公式法因式分解分类练习题
因式分解题型分类练习(经典全面) hao use print
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+2、__()b a a b -=-3、__()z y y z -+=-4、()22___()y x x y -=-5、33()__()y x x y -=-6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=--11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=-专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
因式分解常用方法及练习
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
30道因式分解题及答案
30道因式分解题及答案题目1：将3x2−2xy+x−4y因式分解。
答案1：3x2−2xy+x−4y可以因式分解为(x−4y)(3x+1)。
题目2：将2x2−5x−12因式分解。
答案2：2x2−5x−12可以因式分解为(x−4)(2x+3)。
题目3：将4x2−4x−3因式分解。
答案3：4x2−4x−3可以因式分解为(2x−3)(2x+1)。
题目4：将x2+7x+12因式分解。
答案4：x2+7x+12可以因式分解为(x+3)(x+4)。
题目5：将4x2−9y2因式分解。
答案5：4x2−9y2可以因式分解为(2x+3y)(2x−3y)。
题目6：将x3−8因式分解。
答案6：x3−8可以因式分解为(x−2)(x2+2x+4)。
题目7：将2x3−8y3因式分解。
答案7：2x3−8y3可以因式分解为2(x−y)(x2+xy+y2)。
题目8：将x4−16因式分解。
答案8：x4−16可以因式分解为(x2+4)(x2−4)。
题目9：将2x5+32y5因式分解。
答案9：2x5+32y5可以因式分解为2(x+2y)(x4−2x2y2+4y4)。
题目10：将x6−64因式分解。
答案10：x6−64可以因式分解为(x2−8)(x4+8x2+64)。
题目11：将4a2+b2−4ab−a−2b因式分解。
答案11：4a2+b2−4ab−a−2b可以因式分解为(4a−b)(a−b−1)。
题目12：将2a3+2a2−a−1因式分解。
答案12：2a3+2a2−a−1可以因式分解为(2a+1)(a2+a−1)。
题目13：将x3−3x2−4x+12因式分解。
答案13：x3−3x2−4x+12可以因式分解为(x−3)(x2+1)(x−2)。
题目14：将x4+x3−7x2−x+6因式分解。
答案14：x4+x3−7x2−x+6可以因式分解为(x−1)(x+2)(x+3)(x−1)。
题目15：将4x4+8x3+6x2+2x因式分解。
答案15：4x4+8x3+6x2+2x可以因式分解为2x(2x+1)(x2+1)。
因式分解分类分成习题总汇【最新】(附加测试卷及答案)
因式分解分类分成习题总汇（附加测试卷及答案）一、提取公因式1.确定下列各多项式的公因式。
a.单项式类型1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y - b.多项式类型7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a ---2.把下列各式分解因式。
单项式类型 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+3.乘法分配律的逆运算填空。
（实际应用）1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=4.填写适当的符号。
（符号辨析）1、__()x y x y +=+2、__()b a a b -=-3、__()z y y z -+=-4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=-5.把下列各式分解因式。
八年级上册因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定以下各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a +5、22x y xy -6、22129xyz x y -7、()()m x y n x y -+-8、()()2x m n y m n +++9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在以下各式左边的括号前填上“+〞或“－〞，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=-5、33()__()y x x y -=-6、44()__()x y y x --=-7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把以下各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把以下各式分解因式。
公式法分解因式经典练习题分类汇编
【基础知识】公式法分解因式（1）平方差公式： a 2－b 2＝ .（2）完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝ . a 2－2ab ＋b 2＝ .（3）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+.（4）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++.【题型1】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)4x 2－y 2； (2)－16＋a 2b 2； (3)x 2100－25y 2； (4)(x ＋2y)2－(x －y)2.【变式训练】 1.分解因式(1)4a 2－y 2； (2)x 2y 4－49； (3)4a 2－(3b －c)2； (4)(x ＋y)2－4x 2； (5)x 4－16；(6)(4x －3y)2－25y 2 (7)25(a ＋b)2－4(a －b)2； (8)9x 2－(2x －y)2；(9)(a ＋b)4－(a －b)4；(10)(2x ＋y)2－(x －2y)2； (11)9(a ＋b)2－16(a －b)2； (12)9(3a ＋2b)2－25(a －2b)2．2.分解因式(1)a 3－9a ； (2)3x 2－12； (3)8m 3－2m ； （4）12 m 2n 2-8； （5）31a 2b 2-3.(6)3m(2x －y)2－3mn 2； (7)(a －b)b 2－4(a －b)； (8)x ²-y ²-3x-3y ； (9)a 2（a-b ）+b 2（b-a ）.【题型2】完全平方式已知x 2＋kxy ＋16y 2是一个完全平方式，则k 的值是 .【变式训练】1.下列式子为完全平方式的是( )A.a 2＋ab ＋b 2B.a 2＋2a ＋2C.a 2－2b ＋b 2D.a 2＋2a ＋12.若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ）A.±4B.±2C.3D.4或23.已知a 2x 2±2x＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为（ ）A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数4.下列各式能组成完全平方式的个数是 .①x 6－31128x ②x 8+4x 4+4 ③3m 2+2m+3 ④m 2－2m+4 5.若x 2＋8x ＋k 是完全平方式，则k ＝ .6.若x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m 的值是 .【题型3】利用完全平方公式分解因式分解因式： (1)a 2+4a ＋4； (2)x 2＋4y 2－4xy ； (3)9+12a ＋4a 2； (4)a 2－2a ＋1.【变式训练】1.因式分解：(1)4x 2＋y 2－4xy ； (2)9－12a ＋4a 2； (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9.2.分解因式：（1）ab2-4ab+4a；（2）-3x+12x-12；（3）4x2-8x+4；(4)2a3－8a2＋8a； (5)－2x2y＋12xy－18y； (6)3x2－6x＋3； (7)－4a2＋24a－36.(8)2a3b－8a2b＋8ab； (9)4x3y-24x2y+39xy； (10)-3x2y+6xy-3y； (11)4a2b2＋24ab+36.3.分解因式(1)x(x－1)－3x＋4； (2)(x－2y)2＋8xy；（3）（2a+b）2-4ab；（4）（x-y）2-z2+4xy；(5)ab(ab+2)+2ab＋4； (6)(x+2y)2-8xy；（7）（x-y）2+4xy；（8）（2a-b）2-c2+8ab.。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+⋯+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－⋯－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2例题3分解因式：a3+b3+c3－3abc．分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．对应练习题分解因式：(1)x2n x n1y21；94 (2)x10+x5－2422332232(3)x 2xy4xy 4xy y(4x y)(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x52222(5)9(a-b)+12(a-b)+4(a+b)(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：2ax 10ay 5by bx对应练习题分解因式：1、a2ab ac bc2、xy x y1（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：x2y2ax ay例题4分解因式：a22ab b2c2对应练习题分解因式：3、x2x 9y23y4、x2y2z22yz综合练习题 分解因式：（1）x 3x 2y xy 2 y 3 （2）ax 2 bx 2 bx ax a b（3）x 26xy 9y 2 16a 2 8a 1（4）a 26ab 12b9b 24a（5）a 42a 3 a 2 9 （6）4a 2x 4a 2y b 2x b 2y（7）x 22xy xz yz y 2（8）a 22a b 22b2ab1（9）y(y2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)（11）a 2(bc) b 2(a c) c 2(ab) 2abc（12）a 4 2a 3b 3a 2b 2 2ab 3 b 4.（13）(axby)2 (ay bx)2 （14）xyz(x 3 y 3 z 3) y 3z 3 z 3x 3 x 3y 3（15）x 4ax 2xa2a3 22（）x3x(a2)x2a16（17）(x1)3 (x 3)3 4(3x 5)三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式——x 2 (pq)xpq (x p)(x q)进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式： x 25x 6例题2分解因式： x 27x 6对应练习题 分解因式：(1)x 214x 24(2)a 215a 36(3)x 24x 5(4)x 2x 2(5)y 22y 15(6)x 210x 24（二）二次项系数不为 1的二次三项式—— ax 2 bx c条件：（1）aa 1a 2a 1 c 1 （2）cc 1c 2a 2 c 2 （3）ba 1c 2a 2c 1ba 1c 2a 2c 1分解结果：ax2bxc=(a 1xc 1)(a 2xc 2)例题3分解因式：3x 211x10对应练习题 分解因式：（1）5x 27x 6（2）3x27x2（3）10 x217 x32（）6y11y104（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：a28ab128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)x23xy 2y2(2)m26mn 8n2(3)a2ab6b2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：2x27xy6y2例题6分解因式：x2y23xy2对应练习题分解因式：（1）27xy4y2（）22ax6ax82综合练习题分解因式：（1）8x67x31（2）12x211xy15y2（3）(x y)23(x y) 10（4）(a b)24a 4b3（5）x2y25x2y 6x2（6）m24mn 4n23m 6n2（7）x24xy 4y22x 4y 3（8）5(a b)223(a2b2) 10(a b)2（9）4x24xy 6x 3y y210（10）12(x y)211(x2y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)x abc2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对Ax2Bxy Cy2Dx Ey F型多项式的分解因式.条件：（1）A a1a2，C c1c2，F f1f2（2）a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D即：a1c1f1a2c2f2a1c2a2c1B，c1f2c2f1E，a1f2a2f1D则Ax2BxyCy2Dx Ey F(a1x c1y f1)(a2x c2y f2)例题7分解因式：（1）x23xy10y2x9y2（2）x2xy6y2x13y6解：（1）x23xy10y2x9y2应用双十字相乘法：x5y2x2y12xy5xy3xy，5y4y9y，x2x x∴原式=(x5y2)(x2y1)（2）x2xy6y2x13y6应用双十字相乘法：x2y3x3y23xy2xy xy，4y9y13y，2x3x x∴原式=(x2y3)(x3y2)对应练习题分解因式：（1）x2xy 2y2x 7y 6（2）6x27xy 3y2xz 7yz 2z23、十字相乘法进阶例题8分解因式：y(y 1)(x21) x(2y22y1)例题9分解因式：ab(x2y2) (a2b2)(xy 1) (a2b2)(x y)四、主元法例题分解因式：x23xy 10y2x 9y2对应练习题分解因式：(1)x2xy 6y2x 13y 6(2)x2xy 2y2x 7y6 (3)6x27xy 3y2x 7y 2(4)a2ab 6b25a 35b 36五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：(x24x 8)23x(x24x 8) 2x2例题3分解因式：(x 1)(x 1)(x 3)(x 5)9分析：型如abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4分解因式：(x27x 6)(x2x 6)56.例题5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)－90．例题62222分解因式：4(3x x1)(x2x3)(4xx4)提示:可设3x2x1A,x22x3B，则4x2x4AB.例题7分解因式：x628x327例题8分解因式：(a b)4(a b)4(a2b2)2例题9分解因式：(y 1)4(y 3)4272例题9对应练习分解因式：a444(a4)4例题10分解因式：(x2+xy+y2)2－4xy(x2+y2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．例题11分解因式：2x4x36x2x2分析：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习43－36x2－7x+6．分解因式：6x+7x例题11对应练习分解因式：x44x3x24x1对应练习题分解因式：（1）x4+7x3+14x2+7x+1（2）x42x3x2 1 2(x x2)（3）2005x2(200521)x2005（4）(x1)(x 2)(x 3)(x 6)x2（5）(x1)(x3)(x5)(x7)15（6）(a1)(a2)(a3)(a4)24（7）(2a 5)(a29)(2a 7) 91（8）(x+3)(x2－1)(x+5)－20（9）(a21)2(a25)24(a23)2（10）(2x2－3x+1)2－22x2+33x－1（11）(a 2b c)3(a b)3(b c)3（12）xy(xy1)(xy3)2(xy12)(x y1)2（13）(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时， 整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、 添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1分解因式：x 3－9x+8．例题2分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3；(2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x+1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题分解因式：（1）x 3 3x 2 4（2）x 22(a b)x 3a 2 10ab 3b 2（3）x 4 7x 2 1（4）x 4x 22ax1a 2（5）4442 22 2 2 2 444xy(xy)（）2ab2ac2bcab c6（7）x 3+3x 2－4（8）x 4－11x 2y 2+y 2（9）x 3+9x 2+26x+24 （10）x 4－12x+323（11）x 4＋x 2＋1；（12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1(14)x 2y 24x6y5(15)(1a 2)(1b 2)4ab七、待定系数法例题1分解因式：x2xy 6y2x 13y6分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3y m)(x2y n)对应练习题分解因式：（1）6x27xy 3y2x 7y 2（2）2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20（3）x23xy 10y2x 9y 2（4）x23xy 2y25x 7y6例题2（1）当m为何值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.（2）如果x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求a b的值.（3）已知：x22xy3y26x14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式.（4）k为何值时，x22xy ky23x5y2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、f x 的意义：已知多项式fx ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为 fx 在x =c 的多项式值，用 fc 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式fx 除以gx 所得的商式为 qx ，余式为rx ，则：fx =gx ×qx +rxb3、余式定理：多项式 f (x)除以x b 之余式为 f(b)；多项式f(x)除以axb 之余式f( ).a例如：当 f(x)=x 2+x+2除以 (x –1)时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当f(x)9x26x 7除以 (3x1)时，则余数=f(1)9( 1)2 6(1)78.3334 a,bR ， a0， f(x) 为关于x 的多项式，则 xb为f(x)的因式、因式定理：设f(b)0；axb 为f(x)的因式f(b 0.)a整系数一次因式检验法：设f(x)＝c n x n c n 1x n1c 1xc 0 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a,b为整数,a 0,且a,b 互质)，则（1）ac n ,bc 0（2）(a –b)f(1), (a b)f( 1)例题1设f(x)3x 32x 2 19x 6，试问下列何者是f(x)的因式？(1)2x –1，(2)x –2，(3)3x –1，(4)4x ＋1，(5)x –1，(6)3x –4例题2把下列多项式分解因式：(1) x 35x4(2) x 34x 2x 6(3) 3x 35x 2 4x 2（4）x 4 9x 3 25x 227x10（5）x 45x 3 1x 2 1x 16223课后作业分解因式：（1）x4＋4（2）4x3－31x＋15（3）3x3－7x＋10（4）x3－41x＋30（5）x3＋4x2－9（6）x3＋5x2－18（7）x3＋6x2＋11x＋6（8）x3－3x2＋3x＋7（9）x3－11x2＋31x－21（10）x4＋1987x2＋1986x＋1987（11）x41998x21999x1998（12）x41996x21995x1996（13）x3＋3x2y＋3xy2＋2y33223（1412）x－9ax＋27ax－26a（15）4(x5)(x6)(x10)(x12)3x2（16）(x26x8)(x214x48)12（17）(x2x4)28x(x2x4)15x2（18）2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)2（19）x4＋x2y2＋y44224（20）x－23xy＋y（21）a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2（22）a3b312ab64（23）a3bab3a2b21.（24）（ab)2(ab1)1（25）x42(a2b2)x2(a2b2)2（26）(aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)（27）x619x3y3216y6（28）x2y－y2z＋z2x－x2z＋y2x＋z2y－2xyz（29）3x510x48x33x210x8因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加 1是整数的平方.2、2n －1 和2n+1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被 8整除．3、已知2 481可以被 60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.24可被40 至50之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知7－15、求证： 817279 913能被45整除.66、求证：14+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证： 4x 2+7xy －2y 2能被9整除．8、已知x 2 xy 2y 2=7，求整数x 、y 的值．9、求方程6xy4x9y 7 0的整数解.10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解．11、求方程 4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为 a 和b ，已知a 2＋ab=99，则a=______，b=_______.13、计算下列各题：(1)23×3.14＋5.9 ×31.4＋180×0.314； 19953－219952－1993(2)．19953＋19952－1996＋ 1＋1＋ 1＋1 ＋1＋1的14、求积(11 )(14)(1)(14 )(1)(1)32 35 698 10099 101整数部分？15、解方程：（x 2＋4x)2－2(x 2＋4x)－15=02 2 2 216、已知ac ＋bd=0，则ab(c ＋d)＋cd(a ＋b)的值等于___________．17、已知a －b=3,a －c=3 26,求(c —b)[(a －b)2+(a －c)(a －b)+(a －c)2]的值．18、已知x 2x 1 0，求x 8x 41的值．19、若x 满足x 5 x 4 x1 ，计算x 1998x 1999x 2004.20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式a 3b 3c 33abc ，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解培优题(超全面、详细分类)
因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；(7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)，其中n为正整数；(8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1 分解因式：(1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．例题2 分解因式：a 3+b 3+c 3－3abc ．例题3 分解因式：x 15+x 14+x 13+…+x 2+x +1．对应练习题 分解因式：2211(1)94n n x x y +-+；(2) x 10+x 5－2422332223(3)244(4)4x x y xy x y y x y --+++(4) (x 5+x 4+x 3+x 2+x +1)2－x 5(5) 9(a -b )2+12(a 2-b 2)+4(a +b )2(6) (a -b )2-4(a -b -1)（7）(x +y )3+2xy (1－x －y )－1二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1 分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2 分解因式：bx by ay ax -+-5102对应练习题 分解因式：1、bc ac ab a -+-22、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例题3 分解因式：ay ax y x ++-22例题4 分解因式：2222c b ab a -+-对应练习题 分解因式：3、y y x x 3922---4、yz z y x 2222---综合练习题 分解因式：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+（11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++ （12）432234232.a a b a b ab b ++++（13）22)()(bx ay by ax -++ （14）333333333)(y x x z z y z y x xyz ---++（15）a a x ax x -++-2242 （16）a x a x x 2)2(323-++-（17）)53(4)3()1(33+-+++x x x三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例题1 分解因式：652++x x例题2 分解因式：672+-x x对应练习题 分解因式：(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——2ax bx c ++条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题3 分解因式：101132+-x x对应练习题 分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4 分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 －16b8b +(－16b )= －8b对应练习题 分解因式：(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5 分解因式：22672y xy x +- 例题6 分解因式：2322+-xy y x对应练习题 分解因式：（1）224715y xy x -+ （2）8622+-ax x a综合练习题 分解因式：（1）17836--x x （2）22151112y xy x --（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2+--+b a b a（5）222265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m（7）3424422---++y x y xy x （8）2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9）10364422-++--y y x xy x （10）2222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(22222、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对F Ey Dx Cy Bxy Ax +++++22型多项式的分解因式. 条件：（1）21a a A =，21c c C =，21f f F =（2）B c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221即： 1a 1c 1f2a 2c 2fB c a c a =+1221，E f c f c =+1221，D f a f a =+1221则=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 22))((222111f y c x a f y c x a ++++例题7 分解因式： （1）2910322-++--y x y xy x（2）613622-++-+y x y xy x解：（1）2910322-++--y x y xy x应用双十字相乘法： x y 5- 2x y 2 1-xy xy xy 352-=-，y y y 945=+，x x x =+-2∴原式=)12)(25(-++-y x y x（2）613622-++-+y x y xy x应用双十字相乘法： x y 2- 3x y 3 2- xy xy xy =-23，y y y 1394=+，x x x =+-32∴原式=)23)(32(-++-y x y x对应练习题 分解因式：（1）67222-+--+y x y xy x （2）22227376z yz xz y xy x -+---3、十字相乘法进阶例题8 分解因式：)122()1)(1(22+++++y y x x y y例题9 分解因式：))(()1)(()(222222y x b a xy b a y x ab ++-+---四、主元法例题 分解因式：2910322-++--y x y xy x对应练习题 分解因式：(1)613622-++-+y x y xy x (2)67222-+--+y x y xy x(3)2737622--+--y x y xy x (4)36355622-++-+b a b ab a五、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1 分解因式：(x 2+x +1)(x 2+x +2)－12．例题2 分解因式：22222)84(3)84(x x x x x x ++++++例题3 分解因式：9)5)(3)(1)(1(-+++-x x x x分析：型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.例题4 分解因式：56)6)(67(22+--+-x x x x .例题5 分解因式：(x 2+3x +2)(4x 2+8x +3)－90．例题6 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.例题7 分解因式：272836+-x x例题8 分解因式：22244)()()(b a b a b a -+++-例题9 分解因式：272)3()1(44-+++y y例题9对应练习 分解因式：444)4(4-++a a例题10 分解因式：(x 2+xy +y 2)2－4xy (x 2+y 2)．分析：本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x +y ，v=xy ，用换元法分解因式．例题11 分解因式：262234+---x x x x分析：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”.这种多项式属于“等距离多项式”．方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法.例题11对应练习 分解因式：6x 4+7x 3－36x 2－7x +6．例题11对应练习 分解因式：144234+++-x x x x对应练习题 分解因式：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x +1 （2）)(2122234x x x x x +++++（3）2005)12005(200522---x x （4）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++（5） (1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ （6）(1)(2)(3)(4)24a a a a ----- （7）2(25)(9)(27)91a a a +--- （8）(x +3)(x 2－1)(x +5)－20（9）222222)3(4)5()1(+-+++a a a （10） (2x 2－3x +1)2－22x 2+33x －1（11）()()()a b c a b b c ++-+-+2333（12）21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-（13）2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-六、添项、拆项、配方法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．说明 用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例题1 分解因式：x 3－9x +8．例题2 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3－3； (2)(m 2－1)(n 2－1)+4mn ； (3)(x +1)4+(x 2－1)2+(x －1)4； (4)a 3b －ab 3+a 2+b 2+1．对应练习题 分解因式：（1）4323+-x x （2）2223103)(2b ab a x b a x -+-++（3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++（5）444)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++（7）x 3+3x 2－4 （8）x 4－11x 2y 2+y 2 （9）x 3+9x 2+26x +24 （10）x 4－12x +323 （11）x 4＋x 2＋1； （12）x 3－11x ＋20；（13）a 5＋a ＋1 (14)56422-++-y x y x(15)ab b a 4)1)(1(22---七、待定系数法例题1 分解因式：613622-++-+y x y xy x分析：原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++对应练习题 分解因式：（1）2737622--+--y x y xy x （2）2x 2＋3xy －9y 2＋14x －3y ＋20（3）2910322-++--y x y xy x （4）6752322+++++y x y xy x例题2 （1）当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.（2）如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.（3）已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.（4）k 为何值时，253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.八、余式定理（试根法）1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示.2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(ab f . 例如：当 f(x )=x 2+x +2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=12+1+2=4.当2()967f x x x =+-除以(31)x +时，则余数=2111()9()6()78333f -=⨯-+⨯--=-.4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=abf .整系数一次因式检验法：设f(x)＝0111c x c x c x c n n n n ++++-- 为整系数多项式，若ax –b 为f(x)之因式(其中a , b为整数 , a ≠0 , 且a , b 互质)，则 （1）0,c b c a n（2）( a –b ))1()(,)1(-+f b a f例题1 设61923)(23+-+=x x x x f ，试问下列何者是f (x )的因式？(1)2x –1 ，(2) x –2，(3) 3x –1，(4) 4x ＋1，(5) x –1，(6) 3x –4例题2 把下列多项式分解因式：(1)453+-x x(2) 6423++-x x x (3) 245323-++x x x （4）1027259234++++x x x x （5）31212165234--++x x x x课后作业分解因式： （1）x 4＋4（2）4x 3－31x ＋15 （3）3x 3－7x ＋10 （4）x 3－41x ＋30 （5）x 3＋4x 2－9 （6）x 3＋5x 2－18 （7）x 3＋6x 2＋11x ＋6 （8）x 3－3x 2＋3x ＋7 （9）x 3－11x 2＋31x －21（10）x 4＋1987x 2＋1986x ＋1987 （11）19981999199824-+-x x x （12）19961995199624+++x x x （13）x 3＋3x 2y ＋3xy 2＋2y 3 （1412）x 3－9ax 2＋27a 2x －26a 3（15）23)12)(10)(6)(5(4x x x x x -++++ （16）12)4814)(86(22+++++x x x x （17）222215)4(8)4(xx x x x x ++++++（18）222222)1(2)1)(16(5)16(2++++++++x x x x x x （19）x 4＋x 2y 2＋y 4 （20）x 4－23x 2y 2＋y 4（21）a 3＋b 3＋3(a 2＋b 2)＋3(a ＋b )＋2 （22）641233-++ab b a （23）12233+++-b a ab b a .（24）1)1()2+-+ab b a （ （25）2222224)()(2b a x b a x -++-（26）))(()()(333333y x b a by ax bx ay ++-+++ （27）633621619y y x x --（28）x 2y －y 2z ＋z 2x －x 2z ＋y 2x ＋z 2y －2xyz （29）810381032345++---x x x x x因式分解的应用1、证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.2、2n －1和2n +1表示两个连续的奇数(n 是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．3、已知1248-可以被60与70之间的两个整数整除，求这两个整数.4、已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，求这两个整数.5、求证：139792781--能被45整除.6、求证：146+1能被197整除．7、设4x －y 为3的倍数，求证：4x 2+7xy －2y 2能被9整除． 8、已知222y xy x -+=7，求整数x 、y 的值． 9、求方程07946=--+y x xy 的整数解. 10、求方程xy －x －y ＋1=3的整数解． 11、求方程4x 2－4xy －3y 2=5的整数解．12、两个小朋友的年龄分别为a 和b ，已知a 2＋ab =99，则a =______，b =_______ . 13、 计算下列各题： (1)23×3.14＋5.9×31.4＋180×0.314；(2)19952199519931995199519963232－－＋－⨯．14、求积()()()()()11131124113511461198100＋＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯ ()1199101＋⨯的整数部分？15、解方程：（x 2＋4x )2－2(x 2＋4x )－15=016、已知ac ＋bd =0，则ab (c 2＋d 2)＋cd (a 2＋b 2)的值等于___________．17、已知a －b =3, a －c =326, 求(c —b )[(a －b )2+(a －c )(a －b )+(a －c )2]的值．18、已知012=++x x ，求148++x x 的值．19、若x 满足145-=++x x x ，计算200419991998x x x +++ .20、已知三角形的三边a 、b 、c 满足等式abc c b a 3333=++，证明这个三角形是等边三角形．。
因式分解分类练习题（经典全面）
因式分解分类练习题（经典全⾯）2因式分解练习题（提取公因式）平昌县得胜中学任璟（编）专项训练⼀：确定下列各多项式的公因式。
2 3 2 25、 25x y -15x y6、12xyz-9x 2y 227、3a y - 3ay 6 y1、ay ax2、3mx -6my 23、4a 10ab2 4、 15a 5a 2 2x y _xy6、12xyz-9x 2y 228、 a b-5ab 9b-24x 2y -12xy 2 28y 329、 - x xy - xz10、7、 mx-y i ⼇n x-y 39、abc(m-n) -ab(m-n) 10、12x(a-b)2-9m(b-a)3 专项训练⼆：利⽤乘法分配律的逆运算填空 1、 2兀R ⼗2^r= __ (R+r) 2、 2兀R ⼗2兀r = 2兀( )3、1 gt 1^丄 gt 22= (tj+t 22)4、15a 2+25ab 2 =5a( ) 2 2 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上 + ”或“-”使等式成⽴＜ 1、x + y=__(x + y) 2、b_a =__(a_b) 2 2 3、-z + y=__(y-z) 4、(y-x) = _____ (x-y) 3 3 4 4 5(y -x) =—(x -y)6、-(x-y) =_(y -x)7、 (a —b)2n =___(b —a)2n(n 为⾃然数)8、 (a —b)2nHr =___(b —a)2n^n 为⾃然数 9、 (1-x )(2-y)=___(1-x)(y-2) 2 311、(a -b) (b-a)=___(a -b)专项训练四、把下列各式分解因式21、nx-ny2、a ab) 10、(1-x)(2-y)=___(x-1)(y-2) 12、(a —b)2(b —a)4=___(a —b)63、4x 3 -6x 24、8m 2n 2mn11、-3ma 6ma -12ma 2 2 2 313、15x y 5x y-20x y专项训练五：把下列各式分解因式 1、x(a b) - y(a b) 3、6q(p q)-4p(p q)5、a(a-b) (a-b)27、(2 a b)(2a-3b)-3a(2a b)12、56x 3yz 14x 2y 2z-21xy 2z 24 3 214、-16x - 32 x 56x2、5x(x_ y) 2y(x_ y)4、 (m n)(P q)- (m n)( p — q)6、x(x- y)2 - y(x- y)8、x(x y)(x _y)「x(x y)22 、9、 p(x _y) _q(y _x)10、m(a -3) 2(3-a)12、a(x - a) b(a - x) - c(x - a)13、3(x-1)3y-(1-x)3z14、-ab(a -b)2 a(b - a)216、(a -2b)(2a-3b) -5a(2b-a)(3b-2a)4、1984 20032003- 2003 19841984专项训练七：利⽤因式分解证明下列各题3220、(x -a) (x -b) (a -x) (b -x)2、证明：⼀个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除21、(y _x)2 x(x _y)3 _(y _x)43(2a -3b)2n 1 _(3b _2a)2n (a -b)(n 为⾃然数)2 3 219、x(x_y) _2(y _x) _(y_x)专项训练六、利⽤因式分解计算。
因式分解 分类题型
因式分解练习题1、下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是（）A. x2+2x+3= ( x+1 ) 2+2B. (x+y) (x-y)=x2-y2C .x2-xy+y2= (x-y)2+xyD . 2x-2y=2 (x-y )2、下列因式分解中,正确的是（）A.a(x-y) +b(y-x)=(x-y) (a-b)B.ax+ay+a=a ( x+y )C.x2-4y2= (x-4y) (x+4y ) .D.4x2+9=(2x+3)23、求证：32020-4x32019+10x32018能被7整除吗？4、试探究：817-279-913能被45整除吗5、已知关于x的二次三项式x2+mx+10有一个因式( x+5 ) ,求另一个因式和m的值.6、甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时,甲看错了a的值，分解的结果是( x+6 )( x-2) ,乙看错了b的值,分解的结果为( x-8) (x+4) ,那么x2+ax+ b分解因式正确的结果为7、多项式3x-9 , x2-9与x2-6x+9的公因式为（）A. x+3B.(x+3)2C. x-3D.x2+98、8x m y n-1与-12x5m y n的公因式是( )9、因式分解(1)x(x+y)-y(x+y) (2) (x-1) (x-3)+1 (3) 2m (x-y)-3n (x-y )(4)-18a3+12a2-2 （5）6(x+y )2-2 (x-y) (x+y ) （6）2m(a-b)-3n(b-a)10、已知a+b=-3 , ab=2 ,求下列各式的值:(1)a3b+ab3 (2)a2+b2 (3)a4+b411、若ab=7 , a+b=6 ,求多项式a2b+ab2的值.12、已知a+b=-5 ,ab=6,试求(1)a2+b2的值 (2) a2b+ab2的值 (3)a-b的值.13、如图，边长为a , b的矩形的周长为10 ,面积为6 ,求a3+b2+a2b3的值14、计算2021x2021-2021x2020-2020x2019+2020x2020的值15、（1）22017-22016 （2）(-3)101+(-3)100+5x39916、分解因式（1）-x2-4y2+4xy (2) (x-1)2+2(x-5) （3）(a+b) 2-4a2（4）6xy-x2-9y (5) a4-2a2b2+b417、综合运用公式法和提公因式法进行因式分解（1）-2a3+12a2-18a (2)9a2(x-y)+4b2(y-x) （3）4a3b+4a2b2+ab3(4)x2(x-y)+(y-x) (5) 3ax2- 6axy+ 3ay2 （6）9(x-1)2-12(x-1)+418、因式分解（1）x3-6x2y+9xy2 (2)x2-y2-ax-ay (3) 2ax2-8a ;(4)x2-2xy+y2-1 ;(5)(x-1)(x-3)+1 (6)16x4-81y4（7）x2-4xy-1+4y2（8）64a6-48a4b2+12a2b4-b619、对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如由图①可以得到两数和的平方公式: ( a+b) 2=a2+2ab+b2请解答下列问题:(1)写出由图②可以得到的数学等式 .(2)利用(1)中得到的结论,解决下面问题:若a+b+c=6 , a2+b2+c2=14 ,求ab+bc+ac 的值;(2)同学用图③中x个边长为a的正方形, y个宽为a ,长为b的长方形, z个边长为b的正方形,拼出一个面积为( 2a+b) ( a+4b )的长方形,则x+y+z= .20、因式分解（1）x2-5x+6 (2) x2+2x-15 （3） x2-6x-16 （4)x2-4x-12(5)-2x2y-6xy-4y (6)x2-6x+8 (7)(x2-x)2-12(x2-x)+36。
用公式法分解因式练习题
用公式法分解因式练习题一、一元二次方程式因式分解1. 分解因式：x^2 92. 分解因式：x^2 163. 分解因式：x^2 6x + 94. 分解因式：x^2 + 8x + 165. 分解因式：x^2 10x + 256. 分解因式：x^2 + 14x + 497. 分解因式：x^2 4x + 48. 分解因式：x^2 12x + 369. 分解因式：x^2 + 20x + 10010. 分解因式：x^2 18x + 81二、一元二次多项式因式分解1. 分解因式：x^2 5x 362. 分解因式：x^2 + 7x 303. 分解因式：x^2 3x 404. 分解因式：x^2 + 9x 225. 分解因式：x^2 8x 336. 分解因式：x^2 + 11x 287. 分解因式：x^2 13x 428. 分解因式：x^2 + 15x 349. 分解因式：x^2 6x 2710. 分解因式：x^2 + 17x 32三、含有公因式的多项式因式分解1. 分解因式：2x^2 8x2. 分解因式：3x^2 + 12x3. 分解因式：4x^2 16x4. 分解因式：5x^2 + 20x5. 分解因式：6x^2 24x6. 分解因式：7x^2 + 28x7. 分解因式：8x^2 32x8. 分解因式：9x^2 + 36x9. 分解因式：10x^2 40x10. 分解因式：11x^2 + 44x四、交叉项因式分解1. 分解因式：x^2 + 5y^22. 分解因式：2x^2 + 8y^23. 分解因式：3x^2 + 12y^24. 分解因式：4x^2 + 16y^25. 分解因式：5x^2 + 20y^26. 分解因式：6x^2 + 24y^27. 分解因式：7x^2 + 28y^28. 分解因式：8x^2 + 32y^29. 分解因式：9x^2 + 36y^210. 分解因式：10x^2 + 40y^2五、综合练习1. 分解因式：x^3 272. 分解因式：x^3 + 643. 分解因式：x^4 164. 分解因式：x^4 815. 分解因式：x^6 646. 分解因式：x^6 7297. 分解因式：2x^2 188. 分解因式：3x^2 249. 分解因式：4x^2 3610. 分解因式：5x^2 50六、差平方与和平方因式分解1. 分解因式：x^2 4y^22. 分解因式：9x^2 25y^23. 分解因式：16x^2 9y^24. 分解因式：25x^2 36y^25. 分解因式：x^2 + 4y^26. 分解因式：9x^2 + 16y^27. 分解因式：4x^2 + 25y^28. 分解因式：16x^2 + 9y^29. 分解因式：25x^2 + 36y^210. 分解因式：x^2 + 49y^2七、三项式因式分解1. 分解因式：x^3 3x^2 + 2x2. 分解因式：x^3 + 4x^2 5x3. 分解因式：x^3 6x^2 + 9x5. 分解因式：x^3 8x^2 + 12x6. 分解因式：x^3 + 9x^2 13x7. 分解因式：x^3 10x^2 + 15x8. 分解因式：x^3 + 11x^2 16x9. 分解因式：x^3 12x^2 + 18x10. 分解因式：x^3 + 13x^2 19x八、多项式因式分解1. 分解因式：x^4 162. 分解因式：x^4 813. 分解因式：x^4 2564. 分解因式：x^4 6255. 分解因式：x^4 + 166. 分解因式：x^4 + 817. 分解因式：x^4 + 2568. 分解因式：x^4 + 6259. 分解因式：x^5 3210. 分解因式：x^5 243九、特殊多项式因式分解1. 分解因式：x^3 + x^2 6x2. 分解因式：x^3 x^2 + 4x3. 分解因式：x^3 + 2x^2 3x4. 分解因式：x^3 2x^2 + 5x5. 分解因式：x^3 + 3x^2 8x7. 分解因式：x^3 + 4x^2 12x8. 分解因式：x^3 4x^2 + 9x9. 分解因式：x^3 + 5x^2 16x10. 分解因式：x^3 5x^2 + 11x十、拓展练习1. 分解因式：x^2y^2 162. 分解因式：x^2 + 8xy + 16y^23. 分解因式：x^3y xy^34. 分解因式：x^4 y^45. 分解因式：x^5 + 32x6. 分解因式：2x^3 8x^2 + 8x7. 分解因式：3x^4 24x^28. 分解因式：4x^3y^2 16xy^29. 分解因式：5x^2y^2 + 20xy^210. 分解因式：6x^3 + 18x^2 24x 答案一、一元二次方程式因式分解1. (x 3)(x + 3)2. (x 4)(x + 4)3. (x 3)^24. (x + 4)^25. (x 5)^26. (x + 7)^28. (x 6)^29. (x + 10)^210. (x 9)^2二、一元二次多项式因式分解1. (x 9)(x + 4)2. (x + 10)(x 3)3. (x 5)(x + 8)4. (x + 11)(x 2)5. (x 11)(x + 3)6. (x + 14)(x 2)7. (x 14)(x + 3)8. (x + 16)(x 2)9. (x 9)(x + 3)10. (x + 17)(x 2)三、含有公因式的多项式因式分解1. 2x(x 4)2. 3x(x + 4)3. 4x(x 4)4. 5x(x + 4)5. 6x(x 4)6. 7x(x + 4)7. 8x(x 4)8. 9x(x + 4)10. 11x(x + 4)四、交叉项因式分解1. (x + 3y)(x 3y)2. 2(x + 2\sqrt{2}y)(x 2\sqrt{2}y)3. 3(x + 2\sqrt{3}y)(x 2\sqrt{3}y)4. 4(x + 3\sqrt{2}y)(x 3\sqrt{2}y)5. 5(x + 2\sqrt{5}y)(x 2\sqrt{5}y)6. 6(x + 2\sqrt{6}y)(x 2\sqrt{6}y)7. 7(x + 2\sqrt{7}y)(x 2\sqrt{7}y)8. 8(x + 2\sqrt{2}y)(x 2\sqrt{2}y)9. 9(x + 2\sqrt{3}y)(x 2\sqrt{3}y)10. 10(x + 2\sqrt{10}y)(x 2\sqrt{10}y)五、综合练习1. (x 3)(x^2 + 3x + 9)2. (x + 4)(x^2 4x + 16)3. (x 2)(x + 2)(x^2 + 4)4. (x 3)(x + 3)(x^2 + 9)5. (x 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 2x + 4)6. (x 3)(x^2 + 3x + 9)(x^2 3x + 9)7. 2(x^2 9)8. 3(x^2 8)9. 4(x^2 9)10. 5(x^2 10)六、差平方与和平方因式分解1. (x 2y)(x + 2y)2. (3x 5y)(3x + 5y)3. (2x 3y)(2x + 3y)4. (5x 6y)(5x + 6y)5. (x + 2y)(x 2y)6. (3x + 4y)(3x 4y)7. (2x + 5y)(2x 5y)8. (4x + 3y)(4x 3y)9. (5x + 6y)(5x 6y)10. (x + 7y)(x 7y)七、三项式因式分解1. x(x 1)(x 2)2. x(x + 1)(x。
八年级上册因式分解分类练习题(经典全面)
因式分解练习题(提取公因式)专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay ax +2、36mx my -3、2410a ab +4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、22____()R r R r ππ+=+2、222(______)R r πππ+=3、2222121211___()22gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a +=专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()22___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()nna b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、23()()___()a b b a a b --=- 12、246()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx ny -2、2a ab +3、3246x x -4、282m n mn +5、23222515x y x y -6、22129xyz x y -7、2336a y ay y -+8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+专项训练五：把下列各式分解因式。
八年级数学公式法因式分解练习题(K12教育文档)
八年级数学公式法因式分解练习题(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学公式法因式分解练习题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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八年级数学公式法因式分解练习题1、24x -2、29y -3、21a -4、224x y -5、2125b -6、222x y z -7、2240.019m b -8、2219a x -9、2236m n - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q -13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 16、44411681a b m -17、22()()x p x q +-+ 18、 22(32)()m n m n +-- 19、2216()9()a b a b --+20、229()4()x y x y --+ 21、22()()a b c a b c ++-+- 22、224()a b c -+23、53x x - 24、224ax ay - 25、322ab ab - 26、316x x -24、 27、2433ax ay - 28、2(25)4(52)x x x -+- 29、324x xy -30、343322x y x - 31、4416ma mb - 32、238(1)2a a a -++ 33、416ax a -+34、2216()9()mx a b mx a b --+ 35、 22758258- 36、22429171-37、223.59 2.54⨯-⨯ 35、221x x ++ 37、2441a a ++ 38、 2169y y -+39、214m m ++ 40、 221x x -+ 42、2816a a -+ 43、2144t t -+44、21449m m -+ 45、222121b b -+ 46、214y y ++ 47、2258064m m -+48、243681a a ++ 49、2242025p pq q -+ 50、224x xy y ++ 51、2244x y xy +-52、2()6()9x y x y ++++ 53、222()()a a b c b c -+++ 54、2412()9()x y x y --+-55、22()4()4m n m m n m ++++ 56、)1(42-+-+y x y x ）（ 57、22(1)4(1)4a a a a ++++58、222xy x y -- 59、22344xy x y y -- 60、232a a a -+-61、221222x xy y ++ 62、42232510x x y x y ++ 63、2232ax a x a ++64、222224y x y x -+）（ 65、2222()(34)a ab ab b +-+ 66、42()18()81x y x y +-++67、2222(1)4(1)4a a a a +-++ 68、42242()()a a b c b c -+++69、4224816x x y y -+ 70、2222()8()16()a b a b a b +--+- 71、x 2—972、9x 2-6x+1 73、x 5y 3-x 3y 5 74、4x 3y+4x 2y 2+xy 375、(x 2+4）2-16x2 76、 -x 2+(2x —3）2 77、(x —y)2—4(x —y-1)78、(x+y ）2+4-4（x+y) 79、—x 2+（2x-3）2 80、（x+y ）2+4-4（x+y ）81、x 4-81y 4 82、16x 4-72x 2y 2+81y 4 83、x 5y 3-x 3y 584、4x 3y+4x 2y 2+xy 3 85、4+12（x ﹣y)+9（x ﹣y)286、2am 2﹣8a87、4x 3+4x 2y+xy 2 88、3x ﹣12x 3 89、（x 2+y 2）2﹣4x 2y 290、x 2y ﹣2xy 2+y 3 91、(x+2y ）2﹣y 2 92、n 2（m ﹣2）﹣n(2﹣m)93、（x﹣1）（x﹣3)+1 94、a2﹣4a+4﹣b2 95、a2﹣b2﹣2a+196、 a4－9a²b² 97、ab（x²－y²)＋xy（a²－b²） 98 、a²－a－b²－b99、(x＋y)(a－b－c）＋（x－y）(b＋c－a) 100、(3a－b）²－4(3a－b）（a ＋3b)＋4(a＋3b)²。
因式分解公式法练习题
因式分解公式法练习题因式分解是数学中的一种重要概念和技巧，它被广泛应用于各个领域的数学问题求解中。
掌握因式分解的方法和技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能提高我们解决实际问题的能力。
本文将介绍因式分解公式法，并给出一些练习题供读者巩固学习。
一、因式分解公式法概述因式分解公式法是一种通过将多项式进行因式分解，从而得到可以简化计算或者求解问题的乘积形式的方法。
在因式分解公式法中，我们利用一些常见的公式和规律，将多项式分解为一系列乘积形式，从而简化问题的求解过程。
二、因式分解公式法的基本步骤1. 先观察多项式，并判断是否可以分解。
2. 找出多项式中的公因式。
如果存在公因式，则应先提取出来。
3. 利用公式和规律，将多项式进行因式分解。
三、下面给出一些因式分解公式法的练习题，供读者参考：题目1：因式分解多项式$3x^2+15x$。
解答：首先观察多项式$3x^2+15x$，发现它可以因式分解。
我们可以提取出公因式$3x$，得到$3x(x+5)$。
题目2：因式分解多项式$4x^2-12x+9$。
解答：首先观察多项式$4x^2-12x+9$，发现它可以因式分解。
我们可以应用二次平方差公式，得到$(2x-3)^2$。
题目3：因式分解多项式$2x^2+7x+3$。
解答：首先观察多项式$2x^2+7x+3$，发现它可以因式分解。
我们需要将其拆分为两个因式相加的形式。
通过观察得知，$2x^2+7x+3$可以拆分为$(2x+1)(x+3)$。
题目4：因式分解多项式$9x^2-25$。
解答：首先观察多项式$9x^2-25$，发现它可以因式分解。
我们可以应用差平方公式，得到$(3x+5)(3x-5)$。
题目5：因式分解多项式$4x^4-16x^2$。
解答：首先观察多项式$4x^4-16x^2$，发现它可以因式分解。
我们可以提取公因式$4x^2$，得到$4x^2(x^2-4)$。
然后再应用差平方公式，得到$4x^2(x+2)(x-2)$。
因式分解分类练习题集(经典全面)
因式分解练习题（提取公因式）平昌县得胜中学任璟（编）2 3 2 25、25x y -15x y2 26、12xyz-9x y 27、3a y- 3ay 6y专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
ay ax 3mx - 6my 3、4a2 10ab 8、a2b -5ab 9b 9、- x2 xy - xz 10、-24x2y- 12xy2 28y315a2 5a 2 26、12xyz -9x ymx_y n x_y3abc(m -n) -ab(m -n) 2 310、12x(a-b) -9m(b-a)专项训练二：禾U用乘法分配律的逆运算填空。
1、2兀R 十2^r= _ (R+r)2、2兀R 十2兀r=2^( __)3、丄gtj+Zgt。
2- (tj+t22)4、15a2+25ab2 =5a( )2 2专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+ ”或“-”，使等式成立。
1、x+y=__(x+y)2、b-a=__(a-b)2 23、-z y=_(y-z)4、y-x 二___(x-y)5、(y-x)3=__(x-y)36、-(x-y)4=__(y-x)47、(a_b)2n=___(b_a)2n(n为自然数)8、(a—b)2n^=—(b—a)2n tn为自然数9、(1—x)(2_y)=___(1_x)(y_2) 11、(a-b)2(b-a)=_(a-b)3专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx - ny2、a2 ab )10、(1-x)(2-y) = ___(x-1)(y-2)12、(a -b)2(b-a)4 =___(a-b)63、4x3-6x24、8m2n 2mn3 211、「3ma 6ma -12ma13、15x3y2 5x2y-20x2y3专项训练五：把下列各式分解因式1、x(a b) - y(a b)3、6q(p q) -4p(p q)25、a(a-b) (a-b)7、(2a b)(2a-3b)-3a(2a b)3 2 2 2 212、56x yz 14x y z-21xy z14、-16x4 - 32x356x22、5x(x- y) 2y(x- y)4、(m n)(P q)- (m n)( p- q)6、x(x_ y)2 _ y(x_ y)28、x(x y)(x「y)_x(x y)9、p(x-y)-q(y-x) 10、m(a-3) 2(3-a)12、 a(x -a) ■ b(a -x)-c(x -a)专项训练六、利用因式分解计算1、7.6 199.8 4.3 199.8-1.9 199.83 313、3(x -1) y 一(1 一x) z2 214、一ab(a -b) a(b -a)专项训练七：利用因式分解证明下列各题 1、求证：当n 为整数时，n 2 n 必能被2整除19、x(x -y)2-2( y _x)3-(y _x)220、(x-a)3(x-b) (a-x)2(b-x)2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置， 则所得的三位数与原 数之差能被99整除21、(y-x)2 x(x-y)3-(y-x)422、3(2a-3b)2n 1 -(3b-2a)2n (a-b)(n 为自然数)17、(3a b)(3a-b) (a -b)(b -3a)15、 mx(a -b) -nx(b -a)16、(a -2b)(2a -3b) -5a(2b -a)(3b-2a)3120 19、(-3)(-3) 6 34、1984 20032003- 2003 19841984218、a(x 「y) b(y -x)11、(a b)(a -b) -(b a)2、2.186 1.237-1.237 1.1863、证明：严"32001 10 3 2000能被7整除。