《高数总复习》第五讲
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《高数总复习》PPT课件
2021/4/24
3
期末答疑安排：
十八周周一-周五(6月23日-6月27日) 时间：9：00-11：00，3：00-5：00 地点：新一教B座2楼教员休息室
2021/4/24
4
第七章、空间解析几何与向量代数
(一)向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的积
向量的 表示法
数量积
2021/4/24
向量积
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
f (x)的形式及其 特解形式
2021/4/24
12
1.二次曲面的特点(如旋转曲面方程的特点).
球面,椭球面 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面) 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面 利用二次曲线得到旋转曲面或柱面
yoz坐标面上的曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋转一周的 旋转曲面方程为 f ( x2 y2 , z) 0,
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dv z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
一定是封闭曲面才能用高斯公式
例 模拟题(一)三题4,模拟题(一)四题2,
2021/4/24
24
9.无穷级数的敛散性,绝对收敛,条件收敛.
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面 在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面
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13
2.多元函数,偏导数和全微分,方向导数存在性 及其之间的关系,计算方法.
ห้องสมุดไป่ตู้
函数连续
函数可导
函数可微
高中数学总复习 PPT课件 图文
奇偶性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称 f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
复合函数的单调性奇偶性： 单调性同性增异性减，奇偶性同性偶异性奇
高
指数函数：
中
y a x （ a 0, a 1 ），定义域 R，值域为（ 0, ）
数
⑴①当 a 1 ，指数函数： y a x 在定义域上为增函数
-
高 中 数 学 第 一 章 集 合
集合： 是某些制指定对象的全体，只能做描述性说明 元素： 集合的每一个对象 集合中元素具有确定性、无序性、互异性 集合的分类： 有限集、无限集 集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图法
高 中 数 学 第 一 章
集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集 ②空集是任何集合的子集 ③空集是任何非空集合的真子集 ③ 空集的补集是全集
三
平行公理：
章
平行于同一条直线的两条直线互相平行
-
推论：
立
体
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成锐角（或直角）相等
几
何
高
直线与平面平行判定定理：
中
如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这 条直线和这个平面平行
数
直线和平面平行性质定理：
学
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这
学
第
二
章
-
函 数
-
高 中 数 学 第 二 章 函 数
y=x-1
y=x-2
y=x-3
y=x-1/2
图像
定义域 x≠0 （0，+∞） x≠0
值域
y≠0 （0，+∞） y≠0
高等数学基础第五章
4x3dx x4 C
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C
(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
(10)
csc2
x
1 sin2
x
dx
cot
x
C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积 分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。
例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分
(2)因为 (ex C) ex ，故ex C 是e x 的所有原函数，于是有 exdx ex C
(1) 0dx C
(2) 1dx dx x C
(3)
x dx 1 x1 C ( 1) 1
xdx
1 cos2
x
dx
tan
x
C
(10)
csc2
x
1 sin2
x
dx
cot
x
C
(11) sec x tan xdx sec x C
(12) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
(14)
线有无限多条，它们中的任何一条，都可以通过将积分曲线 y F(x)沿y 轴
方向平行移动而得到，所以一个函数f (x) 的不定积分的图形就是其全部积 分曲线所构成的曲线族(如图5-1)。
例2 已知某曲线在任意点处的切线斜率为2x，且曲线过点(0,1)，求该曲线的
1
1 x2
dx arctan x C
二、不定积分的性质和几何意义
1. 不定积分的性质
性质1 ( f (x)dx) f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx 性质2 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C
性质3 （f (x) g(x)）dx f (x)dx g(x)dx
f xdx F x C
其中 称为积分号，f (x) 称为被积函数，f xdx 称为被积表达式，x 称为积分
《高数总复习》第五讲
∴
≤M x
∫
a
0
f (x)dx ≤ ∫ f (x) d x
0
a
M 2 ≤ M∫ x d x = a 0 2
a
高等数学
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9. f (x) 在[a, b]上二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0
f (c) > 0 c ∈(a, b), 证明 ∃ξ ∈(a, b) 使得 f ′′(ξ ) < 0.
f [tx1 + (1−t)x2 ] ≥ t f (x1) + (1−t) f (x2 )
证明: x , ; 证明 当 1 = x2时 等号成立
当 1 ≠ x2时 不 设 x1 < x2 , x , 妨
即证 t f (x1) + (1− t) f (x2 ) − f (x0 ) < 0
高等数学
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结束
证法一： 证法一： 令 x0 = tx1 + (1−t)x2
Q t f (x1) + (1−t) f (x2 ) − f (x0 )
= (1−t)[ f (x2 ) − f (x0 )] −t[ f (x0 ) − f (x1)]
= (1−t) f (ξ2 )t(x2 − x1) −t f (ξ1)(1−t)(x2 − x1)
高等数学
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证法二： 证法二： 令 x0 = tx1 + (1−t)x2
1 ′(x0 )(x − x0 ) + f ′′(ξ )(x − x0 )2 f (x) = f (x0 ) + f 2! ∴ f (x) ≤ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
≤M x
∫
a
0
f (x)dx ≤ ∫ f (x) d x
0
a
M 2 ≤ M∫ x d x = a 0 2
a
高等数学
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9. f (x) 在[a, b]上二阶可导，且 f (a) = f (b) = 0
f (c) > 0 c ∈(a, b), 证明 ∃ξ ∈(a, b) 使得 f ′′(ξ ) < 0.
f [tx1 + (1−t)x2 ] ≥ t f (x1) + (1−t) f (x2 )
证明: x , ; 证明 当 1 = x2时 等号成立
当 1 ≠ x2时 不 设 x1 < x2 , x , 妨
即证 t f (x1) + (1− t) f (x2 ) − f (x0 ) < 0
高等数学
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结束
证法一： 证法一： 令 x0 = tx1 + (1−t)x2
Q t f (x1) + (1−t) f (x2 ) − f (x0 )
= (1−t)[ f (x2 ) − f (x0 )] −t[ f (x0 ) − f (x1)]
= (1−t) f (ξ2 )t(x2 − x1) −t f (ξ1)(1−t)(x2 − x1)
高等数学
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证法二： 证法二： 令 x0 = tx1 + (1−t)x2
1 ′(x0 )(x − x0 ) + f ′′(ξ )(x − x0 )2 f (x) = f (x0 ) + f 2! ∴ f (x) ≤ f (x0 ) + f ′(x0 )(x − x0 )
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
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目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第5讲 定积分与微积分基本定理课件 理
－6
0
＝16.
12/11/2021
x2，x∈[0，1，
5．(2019·南昌模拟)设 f(x)＝1x，x∈[1，e]
(e 为自然对数的底数)，
则ef(x)dx 的值为________． 0
答案
4 3
12/11/2021
答案
解析 0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋ln x|e1＝13＋ln e＝43.
第5讲 定积分与微积分基本
定理
12/11/2021
12/11/2021
基础知识整合
1．定积分的概念
在bf(x)dx 中，___□0_1_a_，__b____分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b] a
叫做积分区间，___□0_2_f_(x_)_____叫做被积函数，____□0_3_x______叫做积分变量， ___□0_4_f_(x_)_d_x___叫做被积式．
12/11/2021
4．(2019·海南模拟)已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx＝8，则6 －6f(x)dx 等于
0
－6
() A．0
B．4
C．8
D．16
答案 D
12/11/2021
答案
解析
6
f(x)dx＝0
f(x)dx＋6f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象
－6
－6
0
关于 y 轴对称，所以对应的面积相等，即0 f(x)dx＝6f(x)dx，故所求为 8×2
几何意义为1个圆的面积． 4
∴1 0
1－x2dx＝π4.
(2)1(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e1－1＝e. 0
12/11/2021
《高数期末复习》PPT课件
2、 掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法， 掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
3、掌握幂级数的收敛半径(bànjìng)、收敛域及和函数的求 法 ，理解Abel定理
第十四页，共三十七页。
4、熟 悉 1 、e x、sin x、cos x的 麦克劳林展开式， 1 x
会利用(lìyòng)间接展开法将一些函数展开成幂级数，并写出 收敛域。
则divA 2x 2 y 2z, rot A 0
第十页，共三十七页。
例2 计算曲面(qūmiàn)积分 ( z 2 x 4 y)dS
其 中为 平 面 x
y
z
3
1在 第 一 卦 限 部 分
2 34
解：Σ的方程
为 (fāngchéng)
z 4(1 x y ) 23
D: x y 1 23
解
1 1 ,而 1 发散,
n ln n n n1 n
(1)n
1 发散,
n1 n ln n n1 n ln n
即原级数(jíshù)非绝对收敛．
(1)n 是交错级数, 由莱布尼茨定理(dìnglǐ)：
n1 n ln n
lim ln n n n 1
ln x lim x x
1 lim x x
补充 1 : z 1 ( x 2 y2 1)
取上侧，
1
原式 x2dydz y2dzdx z2dxdy
1
1
2 ( x y z)dv dxdy 2 zdv
Dxy
2
2
d
1
rdr
1
zdz
2
1
0
0
r2
3
3
第十三页，共三十七页。
无穷(wúqióng)级数（30%左右） 1、 掌握正项级数敛散性的比值(bǐzhí)、根值、比较判别法。
高等数学期末总复习PPT课件
函数性质
包括有界性、单调性、奇偶性、 周期性等，这些性质反映了函数 图像的形态和变化趋势。
常见函数类型
包括一次函数、二次函数、指数 函数、对数函数、三角函数等， 每种函数都有其独特的图像和性 质。
极限概念与性质
01
极限定义
极限是描述当自变量趋近于某个 特定值时，函数值趋近于某个确 定值的过程。
极限性质
空间曲面与平面的交线
求空间曲面与给定平面的交线方程，以及交 线的性质。
空间曲面与曲面的交线
求两空间曲面的交线方程，以及交线的性质。
08
多元函数微分学及其应用举 例
多元函数概念及性质
多元函数定义
设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通 过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。
全微分计算方法
全微分反映的是多元函数在某一点附近的全增量与自变量增量之间的线性关系。对于多元函数z=f(x,y)， 其在点(x0,y0)处的全微分dz可以用公式dz=∂z/∂xΔx+∂z/∂yΔy计算。
多元函数极值问题求解方法
无条件极值求解方法
通过求解多元函数的驻点（即偏导数等 于零的点），然后利用二阶偏导数判断 驻点是否为极值点。若驻点的二阶偏导 数矩阵正定，则该点为极小值点；若负 定，则为极大值点；若不定，则需要进 一步判断。
多元函数的性质
包括有界性、单调性、周期性、连续性等。这些性质在研究和应用多元函数时非常重要。
偏导数和全微分计算方法
偏导数计算方法
偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率，可以通过求导法则和链式法则进行计算。对于多元函数 z=f(x,y)，其关于x的偏导数记为∂z/∂x或fx(x,y)，关于y的偏导数记为∂z/∂y或fy(x,y)。
高等数学下册总复习-PPT课件
高等数学复习
1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)
的位置关系。 2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。
3.二元函数的极限。 4.二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。 5.多元隐函数求导，曲面的切平面方程。 6.复合函数求导( 特别是抽象函数的求导问题 )
。
7.方向导数，多元函数的条件极值问题。
或, 参数方程 (如, 圆柱螺线)
空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式 截距式
ห้องสมุดไป่ตู้
n A ,B ,C
(x 0, y 0, z 0)
2 2 2 ( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
2 2 4 . 求曲面在 z ax by 上点 ( x ,y ,z ) 处的切平 0 0 0
2 2 2 5. 求曲面 3 x y z 3 在 ( 1 ,1 ,1 ) 处的切平面与
2 2 5. 求 f(x ,y )4 (xy )x y 的极值点，并 极大值点还是 . 极小值点
P
3、自点 (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂 足的平面方程. 4．试求空间直 线
x 2z 5 y 6z 7
的对称式方 程
第九章
多元函数微分法
1. 分析复合结构
显示结构 (画变量关系图) 隐式结构
2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意: 正确使用求导符号
高等数学复习
8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。
1.向量的运算及方向余弦，平面与直线(包括坐标轴)
的位置关系。 2.平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程。
3.二元函数的极限。 4.二元函数的连续、偏导数存在、可微及偏导数连续 之间的关系。 5.多元隐函数求导，曲面的切平面方程。 6.复合函数求导( 特别是抽象函数的求导问题 )
。
7.方向导数，多元函数的条件极值问题。
或, 参数方程 (如, 圆柱螺线)
空间直线与平面的方程 空间平面
一般式
点法式 截距式
ห้องสมุดไป่ตู้
n A ,B ,C
(x 0, y 0, z 0)
2 2 2 ( A B C 0 ) Ax By Cz D 0
A ( x x ) B ( y y ) C ( z z ) 0 0 0 0
2 2 4 . 求曲面在 z ax by 上点 ( x ,y ,z ) 处的切平 0 0 0
2 2 2 5. 求曲面 3 x y z 3 在 ( 1 ,1 ,1 ) 处的切平面与
2 2 5. 求 f(x ,y )4 (xy )x y 的极值点，并 极大值点还是 . 极小值点
P
3、自点 (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂 足的平面方程. 4．试求空间直 线
x 2z 5 y 6z 7
的对称式方 程
第九章
多元函数微分法
1. 分析复合结构
显示结构 (画变量关系图) 隐式结构
2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意: 正确使用求导符号
高等数学复习
8.二重积分的计算，对称性的应用，积分次序的交换。
高等数学上第五讲(课堂PPT)
正
比较可知 x n x n 1 ( n 1 ,2 , )
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
14
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
1112
1 22
2n11
1
1
1 2n
1
1 2
3
1 2n1
3
n! ≤n2
根据准则 2 可知数列 {xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
n(n1) n(!nn1)n1n
13
xn1121!(1 1n)
31!(1
1n)
(1
2 n
)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
A2 3A, 解A 得 11,3A 11(3 舍去)
2
2
ln i m xn
1 13. 2
11
例6. 设 x n (1 1 n )n(n 1 ,2 , ),证明数列 {xn
极限存在 . (P22～P23)
证: 利用二项式公式 , 有
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
nl i m(11n)n e e 为无理数 , 其值为
e2 .7182 58 9 1 08 42 584
比较可知 x n x n 1 ( n 1 ,2 , )
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
14
又
xn(11 n)n1121 !
1 3
!
1 n!
1112
1 22
2n11
1
1
1 2n
1
1 2
3
1 2n1
3
n! ≤n2
根据准则 2 可知数列 {xn 有极限 .
记此极限为 e , 即
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
n(n1) n(!nn1)n1n
13
xn1121!(1 1n)
31!(1
1n)
(1
2 n
)
n1!(11n)(1 n2) (1nn1)
xn11121!(1n11) 3 1!(1n1 1)1(n2 1)
大
大
( n 1 1 ) ! ( 1 n 1 1 )1 (n 2 1 ) ( 1 n n 1 )
A2 3A, 解A 得 11,3A 11(3 舍去)
2
2
ln i m xn
1 13. 2
11
例6. 设 x n (1 1 n )n(n 1 ,2 , ),证明数列 {xn
极限存在 . (P22～P23)
证: 利用二项式公式 , 有
xn(11n)n
11n !
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n13)!(n2)n13
nl i m(11n)n e e 为无理数 , 其值为
e2 .7182 58 9 1 08 42 584
《高数总复习》课件
导数与微分
总结词
理解导数和微分的概念、性质和计算方法， 掌握导数的几何意义和物理意义。
详细描述
导数是研究函数变化率的重要工具，微分则 是导数的近似值。学生需要理解导数和微分 的概念、性质和计算方法，如导数的定义、 求导法则、微分的定义和计算方法等，同时 掌握导数的几何意义和物理意义，如切线斜
率、速度和加速度等。
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THANKS
分析法
从问题的结论出发，逆向思维，逐步推 导到已知条件或已知定理，从而解决问
题。
类比法
根据两个或多个对象的某些相似性质 ，推断它们在其他性质上也可能相似
的方法。
综合法
从已知条件出发，利用已知定理或性 质逐步推导出结论，从而解决问题。
反证法
通过否定结论，然后利用已知条件和 已知定理推导出矛盾，从而证明结论 成立的方法。
高数模拟试题三
总结词：难题
详细描述：试题三难度较大，主要针 对学有余力的学生，考察学生对高数 知识的深度理解和创新应用，包括一 些数学史上的经典问题和开放性问题 。
模拟试题解析
总结词：详细解析
VS
详细描述：针对每套模拟试题，提供 详细的解析过程，帮助学生理解题目 思路，掌握解题方法，提高解题能力 。
积分
总结词
理解积分的概念、性质和计算方法，掌握定积分和不定积分的联系和区别。
详细描述
积分是研究面积、体积等问题的基本工具。学生需要理解积分的概念、性质和计算方法 ，如定积分和不定积分的定义、性质和计算方法等，同时掌握定积分和不定积分的联系
和区别，如牛顿-莱布尼茨公式等。
微分方程
要点一
总结词
理解微分方程的概念、分类和求解方法，掌握一阶常系数 线性微分方程的解法。
考研高数总复习函数的极限(讲义)
因为0 a 1, 有an+1 a x an
由于x + n +
且 lim an1 lim an 0
n
n
即 lim a[ x]1 lim a[ x] 0
x
x
由夹逼定理，所以 lim a x 0. x
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义1. 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中， 有数列xn ( a), 使得n 时xn a.则称数列
定义4：lim x x0
f
(x)
A
0,
0,
使得当0
|
x
x0
|
时,
恒有 | f (x) A | 成立.
x x0
0 | x x0 |
x x0
0 x0 x
x x0
0 x x0
定义5：设函数y f (x)在点 x0 的某左邻域内有定义，A是常数，
若 0, 0, 使得当0 x0 x 时, 恒有 | f (x) A | 成立，
A
(1) lim 1 0. x x
(2) lim sin x 0. x x
(3) lim arctan x 不存在. x
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
自变量 x 趋于有限值 x0 包括三种情况：
1). x x0 2). x x0 3). x x0
x趋于x0正（或x0加）. x趋于x0负（或x0减）. x趋于x0 .
0，满足n
时，xn
0,
则数列{sin(xn )}就是函数sin x当x 0时的一个子列,
即，lim sin( 1 ) 0.
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在, 且相等.
高等数学课件(完整版)详细(5)
y x ,x [ 0 ,1 ].
例1 证明方 x5程 5x10有且仅有一个 1的正实 . 根
证 设 f(x ) x 5 5 x 1 , 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f ( 0 ) 1 ,f ( 1 ) 3 . 由介值定理 x 0 ( 0 , 1 ) 使 ,f ( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设 x 1 另 ( 0 , 1 )x 1 , x 有 0 ,使 f(x 1) 0 .
F 1(x) F(0x ,),
xa ,
xa
在 U0(a,)内任取 x, 在一 以a点 与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在 x与 a之)间
当 x a 时 , a ,limf(x)A, xaF(x)
22 即C . arcx sa 2in rcx c o . s
2
例3 证 x 明 0 时 , x 当 ln 1 x ) ( x . 1 x
证 设 f( x ) l1 n x ) (,
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( 0 , x )
f(0)0,f(x)1,由上式得 1x
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x 1 1 1,
1x 1
x x x, 1x 1
即x ln 1 (x)x. 1x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x) 及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且F'(x) 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少 有一点(a b),使等式
例1 证明方 x5程 5x10有且仅有一个 1的正实 . 根
证 设 f(x ) x 5 5 x 1 , 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f ( 0 ) 1 ,f ( 1 ) 3 . 由介值定理 x 0 ( 0 , 1 ) 使 ,f ( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设 x 1 另 ( 0 , 1 )x 1 , x 有 0 ,使 f(x 1) 0 .
F 1(x) F(0x ,),
xa ,
xa
在 U0(a,)内任取 x, 在一 以a点 与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在 x与 a之)间
当 x a 时 , a ,limf(x)A, xaF(x)
22 即C . arcx sa 2in rcx c o . s
2
例3 证 x 明 0 时 , x 当 ln 1 x ) ( x . 1 x
证 设 f( x ) l1 n x ) (,
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ) ( 0 , x )
f(0)0,f(x)1,由上式得 1x
ln1(x) x , 1
又 0 x 1 1 1 x 1 1 1,
1x 1
x x x, 1x 1
即x ln 1 (x)x. 1x
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数f (x) 及F(x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且F'(x) 在(a,b)内每一点处均不为零，那末在(a,b) 内至少 有一点(a b),使等式
高数下册期末总复习第七版
切线方程为 x − x0 = y − y0 = z − z0 ； x′(t0 ) y′(t0 ) z′(t0 )
法平面方程为 x′(t0 ) ⋅ (x − x0 ) + y′(t0 ) ⋅ ( y − y0 ) + z′(t0 ) ⋅ (z − z0 ) = 0
第5页共5页
5
b、
若曲线
Γ
的方程为：
三元方程组确定两个一元隐函数：
⎧ F ( x, ⎨⎩G ( x,
y, y,
z) z)
= =
0 0
⎨ ⎩
z=
z
(
x
)
⇒
对x求导
dy dx
,
dz dx
⎧u=u ( x, y )
{ ⇒ 四元方程组可确定两个二元隐函数：
F ( x, y,u,v)=0 G( x, y,u,v)=0
⎨⎩v=v( x, y )
对x (或y )求偏导，视y (或x )为常量,得
G 2）点法式方程：法向量 n = ( A, B,C) ，点 M (x0 , y0 , z0 ) ∈ Π ，则 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 ．
3）截距式方程： x + y + z = 1 abc
4）平面束方程：过直线
⎧ ⎨ ⎩
A1x A2 x
+ +
附录——平面曲线的情形
（1）
若平面曲线 C
:
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
x(t) y(t)
，t
=
t0
↔
M0
∈C
，则
JG 切向量T = (x′(t0 ), y′(t0 )) ，
考研高数总复习无穷小的比较(讲义)PPT课件
导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐 点等问题时，需要利用导数的性 质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和 求和来定义的，无穷小在 积分定义中扮演着重要的 角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的 微元，通过积分可以计算 曲线下的面积、曲面下的 体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求 曲线的长度、物体的质量、 做功等，需要利用积分和 无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非 常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘 积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时， 可以利用无穷小的性质进 行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以 将无穷小替换为其他无穷 小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量 的比值来定义的，无穷小在导数 定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的 切线斜率，通过导数可以研究函 数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。
高数复习串讲
偏导数与全微分
多元函数极值的定义
设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义。如果对于任意$x in U(x_0)$，都有$f(x) leq f(x_0)$（或$f(x) geq f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值）。
多元函数最值的定义
设函数$f(x)$在定义域$D$内有定义，如果存在$x_0 in D$，使得对于任意$x in D$，都有$f(x) leq f(x_0)$（或$f(x) geq f(x_0)$），那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$在定义域$D$上的最大值（或最小值）。
求多元函数极值的方法
首先求出函数的驻点（即一阶偏导数为零的点），然后判断驻点是否为极值点。可以通过求二阶偏导数并构造Hessian矩阵来判断。
收敛与发散
无穷级数基本概念
通过比较正项级数与已知收敛或发散的级数来判断其敛散性。
比较审敛法
利用正项级数的相邻两项之比来判断其敛散性，特别适用于幂级数和几何级数。
比值审敛法
利用正项级数的通项的n次根来判断其敛散性，适用于通项中含有n的幂的情况。
根值审敛法
正项级数审敛法
交错级数审敛法
交错级数是正负交替出现的级数，形如$sum_{n=1}^{infty} (-1)^{n-1} a_n$或$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n a_n$，其中$a_n > 0$。
注意事项
在代换过程中要注意新变量的取值范围，以及代换后方程的定义域。
可降阶高阶微分方程的类型
形如 $y'' = f(x, y')$ 或 $y'' = f(y, y')$ 的方程可通过变量代换化为一阶微分方程求解。
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证明: 只要证明
作
F ( x) x f (t ) dt f (t ) d t F ( x) f (t )dt f ( x)
0
f ( x)dx f ( x)dx 0,
0 x
0
(x )
( f ( ) f ( x)) 0
f (1 f (1)) f (1) f ( )(1 f (1) 1) f (1) f ( ) 0 f (1 f (1)) 0, f (0) 0
故根必然存在。 又 f ( x) 1, 故 f (x )有唯一的一个根。
高等数学
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由罗尔定理知存在 (a b), 使
F ( ) e k [ f ( ) k f ( )] 0
即
高等数学
f ( ) k f ( ) 0
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4
4. 设 f ( x) 在[0,1] 上连续， 在 (0 ,1) 上可导， 且 证明在 (0 ,1)内至少有一点 f (0) f (1) 0 , f ( 1 2 ) 1,
b
上式两端从 a 到 b 积分得
高等数学
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
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13
14. 设 f ( x)在[0,1]上连续, 且单调减少, f ( x) 0,
证明:求证对于0 1, 有 0 f ( x)dx f ( x)dx
故
高等数学
F (0) 0 F ( ), 由罗尔定理即得所证.
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6
6. 设函数 f (x )在 (0,) 内连续，且当 x > 1 时，
f ( x) 1,
f (1) 0, 试证方程 f ( x ) = 0 在 [1, 1 f 1]
内有且仅有一实根. 证：由拉格朗日中值定理
由罗尔定理知存在 (a, b), 使
F ( ) 0,
即
所以
高等数学
f ( )(b ) a af ( )(b ) a 1 0,
b f ( ) f ( ) a
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3
2. 设函数 f (x)在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 且
1 2
f ( x) 在 [,1]上连续， 在 ( ,1) 上可导, 由罗尔定理可知
在 ( ,1)内存在 ， f ( ) 0
高等数学
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23
积分
ln f ( x) a ln( b x) ln C
(b x) a f ( x) C
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2
高等数学
证明： 令 F ( x) (b x) a f ( x) 显然 F ( x) 在 [a , b]ห้องสมุดไป่ตู้上连续， (a , b) 内可导，
F (a) F (b) 0
(0,1) 使 f ( ) 1.
证明：构造函数 F ( x) f ( x) x
显然 F ( x) 在 [a , b] 上连续， (a , b) 内可导，
1 F(1 ) 2 2 , F (1) 1
由零点定理知存在 [ 1 2 ,1] , 使得 F ( ) 0,
《高数总复习》第五讲 中值定理应用
一、基本知识点
1. 罗尔定理
2. 拉格朗日中值定理
3. 柯西中值定理
4. 泰勒中值定理 5. 积分中值定理
二、例题分析 1.设 f ( x)在 [a , b] 上连续， 在 ( a , b) 内可导，其中
a 0 且 f (a) 0, 证在 ( a , b) 内存在 ，使 b f ( ) f ( ) a x b bx 分析：f ( ) f ( ) f ( x) f ( x) a a f ( x) a f ( x) b x
8
11. f ( x) C[a, b] 且 f ( x) 0, 求证
ab a f ( x)dx (b a) f ( 2 ) ab 证明：令 x0 , 则 2 f ( ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! 在 x 与 x0 之间 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x) 0 x (a, b), 若 f (a) f (b) 0, 证明对任意 f ( ) 实数 k ,存在点 (a b), 使 k f ( ) 证明 ：令 F ( x) e kx f ( x) f (a) f (b) 0 F (a) F (b) 0
0 x
0
F ( x)单调增加，F ( ) F ( ) f (t )dt 0,
高等数学
即 f ( x)dx f ( x)dx
0
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19
2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
罗尔定理条件.
高等数学
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21
又 在 (0 ,1) 上可导， 4. 设 f ( x) 在 [0,1]上连续，
f (1) 2 f ( x)dx , 证明在 (0 ,1)内存在 ，使 f ( ) 0
0
1 2
证明：由积分中值定理
1 f (1) 2 f ( x)dx 2( 1 0 ) f ( ) f ( ) ( 0 2 2) 0
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足
作
F ( x) x f (t ) dt f (t ) d t F ( x) f (t )dt f ( x)
0
f ( x)dx f ( x)dx 0,
0 x
0
(x )
( f ( ) f ( x)) 0
f (1 f (1)) f (1) f ( )(1 f (1) 1) f (1) f ( ) 0 f (1 f (1)) 0, f (0) 0
故根必然存在。 又 f ( x) 1, 故 f (x )有唯一的一个根。
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由罗尔定理知存在 (a b), 使
F ( ) e k [ f ( ) k f ( )] 0
即
高等数学
f ( ) k f ( ) 0
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4
4. 设 f ( x) 在[0,1] 上连续， 在 (0 ,1) 上可导， 且 证明在 (0 ,1)内至少有一点 f (0) f (1) 0 , f ( 1 2 ) 1,
b
上式两端从 a 到 b 积分得
高等数学
b
a
ab f ( x)dx (b a) f ( ) 2
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13
14. 设 f ( x)在[0,1]上连续, 且单调减少, f ( x) 0,
证明:求证对于0 1, 有 0 f ( x)dx f ( x)dx
故
高等数学
F (0) 0 F ( ), 由罗尔定理即得所证.
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6
6. 设函数 f (x )在 (0,) 内连续，且当 x > 1 时，
f ( x) 1,
f (1) 0, 试证方程 f ( x ) = 0 在 [1, 1 f 1]
内有且仅有一实根. 证：由拉格朗日中值定理
由罗尔定理知存在 (a, b), 使
F ( ) 0,
即
所以
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f ( )(b ) a af ( )(b ) a 1 0,
b f ( ) f ( ) a
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3
2. 设函数 f (x)在[a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 且
1 2
f ( x) 在 [,1]上连续， 在 ( ,1) 上可导, 由罗尔定理可知
在 ( ,1)内存在 ， f ( ) 0
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23
积分
ln f ( x) a ln( b x) ln C
(b x) a f ( x) C
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2
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证明： 令 F ( x) (b x) a f ( x) 显然 F ( x) 在 [a , b]ห้องสมุดไป่ตู้上连续， (a , b) 内可导，
F (a) F (b) 0
(0,1) 使 f ( ) 1.
证明：构造函数 F ( x) f ( x) x
显然 F ( x) 在 [a , b] 上连续， (a , b) 内可导，
1 F(1 ) 2 2 , F (1) 1
由零点定理知存在 [ 1 2 ,1] , 使得 F ( ) 0,
《高数总复习》第五讲 中值定理应用
一、基本知识点
1. 罗尔定理
2. 拉格朗日中值定理
3. 柯西中值定理
4. 泰勒中值定理 5. 积分中值定理
二、例题分析 1.设 f ( x)在 [a , b] 上连续， 在 ( a , b) 内可导，其中
a 0 且 f (a) 0, 证在 ( a , b) 内存在 ，使 b f ( ) f ( ) a x b bx 分析：f ( ) f ( ) f ( x) f ( x) a a f ( x) a f ( x) b x
8
11. f ( x) C[a, b] 且 f ( x) 0, 求证
ab a f ( x)dx (b a) f ( 2 ) ab 证明：令 x0 , 则 2 f ( ) 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2! 在 x 与 x0 之间 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f ( x) 0 x (a, b), 若 f (a) f (b) 0, 证明对任意 f ( ) 实数 k ,存在点 (a b), 使 k f ( ) 证明 ：令 F ( x) e kx f ( x) f (a) f (b) 0 F (a) F (b) 0
0 x
0
F ( x)单调增加，F ( ) F ( ) f (t )dt 0,
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即 f ( x)dx f ( x)dx
0
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2. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
罗尔定理条件.
高等数学
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又 在 (0 ,1) 上可导， 4. 设 f ( x) 在 [0,1]上连续，
f (1) 2 f ( x)dx , 证明在 (0 ,1)内存在 ，使 f ( ) 0
0
1 2
证明：由积分中值定理
1 f (1) 2 f ( x)dx 2( 1 0 ) f ( ) f ( ) ( 0 2 2) 0
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 ,
欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0
只要证
亦即
e f ( ) e f ( ) 0
[ e x f ( x ) ]
x
0
作辅助函数 F ( x) e x f ( x ) , 验证 F ( x ) 在 [ x1 , x2 ]上满足