高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教师用书理
高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理新人教版
方向 2 利用函数性质解不等式
【例 2】 (1)(2019·山东聊城一模)已知函数 f(x)＝|x|(10x－10－x)，
不等式 f(1－2x)＋f(3)>0 的解集为( A )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
(2)(2019·河南豫北名校联考)已知函数 f(x)＝e1＋x＋e1－x，则满足 f(x
A．(－2,3)
B．(－2,2)
C．(－2,2]
D．[－2,2]
解析：A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝{x|－2<x≤2} ＝(－2，2]．
2．不等式2xx－＋11≤0 的解集为( A )
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为－12，1.选 A.
3．设一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 ab
的值为( B )
A．1
B．－14
C．4
D．－12
解析：因为一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1
<x<2}．所以方程 ax2＋bx＋1＝0Байду номын сангаас的解为－1,2.
②当 a>1 时，1a<1，解x－1a(x－1)<0 得1a<x<1；
③当
0<a<1
时，1a>1，解x－1a(x－1)<0
得
1 1<x<a.
综上所述：当 a<0 时，解集为x|x<1a或x>1；当 a＝0 时，解
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明教师用书文
第六章⎪⎪⎪ 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．两个实数比较大小的依据 (1)a －b ＞0⇔a ＞b ． (2)a －b ＝0⇔a ＝b ． (3)a －b ＜0⇔a ＜b ． 2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a >b >0⇒na > nb (n ∈N ，n ≥2)．[小题体验]1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空： (1)a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ________b －d ； (2)a ＞b ＞0，c ＜d ＜0⇒ac ________bd ； (3)a ＞b ＞0⇒3a ________3b ．答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞2．限速40 km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，写成不等式就是__________．答案：v ≤40 km/h 3．若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋cb ＋c1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c ．2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[小题纠偏]1．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B ．1a <1bC ．a 2>b 2D ． a 3>b 3答案：D2．若ab >0，且a >b ，则1a 与1b的大小关系是________．答案：1a <1b考点一 比较两个数式的大小基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m ＞nC ．m ≤nD ．m ＜n答案：B2．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ____b (填“＞”或“＜”)．解析：易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a ．答案：＜3．已知等比数列{a n }中，a 1＞0，q ＞0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________． 解析：当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3＜S 5a 5． 当q ＞0且q ≠1时，S3a 3－S 5a 5＝a 1－q 3a 1q 2－q －a 1－q 5a 1q 4－q＝q 2－q3－－q5q4－q＝－q －1q4＜0， 所以S 3a 3＜S 5a 5． 综上可知S 3a 3＜S 5a 5． 答案：S 3a 3＜S 5a 5[谨记通法]比较两实数(式)大小的2种常用方法考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A (a －b )·a 2＜0，则必有a －b ＜0，即a ＜b ；而a ＜b 时，不能推出(a －b )·a 2＜0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件．2．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A ．a d ＞b c B ．a d ＜b c C ．a c ＞b dD ．a c ＜b d解析：选B 法一：因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0， 所以1－d ＞1－c＞0．又a ＞b ＞0，所以a －d ＞b －c ，所以a d ＜bc．故选B ．法二：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0c ＜d ＜0⇒c cd ＜dcd ＜0⇒1d ＜1c＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫－1d ＞－1c ＞0a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c ．法三：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c＝－1，b d＝－1，排除选项C 、D ； 又∵－32＜－23，排除A ．故选B ．[由题悟法]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[即时应用]1．(2016·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ．a ＋b ＜0D ．|a |＋|b |＞|a ＋b |解析：选D ∵1a ＜1b＜0，∴b ＜a ＜0，∴b 2＞a 2，ab ＜b 2，a ＋b ＜0，∴选项A 、B 、C 均正确，∵b ＜a ＜0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，故D 项错误，故选D ．2．(2017·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B ①由ac 2＞bc 2，得c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③错误，当0＞c ＞d 时，不等式不成立．④错误，令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2．故选B ．考点三 不等式性质的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ．f (－2)＝4a －2b ．设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10． 即f (－2)的取值范围为[5,10]．[类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[即时应用]1．若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值范围是( ) A ．[9,18] B ．(15,30) C ．[9,30]D ．(9,30)解析：选D ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a ．∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30．故选D ．2．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 解析：∵－1<x <4,2<y <3， ∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2． 由－1<x <4,2<y <3， 得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18． 答案：(－4,2) (1,18)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A ≤B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ． 2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a －b >1aB ．1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：选A 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 3．若a ，b 都是实数，则“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a －b ＞0得a ＞b ≥0， 则a 2＞b 2⇒a 2－b 2＞0；由a 2－b 2＞0得a 2＞b 2，可得a ＞b ≥0或a ＜b ≤0等，所以“a －b ＞0”是“a 2－b 2＞0”的充分不必要条件，故选A ．4．(2017·资阳诊断)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则|a |>|b | B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：选D 当a ＝1，b ＝－2时，选项A 、B 、C 均不正确；对于D 项，a >|b |≥0，则a 2>b 2． 5．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2．又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0． ∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0．∴M >N ．2．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立． 3．(2016·湘潭一模)设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab，若a >b >1，显然a ＋1a－⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．4．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0．综上可知，选D ．5．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4．6．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b．∴a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b ．答案：a ＜0＜b7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x2 m ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥2168．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2．∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0．∴a b2＋b a2≥1a ＋1b ．答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0．求证：e a －c2>e b －d2．证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0． 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0． ∴(a －c )2>(b －d )2>0． ∴0<1a －c2<1b －d2．又∵e <0，∴e a －c2>e b －d2．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(0,2) C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >ca ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2·c a<4， ∴c a的取值范围为(0,2)． 2．设a ＞b ＞0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m ＞ba时，m 满足的条件是________． 解析：由b ＋m a ＋m ＞b a 得a －b m a a ＋m ＞0，因为a ＞b ＞0，所以mm ＋a＞0． 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＋a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ＋a ＜0.∴m ＞0或m ＜－a ．即m 满足的条件是m ＞0或m ＜－a ． 答案：m ＞0或m ＜－a3．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7．5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元， 则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ．所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5． 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2．因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]精品C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C 由题意得T ＝ {x |－4≤x ≤1}， 根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}， 所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________． 答案：∅3．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是________．解析：由题意知－12，13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根， 则a ＝－12，b ＝－2． 所以a ＋b ＝－14． 答案：－141．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．[小题纠偏] 1．不等式x －3x －1≤0的解集为( ) A ．{x |x ＜1或x ≥3} B ．{x |1≤x ≤3} C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －1≠0，解得1＜x ≤3．2．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1．由①②知0≤m <1． 答案：[0,1)考点一 一元二次不等式的解法基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x >0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x >0．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－12 2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －x －，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43．所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >5． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤43或x >53．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0． 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤43． (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋＞0，x －x ＋⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3．[谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二 含参数的一元二次不等式的解法重点保分型考点——师生共研[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． 解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a．综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ． 当a ＝1时，不等式的解集为∅．当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜1． [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ．解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3．当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞． 考点三 一元二次不等式恒成立问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R)，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，求b 的取值范围．解：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2．又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数， 所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1 ＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2．∴b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4．由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g －＝x －－＋x 2－4x ＋4>0，g ＝x －＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3．故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法恒成立的条件是{ a >0，Δ≤0；(2)ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是{ a <0，Δ≤0把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)在[m ，n ]恒成立问题，若f (x )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f m >0f n >0，若f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f m <0，f n <0[演练冲关]1．(2017·济宁模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4． 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1．因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，67．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}， 由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}， 所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f(－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94．3．(2017·昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4．4．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2． 答案：{x |0<x <2}5．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3．2．不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1． 3．(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2＜3，则k 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(0,2)解析：选A 因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)， 1⊙k 2＜3，所以k 2＋1＋k 2＜3，化为(|k |＋2)(|k |－1)＜0，所以|k |＜1， 所以－1＜k ＜1．4．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3．综上可得－4≤a ≤3．6．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16． ∴a >4或a <－4．答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，458．(2017·石家庄质检)在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32．答案：329．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6． (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，精品∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23．∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a －a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10．(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R ． (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4．因为x >0，所以x ＋1x≥2．当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2． 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2． (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”， 只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”． 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34．则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞．精品三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·太原模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2．2．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ． (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立． 当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a ≤0，解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋2＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22， ∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0．解得－12＜x ＜32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32． 第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题精品1．一元二次不等式(组)表示的平面区域2．线性规划中的基本概念[小题体验]1．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)答案：C2．(教材习题改编)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2＜0表示的平面区域是( )答案：B3．(2016·北京高考)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．解析：根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到过点A时，目标函数取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x＋y 取最大值为2×1＋2＝4．答案：41．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．3．在通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b取最小值时，z 取最大值．[小题纠偏]1．若用阴影表示不等示组⎩⎨⎧－x ＋y ≤0，3x －y ≤0所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角的大小为________．答案：15°2．(2017·兰州诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y ＝2x －z ，将直线y ＝2x 进行平移可得在点(2，－1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5．答案：5考点一 二元一次不等式组表示平面区域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，对应的平面区域，如图． 要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此时三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立．当k ＝－1或－2时，不能构成直角三角形区域．当k ＝1时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1，故选A ．2．(易错题)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．3．(2017·广州五校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为________．解析：如图，画出可行域．易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (0,2)，C (0,4)，∴可行域D 的面积为12×2×43＝43．答案：43[谨记通法]确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组．若满足不等式组，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．如“题组练透”第2题易忽视边界．(2)当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． 考点二 求目标函数的最值题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)线性规划中的参数问题．[题点全练]角度一：求线性目标函数的最值1．(2016·全国丙卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A 时，z 取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10．答案：－10角度二：求非线性目标函数的最值2．(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25．所以d 2的最小值为45，最大值为13．所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13角度三：线性规划中的参数问题3．(2017·郑州质检)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小值为________．解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴2×3－1－m ＝0，m ＝5．由图知，平移l 经过B 点时，z 最小，∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5[通法在握]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a．[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．[演练冲关]1．(2017·海口调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0.则z ＝3x －y 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，125 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，83解析：选A 画出题中的不等式组表示的平面区域(阴影部分)及直线3x －y ＝0，平移该直线，平移到经过该平面区域内的点A (1,3)(该点是直线x －y ＋2＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最小，此时z ＝3x －y 取得最小值3×1－3＝0；平移到经过该平面区域内的点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，125(该点是直线4x －y －4＝0与x ＋y －4＝0的交点)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝3x －y取得最大值3×85－125＝125，因此z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125，选A ．2．(2017·合肥质检)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －3y －1≤0，x ≤1.若z ＝kx －y 的最小值为－5，则实数k 的值为( )A ．－3B ．3或－5C ．－3或－5D ．±3解析：选D 不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和(－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z 取得最小值时，直线y ＝kx －z 在y 轴上的截距最大，当k ≤1时，目标函数直线经过点(1,2)时，z min ＝k －2＝－5，k ＝－3适合；当k ＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，z min ＝－2k ＋1＝－5，k ＝3适合，故k ＝±3，选项D 正确．3．(2016·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0.则y －1x －1的最小值是________． 解析：如图所示，画出不等式组所表示的可行域，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1,1)连线的斜率， ∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12．答案：－12考点三 线性规划的实际应用重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5 kg ，乙材料0．3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N.目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点M 时，z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得M (60,100)．则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000[由题悟法]1．解线性规划应用题3步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案． 2．求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、是否是非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．[即时应用]某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：选C 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z ，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N.目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ．画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23C ．43D ．34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4.得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83．所以S △ABC ＝12×83×1＝43．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出图形可知选C ．3．(2016·四川德阳月考)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：选 D 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0作出可行域如图中阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x －y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，则B (4,5)，将目标函数z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3．由图可知，当直线y ＝－23x ＋z3过B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，为2×4＋3×5＝23．4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x。
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法课件文
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2．∴b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值 恒大于零，求x的取值范围．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
解：要使 f(x)＜－m＋5 在[1,3]上恒成立，则 mx2－mx＋m－6 ＜0，即 mx－122＋34m－6＜0 在 x∈[1,3]上恒成立． 因为 x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为 m(x2－x＋1)－6＜0，所 以 m＜x2－6x＋1． 因为函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需 m＜67即可．因为 m≠0，所以 m 的取值范围是(－∞，0)∪0，67．
届高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法课件 理 新人教版
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是 大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正 的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 Δ 与 0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时， 要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘 记讨论其等于 0 的情况．
＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
解析
角度三：形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围 3．对任意 m∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m 的值恒
大于零，求 x 的取值范围．
解析
[方法归纳] 一元二次型不等式恒成立问题的 3 大破解方法
方法
解读
适合题型
考点一 一元二次不等式的解法 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．已知函数 f(x)＝2－x22＋x，1，x>x0≤，0， 则不等式 f(x)－x≤2 的解1 的解集为________．
解析：将原不等式移项通分得3xx－－54≥0，
[题点全练] 角度一：形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1．已知不等式 mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数 m 对所有
的实数 x，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围； 若不存在，请说明理由．
解析
角度二：形如 f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围 2．设函数 f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于 x∈[1,3]，f(x)
(1)ax2＋bx＋c≥0 对任意实数
判别 x 恒成立的条件是aΔ>≤0，0；
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文-人教版高三全册
第二节一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一一元二次不等式的解法判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集______________________________Rax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集________________________{x|x<x1或x>x2} {x|x≠－b2a }{x |x 1<x <x 2} ∅ ∅1．(2016·新课标全国卷Ⅲ)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)解析：集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)． 答案：D2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，选A.答案：A3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( ) A ．1B ．－14C ．4D ．－12解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为 {x |－1<x <2}．所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1,2.所以－1＋2＝－b a，(－1)×2＝1a.所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.答案：B知识点二 一元二次不等式恒成立的条件 1．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．2．ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是：______ (x ∈R )．答案1.⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ<02.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<04．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)5．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16， ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)热点一 一元二次不等式的解法 【例1】 解关于x 的不等式： (1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )； (3)a x －1x －2>1(a >0)．【解】 (1)原不等式可化为2x 2－4x ＋3<0.又判别式Δ＝42－4×2×3<0， ∴原不等式的解集为∅.(2)由12x 2－ax －a 2>0⇒(4x ＋a )(3x －a )>0⇒(x ＋a 4)(x －a3)>0，①当a >0时，－a 4<a 3，解集为{x |x <－a 4或x >a3}；②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a 3，解集为{x |x <a 3或x >－a4}． (3)a x －1x －2－1>0⇒a －1x ＋2－ax －2>0⇒[(a －1)x ＋2－a ](x －2)>0.①当a ＝1时，不等式的解为x >2. ②当a ≠1时，关键是(a －1)的符号和比较a －2a －1与2的大小． ∵a －2a －1－2＝－aa －1，又a >0. ∴当0<a <1时，a －2a －1>2， 不等式的解为2<x <a －2a －1； 当a >1时，a －2a －1<2， 不等式的解为x <a －2a －1或x >2.综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <a －2a －1}；当a ＝1，原不等式的解集为{x |x >2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x <a －2a －1或x >2}. 【总结反思】(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解． (2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论． (3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2>0(a ≠0)． 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2x ＋1>0，x －3x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)由x 2－4ax －5a 2>0知(x －5a )(x ＋a )>0. 由于a ≠0故分a >0与a <0讨论． 当a <0时，x <5a 或x >－a ； 当a >0时，x <－a 或x >5a .综上，a <0时，解集为{x |x <5a 或x >－a }；a >0时，解集为{x |x >5a 或x <－a }． 热点二 一元二次不等式恒成立问题 考向1 形如f (x )≥0(x ∈R )恒成立问题【例2】 已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x <0，则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m 1－m <0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知不存在这样的m .考向2 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])恒成立问题【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6<0，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法1：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0. 所以m <67，则0<m <67.当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6<0. 所以m <6.所以m <0. 综上所述，m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪0<m <67或m <0. 解法2：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34 在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <0或0<m <67 . 考向3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])恒成立问题【例4】 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零．∴⎩⎪⎨⎪⎧g－1＝x －2×－1＋x 2－4x ＋4>0，g 1＝x －2＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零.【总结反思】 恒成立问题求解思路(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．(2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围．(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的范围．解析：(1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之得x ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2>2，7＋a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6，综上，得－7≤a ≤2.(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解之得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. 答案：(1)[－6,2] (2)[－7,2](3)(－∞，－3－6)∪[－3＋6，＋∞)1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅.3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .。
高考数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法课件(理)
答案：A
(2)已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
解析：因为
x∈[1，＋∞)时，f(x)＝
x2＋2x＋a x >0
恒成立，即
x2
＋2x＋a>0 恒成立．即当 x≥1 时，a>－(x2＋2x)恒成立．设 g(x)＝－
(1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－12<x<13，则不等式 2x2＋bx ＋a<0 的解集是________．
(2)不等式2xx－＋11≤0 的解集是________． 解析：(1)由题意，知－12和13是一元二次方程 ax2＋bx＋2＝0 的两 根且 a<0，
所以－－1212×＋3311＝＝2a－，ba，解得ab＝＝－－122. ，
(x2＋2x)，而 g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1 在[1，＋∞)上单调递减，
所以 g(x)max＝g(1)＝－3，故 a>－3.
所以，实数 a 的取值范围是{a|a>－3}．
答案：{a|a>－3}
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出 厂价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比 例为 x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售 量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
y－（12－10）×10 0<x<1，
000>0，即0－<6x<010，0x2＋2
高考数学一轮总复习第6章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法课件理
本例中(2)条件“f(x)<5－m 恒成立”改为
“存在 x，使 f(x)<5－m 成立”，如何求 m 的取值范围．
解 由题知 f(x)<5－m 有解，
6 6 即 m< 2 有解，则 m< 2 max， x － x ＋ 1 x －x＋1
又 x∈[1,3] ，得 m<6.即 m 的取值范围为(－∞，6)．
3．若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为 R.( × ) 4．不等式 ax2＋bx＋c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ＝b2－4ac≤0.( × )
二、小题快练 1．[2016· 全国卷Ⅱ]已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}， 则 A∩B＝( C．{1,2,3}
第6章 不等式、推理与证明
第2讲 一元二次不等式及其解法
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 一元二次不等式的解法 1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零 的 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0(a>0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(a>0)． 2．计算相应的 3．当
【变式训练 1】 ( ) A．(－∞，－2) C．(－6，＋∞)
判别式．
时，求出相应的一元二次方程的根． 4．利用二次函数的图象与 x 轴的 交点 确定一元二 次不等式的解集．
Δ ≥0
考点 2
三个二次之间的关系
[ 必会结论] 1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0 且 b2 －4ac<0(x∈R)． 注意 在题目中没有指明不等式为二次不等式时， 若二 次项系数中含有参数， 应先对二次项系数为 0 的情况进行分 析，检验此时是否符合条件．
高考数学一轮复习第六章不等式第二讲一元二次不等式及其解法学案含解析新人教版
第二讲一元二次不等式及其解法知识梳理·双基自测知识梳理知识点一一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的__判别式__.(3)当__Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．(4)利用二次函数的图象与x轴的__交点__确定一元二次不等式的解集．知识点二三个二次之间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有__两相异__实根x1，x2(x1<x2)有__两相等__实根x1＝x2＝－b2a__没有__实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|__x>x2或x<x1__}{x|x∈R且__x≠x1__}__R__ ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|__x1<x<x2__}__∅____∅__归纳拓展1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．4．简单分式不等式的解法(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0)g (x )≠0.5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x )； 若0<a <1，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )．(2)若a >1，log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0； 若0<a <1，log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ ) (2)若关于x 的二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 走进教材2．(必修5P 26T2改编)不等式x (1－2x )>0的解集是( B ) A ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．(必修5P 80A 组T4改编)已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( B ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}[解析] ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0， ∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}． 在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B ．4．(必修5P 80A 组T2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是__⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞__. [解析] 由题意，得3x 2－2x －2>0， 令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 走向高考5．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－1，23__. [解析] 3x 2＋x －2<0⇒(x ＋1)(3x －2)<0， ⇒(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －23<0⇒－1<x <23， ∴x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，23.考点突破·互动探究考点一 一元二次不等式的解法——多维探究 角度1 不含参数的不等式例1 解下列不等式 (1)－2x 2＋x ＋3<0； (2)x 2－2x ＋2>0.[分析] (1)将二次项系数化为正数，变为2x 2－x －3>0，求方程2x 2－x －3＝0的根，若无根，则解集为R ，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集．[解析] (1)化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， ∴(x ＋1)(2x －3)>0，即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －32>0， ∴x >32或x <－1，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. (2)因为Δ<0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2>0的解集为R .名师点拨解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 角度2 含参数的不等式例2 解下列关于x 的不等式： (1)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )； (2)x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )；[分析] (1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a 与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论1a与1的关系，故需分a <0，a ＝0,0<a <1，a ＝1，a >1五种情况求解；(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系； [解析] (1)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1. 若a ＜0，则原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a. 综上所述：当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. (2)对于方程x 2－2ax ＋2＝0，因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0，即－2＜a ＜2时，x 2－2ax ＋2＝0无实根．又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；当Δ＝0，即a＝±2时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，当a＝2时，原不等式的解集为{x|x＝2}，当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－2}；当Δ＞0，即a＞2或a＜－2时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－a2－2，x2＝a＋a2－2，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}．综上，当a＞2或a＜－2时，解集为{x|a－a2－2≤x≤a＋a2－2}；当a＝2时，解集为{x|x＝2}；当a＝－2时，解集为{x|x＝－2}；当－2＜a＜2时，解集为∅.名师点拨含参数的不等式的求解往往需要分类讨论(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为(D)A．{x|x<－3或x>1} B．{x|x<－1或x>3}C．{x|－1<x<3} D．{x|－3<x<1}(2)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)[解析](1)由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D．(2)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1<x<a}，②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}． 考点二 三个二次间的关系——师生共研例 3 (1)(2021·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( B )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤13或x ≥12(2)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( A ) A ．⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－235 [分析] (1)利用根与系数的关系求解．(2)令f (x )＝x 2＋ax －2，Δ＝a 2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f (1)≥0或f (1)<0且f (5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x 2＋ax －2≤0在区间[1,5]上恒成立的a 的取值集合，只需f (5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．[解析] (1)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎨⎧－12－13＝b a，⎝⎛⎭⎫－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.故选B ． (2)令f (x )＝x 2＋ax －2，则Δ＝a 2＋8>0，∴方程f (x )＝0，有两个不等实根，又两根之积为负， ∴方程有一正根和一负根．解法一：不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，只要f (1)≥0或⎩⎨⎧f (1)<0，f (5)>0.解得a ≥1或－235<a <1.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A ． 解法二：不等式x 2＋ax －2≤0在[1,5]上恒成立，只要f (5)≤0，即25＋5a －2≤0，解得a ≤－235，∴不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 解法三：x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解⇔a >2x －x 在[1,5]上有解⇔a >f (x )min (记f (x )＝2x －x ，x ∈[1,5])，显然f (x )为减函数，∴f (x )min ＝f (5)＝－235，∴a >－235.[引申]若不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是__(－∞，1)__. [解析] 由例3(2)的解析知，不等式x 2＋ax －2<0在区间[1,5]上有解，a <2x －x ，x ∈[1,5]有解，显然g (x )＝2x－x 在[1,5]上递减，g max (x )＝g (1)＝1，∴a <1.名师点拨已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．〔变式训练2〕(1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152(2)(2021·九江模拟)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)[解析] (1)解法一：由题意知x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.又x 2－x 1＝15，∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.∵a >0，∴a ＝156＝52，故选A ．解法二：由x 2－2ax －8a 2＝(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式的解集为(－2a,4a )．又不等式的解集为(x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∴x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15，∴a ＝52，故选A ．(2)解法一：由函数f (x )＝x 2－4x －2－a 图象的对称轴为x ＝2.∴不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解⇔f (4)>0，即a <－2，故选A ．解法二：(分离参数法)不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.故选A ．考点三 一元二次不等式恒成立问题——师生共研例4 已知f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围； (3)若对于|m |≤1，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围．[分析] (1)二次项系数含有字母m ，应分m ＝0和m ≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m 的一次不等式，根据一次函数的性质求解．[解析] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以m 的取值范围为(－4,0]． (2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立， 只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])， 又因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1.令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34.因为t ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数， 所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值y min ＝67.所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. (3)将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0. 令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎨⎧g (－1)<0，g (1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0，解得1－52<x <1＋52，即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.名师点拨一元二次不等式恒成立问题 1．在R 上恒成立(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或≥0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(或≤0)对于一切x ∈R 恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0(或≤0).2．在给定某区间上恒成立(1)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≥0恒成立，结合图象，只需f (x )min ≥0即可； (2)当x ∈[m ，n ]，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ≤0恒成立，只需f (x )max ≤0即可．3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．4．“不等式f (x )≥0有解(或解集不空)的参数m 的取值集合”是“f (x )<0恒成立的参数m 取值集合”的补集；“f (x )>0的解集为∅”即“f (x )≤0恒成立．”注意：ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧a >0Δ＝b 2－4ac <0； ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ＝b 2－4ac <0. 〔变式训练3〕(1)若不等式(a －3)x 2＋2(a －3)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合为( D ) A ．(－∞，3) B ．(－1,3) C ．[－1,3]D ．(－1,3](2)(2021·山西忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立，则有( A )A ．m ≤－3B ．m ≥－3C ．－3≤m <0D ．m ≥－4(3)已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( B )A ．{x |1<x <3}B ．{x |x <1或x >3}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}[解析] (1)当a ＝3时，－4<0恒成立；当a ≠3时，⎩⎪⎨⎪⎧a <3，Δ＝4(a －3)2＋16(a －3)<0，解得－1<a <3.所以－1<a ≤3.故选D ．(2)令f (x )＝x 2－4x ，x ∈(0,1]，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值－3，∴m ≤－3，故选A ．(3)记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只须⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0⇒x <1或x >3，故选B ．名师讲坛·素养提升一元二次方程根的分布设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，记f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)方程无根Δ＝b 2－4ac <0；(2)方程有两等根Δ＝b 2－4ac ＝0；(3)方程有两不等实根Δ＝b 2－4ac >0，记其根为x 1，x 2且x 1<x 2.①x 1>0⇔⎩⎨⎧ Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a>0，x 1x 2＝c a >0.或x 1>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (0)>0，－b 2a >0；②x 1<0<x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac >0x 1x 2＝c a <0或x 1<0<x 2⇔af (0)<0；③x 1<x 2<0⇔⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac >0，x 1＋x 2＝－b a<0，x 1x 2＝c a >0，或x 1<x 2<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，af (0)>0，－b 2a <0.④x 2>x 1>k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a >k ，⑤x 1<k <x 2⇔af (k )<0；⑥x 1<x 2<k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，af (k )>0，－b 2a <k .⑦m <x 1<n <x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )<0；x 1<m <x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )<0，af (n )>0；m <x 1<x 2<n ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ af (m )>0，af (n )>0，m <－b 2a <n ，Δ>0.x 1<m <n <x 2⇔⎩⎨⎧ af (m )<0，af (n )<0.⑧m <x 1<n <x 2<p ⇔⎩⎨⎧ f (m )·f (n )<0，f (n )·f (p )<0.求m 的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．[解析] 设f (x )＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －m ，Δ＝4(m ＋1)2＋4m (m －1)＝8m 2＋4m ＋4＝4(2m 2＋m ＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足⎩⎨⎧ f (1)f (2)<0f (0)f (－1)<0即⎩⎪⎨⎪⎧m (2m ＋1)<0(－2m －3)(－m )<0，解得－12<m <0. (2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f (－1)f (1)<0，即(2m ＋1)(－2m －3)<0，∴m >－12或m <－32，又∵m －1≠0，∴m ≠1， ∴m 范围⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫－12，1∪(1，＋∞)． (3)一根小于1，另一根大于2，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ (m －1)f (1)<0(m －1)f (2)<0即⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)(2m ＋1)<0(m －1)m <0解得：0<m <1. (4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m －1)f (－1)<0，即(m －1)(－2m －3)<0，解得：m >1或m <－32. (5)两根都在(－1,3)内，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0－1<－m ＋1m －1<3(m －1)f (－1)>0(m －1)f (3)>0，解得：－32<m <314. (6)两根都大于0，应满足⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1>0(m －1)f (0)>0，解得：0<m <1. (7)两根都小于1，应满足：⎩⎨⎧ Δ≥0－m ＋1m －1<1(m －1)f (1)>0，解得：m >1或m <－12. (8)在(1,2)内有解应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥01<－m ＋1m －1<2(m －1)f (1)>0(m －1)f (2)>0或f (1)f (2)≤0解得－12≤m ≤0， 经检验m ＝－12及m ＝0都不合题意舍去， ∴－12<m <0. 〔变式训练4〕(1)(2021·山东实验中学诊断)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是__(－2,1)__.(2)若方程x 2＋(k ＋2)x －k ＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k 的取值范围为≤k <－12__. [解析] (1)记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由题意可知f (1)＝m 2＋m －2<0，解得－2<m <1.(2)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－1<－k ＋22<1，f (－1)>0，f (1)>0.解得－4＋23≤k <－12.。
高考数学第6章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书文
第六章不等式、推理与证明[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性)(6)开方法则：a >b >0⇒n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系4.用算法框图来描述一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的求解过程图6111．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b2，所以④不正确．]3．(2016·吉林长春二模)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )【导学号：66482268】A ．a 2>b 2B ．a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：66482269】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，8分∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1). 10分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5,10]. 12分[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围．[变式训练1] (1)(2016·河南六市2月模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.](2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.]解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1). 12分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0. 3分所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为1<x <1a. 10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．(3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (2016·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12 B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]☞(2016·甘肃白银会宁一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【导学号：66482270】(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝a －2＋a －，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m的取值范围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；7分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围．3．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 4．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 6．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。
(浙江专版)高考数学一轮复习 第6章 不等式及其证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教师用书-
第六章不等式及其证明[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情]考点2016年2015年2014年2013年2012年不等式的概念和性质5,5分(文)20,6分(理)3,5分(文)6,5分(文)20,4分(文)8,5分(理)9,5分(理)7,5分(文)7,5分(文)10,5分(文)9,5分(理)21,3分(文)不等式的解法1,5分(理)1,5分(理)1,5分(文)6,5分(理)15,4分(理)21,4分(文)2,5分(理)7,5分(理)21,4分(文)1,5分(理)21,5分(文)17,4分(理)简单的线性规划3,5分(理)4,5分(文)14,4分(理)14,4分(文)13,4分(理)12,4分(文)13,4分(理)15,4分(文)22(2)，7分(理)14,4分(文)基本不等式20,14分(文)16,4分(文)绝对值不等式18,15分(理)20,14分(理)18,15分(理)10,5分(理)22,14分(理)22(2)，7分(理)22,14分(理)21(2)，7分(文)[重点关注]从近五年某某卷高考题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，解答题重点考查绝对值不等式与二次函数相交汇问题，不等式的证明问题．第一节不等式的性质与一元二次不等式1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠x 1}R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc 2.( ) (2)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( )(3)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； ②a >b >0，c <d <0⇒ac >bd ； ③a >b >0⇒3a >3b ；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 是单调递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b2，所以④不正确．]3．(2017·某某二模)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2>b 2B.a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________________．(用区间表示)(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值X 围是__________.【导学号：51062180】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]不等式的性质及应用(1)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( )A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b .3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，10分∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).12分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值X 围为[5,10].14分[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值X 围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值X 围．[变式训练1] (1)(2017·某某二中2月模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [(1)由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.(2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.]一元二次不等式的解法解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0；(2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【导学号：51062181】 [解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}.7分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1).14分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.4分若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.12分综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.14分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (2016·某某中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题☞角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的X 围(2017·某某一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值X 围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的X 围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立.4分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；9分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.14分 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.6分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.14分 ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的X 围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x的取值X 围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的X 围，谁就是主元，求谁的X 围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防X]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的X 围，应利用待定系数法或数形结合建立待求X 围的整体与已知X 围的整体的等量关系，避免扩大变量X 围．3．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 4．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 6．不同参数X 围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(三十) 不等式的性质与一元二次不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 不为0，那么下列不等式成立的是( ) A ．ad >bc B ．ac >bd C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [由不等式的同向可加性得a ＋c >b ＋d .]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1]D ．[－1,2]A [法一：当x ≤0时，x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.② 由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}． 法二：作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．]3．设a ，b 是实数，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [因为a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab，若a >b >1，显然a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab>0，则充分性成立，当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立．]4．(2016·某某一模)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，则f (e x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－ln 3}B ．{x |－1<x <－ln 3}C ．{x |x >－ln 3}D ．{x |x <－ln 3}D [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23， b ＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13，∴f (x )>0的解集为x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，13.不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13.解得x <ln 13，∴x <－ln 3，即f (e x)>0的解集为{x |x <－ln 3}．]5．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}D [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.] 二、填空题6．(2017·某某一模)不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________.【导学号：51062182】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]7．(2017·某某二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－x －12，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是__________．[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]8．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，0] [∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0， ∴实数a 的取值X 围为(－∞，0]．] 三、解答题9．设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小.【导学号：51062183】[解] (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2] ＝－2xy (x －y ).7分∵x <y <0，∴xy >0，x －y <0，∴－2xy (x －y )>0，12分 ∴(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y ).14分 10．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值． [解] (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，2分 ∴原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋23，∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}.6分(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，10分等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·某某一模)若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)A [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值X 围是__________. 【导学号：51062184】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0， 所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2017·某某二中模拟)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值X 围．[解] (1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x≥2，2分当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2.6分 (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”.9分不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0≤0，g 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，13分则a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.14分。
近年高考数学复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教师用书 文 北
2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六章不等式、推理与证明［深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情］［重点关注］1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性,应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节,因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查,对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上,突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式、函数与方程三者密不可分,相互转化．第一节不等式的性质与一元二次不等式［考纲传真］1。
高考数学第六章不等式、推理与证明6.2一元二次不等式及其解法理高三全册数学
2021/12/12
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1.解一元二次不等式的一般步骤 1化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 2判：计算对应方程的判别式. 3求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有 没有实根. 4写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 2.例 2 根据条件判断函数的奇偶性和单调性，结合奇偶性和单调性 的性质将不等式进行转化求解即可.
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1．(方向 1)(2019·汕头一模)已知关于 x 的不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0
对任意的 x∈R 恒成立，则实数 k 的取值范围是( A )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
2021/12/12
x，x≤0， lnx＋1，x>0，
若 f(2－x2)>f(x)，则实数 x 的取值范围是(
D)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2)
D．(－2,1)
解析：易知 f(x)在 R 上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x， 解得－2<x<1，则实数 x 的取值范围是(－2,1)．故选 D.
A.－12，1 B.－12，1 C.－∞，－12∪[1，＋∞) D.－∞，－12∪[1，＋∞)
解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为－12，1.选 A.
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第九页，共三十八页。
3．设一元二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为{x|－1<x<2}，则 ab
的值为( B )
高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第二节一元二次不等式及其解法教师用书理
∅
{x|b＜x＜a}
微点提醒
1．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记讨论当a＝0时的情形。
2．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ 或
2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
3．若不等式是分式不等式，应化为一元二次不等式(组)，再求解。
【变式训练】(1)不等式 >0的解集为________。
(2)解不等式ax2－(a＋1)x＋1<0。
【解析】(1) >0⇔ >0⇔(x－2)(x＋2)(x＋1)>0，
【答案】D
3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－2＜x＜ }，则ab＝()
A．－28 B．－26
C．28 D．26
【解析】∵x＝－2， 是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
∴ ∴a＝4，b＝7，
∴ab＝28。故选C。
【答案】C
4．不等式 >0的解集是________。
【解析】 由 >0，得(x＋3)(x－3)(x－2)>0，利用数轴标根法易得－3<x<2或x>3。
2015，天津卷，4,5分(一元二次不等式的解法)
2014，全国卷Ⅰ，1,5分(一元二次不等式的解法)
2014，全国卷Ⅱ，1,5分(一元二次不等式的解法)
一元二次不等式的解法，直接考查则常以较简单的选择题形式出现。若以其他形式出现则常常起一个辅助作用，重点考查其他知识。
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第二节 一元二次不等式及其解法学案 文(含解析)新人教
第二节一元二次不等式及其解法2019考纲考题考情1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。
2．一元二次不等式的解集3.(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式解法1．解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记讨论当a ＝0时的情形。
2．不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。
(1)不等式ax2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0。
(2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0。
一、走进教材1．(必修5P 80A 组T 4改编)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫4－x x ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．[－2,4)B ．(－1,3]C ．[－2，－1]D ．[－1,3]解析 因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}，故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁UB )＝{x |－1≤x ≤3}。
故选D 。
答案 D2．(必修5P 80A 组T 2改编)y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________。
解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，所以3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞。
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞二、走近高考3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析 集合A ＝(1,3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1节 不等式的性质与一元二次不等式教师用书 文 北师
第六章不等式、推理与证明[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源 [五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．[导学心语]1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．第一节 不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．1．实数的大小顺序与运算性质的关系 (1)a >b ⇔a －b >0； (2)a ＝b ⇔a －b ＝0； (3)a <b ⇔a －b <0. 2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性) (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性)(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性)(5)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ≥2，n ∈N )；(单向性) (6)开方法则：a >b >0⇒na >nb n ≥2，n ∈N )；(单向性)(7)倒数性质：设ab >0，则a <b ⇔1a >1b.(双向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系4.用算法框图来描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程图6111．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2.( )(2)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.( )(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( ) [答案] (1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( )①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a >b >0⇒1a 2>1b2.A ．①②B ．②③C ．①④D ．①③D [利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac <bd ，故②不正确；因为函数y ＝x 13是递增的，所以③正确；对于④，由a >b >0可知a 2>b 2>0，所以1a 2<1b2，所以④不正确．]3．(2016·某某某某二模)若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )【导学号：66482268】A ．a 2>b 2B ．a b>1 C ．2a>2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．(2015·某某高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值X 围是__________.【导学号：66482269】[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]不等式的性质及应用(1)(2016·高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．(1)C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ ln(xy )>0⇒/ ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．](2)由题意知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 3分设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，8分∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1). 10分 ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值X 围为[5,10]. 12分[规律方法] 1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形．2．判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．3．由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值X 围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值X 围．[变式训练1] (1)(2016·某某六市2月模拟)若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |(2)若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，0C.⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 (1)D (2)B [由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.](2)∵－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0， 从而－3π2<α－β<0.]一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}. 6分 (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1). 12分[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)，求不等式的解集．[解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0. 3分所以当a >1时，解集为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解集为1<x <1a. 10分综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 12分 [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法．(3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练2] (2016·某某某某实验中学期末)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <13或x >12 B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题☞角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的X 围(2016·某某某某会宁一中月考)不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是__________.【导学号：66482270】(－2,2][当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4a －22＋16a －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值X 围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的X 围设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m的取值X 围．[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 3分有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；7分当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1. 7分因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 12分 ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的X 围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值X 围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的X围，谁就是主元，求谁的X 围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．[思想与方法]1．倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.2．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．3．比较法是不等式证明或判定两个实数(或代数式)大小的主要方法之一，其主要步骤为作差——变形——判断正负．4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.5．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．6．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防X]1．运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件．2．求代数式的X 围，应利用待定系数法或数形结合建立待求X 围的整体与已知X 围的整体的等量关系，避免扩大变量X 围．3．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 4．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 5．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． 6．不同参数X 围的解集切莫取并集，应分类表述．。
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第二节一元二次不等式及其解法☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于0。
2．一元二次不等式的解集3.(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式解法 微点提醒1．解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记讨论当a ＝0时的情形。
2．不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定。
(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0。
(2)不等式ax2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修5P 80A 组T 4改编)已知集合A ＝{x |x 2－16<0}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则A ∪B ＝( )A ．(－4,4)B ．RC ．{x |x >3或x <1}D ．{x |－4<x <1或3<x <4}【解析】 A ＝{x |x 2－16<0}＝(－4,4)，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x >3或x <1}，所以A ∪B ＝R 。
故选B 。
【答案】 B2．(必修5P 103A 组T 3改编)当x >0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－1D ．－32【解析】 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立，当Δ＝a 2－4>0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4>0，－a2<0，解得a >2。
所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x >0恒成立的实数a 的最小值是－2。
故选A 。
【答案】 A 二、双基查验1．不等式x (1－2x )>0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【答案】 B2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)。
故选D 。
【答案】 D3．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为{x |－2＜x ＜14}，则ab ＝( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26【解析】 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28。
故选C 。
【答案】 C4．不等式x 2－9x －2>0的解集是________。
【解析】 由x 2－9x －2>0，得(x ＋3)(x －3)(x －2)>0，利用数轴标根法易得－3<x <2或x >3。
【答案】 {x |－3<x <2或x >3}5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为__________。
【解析】 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0，所以0＜a ≤1。
综上0≤a ≤1。
【答案】 [0,1]【典例>0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)(2)不等式x －12x ＋1≤1的解集为________。
(3)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集。
【解析】 (1)集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)。
故选D 。
(2)x －12x ＋1≤1⇔x －12x ＋1－1≤0⇔－x －22x ＋1≤0⇔x ＋22x ＋1≥0。
解法一：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＋，2x ＋1≠0。
得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12或x ≤－2。
解法二：x ＋22x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，2x ＋1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，2x ＋1<0。
得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－12或x ≤－2。
(3)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0。
令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3。
①当a >0时，－a 4<a3，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4，或x >a 3；②当a ＝0时，－a 4＝a3＝0，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3，或x >－a 4。
综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4，或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3，或x >－a 4。
【答案】 (1)D (2)(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞(3)见解析反思归纳 解一元二次不等式注意以下几点：1．若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；2．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；3．若不等式是分式不等式，应化为一元二次不等式(组)，再求解。
【变式训练】 (1)不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集为________。
(2)解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0。
【解析】 (1)x －2x 2＋3x ＋2>0⇔x －2x ＋x ＋>0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)>0，数轴标根得{x |－2<x <－1或x >2}， 故填{x |－2<x <－1或x >2}。
(2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1。
若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1。
若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0。
①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a。
综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}。
【答案】 (1){x |－2<x <－1或x >2} (2)见解析【典例2】 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)【解析】(1)2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解之得－3<k <0。
故选D 。
(2)∀x ∈R ，ax2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，或a ＝0，∴0≤a <4。
故选B 。
【答案】 (1)D (2)B 角度二：在给定区间上恒成立【典例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1。
若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围。
【解析】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立。
有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]。
当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0。
综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}。
解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1。
因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可。
所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67。
【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m <67角度三：给定参数范围的恒成立问题【典例4】 对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是________。
【解析】 x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0， 在k ∈[－1,1]时恒成立。