运筹学复习考点剖析
运筹学复习重点
运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。
（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。
（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。
（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。
（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。
（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。
第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。
（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。
（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。
（4）M/M/1模型、M/M/c模型的状态转移图，概率平衡方程，以及了解系统状态概率、基本性能指标的计算过程。
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
考研运筹学知识点解析
考研运筹学知识点解析运筹学是一门涉及数学、统计学、经济学和计算机科学等多个学科的综合性学科，主要研究如何对复杂的决策问题进行建模、分析和优化。
在考研中，运筹学是管理类专业中的必考科目之一，掌握运筹学的知识点对于考研学子来说非常重要。
本文将对考研运筹学的一些重要知识点进行解析，帮助考生全面了解和掌握这门学科。
一、线性规划线性规划是运筹学中的基本方法之一，广泛应用于企业生产、物流配送、资源调度等领域。
线性规划的目标是求解一个线性目标函数在一组线性约束条件下的最优解。
其中，线性目标函数是一个关于决策变量的线性函数，线性约束条件指的是约束条件的关系式为线性等式或不等式。
二、整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划常用于需要对决策变量进行离散分配的问题，如生产线的切割、网络节点的选址等。
整数规划的求解相对于线性规划来说更为困难，通常需要借助于分支定界算法、割平面算法等优化方法进行求解。
三、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
它通过将原问题分解为多个阶段，并逐步求解每个阶段的最优解，最终得到原问题的最优解。
动态规划常用于最短路径问题、最优化问题等。
在动态规划的求解过程中，需要建立状态转移方程，利用递推关系进行计算。
四、网络优化网络优化是研究网络中资源配置和流量分配的问题。
常见的网络优化问题包括最小生成树问题、最短路径问题、最大流问题等。
网络优化可以应用于交通规划、通信网络设计等领域，通过优化网络中的资源分配，提高资源利用效率，降低成本和能源消耗。
五、排队论排队论是研究人员如何优化队列系统中的资源安排和人员调度的学科。
排队论常用于服务系统的设计和管理，如银行的柜台服务、交通信号灯控制等。
排队论的研究内容包括排队模型的建立、系统性能的评估和优化策略的设计等。
六、决策分析决策分析是研究如何进行决策的方法和技术。
在复杂的决策问题中，决策分析可以帮助决策者从多个候选方案中选择最优方案。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
山东省考研管理科学与工程专业运筹学重点考点解析
山东省考研管理科学与工程专业运筹学重点考点解析运筹学作为管理科学与工程专业的重要学科之一，对于考研的学生而言，是必须要掌握的一门知识。
在山东省考研中，运筹学的考点是必考的，下面将为大家解析山东省考研管理科学与工程专业运筹学的重点考点。
一、线性规划1.基本概念线性规划是运筹学中的一种常用工具，通过建立数学模型，找出最优解决方案。
在考试中，会涉及到线性规划的基本定义、基本性质等方面的考查。
2.单纯形法单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法，能够高效地寻找到问题的最优解。
在考试中，可以通过求解简单的线性规划问题，来熟悉和掌握单纯形法的步骤和求解过程。
3.灵敏度分析考试中，还会涉及到灵敏度分析的内容。
灵敏度分析是指在已知线性规划模型的基础上，通过对目标函数系数或约束条件右端常数进行一定范围内的改动，研究最优解的变化情况。
在考试中，需要了解灵敏度分析的基本原理和方法，并能够灵活应用。
二、整数规划1.基本概念整数规划是线性规划的一种扩展，其变量取值为整数。
在考试中，需要了解整数规划的基本概念和性质，并能够区分整数规划和线性规划的区别。
2.分枝定界法分枝定界法是解决整数规划问题的一种常用方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小问题的解空间，以寻找最优解。
在考试中，可以通过求解简单的整数规划问题，来熟悉和掌握分枝定界法的步骤和求解过程。
3.混合整数规划混合整数规划是整数规划的一种特殊形式，其中部分变量取值为整数，部分变量取值为实数。
在考试中，需要了解混合整数规划的基本概念和性质，并能够将混合整数规划问题转化为线性规划问题来求解。
三、网络流问题1.基本概念网络流问题是运筹学中的重要内容，研究网络中物质、货物或信息的传输问题。
在考试中，需要了解网络流问题的基本概念和性质，如最大流最小割定理、可行流和最大流之间的关系等。
2.最小费用流最小费用流是网络流问题中的一个重要分支，其目标是寻找在网络中传输给定数量物质的最低费用方案。
运筹学复习资料资料讲解
运筹学复习一、 填空题1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线.2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则3、对偶问题为最小化问题。
4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。
5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。
6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题；7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。
8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。
9、一个无圈且连通的图称为树。
10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法．11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低．12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。
13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量．14、原问题与对偶问题是相互对应的． 线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题．15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高．16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法．17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个．18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题．19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程．20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图．21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。
考研运筹学常考考点与经典题型精编
第一章 运筹学考点精讲第一节 绪论1. 运筹学的起源与发展：•起源于二次大战的一门边缘交叉学科•由于战争的需要而产生与发展；战后在经济、管理和机关学校及科研单位继续研究；我国于1982年加入IFORS ，并于1999年8月组织了第15届大会。
2. 运筹学的特点及研究对象：运筹学是一门边缘性的、综合性的应用科学。
它是以应用数学为主要技术手段，综合应用经济、军事、心理学、社会学、物理学、化学以及工农业生产的一些理论和方法，对实际问题找出最优的或满意的解决方案的一门科学。
3. 运筹学解决问题的方法步骤：•明确问题•建立模型•设计算法•整理数据•求解模型•评价结果•实施控制4. 运筹学的主要内容5. 运筹学的主要应用领域第二节 线性规划基础1. 问题的提出：从两个生产与经济问题的实例出发，引导学生认识实际问题同数学模型之间的联系，认识规划模型同一般的数学方程、数学函数之间的区别，认识用数学方法解决实际问题的基本思维模式和方法途径。
2. 线性规划的一般数学模型：掌握线性规划的构成形式及要素：决策变量、约束条件、目标函数。
线性规划的一般模型为：目标函数：n n x c x c x c z +++= 2211max(min)约束条件：s.t. 11212111),(b x a x a x a n n =≥≤+++22222121),(b x a x a x a n n =≥≤+++m n mn m m b x a x a x a ),(2211=≥≤+++0,,,21≥n x x x3．线性规划解的概念：可行解——满足所有约束条件包括非负条件的解； 最优解——使目标函数①达到最大值的可行解；基；基本解——非零分量的数目不大于方程数m ，则称X 为基本解； 基本可行解——满足非负条件的基本解；可行基——对应于基本可行解的基。
4.线性规划图解法1) 用图解的方法解上一节提出的线性规划模型。
通过图解，使学生较直观地看到线性规划模型的求解过程及其意义，掌握图解法的基本方法和技巧，清楚地认识到线性规划有解的条件和最优解可能存在的位置。
运筹学知识点总结
运筹学知识点总结一、线性规划线性规划是运筹学中最基础、最重要的一个分支。
它的基本形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ≥ 0其中，c是一个n维的列向量，x是一个n维的列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维的列向量。
线性规划的目标是找到满足约束条件的x，使得目标函数cx取得最大值。
而当目标是最小化cx时，则是最小化问题。
线性规划问题有着很好的性质，它的最优解一定存在且一定在可行域边界上。
而且，很多非线性规划问题也可以通过线性化转化成线性规划问题，因此线性规划具有广泛的适用范围。
二、整数规划整数规划是线性规划的一个扩展，它在线性规划的基础上增加了对决策变量的整数取值限制。
这样的问题往往更加接近实际情况。
整数规划问题的一般形式可以表示为：Max cxs.t. Ax ≤ bx ∈ Zn整数规划问题的求解难度要比线性规划问题高很多。
因为整数规划问题是NP-hard问题，也就是说它没有多项式时间的算法可以解决。
但是对于特定结构的整数规划问题，可以设计专门的算法来求解。
比如分枝定界法、动态规划等。
整数规划问题在许多领域都有着广泛的应用，比如生产调度、设备配置、网络设计等。
三、动态规划动态规划是一种用来求解具有重叠子问题结构的最优化问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解成一系列相互重叠的子问题，然后利用子问题的最优解来构造原问题的最优解。
动态规划问题的一般形式可以表示为：F(n) = max{F(n-1), F(n-2)+cn}其中，F(n)是问题的最优解，cn是问题的参数，n是问题的规模。
动态规划问题的求解是一个自底向上的过程，它依赖于子问题的最优解，然后通过递推关系来求解原问题的最优解。
动态规划在资源分配、路径优化、排程问题等方面有着广泛的应用。
四、决策分析决策分析是一种用来帮助人们做出最佳决策的方法。
它可以应用在各种风险决策、投资决策、生产决策等方面。
决策分析的一般形式可以表示为：Max E(u(x))其中，E(u(x))是对决策结果的期望效用，u(x)是决策结果的效用函数，x是决策变量。
运筹学复习重点
二、表解形式的单纯形法 千里之行，始于足下。
(1)建立初始单纯形表：包括决策变量、基变量及其价值系数，以
及约束方程组的增广矩阵。
(2)找出初始可行基：在增广矩阵中寻找单位子矩阵形式的可行
基，进而得到相应的基变量。
(3)计算
zj
=
m
∑ ciaij
,其中ci
是基变量的价值系数,进而计算检验数
σ j = z j − ci=j1。
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千里之行，始于足下。
对称形式下原问题和对偶问题在形式上的对比
原问题：
对偶问题：
用矩阵形式表示，对称形式下原问题与其对偶问题
的对比如下：
max z = CX
min ω = Y ′b
AX ≤ b
A′Y ≥ C′
≥ 0 第 10 页源 /共 37 页 10
千里之行，始于足下。
四、工作指派问题
工作指派问题是这样一类问题： 有n个人和n件事，已知第i个人做第j件事的 费用为cij (i, j = 1, 2,", n),要求确定人和事之间的 一一对应的指派方案，使完成这n件事的总 费用最少。
对于工作指派问题，一般用匈牙利法进行求解。
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千里之行，始于足下。
令始点 vs的标号为[0, ∞] 。
标号规则：
1)若从已标号顶点 vi 顶点vj 标号为 [vi , β
出发的弧是正向弧，当
{ (v j )] ，其中β (vj ) = min β (vi
fij ),
< cij
cij时，
} − fij ;
2)若从已标号顶点 vi出发的弧是反向弧，当 f ji > 0 时，
运筹学考研备考要点整理
运筹学考研备考要点整理运筹学（Operations Research）是一门应用数学学科，研究如何在面对复杂决策问题时，通过建立数学模型并应用优化技术来优化决策方案。
在运筹学考研备考过程中，有一些重要的要点需要整理和掌握。
本文将对运筹学考研备考要点进行整理，帮助考生提高备考效率和准备水平。
一、线性规划线性规划是运筹学的重要分支，研究目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
在运筹学考研中，线性规划是最为基础和常见的内容，考生需要掌握以下要点：1. 理解线性规划基本概念：包括目标函数、约束条件、可行解、最优解等概念的定义和意义。
2. 理解线性规划的图像解释：掌握如何将线性规划问题转化为几何空间中的图形，并通过图形分析来求解线性规划问题。
3. 理解线性规划的求解方法：包括单纯形法、对偶理论、内点法等方法，并能够应用这些方法解决线性规划问题。
4. 掌握线性规划的常见变形和应用：如混合整数线性规划、多目标线性规划、灵敏度分析等，并能够应用这些知识解决实际问题。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，研究目标函数和约束条件中的变量只能取整数值的优化问题。
在运筹学考研备考过程中，整数规划是一个重点内容，需要注意以下要点：1. 理解整数规划的基本概念和性质：包括整数规划问题的定义、可行解的定义、整数规划问题的NP难度等。
2. 掌握整数规划的求解方法：包括分支定界法、割平面法、列生成法等方法，并能够应用这些方法解决整数规划问题。
3. 研究整数规划的特殊结构和应用：如0-1整数规划、图论中的整数规划、车辆路径问题等，并能够应用这些知识解决实际问题。
三、动态规划动态规划是一种通过递推和记忆化搜索的方法，解决具有重叠子问题性质的优化问题。
在运筹学考研备考中，动态规划是一个需要重点掌握的内容，需要注意以下要点：1. 理解动态规划的基本思想：包括最优子结构、边界条件、状态转移方程等概念的理解和应用。
2. 掌握动态规划的问题分类和求解方法：包括线性动态规划、区间动态规划、背包问题等，以及基于动态规划的近似算法。
高等数学中的运筹学相关知识点详解
高等数学中的运筹学相关知识点详解运筹学是一门集数学、计算机科学、经济学、管理学于一体的交叉学科，主要研究决策问题的数学方法和技术，其研究范围广泛，可以应用于工业、交通、金融等各个领域。
在高等数学中，运筹学是一个重要的学科，以下将详细介绍高等数学中与运筹学相关的知识点。
一、线性规划线性规划是运筹学中的核心概念之一，其基本思想是在约束条件下求解能够达到最优的目标函数值。
在高等数学中，常常采用单纯形法和对偶理论来进行线性规划的求解。
单纯形法是指从初始可行解开始，不断沿着非基变量的单调递增方向去寻找目标函数的最优解。
如果能够找到一个可行解，使得当前的目标函数值最小，那么这个可行解就是当前线性规划问题的最优解。
单纯形法虽然简单直观，但是它无法直接求解整数规划问题。
对偶理论则是对线性规划问题的又一种求解方法。
对偶理论中的对偶问题是一个对原问题的镜像，通过求解对偶问题，可以有效地将原问题的解转化为对应的对偶变量。
运用对偶理论可以进一步优化线性规划问题的求解过程。
二、非线性规划与线性规划相比，非线性规划则需要解决更加复杂的问题，其求解方法包括局部极值和全局极值两种。
局部极值是指函数在一定范围内的极值，而全局极值则是指函数在整个定义域内的极值。
在高等数学中，常用牛顿法和梯度下降法来求解非线性规划问题。
牛顿法是一种迭代算法，其基本思想是通过构造某种函数来逐步逼近目标函数的极点。
梯度下降法则是对函数进行反复求导，并通过求解导数为零的点来寻找极值点。
三、动态规划动态规划则是应用于复杂决策问题的算法，其基本思想是将问题划分成若干个相互依存的子问题，并利用记忆化的方法将子问题的解存储起来，最终得到整体问题的最优解。
在高等数学中，动态规划可以具体应用于图论、数论、组合数学等领域。
总结运筹学在高等数学中扮演着重要的角色，运用其相关知识可以有效解决决策问题。
线性规划、非线性规划和动态规划是其中最为基础的三种方法，它们的应用可以覆盖众多领域，包括工业制造、金融投资、交通运输等。
《运筹学》考研考点讲义
目 录 第一章 线性规划与单纯形法（１）第二章 对偶问题与灵敏度分析（２４）第三章 运输问题（６２）第四章 目标规划（７９）第五章 整数规划（９０）第六章 动态规划（１０８）第七章 图与网络优化（１４０）第八章 网络计划技术（１７４）第九章 存储论（１９５）第十章 排队论（２１１）第十一章 决策论（２２７）《运筹学》考点精讲及复习思路第一章 线性规划与单纯形法一、本章考情分析：常考题型：选择、填空、简答、判断和计算分值：必考知识点，分值占３０分以上重要性：作为前五章的基础铺垫，非常重要！重要程度：★★★★★二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．三、本章重难点：重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模．难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模．四、本章要点精讲：·要点１ 化标准型·要点２ 图解法·要点３ 单纯形法的原理·要点４ 单纯形法的计算步骤·要点５ 单纯形法的进一步讨论要点１ 化标准型线性规划的数学模型线性规划的共同特征决策变量１：每个问题都用一组决策变量表示某个方案决策变量２：决策变量的取值一般都是非负且连续的约束条件３：与决策变量不矛盾的条件，用线性等式或不等式表示目标函数４：决策变量与价值系数组成，一般要求实现最大或最小化【建模思路】确定决策变量写出目标函数找出约束条件线性规划的标准型可简化为ｍａｘＺ＝∑ｎｉ＝１ｃｊｘｊｓ．ｔ．∑ｎｊ＝１ａｉｊｘｊ＝ｂｉ ｉ＝１，２，…，ｍｘｊ≥０ ｊ＝１，２，…，{ｎ经典例题［１－１］ 胡运权，运筹学教程（三）Ｐ１５，例３与南京航空航天大学２００５年，第四题类似，１０分ｍｉｎＺ＝ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３ｓ．ｔ．－２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３≤９－３ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３≥４４ｘ１－２ｘ２－３ｘ３＝－６ｘ１≤０，ｘ２≥０，ｘ３取值无约束【１】目标函数最大【２】资源限量（右端项）非负【３】约束条件等式松弛变量与剩余变量在实际问题中分别表示未被充分利用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。
运筹学考试重点(精简后的)
运筹学考试重点(精简后的)随着2020研究生考生的结束，21的考生逐渐紧张起来，即将开始他们的考研之路，在这里给大家汇总一下重要知识点，我们主要总结一些学生考管理科学与工程时部分院校考查的运筹学这门课程。
运筹学这门课程偏向理科，基本都是计算类的题型，大部分学校都是考查计算题，少部分学校会加点选择、判断题，极个别学校会有一道证明题，但是考查的概率比较小。
所以我们主要针对大部分院校常考的知识点进行讲解。
首先是线性规划问题，这个考查的形式相对比较固定，大家一个是要掌握线性规划问题的建模、其次是化标准型，会用单纯形法进行求解，以及明白单纯形表里各个数据代表的意义，最后是对于线性规划问题解的几种形式要了解什么情况下是什么类型的解;第二个知识点是对偶问题及灵敏度分析，这个主要是和上个线性规划结合着在一题中进行考查，大家要会写线性规划模型的对偶问题，以及对偶问题解怎么找，当然最重要的是灵敏度分— 1 —析，单位资源的变化对我们的目标值有什么样的影响，不同数据的变化如何去求解是一个重点。
第三个是运输问题，我们重点是如何把产销不平衡的运输问题转化为产销平衡的问题，然后再用表上作业法去求解最优的配送方案。
第四个是目标规划，这个知识点考查的学校相对没有那么多，大概有50%的学校会考，他主要考查多目标的线性规划问题，应用到实际问题中比较多，大家重点掌握它的建模就可以了，求解基本没怎么考查过。
第五个是整数线性规划问题，他第一个考查点是0-1型整数规划建模，第二个是分支定界或割平面的求解整数规划问题，第三个是指派问题的求解，这个考查频率比较高，大家要掌握匈牙利法求解的方法。
第六个知识点是动态规划问题，这个知识点相对比较难理解，但是大部分学校都会考查到，所以大家要重点关注，我们要弄清建模时明确的5个内容，你的阶段变量、状态变量、决策变量、递推关系数、状态转移方程分别是什么，然后不同的类型采用不同的求解方式。
— 2 —第七个知识点是图论，大家重点掌握最短路的三种求解方法以及最大流的求解方法，会确定最小截集最大流，这是常考的类型。
运筹学知识点
运筹学知识点运筹学是一门应用广泛的学科，旨在通过科学的方法和技术来解决各种决策和优化问题。
它综合运用数学、统计学、计算机科学等多学科知识，为管理和决策提供有力的支持。
下面让我们来了解一些运筹学的重要知识点。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基本也是最重要的内容之一。
它研究的是在一组线性约束条件下，如何找到目标函数的最优解。
例如，一家工厂生产两种产品 A 和 B，生产单位 A 产品需要消耗 2 单位的原材料和 1 单位的劳动力，生产单位 B 产品需要消耗 3 单位的原材料和 2 单位的劳动力。
工厂现有 100 单位的原材料和 80 单位的劳动力，A 产品的单位利润是 5 元，B 产品的单位利润是 8 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的利润最大化？解决这个问题，首先要建立线性规划模型。
设生产 A 产品 x 件，生产 B 产品 y 件，目标函数就是利润最大化：Z ＝ 5x ＋ 8y。
约束条件包括原材料限制：2x ＋3y ≤ 100；劳动力限制：x ＋2y ≤ 80；以及非负限制：x ≥ 0，y ≥ 0。
通过求解这个线性规划模型，可以得到最优的生产方案，即生产多少 A 产品和多少 B 产品能够使利润达到最大值。
二、整数规划整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量必须取整数的规划问题。
比如，一个项目需要选择一些地点建设仓库，每个地点的建设成本和运营效益不同。
由于仓库的数量必须是整数，这就构成了一个整数规划问题。
整数规划的求解比线性规划更加复杂，常用的方法有分支定界法、割平面法等。
三、动态规划动态规划是解决多阶段决策过程最优化的一种方法。
以资源分配问题为例，假设一家公司有一定数量的资金要在多个项目中进行分配，每个项目在不同的投资水平下有不同的收益。
要在有限的资金条件下，使总收益最大。
这个问题就可以用动态规划来解决。
动态规划的核心思想是将一个复杂的多阶段决策问题分解为一系列相互关联的子问题，通过求解子问题的最优解来逐步得到原问题的最优解。
考研运筹学知识点剖析
考研运筹学知识点剖析运筹学是一门以数学模型分析问题并寻找最优解的学科，是现代管理科学的重要分支。
它通过运用数学、统计学、计算机科学等工具和方法，研究和解决现实生活中的决策问题和优化问题。
考研运筹学是考研数学专业中的一个重要部分，本文将对考研运筹学中的知识点进行剖析。
一、线性规划线性规划是运筹学中最基础也是最常用的一种方法。
它的目标是在一组线性约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
线性规划中的关键概念包括目标函数、约束条件、可行解和最优解等。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它在线性规划的基础上加入了变量取整的限制。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，比如生产调度、路线优化等。
解决整数规划问题常用的方法有分枝定界法、割平面法等。
三、动态规划动态规划是一种以多阶段决策过程为基础的优化方法。
它通过将问题分解为一系列的子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
动态规划常用于求解最优化问题，如背包问题、最短路径问题等。
四、网络流问题网络流问题是运筹学中的又一个重要领域，它研究在网络中物体、信息、流动等的最优分配问题。
网络流问题包括最大流问题、最小割问题等，解决这些问题的方法有增广路径法、最小割最大流算法等。
五、排队论排队论是运筹学中研究排队现象的一门学科。
它研究的问题包括顾客到达的随机性、服务设备的排队情况以及服务时间的随机性等。
排队论广泛应用于交通规划、生产调度等领域，常用的排队论模型包括M/M/1模型、M/M/c模型等。
六、决策分析决策分析是一种利用数学模型和分析方法辅助决策的方法。
它将决策问题抽象为决策变量、目标函数以及约束条件的数学模型，并通过数学的方法进行分析和求解。
决策分析常用的方法有决策树分析、灰色关联度分析等。
七、模拟仿真模拟仿真是一种通过构造计算机模型对实际系统进行模拟的方法。
它可以对系统的运行过程进行模拟，得到系统的性能指标，并进行评估和优化。
模拟仿真在工程、管理等领域具有重要的应用，常用的模拟仿真软件有Arena、MATLAB等。
西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G))，即图是由点及点之间的联线所组成。
其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex)，记为：v2）图中的连线称为图的边(edge)，记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦，,i j v v 是边 e 的端点。
3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc)，记为：(),i j a v v =，,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时，就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph)，记为： G(V ，E)—— 若这种二元关系是对称的，则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) ，记为：D(V ，A)—— 若这种二元关系是非对称的，则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图，其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具，与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉，在别的地方是立体交叉，不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画，线段不代表真正的长度，点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。
如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex )的概念1 端点：若e =[u ，v] ∈E ，则称u ，v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次，记为：()d v 。
在无向图G 中，与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数，记为()d v 或 dG(v). 在有向图中，从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度，记为d+(v)，从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度，记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。
山东省考研管理科学与工程复习运筹学常见问题解析
山东省考研管理科学与工程复习运筹学常见问题解析运筹学是管理科学与工程中的一门重要学科，考研复习时常常会遇到一些问题，本文将对山东省考研管理科学与工程复习运筹学的常见问题进行解析。
一、什么是运筹学？运筹学是一门研究如何在有限资源条件下做出最佳决策的学科。
它运用数学、统计学和计算机科学等工具和方法，帮助人们在各种决策问题中找到最优解决方案。
二、运筹学的研究对象有哪些？运筹学的研究对象包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、排队论、库存控制、网络流、决策分析等。
不同的问题可以采用不同的运筹学方法进行解决。
三、运筹学在实际中的应用领域有哪些？运筹学在实际中有广泛的应用领域，包括生产调度、供应链管理、物流配送、金融风险管理、投资决策、市场营销、信息系统设计等。
运筹学的方法和技术可以帮助企业和组织提高效率、降低成本、优化资源配置。
四、如何解决线性规划问题？线性规划是运筹学中最基本的问题之一，它的目标是找到一个线性目标函数的最优解，同时满足一组线性约束条件。
解决线性规划问题可以使用单纯形法、内点法等方法。
五、如何解决整数规划问题？整数规划是线性规划问题的扩展，它的目标函数和约束条件都是线性的，但是变量需要取整数值。
整数规划问题可以使用分支定界法、割平面法等方法进行求解。
六、如何解决网络流问题？网络流问题是研究在网络上物质或信息流动的问题，例如最小费用流、最大流、最小割等。
解决网络流问题可以使用最短路径算法、最大流最小割定理等方法。
七、如何解决决策分析问题？决策分析是运筹学中的重要内容，它用于帮助决策者在面对复杂的决策问题时做出最优的选择。
决策分析方法包括决策树、灰色关联分析、层次分析等。
以上是山东省考研管理科学与工程复习运筹学常见问题的解析。
通过对这些问题的理解和掌握，考生可以更好地应对运筹学相关的考题。
希望本文能够对大家的复习有所帮助。
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• （4）指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一个常数k，将不影 响最优指派方案； • 错误。
• （5）指派问题数学模型的形式同运输问题十分相似，故也可以 用表上作业法求解；
• 正确。 • （6）用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一 些不属于最优解的整数。
• 错误。
• （7）分枝定界法在需要分枝时必须满足：一是分枝后的各子问 题必须容易求解；二是各个子问题解的集合必须覆盖原问题的解。 • 正确。 • （8）一个整数规划问题如果存在两个以上的最优解，则该问题 一定有无穷多最优解。 • 错误。
• 错误。
• 二、已知线性规划问题：
• （a）写出其对偶问题； • （b）已知原问题用两阶段法求解时得到的最终单纯形表如下,试写出其 对偶问题的最优解。
5
3
6
-6 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 5 -6
8 14 4
0 1 0 0
1 2 1 -1
0 0 -1 0
• 三、
Ⅰ Ⅱ Ⅲ • 四、某厂生产Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ三种产品，分别经过 A 1 1 1 A、B、C三种设备加工， B 10 4 5 已知生产单位各种产品 C 2 2 6 所需要的设备台时，设 备的现有每件产品的预期的利润 如下表：
• 二、某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上，有关数 据资料如下表：
• 三、
• 四、
• 五、
第5章 目标规划
• 一、判断题 • （1）线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。 • 正确。 • （2）正偏差变量取正值，负偏差变量应取负值。 • 错误。 • （3）目标规划模型中，可以不包含系统约束（绝对约束），但 必须包含目标约束。 • 正确。
5 0 0 1 0 0 0 0 5 4 4 0 1 0 0 0 0 1 1
检验数：(0,0,0,-45/41,-24/41,-11/41)
第2章 线性规划的对偶理论
• 一、判断题
• （1）任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。 • 正确。
• （2）对偶问题的对偶一定是原问题。
• 正确。
• （3）根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题 无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
• 错误。线性规划的基本定理之一为：线性规划问题的基本可行解对应于
可行域的顶点。
• （7）单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则 在下一个解中至少有一个基变量的值为负。 • 正确。 • （8）一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及 相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。 • 正确。
• 人工变量一般是为取得对应的初始基基向量而引入的，它一旦成
为出基变量，其地位已被对应的入基变量取代，删除单纯形表中
该变量及相应列的数字，不影响计算结果。
• （11）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基本可 行解。 • 错误。 • 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。 • （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。 • 错误。
设备能力/台•h 100 600 300
10 6 10 0 100 0 1 0
6 1 0 0
4
0
0
0 0 0
4
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1
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6 10 0 6 10 25 100 0 1 0 0 0 1 0 0
6
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4
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0
0
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0
1 0
0
第3章 运输问题
• （4）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别 加上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化。
运筹学复习
《运筹学》
第1章 法
线性规划及单纯形
• 一、判断题 • （1）图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者
是一致的。
• 正确。
• （2）线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，
减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。 • 正确。这里注意：增加约束，可行域不会变大；减少约束，可行域不会 变小。 • （3）线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。
• 正确。
• （5）如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别 乘上一个常数k，最优调运方案将不会发生变化。 • 错误。
• （6）如果运输问题单位运价表的全部元素乘上一个常数k （k>0），最优调运方案将不会发生变化。
• 正确。
• （7）用位势法求运输问题某一调运方案的检验数时，其结果可 能同闭回路法求得的结果有异。 • 错误。 • （8）运输问题初始方案的基本要求:（m+n-1）个数字格，不存
在全部以数字格为顶点的闭回路。
• 正确。
二、已知运输问题的产销平衡表，单位运价表及某一调运方案如下：
• 产销平衡表及调运方案 单位运价表
第4章 整数规划与分配问题
• 一、判断题
• （1）整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解的目标 函数值；
• 错误。
• （2）用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的 目标函数值是该问题目标函数值的下界； • 正确。 • （3）用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，当得到多于一个可 行解时，通常可任取其中一个作为下界值，再进行比较剪枝。 • 错误。
计算的单纯形表中人工变量系数取值（） • A.必须为“-1”，其余变量系数为“0”； • B.可取某一负的常数，其余变量系数为“0”；
• C.取值为零，其余变量系数为原目标函数中系数Cj值；
• D.为某一正的常数值，其余变量取值为“0”。 • 答案：D
• 六、已知某线性规划问题单纯形法迭代时得到中间某两步的单纯 形表如下表所示，试将表中空白处的数字填上。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，这 样就有了无穷多的最优解。
• (13)若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具 有无界解。 • 错误。
• （14）如果某线性规划模型的一个最优解不是基可行解，则可以 断定该问题有无穷多最优解。
• 正确
二、选择题
• 1.用单纯形法求解线性规划问题采用两阶段法计算时，第一阶段