第七章电磁场中粒子的运动

第七章 电磁场中粒子的运动
7.1电磁场中荷电粒子的运动
7.1.1电磁场中荷电粒子的运动的薛定谔方程
设带电粒子质量为m ，电荷为q 运动速度为v.按经典电动力学理论，满足牛顿第二定律，即
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=B v c E q r m ϖϖ&&1 （7-1） 引入电磁场的矢势A ϖ和标势Φ，则电磁场分别表示为：
A
B A t c E ϖϖϖϖ⨯∇=∇-∂∂-=;1φ （7-2） （7-3）
所以，经典力学中的哈密顿量为
φq A c
q P m H +-=2)(21ϖϖ （7-4） P ϖ称为正则动量，相应的方程为
r
H P P
H r ϖ&ϖϖ&ϖ∂∂-=∂∂=; （7-5） 所以 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∂∂=X x x A c q P m P H x 1& 得 x x A c
q x m P +=& 类似的可以算出他的其它分量，正则动量为
A c
q v m P ϖϖ&ϖ+= （7-6） 由此可以看出，在有的作用下，带电粒子的正则动量不等于其机械动量。

在坐标表象中，把正则动量替换成动量算符，即
∇-=→η)ϖ&ϖi P P
则在电磁场中的哈密顿算符为
φq A c
q P m H +-=2)(21ϖ)ϖ) （7-7） 薛定谔方程为
ψφψ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂q A c q P m t i 221ϖ)ϖη （7-8） 对易关系[]
A i P A A P A P ϖη)ϖϖϖ)ϖϖ)ϖ•∇-=-=,
在库仑规范下0=•∇A ϖ
，（7-8）式可以写为 ψφψ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++•-=∂∂q A mc q P A mc q P m t i 222
2221)ϖϖ)ϖη （7-9） 7.1.2定域的概率守恒与流密度
**⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++•+=∂∂-ψφψq A mc q P A mc q P m t i 2222221)ϖϖ)ϖη （7-10） 令()，得），并根据式（式010797=•∇-⨯--⨯*A ϖψψ
()()()()()
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--•∇-=•--•=•+•--=∂∂***********ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψA c q P P m i A P mc q P P P m P A P A mc q P P m t i ϖ)ϖ)ϖηϖ)ϖ)ϖ)ϖ)ϖ)ϖϖ)ϖϖ)ϖ)ϖη22212122）（ 可以写成
0=•∇+∂∂j t
ϖρ （7-11） 式中ψψρ*
= ()()()
ψψψψψψψψψψψψψψψψv R v v A c q P A c q P m A mc
q P P m j e ϖϖϖϖ)ϖϖ)ϖϖ)ϖ)ϖϖ**
****
****=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=212121 而⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∇-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A c q i m A c q P m v ϖηϖ)
ρϖ11 v ϖ可视为粒子的速度算符，j ϖ为粒子流密度，
（7-11）称为定域粒子的概率守恒方程。

7.1.3规范不变性
电磁场具有规范不变性，即通过选择适当的规范变换，可使物理量和物理规律在该规范变换下保持形式不变，若选择下面的规范变换：
()()⎪⎩
⎪⎨⎧∂∂-='→∇+='→t r t c t r A A A ,1,χφφφχϖϖϖ （7-12） 波函数作如下变换：ψψψχ
c iq e η='→
则ψ'满足的薛定谔方程，形式上与ψ满足的薛定谔方程完全相同，即
ψφψ'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'+'-='∂∂q A c q P m t i 2)(21ϖϖη 还可以证明：在上述规范变换下，v j ϖϖ,,ρ（平均值）都不变。

虽然电磁场的矢势和标势，波函数变了，但是薛定谔方程的形式不会改变。

我们采用矢势和标势来描述电磁场，但是矢势和标势的选择不是唯一的。

当势做规范变化时，场矢量及其规律都保持不变，这种不变性称为规范性或协变性。

还可以φ∇+='→A A A ϖϖϖ也能使B ϖ
保持不变。

()A A A A B ϖϖϖϖϖ⨯∇=∇⨯∇+⨯∇=∇+⨯∇='⨯∇=φφ
波函数ψ'和ψ描述的是同一个状态。

7.2 正常塞曼效应
7.2.1正常塞曼效应概述
1896年，荷兰物理学家塞曼（P.Zeeman ，1865-1943）使用罗兰光栅观察磁场中的钠火焰的光谱，发现钠的D 线似乎出现了加宽的现象。

这种加宽现象实际是谱线发生了分裂，随后不久，塞曼的老师荷兰物理学家洛伦兹对这种现象进行了解释。

他认为，由于电子存在轨道磁矩，并且磁矩方向在空间的取向是量子化的，因此在强磁场的作用下能级发生分裂，谱线分裂成间隔相等的三条谱线。

塞曼和洛伦兹因为这一发现，分享了1902年的诺贝尔物理学奖。

塞曼效应证实了原子磁矩的空间量子化，为研究原子结构提供了重要途径，被认为是19世纪末20初物理学最重要的发现。

正常塞曼效应：在强磁场的作用下原子光谱发生分裂（一般为三条）的现象。

忽略电子自旋和轨道的相互作用。

反正常塞曼效应：如果磁场比较弱，自旋和轨道的耦合作用不能忽略时，原子光谱在弱磁场中的分裂就更复杂了。

7.2.2正常塞曼效应的量子力学解释：
在原子尺度范围内，实验室常用的磁场都可视为均匀磁场，记为B ϖ，取矢势为
r B A ϖϖϖ⨯=21 （7-13） 可以验证 0,
=•∇⨯∇=A A B ϖϖϖ，设磁场方向指向z 轴的正向，则 0,21,2
1==-=z y x A Bx A By A （7-14）
只考虑一个价电子的情况，并假设价电子处于（原子实和内层慢壳层电子）所产生的屏蔽库伦场()r V 中运动，那么的哈密顿量为
()()
()r V y x c B e c l eB P r V P c eBx P c eBy P H z z y x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222222222212221))))))μμ （7-15） 上式中第三项很小，可以忽略。

所以
()c
l eB r V P H z μμ2212)))++= （7-16） 上式中最后一项视为电子的磁矩（z z l c
e )μμ2-=）与外磁场相互作用引起的附加能量 （ B E Z μ-=∆）。

因此，原子价电子满足的薛定谔方程为：
()ψψμμE c l eB r V z =++∇-)22(22
)η (7-17) 由于外磁场的作用，破坏了原子的球对称性，角动量不再是守恒量，但是z l l ))和2仍然守恒。

因此
波函数为),,(2z l l H )
))的共同本征函数，即 ()()()ϕθϕθψ,,,lm n nlm Y r R r r
= （ 7-18） 式中l l l l m l n r ,1,,1,;,,2,1,0-+--==ΛΛ。

注意r n 是径向量子数，而不是主量子数。

l 是角量子数。

能量为
L l n l n lm n m E m c
eB E E r r r ωμηη+=+
=2 (7-19) 式中， ）频率称为拉莫尔（Larmor c eB L μω2=，()相互作用的附加能量，为电子轨道运动与磁场中的能量，为价电子处于中心力场L l n m r V E r ωη说明电子轨道磁矩的空间取向是量子化的，因此m 称为磁量子数。

例如:钠黄光（589.3nm ）的谱线是3P →3S 态之间的跃迁的结果。

加上外磁场后，分裂成3
条谱线。

+1
3P
ω+ω-ωL 无外磁场加强磁场。