2 >+I0>=I 2 >;I2 >*1=I 2 >；（I2 >+I 0 >）*a=I 2 >a+I 0 >a< 2 I 0 > 为；4、算符：I2>=AI2 >；A（I2>+I0 >）=AI 2 >+AI 0 >；线性算符的性质：定义域是个右矢空间,值域也是个右矢空间；定义域是有限维,值域也是小于等于这个维数；零算符：0I 2 >=I0> ；单位算符：II 2>=I2>；-1算符：AI 2 >=I 0 >；逆算符：A I 0 >=I 2 >；<0 I=<A 2 I=< 2 IA+ （A+为A勺伴算符）；若A有逆，则（A+）-1 =（A-1）+ ;5、等距算符：定义：U+U=l;性质：U+U=l;<U 0 IU 2 >=<0 I 2 > ；IU 2 I=I 2 I；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I或U+=U-1;投影算符：I 2 ><2 I （厄米算符）；7、本证矢和本证值：AI 2 i>=aI 2 i> （i=1，…s ）{I 2 i>}（本证子空间，s重简并）；厄米算符A的本证矢量：不简并的正交，S重简并的本证矢量构成一个s维的子空间，与其他的本证矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中,厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时,他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P, H, ... , }. 基矢选他们共同的本证矢, KIi>=kiIi> ；-1相似变换：存在幺正矩阵U: B=UAU, A, B相似.trA=trB , detB=detU+detA , detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{| & i>} E| & i>< & i|=1K 表象：{| v a>} 爼v a>< v a|=1| v a>=爼£i>Ui a-1| £i>= L| v 0>Uai-1Ya = E U«i 2 iW i = D Ji a 2 a-1A a = EZ U a i AijUj 3Aij= XT Ui a A a U 3一第二章 量子力学基本原理1、 基本原理：原理1:描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符 .2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态| “ >中取各值ai 的概率，与态矢量| “ >安人的归一化本证矢量 {|ai>} 的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符 Xi (i=1.2.3 )与相应正则动量有下 列对易关系：[Xi,Xj]=O [Pi,Pj]=O [Xi,Pj]=i(h/2 nZ ij而不同粒子间的所有算符均相互对易 .原理4.微观状态| “ (t)>随时间变化的规律是薛定谔方程 .原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的，服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子2、 哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.I “(t)>=| “ >f(t).H| 2 i>=Ei| 2 i>定态薛定谔方程能量值确定 .态矢量为：| 2 i(t)>=|i>exp (-iEit/h ).含时间的H 对应薛定谔方程的解为：| 2 (t)>= E |i> Ci exp (-iEit/h ).为各定态矢量的叠加.若已知初态| 2 0>=爼i> Ci则 | 2 (t)>= E |i><i| 2 0>exp (-iEOt/h ).第三章量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量 S, s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值： Sz=< /2 或 Sz=- /2 ;电子磁矩：u=-g (e/2mc ) s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B电子的自旋态只能有两个(朝上或朝下)3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按 Sx 分解，要么按Sz 分解，电2、自旋的矩阵表示：Sz=+ ' /2 -> Sz=- ' /2 ->电子的自旋态：| 2 (t)>| < 3= 1 I I _0【0] 2 (t)>=C1(t) a +C2(t) 32 (t)|=C1 (t) a -1 +C2 (t)『子不能同时具有Sz 和Sx.4、 pauli 矩阵 算符z x 和Z y 之间不对易，S= ( ' /2 ) Z0门Z x = I Z y = J 0 一 对易关系：Z * Z =Z 或S*S=S极化矢量：< z >=p=<e (t) I z | “(t)P A 2=Px A 2+Py A 2+Pz A 2=1 ;< Z p>=Px<Z x>+Py< Z y>+Pz<Z z>;P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与 P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(AZ j )A2> = <( Z j- Z i )A2> = 1-< Z j >A25、 分离谱：A| a =a| a >; < a a >= Sa a ' E | a >< a|=1；连续谱：E I E ‘>= y > ； ‘> = S (匕乂 ‘)； j d t ‘i t ‘><E ' = i ；6、 sxhrodinger 图景：态矢 | ® (t)>含t ，基矢|x>不含t ; Heisenberg 图景：态矢| ® (t)>不含t ，基矢|x>含t ; 一般：H=pA2/2m+V;<x|V|x ' > = V (x ) <x|x ' > = V(x) S (x-x '); <x|pA2/2m|x ' > = dp<x|p>(pA2/2m)<p|x ' >态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关(此为态矢在基矢上的投影) ；7、 基态|0> :基态波函数： 2 0 (x ) = <x|0> ；第一激发态 |1> = a+|0>: 2 1 (x ) = <x ' |1> ；第n 激发态： 2 n (x ) = <x ' |n> ;8、 <( A AA2 )><( A BA2) >》1/4|<[A,B]>|A2 ;对于任意的态矢：| a >= A A|>13>= A B |> ；<(A AA2 )><( A BA2) > >| ( A A , AB ) |人2 ;9、 谐振子不确定关系：基态： <(A xA2)><( A pA2) > = A2/4 ；激发态：<(A xA2 )><( A pA2)> = (n+1/2 ) Q 一 A ?；10、 相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数； 不同本证值的相干态一般不正交； 虽不正交，但有完备性； 全部的相干态，过完备性；11、 压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系： [b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0> ;一般压缩态：|z,r>= D (z ) S (r ) |0> ;12、 经典力学到量子力学： 薛定谔表述形成(波动力学)，重视描述粒子的波粒二象性运动的波 函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系， 重视传播函数 或传播子的作用•基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复Z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章对称性和角动量0-1 1 o_ 0 Sz=mz-i1、力学量成算符：{A,B}--->1/i ' [A,B]；[F ，H]--->F为守恒量；F的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H中某一连续对称性在真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子；2、F(r, p)的平均值:<F> = < “ (r) |F I “ (「)>；3、态的无限小转动：自旋为零：| ' (r)> = | “ (R r)>= W (x+y S 別-x S 忆)R(n, S ) = 1-i S *L*n/ 一；L是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：丄(吩)、蚣)=I®2；门=0(x1/2) + ®2(x —1/2)；①'(r)=(1-i S ( /2 Z z+Lz))①(r)/ 一转动算符：(1-i S 0一/2 Z z+Lz))/ '；任意轴：R ( n, S ) = 1- (i S / ) n(( /2 ) S+I)；粒子的总角动量：J= ' /2 S+L, J是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j A2=jx A2+jy A2+jz A2;[j A2,ji] = 0；[jz,j]=i ' j；[j+,j-] = 2 %5、标量算符：F=RFR -- 转动不变；6、若态丨“ >在只乙的作用下不变，贝V Rz| “ > = exp (-i S) | “ >；假定体系在变换Q下具有对称性，| W >=Q| W >，则保持几率不变，运动规律不变；总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px (s), H] = 0 ；W ' (x) = Dx ( s ) W (x)= W (x- s )；体系沿时间平移一无限小量n :I W ' (t)> = D ( n ) I W (x)>=| W (t+ n )> ； W (x,t)= W (x)exp(-iEt);8、本证态：W (-x) = W (x) 偶宇称态W (-x) = - W (x) 奇宇称态宇称本征值：pi= (-1 ) 1变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H在空间反演中是标量，可能含有的项是：PA2, L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量)；宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核” 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：-1 -1 TPT 1= - PTJT 1= - J ； 第五章 量子力学中的相位exp (—^ A dx )；才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理(不确定)信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子e 总的波函数： ■:(x ，W^i 0)(x ,) - exp 代• A(x')d x')，相位差改变了上-, 卉cB 衰变时放出电子对S 1、 经典物理中：H , A, 0 (四维矢量)，代替E,B (二阶反对称张量)； 量子物理中：A, 0，代替E,B 为本质上的需求；规范变换：A ' =A + V A ( x )；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了， 『(x ) = ¥ (x ) exp[ (x ) iq/ c]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性， 是一种对称性， 不影响可观测量；2、 A --B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差； 而是相位因子：就要求波函数做相应变化:根据波函数的几率解释，这一变换 确切的说不是相位,在磁场中: 称：S AB —■■ (AB 相)； c总的波函数：「(x,t)二(0)(x,t) exp(-^ (A 02(x,t)-A 01(x,t))dt') 20)(x, t),eS AB --- 规范不变AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相； 舟C，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 2e 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有：「s ds = 2二n ，即相角沿-走一圈回到原处，值只能变化 2二n •4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量；方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解；(t )= expQ 0」(t')dt')| n,R(t) J ⑴其中，e j '①为Berry 相因子; 在电场中: 3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为。
高等量子力学知识总结
高等量子力学总结 理论物理 张四平 学号：２２０１２０９２２０６１第一章 希尔伯特空间1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。
例：θ+ψ=ψ+θ；ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ）ψ（a+b ）=ψa+ψb（ψ，θ）=（θ，ψ）*（ψ，θa ）=（ψ，θ）a矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ；2、正交矢量：（ψ，θ）=0； 模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）；schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|；3、基矢n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集； 对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a<ψ|θ>≥0；4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是 小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1|θ>=|ψ>；<θ|=<A ψ|=<ψ|A+（A+为A 的伴算符）；若A 有逆，则（A+）-1 =(A -1)+；5、等距算符：定义：U+U=I ；性质：U+U=I ；<U θ|U ψ>=<θ|ψ> ；|U ψ|=|ψ|；6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）；7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算 符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证 矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集；8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵；L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1|να>= ∑|εi>Ui α|εi>= ∑|να>U αi-1 Ψα = ∑U αi -1ψiΨi = ∑Ui α ψαA αβ=∑∑U αi -1AijUj βAij=∑∑Ui αA αβU βj -1第二章 量子力学基本原理1、基本原理：原理1：描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢 量描写同一状态.原理2:1.描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符.2.物理量所能取得值是相应 的本征值.3.物理量A 在状态|ψ>中取各值ai 的概率，与态矢量|ψ>安A 的归一化本证矢量 {|ai>}的展开式|ai>的系数复平方成正比.原理3.微观系统中的每个粒子的直角坐标下的位置算符Xi （i=1.2.3）与相应正则动量有下 列对易关系:[Xi,Xj]=0 [Pi,Pj]=0[Xi,Pj]=i(h/2π)ζij而不同粒子间的所有算符均相互对易.原理4.微观状态|ψ(t)>随时间变化的规律是薛定谔方程.原理5.描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，是对称的，或是反对称的， 服从前者的粒子是波色子，服从后者的粒子是费米子.2、哈密顿算符不显含时间t 是能量算符.|ψ(t)>=|ψ>f(t).H|ψi>=Ei|ψi>定态薛定谔方程能量值确定.态矢量为：|ψi(t)>=|i>exp （-iEit/h ）.含时间的H 对应薛定谔方程的解为：|ψ(t)>=∑|i> Ci exp （-iEit/h ）.为各定态矢量的叠加 .若已知初态|ψ0>=∑|i> Ci则 |ψ(t)>=∑|i><i|ψ0>exp （-iE0t/h ）.第三章 量子力学的基本概念和方法1、一个电子具有自旋角动量S ，s 沿着空间中某一固定方向，只有两个可能的投影值：Sz=+ /2 或Sz=- /2；电子磁矩：u=-g （e/2mc ）s电子在外磁场中B 中又相互作用能量：H=-u*B2、自旋的矩阵表示：Sz=+ /2 -> α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡01 Sz=- /2 -> β=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 电子的自旋态：|ψ(t)>|ψ(t)>=C1(t)α+C2(t)β<ψ(t)|=C1*(t)α-1+C2*(t)β-1电子的自旋态只能有两个（朝上或朝下）.3、相继stern-Gerlach 实验说明：一般的说，测量必定要改变微观客体状态，当加第二个装置 Gx 测量Sx 时，原来关于Sz 的信息消失，一个电子的自旋要么按Sx 分解，要么按Sz 分解，电子不能同时具有Sz 和Sx.4、pauli 矩阵算符ζx 和ζy 之间不对易，S=（ /2）ζζx = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 ζy = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00i i ζz = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001 对易关系：ζ*ζ=ζ 或 S*S=S Sz=mz极化矢量：<ζ>=P=<ψ(t)|ζ|ψ(t)>P^2=Px^2+Py^2+Pz^2=1；<ζp >=Px<ζx>+Py<ζy>+Pz<ζz>；P 标志了自旋S 的指向；电子自旋的量子本质表现与P 矢量始终存在着起伏，用均方偏差度量：<(Δζj )^2> = <(ζj-ζi )^2> = 1-<ζj >^25、分离谱：A|α> =a|α>； <α|α’>=δαα’; ∑|α><α|=1;连续谱：ξ|ξ’>=ξ’|ξ’> ； <ξ|ξ’> = δ（ξ’-ξ’’）； ⎰d ξ’|ξ’><ξ’| = 1；6、sxhrodinger 图景：态矢 |ψ(t)>含t ，基矢|x>不含t ；Heisenberg 图景：态矢 |ψ(t)>不含t ，基矢|x>含t ；一般：H=p^2/2m+V;<x|V|x ’> = V （x ）<x|x ’> = V(x)δ（x-x ’）；<x|p^2/2m|x ’> = ⎰dp<x|p>(p^2/2m)<p|x ’>态矢：跟表象无关，跟图景有关；包函数：与表象有关，与图景无关（此为态矢在基矢上的投影）；7、基态|0>：基态波函数：ψ0（x ） = <x|0>；第一激发态|1> = a+|0>: ψ1（x ） = <x ’|1>；第n 激发态： ψn （x ） = <x ’|n>；8、<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ 1/4|<[A,B]>|^2 ;对于任意的态矢：|α>=ΔA|>|β>=ΔB|>；<(ΔA^2)><(ΔB^2)> ≥ |（ΔA ，ΔB ）|^2；9、谐振子不确定关系：基态：<(Δx^2)><(Δp^2)> = ^2/4；激发态： <(Δx^2)><(Δp^2)> =（n+1/2）^2 ^2;10、相干态：也是谐振子的量子态与经典粒子运动最为接近.相干态不是N 的本正态，但有确定的粒子数；不同本证值的相干态一般不正交；虽不正交，但有完备性；全部的相干态，过完备性；11、压缩态：算符：S(r)为幺正算符；在正则变换下：保持了对易关系：[b,b+]=[a,a+]=1;真空态：|0,r>= S(r)|0>；一般压缩态：|z,r>= D （z ）S （r ）|0>；12、经典力学到量子力学：薛定谔表述形成（波动力学），重视描述粒子的波粒二象性运动的波函数，服从薛定谔方程；heisenberg 矩阵力学，重视可观测量，算符；dirac 和feyman 路径积分，着眼于经典作用量和量子力学中相位之间的关系，重视传播函数 或传播子的作用.基本思想：一个粒子在某一时刻的运动情况决定于他们的过去或一切历史；在复z 平面上，半经为1/2的圆，面积为1*pi/4，相干态；在复z 平面上的椭圆，面积1*pi/4 测量精度在I 上提高了，在另一个方向降低了，压缩态；第四章 对称性和角动量1、力学量成算符：{A,B}--->1/i [A,B]；[F ，H]--->F 为守恒量；F 的一个守恒性必与体系的不可观测量的对称性变换直接联系；定态间的跃迁定则；分离对 称性；每个定态波函数必有严格的对称性；无限自由度的量子场论：H 中某一连续对称性在 真空有破坏，真空存在简并，但实际上对称也存在，表现为一个无质量的标量粒子； 2、F （r ，p ）的平均值:<F> = <ψ(r)|F |ψ(r)>;3、态的无限小转动：自旋为零：|ψ’(r)> = |ψ(R -1r)>=ψ(x+y δθ,y-x δθ,z )R(n,δθ) = 1-i δθ*L*n/ ; L 是标量场无穷小生成元；自旋为1/2的粒子波函数：波函数为二分量的旋量：1/2)(x (x1/2)(r)(r)(r)-ϕ+ϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕϕ=φ2121； Φ’(r)=(1-i δθ( /2ζz+Lz ))Φ(r)/转动算符：(1-i δθ( /2ζz+Lz ))/ ；任意轴：R （n ，δθ）= 1-（i δθ/ ）n （（ /2）δ+I ）；粒子的总角动量：J= /2δ+L ，J 是旋量场的无限小生成元；4、角动量算符的一般性质：j^2=jx^2+jy^2+jz^2;[j^2,ji] = 0;[jz,j]=i j;[j+,j-] = 2 jz;5、标量算符：F=RFR -1 -- 转动不变；6、若态|ψ>在Rz 的作用下不变，则Rz|ψ> = exp （-i δ）|ψ>；假定体系在变换Q 下具有对称性，|ψ>=Q|ψ>，则保持几率不变，运动规律不变； 总之：量子力学中一个不可观测量的对称性变换往往联系于一个可观测量的守恒性；7、将体系沿x 轴平移一无限小距离，体系具有平移不变性：[Px （ε），H] = 0；ψ’(x) = Dx （ε）ψ(x)=ψ(x-ε)；体系沿时间平移一无限小量η：|ψ’(t)> = D （η）|ψ(x)>=|ψ(t+η)>；ψ(x,t)=ψ(x)exp(-iEt);8、本证态：ψ（-x ） = ψ（x ） 偶宇称态ψ（-x ） = -ψ（x ） 奇宇称态宇称本征值：pi=（-1）l变换方式：主动式：坐标系不动，算符动；被动式，算符不动，坐标系反向；P*X ---> 标量P*S ---> 赝标量9、支配运动的H 在空间反演中是标量，可能含有的项是：P^2，L*S,P*X ；不可有的项：P*S(赝标量);宇称守恒在强相互作用下，电磁相互作用中有充分的实验支持；则在弱相互作用下有赝标量项，宇称不再守恒；原子核自旋S 在低温下沿外磁场固定方向排列，测量这种“极化核”β衰变时放出电子对S 方向存在一定角分布；10、实算符，时间反演不变：THT -1=T -1 TXT -1=X ；虚算符：TPT -1= - P TJT -1= - J ；第五章 量子力学中的相位1、经典物理中：H ，A, θ(四维矢量),代替E,B （二阶反对称张量）；量子物理中：A, θ,代替E,B 为本质上的需求；规范变换： A ’=A + ▽Λ（x ）；若要要求薛定谔方程在此变换下不变，否则物理规律就变了，就要求波函数做相应变化： Ψ’（x ）= Ψ（x ）exp[Λ（x ）iq/ c ]；薛定谔方程在定域规范变化下的不变性，是一种对称性，根据波函数的几率解释，这一变换 不影响可观测量；2、A--B 效应--->A 比B 更基本；因为表达了量子力学的相位差；确切的说不是相位， 而是相位因子： )dx A cie (⎰-μμ exp ； 才为描述电磁场最恰当的量，在物理上既不丢失信息，也不会附加非物理（不确定）信息， 称此因子为规范场的不可积相位因子. 在磁场中：总的波函数：)'x )d 'x (A exp()'x ()'x (c ie (0)1→→→→→⎰+ϕ=ϕ ，相位差改变了φc e ， 称：φ=ce AB S （AB 相）； 在电场中：总的波函数：t)(x,)dt't)),x (A -)t x,(A (cic -exp(t),x (t),x ((0)20102(0)1ϕ⎰+ϕ=ϕ→→→→ ， φ=ce AB S --- 规范不变 AB 相不依赖于速度等力学量，属于几何相，也是拓扑相；3、在超导体圆柱磁通量是量子化的，且磁通量的值为e 2c ，后来，N.Byers 和杨指出这是超导 体内形成copper 对的结果；copper 对波函数是单值的，有： n 2s d s ⋅π=⋅∇⎰→Γ，即相角沿Γ走一圈回到原处，值只能变化n 2π.4、Berry 相：量子力学的量可分为两类：随时间变化的快变量；随时间变化的慢变量； 方法：现将慢变量固定，解决快变量，然后让慢变量变化，得到正确的解； e )(i (t)t 0n (t)R n,|))dt'(t'i -(ν→>⎰ε=ϕexp t 其中,e i (t)ν为Berry 相因子；。
高等量子力学内容
高等量子力学内容以下是 6 条关于高等量子力学的内容：1. 嘿，你们知道吗？高等量子力学就像是一个神秘的魔法世界。
比如说，电子的行为就像那调皮的小精灵，一会儿在这里，一会儿又在那里！这多神奇呀！它让我们看到了微观世界那些不可思议的现象。
想象一下，我们眼中的日常物体，在量子力学的视角下竟然变得如此奇妙，难道你不想深入去探索一番吗？2. 哇塞，高等量子力学里的波粒二象性简直太酷啦！就好像光既是粒子又是波，这像不像是一个人既有温柔的一面又有刚强的一面呀！这种奇特的性质真的会让你惊叹不已。
当你了解到这些时，你难道不会被深深吸引，渴望知道更多关于它的秘密吗？3. 嘿呀，量子纠缠啊，那可真是让人又爱又恨！就如同两个心有灵犀的双胞胎，不管距离多远都能瞬间感应。
这在现实生活中简直无法想象！难道你不觉得这是大自然最神奇的魔术之一吗？它等着我们去揭开那神秘的面纱呢！4. 哎呀，高等量子力学中的隧道效应可真是够厉害的！就像一个人能神奇地穿越一堵看似不可逾越的墙。
在微观世界里，粒子就能做到这样不可思议的事情。
难道你不会为这种超乎常理的现象而着迷，急切地想弄明白到底是怎么回事吗？5. 哇哦，量子叠加态简直太让人不可思议了！这就好比一个东西可以同时处于多个状态，这在我们的常规认知里根本不可能呀！高等量子力学就是这样充满了惊喜。
你们说，这难道不是在挑战我们的想象力极限吗？6. 哼，高等量子力学可没那么容易搞懂，但越是难就越有挑战性啊！比如那些复杂的量子算符，就像是一道道难解的谜题。
但当我们解开一个又一个谜团时，那种成就感简直爆棚！这也使得我们对高等量子力学又爱又无奈呀，但是我们还是会义无反顾地去钻研，不是吗？结论：高等量子力学充满了神秘与奇妙，虽然很难，但值得我们去深入探索和学习。
高等量子力学讲义5-6章
确定位置设置粒子接收器
→ 比较 → − ↗
散射问题中量子态的渐近行为
量子力学 波函数 描述散射过程中粒子的状态。 − − − − − → 我们考虑非相对论无自旋粒子的入射束，由于考查渐近行为， V = 0，确定粒子的入射粒子束有 平面波描述 i Ae Pz z 沿 z 轴入射 进入散射中心 (靶) 的有效力程后 入射波 (物质波) 发生衍射 − − − − − − − − − − − − − → −→ 原入射方向外 + 其它方向的衍射传播 按衍射理论习惯 − − − − − − − − − − − − → ψi ↓ 入射波 相干叠加 ψ − − − − − − → 进一步，由于散射波是由散射中心向外发散的， 出了有效力程后 相对自由粒子的球面波 − − − − − − − − − − − → ψr→∞ −→ A e
i
+
ψs ↓ 散射波 = ψi + ψs
Pi r cos θ
+A
f (θ, φ) i Ps r e r
Pi 为入射粒子动量； Ps 为粒子经散射的动量。
渐进行为中量与散射物理量的关系
由量子力学：入射粒子流 ⃗ ji = 出射粒子流：
r js =
mi
z ∗ = ∇ψi −→ ji ψi
|A|2 Pi m
2π
若我们完成对立体角的积分，则得到总的散射截面 ˆ ˆ ˆ σ = dσ = σ (θ, ϕ)dΩ =
0
ˆ
0
π
σ (θ, φ) sin θdφdθ
上述物理量的实验获得：
实验可确定量 ↙ 单位时间入射粒子数目 ↘ ratio 微分散射截面 ↓ 总散射截面 散射理论的最终目的→ 确立理论中的散射截面 6 ← 积分 → − ↘ ↘ ↙ 散射后出射的粒子数 ↙
《 高等量子力学》课程教学大纲
《高等量子力学》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics二、课程代码及性质课程编码：课程性质：学科(大类)专业选修课/选修三、学时与学分总学时：64（理论学时：64学时）学分：4四、先修课程先修课程：无五、授课对象本课程面向物理学各专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。
本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。
其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。
第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。
在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。
课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。
七、教学重点与难点：课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点八、教学方法与手段：教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。
课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。
教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。
特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。
《高等量子力学》PPT课件
若
(微扰小于能级差的一半)，则有
注：1）在
时级数才能快速收敛
2）能级不因微扰而交叉
3）并非微扰足够小便能级数展开,还需满足收敛条件
2
二、微扰理论
记
，有
可见
定义
有
和
可解得：
因
取 有相应解
3
利用 本征矢方程为：
得：
比较解得：
4
归纳得解：
这里 微扰使不同未微扰态有所混合，但混入部分不含|n0>
5
三、微扰态矢的归一化
记
由于<n(0)|n>=1,
≤1
6
么么么么方面
Sds绝对是假的
四、应用举例
例1：谐振子
该问题也可解析求解：
8
解析解基态能量： 波函数：无微扰 有微扰时：
与二阶微扰结果完全相同！
9
例2：电场中的类氢原子
忽略自旋自由度，并设体系不简并（V不改变态的自 旋），则据微扰理论，能量变化为
12
无微扰态是宇称本征态，zkk=0, 无线性Stark效应（体 系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。
由于
,求和局限于相关态
10
原子极化率α定义： 类氢原子的基态的α:
对氢，该求和可严格求解为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 估算：
,与实验吻合
(考虑低激发态波函数，可提高估算精度）
11
§5.2 简并态的定态微扰理论
λ~[0,1]. λ=1是真正要求的微扰问题。引入λ可了解微扰 作用的特点，且使我们能通过比较λ不同幂次的系数 而方便地求得微扰展开序列。当然，这意味着本征态 与本征值在λ的复平面上，对应于λ =0附近是解析连续 的。此外，如果微扰法在实用上可行，则要求取少数 几项展开便应是较好的近似。
高等离子力学 量子力学的理论结构
与下式中 ci 的复平方成正比：
ai cai ,ccii, ci aiai
ii
(6.1)
如果本征值 ai 有简并，即有几个相互正交的本征矢量与之对
应，则物理量 A 取值 ai 的概率与这几个本征矢量的系数的复平 方之和成正比。
推论：
首先，一个厄米算符 A 的本征矢量 ai 所描写的状态，称为 这一算符（或它所描写的物理量）的本征态。在一个物理量 A 的 本征态 ai 中， A 取 ai 值的概率为 1，取其它值的概率为零。所 以，一个物理量在自己的本征态中，是取确定值的，此值即为相 应的本征值。
§6.1 引 言
量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论。对这 一学科，有广义和狭义两种理解。狭义的量子力学的研究对象 是低能量的无衰变（即长寿命）的粒子以及这样的粒子所构成 的系统，理论是非相对论的。但是由于相关的实验手段极为精 细，测量十分准确，理论中许多情况下需要考虑相对论效应的 微小影响。至于广义的量子力学则不受这些限制，能量可以很 高，粒子可以产生、湮灭和互相转化，系统的粒子数可以不守 恒，这时研究的对象是无穷多的场，这一领域常称为量子场论。 本书主要讨论狭义的量子力学。
关于原理5，将在第七章中作进一步的讨论。
§6-3 关于状态叠加原理
1 c1 2 c2
我们建议对于叠加不要单纯强调它与原来两个态的联系，还
应强调它与原来两个态的不同，可以说“叠加态 既不是 1 态
也不是 2 态，它是一个新的状态。”
我们用自旋态作为例子来说明。讨论电子的自旋态，取 S z 表
叠加原理反映了量子力学的一个重要的和根本的实质内容。
§6-4 算符的构成
现在我们把基本原理中提到的事项作一些说明和讨论。 用 X1 X，X 2 Y，X 3 Z 表示一个粒子在直角坐标下的
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5
总散射截面：
Q q( , )d
0
2 0
q( , ) sindd
[注 ] 由于N、 dn d 可通过实验测定，故而求 得 q ( , ) 。 量子力学的任务是从理论上计算出 q ( , ) ， 以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间 的相互作用以及其它问题。
ds
θ
Z
2
散射角 ：入射粒子受靶粒子势场的作用，其 运动方向偏离入射方向的角度。 弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶 粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散 射，否则称为非弹性散射。 入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射 粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数， 用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称 为入射粒子流强度。
ikr
ikr (r, , ) f ( , )e
10
e 2 (r , , ) f ( , ) 因此 r ikr e (r , , ) f ( , ) 2 r 2 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射 2 波，应略去。 在 r 处，散射粒子的波函数是入射平 ikz e 面波 1 和球面散射波 2 之和。即
14
二、中心力场中的弹性散射（分波法）
讨论粒子在中心力场中的散射。 U ( r ) ，状态方程 粒子在辏力场中的势能为
2
时， V (r ) 0 ，方程（5）变为
2
令
k 0 r
（ 6） （ 7）
8
ˆ2 2 L k 0 将（6）式写成 2 r 在 r 的情形下，此方程简化为 2 2 （ 8） k 0 2 r 此方程类似一维波动方程。我们知道，对于 一维势垒或势阱的散射情况 2 2 r
7
方程（4）改写为
[k V (r )] 0
2 2
（ 5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从 微观角度看，可以认为 r ，因此，在计算 q( , ) 时，仅需考虑 r 处的散射粒子的 行为，即仅需考虑 r 处的散射体系的波 函数。 设 r
ikr
(r )
r
ikr e ikz Ae f ( , ) r
（ 9）
11
为方便起见，取入射平面波 eikz 的系 2 | | 数 A 1 ，这表明 1 1 ，入射粒子束单位 体积中的粒子数为1。 入射波概率密度（即入射粒子流密度）
* 1 i * 1 J z 1 1 2 z z k N
k
k
x x
Ae
ce
ikx
Be
ikx
ikx
9
式中 e 为入射波或透射波，e ikx 为散射波， 波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射。三维 散射时，在 r 处的粒子的波函数应为入 射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解
ikx
(r, , ) f ( , )e
性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子 的动能有关，是， 的函数q] L Nd
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面 或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截 面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的 粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角 内。 dn q ( , ) N （ 2） d
3
散射截面 设单位时间内散射到（ ， ）方向面积元 ds 上（立体角d内）的粒子数为dn，显然 ds dn N dn 2 d r 综合之，则有： 或
dn Nd
（ 1）
dn q( , ) Nd
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的
6
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设 靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰 撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心 A 为坐标原点，散射粒子体系的 定态Schrö dinger方程
2 U (r ) E 2
令
2E k 2
2
2
（ 4）
2 V (r ) 2 U (r )
q ( , ) | f ( , ) |
2
（13）
13
由此可知，若知道了 f ( , ) ，即可求得 q( , )， f ( , ) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入 射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度 N v 给定，只要知道了散射振幅 f ( , )，也就能 求出微分散射截面。 f ( , ) 的具体形式通过求 Schrö dinger 方程（ 5 ）的解并要求在 r 时 具有渐近形式（9）而得出。 下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方 法：分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即 准确的散射理论。
i * * (ik 1 1 ik 1 ) 2
（10）
散射波的概率流密度
12
* i 2 * 2 2 Jr | f ( , ) | 2 2 2 2 r r r
（11）
单位时间内，在沿 ( , ) 方向 d 立体角内 出现的粒子数为 2 dn J r ds | f ( , ) | 2 ds r 2 （12） | f ( , ) | Nd 比较（1）式与（12），得到
第六章 散射理论
一、散射过程、散射截面
二、中心力场中的弹性散射-分波法（分波法）
三、方形势阱与势垒产生的散射 四、波恩近似
1
一、散射过程、散射截面 散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方 向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。 靶粒子所处位置称为散射中心。