第41课时 乘法公式(2)——完全平方公式
完全平方公式
完全平方公式一、教材分析本节内容主要研究完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用，它是在学生学习了幂的运算及整式的乘法后进行学习的。
乘法公式不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更为以后的学习打下基础，在推导分式的过程中应用了几何直观作为辅助手段，通过学生主动探索、归纳形成符号意识，提高了运算速度和准确率。
二、学情分析学生在已经掌握的单项式乘法、多项式乘法及平方差公式的基础上进行拓展，学生已经具备了一定的运算能力及推理能力，能掌握从一般到特殊的认知规律，通过平方差公式的学习，学生已经有了一定的符号感，所以可以通过已有的经验得出完全平方公式。
三、教学目标1.知识与技能：理解完全平方公式的推导过程；会应用公式进行简单的计算；2.过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力；3.情感态度与价值观：了解完全平方公式的几何背景，激发学习数学兴趣；鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力。
四、教学重难点重点：完全平方公式的推导过程，理解公式的本质，会运用公式进行简单的计算。
难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活的运用公式。
五、教学策略本课时采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、归纳、猜测和验证。
突出以学生为主体的探索性学习活动。
遵循知识产生过程，从特殊到一般再到特殊，将所学的知识用于实践中。
六、课时安排：一课时七、教学过程：教学环节教师活动学生活动设计意图创设情境，导入新课问题1：多项式乘多项式的法则？问题2.计算：(m+3)2(2+3x)2请观察上面的算式及其运算结果，你能发现什么规律吗？师生一起回顾第1题，学生独立完成问题2的计算。
（m+3）2=m2+6m+9(2+3x)2=4+12x+9x2观察规律学生在教师的引导下自主探索，小组讨论，总结，选出代表发言承上启下的作用，即复习了旧知识，又为新课埋下伏笔。
《完全平方公式》教案【通用七篇】
《完全平方公式》教案【通用七篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如总结报告、致辞讲话、短语口号、心得感想、条据书信、合同协议、规章制度、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays for everyone, such as summary reports, speeches, phrases and slogans, thoughts and feelings, evidence letters, contracts and agreements, rules and regulations, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please stay tuned!《完全平方公式》教案【通用七篇】《完全平方公式》教案篇1一、教学目标：经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；在变式中，拓展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于创新的精神和合作学习的习惯；重点是正确理解完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.并初步运用；难点是完全平方公式的运用。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
完全平方公式教学设计(原稿)
【教材分析】1.地位、作用：完全平方公式是初中代数的一个重要知识点，是在整式乘法基础上的拓展。
从多项式乘法到完全平方公式是从一般到特殊的认知过程，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习可以简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、函数及图形面积计算中都有举足轻重的作用。
2.重点、难点：重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，会运用公式进行简单的计算。
难点：公式的结构特点及对公式中字母所表示广泛的含义的理解，公式的正确运用。
难点突破：通过引导学生思考、讨论、交流和归纳总结来突破难点。
【学情分析】学生已经具备了多项式乘法的基础，因而对于完全平方公式的得出会很容易理解；对于公式的几何意义的理解，学生可能会有一定的困难，教学时可以利用图形使学生获得直观感知，再通过让学生思考、讨论、交流来得到；学生已经具备了一定的分析和观察能力，教学时应该通过引导学生观察、分析公式来掌握公式的结构特点，从而正确运用公式。
【设计理念】本节课的设计以学生为主体，让学生通过自主学习，积极思考、合作交流等活动，主动获取知识；强调使学生积极主动地参与到课堂教学中来，充分经历知识的生成、发展与运用的过程，在这个过程中，掌握知识，形成技能、发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者和引导者。
【教学目标】1、知识与技能：掌握公式的推导过程，了解公式的几何意义，会应用公式进行简单的计算。
2、过程与方法：经历完全平方公式的探究过程，发展观察、交流、归纳、验证的能力，培养发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力，体会数形结合的思想。
3、情感、态度、价值观：体会数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。
【教学流程】一、回顾旧知、引入新知运用多项式的乘法法则计算：（1）(a+b)2, （2） (a-b)2 （设计理念：通过回顾多项式乘法，继而运用法则推导公式，使学生温故而知新，培养学生的良好的学习习惯和逻辑推理能力）课题：完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2+2ab+b2二、合作交流、探究新知你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?(设计意图：创设问题情境，激发学生学习兴趣，同时培养学生合作交流意识。
乘法公式：平方差与完全平方
乘法公式一、细说乘法公式1、平方差公式应用的条件：两个多项式相乘，一个多项式可以看作两数的和，另一个多项式正好是这两数的差，或两多项式中，一项相同，另一项互为相反数结果写成：（相同项）2-（相反项）2 2、完全平方公式：结果可看作对这两数分别平方，再加上它们乘积的2即写成：（a-b ）2=a 2+b 2-2ab 试写出：（a-b-c ）2=3、完全平方公式相关变形及推广： ○1()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+； ○2ab b a b a 4)()(22=--+; ○3()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ○4()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；⑤（a-b+c-d ）2 =二、下列能运用什么乘法公式：3、(b-a) (-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=4、（-a-b ）(a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=5、（-a+b ）(-a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=6、(a+b) (-a+b) 〈比较两项的关系： 〉∴=7、(-a-b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=8、(-a+b) (a-b) 〈比较两项的关系： 〉∴=平方差公式组题【典型例题】 9、 热身训练 （1）（21x+31y ）（31y －21x ）＝（2）（２x －３y ）（ ）＝９y 2－４x 2 （3）（－a ＋51）（－a －51）＝（－a －５）（ ）＝25－a 2 （4）(x-1)(2x +1)( )=4x -1（5）(a+b+c)(a-b-c)= [ a + ( )] [ a - ( )]相同项 相反项用乘法公式运算：（7）1000110199⨯⨯ （8）2010200820092⨯-10．计算：（1）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++--11．已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．12．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x13. 已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数分别是多少？14、【初试锋芒】1）．1.010.99⨯= 2）．2221000252248-= ;3）22(2)(2)(4)x y x y x y -++=4）．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()x y x y --+B ．3333()()a b a b -+C ．2222()()c d d c -+D ．()()m n m n ---【大展身手】 15. 填空题1）．若222,10x y x y -=-=则x+y= 2）.2(1)(1)(1)x x x +-+= 3）．(1)(2)(3)(3)x x x x +---+= 4）．=⨯10199 16、选择题1）．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．()()a b a b -+- B ．(2)(2)x x ++C ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(2)(1)x x -+2）．在下列各式中，运算结果是2236y x -的是（ ） A. ()()x y x y --+-66 B. ()()x y x y -+-66 C. ()()y x y x 94-+ D. ()()x y x y ---66 17 ：解答题 1 ） 计算： 2229995(2)(2)x x x-+--2） 解方程(21)(21)3(2)(2)(1)(2)12x x x x x x -+-+-=+-+完全平方公式组题【典型例题】1．课前热身训练：（1）221⎪⎭⎫ ⎝⎛+-cd （2）()23x y -+ （3）2199（4）)2)(2(4)2(2y x y x y x +--- （5）)12)(12(-+++y x y x2．已知()222116x m xy y -++是一个完全平方式，求m 的值．3．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和a b 的值．4. 若0132=+-a a ，求aa 1+的值.【初试锋芒】1．212a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭运算结果是（ ）A 、2214a b+B 、2214a b-C 、2214a ab b++D 、221124a ab b++2．运算结果是24221m n mn -+的是（ ）A 、22(1)m n -B 、22(1)m n -C 、22(1)m n --D 、22(1)m n +3．若224222)(n n m m M n m ++=+-，则M （ ）A 、0B 、2m nC 、22m n -D 、24m n4．若249x Nx ++（N 为整数）是一个完全平方式，则N=（ ）A 、6，-6B 、12C 、6D 、12，-125．已知y x y x y x >=+=+且,7,2522，则x-y 的值等于【大展身手】 1．（35x +）2=22962525x xy y++ 2．22()()a b a b -=+3．()222a b a b +=-+ =2()a b +- 4．()2a b c -+= 4．若7,12,a b ab +==则22a ab b -+=5．要使等式()()22a b M a b -+=+成立，代数式M 应是（ ）A 、2abB 、4abC 、4ab -D 、2ab - 【中考真题演练】1.（2009枣庄）若3n m =+，则222426m mn n ++-的值为（ ）Ａ．12Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．02.（2009台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①② B．①③ C ． ②③ D ．①②③ 3.（2009北京）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值4.（2009十堰）已知3b a =+，2=ab ,求下列各式的值： （1）22ab b a + （2）22b a +。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
华师大版八年级数学上册【说课稿】 12.5.4 公式法——完全平方公式
12.5.4 公式法——完全平方公式下面我将从教材分析、教法、学法、教学过程四方面来说明。
一、教材分析：（一）地位与作用：分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。
（二）教学目标课时教学目标对课堂教学起着导向作用、激励作用和标准作用，研究教材的一个重要内容是为了制定明确、具体、可行的教学目标。
根据大纲和教材的要求，结合目标分类理论和学生实际，制定目标如下：1、知识目标⑴能记住完全平方公式；⑵能辨认完全平方式；⑶能灵活运用完全平方公式进行因式分解。
２、能力目标⑴提高学生的运算能力；⑵培养学生的观察分析能力；⑶渗透换元与整体的思想。
３、情感目标培养科学的质疑精神与积极地将新旧知识进行关联的倾向，以及学习数学的兴趣。
（三）教学的重点和难点本节课的重点是灵活运用完全平方公式分解因式，特别是对完全平方式的判断，对学生的观察分析能力有较高的要求，本节课的难点是整体、换元思想的掌握。
换元与整体的思想是数学中的一个重要思想方法，要启发学生注意不断总结规律和积累解体经验。
二、说教法（一）本节课采用的教学方法主要是启发诱导法和练习法，并辅以讲解法、分析法，采用这一教法是基于以下的考虑：认知心理学家奥苏伯尔的研究表明，有意义的学习的发生必须满足下列条件：第一，学习者认知结构中同化新材料的适当知识基础，也就是具有必要的起点能力；第二，学习者还应具有积极地将新旧知识关联的倾向。
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式(完整知识点)完全平方公式完全平方公式即(a±b)²=a²±2ab+b²该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。
难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。
必须注意的：①漏下了一次项②混淆公式（与平方差公式）③运算结果中符号错误④变式应用难于掌握。
学会用文字概述公式的含义:两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2、左边两项符号相同时，右侧各项全用“+”号毗连；左边两项符号相反时，右侧平方项用“+”号毗连后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）.完全平方公式口诀前平方，后平方，二倍乘积在中心。
同号加、异号减，符号添在异号前。
（可以背下来）即(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）公式变形（题）变形的方法（一）、变符号：例1：应用完全平方公式计较：（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2阐发：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简朴的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计较。
解答：(1)原式=16x2-24xy+9y2(2)原式=a2+2ab+b2（二）、变项数：例2：计算：(3a+2b+c)2分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。
所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
完全平方公式-教学教案
一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如可先变形为或或者，再进行计算．在运用公式时，防止发生这样错误．3．运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．4．与都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．三、教法建议1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．（1）既讲“法”，又讲“理”在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．（2）讲联系、讲对比、讲特点对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)2=a2+b2的错误，其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．教学设计示例一、教学目标1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．2．熟练运用公式进行计算．3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．5．渗透数学公式的结构美、和谐美．二、学法引导1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：（1）切勿把此公式与公式混淆，而随意写成．（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．三、重点·难点及解决办法（一）重点掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．（二）难点综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．（三）解决办法加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．四、课时安排一课时．五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．七、教学步骤（一）明确目标本节课重点学习完全平方公式及其应用．（二）整体感知掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab 中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．（三）教学过程1．计算导入；求得公式（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；（2）用简便方法计算①103×97②103×103（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘法公式”．引例：计算，学生活动：计算，，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．或合并为：教师引导学生用文字概括公式．方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．【教法说明】①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．2．结合图形，理解公式根据图形完成下列问题：如图：a、b两图均为正方形，（1）图a中正方形的面积为____________，（用代数式表示）图ⅰ、ⅱ、ⅲ、ⅳ的面积分别为_______________________。
《完全平方公式》教案 (公开课)2022年2
1.8 完全平方公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.通过有趣的分糖情景，使学生进一步稳固(a+b)2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解(a+b)2与a2+b2的关系.2.运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算.3.进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式.(二)能力训练要求1.在进一步稳固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用.2.进一步熟练乘法公式，提高最根本的运算技能，并且明白每一步的算理.(三)情感与价值观要求1.鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神.2.从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣.●教学重点1.稳固完全平方公式，区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学难点1.区分(a+b)2与a2+b2的关系.2.熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义.●教学方法活动探究法.●教具准备投影片四张第一张：提出问题，记作(§1.8.2 A)第二张：分糖游戏，记作(§1.8.2 B)第三张：例2，记作(§1.8.2 C)第四张：例3，记作(§1.8.2 D)●教学过程Ⅰ.创设情景，引入新课［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：出示投影片(§1.8.2 A)一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为(a－2)2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－(a－2)2平方厘米，因为a2－(a－2)2=a2－(a2－4a+4)=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了(4a－4)平方厘米.［师］很好！这节课我们继续稳固完全平方公式.Ⅱ.讲授新课［师］下面我们来做一个“分糖游戏〞.出示投影片(§1.8.2 B)一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a+b)个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a 块糖，所以一共发了a2块糖.第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖.第三天有(a+b)个孩子去了老人家，老人给每个孩子发(a+b)块糖，所以一共发了(a+b)2块糖.［生］前两天他们得到的糖果总数是(a2+b2)块，因为(a+b)2－(a2+b2)=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab.由于a>0,b>0,所以2ab>0.由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果.［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b)块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块.［师］不错！而这个游戏又充分说明了(a+b)2与a2+b2的关系，即(a+b)2≠a2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(§1.8.2 C)［例2］利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)1972.如果直接计算1022，1972会很繁.根据题目的提示使我们想到1022可以写成(100+2)2，1972可以写成(200－3)2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试.［生］解：(1)1022=(100+2)2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200－3)2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片§1.8.2 D)［例3］计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2)题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以防止符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的时机.解：(1)方法一：(x+3)2－x2=x2+6x+9－x2——运用完全平方公式=6x+9方法二：(x+3)2－x2=［(x+3)+x］［(x+3)－x］——逆用平方差公式=(2x+3)×3=6x+9(2)(a+b+3)(a+b－3)=［(a+b)+3］［(a+b)－3］=(a+b)2－32=a2+2ab+b2－9(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)=x2+10x+25－(x2－5x+6)=x2+10x+25－x2+5x－6=15x+19［例4］x+y=8,xy=12,求x2+y2的值.分析：由完全平方公式(x+y)2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=(x+y)2－2xy,故可将x+y=8,xy=12整体代入求值.解：x2+y2=(x+y)2－2xy把x+y=8,xy=12代入上式，原式=82－2×12=64－24=40Ⅲ.随堂练习1.(课本P45)利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)解：(1)962=(100－4)2=10000－800+16=9216(2)(a－b－3)(a－b+3)=［(a－b)－3］［(a－b)+3］=(a－b)2－32=a2－2ab+b2－92.试一试，计算：(a+b)3分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得(a+b)3=(a+b)2·(a+b),可以使运算简便.解：(a+b)3=(a+b)2·(a+b)=(a 2+2ab+b 2)(a+b)=a 3+a 2b+2ab 2+2a 2b+ab 2+b 3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 3.x+x 1=2,求x 2+21x 的值.解：由x+x1=2,得(x+x 1)2=4. x 2+2+21x =4.所以x 2+21x =4－2=2.Ⅳ.课时小结［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享.［生］在有趣的分糖情景中，不仅稳固了完全平方公式，而且更进一步理解了(a+b)2与a 2+b 2的关系.［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a,b 的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式.……Ⅴ.课后作业1.课本P 45，习题1.14.Ⅵ.活动与探究化简 个n 9999× 个n 9999+个n 9991 ［过程］当n=1时，9×9+19=102当n=2时，99×99+199=104当n=3时，999×999+1999=106……于是猜想：原式=102n［结果］原式=(10n －1)(10n －1)+(2×10n －1)=(10n－1)2+2×10n－1=102n－2×10n+1+2×10n－1=102n●板书设计§1.8.2 完全平方公式(二)一、糖果游戏(1)a2(2)b2(3)(a+b)2(4)(a+b)2的总数较多，多2ab.结果：(a+b)2≠a2+b2二、例题讲解例2.利用完全平方公式计算(1)1022(2)1972例3.计算：(1)(x+3)2－x2(2)(a+b+3)(a+b－3)(3)(x+5)2－(x－2)(x－3)●备课资料参考练习1.选择题(1)以下等式成立的是( )A、(a－b)2=a2－ab+b2B、(a+3b)2=a2+9b2C、(a+b)2=a2+2ab+b2D、(x+9)(x－9)=x2－9(2)(a+3b)2－(3a+b)2计算结果是( )A.8(a－b)2B.8(a+b)2C.8b2－8a2D.8a2－8b2(3)(5x2－4y2)(－5x2+4y2)运算的结果是( )A.－25x4－16y4B.－25x4+40x2y2－16y4C.25x4－16y2D.25x4－40x2y2+16y4(4)运算结果为x4y2－2x2y+1的是( )A.(x2y2－1)2B.(x2y+1)2C.(x 2y －1)2D.(－x 2y －1)22.填空题(1)(4a －b 2)2= .(2)(－21m －1)2= . (3)(m+n+1)(1－m －n)= .(4)(7a+A)2=49a 2－14ab 2+B,那么A= ,B= .(5)(a+2b)2－ =(a －2b)2.3.用乘法公式计算：(1)9992;(2)20022－4004×2003+20032.4.,a+b=8,ab=24.求21(a 2+b 2)的值. 5.x+x 1=4,求证x 2+21x .6.：x 2－2x+y 2+6y+10=0,求x+y 的值.答案：1.(1)C (2)C (3)B (4)C2.(1)16a 2－8ab 2+b 4(2)41m 2+m+1 (3)1－m 2－2mn －n 2(4)－b 2 b 4(5)8ab3.(1)998001 (2)14.85.146.－22.4有理数的加法〔1〕二、教学目标1．使学生掌握有理数加法法那么，并能运用法那么进行计算；2．在有理数加法法那么的教学过程中，注意培养学生的观察、比较、归纳及运算能力．三、教学重点和难点重点：有理数加法法那么．难点：异号两数相加的法那么．四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法启发式教学六、教学过程〔一〕、师生共同研究有理数加法法那么前面我们学习了有关有理数的一些根底知识，从今天起开始学习有理数的运算．这节课我们来研究两个有理数的加法．两个有理数相加，有多少种不同的情形？为此，我们来看一个大家熟悉的实际问题：足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．假设我们规定赢球为“正〞，输球为“负〞．比方，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的胜负可能有以下各种不同的情形：(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球．也就是(+3)+(+2)=+5．①(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么全场共输了3球．也就是(-2)+(-1)=-3．②现在，请同学们说出其他可能的情形．答：上半场赢了3球，下半场输了2球，全场赢了1球，也就是(+3)+(-2)=+1；③上半场输了3球，下半场赢了2球，全场输了1球，也就是(-3)+(+2)=-1；④上半场赢了3球下半场不输不赢，全场仍赢3球，也就是(+3)+0=+3；⑤上半场输了2球，下半场两队都没有进球，全场仍输2球，也就是(-2)+0=-2；上半场打平，下半场也打平，全场仍是平局，也就是0+0=0．⑥上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这7个算式，看能不能从这些算式中得到启发，想方法归纳出进行有理数加法的法那么？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？这里，先让学生思考2～3分钟，再由学生自己归纳出有理数加法法那么：1．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；3．一个数同0相加，仍得这个数．〔二〕、应用举例变式练习例1 计算以下算式的结果，并说明理由：(1)(+4)+(+7)； (2)(-4)+(-7)； (3)(+4)+(-7)；(4)(+9)+(-4)；(5)(+4)+(-4)； (6)(+9)+(-2)； (7)(-9)+(+2)；(8)(-9)+0；(9)0+(+2)； (10)0+0．学生逐题口答后，教师小结：进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法那么．进行计算时，通常应该先确定“和〞的符号，再计算“和〞的绝对值．解：(1) (-3)+(-9) (两个加数同号，用加法法那么的第2条计算)=-(3+9) (和取负号，把绝对值相加)=-12．下面请同学们计算以下各题：(1)(-0.9)+(+1.5)； (2)(+2.7)+(-3)； (3)(-1.1)+(-2.9)；全班学生书面练习，四位学生板演，教师对学生板演进行讲评．〔三〕、小结这节课我们从实例出发，经过比较、归纳，得出了有理数加法的法那么．今后我们经常要用类似的思想方法研究其他问题．应用有理数加法法那么进行计算时，要同时注意确定“和〞的符号，计算“和〞的绝对值两件事．七、练习设计1．计算：(1)(-10)+(+6)； (2)(+12)+(-4)； (3)(-5)+(-7)； (4 )(+6)+(+9)；(5)67+(-73)； (6)(-84)+(-59)； (7)33+48；(8)(-56)+37．2．计算：(1)(-0.9)+(-2.7)； (2)3.8+(-8.4)；(3)(-0.5)+3；(4)3.29+1.78； (5)7+(-3.04)；(6)(-2.9)+(-0.31)；(7)(-9.18)+6.18； (8)4.23+(-6.77)；(9)(-0.78)+0．4*．用“＞〞或“＜〞号填空：(1)如果a＞0，b＞0，那么a+b ______0；(2)如果a＜0，b＜0，那么a+b ______0；(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a+b ______0；(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a+b ______0．5*．分别根据以下条件，利用|a|与|b|表示a与b的和：(1)a＞0，b＞0； (2) a＜0，b＜0；(3)a＞0，b＜0，|a|＞|b|； (4)a＞0，b＜0，|a|＜|b|．九、教学后记“有理数加法法那么〞的教学，可以有多种不同的设计方案．大体上可以分为两类：一类是较快地由教师给出法那么，用较多的时间(30分钟以上)组织学生练习，以求熟练地掌握法那么；另一类是适当加强法那么的形成过程，从而在此过程中着力培养学生的观察、比较、归纳能力，相应地适当压缩应用法那么的练习，如本教学设计．现在，试比较这两类教学设计的得失利弊．第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟悉法那么的应用，这种教法近期效果较好．第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法那么的过程，主动获取知识．这样，学生在这节课上不仅学懂了法那么，而且能感知到研究数学问题的一些根本方法．这种方案减少了应用法那么进行计算的练习，所以学生掌握法那么的熟练程度可能稍差，这是教学中应当注意的问题．但是，在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法那么〞进行计算，故这种缺陷是可以得到弥补的．第一种方案削弱了得出结论的“过程〞，失去了培养学生观察、比较、归纳能力的一次时机．权衡利弊，我们主张采用第二种教学方。
乘法公式(2)完全平方公式
= (4x)2 + 2 · 4x · 5y + (5y)2 =16 x2 + 40 x y +25y2
(3) ( m n − a )2
= ( m n )2 − 2 ·m n ·a + a2 = m2 n2 − 2 m n a + a2
学一学
例2：利用完全平方公式计算： (1) 0.982 (2) 10012 解：(1) 原式 = （ 1 − 0.02）2 = 12 − 2 ·1 ·0.02 + 0.022 = 1 − 0.04 + 0.0004 = 0.9964
知识小园地
利用贾宪三角对完全平方公式进行推广
（a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
作业
作业
1、基础训练：书本p.85第2 、 3 、4 题。 2、拓展训练：补充习题
拓 展 练 习(2)
1.思考： (a+b+c) 2 可以用完全平方公式进行计算吗？
练习：计算 ( m −2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用： 1. 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2
；
(x −y)2 的值 。
2.已知：a −b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值 。 3.已知：(x +y )2 =9 ; ( x − y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值。
4.3.2公式法(完全平方公式)
完全平方公式与因式分解关系
你能用不同的方式表示图形的面积吗？
方法一：（a+b）2
方法二：a2+2ab+b2
b
整式乘法
a
（a+b）2
= a2+2ab+b2
因式分解
a
b
完全平方公式与因式分解关系
事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
课堂小结
公式 完全平方公式 特 点 分解因式
步骤
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某 数或式的平方，另一项则是这两数或式 的乘积的2倍，符号可正可负.
一提、二套、三查
课后作业
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
课后作业
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2;
(2)原式=[2(2a+b)]²－ 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2;
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²
形如 （a²±2ab+b²）的式子称为完全平方式.
根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)
= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特
乘法的完全平方公式
14.2.2 完全平方公式教学目标：知识与能力：理解掌握完全平方公式，会用公式熟练地进行计算。
掌握去括号法则。
过程与方法：经历观察、计算并运用几何拼图验证公式的过程，培养观察能力、计算能力，体会数形结合的思想情感态度与价值观：在探索运用完全平方公式的过程中，体会数形结合的思想，培养学生对数学的学习兴趣。
重点：完全平方公式的理解及运用。
难点：灵活运用完全平方公式及去括号法则熟练地进行计算。
教学过程：一：情景导入：1、复习平方差公式:( a + b )( a – b )=a2 - b22思考：(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否也能用一个公式来表示呢？二：探究新知：1、根据乘方的意义计算下列各式，你能发现什么规律？(1) (p+1)2 =(p+1)(p+1)=(2) (m+2)2=（m+2）(m+2)=(3) (p-1)2 =(p-1)(p-1)=(4) (m-2)2 =2、计算, (a+b)2=(a−b)2=你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?3你能利用面积来说明完全平方公式吗？2222+=+a+b)(baba2222-=-a+ab)(bab公式特点：1结果为二次三项式，乘积中两项为两数的平方和，另一项是两数乘积的2倍，且与乘式中间的符号相同2可用口诀记忆完全平方公式：首平方，尾平方，积的2倍加减在中央3公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式。
设计意图：让学生利用多项式乘以多项式计算第1题，以旧引新，发现规律，然后利用两个几何图形给出几何解释，从公式的发现，到语言表述，再到几何解释，可以让学生从不同角度深刻理解公式三：典型示例：例1 利用完全平方公式计算：(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2; (3) (mn−a)2（4）1）2（y-2例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）992答案：例1：（1）91242+-x x （2）22254016y xy x ++（3）2222a mna n m +-（4）412+-y y例2：（1）10404 （2）9801设计意图：通过本组例习题，让学生能利用公式进行计算 四、随堂练习：1利用完全平方公式进行计算：（1）（x+6）2（2）(y-5)2（3）(-2x+5)2（4）2)3243(y x -答案：（1）x2+12x+36（2）y2-10y+25（3）4x2-20x+25（4）2294169y xy x +- 2下列各式的计算错在哪里？应该怎样改正？ (1)(a+b)2=a 2+b 2 (2). (a-b)2=a 2-b 2 (3) (2a −1)2＝2a 2−2a +1; (4) (2a +1)2＝4a 2 +1； (5) (-a −1)2＝-a 2−2a −1.答案：（1）不对，应为222b ab a ++（2）不对，应为222b ab a +- （3）不对 ，应为1442+-a a （4）1442++a a （5）不对，应为122++a a 3、运用完全平方公式计算 (1) ( 21 x − 2y)2 ； (2) (2xy+ 51 x )2 （3） （-2x+5）2（4）(n+1)2-n 2答案：（1）22441y xy x +- （2）2222251544x y x y x ++ （3）252042+-x x （4）12+n设计意图：完全平方公式不仅适用于式的运算，而且适用于数的运算，通过多角度练习，让学生熟练掌握公式。
乘法公式——完全平方公式 PPT课件
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
你能对其进行推导吗？
拼图游戏：
现有下图所示三种规格的卡片若干张，请你选取相应种类 和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形面积 的表示方法有几种。
a a
b a
b b
画图游戏：
现有下图所示边长为a的正方形卡片一张，请你在上面画 一个边长为a-b的小正方形，并讨论该正方形面积的表示方法 有几种。
2(y 1)2
2
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992
练习2 运用完全平方公式计算:
(1) x 6 2 ;
a
a
议一议
b
a b a−b
a a−b
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
例1、运用完全平方公式计算：
(1) (4m+n)2
例1、运用完全平方公式计算：
(2)
(3 4
x
2
y)2
;
想一想:
( a b ) 2 与 (a b)2相等吗？
11.2 乘法公式(第2课时 完全平方公式)(教学课件)-2024-25学年七年级数学上册(沪教版)
)
A. 9 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm
10. [新考法·整体代入法 2024·成都锦江区模拟] 若( x －1)2＝2，
则代数式3 x2－6 x －5＝
－2
.
11. [2023成都武侯区期末]如图，从边长为 a ＋4的正方形纸片中剪去一个边长为
a 的正方形( a ＞0)，将剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形(不重叠无缝
－ bc － ac 的值吗？试求出这个值.
【解】当 a ＝2 023， b ＝2 024， c ＝2 025时，
原式＝ [( a － b )2＋( b － c )2＋( c － a )2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
14. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数(即十位数字和个位数
+ ( )
4
4
3
3
1 2 1
4 2
=
− + .
16
3
9
4 ൫− 3 + 23 )2 ;
2
4 ( − 3 + 2 3 )
2
2
= ( − 3 ) + 2 ⋅ −3 ⋅ 2 3 + (23 )
= 6 − 43 3 + 4 6 .
课堂练习
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9 ;
5 2 + 3 2 − 3 4 2 − 9
= 4 2 − 9 4 2 − 9
2
= (4 2 ) − 2 ⋅ 4 2 ⋅ 9 + 92
= 16 4 − 72 2 + 81.
6 + − 2.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
返回目录
C组 11. 我们知道，根据一些图形的面积可以解释一些代数恒等式，如图114-41-1是由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小矩形 拼成的一个大矩形，根据该图形的面积，你可以写出的一个代数恒等式 是______a_2_+_2_a_b_=_a_（__a_+_2_b_）___.
返回目录
解：∵（x+y）2=9，（x-y）2=25， ∴（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2=34. ∴x2+y2=17. ∵（x+y）2-（x-y）2=4xy=-16， ∴xy=-4．
返回目录
变式训练
4. 已知：a+b=8，ab=6． （1）求（a+b）2的值；（2）求a2+b2的值．
解： （1）∵a+b=8，∴（a+b）2=82=64. （2）∵a+b=8，ab=6， ∴a2+b2=（a+b）2-2ab=82-2×6 =64-12=52．
返回目录
第一部分 新课内容
第十四章 整式的乘法与因式分解
第41课时 乘法公式（2）——完全平方公式
目录
01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 04 分层训练
知识思点维导导学图
A．完全平方公式：两个数的和（或 1.计算：（m+2）2=（__m__）2
差）的平方，等于它们的平方和， +2·_____m_____·_____2_____+
10.已知（a+b）2=5，（a-b）2=3，求下列式子的值：
（1）a2+b2；
（2）6ab．
解：（1）∵（a+b）2=5，（a-b）2=3， （2）∵a2+b2=4，
∴a2+2ab+b2=5，a2-2ab+b2=3.
∴4+2ab=5.解得ab= .
∴2（a2+b2）=8.解得a2+b2=4.
∴6ab=3．
返回目录
典型例题
知识点2：灵活运用完全平方公式计算
【例2】计算：
（1）（－2x+5）2；
（2）（-x-y）2.
解：原式=4x2－20x+25.
解：原式=x2+2xy+y2.
返回目录
变式训练 2. 计算： （1）(- +3b)2； 解：原式= -2b+9b2.
（2）（－2m－1）2. 解：原式=4m2+4m+1.
（3）(y+ z)2；
（4）( x-2y)2.
解:原式=y2+ yz+ z2.
解：原式= x2-2xy+4y2.
返回目录
变式训练
1. 计算： （1）（x+5）2；
（2）(x- )2；
解:原式=x2+10x+25.
解:原式=x2-x+ .
（3）（2a+5b）2；
（4）（4x-3y）2.
解：原式=4a2+20ab+25b2. 解：原式=16x2-24xy+9y2.
返回目录
8. 计算： （1）（-3x+y）2；
解:原式=9x2-6xy+y2.
（3）（2a-b）（-b+2a）. 解:原式=4a2-4ab+b2.
（2）（2-a）（a-2）； 解:原式=-a2+4a-4.
返回目录
9. 计算：（x+1）2+x（x-2）-（x+1）（x-1）.
解：原式=x2+2x+1+x2-2x-(x2-1)=x2+2.
返回目录
分层训练
A组
5. 计算（x-2）2正确的是
A．x2-4
B．x2-4x-4
C．x2-2x+4
D．x2-4x+4
6. 计算：
（1）（2x+4）2=____4_x_2_+_1_6_x_+_1_6____；
（2）（5x-2y）2=___2_5_x_2_-_2_0_x_y_+_4_y_2___；
（3）（xy-4）2=___x_2_y_2_-_8_x_y_+_1_6__________；
加上（或减去）它们的积的2倍.即 （_____2_____）2
（a±b）2=a2±2ab+b2．
=__m_2_+_4_m_+_4__.
返回目录
典型例题
知识点1：直接运用完全平方公式计算
【【例1】计算：
（1）（2x-1）2； 解:原式=4x2-4x+1.
（2）（3a+b）2； 解：原式=9a2+6ab+b2.
返回目录
典型例题
知识点3：利用完全平方公式简便计算 【例3】计算：3012.
解：原式=（300+1）2 =90 000+600+1 =90 601.
返回目录
变式训练 3. 计算：1992.
解:原式=（200-1）2 =40 000-400+1 =39 601．
返回目录
典型例题
知识点4：完全平方公式的常用变形 【例4】 已知（x+y）2=9，（x-y）2=25，求x2+y2和xy的值．
（4）（mn-2a）2=______m_2_n_2_-_4_a_m_n_+法公式计算： （1）9992；
解:原式=（1 000-1）2 =1 000 000-2 000+1 =998 001.
B组
（2）(30 )2. 解：原式=（30+ ）2 =900+30+ =930 .
2. 杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排 列，观察如图1-14-41-2的杨辉三角及下面的等式： （a+b）1=a+b （a+b）2=a2+2ab+b2 （a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 （a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 按照上面的规律，则（a+b）5 =______a_5_+_5_a_4b_+_1_0_a__3b_2_+_1_0_a_2_b_3+_5_a_b_4_+_b_5_____________.