高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节几何概型学案理北师大版
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第六节二项分布超几何分布与正
第六节二项分布、超几何分布与正态分布【课标标准】 1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.3.了解服从正态分布的随机变量，了解正态分布的均值、方差及其含义．必备知识·夯实双基知识梳理1.n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为________________．2．二项分布(1)定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作____________．(2)均值与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________．3．超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m ＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．4．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．特别地，当μ＝0，σ＝1时，相应曲线称为标准正态曲线．(2)正态曲线特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线与x轴之间的区域的面积为____________．③曲线是单峰的，它关于直线________对称．④曲线在x＝μ处达到峰值(最大值).⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示．⑥当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图(2)所示．(3)正态分布的定义及表示若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为____________．(4)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7.②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.(5)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝________，D(X)＝________．[常用结论]1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．4．超几何分布也可记为X～H(n，M，N)，则E(X)＝.夯实双基1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项展开式的通项，其中a＝p，b ＝1－p.( )(2)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．( )(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．( )(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．( )2．(教材改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )A．0.33 B．0.66C．0.5 D．0.453．(教材改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X～N(80，25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．4．(易错)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )B．5．(易错)已知随机变量X服从正态分布X～N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X<c＋3)，则c＝________．关键能力·题型突破题型一二项分布例 1[2023·河北沧州模拟]足球比赛淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢(例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2∶0，则不需要再踢第5轮了)；③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．(1)假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出，若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；(2)现有甲、乙两队在半决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需进行“点球大战”来决定胜负，设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．(ⅰ)若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出的概率；(ⅱ)求“点球大战”在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出的概率．题后师说(1)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点：①在每一次试验中，事件发生的概率相同；②各次试验中的事件是相互独立的；③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．(2)在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．巩固训练1[2023·河南洛阳模拟]已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．如果某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的；如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次成功的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望．题型二超几何分布例 2[2023·广东广州模拟]近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表(单位：吨)．(1)(2)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动(每名志愿者被选到的可能性相同)．设X为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．题后师说(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．巩固训练2共享电动车是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某校园旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4，若从这些共享电动车中任意抽取3辆．(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望．题型三正态分布例 3[2023·山东青岛大学附中模拟]某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．(1)求最低录取分数(结果保留为整数)；(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？请说明理由．附：①当X～N(μ，σ2)时，令Y ＝，则Y～N(0，1)．②当Y～N(0，1)时，P(Y≤2.17)≈0.985，P(Y≤1.28)≈0.900，P(Y≤1.09)≈0.863，P(Y≤1.04)≈0.85.题后师说利用对称性，μ，σ以及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．巩固训练3[2023·江西南昌模拟]国际上常用体重指数作为判断胖瘦的指标，体重指数是体重(单位：千克)与身高(单位：米)的平方的比值．高中学生由于学业压力，缺少体育锻炼等原因，导致体重指数偏高．某市教育局为督促各学校保证学生体育锻炼时间，减轻学生学习压力，准备对各校学生体重指数进行抽查，并制定了体重指数档次及所对应得分如下表：档次低体重正常超重肥胖体重指数x (单位：kg/m2)x<17.317.3≤x<23.923.9≤x<27.2x≥27.2学生得分801008060某校为迎接检查，学期初通过调查统计得到该校高三学生体重指数服从正态分布)，并调整教学安排，增加学生体育锻炼时间.4月中旬，教育局聘请第三方机构抽查了该校高三50名学生的体重指数，得到数据如下表：16.316.917.117.518.218.519.019.319.519.820.220.220.520.821.221.421.521.922.322.522.822.923.023.323.323.523.623.824.024.124.124.324.524.624.824.925.225.325.525.725.926.126.426.727.127.628.228.829.130.0请你从肥胖率、体重指数学生平均得分两个角度评价学校采取措施的效果．附：参考数据与公式若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 31.[2022·新高考Ⅱ卷]已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________．2．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是( )A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等第六节二项分布、超几何分布与正态分布必备知识·夯实双基知识梳理1．n重伯努利试验2．（1）pk（1－p）n－k X～B（n，p）（2）np np（1－p）4．（2）②1 ③x＝μ（3）X～N（μ，σ2）（5）μσ2夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，所以P(X ＝4)＝×0.94×0.1≈0.33.故选A.答案：A3．解析：P(X≥85)＝[1－P(75≤X<85)]＝＝0.158 5.答案：0.158 54．解析：由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为.故选B.答案：B5．解析：因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于直线x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X<c ＋3)，所以2c－1＋c＋3＝2×3，所以c＝.答案：关键能力·题型突破例1 解析：(1)依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为P＝×3×＝，门将在前三次扑出点球的个数X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则X的分布列为X012 3PX的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.或(易知X～B(3，)，E(X)＝3×＝)．(2)(ⅰ)记事件“甲队先踢点球，在第3轮结束时，甲队踢进了3个球(不含常规赛和加时赛进球)并胜出”为事件A，意味着甲队先踢点球，前三轮点球乙队没进球，甲队前三轮踢进3个点球，对应的概率为P(A)＝×()3＝.(ⅱ)记“点球大战在第6轮结束，且乙队以5∶4(不含常规赛和加时赛得分)胜出”为事件B，意味着前5轮结束后比分为4∶4，第6轮乙队进球甲队没进球，其对应的概率为P(B)＝×()6＝.巩固训练1 解析：(1)记“该小组有两次成功”为事件A，则第一小组做了四次试验，该小组恰有两次成功的概率为：P(A)＝＝.(2)由题意得X的可能取值为0，2，4，P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝，∴X的分布列为：X02 4P∴E(X)＝0×＋2×＋4×＝.例2 解析：(1)由题表可得厨余垃圾共有60＋20＋20＝100(吨)，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率P＝＝.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为X012 3P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为.巩固训练2 解析：(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆．记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则P(A)＝＝.(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以分布列为X012 3P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.例3 解析：(1)设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N(180，σ2)，令Y＝，则Y～N(0，1)，由360分及以上高分考生30名可得P(X≥360)＝，即P(X<360)＝1－＝0.985，即有P(Y<)＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得X～N(180，832)，设最低录取分数线为x0，则P(X≥x0)＝P(Y ≥)＝，即有P(Y<)＝1－＝0.85，即有＝1.04，可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266.(2)考生甲的成绩286>267，所以能被录取P(X<286)＝P(Y<)＝P(Y<1.28)≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1－0.90＝0.10，又由2 000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．巩固训练3 解析：增加学生体育锻炼时间后，调查的50人的体重指数频数分布表如下：档次低体重正常超重肥胖体重指数x (单位：kg/m2)x<17.317.3≤x<23.923.9≤x<27.2x≥27.2人数32517 5其中肥胖率为＝0.1，而调整前，肥胖率为P(X>μ＋σ)＝＝0.158 65>0.1.调整前，低体重的概率为P(X<μ－2σ)＝＝0.022 75，体重正常概率为P(μ－2σ≤X<μ)＝＝0.477 25，超重概率为P(μ≤X<μ＋σ)＝＝0.341 35，调整前体重指数平均得分为0.022 75×80＋0.477 25×100＋0.341 35×80＋0.158 65×60＝86.372，调整后体重指数平均得分为×80＋×100＋×80＋×60＝88，因此调整后肥胖率减小，体重指数平均得分增加，说明学校采取的措施效果好．真题展台——知道高考考什么？1．解析：由题意可知P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.答案：0.142．解析：对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故错误．故选D.答案：D。
第10章第6讲 几何概型
2．小题热身 (1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小 球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 ()
解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率
依次为 P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，所以 P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故
第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布
第6讲 几何概型
[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2．了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重 点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一．预测 2021 年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合； ②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容．题型为客观 题，试题难度不大，属中、低档试题.
任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证
明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC＝15°，在梯形
ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形 CDE 中(阴影部分)的概
率是( )
3
3
A. 2
B.4
2
2
C.3
D. 2
答案
解析 在直角三角形 EBC 中，a＝ccos15°，b＝csin15°，则 P＝SS梯△形CADBCED＝12a12＋c2b2＝c2cos15°c＋2 sin15°2＝1＋s1in30°＝23.
3
2
A.10
B.3
3
4
C.5
D.5
解析 由题意，得 f(x0)≥0，即－x20＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}， 所以由长度的几何概型可得概率为 P＝64－ －－ －42＝35.
高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布10.6几何概型课件理新人教版
与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空 间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事 件去求．
如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任 取一点，则点落在四面体内的概率为( C )
9 A.13π
1
9 13
13
B.13π C.169π D.169π
A.
方向2 与线性规划有关的几何概型
【例3】 两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们
在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，15
分钟后还未见面便离开，则两位同学能够见面的概率是( D )
11
1
A.36
B.4
1
3
C.2
D.4
【解析】
因涉及两人见面时间，故考虑到是几何概型，建立坐标系 列出满足条件的式子，计算出最终的概率．因为两人谁也没有 讲好确切的时间，故样本点由两个数(甲、乙各自到达的时刻)组 成，以5：30作为时间的起点建立如图所示的平面直角坐标系．
解析：(1)由6＋x－x2≥0解得－2≤x≤3，则D＝[－2,3]，故 所求概率为35－ －－ －24＝59.
(2)当AA′的长度等于半径的长度时，∠AOA′＝π3，由圆的 2π
对称性及几何概型得所求概率P＝23π＝13.
考向二
与面积有关的几何概型
方向1 与平面几何有关的几何概型 【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研 究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三
且CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝
15 40
＝
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2014届高考数学一轮复习第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》(第6课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》（第6课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2013·淄博质检)已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A.试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1min ，故P (A )＝110.2．(2013·东营质检)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C.34D.78 解析：选C.设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x －y |＜12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34.3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38解析：选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127.4．(2013·山西四校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的区域为W ，圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝4及其内部区域记为D .若向区域W 内投一点，则该点落在区域D 内的概率为( )A.π4B.π8C.π16 D.π32解析：选C.易知，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的平面区域的面积为42＝16，圆C 及其内部区域与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2－2≤y ≤2表示的平面区域的公共区域的面积为14π×22＝π，因此向区域W 内投一点，则该点落在区域D 内的概率为π16，选C.5．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D.1－π8解析：选B.长方形面积为2×1＝2，而取到的点到O 的距离小于等于1的区域是以O为圆心，1为半径所作的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么满足条件的概率为：1－12π2＝1－π4，故选B.二、填空题6．在长为18 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为________．解析：设AM ＝x ，则0≤x ≤18.由x 2∈[36,81]得x ∈[6,9]，故所求概率为318＝16.答案：167．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________．解析：D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x ≥0，y ≥0)知d 为单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为14π×121×1＝π4. 答案：π48．(2013·大连质检)在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，AD ＝3，自点A 在∠BAC 内任作一条射线AM 交BC 于点M ，则“BM ＜1”的概率是________．解析：当BM ＝1时，点M 与点D 重合，即“事件BM ＜1”要发生，则射线AM 所在区域为∠BAD 内部任一位置，易得∠BAC ＝75°，∠BAD ＝30°，故所求概率为P ＝30°75°＝25.答案：25三、解答题9．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．解：记事件A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点F ，作垂直于直径的弦，当弦为CD 时，就是等边三角形的边长(此时F 为OE 的中点)，弦长大于CD 的充要条件是圆心O 到弦的距离小于OF ，由几何概型公式得：P (A )＝12×22＝12.10．(2013·南京质检)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹． (1)求空弹出现在第一枪的概率； (2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P 、Q 、R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击，第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)．解：设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A ，第一枪有4个基本事件，则：P (A )＝14.(2)法一：前三枪出现“空弹”的事件为B ，则第四枪出现“空弹”的事件为B ，那么P (B )＝P (A )，P (B )＝1－P (B )＝1－P (A )＝1－14＝34.法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个，则P (B )＝34.(3)Rt △PQR 的面积为6，分别以P ，Q ，R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为π2，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C ，P (C )＝6－12π6＝1－π12.一、选择题1．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，则使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率为( )A.25B.25C.35D.3210解析：选B.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25，故选B.2．(2013·石家庄质检)在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B.1625 C.1725 D.1825解析：选C.设这两个数是x ，y ，则试验所有的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件是由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜10＜y ＜1x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以两个数之和小于65的概率是1725.二、填空题3．(2011·高考湖南卷)已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25. (1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．解析：(1)根据点到直线的距离公式得d ＝255＝5；(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y ＝15把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是所求的概率，由于圆半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的劣弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.答案：(1)5 (2)164.(2013·西安质检)已知直线AB ：x ＋y －6＝0与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的阴影部分如图所示，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．解析：因为直线x ＋y －6＝0与抛物线y ＝x 2在第一象限的交点为(2,4)，所以S 阴影＝⎠⎛02x 2d x ＋12×4×4＝323，且S △OAB ＝12×6×6＝18，故点M 取自阴影部分的概率是32318＝1627.答案：1627三、解答题5．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x ＞0y ＞0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a ＞0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，即所求事件的概率为53×5＝515＝13.(2)由(1)，知当且仅当2b ≤a 且a ＞0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件，可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a ＞0b ＞0. 构成所求事件的区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ，b⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ≤1a ＞0b ＞0. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫163，83，所以所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。
2021届高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第6讲几何概型创新教学案(含解析)新人教
第6讲几何概型[考纲解读] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点) [考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一．预测2021年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划、定积分等内容．题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题.1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P(A)＝□01构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．概念辨析(1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．()(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.(2)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 区间[－2,4]的长度为6，在[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则对应区间长度为5，由[－2,3]的长度为5，得m ＝3.(3)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点在AB ︵上任取一点C 作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率是( )A.13 B.23 C.12 D.16答案 A解析 记事件T 是“作射线OC ，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，如图，记AB ︵的三等分点为M ，N ，连接OM ，ON ，则∠AON ＝∠BOM ＝∠MON ＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝∠MON∠AOB＝30°90°＝13，故选A.(4)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．答案1－π12解析正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr3＝12×4π3×13＝2π3，则点P到点O的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.题型一与长度(角度)有关的几何概型1．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1”发生的概率为()A.34 B.23C.13 D.14答案A解析不等式－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1可化为log122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤log1212，即12≤x＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.条件探究1将本例中的条件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”改为“使函数y ＝log 12(4x －3)有意义”，则其概率为________． 答案 18解析 由log 12(4x －3)≥0得0＜4x －3≤1，即x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1，由几何概型的概率公式，得P ＝1－342－0＝18.条件探究2将本例中的条件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”改为“2≤2x ＋12≤4”，则其概率为________．答案12解析 由2≤2x ＋12≤4得1≤x ＋12≤2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，由几何概型的概率公式，得P ＝32－122－0＝12.2．(2019·东北三省三校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3，在边AD 上任取点E ，连接BE 交AC 于点F ，则AF <12的概率为________．答案 33解析由题意，得△ABC为直角三角形，由AB＝1，BC＝3，得AC＝2.当AF＝12时，CF＝32，因为△AFE∽△CFB，所以AEAF＝BCCF，即AE12＝332，所以AE＝33，且点E的活动区域为线段AD，AD＝1.所以AF<12的概率为331＝33.3．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为________．答案34解析当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝∠ACM的度数∠ACB的度数＝67.5°90°＝34.1．与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．1．(2019·河南八市重点高中联盟模拟)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋8(－4≤x ≤6)，在其定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率是( )A.310B.23 C.35 D.45答案 C解析 由题意，得f (x 0)≥0，即－x 20＋2x 0＋8≥0，解得{x 0|－2≤x 0≤4}，所以由长度的几何概型可得概率为P ＝4－(－2)6－(－4)＝35.2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为 .答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.题型二与面积有关的几何概型角度1与随机模拟相关的几何概型1．(2019·郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n，m估计π的值．可以估计π的值约为()A.mn B.n－mnC.4(n－m)n D.4mn答案 C解析如图所示，实数对(x，y)在边长为1的正方形OABC的内部(不包括边界)，若能和1构成锐角三角形，则x，y满足x2＋y2>1，则实数对(x，y)在如图所示的阴影部分(不包括边界)，则能构成锐角三角形的概率为1－π41＝mn，解得π＝4(n－m)n.角度2与平面图形面积有关的问题2．(2019·晋冀鲁豫中原名校联考)1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC ＝15°，在梯形ABCD 中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE 中(阴影部分)的概率是()A.32 B.34 C.23 D.22答案 C解析 在直角三角形EBC 中，a ＝c cos15°，b ＝c sin15°，则P ＝S △CDES 梯形ABCD＝12c212(a ＋b )2＝c 2c 2(cos15°＋sin15°)2＝11＋sin30°＝23. 角度3 与线性规划有关的几何概型3．(2019·大庆模拟)设不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则P 点的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.π8B.π4C.12＋πD.12＋π答案 A解析画出⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0所表示的区域Ω，易知A (2,2)，B (2，－2)，所以△AOB的面积为4，满足不等式x2＋y2≤2的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为π2，由几何概型的公式可得其概率为P＝π24＝π8.角度4与定积分有关的几何概型4．(2019·常德一中模拟)如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝sin x，y＝cos x的一部分，A⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，C(0,1)，在矩形OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为p1，取自非阴影部分的概率为p2，则()A．p1<p2B．p1>p2C．p1＝p2D．大小关系不能确定答案 B解析根据题意，得阴影部分的面积的一半为∫π4(cos x－sin x)d x＝sin x＋cos x|π40＝2－1，于是此点取自阴影部分的概率为p1＝2×2－1π2＝4(2－1)π>4×(1.4－1)3.2＝12.又p2＝1－p1<12，故p1>p2.1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1、2.2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.3．与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见举例说明4.1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为2，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.19 B.29C.118 D.136答案 B解析因为函数y＝3sin π6x的图象与x轴交于点(6,0)和点(－6,0)，则大圆的半径为6，所以S大圆＝36π.又小圆的半径为2，故两个小圆的面积和为8π，所以所求的概率为P＝8π36π＝2 9.2．如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案 512解析 由题图可知S 阴影＝S矩形ABCD －⎠⎛12x 2d x ＝1×4－x 33|21＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD＝534＝512.3．已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2－(a ＋1)x ＋1.(1)若a ，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率；(2)若a ，b ∈[1,6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．解 (1)设(a ，b )表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件共36个． 用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”，即Δ＝[－(a ＋1)]2－4b 2＝0，则a ＋1＝2b .则A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P (A )＝336＝112.即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为112.(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6}，构成事件B 的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}．如图所示：所以所求的概率为P(B)＝12×5×5 25×5＝14.即事件“y＝f(x)有零点”的概率为14.题型三与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A.913π B.113πC.913169π D.13169π答案 C解析由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长、宽、高所作的长方体的对角线，即2r＝42＋(32)2＋(32)2＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于16的概率为________．答案1 2解析过M作平面α∥平面ABCD，则两平面间的距离是四棱锥M－ABCD的高，显然M在平面α上任意位置时，四棱锥M－ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M－ABCD的体积等于16.只要M在截面以下即可小于16，当V M－ABCD＝16时，即13×1×1×h＝16，解得h＝12，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝1×1×121×1×1＝1 2.组基础关1．在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“sin x≤12”发生的概率为()A.13 B.12C.23 D.34答案 C解析当x∈[0,2π]时，由sin x≤12得0≤x≤π6或5π6≤x≤2π，因此所求概率为P ＝1－5π6－π62π＝23.2．(2019·山东师范大学附中模拟)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是()A．2 B．3C．10 D．15答案 C解析设阴影部分的面积是S，由题意得4001000＝S52，∴S＝10，选C.3．(2019·陕西南郑中学模拟)如图，矩形OABC的四个顶点依次为O(0,0)，A⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，B⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，C(0,1)，记线段OC，CB以及y＝sin x⎝⎛⎭⎪⎫0≤x≤π2的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，则点M落在区域Ω内的概率为()A.π2－2πB.1πC.2π D ．1－2π答案 D解析 易知题图中矩形空白处的面积S ＝∫π20sin x d x ＝(－cos x )|π20＝1，故阴影部分的面积为1×π2－S ＝π2－1，由几何概型的概率计算公式可得所求概率P ＝π2－1π2＝1－2π.4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BCAC ＝5－12≈0.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为( )A.5－12 B.5－2 C.5－14D.5－22答案 B解析 设BC ＝1，则BQ ＝PC ＝5－12，所以BC ＋PQ ＝BQ ＋PC ＝5－1，所以PQ ＝5－2，所以所求概率P ＝S △APQ S △ABC＝PQBC ＝5－2.故选B.5．已知区域Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，区域E ＝{(x ，y )|x －2y ≥0，x ≤4，y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域E 内的概率为( )A.13 B.23 C.19 D.29答案 D解析 如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 的边界及其内部，区域E 表示的平面区域为△COD 的边界及其内部，所以点P 落在区域E 内的概率为S △COD S △AOB ＝12×2×412×6×6＝29.故选D. 6．(2019·青岛二中模拟)在区间[－2,2]上随机取一个数b .若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2答案 B解析 由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤ a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2,2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率公式可知P ＝2a －(－2a )2－(－2)＝12，解得a ＝12.7．如图，正四棱锥S －ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．答案12π解析 设球的半径为R ，则所求的概率为 P ＝V 锥V 球＝13×12×2R ×2R ×R 43πR3＝12π.8．(2020·安徽马鞍山月考)如图，扇形AOB 的圆心角为π2，点P 在弦AB 上，且OP ＝2AP ，延长OP 交弧AB 于点C ，则∠AOC ＝________；现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为________．答案 π6 13解析 在△AOP 中，OP sin π4＝AP sin ∠AOC ，因为OP ＝2AP ，所以sin ∠AOC ＝12，所以∠AOC ＝π6.向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为P ＝π6π2＝13.组 能力关1．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，且PB →＋PC →＋4P A →＝0，现向△ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在△PBC 内的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 D解析 如图所示，以PB ，PC 为邻边作平行四边形BPCD ，连接PD 交BC 于点O ，∵PB →＋PC →＋4P A →＝0，PB →＋PC →＝PD →，∴PD →＝－4P A →，∴2PO →＝－4P A →，则PO →＝－2P A →，∴点P 到BC 的距离是点A 到BC 距离的23，∴S △PBC ＝23S △ABC ，因此向△ABC 内随机投掷一根针，则该针扎在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC＝23.故选D.2．已知区域A 内的点满足不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，2x －y －4≤0，在区域A 内任取一点P (a ，b )，则函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 有零点的概率为( )A.2936B.1718C.736D.118答案 A解析 如图，不等式组表示的可行域为△ABC 的内部及边界，易得其面积为6.若函数f (x )有零点，则Δ＝4a 2－4b ≥0，即b ≤a 2，则满足b ≤a 2的点(a ，b )在曲边四边形DOCB (阴影部分)内．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 2，得点D 的坐标为(1,1)，则曲边四边形DOCB (阴影部分)的面积为⎠⎛01x 2d x ＋12×1×1＋4＝296，故所求的概率为2966＝2936.。
2017高考理科数学一轮复习课件：第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第6讲
(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事 件 A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形 结合． (2)对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计 算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．
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-1
-1
23·x3 ＝23－－23＝43，
8 阴影部分面积为 2×2－43＝83，所以所求概率为34＝23.
第三十三页，编辑于星期六：二十二点 分。
生活中的几何概型
某校早上 8：00 开始上课，假设该校学生小张与小王在 早上 7：30～7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到 校是等可能的，则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为
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1．利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机数 a，则事件“ax2dx＞ 0
811”发生的概率为( C )
A.89
B.19
2
1
C解.3析：∵ax2dx＝13x3D.3 ＝13a3＞811，∴a＞13，
0
∴P(a＞13)＝1－1 13＝23.
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2.正方形的四个顶点 A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)
分别在抛物线 y＝－x2 和 y＝x2 上，如图所示，若将一个质点随机
投入正方形 ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是( C )
1
1
A.2
B.3
C.23
D.34
第三十二页，编辑于星期六：二十二点 分。
解析：正方形内空白部分面积为1 [x2－(－x2)]dx＝1 2x2dx＝
高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6讲几何概型讲义理含解析042016.doc
第6讲 几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点3．几何概型的概率公式P (A )＝□01构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．概念辨析(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．故选A.(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 解法一：7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.故选B.解法二：当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.故选B.(3)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．答案 16解析 根据题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(4)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 设事件M 为“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16.题型 一 与长度(角度)有关的几何概型1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23 C.13 D.14答案 A解析 不等式－1≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 12 2≤log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 12 12，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 作射线CM 交AB 于点M ，则使得AM 小于AC 的概率为________．答案 34解析 当AM ＝AC 时，△ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，∠ACM ＝180°－45°2＝67.5°.当∠ACM ＜67.5°时，AM ＜AC ，所以AM 小于AC 的概率P ＝∠ACM 的度数∠ACB 的度数＝67.5°90°＝34.条件探究 1 把举例说明1的条件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”改为“使函数y ＝log 12x －3有意义”，试求其概率．解 由log 12(4x －3)≥0得0＜4x －3≤1，即x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1，由几何概型的概率公式，得P ＝1－342－0＝18. 条件探究2 把举例说明1的条件“－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”改为“2≤2x ＋12≤4”，试求其概率．解 由2≤2x ＋12 ≤4得1≤x ＋12≤2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，由几何概型的概率公式，得P ＝32－122－0＝12.1．与长度有关的几何概型(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．2．与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．1．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2，在区间(－2,5)上任取一个实数x 0，则f ′(x 0)≥0的概率为________．答案 27解析 因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)， 所以由f ′(x 0)≥0，解得0≤x 0≤2. 由几何概型的概率计算公式得f ′(x 0)≥0的概率P ＝2－05－－＝27.2．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ︵，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13. 题型 二 与面积有关的几何概型角度1 与随机模拟相关的几何概型1．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nmB.2nmC.4mnD.2mn答案C解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C.角度2 与平面图形面积有关的问题2．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC .△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2，故选A.角度3 与线性规划有关的几何概型3．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825 答案C解析 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，阴影部分的面积是1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.角度4 与定积分有关的几何概型4．(2015·福建高考)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题图可知S 阴影＝S 矩形ABCD －⎠⎛12x 2dx ＝1×4－x 3321＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫83－13＝53，则所求事件的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝534＝512.1．与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1、2.2．与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.3．与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．见举例说明4.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14 B.π8 C.12 D.π4答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.2．(2018·枣庄二模)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A.316B.38C.14D.18答案 C解析 把图中阴影正方形分割后，移成如图所示，观察图形可知此点取自阴影部分的概率是14.3．如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2π B.1＋22π C.1πD.12π答案 B解析 由题图可知矩形ABCD 的面积为2π，由sin x ＝cos x 得x F ＝π4，故阴影部分的面积为所以点落在阴影区域内的概率P ＝1＋22π.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解 设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a ·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x ≠2y .基本事件为⎩⎨⎧ x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1所表示的区域，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y ＜0，x ≠2y ，如图，区域B 为图中阴影部分去掉直线x －2y ＝0上的点，所以，P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13， 即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. 题型 三 与体积有关的几何概型某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为()A.913πB.113π C.913169π D.13169π答案 C解析 由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为32的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r 为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长方体的对角线，即2r ＝42＋22＋22＝213，所以球的体积为5213π3，所以点落在四面体内的概率为125213π3＝913169π.与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：P(A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积. 求解的关键是计算事件的总体积以及事件A 的体积.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD的体积小于16的概率为________．答案 12解析 过M 作平面RS ∥平面AC ，则两平面间的距离是四棱锥M －ABCD 的高，显然M 在平面RS 上任意位置时，四棱锥M －ABCD 的体积都相等．若此时四棱锥M －ABCD 的体积等于16.只要M 在截面以下即可小于16，当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
北师大版版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布几何概型教学案理
一、知识梳理１．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．２．几何概型的概率公式P（A）＝错误!常用结论在几何概型中，如果A是确定事件，（１）若A是不可能事件，则P（A）＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P（A）＝0不能推出A是不可能事件．（２）若A是必然事件，则P（A）＝１肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是１，但它不是必然事件，因此由P（A）＝１不能推出A是必然事件．二、教材衍化１．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）解析：选Ａ．因为P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，所以P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．２．在线段[0，３]上任投一点，则此点坐标小于１的概率为________．解析：坐标小于１的区间为[0，１），长度为１，[0，３]的区间长度为３，故所求概率为错误!.答案：错误!３．设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率为________．解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为４，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于２的区域．易知该阴影部分的面积为４—π.因此满足条件的概率是错误!.答案：１—错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（）（２）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（）（３）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（４）与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!选用的几何测度不准确导致出错.在区间[—２，４]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为错误!，则m＝________．解析：由|x|≤m，得—m≤x≤m.当0<m≤２时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝２．５，矛盾，舍去．当２<m<４时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝３．答案：３与长度（角度）有关的几何概型（师生共研）记函数f（x）＝错误!的定义域为D，在区间[—４，５]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．【解析】由6＋x—x２≥0，解得—２≤x≤３，则D＝[—２，３]，则所求概率为错误!＝错误!.【答案】错误!错误!与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域（长度或角度）．１．从区间[—２，２]中随机选取一个实数a，则函数f（x）＝４x—a·２x＋１＋１有零点的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．令t＝２x，函数有零点就等价于方程t２—２at＋１＝0有正根，进而可得错误!⇒a≥１，又a∈[—２，２]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[１，２]，故P＝错误!，选Ａ．２．如图，扇形AOB的圆心角为１２0°，点P在弦AB上，且AP＝错误!AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为________．解析：设OA＝３，则AB＝３错误!，所以AP＝错误!，由余弦定理可求得OP＝错误!，∠AOP＝３0°，所以扇形AOC的面积为错误!，扇形AOB的面积为３π，从而所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!与面积有关的几何概型（多维探究）角度一与平面图形面积有关的几何概型（１）（２0２0·黑龙江齐齐哈尔一模）随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为３，宽为１；第二部分为圆环部分，大圆半径为３，小圆半径为２；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C.错误!Ｄ．错误!（２）（２0２0·辽宁五校联考）古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x＝２交抛物线y２＝４x于A，B两点．点A，B在y轴上的射影分别为D，C.从长方形ABCD中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】（１）图标第一部分的面积为8×３×１＝２４，图标第二部分的面积为π×（３２—２２）＝５π，图标第三部分的面积为π×２２＝４π，故此点取自图标第三部分的概率为错误!.故选Ｂ．（２）在抛物线y２＝４x中，取x＝２，可得y＝±２错误!，所以S矩形ABCD＝8错误!，由阿基米德理论可得弓形面积为错误!×错误!×４错误!×２＝错误!，则阴影部分的面积为8错误!—错误!＝错误!.由概率比为面积比可得，点位于阴影部分的概率为错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】（１）B （２）B角度二与线性规划交汇命题的几何概型（２0２0·陕西咸阳模拟）已知集合错误!表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于１的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】因为集合错误!表示的平面区域为Ω，所以作出平面区域Ω为如图所示的△AOB.直线x＋y＝0与直线x—y＝0垂直，故∠AOB＝错误!.联立错误!得点A（１，—１），联立错误!得点B（３，３）．OA＝错误!＝错误!，OB＝错误!＝３错误!，在区域Ω内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离不大于１的区域是如图所示的半径为１的错误!圆，即扇形OCD，所以由几何概型得点到坐标原点的距离不大于１的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．【答案】B角度三与定积分交汇命题的几何概型（２0２0·洛阳第一次联考）如图，圆O：x２＋y２＝π２内的正弦曲线y＝sin x与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】由题意知圆O的面积为π３，正弦曲线y＝sin x，x∈[—π，π]与x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得区域M的面积S＝２错误!sin x d x＝—２cos x错误!＝４，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P＝错误!，故选Ｂ．【答案】B角度四与随机模拟相关的几何概型从区间[0，１]随机抽取２n个数x１，x２，…，x n，y１，y２，…，y n，构成n个数对（x１，y），（x２，y２），…，（x n，y n），其中两数的平方和小于１的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的１圆周率π的近似值为（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!【解析】设由错误!构成的正方形的面积为S，x错误!＋y错误!＜１构成的图形的面积为S′，所以错误!＝错误!＝错误!，所以π＝错误!，故选Ｃ．【答案】C错误!求与面积有关的几何概型的概率的方法（１）确定所求事件构成的区域图形，判断是否为几何概型；（２）分别求出Ω和所求事件对应的区域面积，用几何概型的概率计算公式求解．１．（２0２0·江西八校联考）小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为２的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．如图，连接OB，OA，可得△OBM与△OAN全等，所以S四边形MONB＝S△AOB＝错误!×２×１＝１，即正方形ABCD和OPQR重叠的面积为１．又正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形面积为４＋４—１＝7，故小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是错误!，故选Ｄ．２．（一题多解）如图，线段MN是半径为２的圆O的一条弦，且MN的长为２，在圆O内，将线段MN绕点N按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将新线段NM绕新点M按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动，…点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分．若在圆O内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）Ａ．４π—6错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．π—错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．法一：依题意，得阴影部分的面积S＝6×[错误!（π×２２）—错误!×２×２×错误!]＝４π—6错误!，所求概率P＝错误!＝１—错误!，故选Ｂ．法二：依题意得阴影部分的面积S＝π×２２—6×错误!×２×２×错误!＝４π—6错误!，所求概率P ＝错误!＝１—错误!，故选Ｂ．与体积有关的几何概型（师生共研）已知正三棱锥SABC的底面边长为４，高为３，在正三棱锥内任取一点P，使得V PABC<错误! V SABC的概率是（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!【解析】由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足V PABC<错误!V SABC，故使得V PABC<错误! V SABC的概率：P＝错误!＝错误!.【答案】B错误!与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．１．（２0２0·山西太原五中模拟）已知四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝２．现在球O的内部任取一点，则该点取自四棱锥PABCD内部的概率为________．解析：把四棱锥PABCD扩展为正方体，则正方体的体对角线的长是外接球的直径R，即２错误!＝２R，R＝错误!，则四棱锥的体积为错误!×２×２×２＝错误!，球的体积为错误!×π（错误!）３＝４错误!π，则该点取自四棱锥PABCD内部的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!２．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为________．解析：因为V FAMCD＝错误!×S四边形AMCD×DF＝错误!a３，V ADFBCE＝错误!a３，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为错误!＝错误!.答案：错误![基础题组练]１．（２0２0·江西九江模拟）星期一，小张下班后坐公交车回家，公交车有１，１0两路．每路车都是间隔１0分钟一趟，１路车到站后，过４分钟１0路车到站．不计停车时间，则小张坐１路车回家的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由题意可知小张下班后坐１路公交车回家的时间段是在１0路车到站与１路车到站之间，共6分钟．设“小张坐１路车回家”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.故选Ｄ．２．（２0２0·河南洛阳二模）在边长为２的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形３个顶点的距离都不小于１的概率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．１—错误!Ｄ．１—错误!解析：选Ｂ．若点P到三个顶点的距离都不小于１，则分别以A，B，C为圆心作半径为１的圆，则P 的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为错误!×３×错误!×１２＝错误!，△ABC的面积S＝错误!×２２×sin 60°＝错误!，则阴影部分的面积S＝错误!—错误!，则对应的概率P＝错误!＝１—错误!.故选Ｂ．３．如图，在一个棱长为２的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）Ａ．１—错误!B．错误!Ｃ．错误!D．１—错误!解析：选Ａ．鱼缸底面正方形的面积为２２＝４，圆锥底面圆的面积为π，所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是１—错误!，故选Ａ．４．（２0２0·河北衡水联考）在如图所示的几何图形中，四边形ABCD为菱形，C为EF的中点，EC ＝CF＝３，BE＝DF＝４，BE⊥EF，DF⊥EF.若在几何图形中任取一点，则该点取自Rt△BCE的概率为（）Ａ．错误!B．错误!Ｃ．错误!D．错误!解析：选Ｄ．因为EC＝３，BE＝４，BE⊥EC，所以BC＝５．又由题可知BD＝EF＝6，AC＝２BE ＝8，所以S△BCE＝S△DFC＝错误!×３×４＝6，S四边形ABCD＝错误!AC·BD＝２４．由几何概型概率公式可得，所求概率P＝错误!＝错误!，即该点取自Rt△BCE的概率为错误!.故选Ｄ．５．（２0２0·湖南宁乡一中、攸县一中联考）将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足错误!＝错误!＝错误!≈0．6１8，后人把这个数称为黄金分割，把点C称为线段AB的黄金分割点．图中在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）Ａ．错误!B．错误!—２Ｃ．错误!D．错误!解析：选Ｂ．所求概率为错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—２．故选Ｂ．6．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝错误!，y＝—错误!，y＝x，y＝—x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．解析：根据图象的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是错误!.答案：错误!7．已知平面区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤１}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y＝sin ２x下方的概率是________．解析：y＝sin２x＝错误!—错误!cos ２x，所以错误!错误!d x＝错误!错误!＝错误!，区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤１}的面积为π，所以向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y＝sin２x下方的概率是错误!＝错误!.答案：错误!8．已知O（0，0），A（２，１），B（１，—２），C错误!，动点P（x，y）满足0≤错误!·错误!≤２且0≤错误!·错误!≤２，则点P到点C的距离大于错误!的概率为________．解析：因为O（0，0），A（２，１），B（１，—２），C错误!，动点P（x，y）满足0≤错误!·错误!≤２且0≤错误!·错误!≤２，所以错误!如图，不等式组错误!对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>错误!对应的平面区域为阴影部分．由错误!解得错误!即E错误!，所以|OE|＝错误!＝错误!，所以正方形OEFG的面积为错误!，则阴影部分的面积为错误!—错误!，所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为错误!＝１—错误!.答案：１—错误!9．如图所示，圆O的方程为x２＋y２＝４．（１）已知点A的坐标为（２，0），B为圆周上任意一点，求错误!的长度小于π的概率；（２）若N（x，y）为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于错误!的概率．解：（１）圆O的周长为４π，所以错误!的长度小于π的概率为错误!＝错误!.（２）记事件M为N到原点的距离大于错误!，则Ω（M）＝{（x，y）|x２＋y２>２}，Ω＝{（x，y）|x２＋y２≤４}，所以P（M）＝错误!＝错误!.１0．已知向量a＝（２，１），b＝（x，y）．（１）若x∈{—１，0，１，２}，y∈{—１，0，１}，求向量a∥b的概率；（２）若x∈[—１，２]，y∈[—１，１]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解：（１）设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝２y.所有基本事件为（—１，—１），（—１，0），（—１，１），（0，—１），（0，0），（0，１），（１，—１），（１，0），（１，１），（２，—１），（２，0），（２，１），共１２个基本事件．其中A＝{（0，0），（２，１）}，包含２个基本事件．则P（A）＝错误!＝错误!，即向量a∥b的概率为错误!.（２）设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即２x＋y<0，且x≠２y.基本事件为错误!所表示的区域，B＝错误!，如图，区域B为图中的阴影部分去掉直线x—２y＝0上的点，所以，P（B）＝错误!＝错误!，即向量a，b的夹角是钝角的概率是错误!.[综合题组练]１．（２0２0·安徽合肥模拟）已知圆C：x２＋y２＝４与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x—y ＋１＝0相交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由图可知，由点到直线距离公式得|OC|＝错误!＝错误!，则|AB|＝２错误!＝错误!，同理可得|MD|＝错误!＝错误!，所以S△MAB＝错误!|AB|·|MD|＝错误!，由几何概型知，该点落在△ABM内的概率为错误!＝错误!＝错误!，故选Ａ．２．已知P是△ABC所在平面内一点，错误!＋错误!＋２错误!＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则错误!＋错误!＝错误!，因为错误!＋错误!＋２错误!＝0，所以错误!＋错误!＝—２错误!，得错误!＝—２错误!，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的错误!，所以S△PBC＝错误!S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为错误!＝错误!.３．两位同学约定下午５：３0～6：00在图书馆见面，且他们在５：３0～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若１５分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．解析：如图所示，以５：３0作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{（x，y）||x—y|≤１５}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P（A）＝错误!＝错误!.答案：错误!４．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝３sin 错误!x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为１，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝３sin 错误!x的最小正周期T，又T＝错误!＝１２，所以大圆的面积S＝π·错误!错误!＝３6π，一个小圆的面积S′＝π·１２＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8．0米（四舍五入，精确到0．１米）以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前５个小组的频率分别为0．0４，0．１0，0．１４，0．２8，0．３0，第6个小组的频数是7．（１）求进入决赛的人数；（２）经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～１0米之间，乙的成绩均匀分布在9．５～１0．５米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：（１）第6小组的频率为１—（0．0４＋0．１0＋0．１４＋0．２8＋0．３0）＝0．１４，所以总人数为错误!＝５0．由图易知第４，５，6组的学生均进入决赛，人数为（0．２8＋0．３0＋0．１４）×５0＝３6，即进入决赛的人数为３6．（２）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足错误!，设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P（A）＝错误!＝错误!，即甲比乙跳得远的概率为错误!.6．已知关于x的二次函数f（x）＝ax２—４bx＋１．（１）设集合P＝{１，２，３}和Q＝{—１，１，２，３，４}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率；（２）设点（a，b）是区域错误!内的随机点，求函数y＝f（x）在区间[１，＋∞）上是增函数的概率．解：（１）因为函数f（x）＝ax２—４bx＋１的图象的对称轴为x＝错误!，要使f（x）＝ax２—４bx ＋１在区间[１，＋∞）上为增函数，当且仅当a>0且错误!≤１，即２b≤a.若a＝１，则b＝—１；若a＝２，则b＝—１，１；若a＝３，则b＝—１，１．所以事件包含基本事件的个数是１＋２＋２＝５，因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是１５．所以所求事件的概率为错误!＝错误!.（２）由（１）知当且仅当２b≤a且a>0时，函数f（x）＝ax２—４bx＋１在区间[１，＋∞）上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为错误!，构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．由错误!得交点坐标C错误!，故所求事件的概率P＝错误!＝错误!＝错误!.。
高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.5 古典概型课件 理
小题快做 1.思考辨析 (1)“ 在适 宜的 条件 下， 种一 粒种 子观 察它 是否 发芽 ”属 于古 典概 型， 其基 本事件 是 “ 发芽 与不 发 芽”．( × ) (2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．(× ) (3)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同， 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.( √ ) (4)在古典概型中，如果事件 A 中基本事件构成集合 A，所有的基本事件构成集合 I，则事件 A 的概率 为ccaarrddAI.( √ )
共 6 个，所以 P(A)＝165＝25.
②所取的 2 道题不是同一类题的概率．
答案②基本事件同①.用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}， {2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共 8 个，所以 P(B)＝185.
解析 (1)从 10 件产品中任取 4 件共有 C410＝210 种不同的取法，因为 10 件产品中有 7 件正品、3 件次 品，所以从中任取 4 件恰好取到 1 件次品共有 C13C37＝105 种不同的取法，故所求的概率为 P＝120150＝12.
(2)从 1,2,3,6 中随机取 2 个数，共有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，6 种不同的取法，其中所取 2 个数的乘积是 6 的有(1,6)和(2,3)，共 2 种，故所求概率是26＝13.
命题角度 2 较复杂子里装有三张卡片，分别标记有数字 1,2,3，这三张卡片除标记的数
设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A， 则事件 A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种． 所以 P(A)＝237＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
高考数学总复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6 几何概型课件 理
估计概率． 2.了解几何概型的
意义.
考查与长度或面积有关的几何概 型的求解问题．试题以客观题的形 式呈现，难度不大，属中低档题.
2021/12/12
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课堂(kètáng)探究 考点突破
真题模拟(mónǐ)演练
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课堂探究 考点突破
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解析：直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交的充要条件是圆心 (5,0)到直线 y＝kx 的距离小于 3.
则 k|25＋k－－0|12＜3，解得－43＜k＜43. 故所求事件的概率 P＝134－－－ －341＝34.
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考点二 与面积有关的几何概型
故所求的概率为23(即为长度之比)．
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真题模拟演练
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1．(2018·全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几 何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑 色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自
∴使点 Q 到三个顶点 A、B、C 的距离都大于a2的概率 P＝1 πa2 － 38a2＝1－ 63π，故选 B. 4
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角度 2 与线性规划有关的几何概型
x≤0， (2019·武汉模拟)由不等式组y≥0，
y－x－2≤0
确定的平面区域
记为 Ω1，不等式组xx＋ ＋yy≤ ≥1－，2 确定的平面区域记为 Ω2，在 Ω1 中随机
核按钮(新课标)高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.6 几何概型课件 理
【 点 拨 】 ① 以 线 段 长 度 为 度 量 的 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 ： P(A) ＝ 试验的事全件部A对结应果的对线应段的长线段长.※②本题实际是著名的贝特朗悖论的解答之一，该“悖论”是说：
在一半径为 1 的圆 C 内任意作一弦，此弦长度大于该圆内接正三角形边长( 3)的概率是多少？
解：由已知得 f′(x)＝1－x2lnx，故 f′(x)>0⇔1－x2lnx>0， 解得 0<x<e，故由几何概型可得所求事件的概率为 3e－－22＝e－2.故填 e－2.
类型二 以面积为度量的几何概型
(1)如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P(x，y)．
①求△APB 的面积大于14的概率； ②求点 P 到原点的距离小于 1 的概率．
端固定于圆上，于是弦的另一端 B 是“任意”的，考虑正三角形 ADE(图 2)，弦长 l> 3的充要 条件为 B 落在劣弧D︵E上，故所求概率为劣弧D︵E的弧长与圆周长之比13.有兴趣的同学可以翻阅
相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？
(2013·哈尔滨质检)已知函数 f(x)＝lnxx， 导函数为 f′(x)．在区间[2，3]上任取一点 x0，则使得 f′(x0)>0 的概率为____________．
3．概率计算公式 在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的 一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A)＝______________． 求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域 d 和整 个区域 D 的几何度量，然后代入公式即可求解．
自查自纠
1．均等的 2．长度 面积 体积 几何概率模型 几何概型
2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.5古典概型学案理
10.5 古典概型[知识梳理] 1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[诊断自测]1．概念思辨(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )(2)事件A ，B 至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大．( ) (3)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，那么事件A 的概率为card (A )card (I ).( )(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化(1)(必修A3P 134A 组T 5)在平面直角坐标系中点(x ，y )，其中x ，y ∈{0,1,2,3,4,5}，且x ≠y ，则点(x ，y )在直线y ＝x 的上方的概率是( )A.13B.12C.14D.23 答案 B解析 在平面直角坐标系中满足x ，y ∈{0,1,2,3,4,5}，且x ≠y 的点(x ，y )共有6×6－6＝30个，而满足在直线y ＝x 的上方，即y >x 的点(x ，y )的基本事件共有15个，故所求概率为P ＝1530＝12.故选B.(2)(必修A3P 133A 组T 1)已知A ，B ，C ，D 是球面上的四个点，其中A ，B ，C 在同一圆周上，若D 不在A ，B ，C 所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于________．答案 15解析 A ，B ，C ，D 四点可构成一个以D 为顶点的三棱锥，共6条棱，则所有基本事件有：(AB ，BC )，(AB ，AC )，(AB ，AD )，(AB ，BD )，(AB ，CD )，(BC ，CA )，(BC ，BD )，(BC ，AD )，(BC ，CD )，(AC ，AD )，(AC ，BD )，(AC ，CD )，(AD ，BD )，(AD ，CD )，(BD ，CD )，共15个，其中满足条件的基本事件有：(AB ，CD )，(BC ，AD )，(AC ，BD )，共3个，所以所求概率P ＝315＝15.3．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56 答案 C解析 解法一：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23，故选C.解法二：设红色和紫色的花在同一花坛为事件A ，则事件A 包含2个基本事件：红紫与黄白，黄白与红紫．由解法一知共有6个基本事件，因此P (A )＝26＝13，从而红色和紫色的花不在同一花坛的概率是P (A －)＝1－P (A )＝23.故选C.(2)(2018·山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个，这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部的概率是( )A.35B.25C.15D.45 答案 B解析 从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个的基本事件总数为5，这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共2个， ∴这个点在圆x 2＋y 2＝2016内部的概率P ＝25，故选B.题型1 简单古典概型的求解典例1 (2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )A.15B.25C.825D.925 答案 B解析 设其他3名学生为丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被选中的概率为410＝25，或P ＝C 11C 14C 25＝25.故选B.典例2 (2017·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A.13B.23C.12D.34答案 C解析 记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.方法技巧应用古典概型求某事件的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； 第三步，利用公式P (A )＝m n，求出事件A 的概率．见典例1,2.冲关针对训练(2018·安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取100人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为35，良好的频率为25；乙种汽车被评价为优秀的频率为710，良好的频率是合格的频率的5倍．(1)求这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；(2)如果从这100人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人，求选取的2人评价都是优秀的概率．解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为710，故评价良好或合格的频率为1－710＝310.设评价合格的频率为x ，则评价良好的频率为5x ，由题意可得x ＋5x ＝310，解得x ＝120.所以这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为100×⎝ ⎛⎭⎪⎫710＋5×120＝95.(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为35，良好的频率为25，则用分层抽样的方法抽取5人，其中有3人评价优秀，2人评价良好．又从对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人，所以7人中评价优秀的4人，评价良好的3人．由题意得：P ＝C 24C 27＝27.题型2 复杂古典概型的求解典例(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．[结论探究] 本例中条件不变，试求小亮不能获得玩具的概率．解由题意知当xy＞3时，小亮不能获得玩具，此时包含基本事件共11个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，而基本事件总数共16个，所以此事件概率为P ＝1116.或根据对立事件求解：xy ≤3时包含事件个数为5个，故其获得玩具的概率为516，则不能获得玩具的概率为1－516＝1116.方法技巧1．复杂古典概型的求解策略求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．2．基本事件个数的确定方法冲关针对训练(2018·成都诊断)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46＝15.由互斥事件的概率加法， 得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.题型3 古典概型与统计的综合问题典例 (2018·安徽阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：(1)求表中a ，b 的值及成绩在[90,110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90,150]内为及格)；(2)若从茎叶图中成绩在[100,130)范围内的样本中一次性抽取两个，求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．解 (1)由茎叶图知成绩在[50,70)范围内的有2人，在[110,130)范围内的有3人， ∴a ＝0.1，b ＝3.∵成绩在[90,110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4， ∴成绩在[90,110)范围内的样本数为20×0.4＝8， 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为P ＝1－0.1－0.25＝0.65.(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(100,116)，(100,118)，(100,128)，(102,106)，(102,106)，(102,116)，(102,118)，(102,128)，(106,106)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(106,116)，(106,118)，(106,128)，(116,118)，(116,128)，(118,128)}，共21个基本事件，或基本事件数为C 27＝21，设事件A ＝“取出的两个样本中数字之差小于或等于10”，则A ＝{(100,102)，(100,106)，(100,106)，(102,106)，(102,106)，(106,106)，(106,116)，(106,116)，(116,118)，(118,128)}，共10个基本事件，∴P (A )＝1021.方法技巧求解古典概型与统计交汇问题的思路1．依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息．2．选择恰当的方法找出符合条件的基本事件总数及所求事件包含的基本事件数． 3．进行统计与古典概型概率的正确计算．冲关针对训练(2018·广东五校诊断)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解 (1)设第1组[20,30)的频率为f 1，则由题意可知，f 1＝1－(0.010＋0.035＋0.030＋0.020)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25. ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25. (2)解法一：第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6. ∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为A ，B ，C,3名女性群众分别为x ，y ，z ，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含(A ，B )，(A ，C )，(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，C )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )，(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含(A ，x )，(A ，y )，(A ，z )，(B ，x )，(B ，y )，(B ，z )，(C ，x )，(C ，y )(C ，z )，(x ，y )，(x ，z )，(y ，z )，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率为1215＝45. 解法二：第1组中有3男3女，由题意得P ＝1－C 23C 26＝45.1．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A.110 B.15 C.310 D.25答案 D解析 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P ＝1025＝25.故选D.2．(2017·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A.518 B.49 C.59 D.79答案 C解析 解法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取， ∴P (第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝59×48＝518，P (第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝49×58＝518.∴P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝518＋518＝59.故选C.解法二：依题意，得P (抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝5×4C 29＝59.故选C.3．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 C解析 解法一：从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P ＝410＝25.故选C.解法二：由题意得P ＝1－C 24C 25＝25.故选C.4．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．答案712解析 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有C 16C 16＝36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b2≤2，a 2≤b2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1，P 2，P 3，则( )A ．P 1＝P 2＜P 3B ．P 1＜P 2＜P 3C ．P 1＜P 2＝P 3D ．P 3＝P 2＜P 1答案 B解析 先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P 1＝136，P 2＝118，P 3＝112.故选B.2．(2018·郑州质检)现有四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获省级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学生发录取通知书，若这四名学生都愿意进入这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生被录取到同一所大学的概率为( )A.12B.916C.1116D.724 答案 B解析 所求概率P ＝C 24·A 3444＝916.故选B.3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.16 答案 B解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数有C 24＝6种情况：满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是26＝13.故选B.4．(2018·山西朔州模拟)某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随机地摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为( )A.310 B.25 C.12 D.35答案 C解析 小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总数n ＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m ＝5，故其面值之和不少于四元的概率为m n ＝510＝12.故选C.5．(2018·保定模拟)甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3}，若|a －b |≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.13B.59C.23D.79 答案 D解析 甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9. 设“甲、乙心有灵犀”为事件A ，则A 的对立事件B 为“|a －b |＞1”，即|a －b |＝2，包含2个基本事件，∴P (B )＝29.∴P (A )＝1－29＝79.故选D.6．(2018·浙江金丽衢十二校联考)若在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 ( )A.17B.27C.37D.47 答案 C解析 因为任取3个顶点连成三角形共有C 38＝8×7×63×2＝56个，又每个顶点为直角顶点的非等腰三角形有3个，即正方体的一边与过此点的一条面对角线，所以共有24个三角形符合条件．所以所求概率为2456＝37.故选C.7．(2017·甘肃质检)将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是( )A.1564 B.15128 C.24125 D.48125答案 A解析 由计数原理得基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．将5本不同的书分给4名同学，共有45＝1024种分法，其中每名同学至少一本的分法有C 25A 44＝240种，故所求概率是2401024＝1564，故选A.8．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－12的概率为( )A.12B.13C.34D.14答案 D解析 记a ，b 的取值为数对(a ，b )，由题意知(a ，b )的所有可能取值有36种．由直线x a ＋y b ＝1的斜率k ＝－b a ≥－12，知b a ≤12，那么满足题意的(a ，b )可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为936＝14.故选D.9．某酒厂制作了3种不同的精美卡片，每瓶酒盒随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种酒5瓶，能获奖的概率为( )A.3181 B.3381 C.4881 D.5081答案 D解析 假设5个酒盒各不相同，5个酒盒装入卡片的方法一共有35＝243种， 其中包含了3种不同卡片有两种情况：即一样的卡片3张，另外两种不同的卡片各1张，有C 35×2×3＝60种方法，两种不同的卡片各2张，另外一种卡片1张，有C 15×3×C 24＝15×6＝90种，故所求的概率为90＋60243＝5081.故选D.10．(2018·淄博模拟)将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，设任意投掷两次使两条不重合直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2，若点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，518 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－518，718答案 D解析 对于a 与b 各有6种情形，故总数为36种．两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的情形有a ＝2，b ＝4或a ＝3，b ＝6，故概率为P 1＝236＝118.两条直线l 1：ax ＋by ＝2，l 2：x ＋2y ＝2相交的情形除平行与重合(a ＝1，b ＝2)即可， ∴P 2＝3336＝1112.∵点(P 1，P 2)在圆(x －m )2＋y 2＝137144的内部，∴⎝⎛⎭⎪⎫118－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11122<137144，解得－518<m <718，故选D.二、填空题11．现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．答案2063解析 从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 17C 19＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 14C 15＝20个，故所求概率为2063. 12．(2018·武汉调研)某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e >5的概率是________．答案 16解析 由e ＝1＋b 2a2>5，得b >2a .当a ＝1时，b ＝3,4,5,6四种情况；当a ＝2时，b ＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a ，b )共有36种结果．∴所求事件的概率P ＝636＝16.13．(2018·湖南长沙模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，则使得直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423的概率为________．答案 19解析 根据题意，得到的点数所形成的数组(a ，b )共有6×6＝36种，其中满足直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423，则圆心到直线的距离不小于13，即1＞1a 2＋b 2≥13，即1＜a 2＋b 2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx ＋ay ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交且所得弦长不超过423的概率为436＝19.14．(2018·唐山模拟)无重复数字的五位数a 1a 2a 3a 4a 5，当a 1<a 2，a 2>a 3，a 3<a 4，a 4>a 5时称为波形数，则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率是________．答案215解析 ∵a 2>a 1，a 3；a 4>a 3，a 5，∴a 2只能是3,4,5.(1)若a 2＝3，则a 4＝5，a 5＝4，a 1与a 3是1或2，这时共有A 22＝2(个)符合条件的五位数．(2)若a 2＝4，则a 4＝5，a 1，a 3，a 5可以是1,2,3，共有A 33＝6(个)符合条件的五位数． (3)若a 2＝5，则a 4＝3或4，此时分别与(1)(2)情况相同． ∴满足条件的五位数有2(A 22＋A 33)＝16(个)．又由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数有A 55＝120(个)，故所求概率为16120＝215. 三、解答题15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 频数 2816104从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表重量/克 [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 频数 2618104(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：重量/克[5,25)[25,45)[45,55]等级三级二级一级若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．解 (1)(2)若把频率看作相应的概率，则“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为16＋10＋440＝0.75，“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为18＋10＋440＝0.8，所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只，记重量在[5,15)内的1只为x ，在[15,25)内的3只分别为y 1，y 2，y 3，在[45,55]内的2只分别为z 1，z 2，从中任取2只，可能的情况有(x ，y 1)，(x ，y 2)，(x ，y 3)，(x ，z 1)，(x ，z 2)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 1，z 1)，(y 1，z 2)，(y 2，y 3)，(y 2，z 1)，(y 2，z 2)，(y 3，z 1)，(y 3，z 2)，(z 1，z 2)，共15种；记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A ，则事件A 包含的情况有(x ，y 1)，(x ，y 2)，(x ，y 3)，(y 1，y 2)，(y 1，y 3)，(y 1，z 1)，(y 1，z 2)，(y 2，y 3)，(y 2，z 1)，(y 2，z 2)，(y 3，z 1)，(y 3，z 2)，共12种．所以P (A )＝1215＝45.解法二：由解法一可知：重量在[15,25)内有3只，由题意可得P ＝1－C 23C 26＝45.16．(2017·石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：累积净化量(克)(3,5](5,8](8,12]12以上等级P1P2P3P4为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．解(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，再由频率分布直方图得：落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，∴n＝60.06＝100，由频率分布直方图的性质得：(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，解得x＝0.06.(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台． 又∵在(5,6]之间共4台， ∴落在(5,8]之间共28台，∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P 2的空气净化器有560台． (3)设“恰好有1台等级为P 2”为事件B ，依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P 2级的有4台， 则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n ＝C 26＝15， 事件B 包含的基本事件个数m ＝C 14C 12＝8， ∴恰好有1台等级为P 2的概率P (B )＝m n ＝815.。
高考理科数学第一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(讲义)10.5 几何概型
10．5几何概型1．随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是____________．利用计算器，Excel，Scilab等都可以产生随机数．2．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的____________(____________或____________)成比例，则称这样的概率模型为________________，简称____________．3．概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝________________________________．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解．自查自纠：1．均等的2．长度面积体积几何概率模型几何概型3．构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A．710B．58C．38D．310解：因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－15 40＝58．故选B．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A．14B．π8C．12D．π4解：不妨设正方形边长为2，则所求为π×12×122×2＝π8．故选B．(2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，A C．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解：设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2＝b2＋c2，SⅠ＝12bc，SⅢ＝⎝⎛⎭⎫a22·π·12－SⅠ，SⅡ＝⎝⎛⎭⎫c22·π2＋⎝⎛⎭⎫b22·π2－SⅢ＝SⅠ，由几何概型概率公式知A正确．故选A．(2017·江苏)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D．在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是________．解：由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为3－（－2）5－（－4）＝59．故填59．(2016·全国卷Ⅱ改编)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为____________．(用m ，n 表示)解：由题意可知(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )在如图所示的正方形中，两数平方和小于1的点在如图所示的阴影中．由几何概型概率计算公式知π41＝mn ，所以π＝4m n ．故填4m n．类型一 以长度为度量的几何概型(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34解：由题意可知满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30，共20分钟，由几何概型知所求概率为2040＝12．故选B ．点 拨：以线段长度为度量的几何概型概率计算公式：P (A )＝事件A 对应的线段长试验的全部结果对应的线段长．(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．解：由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，所以|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－（－1）＝34．故填34．类型二 以面积为度量的几何概型(1)(2018·莆田质检)从区间(0，1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长度不大于1的概率是 ( )A ．π8B ．π4C ．12D ．34解：任取的两个数记为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1，如图所示，它们构成的有序实数对(x ，y )对应的点所在区域是正方形OABC 内部，而符合题意的x ，y 满足x 2＋y 2≤1，所对应的点(x ，y )位于阴影区域内(不包括x ，y 轴)．故所求概率P ＝14π×121×1＝π4．故选B ．点 拨：①以面积为度量的几何概型概率计算公式： P ＝事件A 构成区域的面积整个试验的全部结果构成区域的面积．②解此类问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率．③多注意数形结合．(2)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率为____________．解：以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是||x －y ≤15．在如图所示平面直角坐标系下，(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得：P (A )＝S 阴影S ＝602－452602＝105×153 600＝716．所以，两人能会面的概率是716．故填716．点 拨：①平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达约会地点的时间，y 轴表示乙到达约会地点的时间，用0分到60分表示6时到7时的时间段，则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ，y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间．而能会面的时间由||x －y ≤15所对应的图中阴影部分表示．②本题的难点在于把实际问题转化为几何模型．(1)(2018·石家庄调研)在满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0的区域内随机取一点M (x 0，y 0)，设事件A ＝“y 0＜2x 0”，那么事件A 发生的概率是( )A ．14B ．34C ．13D ．23解：如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，y ≥0表示的平面区域(即△ABC )，其面积为4．事件A ＝ “y 0＜2x 0”表示的区域为△AOC ，其面积为3．所以事件A 发生的概率是34．故选B ．(2)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为____________．解：设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 、y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2．故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，y ∈[0，24]}．A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．故所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝（24－1）2×12＋（24－2）2×12242＝506．5576＝1 0131 152．故填1 0131 152． 类型三 以体积为度量的几何概型已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P ABC < 12V S ABC的概率是 ( ) A ．78 B ．34 C ．12 D ．14解：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P ABC <12V S AB C ．由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78．故选A ．点 拨：①以体积为度量的几何概型概率计算公式：P ＝构成事件A 的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积；②对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( )A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6解：正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－23π8＝1－π12．故选B ．类型四 几何概型与定积分(2017·湖南郴州一质)如图，△ABC 中的阴影部分是由曲线y ＝x 2与直线x －y ＋2＝0所围成，向△ABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为 ()A ．732B ．932C ．716D ．916解：令x 2＝x ＋2⇒x ＝－1或2，则所求概率P＝⎠⎛－12（x ＋2－x 2）d x 12×4×4＝928＝916，故选D ．点 拨：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而定积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．(2016·银川一模)如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f (x )＝sin x 及直线x ＝a (a ∈(0，π])与x 轴围成，向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a ＝____________．解：根据题意，阴影部分的面积为⎠⎛0a sin x d x ＝－cos x |a0＝1－cos a ， 又矩形的面积为a ·4a ＝4，则由几何概型的概率公式可得1－cos a 4＝12，即cos a ＝－1，又a ∈(0，π]，所以a ＝π．故填π．类型五 几何概型与平面区域的综合性问题(2017·宁夏银川一中二模)已知实数a ，b 满足0<a <1，－1<b <1，则函数y ＝13ax 3＋ax 2＋b有三个零点的概率为_________________．解：对y ＝13ax 3＋ax 2＋b 求导数，可得y ′＝ax 2＋2ax ，令ax 2＋2ax ＝0，可得x ＝0或x ＝－2．因为0<a <1，所以x ＝－2是极大值点，x ＝0是极小值点．由函数y ＝f (x )＝13ax 3＋ax 2＋b 有三个零点，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＞0，f （0）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋3b ＞0，b ＜0．画出可行域如图中阴影部分所示，实数a ，b 满足0<a <1，－1<b <1，为长方形区域，且长方形的面积为2，阴影部分的面积为12×(1＋14)×1＝58，所以所求概率为P ＝582＝516．故填516．点 拨：解决此类问题的核心能力是转化与构造，就本例而言，即是将概率转化为N 型曲线零点问题，从而由零点个数及极值情况构造不等式组，即随机试验对应几何图形．换句话说，解题的关键是找“两域”：基本事件对应的总体区域D 和随机事件对应的子区域d ．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为 ( )A ．14B ．12C ．23D ．34解：要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0．因为a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0．作出⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b ＜0的可行域如图阴影部分所示，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34．故选D ．类型六 随机模拟试写出一个随机模拟的方法，用来近似计算由y ＝x 2＋1与y ＝8所围区域的面积．解：在平面直角坐标系内画出正方形，如图所示，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．设事件A 表示“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．S1 用计数器n 记录做了多少次投点试验，用计数器m 记录其中有多少个点(x ，y )满足y ＞x 2＋1(即点落在阴影部分)．首先置n ＝0，m ＝0．S2 用变换rand ( )*8－4产生－4～4之间的均匀随机数x ，表示所投的点的横坐标；用变换rand ( )*8产生0～8之间的均匀随机数y ，表示所投的点的纵坐标．S3 判断点(x ，y )是否落在阴影部分，即是否满足y ＞x 2＋1．如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1；如果不是，m 的值保持不变．S4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1．如果还要继续试验，则返回步骤S 2继续执行；否则，程序结束．程序结束后，用事件A 发生的频率mn作为事件A 的概率的近似值．设阴影部分的面积为S ，正方形的面积为64．由几何概型的概率公式得P (A )＝S 64．所以阴影部分面积的近似值为64mn．点 拨：利用随机模拟的方法计算不规则图形的面积的一个常用思路是：在不规则图形外加一个规则图形，利用几何概型的概率公式求出落在所求面积的图形内任意一点的事件发生的概率；再利用随机模拟的方法产生随机数，计算相关频率．当试验次数增加到一定程度，所得的频率就可以看成用几何概型的概率公式求出的概率，进而可求出所求的面积．用类似方法也可求出不规则几何体的体积．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x ，y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x ，y )的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是m ＝34，那么可以估计π的值约为 ( )A ．227B ．4715C ．5116D ．5317解：由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，0<y <1，则(x ，y )所在区域面积为1．又x ，y ，1能构成钝角三角形，则有x 2＋y 2<1且x ＋y >1，满足条件的(x ，y )所在区域面积为π4－12，则34120＝π4－121得π＝4715．故选B ．1．几何概型与古典概型的关系几何概型与古典概型都是等可能概型，区别在于前者的实验结果不是有限个．2．解决几何概型问题需注意的几点 (1)能正确区分古典概型与几何概型例1：在区间[0，10]上任意取一个整数x ，求x 不大于3的概率．例2：在区间[0，10]上任意取一个实数x ，求x 不大于3的概率．例1的基本事件总数为有限个11，不大于3的基本事件有4个，此为古典概型，故所求概率为411．例2的基本事件总数为无限个，属于几何概型，所求概率为310．(2)准确分清几何概型中的测度定性例3：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，求∠CAM ＜30°的概率．例4：在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ，求∠CAM ＜ 30°的概率．例3中的测度定性为线段长度，当∠CAM 0＝ 30°，CM 0＝33AC ＝33C B ．满足条件的点M 等可能的分布在线段CM 0上，故所求概率等于CM 0CB＝33．例4中的测度定性为角度，过点A 作射线与线段CB 相交，这样的射线有无数条，均匀分布在∠CAB 内，∠CAB ＝45°．所以所求概率等于∠CAM 0∠CAB ＝30°45°＝23．(3)科学设计变量，数形结合解决问题例5：某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，求他等待时间不多于10分钟的概率．例6：某人午觉醒来，发现表停了，求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率．例5是《必修3》P 136的例题，此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度，故所求概率为1060＝16．例6容易犯解例5形成的定势思维的错误，得到错误答案560＝112．原因在于没有认清题中的变量，本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数，都可取[0，60]内的任意时刻，故所求概率需用到面积型几何概型，由|x －y |≤5结合线性规划知识可解，所求概率为602－552602＝23144．通过这两道例题我们也可以看出，单变量多用线型测度，多变量需用面积(或体积)型测度．在画好几何图形后，利用数形结合思想解题．3．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题可考虑利用几何概型解决．1．(2017·福建龙岩一模)在区间[0，π]上随机取一个数x ，则y ＝sin x 的值在0到12之间的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．2π解：在区间[0，π]上，y ＝sin x 的值在0到12之间，则x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π，区间长度为π3，所求概率为π3π－0＝13．故选B ． 2．如图，两个同心圆(O 为圆心)，小圆的半径为2 km ，大圆的半径为4 km ，点P 在圆环内无规则地自由运动，点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为 ()A ．112B ．512C ．13D ．15解：小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，根据几何概型公式，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P ＝5π12π＝512．故选B ． 3．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ( )A ．13B ．23C ．14D ．34解：设点P 到点O 的距离不大于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13．故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23．故选B ．4．(2017·湖南永州一模)如图所示的阴影部分是由x 轴，直线x ＝1及曲线y ＝e x －1围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是 ()A ．1eB ．1e －1C ．1－1e D ．e －2e －1解：由几何概型可知，所求概率为⎠⎛01（e x －1）d x 1×（e －1）＝e －2e －1．故选D ．5．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为 ( )A ．14B ．12C ．34D ．78解：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1．由题意知|x －y |<12，所以所求概率为P ＝1－2×12×12×121＝34．故选C ．6．(2017·河南郑州、平顶山、濮阳二模)在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0，2]上任取实数b ，使函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点的概率是( )A ．12（e －1） B ．14（e －1）C ．18（e －1）D ．116（e －1）解：设事件A ＝“使函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点”，方程ax 2＋x ＋14b ＝0有两个相异实根，即Δ＝1－ab >0，即ab <1．所有的试验结果Ω＝{(a ，b )|1≤a ≤e ，且0≤b ≤2}，对应区域面积为2(e －1)；事件A ＝{(a ，b )|ab <1，1≤a ≤e ，且0≤b ≤2}，对应区域面积S ＝⎠⎛1e 1ada ＝1，则事件A 的概率P (A )＝12（e －1）．故选A ．7．(2018·河南六市联考)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤4}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤x 2的概率为____________．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4表示的平面区域的面积为2×4＝8，设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤4，y ≤x 2表示的平面区域的面积为S ，则S ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83，因此所求的概率为838＝13．故填13． 8．(2017·湖北七校联考)有一长、宽分别为 50 m 、30 m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 2 m ，则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是____________． 解：所求概率为几何概型，测度为长度，如图AB ＝CD ＝50，BC ＝DA ＝30，设DC 中点为S ， OE ＝152，OS ＝15⇒ES ＝OE 2－OS 2＝15⇒EF ＝MN ＝30，因此概率为 EF ＋MN AB ＋BC ＋CD ＋DA ＝30×2()50＋30×2＝38， 故填38．9．(2016·北京西城模拟改编)已知函数f (x )＝ln xx，导函数为f ′(x )，在区间[2，3]上任取一点x 0，求使得f ′(x 0)>0的概率．解：由已知得f ′(x )＝1－ln xx 2，x ∈[2，3]，故f ′(x )>0⇔1－ln xx 2>0，解得2≤x <e ，故由几何概型可得所求事件的概率为e －23－2＝e －2．10．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )．求以x ，y ，1为边长能构成锐角三角形的概率．解：首先由x ＋y >1得构成三角形的点P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－122xy＞0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．所以点P在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．所以其概率为：12－π4×1212＝1－π4． 11．已知袋子中放有除标号外完全相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ．①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为n n ＋2＝12，得n ＝2．(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a ＋b ≤3的结果有8种，故P (A )＝812＝23．②易知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型得所求概率为P ＝4－14π·224＝1－π4．已知Ω＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|⎩⎨⎧y ≥0，y ≤4－x 2，直线y ＝mx ＋2m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为P (M )，若P (M )∈⎣⎡⎦⎤π－22π，1，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤12，1B ．⎣⎡⎦⎤0，33C ．⎣⎡⎦⎤33，1 D ．[0，1]解：如图，由题意得m ≥0，根据几何概型的意义，知P (M )＝S 弓形S 半圆＝S 弓形2π，又P (M )∈⎣⎡⎦⎤π－22π，1，所以S 弓形∈[π－2，2π]，直线y ＝mx ＋2m 恒过点(－2，0)， 当m ＝0时，S 弓形＝2π，当m ＝1时，S 弓形＝14×π×22－12×2×2＝π－2，结合图象可知0≤m ≤1．故选D ．。
高考数学一轮复习 第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第六节几何概型课件 理 苏教版
4 答案： 5
考点二
与面积(或体积)有关的几何概型
(2011· 惠州模拟)已知集合{(x，y)|x∈[0,2]，y∈ [－1,1]}． (1)若x，y∈Z，求x＋y≥0的概率； (2)若x，y∈R，求x＋y≥0的概率．
[自主解答] (1)设事件“x＋y≥0，x，y∈Z”为A， x，y∈Z，x∈[0,2]，即x＝0,1,2，y∈[－1,1]，即y＝－1,0,1. 则基本事件如下表.
2．如图，在半径为R的圆内随机撒
一粒黄豆，它落在圆的内接正 三角形(阴影部分)内的概率是 ________．
1 2 3 3 2 解析：∵S 圆＝πR ，S△＝3× R sin120° ＝ R， 2 4
2
3 3 2 R 4 3 3 ∴P＝ ＝ . πR 2 4π
3 3 答案： 4π
3．如图，A是圆上一定点，在圆上
其他位置任取一点A′，连结 AA′，得到一条弦，则此弦的长 度小于或等于半径长度的概率为 ________．
π 解析： 当 AA′的长度等于半径长度时， ∠AOA′＝ ， A′ 3 点左右各一，构造出与角度有关的几何概型，故由几何概 2π 3 1 型的概率公式得 P＝ ＝ . 2π 3 1 答案： 3
已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)． (1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率； (2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
解：(1)如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界)，满足(x－2)2＋ (y－2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心， 2 为半径的圆面(含边界)． 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1＝ ＝ . 4×4 16
解析：根据题意可设该不规则图形的面积为 x 平方米，向 区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含 375 1 8 边界)的黄豆数为 375 颗，所以可知 ＝ ，解得 x＝ . 1000 x 3
通用版最新版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布随机事件与古典概型教案理
１．概率与频率（１）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．２．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１．（２）必然事件的概率：P（A）＝１．（３）不可能事件的概率：P（A）＝0．（４）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝１，P（A）＝１—P（B）．４．古典概型（１）基本事件的特点１任何两个基本事件是互斥的；２任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．（２）特点１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．２每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．（３）概率公式P（A）＝错误!．５．对古典概型的理解（１）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．（２）古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）事件发生的频率与概率是相同的．（）（２）随机事件和随机试验是一回事．（）（３）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（）（４）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．（）（５）若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）＝１．（）（6）在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×（6）×（２0１6·高考天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是错误!，则甲不输的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由题意得，甲不输的概率为错误!＋错误!＝错误!.（教材习题改编）若A，B为对立事件，则（）Ａ．P（A＋B）≤１Ｂ．P（AB）＝１Ｃ．P（AB）＝0Ｄ．P（A）＋P（B）≤１解析：选Ｃ．由对立事件的定义可知：P（A＋B）＝１，P（A）＋P（B）＝１，P（AB）＝0．因此C选项正确．在集合错误!中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x＝错误!的概率是________．解析：基本事件总数为１0，满足方程cos x＝错误!的基本事件数为２，故所求概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!掷一个骰子的试验，事件A表示“小于５的偶数点出现”，事件B表示“小于５的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，所以P（B）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!，显然A与B互斥，从而P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!随机事件的频率与概率（２0１7·高考全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间１．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对４５00名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由题意，n＝４５00—２00—２１00—１000＝１２00，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为１２00＋２１00＝３３00，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为错误!＝错误!.２．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（２）在样本车辆中，车主是新司机的占１0%，在赔付金额为４000元的样本车辆中，车主是新司机的占２0%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为４000元的概率．解：（１）设A表示事件“赔付金额为３000元”，B表示事件“赔付金额为４000元”，以频率估计概率得P（A）＝错误!＝0．１５，P（B）＝错误!＝0．１２．由于投保金额为２800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为３000元和４000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0．１５＋0．１２＝0．２7．（２）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔４000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．１×１000＝１00（辆），而赔付金额为４000元的车辆中，车主为新司机的有0．２×１２0＝２４（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４000元的频率为错误!＝0．２４，由频率估计概率得P（C）＝0．２４．互斥事件、对立事件的概率某商场有奖销售中，购满１00元商品得１张奖券，多购多得，１000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖１0个，二等奖５0个．记１张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（１）１张奖券的中奖概率；（２）１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（１）设“１张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，P（C）＝错误!，因为A，B，C两两互斥，所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＝错误!，故１张奖券的中奖概率为错误!.（２）设“１张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“１张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝１—P（A∪B）＝１—错误!＝错误!.故１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为错误!.错误!间接法体现了“正难则反”的思想方法．１．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0．6５，P（B）＝0．２，P（C）＝0．１，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（）Ａ．0．7 Ｂ．0．6５Ｃ．0．３５Ｄ．0．５解析：选Ｃ．因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P＝１—P（A）＝0．３５．２．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数0１２３４５人及５人以上概率0．１0．１60．３0．３0．１0．0４（２）至少３人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“１人排队等候”为事件B，“２人排队等候”为事件C，“３人排队等候”为事件D，“４人排队等候”为事件E，“５人及５人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．（１）记“至多２人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0．１＋0．１6＋0．３＝0．５6．（２）法一：记“至少３人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．３＋0．１＋0．0４＝0．４４．法二：记“至少３人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝１—P（G）＝0．４４．古典概型的概率（高频考点）古典概型是高考考查的热点，考查角度较灵活，常与一些知识交汇考查，其难度较小．高考对本部分内容的考查主要有以下五个命题角度：（１）简单的古典概型的概率；（２）古典概型与平面向量的交汇；（３）古典概型与函数（方程）的交汇；（４）古典概型与解析几何的交汇；（５）古典概型与统计的交汇（下章讲解）．角度一简单的古典概型的概率（２0１7·高考山东卷）从分别标有１，２，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取２次，每次抽取１张，则抽到的２张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】所求概率为P＝错误!＝错误!.【答案】C角度二古典概型与平面向量的交汇从集合{２，３，４，５}中随机抽取一个数a，从集合{１，３，５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】由题意可知m＝（a，b）有：（２，１），（２，３），（２，５），（３，１），（３，３），（３，５），（４，１），（４，３），（４，５），（５，１），（５，３），（５，５），共１２种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３，３），（５，５）共２个，故所求的概率为错误!.【答案】A角度三古典概型与函数（方程）的交汇已知|p|≤３，|q|≤３，当p，q∈Z，则方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率是________．【解析】由方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，可得Δ＝（２p）２—４（—q２＋１）>0，即p２＋q２>１．当p，q∈Z时，设点M（p，q），如图，直线p＝—３，—２，—１，0，１，２，３和直线q＝—３，—２，—１，0，１，２，３的交点，即为点M，共有４9个，其中在圆上和圆内的点共有５个（图中黑点）．当点M（p，q）落在圆p２＋q２＝１外时，方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，所以方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率P＝错误!＝错误!.【答案】错误!角度四古典概型与解析几何的交汇将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的概率为P１，相交的概率为P２，若点（P１，P）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，则实数m的取值范围是（）２Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】对于a与b各有6种情形，故总数为３6种．两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的情形有a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，故概率为P１＝错误!＝错误!，两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２相交的情形除平行与重合（a＝１，b＝２）即可，所以P２＝错误!＝错误!，因为点（P１，P２）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，所以错误!错误!＋错误!错误!＜错误!，解得—错误!＜m＜错误!，故选Ｄ．【答案】D错误!（１）求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．（２）求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．１．（２0１7·高考全国卷Ⅱ）从分别写有１，２，３，４，５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有２５个不同的数组（a，b），其中满足a>b的数组共有１0个，分别为（２，１），（３，１），（３，２），（４，１），（４，２），（４，３），（５，１），（５，２），（５，３），（５，４），因此所求的概率为错误!＝错误!，选D.２．（２0１8·湖北省七市（州）联考）从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于１２的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．从５个数字中任意抽取３个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有５３＝１２５个，但要使各位数字之和等于１２且没有重复数字时，则该数只能含有３，４，５三个数字，它们有A错误!＝6种，若三位数的各位数字均重复，则该数为４４４；若三位数中有２个数字重复，则该数为５５２，５２５，２５５，有３种．因此，所求概率为P＝错误!＝错误!，故选Ａ．３．设a∈{２，４}，b∈{１，３}，函数f（x）＝错误!ax２＋bx＋１．（１）求f（x）在区间（—∞，—１]上是减函数的概率；（２）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（１，f（１））处的切线互相平行的概率．解：（１）由题意—错误!≥—１，即b≤a.而（a，b）共有C错误!·C错误!＝４种，满足b≤a的有３种，故概率为错误!.（２）由（１）可知，函数f（x）共有４种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f（x）在（１，f（１））处的切线的斜率为f′（１）＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（２，３），（４，１）这１组满足，故概率为错误!.错误!对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理．易错防范（１）易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．（２）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．１．设事件A，B，已知P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（A∪B）＝错误!，则A，B之间的关系一定为（）Ａ．两个任意事件B．互斥事件Ｃ．非互斥事件D．对立事件解析：选Ｂ．因为P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!＝P（A∪B），所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选Ｂ．２．（２0１8·安徽“江南十校”联考）从{１，２，３，４，５}中随机选取一个数为a，从{１，２，３}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D.令选取的a，b组成实数对（a，b），则有（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３），（４，１），（４，２），（４，３），（５，１），（５，２），（５，３）共１５种情况，其中b>a的有（１，２），（１，３），（２，３）３种情况，所以b>a 的概率为错误!＝错误!.故选Ｄ．３．（２0１8·沈阳市教学质量检测（一））将A，B，C，D这４名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有１名同学”的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．A，B，C，D４名同学排成一排有A错误!＝２４种排法．当A，C之间是B时，有２×２＝４种排法，当A，C之间是D时，有２种排法．所以所求概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．４．满足a，b∈{—１，0，１，２}，且关于x的方程ax２＋２x＋b＝0有实数解的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．满足条件的方程共有４×４＝１6个，即基本事件共有１6个．若a＝0，则b＝—１，0，１，２，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；若a≠0，则方程ax ２＋２x＋b＝0有实根，需Δ＝４—４ab≥0，所以ab≤１，此时（a，b）的取值为（—１，0），（—１，１），（—１，—１），（—１，２），（１，１），（１，0），（１，—１），（２，—１），（２，0），共9个．所以（a，b）的个数为４＋9＝１３．因此，所求的概率为错误!.５．（２0１8·福建省普通高中质量检查）某食品厂制作了３种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐３种卡片才可获奖，则购买该食品４袋，获奖的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．将３种不同的精美卡片随机放进４个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有３４＝8１种不同放法，４个食品袋中３种不同的卡片都有的放法共有３×C错误!×A错误!＝３6种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出１个球，摸出红球的概率是0．４２，摸出白球的概率是0．２8，若红球有２１个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为１—0．４２—0．２8＝0．３．设黑球有n个，则错误!＝错误!，故n＝１５．答案：１５7．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为４0%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，１，２，３表示命中靶心，４，５，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下２0组随机数：３２１４２１１9１9２５２7１9３２800 ４78 ５89 66３５３１２97 ３96 0２１５４6 ３88 ２３0 １１３５07 96５据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在２0组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有４２１，１9１，２7１，9３２，800，５３１，共6组随机数，所以所求概率为错误!＝0．３0．答案：0．３08．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij（i＝１，２，３；j＝１，２，３），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．错误!解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C错误!＝错误!＝8４种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C错误!·C错误!·C错误!＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示．（１）求x，y的值；（２）求顾客一次购物的结算时间超过２分钟的概率．解：（１）由已知得２５＋y＋１0＝５５，x＋３0＝４５，所以x＝１５，y＝２0．（２）记A：一位顾客一次购物的结算时间超过２分钟．A１：该顾客一次购物的结算时间为２．５分钟．A２：该顾客一次购物的结算时间为３分钟．将频率视为概率可得P（A）＝P（A１）＋P（A２）＝错误!＋错误!＝0．３，所以一位顾客一次购物的结算时间超过２分钟的概率为0．３．１0．（２0１7·高考山东卷）某旅游爱好者计划从３个亚洲国家A１，A２，A３和３个欧洲国家B１，B，B３中选择２个国家去旅游．２（１）若从这6个国家中任选２个，求这２个国家都是亚洲国家的概率；（２）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选１个，求这２个国家包括A１但不包括B１的概率．解：（１）由题意知，从6个国家中任选２个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A１，A２}，{A１，A３}，{A２，A３}，{A１，B１}，{A１，B２}，{A１，B３}，{A２，B１}，{A２，B２}，{A，B３}，{A３，B１}，{A３，B２}，{A３，B３}，{B１，B２}，{B１，B３}，{B２，B３}，共１５个．２所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A１，A２}，{A１，A３}，{A２，A３}，共３个．则所求事件的概率为：P＝错误!＝错误!.（２）从亚洲国家和欧洲国家中各任选１个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A１，B１}，{A１，B２}，{A１，B３}，{A２，B１}，{A２，B２}，{A２，B３}，{A３，B１}，{A３，B２}，{A，B３}，共9个．３包括A１但不包括B１的事件所包含的基本事件有：{A１，B２}，{A１，B３}，共２个，则所求事件的概率为：P＝错误!.１．从１到１0这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．不妨设取出的三个数为x，y，z（x<y<z），要满足x＋y＝z，共有２0种结果，从十个数中取三个数共有C错误!种结果，故所求概率为错误!＝错误!.２．已知函数f（x）＝log a x—３log a２，a∈{错误!，错误!，２，４，５，8，9}，则f（３a＋２）>f （２a）>0的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为a∈{错误!，错误!，２，４，５，8，9}，所以３a＋２>２a，又f（３a＋２）>f（２a）>0，所以函数f（x）为单调递增函数．因为f（x）＝log a x—３log a２＝log a错误!，所以a>１，又f（２a）>0，所以log a错误!>0，所以错误!>１，即a>４，则f（３a＋２）>f（２a）>0的概率P＝错误!.故选Ｂ．３．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线错误!—错误!＝１的离心率e>错误!的概率是________．解析：由e＝错误!>错误!，得b>２a.当a＝１时，b＝３，４，５，6四种情况；当a＝２时，b＝５，6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数（a，b）共有３6种结果．所以所求事件的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为a i，若存在正整数k，使a１＋a＋…＋a k＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为３的概率是________．２解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子３次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a１＋a２＋a３＝6，则a，a２，a３可取１，２，３或１，１，４或２，２，２三种情况，其所含的基本事件个数m＝A错误!＋１C错误!＋１＝１0．故幸运数字为３的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．已知8支球队中有３支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组４支，求：（１）A，B两组中有一组恰好有２支弱队的概率；（２）A组中至少有２支弱队的概率．解：（１）法一：３支弱队在同一组中的概率为错误!×２＝错误!，故有一组恰好有２支弱队的概率为１—错误!＝错误!.法二：A组恰有２支弱队的概率为错误!，B组恰好有２支弱队的概率为错误!，所以有一组恰好有２支弱队的概率为错误!＋错误!＝错误!.（２）法一：A组中至少有２支弱队的概率为错误!＋错误!＝错误!.法二：A，B两组有一组中至少有２支弱队的概率为１（因为此事件为必然事件）．由于对A组和B 组而言，至少有２支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有２支弱队的概率为错误!.6．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（１）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（２）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（３）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：（１）记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A，那么P（E A）＝错误!＝错误!，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是错误!.（２）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P（E）＝错误!＝错误!，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（错误!）＝１—P（E）＝错误!.（３）有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝错误!＝错误!，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P＝１—P２＝错误!.１。
高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及分布列10.6几何概型课件理
的概率是(
)
5
1
A.12
B.2
2
3
C.3
D.4
[解析] 由题意可得，阴影部分的面积 S＝40 xdx＝23
16 x3240 ＝136，故质点落在图中阴影区域的概率 P＝4× 3 2＝23.
触类旁通 求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应 的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的 坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往
圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为(
)
A.4π－1
1 B.π
C．1－1π
2 D. π
解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积 等于( 2)2－414×π×12－12×12＝4－π，又因为圆的面积等 于 π×12＝π，因此所求的概率等于4－ π π＝4π－1.
[双基夯实] 一、疑难辨析 判 断 下 列 结 论 的 正 误 ． ( 正 确 的 打 “√” ， 错 误 的 打 “×”) 1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零. ( √ ) 2．几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几 何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相 等．( √ )
π 任取一点 M，则满足∠AMB>90°的概率为___8_____．
[解析] 如图，如果 M 点位于以 AB 为直径的半圆内部， 则∠AMB>90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠ AMB≤90°，所以∠AMB>90°的概率 P＝12×π2× 2 12＝8π.
命题角度 2 与线性规划交汇的问题
满分策略 几何概型求解中的注意事项
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第六节 几何概型[考纲传真] (教师用书独具)1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．(对应学生用书第181页)[基础知识填充]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．3．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是110.( )(3)概率为0的事件一定是不可能事件．( )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )，13＝)D (P ，26＝)C (P ，28＝)B (P ，38＝)A (P [ A 所以P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]3．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]，则f (x )为增函数的概率为( )A ．15B ．25C．35D ．45C[f (x )＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，∴f (x )在[1,4]上是增函数．∴f (x )为增函数的概率为P ＝4－14－(－1)＝35.]4．(2017·全国卷Ⅰ)如图1061，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )图106114．A π8．B 12．C π4．D 4.＝正方形S，可得1，则正方形内切圆的半径为2的边长为ABCD 不妨设正方形[ B ＝圆S 12＝白S＝黑S由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得.π8＝π24＝S 黑S 正方形＝P ，所以由几何概型知所求概率π2故选B ．]5．如图1062所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图10620.18 [由题意知，S 阴S正0.18.＝1801 000＝ 0.18.]＝阴S ∴，1＝正S∵(对应学生用书第181页)与长度(角度)有关的几何概型(1)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A ．13 B ．12 C ．23D ．34(2)如图1063所示，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．图1063分钟，而小明等车40之间的时间长度为30：8至50：7如图，[(1) 13(2) B (1)时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知所求概率．B 故选.12＝2040＝P 为(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，P ′，B ′.依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，若射线AP 与线段BC 有公共点，则事件“点P ′在上发生”．.π6＝′AC ′B ∠＝BAC ∠中，易求ABC Rt△又在 故所求事件的概率][规律方法] 1.与长度有关的几何概型,如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算公式为P A ＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.2.与角度有关的几何概型,当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段. 程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根的概率为( ) A ．23 B ．12 C ．38D ．13(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x2的定义域为D ．在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________． (1)C (2)59[(1)因为方程x 2－2ax ＋4a －3＝0有两个正根，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a>0，4a －3>0，4a2－4(4a －3)≥0，解得34<a ≤1或a ≥3，所以所求概率P ＝1－34＋(5－3)5－(－1)＝38，故选C ． (2)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5， ∴P ＝59.]与面积有关的几何概型◎角度1 与平面图形面积有关的几何概型(2018·成都二诊)两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面，且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到同学须等待，15分钟后还未见面便离开．则两位同学能够见面的概率是( )【导学号：79140362】A ．1136B ．14C ．12D ．34D [从下午5：30开始计时，设两位同学到达的时刻分别为x ，y 分钟，则x ，yy，x 所示，若两位同学能够见面，则OABC 如图中正方形⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤30，0≤y≤30，应满足应满足|x －y |≤15，如图中阴影部分(含边界)所示，所以所求概率P ＝]．D ，故选34＝30×30－2×12×15×1530×30◎角度2 与线性规划交汇的问题(2017·广州综合测试)在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A ．14 B ．12 C ．23D ．34A[.]14＝12×12×112＝S 阴影S 正方形＝)x ≤2y (P 依题意作出图像如图，则◎角度3 与定积分交汇的问题(2018·郑州第二次质量预测)在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0,2]上任取实数b ，使函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点的概率是( )A ．12(e －1)B ．14(e －1)C ．18(e －1)D ．116(e －1)A [函数f (x )＝ax 2＋x ＋14b 有两个相异零点，即方程ax 2＋x ＋14b ＝0有两个不等的实数根，则Δ＝1－ab >0，b <1a .所有试验结果为Ω＝{(a ，b )|1≤a ≤e,0≤b ≤2}，面积为2(e －1)，使函数f (x )有两个相异零点的事件为Ω1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(a ，b)⎪⎪⎪b<1a ，1≤a≤e，0≤b≤2，面积为⎠⎛1e 1a d a ＝ln a|e 1＝1－0＝1，则所求概率为P(A)＝12(e －1)，故选A ．][规律方法] 1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率. 2.与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率. 3.与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.x ＝RAND (0,1)，y ＝RAND (0,1)，则x 2＋y 2<1的概率为( )A．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8(2)如图1064，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f(x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．图1064＝14×π×121×1＝P 由几何概型的概率计算公式知，所求概率[(1) 512(2) A (1)．A ，故选π4(2)由题意知，阴影部分的面积 ，53＝⎪⎪⎪21 ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x3＝dx )2x －(4⎠⎛12＝S .]512＝531×4＝S S 矩形ABCD ＝P 所以所求概率与体积有关的几何概型在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．1－π12 [如图，与点O 距离不大于1的点的轨迹是一个半球，其体积V 1＝12×43π×13＝2π3.事件“点P 与点O 距离大于1的概率”对应的区域体积为23－2π3，根据几何概型概率公式得，点P与点O距离大于1的概率P＝23－2π323＝1－π12.][规律方法]与体积有关的几何概型问题求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积总空间以及事件的体积事件空间，对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.M AB 蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为( )【导学号：79140363】图106512．D13．C23．B34．AAMCDF它飞入几何体，所以3a12＝BCEADFV，3a14＝DF×AMCDS×13＝AMCDFV由题图可知[D.]12＝14a312a3内的概率为。