2018年高中数学黄金100题系列第62题空间几何体的表面积与体积理

第62题 空间几何体的表面积与体积I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，将一个长方体沿相等三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积的比．【答案】1:5【解析】设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，则截出的棱锥的体积为1111326V abc abc =⨯=，剩下的几何体的体积21566V abc abc abc =-=，所以12:1:5V V =II ．考场精彩·真题回放【例2】【2014山东理13】三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12VV =________.【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ，所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h∆∆⋅== 【名师点睛】本题考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积.解答本题的关键，是利用等体积法实施转化，用相同的量表示两个体积.本题属于能力题，在考查三棱锥的几何特征以及几何体的体积等基础知识的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力.【例3】【2015江苏高考】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为___________．【解析】由体积相等得：22145283ππ⨯⨯⨯+⨯⨯＝221483r r ππ⨯⨯⨯+⨯⨯，解得r = 【例4】【2015年全国新课标Ⅰ理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为1.63202922÷≈，故选B ． 【例5】【2015四川高考】在三棱住111ABC A B C －中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M N P ，，分别是11AB BC B C ，，的中点，则三棱锥1P A MN －的体积是___________． 【答案】124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12.如图，因为1AA PN ，故1AA 面PMN ，故三棱锥1P A MN －与三棱锥P AMN －体积相等，三棱锥P AMN －的底面积是三棱锥底面积的14，高为1，故三棱锥1P A MN －的体积为111132424⨯⨯=．【例6】【2015年上海高考】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =___________．【答案】4【解析】由条件可知正三棱柱的底面面积为21sin 602S a a =︒= ，高为a ，所以213a = 4a =． 【例7】【2014江苏理8】设甲，乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积为12,V V ，若它们的侧面积相等且1294S S =，则12VV 的值是 . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222rh r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体【例8】【2015江苏高考9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【解析】由体积相等得：22221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒【例9】【2014山东高考】一个六棱锥的体积为32，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为___________．【答案】12【解析】设六棱锥的高为h，则1,3V Sh =.，所以，1463h⨯=解得1h=，设斜高为'h，则222)','2,h h h+=∴=所以，该六棱锥的侧面积为1226122⨯⨯⨯=．【例10】【2014陕西高考】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【答案】C【解析】将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为1r=的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为22rππ=，宽为1，所以所得几何体的侧面积为212ππ⨯=，故选C．精彩解读【试题来源】人教版A版必修二第28页习题1.3A组第3题【母题评析】本题是计算简单的两个几何体棱柱与棱锥的体积，只要根据几何体的形状正确选择相应几何体的体积公式即可正确作答．但须注意设出长方体的三条棱长,,a b c参与辅助解答．【思路方法】求简单几何体的体积与表面积主要考虑清楚两点：（1）正确识别几何体的类型；（2）正确选用体积公式与面积公式．【命题意图】本类题通常简单几何体的体积与表面积（侧面积）的计算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中档或中档偏下，常常与实际应用或平面图形的旋转相联系.【难点中心】（1）对简单几何体的考查主要围绕体积与表面积的计算，其难度为与实际相结合时，在确定几何体的形状时相对比较困难，特别是实际中提取相关的信息．（2）求锥的体积确定其高是一个难点．III ．理论基础·解题原理 考点一 棱体的表面积计算棱体（棱柱、棱锥、棱台）的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解．n 棱柱的展开图由两个全等的n 边形与n 个平行四边形组成；n 棱锥的展开图由一个n 边形与n 个共顶点三角形组成；n 棱台的展开图由两个相似的n 边形与n 个梯形组成．这些平面图形的面积即为相应的棱柱、棱锥、棱台的表面积．特别地，棱长为a 的正方体的表面积26S a =正，长、宽、高分别为a b c 、、的长方体的表面积()2S ab bc ca =长＋＋． 考点二 圆体的表面积圆体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，其侧面积可以利用侧面展开图得到．其中圆柱的侧面展开图是一个矩形，其宽是圆柱母线的长，长为圆柱底面周长；圆锥的侧面展开图为扇形，其半径为圆锥母线长，弧长为圆锥底面周长；圆台的侧面展开图为扇环，其两弧长分别为圆台的两底周长，两“腰”为圆台的母线长． 考点三 柱体的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2V r h π=柱体．根据公式求棱柱的体积，“定高”是至关重要的． 考点四 锥体的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积等于它的底面积是S 和高h 的积，即13V Sh =圆锥．特别地，底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是213V r h π=圆锥． 考点五 台体的体积台体（棱台、圆台）的体积由上底面积S 、下底面积S '、高是h 确定，即1()3V S S h '=+圆台．特别地，上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221()3V r Rr R h π=++圆台． 考点六 球的体积与表面积根据球的表面积公式24S r π=与体积公式343V r π=，知球的表面积和体积只须求一个条件，那就是球的半径R ．关于两个球的体积比与表面积比之间的转换可转化为球的半径立方比与平方比． IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】从近年的全国及各自主命题省市的高考题看，基本上每一套课标卷都对空间几何体的表面积或体积进行了考查，它既可出现在客观题中，也可以出现在解答题中． 【技能方法】（1）解决简单几何体的求积问题，可根据题目的具体特点，采用不同的方法，对于待求元素少的问题，可根据公式，采用“缺什么，找什么；要什么，求什么”的方法，抓住数量关系集中的平面，通过分析逐层求得，对于待求元素多的问题，可根据数量关系采用“设未知数、列方程”的方法．（2）求柱、锥、台体的表面积就是求它们的侧面积和底面积之和，对于圆柱、圆锥、圆台，已知上、下底面的半径和母线长可以用表面积公式直接求出，对于棱柱、棱锥、棱台没有一般计算公式，可以直接根据条件求各个面的面积。

（3）求柱、锥、台体的体积时，根据体积公式，需要具备已知底面积和高两个重要条件，底面积一般可由底面边长或半径求出，但当高不知道时，求高比较困难，一般要转化为平面几何知识求出高。

（4）求非标准的柱、锥、台体的体积常常采用“割补法”即将几何体分割为几个规则的易求体积的几何体，或将几何体补成易求体积的几何体，利用间接法求之.如“补台为锥”在台体的计算中也是常常用到的方法，即由根据台体的定义，在某种情况下，可以将台体补充成锥体研究体积.（5）重视等积变换在求积问题中的应用，在锥体体积计算中，常常要用到“等积法”，即利用三棱锥的体积不论以哪个面作底面其体积不变的特点来求解.【易错指导】（1）公式记忆错误，常常将锥体的表面积和体积与柱体的表面积和体积混淆；（2）空间几何体的结构特征抓不准导致误用公式，从而计算错误；（3）错误确定空间几何体中的表面积与体积中的几何量，特别是求锥体的体积时，常常会将高确定错误．V．举一反三·触类旁通考向1 柱体的表面积与体积【例1】【20176、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（）A．44 B．54 C．88 D．108【答案】C【点评】圆柱的表面积公式表现为两部分，即侧面积与底面积，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求，而侧面积可以利用侧面展开图得到．计算棱柱的表面积主要是通过把它们展成平面图形，利用求平面图形的面积法求解，通常情况下n棱柱的展开图由两个全等的n边形与n个平行四边形组成．【例2】【2018贵阳调研】鲁班锁，是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下，左右，前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．48B ．60C ．72D ．84 【答案】B【点评】本题考查了利用三视图投影的方法计算复杂图形的表面积的应用问题，是基础题目．【跟踪练习】1.【2017安徽省铜陵一中高二期末】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A ．124ππ+ B ．122ππ+ C ．12ππ+ D ．142ππ+ 【答案】B【解析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．设圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为h ，∵圆柱的侧面展开图是一个正方形，∴2r h π=，即2h r π=．∴圆柱的侧面积为2224rh r ππ=，圆柱的两个底面积为22r π，∴圆柱的表面积为22222224r rh r r ππππ+=+，∴圆柱的表面积与侧面积的比为：22222422124r r r πππππ+=+，故选B ． 2. 【2017湖北省部分重点中学期末】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的 棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过38，则该塔形中正方体的个数至少是( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个 【答案】B3.【2017宝鸡市模拟】如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m 2，互相平行的两个侧面的距离为1m ，则这个六棱柱的体积为（ ）A．34m B ．334m C ．31m D ．312m【答案】B【解析】设正六棱柱的底面边长为a ，高为h，则211ah =⎧⎪=，解得a =h =2364V =⨯=，故选B ． 【点评】根据圆柱的体积公式知，求其体积关键是确定底面半径和母线长．圆柱的图形比较特殊，因此具有圆柱本身特征的计算公式2V r h π柱体＝．棱柱的体积由底面积S 和高h 确定，即V Sh =柱体，其中“定高”是至关重要的．4．【河北省邢台市第一中学2017-2018月考】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为A. 10000立方尺B. 11000立方尺C. 12000立方尺D. 13000立方尺 【答案】A考向2 锥体的表面积与体积【例1】【2017山西康杰中学上模拟】如果一个正四面体（各个面都是正三角形）的体积为93cm ，则其表面积的值为（ ）A ．2B ．218cm C ．2 D ．212cm 【答案】A【解析】设该正四面体的棱长为acm 22cm ，定点到底面的距离即正四面体的高为3，所以其体积为219343V a a =⨯⨯=，解得a =，所以其表面积为224S ==，故选A ． 【例2】【2017吉林毓文中学模拟】若一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的表面积是（ ）A ．3πB ．C ．6πD ．9π【答案】A【解析】圆锥的母线长2l =，底面半径1r = ，∴圆锥的表面积221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=，故选A ．【例3】【2015高考山东理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的 体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查。