19版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第59讲几何概型学案

第59讲 几何概型1．几何概型如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度(面积或体积)__成比例，而与A 的形状和位置无关则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个特点一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是__等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的__图形面积(体积、长度)__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度)__”之比来表示．3．在几何概型中，事件A 的概率的计算公式P (A )＝__构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)__.4．几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( × )(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) 解析 (1)正确．由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确．(2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等．(3)正确．由几何概型的定义知，该说法正确． (4)正确．由几何概型的定义知，该说法正确．2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数满足17＜a ＜20的概率是( C )A ．13 B ．12 C ．310D ．710解析 ∵a ∈(15,25]，∴P (17＜a ＜20)＝20－1725－15＝310.3．有一杯2 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中取0.1 L 水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( C )A ．0.01B ．0.02C ．0.05D ．0.1解析 因为取水是随机的，而细菌在2 L 水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.12＝0.05.4．已知x 是[－4,4]上的一个随机数，则使x 满足x 2＋x －2＜0的概率为( B ) A ．12 B ．38 C ．58D ．0解析 x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1，则P ＝1－(－2)4－(－4)＝38.5．某路公共汽车每5 min 发车一次，某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min 的概率是( A )A ．35 B ．45 C ．25D ．15解析 此题可以看成向区间[0,5]内均匀投点，求点落入[2,5]内的概率．设A ＝{某乘客候车时间不超过3 min}．则P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果构成的区域长度＝35.一 与长度、角度有关的几何概型(1)设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 的概率为P ＝l 的长度L 的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．【例1】 (1)(2017·江苏卷)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 59.(2)(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )A ．13 B ．12 C ．23D ．34解析 (1)由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，则D ＝[－2,3]，则所求概率为3－(－2)5－(－4)＝59.(2)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.二 与面积有关的几何概型与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．【例2】 (1)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率是( D ) A ．29 B ．79 C ．16D ．56(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B)A ．14 B ．π8C ．12D ．π4解析 (1)如图满足y ≥x 2－1的概率为阴影部分面积与正方形面积的比，∵⎠⎛－11 [1－(x 2－1)]d x ＝⎠⎛－11 (2－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 3|1－1＝103，,∴P ＝1034＝1012＝56.,(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8，故选B ．, 三 与体积有关的几何概型,,对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．【例3】 (1)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__1－π12__.(2)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是__23__.解析 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.(2)由题意知V S －APC V S －ABC ＞13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，,又PM BN ＝APAB ，所以AP AB ＞13，故所求的概率为23(即为长度之比)．1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为( A)A ．4π－1 B ．2π C ．4π－12D ．12解析 这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P＝π·22－⎝ ⎛⎭⎪⎫π·224－12×2×2×2×4π·22＝4π－1，故选A ． 2．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，使cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( A )A ．13 B ．2π C ．12D ．23解析 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，试验的全部结果构成的区域长度为2. ∵－1≤x ≤1，∴－π2≤π2x ≤π2.由0≤cos π2x ≤12，得π3≤π2x ≤π2或－π2≤π2x ≤－π3，∴23≤x ≤1或－1≤x ≤－23. 设事件A 为“cos π2x 的值介于0到12之间”，则事件A 发生对应的区域长度为23.∴P (A )＝232＝13.3．在区间[－2,2]上随机取一个数x ，使||x ＋1－||x －1≤1成立的概率为__58__.解析 在区间[－2,2]上随机取一个数x ，则－2≤x ≤2，而不等式|x ＋1|－|x －1|≤1的解集为x ≤12.又因为－2≤x ≤2，故－2≤x ≤12，所以使不等式成立的概率为P ＝12－(－2)2－(－2)＝58.4．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点，则该点落在阴影部分的概率为__13__.解析 根据题意，可以求得阴影部分的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3|10＝13，,故该点落在阴影部分的概率为P ＝131＝13.易错点 几何概型概念不清,错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误．【例1】 (1)在等腰Rt △ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，则AM ＜AC 的概率为________． (2)在等腰Rt △ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM＜AC 的概率为________．解析 (1)这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. (2)这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB 上截取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°，而∠ACB ＝90°，于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝67.590＝34.答案 (1)22 (2)34【跟踪训练1】 (2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为__34__.解析 直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交的充要条件为|5k －0|1＋k 2＜3，解之得－34＜k ＜34，,故所求概率为P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.课时达标 第59讲[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A ．45 B ．35 C ．25D ．15解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P ＝35.2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A ．15 B ．25 C ．35D ．45解析 方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A ．16 B ．14 C ．13D ．23解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴p ＝5π6－π62π＝13，故选C ．4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是( D)A ．π3B ．πC ．2πD ．3π解析 设阴影部分的面积为S 1，圆的面积S ＝π×32＝9π，由几何概型的概率计算公式得S 1S ＝13，得S 1＝3π. 5．(2018·北京昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ≤4，y ≥－2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )A ．413 B ．513 C ．825D ．925解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4, 3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝12×6×312×10×5＝925，故选D ．6．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4mn.故选C ．二、填空题7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__12__.解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离小于12，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__12π__.解析 作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是__1725__.解析 设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0<x <1,0<y <1，依题意有x ＋y <65，由几何概型知，所求概率为P ＝12－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1512＝1725. 三、解答题10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，则0≤x <24,0≤y <24， 且y －x >4或y －x <－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或y －x <－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.则P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288. 11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．解析 (1)由题意共有小球n ＋2个，标号为2的小球n 个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是nn ＋2＝12，解得n ＝2. (2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b ，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，则事件A 共有8种结果，故P (A )＝812＝23； ②由①可知(a －b )2≤4，故x 2＋y 2>4，(x ，y )可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2，x ，y ∈R }，由几何概型可得概率为P ＝4－14π·224＝1－π4. 12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以，在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26πR 2＝16. 如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3 )，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3 )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15，又P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。