高二数学上数学(文)期末试题及答案
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知点(3,0,4)A -，点A 关于原点的对称点为B ，则||AB =（ ） A ．25 B ．12C ．10D ．5【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ，所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=， 故选：C2．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A ．13时~14时B ．16时~17时C ．18时~19时D ．19时~20时【答案】B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间 故选：B .【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题. 4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．332+D ．332+【答案】A【分析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图：其中PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，1PA AB AC ===，则该四面体的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A.5．下面三种说法中，正确说法的个数为（ ） ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈．A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【分析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确； 两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 若M α∈，M β∈，l αβ=，可知M 必在交线上，则M l ∈，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的. 故选：A6．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【分析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K 为1BB 的四等分点，L 为1CC 的中点，M 为1DD 的四等分点，1,2BK CL ==， 取1AA 的中点N ，易证//KN LM ，则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠， 在AKN △中，2AK NK ==2AN =， 故90AKN ∠= 故选：D7．在区间0,1内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是（）．A．45B．15C．1725D．825【答案】C【分析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于65的区域，进而根据面积比求概率. 【详解】由题意知：若两个数分别为,(0,1)x y∈，则65x y<+<，如上图示，阴影部分即为65x y<+<，∴两数之和小于65的概率144117255125EBOD AECEBODS SPS-⨯⨯-===.故选：C8．已知实数x、y满足4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11yzx-=+的最大值为（）A．1B．12C．13D．2【答案】A【分析】作出可行域，利用代数式11yzx-=+的几何意义，利用数形结合可求得11yzx-=+的最大值.【详解】作出不等式组4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立340y x y =⎧⎨+-=⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即点()1,3A ，代数式11y z x -=+的几何意义是连接可行域内一点(),M x y 与定点()1,1P -连线的斜率， 由图可知，当点M 在可行域内运动时，直线MP 的倾斜角为锐角， 当点M 与点A 重合时，直线MP 的倾斜角最大，此时z 取最大值，即max 31111z -==+. 故选：A.9．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大的．”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．1或7-D ．2或7- 【答案】A【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，设圆心C 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】解：设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍去），因此，点P 的横坐标为1，故选：A.10．已知点()2,3A -，()3,2B --，直线:10l mx y m --+=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．34m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或34m ≥ C ．344m -≤≤ D ．344m -≤≤【答案】B【分析】由()11y m x =-+可求出直线l 过定点()1,1P ，作出图象，求出PA k 和PB k ，数形结合可得PA m k ≤或PB m k ≥，即可求解.【详解】由10mx y m --+=可得：()11y m x =-+，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l ：10mx y m --+=过定点()1,1P ，作出图象如图所示：31421PA k --==--，213314PB k --==--，若直线l 与线段AB 相交，则4m ≤-或34m ≥， 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34m ≥， 故选：B11．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm【答案】C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为221068d =-=cm ． 故选：C ．【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．12．已知圆()22:22C x y -+=，P 为圆C 外的任意一点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，使得PA PB ⊥，其中A 、B 为切点．在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为（ ） A ．2π B ．πC ．22πD ．2π【答案】D【分析】连接PC 、AC 、BC ，分析可知四边形PACB 为正方形，求出点P 的轨迹方程，分析可知线段PA 所扫过图形为是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接PC 、AC 、BC ，由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，又因为PA PB ⊥且AC BC =，故四边形PACB 为正方形，圆心()2,0C -2，则2PC ，故点P 的轨迹方程为()2224x y -+=，所以，线段PA 扫过的图形是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环， 故在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为()2422πππ-⨯=.故选：D. 二、填空题13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．【答案】9【详解】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ， 乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 14．过圆222440x y x y +-+-=内的点()3,0M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最长，则直线l 的方程是______． 【答案】30x y --=【分析】当直线l 过圆心时满足题意，进而求出答案.【详解】圆的标准方程为：()()22:129C x y -++=，圆心()1,2C -，当l 过圆心时满足题意，02131CM k +==-，所以l 的方程为：330y x x y =-⇒--=. 故答案为：30x y --=.15．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式，如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++，由此可得(5)f =__________． 【答案】2022【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】(5)((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522((802)510)522(39010)5222000222022.f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=故答案为：202216．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面正方形ABCD 的中心，点P 在侧面正方形11BB C C 的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则点P 的轨迹的长度为______．【答案】5【分析】取1BB 中点Q ，利用线面垂直的判定方法可证得1D O ⊥平面OQC ，由此可确定P 点轨迹为CQ ，再计算即可.【详解】取1BB 中点Q ，连接1,OQ D Q ，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，1DD OC ∴⊥，又四边形ABCD 为正方形，OC BD ∴⊥，又1DD BD D =，1,DD BD ⊂平面11BDD B ，OC ∴⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ，1D O OC ∴⊥；由题意得：1426DO +=123OQ =+=1813D Q +=， 22211D O OQ D Q ∴+=，1D O OQ ∴⊥；,OQ OC ⊂平面OQC ，OQ OC O =，1D O ∴⊥平面OQC ，1D O OP ⊥，P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动，P ∴点轨迹为线段CQ ；2222215CQ BC BQ ∴=++5三、解答题17．有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中a的值；（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数．【详解】（1）由频率分布直方图得：++++⨯=，(0.0100.0150.0200.015)101aa=．解得0.040∴图中a的值为0.040．-+⨯=，（2）竞赛分数不少于70分的频率为：1(0.0100.015)100.75∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750⨯=．（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，1AC 与1A C 交于点D ，E 为1BC 的中点，(1)求证：//DE 平面111A B C ； (2)求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 且四边形11ACC A 为平行四边形，又11AC A C D =，则D 为1AC 的中点，又E 为1BC 的中点，故//DE AB ，即：11//DE A B ，且DE ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//DE 平面111A B C ； (2)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 则1AA BC ⊥，且AC BC ⊥，1AA AC A =，1AA AC ⊂，平面11ACC A ，故BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AC CC =，则四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，且1BC AC C =， 1BC A C ⊂，平面1A BC ，故1AC ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1AC B ，所以平面1AC B ⊥平面ABC .19．己知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y．(1)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(2)设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【答案】(1)(2)y x =或y x =-【分析】（1）、由题意可知直线l的方程为y =，圆C 的圆心为()0,3求出圆心到直线l 的距离，根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长；（2）、设()11,A x y ，因为A 为OB 的中点，所以()112,2B x y ，又因为A ，B 均在圆C 上，将A ，B 坐标代入圆C 方程，即可求出A 点坐标，即可求出直线l 的方程． (1)由题意：直线l 过坐标原点O ，且直线l直线l的方程为y =， 圆C 的方程为22640x y y∴圆C 的方程可化为：()2235x y +-=∴圆C 的圆心为()0,3，半径为R =∴圆C 的圆心到直线l：y =的距离为d ==l ∴与圆C相交所得的弦长为L =(2)设()11,A x y ，A 为OB 的中点 ∴()112,2B x y ，又A ，B 均在圆C 上，()()2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪∴⎨+-+=⎪⎩2211122111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩1111x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：()()71i ii x xy y =--=14.00∑，()7217.08ii y y =-=∑14.10．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ0.5 2.3y x =+；失效费为6.3万元． 【分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果；（2）根据公式求出ˆb和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程，再代入8x =可求出结果. 【详解】（1）由题意，知123456747++++++==x，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.000.9914.10r =≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy abx -==-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y=⨯+=万元， ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元．21．已知正三棱柱底面边长为26，M 是BC 上一点，1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)证明：M 是BC 的中点； (2)求点C 到平面1AMC 的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)2.【分析】（1）证明出AM ⊥平面11BB C C ，可得出AM BC ⊥，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥1C ACM -的体积以及1AC M 的面积，利用等体积法可求得点C 到平面1AMC 的距离. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -，1CC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1AM CC ⊥， 因为1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则1AM MC ⊥， 111CC MC C =，则AM ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以，AM BC ⊥，因为ABC 为等边三角形，故点M 为BC 的中点. (2)解：因为ABC 是边长为26266032AM == 1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则1CC BC ⊥，即1CC CM ⊥，所以，221118623CC C M CM =-=-=116323322ACM S CM AM =⋅==△11113323633C ACM ACM V S CC -∴=⋅=⨯=△，设点C 到平面1AMC 的距离为d ，(12192AC M S =⨯=△，11119633C AC M AC MV Sd d -∴=⋅=⨯=，解得2d =.因此，点C 到平面1AMC 的距离为2.22．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 在x 轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于5π． (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点()0,3M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214x y -+=； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，可得出a <，根据已知条件可得出关于实数a 的方程，求出a 的值，可得出r 的值，进而可得出圆C 的标准方程； （2）分析可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与圆C 的方程联立，由0∆>可求得k 的取值范围，列出韦达定理，分析可得OD OA OB =+，可求得点D 的坐标，由已知可得出OD MC k k =，求出k 的值，检验即可得出结论. (1)解：设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，则0r <<375a r +=，由勾股定理可得ra <<由题意可得375a a ⎧+=⎪⎨⎪<⎩1a =，则2r =，因此，圆C 的标准方程为()2214x y -+=. (2)解：若直线l 的斜率不存在，此时直线l 与y 轴重合，则A 、B 、O 三点共线，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22314y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得()()2216260k x k x ++-+=，()()22622410k k ∆=--+>，解得k <或k > 由韦达定理可得122261kx x k -+=+，12261x x k =+，则()121222661k y y k x x k ++=++=+， 因为四边形OADB 为平行四边形，则()1212222626,,11k k OD OA OB x x y y k k -+⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭， 因为//OD MC ，则30301OD MC k k -===--，则26332613k k k k ++==---，解得34k =，因为34k k ⎧⎪∉<⎨⎪⎩或k >⎪⎭， 因此，不存直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行.。
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”， 故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（ ） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==， 则椭圆方程为2211612x y +=， 当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯， 因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ， 因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点 所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =， 不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+， 在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=， 得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（ ）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确； 动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误； 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确； 由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个， 故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件． 答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件， 所以④错误， 故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________． 答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ）， 联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解； （2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤． 因为{}14B x x =<<， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集． 解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点， 则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <， 若q 真得：52m >或12m <， 由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <； 若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ） 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程； （2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+， 联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =， 且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2， 所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-， 即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----， 约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--， 因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3B ．3-或1C ．1-D ．3-3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥4．已知圆的方程为2260x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．45．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫'=⎪⎝⎭（ ）． A ．12B ．12-C ．32 D 36．已知抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ．12B ．1C ．2D ．47．已知命题:p x ∀∈R ，210ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，20x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．A ．(),4-∞B ．[]0,4C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．12a <≤B ．4a ≥C ．2a ≤D ．03a <≤9．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则直线1BC 和平面1DBBD 所成角的正弦值等于（ ）． A ．32B ．52C ．105D ．101010．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5AB =，7BC =，2AC =．则此三棱锥的外接球的体积为（ ）． A ．8π3B ．82π3C ．16π3D ．32π311．已知函数()21,12,1ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-12．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ）． A ．6B ．3C ．6D ．3第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上） 13．曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________． 14．当直线()24y k x =-+和曲线24y x =-有公点时，实数k 的取值范围是__________． 15．点P 是椭圆221169x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左，右焦点，若1212PF PF ⋅=．则12F PF ∠的大小为__________．16．若方程22112x y m m+=+-所表示曲线为C ，则有以下几个命题： ①当()1,2m ∈-时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆； ②当()2,m ∈+∞时，曲线C 表示双曲线； ③当12m =时，曲线C 表示圆； ④存在m ∈R ，使得曲线C 为等轴双曲线． 以上命题中正确的命题的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题10分）已知2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+=≤>．（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（本小题12分）求下列函数的导数：（1）sin xy e x =； （2）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （3）（3）sin cos 22x xy x =-． 19．（本小题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若PCD △的面积为7P ABCD -的体积． 20．（本小题12分）已知抛物线()21:20C y px p =>过点()1,1A ． （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线C 交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为12k k ，求证：12k k 为定值． 21．（本小题12分）已知若函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 有极值43-． （1）求函数解析式； （2）求函数的极值；（3）若关于x 的方程()f x k =有三个零点，求实数k 的取值范围． 22．（本小题12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3． （1）求椭圆C 的离心率；（2）点33,M ⎭在椭圆C 上，不过原点O 与直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，与直线OM 相交于点N ，且N 是线段AB 的中点，求OAB △的最大值．四平市第一高级中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学试卷（文科）参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDCACDACBCC13．10x y -+= 14．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭15．π316．②③ 三、解答题17．解：（1）因为2:280p x x --+≥，()22:2100q x x m m -+-≤>．故:42p x -≤≤，:11q m x m -≤≤+．若p 是q 的充分条件，则[][]4,21,1m m --⊆-+， 故4121mm-≥-⎧⎨≤+⎩，解得5m ≥．（2）若“p ⌝”是“q ⌝”的充分条件，即q 是p 的充分条件，则[][]1,14,2m m -+⊆-，即14120m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01m <≤．即实数m 的取值范围为(]0,1．18．解：（1）()()sin sin sin cos xxxx y ex e x ex e x '''=+=+．（2）因为3211y x x =++，所以2323y x x '=-． （3）因为1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-． 19．解：（1）四棱锥P ABCD -中，因为90BAD ABC ∠=∠=︒，所以BC AD ∥． 因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以直线BC ∥平面PAD ． （2）由12AB BC AD ==，90BAD ABC ∠=∠=︒． 设2AD x =，则AB BC x ==，2CD x =．设O 是AD 的中点，连接PO ，OC ． 设CD 的中点为E ，连接OE ，则22OE x =．由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥．平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD ，且PO ⊂平面PAD ． 故PO ⊥底面ABCD ．又OE ⊂底面ABCD ，故PO OE ⊥，则2272x PE PO OE =+=， 又由题意可知PC PD =，故PE CD ⊥．PCD △面积为271272PE CD ⋅=，即：1722722x x =， 解得2x =，则3PO = 则()()111124223433232P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=． 20．解：（1）由题意抛物线22y px =过点()1,1A ，所以12p =． 所以抛物线的方程为2y x =．（2）设过点()3,1P -的直线l 的方程为()31x m y -=+， 即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y m +=，123y y m =-， 所以()()1212122212121211111111111y y y y k k x x y y y y ----⋅=⋅=⋅=----++ ()()12121111312y y y y m m ===-++++--+．所以12k k ⋅为定值．21．解：（1）()23f x ax b '=-．由题意知()()2120428243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 所以所求的解析式为()31443f x x x =-+． （2）由（1）可得()()()2422f x x x x '=-=+-． 令()0f x '=得2x =或2x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2 ()2,+∞()f x ' ＋ 0 － 0 ＋ ()f x↑极大值↓极小值↑所以当2x =-时，函数()f x 有极大值()23f -=； 当2x =时，函数()f x 有极小值()423f =-． （3）由（2）知，可得当2x <-或2x >时，函数()f x 为增函数； 当22x -<<时，函数()f x 为减函数． 所以函数()31443f x x x =-+的图象大致如图，由图可知当42833k -<<时，()f x 与y k =有三个交点，所以实数k 的取值范围为428,33⎛⎫-⎪⎝⎭． 22．解：（1）由题意，得3a c -=，则()2213a cb -=． 结合222b ac =-，得()()22213a c a c -=-，即22230c ac a -+=． 亦即22310e e -+=，结合01e <<，解得12e =． 所以椭圆C 的离心率为12． （2）由（1）得2a c =，则223b c =．将33,2M ⎭代入椭圆方程2222143x y c c +=，解得1c =． 所以椭圆方程为22143x y +=． 易得直线OM 的方程为12y x =． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点不在直线12y x =上， 故直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与22143x y +=联立， 消y 得()2223484120k x kmx m +++-=， 所以()()()2222226443441248340k m k mk m ∆=-+-=+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．由()121226234m y y k x x m k +=++=+，得AB 的中点2243,3434km m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 因为N 在直线12y x =上，所以224323434km m k k -=⨯++，解得32k =． 所以()248120m ∆=->，得1212m -<<，且0m ≠．则()222212121313412394122236m AB x x x x m m -=+-=-=-又原点O 到直线l 的距离213m d =所以()2222221393312121232666213AOBm m m S m m m -+=-=-⋅=△． 当且仅当2212m m -=，即6m =时等号成立，符合1212m -<<0m ≠．所以AOB △3。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (4)
学年第一学期阶段性考试 高二数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知命题2015log ,:2=∈∀x R x p ，则p ⌝为( )A ．2015log ,2=∉∀x R xB ．2015log ,2≠∈∀x R xC ．2015log ,020=∈∃x R xD ．2015log ,020≠∈∃x R x2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是( )A ．5,10,15,20,25B ．2,4,8,16,32C ．5,6,7,8,9D ．6,16,26,36,46 3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为( ) A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．双曲线1222=-y x 的渐近线方程为（ ） A. 02=±y x B. 02=±y x C ．02=±y x D ．02=±y x5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩(百分制)如图所示． ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等； ③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差． 以上说法正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．用秦九韶算法求多项式7234)(234++++=x x x x x f 的值，则)2(f 的值为( ) A ．98 B ．105 C ．112 D ．119 7．运行如右图的程序后，输出的结果为（ ） A ．6053 B ．54 C ．65 D ．76 8．已知椭圆221164x y +=过点)1,2(-P 作弦且弦被P 平分，则此弦 所在的直线方程为（ ）7 90 1 38 90 1 289甲乙ENDS PRINT WEND i i i i S S i WHILE S i 1))1(/(1601+=+*+=<==A ．032=--y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．042=+-y x9．已知)(x g 为函数)0(1232)(23≠--=a ax ax ax x f 的导函数，则它们的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知倾斜角为︒45的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，则OAB ∆（其中O 为坐标原点）的面积为（ ） A ．2B ．22C ．23D ．811．已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①()()xf x ag x =⋅(0,a >1)a ≠且；②()0g x ≠；③)(')()()('x g x f x g x f ⋅<⋅． 若(1)(1)5(1)(1)2f fg g -+=-，则实数a 的值为 ( )A ．21 B ．2 C ．45 D ．2或21 12．如图，直线m x =与抛物线y x 42=交于点A ，与圆4)1(22=+-x y 的实线部分（即在抛物线开口内 的圆弧）交于点B ，F 为抛物线的焦点，则ABF ∆的 周长的取值范围是( ) A ．()4,2 B ．()6,4 C ．[]4,2 D ． []6,4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数)10(2016化为八进制数为 . 14．已知变量x 与y 的取值如下表：x 23 5 6y 7a -8 a +9 12从散点图可以看出y 对x 呈现线性相关关系，则y 与x 的线性回归直线方程a bx y+=ˆ必经过的定点为 ．15．已知P 为圆4)2(:22=++y x M 上的动点，)0,2(N ，线段PN 的垂直平分线与直线PM 的交点为Q ，点Q 的轨迹方程为 ．16．已知函数xxe x f =)(，现有下列五种说法：①函数)(x f 为奇函数；②函数)(x f 的减区间为()-1∞，,增区间为()1+∞，；频率组距50 55 60 65 70 75 80体重（kg)O0.070.060.050.040.030.020.01③函数)(x f 的图象在0x =处的切线的斜率为1； ④函数)(x f 的最小值为1e-. 其中说法正确的序号是_______________（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设命题p ：12>-x ；命题q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重()kg 数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[)65,60的人数为200.根据一般标准，高二男生体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求体重在[)6560，内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19. （本小题满分12分）（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的[]3,1-∈t ，若输出的s 的取值范围记为集合A ，求集合A ；（2）命题p ：A a ∈，其中集合A 为第（1）题中的s 的取值范围；命题q ：函数a x ax x x f +++=2331)(有极值； 若q p ∧为真命题，求实数a 的取值范围.20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：)00(12222>>=-，b a by a x .（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率；（2）在区间[]61，内取两个数依次记为b a ,，求双曲线C 的离心率小于5的概率.21．（本小题满分12分）已知椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的中心在坐标原点O ，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为k 的直线l 经过点)0,4(M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，且21>⋅OB OA ，求k 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数)(2ln )(2R a x xa x a x f ∈++-=． （1）当1=a 时,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（2）当0>a 时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值记为)(a g ，请写出)(a g 的函数表达式.高二数学（文科）试卷参考答案一、ＤＤＣＤ ＢＢＣＤ ＡＢＡＢ二、13．)8(3740 14．()9,4 15．)0(1322<=-x y x 16．③④ 三、17．解：由p ：12>-x 解得1<x 或3>x .……………………………… 3分由q ：0)1()12(2≥+++-a a x a x 得[]0)1()(≥+--a x a x ，解得a x ≤或1+≥a x .……………………………… 6分∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件. …………………… 8分 ∴⎩⎨⎧≤+≥311a a ，则21≤≤a .∴实数a 的取值范围是[]21，.……………………………… 10分 18．解：（1）体重在[)65,60内的频率2.05)01.002.003.007.003.0(1=⨯++++-=04.052.0==组距频率 补全的频率分布直方图如图所示. ……………4分 （2）设男生总人数为n ，由2.0200=n，可得1000=n 体重超过kg 65的总人数为30010005)01.002.003.0(=⨯⨯++在[)70,65的人数为1501000503.0=⨯⨯，应抽取的人数为33001506=⨯， 在[)70,65的人数为1001000502.0=⨯⨯，应抽取的人数为23001006=⨯， 在[)80,75的人数为501000501.0=⨯⨯，应抽取的人数为1300506=⨯. 所以在[)70,65 ，[)75,70，[]80,75三段人数分别为3，2，1.…………………… 8分 （3）中位数为60kg 平均数为(52.50.0357.50.0762.50.0467.50.0372.50.0277.50.01)561.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(kg)…12分19．解：（1）由程序框图可知，当11<≤-t 时，t s 2=，则[)2,2-∈s . 当31≤≤t 时，()322+--=t s组距kg)O0.0.0.0.0.0.0.∵该函数的对称轴为2=t ，∴该函数在[]21，上单调递增，在[]3,2上单调递减. ∴2,3min max ==s s ∴[]3,2∈s综上知，[]3,2-∈s ，集合[]3,2-=A ……………………………… 4分 （１）函数a x ax x x f +++=2331)(有极值,且12)(2'++=ax x x f ， 0)('=x f 有两个不相等的实数根，即04)2(2>-=∆a 解得1-<a 或1>a即命题p ：1-<a 或1>a .……………………………… 8分q p ∧为真命题，则⎩⎨⎧≤≤->-<3211a a 或a ，解得3112≤<-<≤-a 或a ；∴实数a 的取值范围是[)(]2,113--⋃，.……………………………… 12分20．解：双曲线的离心率22221ab ac a c e +===． 因为5e <a b ab 20422<<∴<∴．……………………………… 2分 (1) 因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件),(b a 共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C 的离心率小于5”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个． 故双曲线C 的离心率小于5的概率为431612)(==A P ．…………………………… 7分(2) ∵[][]6,1,6,1∈∈b a∴⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤≤≤a b b a 206161 所以以a 为横轴，以b 为纵轴建立直角坐标系，如图所示，21422155=⨯⨯-⨯=阴影S ，由几何概型可知，双曲线C 的离心率小于5的概率为2521=P ．……………………………… 12分21．解：（1）∵椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形，32,22222=-=∴==∴c a b a c∴椭圆C 的标准方程为13422=+y x .……………………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为)4(-=x k y ,设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立⎩⎨⎧=+-=1243)4(22y x x k y ，消去y 可得（0126432)43(2222=-+-+k x k x k∵直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，∴0>∆由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k 解得412<k 设),(11y x A ,),(22y x B则34322221+=+k k x x ,3412642221+-=k k x x ……………………………… 7分211643324431264)1(16)(4)1()4()4(2222222221221221212121>++-+-+=++-+=--+=+=⋅k k k k k k k k x x k x x k x k x k x x y y x x OB OA解得196272>k ∴41196272<<k所以k 的取值范围是211433143321<<-<<-k 或k .……………………………… 12分22．解：（1）∵)(2ln )(2R a x x a x a x f ∈++-=，∴12)(22'+--=xa x a x f 当1=a 时，121)(,2ln )(2'+--=++-=xx x f x x x x f 2)1(,3)1('-===f k f曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为)1(23--=-x y 即052=-+y x .……………………………… 3分（2）222222'))(2(212)(x a x a x x a ax x x a x a x f +-=--=+--=0,0>>x a ,由0)('>x f 得a x 2>，由0)('<x f 得a x 20<<)(x f ∴在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．……………………………… 5分①当210120≤<≤<a 即a 时，)(x f 在[]e ,1上为增函数． 12)1()(2+==∴a f a g 在(]a 2,0上为减函数，在()+∞,2a 上为增函数．…………… 7分②当22121ea e 即a <<<<时，)(x f 在[]a 2,1上为减函数，在(]e a ,2上为增函数． a a a a f a g 3)2ln()2()(+-==∴……………………………… 9分③当22ea e 即a ≥≥时，)(x f 在[]e ,1上为减函数． e ea a e f a g ++-==∴22)()(……………………………… 11分综上所述，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥++-<<+-≤<+=)2(2)221(3)2ln()210(12)(22e a e e a a e a a a a a a a g ……………………………… 12分。
2022年四川省内江市资中县第一中学高二数学文上学期期末试题含解析
2022年四川省内江市资中县第一中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求出p，即可．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程是x=﹣2，则p的值：4．故选：B．2. 设F1、F2分别为双曲线﹣=1的左右焦点，M是双曲线的右支上一点，则△MF1F2的内切圆圆心的横坐标为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|﹣|PF2|=6，转化为|HF1|﹣|HF2|=6，从而求得点H的横坐标．【解答】解：如图所示：F1（﹣5，0）、F2（5，0），设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2与内切圆的切点分别为M、N，∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=8，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|﹣|NF2 |=8，即|HF1|﹣|HF2|=8，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+5）﹣（5﹣x）=8，∴x=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．3. 已知集合，集合，则（ C ）A．（-2，-1）B．[-2，-1] C．[-2，1）D．[-2，-1）参考答案：C4. 已知A（﹣1，0），B（3，0），则与A距离为1且与B距离为4的点有（）A．3个B．2个C．1个D．0个参考答案：B【考点】两点间距离公式的应用．【分析】以A为圆心，1为半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x ﹣3）2+y2=16，圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，可得结论．【解答】解：以A为圆心，1为半径的圆的方程为（x+1）2+y2=1；以B为圆心，4为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=16，圆心距为4，大于半径的差，小于半径的和，即两圆相交，∴与A距离为1且与B距离为4的点有2个，故选B．5. 已知是双曲线的一个焦点,则点到的一条渐进线的距离为( ) A． B． C． D．参考答案：A6. 函数在点处的导数是(A) (B) (C) ( D)参考答案：D7. 下列命题正确的是（▲）A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行;B．平行于同一个平面的两条直线平行;C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面;D．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行.参考答案：D略8. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的投影为C，若，，则抛物线的方程为（）A. B. C.D.参考答案：D略9. 已知实数满足不等式，且则的大小关系为A．B．C．D．参考答案：A 10. 直三棱柱中，若∠BAC＝90°，，则异面直线与所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设方程f（x，y）=0的解集非空．如果命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”是不正确的，有下面5个命题：①坐标满足f（x，y）=0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足f（x，y）=0；③坐标满足f（x，y）=0的点不都在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f（x，y）=0；⑤坐标满足f（x，y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上．则上述命题正确的是．（填上所有正确命题的序号）参考答案：③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用曲线与方程的关系、命题的否定即可得出【解答】解：∵命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，∴命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点不都在曲线C上”正确，即“至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0”．故答案为：③④12. 命题：“若且，则”的逆否命题是_________命题；（填“真”或“假”）参考答案：真13. 椭圆的左焦点是，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时，的面积是.参考答案：314. 设P 0是抛物线y = 2 x 2 + 4 x + 3上的一点，M 1，M 2是抛物线上的任意两点，k 1，k 2，k 3分别是P 0M 1，M 1M 2，M 2P 0的斜率，若k 1 – k 2 + k 3 = 0，则点P 0的坐标为 。
2022年辽宁省抚顺市第六中学高二数学文上学期期末试题含解析
2022年辽宁省抚顺市第六中学高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，则当时，的展开式中常数项为（）A. B. C.D.参考答案：C略2. 已知椭圆，，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则，可得，整理得：，结合可得，问题得解。
【详解】依据题意作出如下图象：由已知可得：当点在椭圆的上（下）顶点处时，最大，要满足椭圆上存在点使得，则所以即：，整理得：又，即：所以所以椭圆离心率的取值范围为故选：D【点睛】本题主要考查了转化能力及椭圆的简单性质，还考查了计算能力，属于难题。
3. 计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．4. 的展开式中的系数等于10，则的值为（）A. B. C. D.参考答案：C5. 已知直线l1经过两点，直线l2经过两点(2，1)、(x，6)，且l1∥l2，则x＝( )．A．2 B．－2 C．4 D．1参考答案：A略6. 复数z=1﹣2i的虚部是（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】利用虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z=1﹣2i的虚部是﹣2．故选：A．7. 用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是（）A．成立 B．成立C．或成立 D．且成立参考答案：C略8. （5分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（）C从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故答案为 C．9. “”是“函数有零点”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A10. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为（）A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75参考答案：D【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P （C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.6）（1﹣0.5）=0.8；则目标是被甲击中的概率为P==0.75；故选D．【点评】本题考查条件概率的计算，是基础题，注意认清事件之间的关系，结合条件概率的计算公式正确计算即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若椭圆与双曲线的焦点相同，则椭圆的离心率____；参考答案：12. 在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的”。
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省遂宁市安居区育才中学校高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】求得倾斜角的正切值即得．【详解】k =tan120°=故选：B ．2．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为1100000，则买100000张这种彩票一定能中奖；④连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点向上.其中必然事件是（ ） A ．② ③ B ．③④ C ．①②③④ D ．②【答案】D【解析】根据随机事件、必然事件的定义，逐项判定，即可求解.【详解】因为在标准大气压下，水加热到100℃才会沸腾，所以①不是必然事件； 因为实数的绝对值不小于零，所以②是必然事件； 因为某彩票中奖的概率为1100000，仅代表可能性，所以买100000张这种彩票不一定能中奖，即③不是必然事件；抛掷一枚骰子，每一面出现都是随机的，所以④是随机事件. 故选：D .3．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．250x y --= B ．270x y -+= C ．210x y +-= D ．250x y +-=【答案】B【分析】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，将点(1,3)-代入即可求解. 【详解】设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠， 直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =，则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．4．已知O 的圆心是坐标原点O ，且被直线250x y -+=截得的弦长为4，则O 的方程为（ ） A ．224x y += B ．228x y += C ．228x y += D ．229x y +=【答案】D【分析】设圆O 的方程为222x y r +=，结合圆的弦长公式，列出方程，求得2r 的值，即可求解. 【详解】由题意，设圆O 的标准方程为222x y r +=， 则圆心(0,0)O 到直线250x y -+=的距离为22552(1)d ==+-，又由圆O 被直线250x y -+=截得的弦长为4， 可得2224r d -=，化简得22(5)4r -=，解得29r =， 即圆的方程为229x y +=. 故选：D.5．如图，长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（ ）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【分析】先求出点B 和点D 的坐标，再利用中点坐标公式即可求解.【详解】长方体ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12， 所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD'的中点P点坐标为010010012,,222P+++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.6．某农村中学高中部有高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：则根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为（）A．100 B．120 C．140 D．160【答案】C【分析】根据分层抽样的性质即可求解.【详解】由表格中，可得样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：20614-=人，所以，该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：1420014020⨯=人.故选:C.7．若实数x、y满足约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则12yzx+=-的最小值为（）A．-2 B．3 2 -C．-1 D．1 2 -【答案】A【解析】画出约束条件20x yx yx+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，再由12yzx+=-为点()x y，与点P()21-，确定的直线的斜率求解.【详解】画出约束条件2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图所示阴影部分：因为12y z x +=-可以看作经过点()x y ，与点P ()21-，的直线的斜率， 结合图像易知，当直线经过点()11A ，时，斜率最小， 所以12y z x +=-的最小值为11212+=--， 故选：A8．某医院某科室有5名医护人员，其中有医生2名，护士3名．现要抽调2人前往新冠肺炎疫情高风险地区进行支援，则抽调的2人中恰好为1名医生和1名护士的概率是（ ） A ．16B ．25C ．35D ．23【答案】C【分析】根据条件列举出所有的情况，找出其中恰好为1名医生1名护士的种类数，相除即可. 【详解】设5名医护人员，2名医生a ，b ，3名护士c ，d ，e ，则抽调2人的情况有ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de 共10种不同结果， 其中恰好为1名医生和1名护士的不同结果有6种， 故所求概率为63105= 故选：C.9．下列推理错误的是（ ）A ．∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈⇒l ⊂α B ．A α∈，A β∈，B α∈，B β∈⇒AB αβ=C ．l α⊄，∈A l ⇒A αD ．∈A l ，l α⊂⇒A α∈ 【答案】C【分析】根据公理1，判断A ，C ，D ，根据公理2，判断B ，【详解】由 ∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈根据公理1可得l ⊂α，A 对， 由∈A l ，l α⊂根据公理1可得A α∈，D 对， 由l α⊄，∈A l 可得A α或A α∈，C 错， 由A α∈，A β∈，B α∈，B β∈根据公理2可得AB αβ=，B 对，故选：C10．已知直线l 经过两直线l 1：3x ﹣y +12＝0，l 2：3x +2y ﹣6＝0的交点，且与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，则坐标原点O 到直线l 的距离为（ ） A ．255B ．2C ．55D ．3【答案】A【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l 的斜率，从而求得直线l 的方程，进而利用点线距离公式即可得解.【详解】联立方程组可得31203260x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得26x y =-⎧⎨=⎩，故交点A 的坐标为()2,6-，因为直线x ﹣2y ﹣3＝0的斜率为12，又直线l 与直线x ﹣2y ﹣3＝0垂直，所以直线l 的斜率为﹣2， 故直线l 的方程为()622y x -=-+，即2x +y ﹣2＝0；所以原点O 到直线l 的距离为222010225521d ⨯+⨯-==+. 故选：A.11．圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形OACB 中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为（ ）A ．13π- B ．12π- C ．4π D ．5π【答案】B【分析】利用几何概型的概率公式即可求解.【详解】圆22(1)1x y -+=及22(1)1y x +-=分别以1,0A 和()0,1B 为圆心， 半径都是1.连接OC ，可知阴影部分由分别以,A B 为圆心， 1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为2111π21111422S π⎛⎫=⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭，正方形的面积为111S =⨯=， 所以质点落在阴影部分区域的概率为1π12S S =-， 故选：B.12．已知点(1,0)P 及圆22:2C x y +=，点 M ，N 在圆C 上，若PM PN ⊥，则||MN 的取值范围为（ ） A ．[31,31]-+ B ．[22,22]-+C ．[23,23]-+D ．[22,23]-+【答案】A【解析】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值，求出M 的坐标即可得出答案． 【详解】如图所示，当四边形PMQN 为正方形且MN OP ⊥时，||MN 取得最小值或最大值． 由图可知PM 所在直线斜率1k =，则PM 方程为1y x =-，则PM 与圆222x y +=的两个交点分别为M 、M '，2221x y y x ⎧+=⎨=-⎩，解得M xM x '所以M，M '， 则||MN的最小值为：2||1M y =，最大值为：2||1M y '=， 所以||MN的取值范围为11]． 故选：A ．【点睛】解题的关键是根据题意，根据对称性，求得PM 的方程，进而可求得M 点坐标，即可求得答案，考查数形结合的解题思想，考查了计算能力，属中档题．二、填空题13．在区间[0,4]上随机地取一个数x ，则事件“111x -≤-≤”发生的概率为___________ 【答案】12##0.5【分析】利用几何概型求解即可. 【详解】在区间[0,4]的长度为4，111x -≤-≤，解得[]0,2x ∈，长度为2， 故在区间[0,4]上随机地取一个数x ， 则事件“111x -≤-≤”发生的概率为2142P ==. 故答案为：1214．设x ，y 满足约束条件2120y x y x x ≥-⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩，则x y +的最大值为________．【答案】8【分析】作出可行域，平移目标函数找到取最大值的点，代入可求最大值. 【详解】作出不等式组表示的可行域,如图，设z x y =+，由图可知，当直线z x y =+经过点A 时，取到最大值，联立212y x y x =-⎧⎨=+⎩可得(3,5)A ，代入可得z 取得最大值8．【点睛】本题主要考查线性规划求解最值，作出可行域先确定最值点是求解关键，侧重考查直观想象，逻辑推理的核心素养.15．已知直线:1l y kx =-与圆22:430C x y x +-+=相切，则正实数k 的值为___________.【答案】43【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】:110l y kx kx y =-⇒--=， ()2222:43021C x y x x y +-+=⇒-+=，圆心为()2,0，1r =，22111k k -=+，解得43k =或0k =，所以正实数k 的值为43故答案为：4316．设,,αβγ为两两不重合的平面， ,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若,,//,//m n m n ααββ，则//αβ； ②若,m n αβ⊥⊥且,m n ⊥则αβ⊥ ③若l //,ααβ⊥，则l β⊥； ④若,,,l m n l αββγγα===//γ ，则m //n则上述命题中正确的是_________【答案】②④【分析】根据平行垂直的判定与性质逐项分析即可.【详解】对于① 由于不确定m,n 是否相交，所以推不出//αβ ②因为,m n ⊥m α⊥，所以n ⊂α或//n α， 可知α必过β的一条垂线，所以αβ⊥正确.③若l //,ααβ⊥,可能l //β，推不出l β⊥④,,,l m n l αββγγα===//γ，可推出//,//l m l n ，所以m //n 正确.故填②④.【点睛】本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面垂直，面面平行的判定和性质，属于中档题.三、解答题17．如图所示的多面体中, AC ⊥BC ,四边形ABED 是正方形,平面ABED ⊥平面ABC ,点F ,G ,H 分别为BD ,EC ,BE 的中点,求证:(1) BC ⊥平面ACD (2)平面HGF ∥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用面面垂直的性质证得AD ⊥平面ABC ，得出AD BC ⊥即可； （2）利用中位线关系证明,HG HF 平行于平面ABC 即可. 【详解】（1）由题：平面ABED ⊥平面ABC ,交线为AB ， 四边形ABED 是正方形,所以AD AB ⊥，AD ⊆平面ABED ， 所以AD ⊥平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，AD BC ⊥， 由题AC ⊥BC , ,AD AC 是平面ACD 内的两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACD（2）在EBC ∆中,H G 分别是,EB EC 的中点，所以//HG BC ，HG ⊄平面ABC ，BC ⊆平面ABC ，所以//HG 平面ABC ，在EBD ∆中,H F 分别是,EB DB 的中点，所以//,//HF ED ED AB ， 所以//HF AB ，HF ⊄平面ABC ，⊆AB 平面ABC ，所以//HF 平面ABC ，,HF HG 是平面HGF 内两条相交直线，所以平面HGF ∥平面ABC.【点睛】此题考查通过面面垂直的性质证明线面垂直，通过线面平行关系证明面面平行. 18．已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=．(1)求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距离为85；(2)过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程． 【答案】(1)()1,2，3430x y +=-或34190x y +-= (2)240x y +-=【分析】（1）消掉直线中的参数即可得定点，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）直线1l ：20mx y m +--=， 即()120m x y -+-=，令10x -=，求得1x =，2y =，可得直线1l 的定点()1,2P ．定点()1,2P 到直线2l ：340x y n +-=的距离为85=∴3n =或19n =，故直线2l ：3430x y +=-或34190x y +-=．（2）设过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点， 设(),0A a 、()0,B b ，则P 、A 、B 三点共线，202110ba --=--， ∴2ab a b =+≥令0t ab =>，则有：280t t -≥， 解得：0t <（舍）或8t ≥， ∴t 的最小值为：8.∴AOB 面积为12ab 最小值为：4，此时，2a =，4b =，直线l 的斜率为2-， 直线l 的方程为：()221y x -=--， 即240x y +-=．19．已知直线l 经过两点()2,1A --，()6,3B (1)求直线l 的方程；(2)圆C 的圆心C 在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程； (3)若过B 点向（2）中圆C 引切线BS ，BT ，S ，T 分别是切点，求ST 直线的方程． 【答案】(1)20x y -= (2)22(2)(1)1x y -+-= (3)42110x y +-=【分析】(1)根据直线方程的两点式求解 （2）设出圆心(2,)C b b ，根据圆与x 轴相切求解. (3) 四点,,,B S C T 四点共圆，两个圆公共弦所在直线方程.【详解】（1）由题可知：直线l 经过点A ()2,1--，B （6，3），由两点式可得直线l 的方程为：()()()()123162y x ----=----，整理得：20x y -=．（2）依题意，可设圆C 的圆心为(2,)C b b ，圆的方程为：222(2)()x b y b r -+-=， ∵圆C 与x 轴相切于点(2,0)，∴22b =，解得1b =，∴半径1r =， ∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -+-=．（3）由于,CS BS CT BT ⊥⊥，则四点,,,B S C T 四点共圆，这个圆以BC 为直径其方程为()()22425x y -+-=，ST 为两圆的公共弦， 把两圆方程化为一般方程224240x y x y +--+=和2284150x y x y +--+=， 两式相减得公共弦方程：42110x y +-=．20．芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x （亿元）与收益y （亿元）的数据统计如下：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）根据折线图的数据，求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到整数部分）；（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.附：样本(),(1,2,,)i i x y i n =⋅⋅⋅的相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，当||[0.75,1]r ∈时，两个变量间高度相关.参考数据：()()71400i i i x xy y =--≈∑，()72198i i x x=-≈∑，()7211800i i y y=-≈∑.【答案】（1）答案见解析；（2）412y x =+；（3）80亿元. 【分析】（1）计算出0.950.75r ≈>即可得结果；（2）计算出系数b ，a ，即可得y 关于x 的线性回归方程； （3）将16x =代入线性回归方程即可.【详解】（1）()()()()71772211981800iii i i i i x x y y r x xy y===--=⨯-⋅-∑∑∑400200.950.7542021==≈>， 所以y 与x 两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合.（2）因为()()()7172140020049849iii ii x x y y b x x ==--===≈-∑∑， 所以27220046127497a y bx =-=-⨯≈， 故y 关于x 的线性回归方程为412y x =+. （3）当16x =时，4161276y =⨯+=亿元，故当16x =亿元时，公司的实际收益的预测值为76480+=亿元.21．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本次培训活动的效果，从A 、B 两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩，并作出如图所示的茎叶图.考核成绩 [60,85] [86,100] 考核等级 合格 优秀（1）计算A 、B 两所大学学生的考核成绩的平均值；（2）由茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算）（3）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示.现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，求2人来自同一所大学的概率.【答案】（1）80，80；（2）A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定；（3）25.【分析】（1）直接利用平均数公式计算得解；（2）直接观察茎叶图判断A 、B 两所大学学生考核成绩的稳定性； （3）直接利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）64757878797285869192800801010A x +++++++++===67627079788784859593800801010B x +++++++++===（2）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比B 所大学学生的成绩稳定. （3）记事件M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取2人，2人来自同一所大学”.本中，A 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为a ，b ，c ，B 校考核等级为优秀的学生共有3人，分别记为A ，B ，C ，从这6人中任取2人，所有的基本事件个数为ab ，ac ，aA ，aB ，aC ，bc ，bA ，bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC 共15种，而事件M 包含的基本事件是ab ，ac ，bc ，AB ，AC ，BC 共6种， 因此()62155P M ==. 【点睛】方法点睛：求古典概型的概率的解题步骤：（1）求出总的基本事件的总数；（2）求出事件A 的基本事件的总数；（3）代入古典概型的概率公式求解.22．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)若1t =，求PA ，PB 所在直线方程； (2)若两条切线P A ，PB 与y 轴分别交于S ､T 两点. ①求PST 面积的最小值.②在①的条件下，过点P 的直线1l 与圆22():21M x y -+=相交，且圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，求此时直线1l 的方程. 【答案】(1)1y =，3410x y +-= (2)2②351)y x =+【分析】(1)根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可求解；(2) ①分别表示出S ､T 的坐标，从而表示ST 的长度，从而可讨论三角形面积的最值；②由于圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，所以圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，即可求解.【详解】（1）由圆()22:21M x y -+=的方程可知：圆心()2,0M ，半径为1，过点(1,1)P -引圆M 的切线方程斜率显然存在可设为：()11y k x =++，所以圆心(2,0)M 到直线()11y k x =++的距离1d =，229611k k k ++=+，2860k k +=，∴0k =，或34k =-，由图可有0PA k =，所以直线PA 的方程为1y =；又34PB k =-，所以直线PB 的方程为3(1)14y x =-++，即3410x y +-=.（2）(2)①设切线方程为(1)y t k x -=+，即0kx y k t -++=，故圆心(2,0)M 到直线0kx y k t -++=的距离1d ==，即228610k kt t ++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1234t k k +=-，21218t k k -=，把0x =代入0kx y k t -++=，得y k t =+，1212|()||∣∴=+-+=-==ST k t k t k k∴当0=t 时，ST .又点P 到直线ST （y 轴）的距离为1，所以PST 面积的最小值112=， ②由①知(1,0)P -，直线斜率显然存在，所以设直线1l ：(1)y k x =+， 要使圆M 上恰有3个点到直线1l 的距离相等，则需圆心M ()2,0到直线1l 的距离等于圆M 半径的一半，12=，解得k =1l 的方程为1)y x =+.。
安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误．．的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。
3.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案【详解】充分性：当时，两条直线分别为：与此时两条直线垂直必要性：若两条直线垂直，则，解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则此样本中女生人数为（ ） A ．40 B ．36 C ．34 D ．32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可. 【详解】由题意得：样本中女生人数为1606832180160⨯=+.故选：D2．已知向量()3,2,4m =-，()1,3,2n =--，则m n +=（ ） A ．22 B ．8 C ．3 D ．9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可. 【详解】()()()3,2,41,3,22,1,2m n +=-+--=-- ()()2222123m n +=-+-+=故选：C3．如图所示的算法流程图中，第3个输出的数是（ ）A ．2B ．32C ．1D ．52【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，1,1A N ==，输出1，2N =；满足条件，131+=22A =，输出32，3N =；满足条件，31+=222A =，输出2，4N =；所以第3个输出的数是2. 故选：A.4．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．43D ．323【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积. 【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P ABCD -, 如图所示：PD ⊥平面ABCD ,且底面为正方形，2PD AD == 所以该几何体的体积为：1822233V =⨯⨯⨯=故选：B5．经过两点(4,21)A y +，(2,3)B -的直线的倾斜角为3π4，则y =（ ） A ．1- B ．3-C ．0D ．2【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线AB 的倾斜角为3π4， 则该直线的斜率为3πtan14k ==-， 又因为(4,21)A y +，(2,3)B -， 所以()213142y k ++==--，解得=3y -.故选：B.6．为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以《发扬航天精神，筑梦星辰大海》为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是（ ）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B ．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲座后正确率的极差 【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，中位数为70%75%72.5%70%2+=> ，故A 错误； 讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.80.8540.920.951289.5%85%10+⨯+⨯++⨯=> ，故B 正确；由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%，讲座前正确率的极差为95%-60%=35%，20%<35%,故D 错误. 故选：B.7．两条平行直线230x y -+=和340ax y -+=间的距离为d ，则a ，d 分别为（ ）A ．6a =，d =B ．6a =-，d =C ．6a =-，d =D ．6a =，d =【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数a ，再利用平行线间距离公式可得d . 【详解】由直线230x y -+=与直线340ax y -+=平行， 得()()2310a ⨯---⨯=，解得6a =，所以两直线分别为230x y -+=和6340x y -+=，即6390x y -+=和6340x y -+=，所以两直线间距离d = 故选：D.8．从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【分析】先求出基本事件总数n 25C 10==，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n 25C 10==，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m 2223C C =+=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p m 40.4n 10===． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列四个命题中错误的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊥α，则m //nB ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βC ．若l ⊥α，m α⊂，则l ⊥mD ．若l //α，l ⊥β，则α⊥β【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理可知A 正确；根据面面垂直的性质定理可知B 不正确； 根据线面垂直的定义可知C 正确；根据面面垂直的判定可知D 正确．【详解】对A ，根据线面垂直的性质，垂直于同一平面的两条直线互相平行可知A 正确； 对B ，根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，l ⊂α，且l 垂直于两平面的交线，则l ⊥β，所以B 错误；对C ，根据线面垂直的定义可知，C 正确；对D ，因为l //α，由线面平行的性质可知在平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m β⊥，而m α⊂，所以α⊥β，D 正确． 故选：B ．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -= C ．30x y += D ．30x y -=【答案】C【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101303AD k -==--- 所以AD 的方程为13y x =-，所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.11．已知P 是直线:70l x y +-=上任意一点，过点P 作两条直线与圆22:(1)4C x y ++=相切，切点分别为A 、B ．则四边形PACB 面积最小值为（ ）A ．BC ．D ．28【答案】A【分析】当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，根据切线长的表达式可知，||PA 最小，此时四边形PACB面积2S PA AC PA ==最小，求解即可．【详解】圆22:(1)4C x y ++=的圆心(1,0)C -，半径为2，当PC l ⊥时，||PC 取得最小值，即||PC 的最小值为点C 到直线l 的距离|8|422d -==， ∵2224PA PC AC PC =-=-，∴||PA 的最小值为27，∵四边形PACB 面积2S PA AC PA ==， ∴四边形PACB 面积S 的最小值为47． 故选：A ．12．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列数学命题不正确的是A ．平面1//ACB 平面11ACD 3B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体111PA BC 的体积不变 C ．与所有122D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，则||MN 的最32-【答案】D【解析】根据面面平行的判定定理以及平行平面的距离进行证明，即可判断选项A ； 研究四面体的底面面积和高的变化判断选项B ；与所有12棱都相切的球的直径等于面的对角线1B C 的长度，求出球半径进行计算，即可判断选项C ； 根据正方体内切球和三角形外接圆的关系可判断选项D .【详解】对于选项A ，111//,AB DC AB ⊄平面111,AC D DC ⊂平面11AC D ，1//AB ∴平面11AC D ，同理可证//AC 平面11AC D ，11,,AB AC A AB AC =⊂平面1ACB ，∴平面1//ACB 平面11AC D ，正方体的对角线13BD =B 到平面1ACB 的距离为h ， 则11221311,(2)11332B ACBC ABB V V h --=⨯=⨯⨯⨯，3h ，则平面1ACB 与平面11AC D 的距离为332d h == 故A 正确；对于选项B ，点P 在线段AB 上运动，点P 到底面111A B C 的距离不变， 底面积不变，则体积不变，故B 正确；对于选项C ，与所有12条棱都相切的球直径等于面的对角线12BC 23422(3V ππ=⨯⨯=C 正确；对于选项D ，设正方体的内切球的球心和外接球的球心为O ， 则1ACB 的外接圆是正方体外接球的一个小圆，M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是1AB C 外接圆的圆周上任意一点，∴线段MN 的最小值为正方体的外接球的半径减去正方体内切球的半径，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1， ∴线段MN 312，故D 错误.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到空间几何体的结构，面面平行的判断，球的内切问题，涉及的知识点较多，综合性较强，属于较难题.二、填空题13．已知x 、y 满足约束条件202020x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值是________.【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数2z x y =+转化为2y x z =-+表示为斜率为2-，纵截距为z 的直线， 当直线2y x z =-+过点B 时，z 取得最大值， 显然点()2,2B ，则max 2226z =⨯+=. 故答案为：6.14．直线l 与圆22(1)(1)1x y ++-=相交于,A B 两点，且()0,1A ．若2AB l 的斜率为_________． 【答案】1±【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直线l 与圆 22(1)(1)1x y ++-= 相交于,A B 两点，且()0,1A ， 当直线斜率不存在时，直线0x = 即y 轴，显然与圆相切，不符合题意; 故直线斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+ ，即10kx y -+= ， 因为圆22(1)(1)1x y ++-=的圆心为(1,1) ，半径为1r = ，又弦长||2AB =,所以圆心到直线的距离为22||12()1222AB d r =-=-=, 所以2||221k k =+，解得1k =±， 故答案为：1±.15．如图，111ABC A B C ﹣是直三棱柱，90BCA ∠=︒，点E F 、分别是1111A B AC 、的中点，若1BC CA AA ==，则BE 与AF 所成角的余弦值为__．【答案】3010【分析】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，再解三角形即可.【详解】取BC 的中点M ，连接MF ，则MF //BE ，所以MFA ∠就是异面直线BE 与AF 所成的角，设222655,(),,2222BC a MF a a a AM a AF a ==+===， 222655()()()30222cos 1065222a a a MFA a a+-∠==⨯⨯3016．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.三、解答题17．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.(1)求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆyb x a =+； (2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：()()()11211ˆˆˆ,()n ei i i i i i pz nzlii i x x y y x y nxybay bx xx xn x ====---===---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ38.5y x =-；（2）第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆【分析】（1）先由题中数据求出x y ，，再根据()()()()1122211,ˆˆˆˆn niii ii i nn ii i i x x y y x y nxyb ay bx x x x n x ====---===---∑∑∑∑求出ˆb和ˆa ，即可得出回归方程； （2）将8.5x =代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得11.5,26x y ==，442111211,534i i i i i x y x ====∑∑∴()414222141211411.526153534411.554ˆi i i i i x y xybx x ==--⨯⨯====-⨯-∑∑,故26311ˆ.58.5ˆay bx =-=-⨯=-，∴38.5ˆy x =-（2）由（1）得，当8.5x =时，ˆ17y=，∴第5年优惠金额为8．5千元时，销售量估计为17辆. 【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求ˆb和ˆa 即可，属于常考题型. 18．已知圆C 经过()6,1A 、()3,2B -两点，且圆心C 在直线230x y +-=上．(1)求经过点A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)斜率为43-的直线l 过点B 且与圆C 相交于E F 、两点，求EF ． 【答案】(1)60x y -=或70x y +-=(2)22(5)(1)5x y -++= (3)45【分析】（1）根据给定条件，利用直线方程的截距式，分类求解作答；（2）设圆心(32,)C b b -，由||||r AC BC ==解得1b，即得圆C 的标准方程；（3）求出直线l 的方程，利用弦长公式计算即可.【详解】（1）当直线过原点时，直线的方程为60x y -=， 当直线不过原点时，设直线的方程为1x y a a+=，将点(6,1)A 代入解得7a =，即直线的方程为70x y +-=， 故所求直线的方程为60x y -=或70x y +-=．（2）因圆心C 在直线230x y +-=上，则设圆心(32,)C b b -，又圆C 经过(6,1),(3,2)A B -两点，于是得圆C 的半径r AC BC ==，=1b，则圆心(5,1)C -，圆C 的半径r =所以圆C 的标准方程为22(5)(1)5x y -++=． （3）依题意，直线l 的方程为42(3)3y x +=--，即4360x y +-=， 圆心(5,1)C -到直线的距离为115d ==，所以45EF ===． 19．直四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是平行四边形，60ACB ∠=︒，13,1,27,,AB BC AC E F ===分别是棱1,A C AB 的中点.(1)求证：EF 平面1A AD ：(2)求三棱锥1F ACA -的体积.【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，证明四边形AFEM 为平行四边形，则AM EF ∥，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）利用余弦定理求出AC ，再利用勾股定理求出1AA ，再根据11F ACA A AFC V V --=结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】（1）证明：取1A D 的中点M ，连结,ME MA ，在1A DC 中，,M E 分别为11,A D AC 的中点， 所以ME DC ∥且12ME DC =， 底面ABCD 是平行四边形，F 是棱AB 的中点，所以AF DC 且12AF DC =， 所以ME AF ∥且ME AF =，所以四边形AFEM 为平行四边形， 所以,EF AM EF ⊄∥平面1,A AD AM⊂平面1A AD ，所以EF 平面1A AD ；（2）在ABC 中，60,3,1ACB AB BC ∠===， 由余弦定理有2222cos AB AC BC AC BC ACB ∠=+-⨯⨯，解得2AC =，则1312sin6022ABC S =⨯⨯⨯=， 因为F 为AB 的中点，所以1324ACF ABC S S ==， 由已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，可得1190,2,27A AC AC AC ∠===， 可得128426A A =-=，1111132263342F ACA A AFC AFC V V S AA --==⋅=⨯⨯=. 20．某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，，[]90,100后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取前15%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线．【答案】(1)答案见解析(2)71(3)86【分析】（1）根据所有频率和为1求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出平均分；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，由此即可估计“优秀”档次的分数线．【详解】（1）由频率分布直方图可知，第1，2，3，5，6小组的频率分别为：0.1，0.15，0.15，0.25，0.05，所以第四小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=，∴在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.03，补全频率分布直方图对应图形如图所示：（2）由频率分布直方图可得平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）由频率分布直方图可知：成绩在区间[]90,100占5%，区间[)80,90占25%，则估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线为：0.158010860.25+⨯=． 21．如图，正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，FA AC ⊥，2AB =1EF FA ==．(1)求证：BE ⊥平面DEF ；(2)求直线BD 与平面BEF 所成角的大小．【答案】(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，利用勾股定理逆定理推导出BE DE ⊥，BE EF ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）分析可知直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，求出BDE ∠的正弦值，即可求得BDE ∠的大小.【详解】（1）证明：设正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O ，连接FO 、EO ，因为平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AF AC ⊥，AF ⊂平面ACEF ， AF ∴⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 222AC AB =， 在直角梯形ACEF 中，//EF AC ，O 为AC 的中点，则AO EF =且//AO EF ，又因为AF EF =，AF AC ⊥，故四边形AFEO 是边长为1的正方形，所以，//AF EO ，所以，EO ⊥平面ABCD ，且1EO AF ==，BD ⊂平面ABCD ，EO BD ∴⊥，则222BE DE EO OB =+=所以，222DE B D E B +=，BE DE ∴⊥，AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AF AB ∴⊥，223BF AB AF =+=，222EF BE BF ∴+=，BE EF ∴⊥，DE EF E ⋂=，DE 、EF ⊂平面DEF ，BE ∴⊥平面DEF .（2）解：由（1）可知，BE ⊥平面DEF ，所以，直线BD 与平面BEF 所成角为BDE ∠，BE DE ⊥，2sin 2BE BDE BD ∠==， 又因为π02BDE <∠≤，故π4BDE ∠=，因此，直线BD 与平面BEF 所成角为π4. 22．已知圆22:(3)9M x y -+=，设()2,0D ，过点D 作斜率非0的直线1l ，交圆M 于,P Q 两点．(1)过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于,E F 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设()6,0B ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ．证明：点N 在定直线6x =-上．【答案】(1)S 的最大值为17.(2)证明见详解【分析】（1）由题意设出直线1l ，2l 方程，利用点到直线的距离公式，弦长公式以及基本不等式即可解决问题；（2）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线OP 与直线BQ 的方程，且交于点N ，联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】（1）由圆22:(3)9M x y -+=知，圆心为()3,0M ，半径3r =，因为直线1l 过点()2,0D 且斜率非0，所以设直线1l 方程为：()02y k x -=-，即20kx y k --=，则点M 到直线1l 的距离为：1223211k kk d k k -=++所以222222122289223292111k k k PQ r d k k k ⎛⎫+=--=- ⎪+++⎝⎭由12l l ⊥，且直线2l 过点D ，所以设直线2l 方程为：()102y x k -=--，即20x ky +-=， 则点M 到直线2l的距离为：2d =所以EF ====故1122S EF PQ =⋅⋅=⋅2=()2217122171k k +=⨯=+，当且仅当2289981k k k +=+⇒=±时取等号， 所以四边形EPFQ 的面积S 的最大值为17. （2）证明：设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 过点D ， 则设直线PQ 方程为：2x my =+，联立()22239x my x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 整理得： ()221280m y my +--=，12122228,11m y y y y m m -+==++， 所以()1212121244y y m my y y y y y +=-⇒=-+， 由111100OP y y k x x -==-， 所以直线OP 的方程为：11y y x x =， 2222066BQ y y k x x -==--， 所以直线BQ 的方程为：()2266y y x x =--， 因为直线OP 与直线BQ 交于点N ，所以联立()112266y y x x y y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩， 所以()12121266N x y x x y y x =-- ()()()12121262226my y my y y my +=+-+-⎡⎤⎣⎦ 12212212161224my y y my y y my y y +=+-+ 12221362my y y y y +=+ ()()122213462y y y y y ⨯-⨯++=+ 12212212112126126622y y y y y y y y y --+--===-++， 所以6N x =-，所以点N 在定直线6x =-上.。
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学(文)试题 解析版
2022-2023学年陕西省部分名校高二上学期期末数学试卷（文科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修5占30%，选修1-1占70%.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 椭圆C ：22143x y +=的长轴为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 42. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3c =，4b =，3A π=，则a =（ ）A.B. C. 5 D. 63. 已知p ：0x ∀>，230x x +>；q ：x ∃∈R ，210x +=.则下列命题中，真命题是（ ）A. p q ⌝∧B. p q ⌝∨C. p q ∧⌝D. p q ∧4. 设0(3)(3)lim 6x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则()3f '=（ ）A. －12B. －3C. 3D. 125. 已知等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若25T T =，则4a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为340x y +=，则该双曲线的离心率是（ ）A.43B.53C.54D.7. 已知抛物线C ：220x y =-的焦点为F ，抛物线C 上有一动点P ，且()3,6Q --，则PF PQ +的最小值为（ ）A. 8B. 16C. 11D. 268. 已知数列{}n a 满足1n n a a d -=+，2n ≥，n ∈N ，则“2m n a a d -=”是“2m n -=”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数21()ln 32f x x x =++的最小值是（ ） A.92 B. 4C.72D. 310. 设1a <，则1211a a+-+的最小值为（ ）A.32B. 32- C. 1D. 211. 已知P 为抛物线C ：216x y =-上一点，F 为焦点，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，若PFH △的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是（ ） A. (],5-∞-B. (],4-∞-C. (],2-∞-D. (],1-∞-12. 定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()4xf x f x '<恒成立，则（ ）A. 16(1)4(2)f f f >>B. 16(1)(2)4f f f >>C. 16(1)4(2)f f f <<D. 16(1)(2)4f f f <<第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知双曲线C ：2221(0)x y a a-=>的焦距为10，则a =______.14. 若x ，y 满足约束条件10201x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最小值为______.15. 已知函数()ln 1f x x x mx =++的零点恰好是()f x 的极值点，则m =______.16. 已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上的一点，若121cos 3F PF ∠=-，则12PF PF ⋅=______.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分） 已知函数()f x 满足32()(1)1f x x f x '=-⋅+.（1）求()1f '的值；（2）求()f x 的图象在2x =处的切线方程. 18.（12分）已知抛物线C ：()220y px p =->，()06,A y -是抛物线C 上的点，且10AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为()4,2-，求直线l 的方程. 19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(7)2n n n S +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin()bC A B a=--. （1）求A ；（2）设2a =，当b 的值最大时，求ABC △的面积. 21.（12分）已知函数()()ln 1f x x x a x =+-. （1）当2a =-时，求()f x 的单调区间；（2）证明：当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点. 22.（12分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为)，渐近线方程为2y x =±. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E ，F 两点，若以EF 为直径的圆经过点D ，且DG EF ⊥于点G ，证明：存在定点H ，使GH 为定值.高二数学试卷参考答案（文科）1. D 椭圆C ：22143x y +=的长轴为4. 2. A 由余弦定理可得2222cos 13a b c bc A =+-=，所以a = 3. C 由题意可得p 为真命题，q 为假命题.故p q ∧⌝为真命题.4. B 因为0(3)(3)lim2(3)6x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()33f '=-.5. A 因为25T T =，所以3451a a a =.因为2354a a a =，所以41a =.6. C 因为()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，所以:3:4b a =，54c e a ===.7. C 记抛物线C 的准线为l ，作PT l ⊥于T ，当P ，Q ，T 共线时，PF PQ +有最小值，最小值为6112p+=. 8. C 因为()2m n a a m n d d -=-=，所以2m n -=或0d =，故“2m n a a d -=”是“2m n -=”的必要不充分条件.9. C 由题意可得233111()x f x x x x -'=-=，令()0f x '>，1x >，令()0f x '<，得01x <<，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故()f x 的最小值是()712f =.10. A12112(11)11211a a a a a a ⎛⎫+=+-++ ⎪-+-+⎝⎭12(1)331122a a a a +-++-+=≥，当且仅当12(1)11a a a a+-=-+，即3a =-. 11. A 如图，设点P 的坐标为(),m n ，准线4y =与y 轴的交点为A ，则4PF PH n ==-，FH ====PFH △的周长为()24n -.设函数()2(4)(0)f n n n =-≤，则()f n 为减函数，因为()530f -=，所以()30f n ≥的解为5n ≤-.12. A 设函数4()()f x g x x=，0x >，则4385()4()()4()()0x f x x f x xf x f x g x x x''--'==<， 所以()g x 在()0,+∞上单调递减，从而(1)(2)g g g >>，即44(1)(2)12f f >>，则16(1)4(2)f f f >>.13. 2125a +=，解得a =a =-（舍去）.14. －1 作出可行域（图略），当直线y x z =+经过点()1,0时，z y x =-取最小值，最小值为－1.15. －1 设0x 是()ln 1f x x x mx =++的零点，也是()f x 的极值点，则()ln 1f x x m '=++，所以0000ln 10ln 10x x mx x m ++=⎧⎨++=⎩，解得01x =，1m =-. 16. 3 因为22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅()21212122122PFPF PFPF PF PF +-⋅-=⋅122113PF PF =-=-⋅，所以123PF PF ⋅=.17. 解：（1）因为2()32(1)f x x f x ''=-⋅，所以(1)32(1)f f ''=-，解得(1)1f '=. （2）由（1）可得32()1f x x x =-+，2()32f x x x '=-，则()25f =，()28f '=.故所求切线的方程为()582y x -=-，即811y x =-. 18. 解：（1）因为6102pAF =+=， 所以8p =，故抛物线C 的方程为216y x =-.（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，()11,M x y ，()22,N x y ，则2112221616y x y x ⎧=-⎨=-⎩，两式相减得()22121216y y x x -=--，整理得12121216y y x x y y -=--+.因为MN 的中点为()4,2-，所以12121644y y k x x -==-=--，所以直线l 的方程为()244y x -=-+，即4140x y ++=. 19. 解：（1）当1n =时，111842a S ⨯===. 当2n ≥时，1(1)(6)2n n n S --+=，所以1(7)(1)(6)322n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，因为1n =也满足，所以通项公式为3n a n =+.（2）因为11111(3)(4)34n n n b a a n n n n +===-++++， 所以1111111145563444416n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20. 解：（1）三角形的性质和正弦定理可知sin sin sin()sin()sin()2cos sin sin b B C A B A B A B A B a A==--=+--=⋅，其中sin 0B ≠，所以2sin cos sin 21AA A ==，因为()0,A π∈，所以()20,2A π∈，故22A π=，4A π=.（2）由正弦定理有22sin 4sin sin b B Cb B C a A++===+，且34sin 4sin 4B C B B π⎛⎫+=+-⎪⎝⎭cos ))B B B ϕ=+=+，其中1tan 2ϕ=，所以当()sin 1B ϕ+=时，b +有最大值，此时sin cos 5B ϕ==，cos 5B =，所以sin sin()sin (sin cos )42C A B B B B π⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭由正弦定理有sin sin a bA B=，故b =，所以1112sin 2225ABC S ab C ==⨯=△. 21.（1）解：当1a =时，()ln 1f x x '=-.令()0f x '<，得0e x <<，令()0f x '>，得e x >， 所以()f x 的单调递减区间为()0,e ，单调递增区间为()e,+∞. （2）证明：()()ln 1f x x a '=++，令()0f x '=，得1e a x --=，因为1a <-，所以10e e 1a -->=.当()11,e a x --∈时，()0f x '<，()f x 在()11,e a --上单调递减；当()1e ,a x --∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1e ,a --+∞单调递增. 而()1e (1)0af f --<=，且()()e e ln e e 10a a a af a a ----=+-=->， 又因为()f x 在()1e ,a --+∞上单调递增， 所以()f x 在()1e ,a --+∞上有唯一零点. 当()11,e a x --∈时，恒有()()10f x f <=，()f x 无零点.综上，当1a <-时，()f x 在()1,+∞上存在唯一零点.22.（1）解：由题意知c =因为双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，所以2b a =.因为222a cb =-，所以2a =，b =故双曲线C 的标准方程为22143x y -=. （2）证明：设()11,E x y ，()22,F x y .①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，联立方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，化简得()()2223484120k x kmx m ---+=，则()()222(8)4412340km m k ∆=++->，即22430m k -+>，且122212283441234km x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨--⎪=⎪-⎩. 因为()()1212220DE DF x x y y ⋅=--+=， 所以()()2212121(2)4k x x km x x m ++-+++()2222241281(2)403434m km k km m k k--=+⋅+-⋅++=--， 化简得221628(2)(14)0m km k m k m k ++=++=， 所以2m k =-或14m k =-，且均满足22430m k -+>.当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过定点()2,0，与已知矛盾； 当14m k =-时，直线l 的方程为()14y k x =-，过定点()14,0M . ②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：2y x =-，联立方程组222143y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2x =（舍去）或14x =，此时直线l 也过定点()14,0M .因为DG EF ⊥，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径. 故存在定点()8,0H ，使GH 为定值6.。
四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期末检测数学(文)试题(含答案)
成都树德中学高2021级高二上期期末检测数学（文科）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用系统抽样法，②用分层抽样法C.①用分层抽样法，②用随机抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法2.下面命题正确的是A ．“若0ab ≠，则0a ≠”的否命题为真命题；B ．命题“若1x <，则21x <”的否定是“存在1≥x ，则21x ≥”；C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件；D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.3.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为2，则直线的倾斜角为A.3π B.3π-或3πC.3π或23π D.6π或56π4.执行下面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =A.1B.32C.53D.525.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为A.y =B.3y x =±C.12y x =±D.2y x=±6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个白球与都是红球B.恰好有一个白球与都是红球C.至少有一个白球与都是白球D.至少有一个白球与至少一个红球7.已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是A ．[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.变量x 与y 的数据如表所示，其中缺少了一个数值，已知y 关于x 的线性回归方程为 1.2 3.8y x =-，则缺少的数值为A ．24B ．25C ．25.5D ．26取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A ．0.852B ．0.8192C ．0.8D ．0.7511.已知O 为坐标原点，双曲线)0(14:222>=-b b y x C 的右焦点为F ,以OF 为直径的圆与C 的两条渐近线分别交于与原点不重合的点,,B A 若||332||||AB OB OA =+，则ABF ∆的周长为A.6B.36C.324+D.344+12.已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为________.14.已知“∀x ∈{x |－1≤x ≤1}，都有不等式x 2－x －m <0成立”是假命题，则实数m 的取值范围为.15.在区间[0,1]上随机取两个数x、y ，则满足13x y -≥的概率为___________.16.已知直线y kx =与椭圆C ：222212x yb b+=交于,A B 两点，弦BC 平行y 轴，交x 轴于D ，AD 的延长线交椭圆于E ，下列说法中正确的命题有__________.①椭圆C 的离心率为2；②12AE k k =；③12AE BE k k ⋅=-；④以AE 为直径的圆过点B .x2223242526y2324▲2628三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知圆C 上有两个点()()2,3,4,9A B ，且AB 为直径.(1)求圆C的方程；(2)已知()0,5P ，求过点P 且与圆C 相切的直线方程.18.（本小题满分12分）某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求这50名问卷评分数据的中位数；（3）从评分在[40，60）的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60）的概率.19.（本小题满分12分）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为y =．(1)求C 的标准方程；(2)若直线1:12l y x =-与双曲线C 交于A ，B 两点，求||AB ．20.(本题满分12分）某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：单价/元1819202122销量/册6156504845由数据知，销量y 与单价x 之间呈线性相关关系．（1）求y 关于x 的回归直线方程；附：=J1 (−p(−p(−p2，=−．（2）预计以后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？22.(本小题满分12分)如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．公众号高中僧试题下载高2021级期末考试数学（文）试题参考答案一、1-5CDCCA6-10BCABD11-12BD二、13、11614、2m≤15、9216、②③④18、(1)由频率分布直方图可得：()0.028 2 0.0232 0.0156 0.004101a+⨯+++⨯=，解得a=0.006；(2)由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得()()0.004 0.006 0.023210700.0280.5m++⨯+-⨯=，解得m=76，所以这50名问卷评分数据的中位数为76.(3)由频率分布直方图可知评分在[40，60)内的人数为0.004 50100.00610505⨯⨯+⨯⨯=(人)，评分在[50，60)内的人数为0.00650103⨯⨯=(人)，设分数在[40，50)内的2人为12,a a，分数在[50，60)内的3人为123,,b b b，则在这5人中抽取2人的情况有：()12,a a，()11,a b，()12,a b，()13,a b，()21,a b，()22,a b，()23,a b，()12,b b，()13,b b，()23,b b，共有10种情况，其中分数在在[50，60)内的2人有()12,b b，()13,b b，()23,b b，有3种情况，所以概率为P=310.…………………………………12分19、（1）因为焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为22221(0,0)x y a ba b-=>>，由题意得24c=，所以2c=，①又双曲线C的一条渐近线为y x=，所以3ba=，②又222+=a b c，③联立上述式子解得a=1b=，故所求方程为2213x y-=；（2）设11(,)A x y，22(,)B x y，联立2211213y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得213604x x+-=，由2134((6)1504∆=-⨯⨯-=>，所以1212x x+=-，1224x x=-，即AB===20、（1）由表格数据得=18+19+20+21+225=20，=61+56+50+48+455=52．则J15 （i−）（y i−）＝﹣40，J15 （i−）2＝10，则=−4010=−4，=−=52﹣（﹣4）×20＝132，则y关于的回归直线方程为=−4x+132；（2）获得的利润z＝（x﹣10）（﹣4x+132）＝﹣4x2+172x﹣1320，对应抛物线开口向下，则当x=−1722×(−4)=21.5时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为21.5元．22、（1）由题意得12p=，即2p=，所以抛物线的准线方程为1x=-．（2）设(,),(,),(),A AB B c cA x yB x yC x y，重心(,)G GG x y．令2,0Ay t t=≠，则2Ax t=．由于直线AB过F，故直线AB方程为2112tx yt-=+，代入24y x=，得222(1)40ty yt---=，故24Bty=-，即2Byt=-，所以212(,Bt t-．又由于11(),(3)3G A B c G A B cx x x x y y y y=++=++及重心G在x轴上，故220ct yt-+=，得422211222((),2()),(3t tC t t Gt t t-+--．所以直线AC方程为222()y t t x t-=-，得2(1,0)Q t-．由于Q在焦点F的右侧，故22t>．从而424222124422242221|1||2|||223221222211||||1||||2||23Act t tFG yS t t ttt tS t tQG y t tt t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-．令22m t=-，则0m>，1221223434S mS m m mm=-=-++++3212≥-=+．当m=12SS取得最小值12+，此时(2,0)G．。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
江西省宜丰中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析
高二期末考试数学试题（文科）一，选择题（每小题5分,共60分）1.命题“”地否定是( )A. B.C. D.【结果】C【思路】【思路】依据特称命题地否定是全称命题即可得到结论.【详解】依据题意,先改变量词,然后否定结论,可得原命题地否定是:“”,故选C.【点睛】本题主要考查特称命题地否定,其方式是先改变量词,然后否定结论。
全称性命题地否定地方式也是如此.2.为了解名学生地学习情况,采用系统抽样地方式,从中抽取容量为地样本,则分段地间隔为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】试题思路：由题意知,分段间隔为,故选C.考点：本题考查系统抽样地定义,属于中等题.3.以下茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中地成绩(单位：分)．已知甲组数据地中位数为15,乙组数据地平均数为16.8,则x,y地值分别为( )A. 2,5B. 5,5C. 5,8D. 8,8【结果】C【思路】【思路】识别茎叶图,依据中位数，平均数地定义,可求出x，y地值.【详解】依据茎叶图中地数据可得：甲组数据是9,12,10+x,24,27。
它地中位数是15,可得10+x=15,解得：x=5。
乙组数据地平均数为：,解得：y=8,所以x,y地值分别为5和8,故选C.【点睛】本题主要考查茎叶图及中位数，平均数地定义,依据茎叶图得到各数据进行求解是解题地关键.4.已知椭圆地左焦点为则m=（）A. 2B. 3C. 4D. 9【结果】B【思路】试题思路：由题意,知该椭圆为横椭圆,所以,故选B．考点：椭圆地几何性质．5.执行如图所示地程序框图,输出地s值为( )A. 2B.C.D.【结果】C【思路】试题思路：时,成立,第一次进入循环：。
成立,第二次进入循环：。
成立,第三次进入循环：,不成立,输出,故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一,要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,并依据各自地特点执行循环体。
第二,要明确图中地累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量地值发生地变化。
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
四川省广安市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：直线的斜率为，直线的倾斜角满足，故选：B．由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．本题考查直线的倾斜角和斜率，属基础题．2.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件那么此样本的容量A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】C【解析】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是，因样本中A种型号产品有16件，则，解得．故选：C．先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来．3.命题p：，的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：命题“，”是特称命题命题的否定为，．故选：A．根据命题“，”是特称命题，其否定为全称命题，将“”改为“”，““改为“”即可得答案本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．4.已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，抛物线的准线方程为，，解得，故所求抛物线的标准方程为．故选：A．设抛物线方程为，根据题意建立关于p的方程，解之可得，得到抛物线方程．本题给出抛物线的准线，求抛物线的标准方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．5.设，则“”是“直线：与直线：平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当时，直线：与直线：，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得，，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出与平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．6.圆M：与圆N：的位置关系是A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】解：圆M：的圆心为，半径为；圆N：的圆心为，半径为；则，且，两圆的位置关系是相交．故选：A．计算两圆的圆心距，比较两圆的半径得出两圆的位置关系．本题考查了两圆的位置关系判断问题，是基础题．7.对于平面、、和直线l、m、n、p，下列命题中真命题是A. 若，，，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】解：由平面、、和直线l、m、n、p，知：在A中，若，，，，则只有当m，n相交时，才有，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，，，则与相交或平行，故C错误；在D中，若，，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．故选：D．在A中，只有当m，n相交时，才有；在B中，或；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.甲、乙两位同学连续五次地理考试成绩用茎叶图表示如图所示，甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数分别为甲，乙；方差分别是甲，乙，则有A. 甲乙，甲乙B. 甲乙，甲乙C. 甲乙，甲乙D. 甲乙，甲乙【答案】B【解析】解：甲、乙两位同学连续五次地理考试成绩用茎叶图表示如图所示，甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别是甲，乙，则甲，，乙．甲，乙，甲乙．甲乙故选：B．由茎叶图分别求出甲、乙两人这五次地理考试成绩的平均数和方差，由此能求出结果．本题考查平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C【解析】解：输入的，，故，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，，满足进行循环的条件，，不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．10.的周长是8，，，则顶点A的轨迹方程是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：的两顶点，，周长为8，，，，点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且，，，所以椭圆的标准方程是．故选：A．根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．11.抛物线与直线交于A、B两点，其中点A的坐标为，设抛物线的焦点为F，则等于A. 7B.C. 6D. 5【答案】A【解析】解：把点，代入抛物线和直线方程，分别求得，抛物线方程为，直线方程为，联立消去y整理得解得x和1或4，的横坐标为1，点横坐标为4，根据抛物线定义可知故选：A．把点，代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去y，可分别求得A和B的横坐标，再根据抛物线的定义求得答案．本题主要考查抛物线的应用属基础题．12.双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点P为双曲线第二象限内的点，则当点P的位置变化时，周长的最小值为A. 16B.C.D. 18【答案】D【解析】解：双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，可得，，，．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为，则，的周长为，当P点在第二象限时，的最小值为，故的周长的最小值为．故选：D．利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．本题考查双曲线定义的相关知识，双曲线的性质的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.转化为十进制数是______．【答案】5【解析】解：．故答案为：5．利用“2进制”与“十进制”之间的换算关系即可得出．本题考查了“k进制”与“十进制”之间的换算关系，属于基础题．14.在区间上任取一数，则此数不小于2的概率是______．【答案】【解析】解：由于此数不小于2，则所求事件构成的区域长度为：，在区间上任取一个数x构成的区域长度为3，则此数不小于2的概率是，故答案为：．根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由“此数不小于2“求出构成的区域长度，再求出在区间上任取一个数x构成的区域长度，再求两长度的比值．本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．15.正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个正三角形的边长为______．【答案】【解析】解：由题意，依据抛物线的对称性，及正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，可设另外两个顶点的坐标分别为，，，解得，故这个正三角形的边长为，故答案为：．设另外两个顶点的坐标分别为，，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到m的值．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，直角三角形中的边角关系，设出另外两个顶点的坐标，是解题的突破口．16.已知椭圆，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则______．【答案】【解析】解：椭圆的离心率为，可得，可得，设，，，可得，，相减可得，即有．故答案为：．由椭圆的离心率公式可得a，b的关系，设，，，代入椭圆方程作差，结合直线的斜率公式，即可得到所求值．本题考查椭圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：实数m满足，其中：命题q：实数m满足．若，且为真，求实数m的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：命题p：实数m满足，其中，解得；命题q：实数m满足，解得．若，则p：．由为真，，即．实数m的取值范围是；若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．，解得．实数a的取值范围是．【解析】命题p：实数m满足，其中，解得；命题q：实数m满足，解得m范围．若，则p：根据为真，可得实数m的取值范围；若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件即可得出．本题考查了一元二次不等式的解法，简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.2016年“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从小型汽车中按进服务区的先后每间隔35辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速分成六段：，，，，，后得到如图的频率分布直方图．Ⅰ求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；Ⅱ若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆至少有一辆的概率．【答案】解：Ⅰ根据频率分布直方图，得：众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于；设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：，解得，即中位数的估计值为；Ⅱ根据频率分布图知，车速在的车辆数为：辆，分别记为A、B；车速在的车辆数为：辆，分别记为c、d、e、f；从这6辆车中任抽取2辆，基本事件数是，AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有15种；则车速在的车辆至少有一辆的基本事件数是，Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共有14种；故所求的概率为：．【解析】Ⅰ选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．Ⅱ利用列举法求出从车速在内抽取2辆的基本事数，计算对应的概率即可．本题考查了利用频率分布直方图求众数中位数的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．19.如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点求证：Ⅰ平面BDE；Ⅱ平面平面BDE．【答案】证明：是AC的中点，E是PC的中点，，又平面BDE，PA平面BDE．平面BDE．底面ABCD，，又，且平面PAC，而平面BDE，平面平面BDE【解析】根据线面平行的判定定理证出即可；根据面面垂直的判定定理证明即可．本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，是一道基础题．20.已知圆C的圆心坐标，直线l：被圆C截得弦长为．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ从圆C外一点向圆引切线，求切线方程．【答案】解：Ⅰ设圆C的标准方程为：，则圆心到直线的距离为：，分则，圆C的标准方程：；分Ⅱ当切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时满足直线与圆相切；分当切线的斜率存在时，设切线方程为：，即；则圆心到直线的距离为：，分化简得：，解得，切线方程为：；分综上，切线的方程为：和分【解析】Ⅰ根据题意设出圆C的标准方程，由圆心到直线的距离d和半径r、弦长AB的关系，求出r的值，从而写出圆的标准方程；Ⅱ讨论切线的斜率不存在和斜率存在时，求出对应切线的方程．本题考查了直线与圆的位置关系的应用问题，是中档题．21.某书店销售刚刚上市的高二数学单元测试卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如下数据：由数据知，销量y与单价x之间呈线性相关关系．求y关于x的回归直线方程；附：，．预计以后的销售中，销量与单价服从中的回归直线方程，已知每册单元测试卷的成本是10元，为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为多少元？【答案】解：由表格数据得，．则，，则，，则y关于x的回归直线方程为；获得的利润，对应抛物线开口向下，则当时，z取得最大值，即为了获得最大利润，该单元测试卷的单价应定为元．【解析】根据线性回归方程求出，的值即可；结合二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查线性回归方程的求解和应用，考查学生的计算能力．22.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C过点，与x轴垂直．求椭圆C的方程；设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为，，且，证明：直线AB过定点．【答案】解：椭圆C：的左、右焦点分别为、，椭圆C过点，与x轴垂直．，解得，，椭圆C的方程为．当直线AB的斜率不存在时，设，则，由得，得．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，，，，，，即，，由，，，即，故直线AB过定点．【解析】由椭圆C过点，与x轴垂直，列出方程组能求出，，由此能求出椭圆C的方程．对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用，及其斜率计算公式即可得出当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为，，，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线22y x =的焦点坐标为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,0【答案】C【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在x 轴上且122p =，∴其焦点坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.2．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（）A ．①简单随机抽样，②系统抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样C ．①系统抽样，②分层抽样D ．①②都用分层抽样【答案】B【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.3．点(0,0)与点(2,2)-关于直线l 对称，则l 的方程是（）A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】B【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.【详解】过点(0,0)与点(2,2)-直线的斜率为20120-=---，则直线l 的斜率为111-=-，点(0,0)与点(2,2)-的中点为(1,1)-，所以直线l 的方程为11y x -=+，即20x y -+=.故选：B4．下列叙述中，错误的是（）A ．数据的标准差比较小时，数据比较分散B ．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响C ．数据的极差反映了数据的集中程度D ．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变【答案】A【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A 错误；样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B 正确；数据的极差反映了数据的集中程度，故C 正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D 正确.故选：A.二、多选题5．已知a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列各式中不一定成立的是（）A ．ab ac>B ．()0c b a ->C ．22cb ab <D ．()0ac a c -<【答案】C【分析】由已知可得0a >，0c <，再由不等式的基本性质逐一判断即可．【详解】解：因为c b a <<，且0ac <，所以0a >，0c <，对于A ，0a >，0b c ->，所以()0ab ac a b c -=->，所以ab ac >，故A 正确；对于B ，()0c b a ->，故B 正确；对于C ，当0b =时，22cb ab =，故C 错误；对于D ，0ac <，0a c ->，所以()0ac a c -<，故D 正确．故选：C ．三、单选题6．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为45y x a =+.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）记忆能力x46810识图能力y 3568A ．9.2B ．9.7C ．9.5D ．9.9【答案】C 【分析】求出,x y ，线性回归方程 45y x a =+恒过(),x y ，代入即可求出a ，再令x ＝12，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14681074x =⨯+++=，()13568 5.54y =⨯+++=，线性回归方程为45y x a =+，则45.575a =⨯+，解得0.1a =-，故41510y x =-，当x ＝12时， 41129.5510y =⨯-=.故选：C.7．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，给出下列三个命题：①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α；②若α⊥β，β⊥y ，则α∥y ；③若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，则l ∥m ∥n .其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由线面、面面的平行、垂直的判定与性质逐一判断即可.【详解】l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，y 表示不同的平面，对于①，若m ∥l ，且m ⊥α，则由线面垂直的判定定理得l ⊥α，故①正确；对于②，若α⊥β，β⊥y ，则α与y 相交或平行，故②错误；对于③，如图，若α∩β＝l ，β∩y ＝m ，α∩y ＝n ，结合图形得l ，m ，n 交于同一点，故③错误.故选：B.8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a ＝12，b ＝8，i ＝0，则输出的结果为（）A ．a ＝6，i ＝2B ．a ＝5，i ＝3C ．a ＝4，i ＝2D ．a ＝4，i ＝3【答案】D 【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.【详解】初始值a ＝12，b ＝8，i ＝0，第一次执行循环体后，i ＝1，a ＝4，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i ＝2，b ＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i ＝3，a ＝b ＝4，满足退出循环的条件；故输出i ＝3，a ＝4，故选：D.9．直线l 经过点()1,2A ，在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，则其斜率的取值范围是（）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线l 的方程，得到其在x 轴的截距，列出不等式，即可得到结果.【详解】设直线l 的斜率为k ，则方程为()21y k x -=-，令0y =，解得21x k=-，故直线l 在x 轴上的截距为21k-，∵在x 轴上的截距的取值范围是()3,3-，∴2313k-<-<，解得1k <-或12k >.故选：C.10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度|AB |＝6m ，那么车辆通过隧道的限制高度约为（）A ．3.1mB ．3.3mC ．3.5mD ．3.7m【答案】B 【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则()4,4C -，设抛物线方程()220x py p =->，将点C 代入抛物线方程得2p =，∴抛物线方程为24x y =-，行车道总宽度6m AB =，∴将3x =代入抛物线方程，则 2.25m y =-，∴限度为6 2.250.5 3.25m --=.故选：B.11．已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的33倍，若其外接球的表面积为60π，则该棱柱的底面边长为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】先设底面边长为a ，从而用a 表示出棱柱的高（它的一半即为球心到底面的距离d ）和底面外接圆的半径r ，再由球的表面积求出球的半径，然后利用222R r d =+即可列式求解.【详解】设该棱柱的底面边长为a ，则该棱柱的高为33a ，设正三角形的外接圆的半径为r ，则由正弦定理得2πsin 3ar =，即3a r =，设其外接球的半径为R ，则24π60π=R ，即215R =，又22236a R r ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以236a =，即6a =，则该棱柱的底面边长为6，故选：C.12．已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】A【分析】因为1//OQ PF ，O 是12F F 的中点，所以Q 为PF 2的中点．又2QF OP ⊥，2F 到渐近线b y x a =的距离为b ，得出21QF F ∠的余弦值，在△QF 2F 1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】根据对称性不妨设P 为第一象限的点，∵O 为F 1F 2的中点，又1//OQ PF ，∴Q 为PF 2的中点，又F 2（c ，0）到b y x a=的距离22bc d b a b ==+，∴|PF 2|＝b ，∴|QF 2|＝2b ，连接1QF ，所以12222b QF QF a a =+=+，又|F 1F 2|＝2c ，∵PO 的斜率为b a，又QF 2⊥PO ，∴QF 2的斜率为a b -，∴21tan a QF F b ∠=，∴21cos b QF F c∠=，在△QF 2F 1中，由余弦定理可得：224242222b b c a b b c c ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=⋅⋅，化简可得a ＝b ，∴双曲线C 的离心率为221b a+＝2.故选：A.四、填空题13．写出使“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值___.【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）【分析】由双曲线焦点在x 轴上的特征求解即可.【详解】∵方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线，则030m m >⎧⎨-<⎩，即3m >，∴“方程2213x y m m+=-表示焦点在x 轴上的双曲线”的m 的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.14．已知变量x ，y 满足约束条件320x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_____.【答案】5【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由2z x y =+得1122y x z =-+，平移直线1122y x z =-+，由图象可知当直线1122y x z =-+经过点A 时，直线1122y x z =-+的截距最大，此时z 最大，由23y x x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，此时1225z =+⨯=，故答案为：5.15．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，则圆台O ′O 的母线长为________cm.【答案】9【分析】设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，利用相似知识，求出圆台的母线长．【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y ，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x 、4x ，根据相似三角形的性质得334x y x=+．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm ．故答案为9cm ．【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.16．关于曲线:1C x x y y +=有如下四个命题：①曲线C 经过第一、二、四象限；②曲线C 与坐标轴围成的面积为π2；③直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点；④直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是________（填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分0,0x y ≥≥，0,0x y <>，0,0x y ><，0,0x y <<四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当0,0x y ≥≥，可得曲线方程为221x y +=，为圆的一部分；当0,0x y <>，可得曲线方程为221y x -=，为双曲线的一部分；当0,0x y ><，可得曲线方程为221x y -=，为双曲线的一部分；当0,0x y <<，曲线方程为221x y --=，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C 经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S ＝21ππ144S =⋅⋅=，故②不正确；③中，因为直线x y m +=的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O 到直线的距离||12m d ==，0m >，则2m =时，直线与曲线相切，只有一个交点，当()0,2m ∈时，直线与曲线有两个交点，当2m >或0m ≤时，直线与曲线无交点，所以直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线x y m -=与曲线C 有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.五、解答题17．已知函数2()1f x x x m =-+，R m ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()10f x x m --+<.【答案】(1)()2,2-(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出m 的范围；（2）化简不等式，然后讨论1m =，1m >，1m <三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【详解】（1）因为不等式()0f x >的解集为R ，则240m ∆=-<，解得22m -<<，所以实数m 的范围为()2,2-；（2）不等式()10f x x m --+<化简为2(1)0x m x m -++<，即(1)()0x x m --<，因为方程2(1)0x m x m -++=的两根分别为11x =，2x m =，当1m =时，不等式化为2(10)x -<，此时不等式无解，当1m >时，解不等式可得1x m <<，当1m <时，解不等式可得1m x <<，综上可得：当1m =时，不等式的解集为∅，当1m >时，不等式的解集为(1,)m ，当1m <时，不等式的解集为(,1)m ．18．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为SD 、BC 的中点.(1)证明：//EF 平面SAB ；(2)若平面SAD ⊥平面ABCD ，且△SAD 是边长为2的等边三角形，120BAD ∠=︒.求四棱锥S ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据题意，取SA 中点M ，连接BM ，EM ，即可证明MEFB 为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）根据题意，取AD 的中点N ，连接SN ，由线面垂直的判定定理即可得到SN ⊥平面ABCD ，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.【详解】（1）证明：取SA 中点M ，连接BM ，EM .又E 分别为SD 的中点，所以//ME AD ，且ME ＝12AD ，因为底面ABCD 为菱形，F 分别为BC 的中点，所以BF ＝12AD ，//BF AD ，所以//ME BF ，且ME ＝BF .所以MEFB 为平行四边形.所以//EF BM .又因为EF ⊄平面SAB ，BM ⊂平面SAB ，所以//EF 平面SAB .（2）取AD 的中点N ，连接SN ，因为SAD 是边长为2的等边三角形，所以SN ⊥AD ，因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ，SN ⊂平面SAD ，所以SN ⊥平面ABCD ，因为菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AD ＝2，所以3sin 22232ABCD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯=，因为SA ＝AD ＝SD ＝2，N 是AD 的中点，易得SN ＝3.所以三棱锥S ﹣ABC 的体积V ＝11233233ABCD S SN ⋅=⨯⨯=.19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析【分析】（1）根据概率和为1算出a 的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a +0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a ＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：x ＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x ，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x ）×0.1+0.08＝0.2，解得x ＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.20．已知圆心为C 的圆过点()3,0A ，()2,3B ，在①圆心在直线10x y --=上；②经过点()1,2M -这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C 的方程；(2)经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，已知切线长为4，求点P 的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，()2214x y -+=(2)()3,4或()5,2【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线AB 垂直平分线所在直线方程，然后与直线10x y --=联立，即可得到圆心，从而得到圆C 的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.【详解】（1）若选①，∵圆过点()3,0A ，()2,3B ，则直线AB 的斜率为3323k ==--，所以与直线AB 垂直的直线斜率32k '=，且AB 的中点为323,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，即53,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则AB 的垂直平分线所在直线方程为335232y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即310x y --=，又知圆心在直线10x y --=上，∴31010x y x y ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得1,0x y ==，所以圆心()1,0C .半径为2r AC ==.所以圆的标准方程为()2214x y -+=.若选②，设圆的方程为220x y Dx Ey F +++==，（其中2240D E F +->），则930432301420D F D E F D E F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解得2,0,3D E F =-==-，所以，圆方程为22230x y x +--=，化为标准方程为()2214x y -+=.（2）设(),7P x x -，∵经过直线70x y +-=上的点P 作圆C 的切线，切线长为4，∴()()()22221744x x -+-=+，化简得22165020x x -+=，∴28150x x -+=，解得3x =或5x =，∴点P 的坐标为()3,4或()5,2.21．已知曲线C 上任意点到点F （1，0）距离比到直线x +2＝0的距离少1.(1)求C 的方程，并说明C 为何种曲线；(2)已知A （1，2）及曲线C 上的两点B 和D ，直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2＝1，求证：直线BD 经过定点.【答案】(1)y 2＝4x ，抛物线；(2)证明见解析.【分析】（1）设曲线C 上的点P （x ，y ），化简方程22(1)1|2|x y x -++=--，即得解；（2）由直线AB ，AD 的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线BD 的方程，将求出C 的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标．【详解】（1）设曲线C 上的点(,)P x y ，由题意22(1)1|2|x y x -++=--，且2x >-，整理可得：24y x =；可得曲线C 的方程为24y x =,曲线为抛物线；（2）证明：显然直线AB ，BD 的斜率存在，设1(B x ，1)y ，2(D x ，2)y ，11121y k x -=-，22221y k x -=-，利用齐次式方程，所以设直线BD 的方程为(1)(2)1m x n y -+-=，设抛物线的方程为2[(2)2]4[(1)1]y x -+=-+，整理可得：2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，将(1)(2)1m x n y -+-=代入2(2)4(2)4(1)0y y x -+---=，整理可得：2(2)4(2)[(1)(2)]4(1)[(1)(2)]0y y m x n y x m x n y -+--+----+-=，即22(14)(2)(44)(1)(2)4(1)0n y m n x y m x +-+-----=，两边同时除以2(1)x -可得：222(14)()(44)4011y y n m n m x x --+⋅+-⋅-=--，△0>，设方程的根为1k ，2k ，则124414m n k k n-+=-+，由题意可得44114m n n --=+，整理可得41m -=，与(1)(2)1m x n y -+-=对应项相等，可得14x -=-且20y -=，解得3x =-，2y =，即直线(1)(2)1m x n y -+-=恒过定点(3,2)-，即可证得直线BD 恒过定点(3,2)-．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为105，短轴长为23.(1)求C 的方程；(2)过C 的右焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB += ，过点M 作AB 的垂线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点.记MFD △，△OED （O 为坐标原点）的面积分别为1S ､2S ，求1221S S S S +的取值范围.【答案】(1)22153x y +=(2)97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由短轴长可求出b ，由离心率的值可求出a ，即可求出椭圆方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点M 的坐标，由直线MD 的方程可求出点D ,E 的坐标，求出MFD △，△OED 的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.【详解】（1）由题意可得223b =，解得3b =，221015c b e a a ==-=，解得，25a =，所以椭圆的方程为：22153x y +=；（2）由（1）得右焦点(2F ，0)，由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为2x my =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，因为点M 满足0MA MB += ，所以M 为AB 的中点，联立222153x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得：22(53)6290m y my ++-=，因为F 在椭圆内部，显然0∆>，1226253m y y m +=-+，122953y y m -=+，所以AB 的中点M 的纵坐标为23253m m -+，代入直线l 的方程为22325225353m x m m m -=⋅+=++，即252(53M m +，232)53m m -+，即直线ME 的方程为225232()5353m y m x m m =---++，令0x =，解得22253E m y m=+，即222(0,)53m E m +，令0y =，解得22253D x m =+，即222(53D m +，0)，12DOE S OD OE =⋅ ，12MFD S MF MD = ，由题意可得△DOE ∽△DMF ，所以DOOEDM MF =，设DO OEk DM MF ==，则212S k S =，而2222222222228||84(53)||18(1)9(1)522232()()535353OD m k DM m m m m m m +====++--++++，所以21222149(1)9(1)4S S m S S m ++=++，设211t m =+>，令12211649981()944S S t f t t S S t t ⎛⎫ ⎪=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，1t >，函数在()1,+∞单调递增，所以4997()9436f t >+=，所以1221S S S S +的取值范围为97,36⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
高二上学期期末考试数学(文)试题及答案 (6)
高二年级期末统考数学（文科）试卷命题学校： 命题人：参考资料：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．下列变量是线性相关的是( )A ．人的身高与视力B ．角的大小与弧长C ．收入水平与消费水平D ．人的年龄与身高 2．给出以下问题：①求面积为1的正三角形的周长； ②求所输入的三个数的算术平均数； ③求所输入的两个数的最小数； ④求函数=)(x f3x x 3x x 22<≥,,，当自变量取0x 时的函数值.其中不需要用条件语句来描述算法的问题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( )A ．①—综合法，②—分析法B ．①—分析法，②—综合法C ．①—综合法，②—反证法D ．①—分析法，②—反证法4．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1t 和2t ，已知两人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ）A ．t 1和t 2有交点(s,t)B ．t 1与t 2相交，但交点不一定是),(t s)d b )(c a )(d c )(b a ()bc ad (n K ++++-=22C ．t 1与t 2必定平行D ．t 1与t 2必定重合5．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是红球”6.设i 为虚数单位,a,b ∈R,下列命题中：①(a+1)i 是纯虚数；②若a>b,则a+i>b+i;③若(a 2-1)+(a 2+3a+2)i 是纯虚数，则实数a=±1；④2i 2>3i 2.其中，真命题的个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，小黑圆表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连．连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )A ．26B ． 24C ．20D ．199.在等腰三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内作一条射线CD 与线段AB 交于点D ，则AD<AC 的概率是( ).A.22 B.41 C.222 D.43 10.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k 的值是6，则满足条件的整数S 0的个数是( ) A.31 B.32 C.63 D.6411．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A*D ，A*C 的分别是( )开始 输出k 结束k=0，S=S 0k=k+1S>0?是否S=S-2k 4 63 7 561212 86 BAA ．(1)、(2)B ．(2)、(3)C ．(2)、(4)D ．(1)、(4)12．设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.)13．下面是关于复数z ＝i12+-的四个命题：P 1：|z|＝2；P 2：z 2＝2i ；P 3：z 的共轭复数为1＋i ；P 4：z 的虚部为-1.其中的真命题个数为 .14．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n)，若e i 恒为0，则R 2等于________．15．把十进制108转换为k 进制数为213，则k=_______. 16．正偶数列有一个有趣的现象：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30，…按照这样的规律，则2016在第 等式中.三、解答题( 本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17． (Ⅰ)计算（本小题满分6分）：))(()(i 1i 45i 54i 222--++）（；(Ⅱ)（本小题满分6分）在复平面上，平行四边形ABCD 的三个顶点A,B,C 对应的复数分别为i,1,4+2i.求第四个顶点D 的坐标及此平行四边形对角线的长. 18．（本小题满分12分）.按右图所示的程序框图操作：(Ⅰ)写出输出的数所组成的数集． (Ⅱ)如何变更A 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}n 2的前7项？(Ⅲ)如何变更B 框内的赋值语句，使得根据这个程序框图所输出的数恰好是数列{}2n 3-的前7项？19．（本小题满分12分）.设f(x)331x +=，先分别计算f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.20．（本小题满分12分）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A 、B 、C ，田忌的三匹马分别为a 、b 、c 。
辽宁省丹东市第二中学2020年高二数学文上学期期末试题含解析
辽宁省丹东市第二中学2020年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的极大值为6，那么等于（）A.6B.0C.5D.1参考答案：A2. 已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（）．A．(－∞,2]B．(－∞, －2] C．[2,+∞)D．[－2,+∞)参考答案：C、按题意在上单调，而在时为减函数，∴为减函数，时，，，∴．选．3. 如果数据x1、x2、…、x n的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3x n+5 的平均值和方差分别为（）A.和S2B. 3+5和S2C. 3+5和9S2D.3+5和9S2+30S+25参考答案：C4. 曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】直线与圆锥曲线的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；直线与圆．【分析】曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0）是圆心在（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤3，且k＞0，由此能求出结果．【解答】解：∵曲线x2+y2﹣6x=0（y＞0），∴（x﹣3）2+y2=9（y＞0）为圆心在（3，0），半径为3的半圆，它与直线y=k（x+2）有公共点的充要条件是圆心（3，0）到直线y=k（x+2）的距离d≤3，且k＞0，∴，且k＞0，解得0＜k≤．故选C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的灵活运用．5. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A 个B 个C 个D 个参考答案：A6. 曲线 (为参数)与坐标轴的交点是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B7. 用数学归纳法证明:…＞(n ∈N *，且n ＞2)时，第二步由“n=k 到n=k+1”的证明，不等式左端增添代数式是（ ）A ． B. ＋－C ．＋D ．－参考答案： B 略8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）参考答案： B 略9. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）.A. B .C .D.参考答案：B10. 已知x ＞0，y ＞0，且x+y ＝1，求的最小值是A 、4B 、6C 、7D 、9参考答案：D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，，则点到椭圆左焦点的距离为 .参考答案：4 略12. 设等差数列的前n 项和为,若,,则当取最小值时,n 等于＿＿＿＿＿＿A ．B ．C ．D ．参考答案：613. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则b=_________.参考答案：14. 平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是．参考答案：k＜﹣1或k＞1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k （x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．15. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为_________.参考答案：略16. 方程的曲线即为y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），下列命题中正确的是．（请写出所有正确命题的序号）①函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称；②函数y=f（x）在R上是单调递减函数；③函数y=f（x）的图象不经过第一象限；④函数F（x）=9f（x）+7x至少存在一个零点；⑤函数y=f（x）的值域是R．参考答案：②③⑤【考点】曲线与方程．【分析】不妨取λ=﹣1，根据x、y的正负去绝对值，将方程化简，得到相应函数在各个区间上的表达式，由此作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：不妨取λ=﹣1，方程为=﹣1，图象如图所示．对于①，不正确，②③⑤，正确由F（x）=9f（x）+7x=0得f（x）=﹣x．因为双曲线的渐近线为y=±x所以函数y=f（x）与直线y=﹣x无公共点，因此F（x）=9f（x）+7x不存在零点，可得④不正确．故答案为：②③⑤．17. 函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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福建师大附中2012—2013学年度上学期期末考试高二数学文试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题：（ 每小题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（***） A.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0≥xB.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>xC.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｄ. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2.某物体的位移S （米）与时间t （秒）的关系是23)(t t t S -=,则物体在2t =秒时的瞬时速度为（***）A. 1m/sB. 2m/sC. 1-m/sD. 7m/s3．已知定点A 、B ，且2||=AB ，动点P 满足1||||=-PB PA ，则点P 的轨迹为（***） A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线 4．抛物线 2x y = 的准线方程是（***）A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 05．:p 若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，:q 若2->m ，则022=-+m x x 有实根，则（***） A.""q p ∨为真 B.""p ⌝为真 C.""q p ∧为真 Ｄ.""q ⌝为假6. 某公司的产品销售量按函数)(t f y =规律变化，在],[b a t ∈时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是（***）7. 设 :p “0=k ”, :q “直线1:+=kx y l 与抛物线x y 42=只有一个公共点”，b a则p 是q （***）条件A. 充分且非必要B. 必要且非充分C. 充分且必要D. 既非充分也非必要8.曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（***）A. 1y x =-+B.1y x =-C.y ex e =-D.y ex e =-+9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能．．．是（***） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线10.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）C. 12 D. 1211.已知数列{}n a 满足2112,4(2),3n n n a a a n --=-=≥记132n n n a T -=，如果对任意的正整数n ，都有n T M ≥，则实数M 的最大值为（***）A. 2B. 3C. 4D. 512．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是（***）A ．30B ．45C ．60D ．90二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则n a = ******14．点P 在双曲线122=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是 *****15．设12,F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，则2PF = *****16．已知点),(y x P 满足椭圆方程1222=+y x ，则1-x y的最大值为***** 三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17. （本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sin cos b A B =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.18. （本题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且13248,12a a a a +=+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值. 19．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点坐标为，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求AP FP ∙的取值范围.20．（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，点O 为坐标原点. （Ⅰ）证明：AOB ∠为钝角.（Ⅱ）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程;21.如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形． （Ⅰ）请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．，求阴影部分的边缘线OC 的方程;（Ⅱ）如何画出切割路径EF，使得剩余部分即直角梯形ABEF 的面积最大？并求其最大值．22. 如图，设AB 、''A B 分别是圆22:4O x y +=和椭圆22:14x C y +=的弦，且弦的端点在y 轴的异侧，端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.（Ⅰ）若弦''A B 所在直线斜率为1-，且弦''A B 的中点的横坐标为45，求直线''A B 的方程； （Ⅱ）若弦AB 过定点3(0,)2M ，试探究弦''A B 是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.BCEx参考答案1.B2.C3.B4.B5.A6.D7. A8.B9.D 10.D 11.A 12.C 13.3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩; 14.22441x y -=; 15. 23PF =; 16.17.解： (I)由sin cos b A B =及正弦定理sin sin a bA B=，得sin B B =，所以tan B =(0,)B π∈,∴ 3B π=(Ⅱ)由sin 2sin C A =及sin sin a bA B=，得2c a =，由3b =及余弦定理2222cos b a c a B =+-，得229a c ac =+-,所以a =c = 18.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ,112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由(1)可得1()(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+ 因1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以212k k a a S +=，从而2(2)2(2)(3)k k k =++，即2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍去），因此6k =19.解：（I）依题意得：2222112b a c e c a a b c ⎧=⎪=⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩，∴椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）设(,)P x y ，(2,0),(1,0)A F -，则222AP FP x x y ∙=+-+---（*）点P 满足223412x y +=，223(1)4x y ∴=-代入（*）式，得：211(22)4AP FP x x x ∙=++-≤≤ 根据二次函数的单调性可得：AP FP ∙的取值范围为[0,4] 20.解：(I)依题意设直线l 的方程为：1y kx =+（k 必存在）2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160k ∆=+>∴设直线l 与抛物线的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212124,1,44x x x x y y =-==121230x x y y ∴+=-<，依向量的数量积定义，cos 0AOB ∠<即证AOB ∠为钝角 (Ⅱ) 由（I ）可知:2124(1)AB x k =-=+,d =,∴142A OB S A B d ∆===,k ∴= ∴直线方程为1,1y y =+=+21. 解：(I)以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤.(Ⅱ)要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<， ∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-， 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -. 2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，设梯形ABEF 的面积为()S t ，则 []1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++2155(1)222t =--+≤. ∴当1t =时，5().2S t =故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m .22． 解：（Ⅰ）由题意得：直线''A B 的方程为y x m =-+22225844044y x m x mx m x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，280160m ∆=->，∴设''1122(,),(,)A x y B x y12441255x x m m +∴==∴=，将1m =代入∆检验符合题意，故满足题意的直线''A B 方程为：1y x =-+（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：224.x y +=分 设11(,)A x y 、22(,)B x y 、'1(,)A x m 、'2(,)B x n ，∵点A 在圆O 上， ∴22114x y +=，………①∵点'A 在椭圆C 上， ∴22114x m +=，………② 联立方程①②解得：12y m =，同理解得：2.2y n = ∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x ∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=， 化简得12212132y x y x x x -=-直线''A B 的方程为：21112122()2y y y y x x x x --=--，即212112y y y x x x -=+-1221212()y x y x x x --， 由12212132y x y x x x -=-得直线''A B 的方程为：212112y y y x x x -=+-34，∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M .解法二：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∵圆O 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍可得到椭圆C ， 又端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x 由弦AB 过定点3(0,)2M ，猜想弦''A B 过定点'3(0,)4M .∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=……①''11113312422A M y y k x x --==,''22223312422B M y y k x x --== 由①得''A M k =''B M k ，∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M .。