因式分解【提取公因式、公式法】(新教材)111
《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个 整式的积的形式，这种变 形叫做把这个多项式因式 分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合 并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计 算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公 式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类， 其因式分解方法相对固定，公式法是其 中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我 们可以使用公式法进行因式分解。首先计 算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式 的值选择合适的公式进行因式分解。当判 别式大于0时，二次多项式有两个实根， 可以使用公式法分解为两个一次多项式的 乘积；当判别式等于0时，二次多项式有 一个重根，可以分解为一个一次多项式的 平方；当判别式小于0时，二次多项式没 有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十 字相乘法、分组分解法等 。
因式分解的作用
因式分解—提取公因式说课稿
因式分解—提取公因式说课稿一教材分析：1、教材的地位和作用本课教材所处位置，是人教版八年级上册第十四章第三节：因式分解—提取公因式，次节内容十分重要，为以后学习公式法—分解因式打下了根底。
2、教学目标：3、(1).知识与技能使学生了解分解因式的意义，因式分解的方法，能熟练地分解因式。
4、〔2〕.过程与方法通过本节教学，培养学生的想象能力、理论联系实际能力、分析解决问题的能力；并向学生渗透"对立统一"、"实践第一"等辩证唯物主义观点；5、〔3〕．情感、态度与价值观对学生进行爱国主义思想教育；培养学生良好的个性品质和学习习惯。
6、3、教学重难点7、重点：因式分解的方法。
8、难点：因式分解的意义及方法二学法指导：1、学情分析：鉴于初二年级学生的年龄特点，他们对概念的理解能力不强，精神不能长时间集中，但思维比拟活泼。
2、知识建构、心理调节方法的指导：在本节课的教学中要帮助学生学会应用观察、分析、比拟等方法，得出解决问题的方法。
使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学探究的方法，而且体验到探究的甘苦，让他们在学习的过程中获得愉快和进步。
三教学方法：采取启发式教学法及情感教学，创设问题情境，引导学生主动思考，用大量的实例和生动的语言激发学生学习兴趣，调节学习情绪。
并利用计算机和投影胶片辅助教学，增大教学密度。
四教学过程：本节课设计了以下几个教学环节：第一环节：创设情境，引入新知，第二环节：观察感知，理解概念，第三环节：例题示范，学会应用，第四环节：稳固概念，学以致用，第五环节：归纳小结，反思提高，第六环节：课后思考，布置作业。
根据教学设计进行教学内容。
借助多媒体辅助手段，创设问题情境，引导学生观察、分析、组织讨论、合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后进行总结，及时进行反应应用和反思式总结。
依据是?新课标?，学生是学习的主人，而教师在学生学习中只是组织者、引导者，培养学生学会学习，从学生现有生活经验的根底上，让学生感知知识的过程，使学生人人都能获得必要的数学，人人都获得有用的数学，不同的人获得不同的开展。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
因式分解法知识点
因式分解法知识点一、知识概述《因式分解法》①基本定义：因式分解法呢，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
简单说，就像是把一个大的“数学组合体”拆成几个小“零件”相乘的样子。
比如说多项式$x^2 - 4$，把它变成$(x + 2)(x - 2)$，这就是因式分解。
②重要程度：在数学这个学科里，它可太重要了。
在解方程里经常要用，如果不会因式分解，很多方程都解不出来。
而且在分式运算、化简代数式等方面也是超级重要的。
就好比在一个建筑工程里，它是基础中的基础，要是不会，后面一系列高楼大厦（复杂的数学问题）都盖不起来。
③前置知识：那得先掌握整式乘法的知识，像单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式这些。
还得知道基本的代数式运算规则，加减乘除啥的。
比如说不知道乘法规则，怎么能知道怎么把一个多项式拆成乘法的形式呢？④应用价值：实际应用啊，就比如在物理计算里，如果要化简一个关于力或者速度的表达式，可能就用到因式分解把式子变简单去计算。
再比如安排人员分组计算的时候，若关系用式子表示出来，因式分解能帮助快速算出分组个数和每组人数的关系。
二、知识体系①知识图谱：在数学这个大乐园里，因式分解算是代数部分的一个重要“景点”。
它跟很多地方都有联系，像是解方程的桥上、分式化简的城堡旁。
②关联知识：跟整式、方程、分式、代数式求值都有关系啊。
就像在一个大家庭里，它和其他成员相互帮助，整式为它提供原材料，方程依靠它来破解答案，分式需要它梳理关系，代数式求值借助它来变身简化。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，这个对于初学者有点难。
因为有时候要观察多项式的特点，不是一眼就能看出来怎么分解的。
- 关键点：关键就在于对多项式的形式要特别敏感。
看到多项式得能想到它可能用哪种分解方法，比如看到平方差形式，就知道可以用平方差公式。
④考点分析：- 在考试中的重要性：考试里经常出现啊，特别是在代数部分的考试中。
不管是选择题、填空题还是解答题，都有可能露面。
因式分解的基本方法
一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式，十字相乘法分解 注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是_______________，且两项的____________相反； ②每一项都可以化成______________的平方形式； ③右边是_______________________________ 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于________________；②左边首末两项符号____________且均能写成_____________的完全平方式； ③左边中间一项是_____________________，符号_____________；④右边是这两个数或式的和(或差)的_____________，其和或差由________________的符号决定. 因式分解的基本方法一、提公因式【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶ 232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【例 2】分解因式：⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y - ⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+； ⑵32461512a a a -+-【例 3】（2019•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ） A 、﹣12 B 、﹣32 C 、38 D 、72【例 4】分解因式⑴ 55()()m m n n n m -+- ⑵()()()2a ab a b a a b +--+【巩固】 分解因式：1. 2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【例 5】若（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2E ，则E 是（ ） A 、1﹣q ﹣p B 、q ﹣p C 、1+p ﹣q D 、1+q ﹣p【例 6】利用因式分解计算：2100﹣2101=（ ）A 、﹣2B 、2C 、2100D 、﹣2100【例 7】观察下列各式：①abx ﹣adx ；②2x 2y+6xy 2；③8m 3﹣4m 2+2m+1；④a 3+a 2b+ab 2﹣b 3；⑤（p+q ）x 2y ﹣5x 2（p+q ）+6（p+q ）2；⑥a 2（x+y ）（x ﹣y ）﹣4b （y+x ）．其中可以用提公因式法分解因式的有（ ） A 、①②⑤ B 、②④⑤ C 、②④⑥ D 、①②⑤⑥【例 8】某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：﹣12xy 2+6x 2y+3xy=﹣3xy•（4y ﹣______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ） A 、2x B 、﹣2x C 、2x ﹣1 D 、﹣2x ﹣l【例 9】﹣6x n ﹣3x 2n 分解因式正确的是（ ） A 、3（﹣2x n ﹣x 2n ） B 、﹣3x n （2﹣x n ） C 、﹣3（2x n +x 2n ） D 、﹣3x n （2+x n ）【例 10】分解因式：x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ）= ．二、公式法【例 11】分解因式：⑴44a b - ⑵2249()16()m n m n +-- (3)(2020年十堰中考题)34xy xy -224()()a x y b y x -+-（）【例 12】分解因式：⑴(深圳市中考)2242x x -+= ； ⑵(泸州市中考)244ax ax a -+= ； ⑶2844a a --= ； ⑷2292416x xy y -+=【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++【例 13】（2020•铁岭）若多项式x 2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值可以是（ ） A 、4 B 、﹣4 C 、±2 D 、±4【例 14】（2020•玉林）因式分解4﹣4a+a 2，正确的是（ ）A 、4（1﹣a ）+a 2B 、（2﹣a ）C 、（2﹣a ）（2+a ）D 、（2+a ）2【例 15】（2020•四川）下列各式正确的是（ ）A 、a ﹣（b+c ）=a ﹣b+cB 、x 2﹣1=（x ﹣1）2C 、a 2﹣ab+ac ﹣bc=（a ﹣b ）（a+c ）D 、（﹣x ）2÷x 3=x （x≠0）【例 16】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x □﹣4y 2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ） A 、2种 B 、3种 C 、4种 D 、5种 【例 17】在多项式①x 2+2xy ﹣y 2；①﹣x 2﹣y 2+2xy ；①x 2+xy+y 2；①4x 2+1+4x 中，能用完全平方公式分解因式的有（ ） A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④【例 18】（2020•新疆）利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．【例 19】若（x+y ）2﹣6（x+y ）+9=0，则x+y= ．【例 20】若x 2﹣y 2=30，且x ﹣y=﹣5，则x+y 的值是（ ）A 、5B 、6C 、﹣6D 、﹣5【例 21】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是 、 ．【例 22】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？1.（2020•西宁）已知y=2x ，则4x 2﹣y 2的值是 ________________．2.（2020•荆州）分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= _______________．3.（2020•莆田）化简：（a+1）2﹣（a ﹣1）2= _________________．4.（2018•太原）分解因式x （x+4）+4的结果________________ ．5.如果x+y=﹣1，x ﹣y=﹣2008，那么x 2﹣y 2= __________________ ．6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、﹣a 2+b 2 B 、﹣x 2﹣y 2 C 、49x 2y 2﹣z 2 D 、16m 4﹣25n 2p 27.一次课堂练习，小明做了如下4道因式分解题，你认为小明做得不够完整的一题是（ ） A 、x 2﹣2xy+y 2=（x ﹣y ）2 B 、x 2y ﹣xy 2=xy （x ﹣y ） C 、x 3﹣x=x （x 2﹣1） D 、x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x+y ）8.x 2﹣y 2=48，x+y=6，则x= ，y= ． 9.把下列各式因式分解 （1）﹣5a 2+25a ；（2）a 2﹣9b 2；（3）2x （a ﹣3）﹣y （3﹣a ）；（4）3x 3﹣12x 2y+12xy 2．10.若a*b=a 2+2ab ，则x 2*y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）A 、x 2（x 2+2y ）B 、x （x+2）C 、y 2（y 2+2x ）D 、x 2（x 2﹣2y ）11.已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．12.已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．课后作业。
八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容，其中14.3.1节是提公因式法。
这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。
教材通过引入提公因式法，使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法，为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑，特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行解答和指导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用，以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个具体的例子，让学生观察和分析，引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。
2.讲解提公因式法：讲解提公因式法的概念和步骤，通过示例进行讲解，让学生理解和掌握提公因式法的应用。
3.练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立进行因式分解，然后进行小组讨论，共同解决问题。
4.总结与拓展：对提公因式法进行总结，引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法1因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正（例如：??1332xxxx）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
《提取公因式法》因式分解
规划上，应该根据自己的实际情况和学习进度，合理 安排时间进行学习和练习。同时，要注重系统性学习 ，把相关的知识点串联起来，形成完整的知识体系。
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04
习题与解析
习题一：提取公因式法
详细描述
2. 将公因式提取出来，可以使用 乘法分配律。
总结词：提取公因式法是因式分 解的一种基本方法，通过找到多 项式中的公因式，将其提取出来 ，使多项式得到简化。
1. 找到多项式中的公因式，通常 是最简公分母或同类项的系数。
3. 将提取公因式后的多项式进行 因式分解，得到若干个单项式。
因式分解的应用
01
02
03
解决数字计算问题
通过因式分解可以解决一 些数字计算问题，例如简 化计算、求值、整除性问 题等。
解决几何问题
因式分解在几何中也有广 泛的应用，例如解三角形 的问题。
解决方程问题
通过因式分解可以解决一 些方程问题，例如解一元 二次方程等。
03
提取公因式法与因式分解 的关系
提取公因式法是因式分解的一种方法
对于初学者来说，提取公因式法可能比较抽 象，难以理解，尤其是当多项式项数较多时 ，更容易出现错误。
解决这个问题的方法包括：多看例题、多做 练习题，通过大量的实践来加深对提取公因 式法的理解和掌握。同时，要学会总结和归 纳提取公因式法的各种情况，以便更好地掌
握这种方法。
对后续学习的展望和规划
掌握提取公因式法之后，可以进一步学习其他的因式 分解方法，如分组分解法、十字相乘法等。同时，通 过不断的学习和实践，可以逐渐提高自己的数学水平 。
习题二：因式分解
总结词：因式分解是将一个多项式分解 为若干个单项式的乘积，每个单项式是 多项式的因式。
因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
20023 2 20022 2000 20023 20022 2003
六．利用分解因式计算： （1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 解：原式 =-3.14 ×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
九年级数学上册解一元二次方程因式分解法课件新人教版
(3)3x 2 ? 6 x ? ? 3 移项，得： 3 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 提公因式得： 3( x 2 ? 2 x ? 1) ? 0 所以 3( x ? 1) 2 ? 0 有 ( x ? 1) 2 ? 0 所以 x1 ? x2 ? 1 .
另一解法 :
(4)4x2 ?121? 0
移项：4x2 ? 121
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c).
（2）公式法:
a2-b2=(a+b)(a-b), a 2+2ab+b 2=(a+b)2.
” （3）“x2+(a+b)x+ab 型:
x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).
思考 ?
根据物理学规律,如果把一个物体从地 面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过x 秒物体离地高度（单位：米）为10x-4.9x2 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落 回地面吗？（精确到0.01S）
刻物体的高度是0m．
以上解方程 x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 的方法
是如何使二次方程降为一次的？
x ?10 ? 4 . 9 x ? ? 0 ①
x ? 0 或 10 ? 4.9x ? 0, ②
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：x(x?2)??x?2?? 0,
解 : 移项,合并同类项,得：
?x?2?x??1?? 0.
因式分解(提公因式法、公式法)
因式分解讲义一、概念因式分解：把一个多项式化成几个整式乘积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
二、因式分解方法1、提公因式法ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：（1）系数是整数时取各项最大公约数。
（2）相同字母（或多项式因式）取最低次幂。
（3）系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
2、公式法（1）平方差公式：即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
（2）完全平方公式：即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方。
口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。
同号加、异号减，符号添在异号前。
公式法小结：（1）公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
（2）选择公式的方法：主要看项数，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。
（3）完全平方公式要注意正负号。
【典型例题】1、下列从左到右是因式分解的是（ ）A. x(a-b)=ax-bxB. x 2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x 2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若2249a kab b ++可以因式分解为2(23)a b -，则k 的值为______3、已知a 为正整数，试判断2a a +是奇数还是偶数？4、已知关于x 的二次三项式2x mx n ++有一个因式(5)x +，且m+n=17，试求m ，n 的值5、将多项式3222012a b a bc -分解因式，应提取的公因式是（ ）A 、abB 、24a bC 、4abD 、24a bc6、已知(1931)(1317)(1317)(1123)x x x x -----可因式分解为()(8)ax b x c ++，其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c 等于（ ） A 、-12 B 、-32 C 、38 D 、727、分解因式（1）6()4()a a b b a b +-+ （2）3()6()a x y b y x --- （3）12n n n x x x ---+（4）20112010(3)(3)-+- （5）ad bd d -+； （6）4325286x y z x y -（10）（a －3）2－（2a －6） （11）－20a －15ax; （12）（m ＋n ）（p －q ）－（m ＋n ）（q ＋p ）8、先分解因式，再计算求值（1）22(21)(32)(21)(32)(12)(32)x x x x x x x -+--+--+ 其中x=1.5（2）22(2)(1)(1)(2)a a a a a -++--- 其中a=189、已知多项式42201220112012x x x +++有一个因式为21x ax ++，另一个因式为22012x bx ++，求a+b 的值10、若210ab +=，用因式分解法求253()ab a b ab b ---的值11、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A 、22x 4y +B 、22x 2y 1-+C 、224x y -+D 、224x y --12、分解下列因式（1）2312x - （2）2(2)(4)4x x x +++- （3）22()()x y x y +--（4）32x xy - （5）2()1a b -- （6）22229()30()25()a b a b a b ---++（7）2522-b a ； （8）229161b a +-； （9）22)()(4b a b a +--（10）22009201120101⨯- （11）22222100999897...21-+-++-13、若n 为正整数，则22(21)(21)n n +--一定能被8整除14、)10011)(9911()411)(311)(211(22222--⋅⋅⋅---15、在多项式①22x 2xy y +- ②22x 2xy y -+- ③22x xy+y + ④24x 1+4x +，（5）2161a +中，能用完全平方公式分解因式的有（ ）16、A 、①② B 、②③ C 、①④ D 、②④16、222)2(4)________(y x y x -=++ 222)(88)_______(8y x y x +=++。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(学生版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）A ．223(2)3x x x x +-=+-；B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ．例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ． 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________. 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）； （2） 3423424281535a b a b a b -+；（3）； （4）；（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx xa ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y -----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+；（11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --；（13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-；（15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+；（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；例14、已知1128a b ab -==，，求22332a b ab a b -++的值．例15、应用简便方法计算。
提取公因式和公式法
辅导学案学生姓名：__________因式，否则容易出现符号上的错误．【例题精讲】例1．把多项式分解因式时，应提取的公因式为__________①②③④例2．下列各式由左及右变形正确的是__________①②③④例3．若，则代数式的值等于__________ ．例4． (__________ )．例5．多项式的公因式是为：__________ ．例6．因式分解=__________ ．例7．的公因式是__________ ．例8．已知代数式的值是，求的值例9．若多项式则__________例10．用简便方法计算：__________ ．例11．把分解因式,某同学是这样分解的：你同意它的做法吗？如不同意，如何改正？例12．利用分解因式计算：（1）（2）．例13．将下列各式分解因式：（1）（2）；（3）；（4）；例14．把多项式因式分解，正确的是__________①②③④例15．已知，求的值【巩固练习】1．下列式子变形正确的是__________①②③④以上都不对2．把分解因式．3．多项式的公因式是__________ ．4．多项式的公因式是__________ ．5．已知：求：代数式的值．6．利用分解因式计算=__________ .7．下列各式从左到右的变形是正确的因式分解的选项为__________①②③④8．的公因式是__________①②③④9．把多项式分解因式时应提取的公因式为__________①②③④二、因式分解（公式法）【知识梳理】1．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．（1）由平方差公式反过来可得：．这个公式叫做因式分解的平方差公式．【说明】①利用平方差公式分解因式时，这个多项式一定要满足三个条件：这个多项式是两项式（或可以看成两项式）；每一项（除符号外）都是平方的形式；两项的系数异号．②因式分解时要注意最后的结果要分解到不能再分解为止．（2）由完全平方公式反过来可得：，．这两个公式叫作因式分解的完全平方公式．【说明】①利用完全平方公式分解因式时，这个多项式一定要满足三个条件：这个多项式是三项式；其中的两项是两个整式的平方和；还要有一项是这两个整式乘积的2倍．②用完全平方公式分解因式时，可以按照两数积的两倍前面的符号来选择运用哪一个完全平方公式．【注意】（1）如果多项式的首项是负数时，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提取公因式；（2）因式分解时，应先提取公因式然后再用公式法分解因式．【例题精讲】例1．分解因式：25（a+b）2-9（a-b）2．例2．若，则__________ ．例3．已知a、c满足2|a-2013|=2c-c2-1，求c a的值．例4．分解因式：__________例5．分解因式__________ ．例6．分解因式：__________ ．例7．如果是一个完全平方式，则的值为__________ 例8．已知，则__________ ．例9．计算：【巩固练习】1．计算：2．分解因式：__________ ．3．在实数范围内分解因式：__________ ．4．分解因式得__________①②③④5．下列多项式中能用平方差分解因式的是__________①②③④6．分解因式：9x2-12x+4．7．因式分解的结果是__________8．下列因式分解错误的是__________①②③④9．己知a，b为有理数，且a2+b2+2a+2b+2=0，试求a，b的值．10．在实数范围内因式分解：__________ ．11．已知a2+b2-8a-10b+41=0，求5a-b2+25的值．12．已知：x2+5y2-4xy-6y+9=0，求x、y的值．13．图9-55-2是用四张相同的长方形纸片拼成一个边长为大正方形，中央空白部分为边长为的小正方形，请利用图中阴影部分的面积的不同表示方法猜想一个关于的等式，并证明你的猜想。
(完整版)因式分解常用方法(目前最牛最全教案)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被宽泛地应用于初等数学之中，是我们解决很多半学识题的有力工具．因式分解方法灵巧，技巧性强，学习这些方法与技巧，不单是掌握因式分解内容所必要的，并且对于培育学生的解题技术，发展学生的思想能力，都有着十分独到的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，比如：（ 1） (a+b)(a- b) = a 2222-b) ；-b ---------a-b =(a+b)(a(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2——— a 2±2ab+b2=(a ± b) 2；(3) (a+b)(a 22333322；-ab+b ) =a+b ------ a+b =(a+b)(a-ab+b )(4) (a-b)(a 2+ab+b2 ) = a3-b3 ------a3-b3=(a -b)(a2+ab+b2) ．下边再增补两个常用的公式：2222(5)a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；(6)a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a2 +b2+c2-ab-bc-ca) ；例 .已知a，b，c是ABC 的三边，且a2b2c2ab bc ca ，则ABC 的形状是（）A. 直角三角形 B 等腰三角形C等边三角形 D 等腰直角三角形解： a2b2c2ab bc ca2a22b22c22ab2bc 2ca ( a b)2(b c) 2(c a)20 a b c三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn剖析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不可以运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有b，所以能够考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，而后再考虑两组之间的联系。
因式分解七步口诀
因式分解七步口诀因式分解七步口诀:首先提取公因式，其次考虑用公式，十字相乘排第三，分组分解排第四，几法若都行不通，拆项添项试一试，不能分解是答案。
因式分解口诀是什么因式分解七步口诀:首先提取公因式，其次考虑用公式，十字相乘排第三，分组分解排第四，几法若都行不通，拆项添项试一试，不能分解是答案。
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解的一般步骤：1、如果多项式的首项为负，应先提取负号；这里的“负”，指“负号”。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。
2、如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；要注意：多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1；提公因式要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
3、如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；4、如果用上述方法不能分解，再尝试用分组、拆项、补项法来分解。
因式分解常用公式1、平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2、完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²。
3、立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)。
4、立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5、完全立方和公式：a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³。
6、完全立方差公式：a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³。
7、三项完全平方公式：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²。
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初一年级数学练习
班级________________学号________________姓名__________________成绩___________
一、填空题：(''23612=⨯)
1．24(________)25=x ； 222_____][_________)(16
49=-+n b a 2．在各式右边的括号内前填写“＋”或“－”：
22)______()(y x y x +=--； 33)______()(a b b a -=-； 3．226153y xy xy -+的公因式是______________________；
3222)(6)(4m n b a n m ab ---的公因式是______________________；
4．)8_________)(___10
1(64)(_________22mn a n m -+=-； 5．分解因式：=++-mx x m mx 22______________________； 6．_____))(________1()1(1)1(2222b b b b b b b b b m +-=--+-+-+-； 7．22_)(_______________=++y y ； 2__)(_________36161________=+-
xy ； 22_________)
(________________)(6)(=+-+-x y y x ； 8．如果多项式1002++kx x 是一个完全平方式，那么=k _______________；
9．若22)9
13(811-=++x mnx mx ，则___________=-n m ； 10．如果2,42-==-xy y x ，那么=-32232y x y x _____________；
11．如果两个连续自然数的平方差等于23，那么其中较小的数是____________；
二、选择题：(''1243=⨯)
1．下列各题从左到右属于分解因式的是
（ ） A ．3)2(322-+=-+x x x x
B ．)1(22m n m m n m +=+
C ．mn m n m m 22)(22--=+-
D ．)2(33622b a ab ab b a -=-
2．下列因式分解中，错误的是
（ ） A ．)4)(4(414412-+=-x x x
B ．222)21(4141y x y xy x +=++
C ．22)21(441a a a +=++
D ．)110)(110(10012-+=+-m m m
3．下列多项式：①22b ab a ++；②229124y xy x ++；③mn n m 4422--；④
1)(2)(2++++y x y x ，其中可用完全平方公式分解因式的有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．化简222222)25()25)(35(2)35(-++-+++-++x x x x x x x x 的结果是（
）
A ．11022++x x
B ．25
C ．110+x
D ．以上都不对
三、因式分解：(''40104=⨯)
1．a a 68342+- 2．3322381
4121y x y x y x -+-
3．a a a 121
3131
23+- 4．224)3(b b a --
5．44322y x - 6．222248118b b a b a -+-
7．22)2()42)(2()2(b a b a b a b a +++-+- 8．1)2(2)2(222+---x x
9． 22)1(161)1(41xy xy -++- 10．2222216)(4b a b a -+
11()()
1323222+-+-x x
四、解答题：（'''16625=+⨯）
1．用合理的方法计算：20072005200610109101.9-⨯+⨯
2．利用因式分解来简便运算： 当35-=x 时，求222)1(4)1(4)1(x x x ++---的值。
3．若01456922=+-++y y xy x ，求y x +的值。