2012届高考数学课时复习题37

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A ．①②③
B ．②③④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
解析：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
答案：D
2．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①和②
解析：由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．
答案：B
3．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆
B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2
，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的面积S ＝πab D ．以上均不正确
解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．
答案：B
4．下列几种推理过程是演绎推理的是( )
A ．两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A 和∠
B 是两条平行直线的内错角，则∠A ＝∠B
B ．金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电
C ．由圆的性质推测球的性质
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等 ，
(大前提) ∠A 与∠B 是两条平行直线的内错角， (小前提)
∠A ＝∠B . (结论)
B 是归纳推理，
C 、
D 是类比推理．
答案：A
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；
③“(mn )t ＝m (nt )”类比得到“(a·b )·c ＝a ·(b·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；
⑤“|mn |＝|m ||n |”类比得到“|a·b |＝|a |·|b |”；
⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c
b·c ＝a b ”．
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：只有①②对，其余错误．
答案：B
6．如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－1
2，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算
出“黄金双曲线”的离心率e 等于( ) A.5＋1
2 B.5－12
C.5－1
D.5＋1
解析：B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0)．在“黄金双曲线”中， ∵FB ⊥AB ，∴FB ·AB ＝0.又FB ＝(c ，b )，AB ＝(－a ，b )．
∴b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2＝ac .
在等号两边同除以a 2
得e ＝5＋12. 答案：A
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：V 1V 2＝13S 1h 113
S 2h 2＝(S 1S 2)·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶8
8．方程f (x )＝x 的根称为f (x )的不动点，若函数f (x )＝
x a (x ＋2)
有唯一不动点，且x 1＝1 000，x n ＋1＝1f ⎝⎛⎭⎫1x n (n ∈N *)，则x 2 011＝________. 解析：由x a (x ＋2)
＝x 得ax 2＋(2a －1)x ＝0. 因为f (x )有唯一不动点，
所以2a －1＝0，即a ＝12
. 所以f (x )＝2x
x ＋2.所以x n ＋1＝1f ⎝⎛⎭⎫1x n ＝2x n ＋12＝x n ＋12. 所以x 2 011＝x 1＋12×2 010＝1 000＋20102
＝2 005. 答案：2 005
9．(2009·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，_______，________，T 16T 12
成等比数列． 解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，
T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12
＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12
成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 8
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不相等，则该两角不是对顶角；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等． 解：(1)两个角是对顶角，
则两角相等，大前提
∠1和∠2不相等，小前提
∠1和∠2不是对顶角．结论
(2)每一个矩形的对角线相等，大前提
正方形是矩形，小前提
正方形的对角线相等．结论
11．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34
； sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34
； sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34
；…. 由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．
证明：归纳已知可得：
sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34
. 证明如下：
∵sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)
＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ⎝⎛⎭
⎫32cos θ＋12sin θ ＝sin 2θ＋34cos 2θ－14sin 2θ＝34
. ∴等式成立．
12．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5.
(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n
的大小规律．
解：(1)S n ＝5n ＋n (n －1)2
×2＝n (n ＋4)． (2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]， ∴T n ＝4n 2＋n .
∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105. S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n ＜T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n ＜T n .。