【优化方案】高考数学总复习 第2章§2.13定积分和微积分基本定理精品课件 理 北师大版

【思路点拨】 需根据面积求出切点坐标．这又 需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据 定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的定积分， 从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标， 其他问题便可顺利解决．
4．(原创题)定积分 1(2x－x3)dx的值为
1
________． 答案：0 5．已知t>0，若 0 dx＝6，则t＝________.
t
答案：3
考点探究•挑战高考
考点突破 定积分的计算
利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被
积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个
函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常
2
1 1 ＋ cos2x ， 所 以 3 (sinx － sin2x)dx ＝ ( － cosx ＋ 2 2 0
1 1 1 1 cos2x)| ＝(－ － )－(－1＋ )＝－ . 2 4 2 4
3 0
(3)

2 1
|3 － 2x|dx ＝
2
3 2 1
1 3)dx＝(3x－x )| ＋(x －3x)| ＝ . 2
3．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数， F(b)－F(a) 并且F′(x)＝f(x)，那么 b a f(x)dx＝_________，这 个结论叫作微积分基本定理，为了方便，我们常 b b F ( x )| 把F(b)－F(a)记成________ f(x)dx＝ a ，即
2
2 3 2

3 2 1
(3 － 2x)dx ＋

2 3 2
(2x －
定积分的几何意义
利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图
形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，
从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本
定理求出积分值．
例2 在曲线 y＝x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线
1 使之与曲线以及 x 轴所围图形的面积为 .试求 12 切点 A 的坐标及过切点 A 的切线方程．
|3－2x|dx.
1 2 3 解： (1)函数 y＝2x －x的一个原函数是 y＝ x －lnx， 3 1 2 3 16 2 2 2 2 所以 1 (2x －x)dx＝( x －lnx)|1 ＝ －ln2－ ＝ 3 3 3 14 －ln2. 3 (2)函数 y＝sinx－sin2x 的一个原函数是 y＝－cosx
课前热身
3π 1．(教材习题改编)曲线 y＝cosx(0≤x≤ )与 2 坐标轴围成的面积是( ) 5 A．4 B． 2 C．3 D．2
答案：C
2． π A. 2

2 0
(1＋cosx)dx 等于( B．1 π D. ＋1 2
)
π C. －1 2
答案：D
1 3．(2011 年淮北调研)由直线 x＝ ，x＝2，曲 2 1 线 y＝ 及 x 轴所围成的图形的面积为( ) x 15 17 A. B. 4 4 1 C. ln2 D．2ln2 2 2 1 2 1 1 解析： 选 D.S＝ dx＝lnx|1 ＝ln2－ln ＝2ln2. 2 2 x 2
b－a 1,2，…， n)作和式 f (ξi)Δx＝ n f(ξi)， i＝ 1 i＝ 1
n n
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数， 这个常数叫作函数 f(x)在区间[a，b]上的定 b a f(x)dx 积分，记作___________.
2．定积分的性质 kb a f(x)dx
c b 分的性质 b f ( x )d x ＝ f ( x )d x ＋ a a c f(x)dx，根据函
数的定义域，将积分区间分为几部分，代入相应
的解析式，分别求出积分值，相加即可．
变式训练1
计算以下定积分：
(2) (3)
(1)
2 1 3 0 2 1
(2x2－)dx；
(sinx－sin2x)dx；

a
F(x)|ba意义
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分

b a
f(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝
b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形
的面积(图1阴影部分)．
(2)一般情况下，定积分 a f(x)dx的几何意义是
b
介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的 曲边梯形面积的和(图2阴影所示)，其中在x轴上 方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的 面积等于该区间上积分值的相反数．
思考感悟 你能用定积分的几何意义解释其性质(2)吗？
提示：如图所示，设在区间[a， b]上恒有f(x)≥0，c是区间(a， b)内的一点，那么从几何图形 上看，直线x＝c把大的曲边梯 形分成了两个小曲边梯形，因 此，大曲边梯形的面积S是两 个小曲边梯形的面积S1，S2之 和，即S＝S1＋S2，用定积分 表示就是性质(2)．
＝(x＋sinx)| (3)
＝2＋π.

3 2
1 2 1 3 ( x＋ ) dx＝ 2 (x＋ ＋2)dx x x
1 2 ＝( x ＋lnx＋2x)|3 2 2 9 3 9 ＝( ＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln ＋ . 2 2 2
【名师点评】
利用微积分基本定理求定积分，
其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的 原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应 注意掌握一些常见函数的导数；此外，如果被积 函数是绝对值数或分段函数，那么可以利用定积
见函数的导数．
例1
求下列定积分：
【思路点拨】 先由定积分的性质将其分解为简 单的定积分问题再求解．
【解】 (2)
2 2
(1)
2

4 2
1 dx＝lnx|4 2 x
2 2
＝ln4－ln2＝ln2
2 2
(1＋cosx)dx＝ 1dx＋
2
cosxdx
§2.13 定积分和微积分基本定理
§ 2.13 定 积 分 和 微 积 分 基 本 定 理
双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考
考向瞭望•把脉高考
双基研习•面对高考
基础梳理
1．定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0＜x1 ＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝