21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
问 题： 试 计 算 x1 x2 ,
x1 x2
方程 x 4x 1 0 的两个根分别是 x1 4 ，x2 1 方程 x 4x 1 0 化成一般形式是
计算：x1
x2 3
， x1 x2
4
x 2 3x 4 0
。
关于x的方程 x x1 x x2 0 的两个根分别是
x 13x 3 0 的两根，求斜边长。
2
新知拓展： 5、若方程x2+px+18=0的一根是另一根的2倍， 则p= 。 6、已知x1、x2是方程x2+mx+m-1=0的两个实
2 2 数根，且 x1 x2 17 ，求m的值；
课堂小结：
1、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠ 0）根的情况由系数a、b、 c决定，有三种情形：
4 x1 1x2 1
新知拓展：
2、已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0
2
当m= 当m=
1 -1
时,此方程的两根互为倒数. 时,此方程的两根互为相反数.
新知拓展：
3、 已知一元二次方程3x2+kx-2=0的一个根是2， 求另一个根及k值。 4、如果直角三角形的两直角边是方程
2 2 2 b b 4 ac b b 4ac b b 4 ac b b 4 ac x1 . x1 , x2 , x2 . 2a 2a 2a 2a 2
计算： x1 x2
？ x1 x2 ？
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
通过刚才研究发现，若方程x2+px+q=0有实数根， 则它的两根x1，x2与p，q之间有如下关系：
第二十一章21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
Page 8
例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由韦达定理，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得
x1 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
Page 9
例2
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
1 2
3
5
3 2
2
4
6
1 2
b x1 x2 a
3
5
4
6
1 2
2 x 3x 1 0
2
1
2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
Page 3
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、x 2 。
b 求证： x1 x 2 a
2
c x1 x2 a
b b 4ac b b 4ac 证明：x1 x2 2a 2a
2
b
b 2 4ac b b 2 4ac 2a
2b 2a
b . a
Page 4
b b 2 4ac b b 2 4ac x1 x2 2a 2a
解法二： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0 解这方程，得 k= - 2 由韦达定理，得x1●2＝3k 即2 x1 ＝－6 ∴ x1 ＝－3 答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册
求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1
1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.
;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
7 3
x1x2=
9 3
3
（3）5x-1=4x²
解：方程化为4x²-5x+1=0
x1+x2=
5 4
5 4
x1x2=
1 4
课件PPT
课件PPT
典题精讲
x 例2 已知关于 的方程 x2 2m1xm2 2 0 ，m
取何值时,（1）方程有两个不相等的实数根；
1
无论k取何值， k
2
2
0
,
k
2 2
1
0
所以此方程有两个不相等的实数根。
课堂作业
课件PPT
9、关于x的方程kx2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等 的实数根，求k的取值范围.
k＞-1/2，且k≠0.
10、已知：a，b，c是△ABC的三边，若方程
ax 2 2 b 2 c 2x 2(b c) 2a 有 两 个 等 根 ，
（2）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
（3）由求根公式可知，一元二次方程最多有 个实数根，也可能有 1 个实根或者没有实根.
（4）一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋ c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ 表示它，即Δ＝b2－4ac.
课件PPT
探索新知
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
典题精讲
例2
已知关于x的方程
x22m1xm22 0
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1
(2)两根之和等于3； m= 2 (3)两根之积等于1； m= 3
(4)两根的平方和等于8； m=0
(5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练习10 已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x－m2＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2， 且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
x2 10x 9 0
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分别为
x1和x2，则x1＋x2的值等于___-_2____．
练习4 设a,b是一元二次方程x2＋x－2016＝0 的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝__2_0_1_5__．
巩固练习
练习5 已知x＝4是一元二次方程x2－3x＋c＝0
x1 x2 p x1 x2 q
如果方程二次项系数不为1呢?
自主探究
2. 探究
一般地,一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0（a≠0）中, 两二根次之项和系等数于a未一必次是项1系，数它与的二两次根项的系和数、的积比与的系相数反分数别， 两有根怎之样积的等关于系常？数项与二次项系数的比。
b x1 x2 a
c x1 x2 a
请利用一元二次方程的求根公式验证！
自主探究
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2=
b a
,
x1x2=
c a
注：能用根与系数的关系的提条件为：
1. 一元二次方程为一般形式:ax2+bx+c=0 2. △=b2-4ac≥0
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
12．[2014· 鄂州]已知一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的范围；
(2)设方程两实根为 x1，x2，且 x1－ x2＝ 1，求 m 的值．
2 Δ ＝（－ 2 m ） － 4m（ m－ 2）≥ 0， 解：(1)由题意，得 m≠ 0.
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分层作业
(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 92 33 ＝ 2 －4×3＝ ， 4 33 ∴x1－x2＝± . 2
【点悟】 利用根与系数的关系求有关代数式的值的一 般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值； (2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表 示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
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8．已知 2－ 5是关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋c＝0 的一 个根，求方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为 x1，由 x1＋2－ 5＝4，得 x1 ＝2＋ 5.
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9．[2014· 威海]方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实 数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是 ( C )
∴m 的最大整数值为 m＝1； (2)把 m＝ 1 代入关于 x 的一元二次方程 x2－2 2x＋m＝0， 得 x2－ 2 2x＋1＝0， 根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝2 2，x1x2＝1，
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标：
知识与技能：
掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
过程与方法：
经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
情感态度与价值观：
通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用教学难点：定理的发现及运用。
教学重难点：
重点：根与系数关系及运用教学
难点：定理的发现及运用。
教学过程：
一、板书课题
二、出示目标
三、自学指导
自学课本第15—16页的内容，注意：
1、回答15页中思考一中问题，理解根与系数之间存在关系；
2、回答思考2的问题，理解根与系数的关系的得出方法，识记
根与系数之间的关系公式；
3、理解例4的解题方法和步骤。
四、先学
1、学生按照自学指导先自学课本内容，教师巡视督促学生
自学
2、检测：
课本第16页练习题
五、后教
更正：发现错误的同学举手更正，教师点拨
六、课堂小结
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，教师可适当引导和点拨。
七、当堂训练
布置作业：课本第17页第7、11题
板书设计：
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
x1＋x2= 即：两根之和等于
x1•x2= 即：两根之积等于
教学反思：
关键是在题目中的应用。
21.2.4一元二次方程的根和系数的关系(教案)
-理解韦达定理的推导过程，特别是为何两根之和等于-b/a，两根之积等于c/a。
-学会灵活运用韦达定理解决复杂的一元二次方程问题。
-在实际问题中，如何将问题抽象成一元二次方程，并进行求解。
举例解释：
-难点在于让学生理解韦达定理背后的数学原理。可以通过图形或代数方法解释，如：一元二次方程的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其两根对应的点在x轴上，而韦达定理正是这两个点的坐标关系的体现。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是通过韦达定理进行描述的，它是解决一元二次方程相关问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过韦达定理快速求解一元二次方程的系数和根。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调韦达定理的两个重点：根之和与根之积的表达式。对于难点部分，如推导过程和理解其背后的数学原理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.学会运用韦达定理解决实题，让学生感受数学在现实生活中的应用，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力，通过一元二次方程的根与系数关系的探究，提高学生的逻辑推理和数学抽象素养。
2.强化学生的数学建模素养，使学生能够将现实问题转化为数学问题，运用所学知识求解，并解释结果的实际意义。
-通过实际例题，让学生感受数学在现实生活中的应用。
举例解释：
-对于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0），重点强调其两根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
-在解决实际问题时，如已知一个根x1，可以运用韦达定理求解另一个根x2或方程的系数，如：若x1=2，则x2=(-b-a*x1)/a，或b=-a*(x1+x2)。
第21章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
【规范解答】 由题意知：x1＋x2＝2a，x1x2＝a2－2a＋2，因为x21＋x22＝(x1 ＋x2)2－2x1x2＝(2a)2－2(a2－2a＋2)＝2a2＋4a－4＝2，所以a2＋2a－3＝0， 解得a1＝－3，a2＝1.当a＝－3时，原方程变为x2＋6x＋17＝0，Δ＝62－ 4×1×17＝－32＜0，方程无实数根，a＝－3应舍去．当a＝1时，原方程 变为x2－2x＋1＝0，Δ＝(－2)2－4×1×1＝0，方程有实根，所以a＝1.
2 1
x2＋x1x
2 2
的
值为( A )
A．－3
B．3
C．－6
D．6
7．已知一元二次方程x2－2x＋m＝0的两根为x1、x2，且x1＋3x2＝3，求m 的值．
解：由题意，得xx11＋ ＋x32x＝2＝23 ，解得xx12＝＝3212
，又∵x1·x2＝m，
∴m＝23×12＝34
8．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根分别是0和－2，则p和q的值分
14．已知方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值． 解：已知方程的一个根为x1＝2，设方程的另一个根为x2，由根与系数的关 系得： x1＋x2＝－(－6)，x1x2＝m2－2m＋5 把x1＝2代入x1＋x2＝－(－6)中得，x2＝4 把x2＝4代入x1·x2＝m2－2m＋5中得 m2－2m＋5＝8 解得m1＝3，m2＝－1 ∴方程x2－6x＋m2－2m＋5＝0的另一个根为4，m的值为3或－1.
16．关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实 数根的倒数和等于4？若存在，求满足条件的k的值；若不存在，请说明理 由．
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21.2.4 一元二次方程根与系数关系
一、内容和内容解析
1．内容
一元二次方程根与系数的关系．
2．内容解析
一元二次方程的根与系数关系反映了一元二次方程的根与它的系数之间的一种确定关系．利用这一关系可以解决许多问题，同时它在高中数学的学习中有着更加广泛的应用．实际上，一元n 次方程的根与系数之间也有确定的数量关系，我们把它称之为韦达定理，一元二次方程的根与系数关系是韦达定理在n =2时的特例．
一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的求根公式x =，反映了方程的根的值是由系数a 、b 、c 所决定的，从一方面反映了根与系数之间的联系；而本节课中的
12b x x a +=-，12c x x a
⋅=是从另一方面更简洁地反映了一元二次方程的根与系数之间的联系．
本节课从思考一元二次方程的根与方程中的系数之间的关系开始，由特殊到一般，先让学生思考二次项系数为1的情形，然后再思考并证明一般形式时的根与系数的关系．本节课为选学内容．
基于以上分析，确定本课的教学重点：一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）了解一元二次方程的根与系数关系，能进行简单应用．
（2）在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般的认识方法．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能说出一元二次方程的根与系数关系，并能利用根与系数关系求出两根之和、两根之积．
达成目标（2）的标志是：学生能够借助问题的引导，发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系．
三、教学问题诊断分析
一元二次方程的根与系数关系是在学生已经学习了一元二次方程的解法的基础上，对一元二次方程根与系数之间的关系进行再探究．如果让学生思考一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根与系数之间有怎样的关系，学生会回答出求根公式
x =，而不会想到两根之和、两根之积与系数之间的关系。
因此，先引导
学生从特殊的一元二次方程得到两根之和、两根之积与系数之间关系的猜想，再推广到一般，探索一元二次方程根与系数关系．
另外，在计算两根之积时，能否观察出式子中具有平方差公式的结构，并运用平方差公式正确进行计算，也是一部分学生的难点．
本节课的教学难点是：发现一元二次方程根与系数关系的过程．
四、教学过程设计
1．复习一元二次方程一般形式及求根公式
问题1 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？
师生活动：学生回顾一元二次方程的一般形式及求根公式．
设计意图：复习一元二次方程的一般形式及求根公式，使学生进一步明确求根公式是方程的根与系数之间的一种关系，为推导根与系数之间的关系作好准备．
2．猜想二次项系数为1时的根与系数关系
问题 2 方程()()120x x x x --=（1x ，2x 为已知数）的两根是什么？将方程化为20x px q ++=的形式，你能看出1x ，2x 与p ，q 之间的关系吗？
师生活动：学生独立思考，得出方程两根为1x ，2x ，通过将()()120x x x x --=的左边展开，化为一般形式，得到方程()212120x x x x x x -++=．发现这个方程的二次项系数为1，一次项系数()12p x x =-+，常数项12q x x =．学生独立观察并讨论后，发现这两个方程的两根之和是12x x p +=-，两根之积是12x x q =．
设计意图：通过教师引导和点拨，让学生在二次项系数为１的方程中发现一元二次方程根与系数关系．
3．猜想、验证一元二次方程根与系数关系
问题3 一元二次方程2
0ax bx c ++=中，二次项系数a 未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
师生活动：学生独立思考后，教师追问：
如何探究这两者之间的关系呢？（利用一元二次方程的一般形式和求根公式）
学生独立完成证明过程，然后再全班交流。
学生有可能利用问题2的猜想，通过将一元二次方程 ax 2+bx +c =0一般式转化为x 2+b a x +c a
=0的形式，得出猜想12b x x a +=-，12c x x a =． 设计意图：通过讨论，让学生经历从特殊到一般的探究过程，明确一元二次方程的根与系数关系．
4．练习、巩固
例 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x 1，x 2的和与积：
（1）x 2-6x -15=0； （2）3x 2+7x -9=0； （3）5x -1=4x 2．
师生活动：先让学生独立完成。
学生在解决问题时可能会出现先求出一元二次方程的根，再求两根之和、两根之积的情况，也可能出现根与系数关系记忆不准确的情况，在（3）题中可能没有整理成一般形式．教师要及时进行订正．
设计意图：加强对一元二次方程的根与系数关系的认识，并进一步熟悉根与系数关系的应用．
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1）x 2-3x =15；
（2）3x 2+2=1-4x ； （3）5x 2-1=4x 2+x ；
（4）2x 2-x +2=3x +1． 师生活动：四名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．
设计意图：让学生进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系的认识．
5．小结
问题4回答以下问题：
（1）一元二次方程根与系数的关系是什么？
（2）我们是如何得到根与系数关系的？
设计意图：通过小结，引导学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——一元二次方程根与系数的关系．引导学生体会获得根与系数的关系时是从什么角度提出问题的，进而培养发现和提出问题的能力。
6．布置作业
教科书习题21.2第7题．
五、目标检测设计
求下列方程两个根的和与积：
（1）x 2-4x +7=10；（2）5x 2-2=x +3；（3）2
23x x ．
设计意图：考查学生对一元二次方程根与系数关系的了解情况．。