在实际应用中柯西积分公式的用途_正文

在实际应用中柯西积分公式的用途1 前言《复变函数论》是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展，其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的．柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义．通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对复变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．2 预备知识2.1 柯西积分定理设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=⎰cdz z f ．2.2 推广的柯西积分定理设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则0)(=⎰cdz z f ．2.3 复周线柯西积分定理设D 是有复周线---++++=n C C C 210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数)z (f在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=⎰cdz z f ．2.4 柯西积分公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有⎰-=c d zf i z f ζζζπ)(21)( (D z ∈)． 3 柯西积分公式的推论3.1 解析函数平均值定理如果函数)(z f 在R z <-0ζ内解析，在闭圆R z ≤-0ζ上连续，则ϕππϕd e R z f z f i ⎰+=2000)(21)(，即)(z f 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数． 证：设C 表示圆周R z =-0ζ，则πϕζϕ20,0≤≤=-i e R z ， 即ϕζi e R z +=0，由此 ϕζϕd e iR d i =， 根据柯西积分公式⎰⎰+=-=c i i i c d e R e iR e R z f i d z f i z f ϕπζζζπϕϕϕ)(21)(21)(000ϕππϕd e R z f i ⎰+=200)(213.2 高阶导数公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有),2,1()()()(2!)(1)( =∈-=⎰+n D z d z f i n z f c n n ζζζπ这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式．现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明．引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ∉z ，定义函数⎰Γ-=ζζζd z f z F m m )()()(那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且)()(1z mF z F m m +='证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有ε<-)()(a F z F m m ．因为]))((1)()(1)()(1)[()()(1)11()(1)(12111mm m mk k k m m m a z a z a z a z a z a z a z --++--+---=-----=----=--∑ζζζζζζζζζζζζ (1)所以ζζζζζζζζζζζd az az f a z d a f z f a F z F mmmm m m ]11[)(])()()()([)()(--++---≤---=-⎰⎰ΓΓ（2）因为)(z f 在Γ上连续，所以存在某个常数0>M ，使得对于Γ上一切点ζ，M f ≤)(ζ．设a 与Γ的距离为r ．那么对于任意Γ∈ζ及2ra z <-，有2,2rr z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l rMm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-，其中l 为曲线Γ的长．令 lMm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-⇒<-εε． 取 )21,2min(11l Mm r m m ++=εδ． 那么，当δ<-a z ，就有ε<-)()(a F z F m m ．其次证明)(z F m 在区域G 上解析，且满足)()(1z mF z F m m +='，在G 内任取一点a ，设a z G z ≠∈,，由（1）得⎰⎰Γ-Γ---++--=--ζζζζζζd za z f d z a z f a z a F z F mm m m ))(()())(()()(1 ，因为Γ∈a ，所以对于满足不等式m k ≤≤1的每个k ，kz z f --))((ζ在Γ上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G 上定义了一个变量z 的连续函数，因此，当a z →时的极限存在，即)()()()()()(111a mF d z f d a f a F m m m m+Γ+Γ+=-++-='⎰⎰ζζζζζζ ．对于G 内的一切a 均成立．下面使用这个引理证明高阶导数公式:证明：由柯西积分公式，对于G 内的任意点z ，有 ⎰Γ-=ζζζπd zf i z f )(21)(，⎰Γ-=ζζζπd z f i z F m m )()(21)(． 记)()(1z F z f =根据引理，)(!)()(!3)(!2)()(!2)()()()()(1)(433221z F m z fz F z F z f z F z F z f z F z F z f m m +=='='''='=''='='即 ⎰Γ+-=ζζζπd z f i m z f m m1)()(2!)(． 3.3 柯西不等式设函数)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a r =-ζ:，只要r及其内部K 均含于D ，则有,2,1,)(max )(,)(!)()(==≤=-n z f R M RR M n a fR a z n n ． 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有nn c n n R R M n R R R M n d a f i n a f )(!2)(2!)()(2!)(11)(=⋅⋅≤-=++⎰ππζζζπ注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点a 的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．3.4 刘维尔定理 有界整函数)(z f 必为常数证：设)(z f 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有M R M ≤)(．于是命1=n 时有RMa f ≤')(， 上式对一切R 均成立，让+∞→R ，即知0)(='a f ，而a 是z 平面上任一点，故)(z f 在z 平面上的导数为零，所以，)(z f 必为常数3.5 摩勒拉定理若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有 0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在D 内解析．证：在假设条件下，即知)()()(00D z d f z F zz ∈=⎰ζζ在D 内解析，且)()()(D z z f z F ∈='．但解析函数)(z F 的导函数)(z F '还是解析的．即是说)(z f 在D 内解析．4 奇点在积分路径C 上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．定义1 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，在C 上0z 的两边各取一点21,z z ，若⎰-→21021,,)(limz z c z z z dz z f存在，则称此极限值是f 沿C 的奇异积分，记为⎰⎰-→=21021,,)(lim)(z z c z z z cdz z f dz z f定义2 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε存在，则称此极限值是f 沿C 的柯西主值积分，记为dz z z z f i dz z z z f i z z c c ⎰⎰-→-=-21,000)(21lim )(21ππε 定理1 设C 施光滑曲线，取正向，若f 满足Holder 条件，即 )10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a（其中a K ,都是实常数，21,z z 是C 上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有)(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ证：dz z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i z z c z z c c ⎰⎰⎰---+--=-2121,00,0002)()()(21)(21πππ 又 )0(,)]arg()[arg()]log()[log(102010201,021→→---=---=-⎰-επi z z z z i z z z z dz z z z z c（其中)log(0z z -为21,z z c -上任意连续分支，ε=-=-0201z z z z ），)]arg()[arg(0201z z z z ---为当z 从2z 沿21,z z c -变动到1z 时0z z -的幅角改变量，当0→ε即02,1z z z →时，它的极限值为π．又因为)(z f 满足Holder 条件，即az z Kz z z f z f --≤--1000)()( 而10<≤a ，则积分 dz z z z f z f i c ⎰--00)()(21π 存在． 于是，得⎰⎰⎰--→-+--=-c z z c z z c z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i ]2)()()(21[lim )(212121,,000000πππε )(21)()(21000z f dz z z z f z f i c +--=⎰π定理2 若C 是简单逐段光滑曲线，D 是以C 为边界的有界单连通区域，)(z f 在D 内解析，在}{0z D -上连续)(0C z ∈，在0z 的邻域有K z D z a z z K z f a},{,10,)(00-∈<≤-≤为常数则0)(=⎰dz z f c．证：以0z 为心，充分小的0>ε为半径作圆，在C 上取下一小段弧εC ，在D 内得到圆弧εL ，取正向，有柯西积分定理,0)()(=+⎰⎰--εεL c c dz z f dz z f设εL 的参数方程为,,210θθθεθ<≤=-i e z z)0(,0)()(121021→→-==-≤-⎰⎰⎰εθθθθεεεεθθaL a aL K d K dz z z K dz z f ． 故0)(lim )(lim )(00=+=⎰⎰⎰-→→εεεεc c L cdz z f dz z f dz z f定理3 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上)(z f 满足Holder 条件，则有)(,)(21)(21000C z z z z f i z f c ∈-=⎰π 此式称为0z 在边界C 上的柯西积分公式． 证：)(z f 满足Holder 条件，则有)10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a那么由定理1知： )(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ而)10(,)()(1000<≤-≤---a z z Kz z z f z f a于是由定理3得 0)()(00=--⎰dz z z z f z f c故有)(,)(21)(21000C z dz z z z f i z f c ∈-=⎰π 另外，当C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε不一定存在．因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时0z在边界C 上的柯西积分公式也不能确定．5.3 柯西积分公式的方法与技巧柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁．而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数)(z f 在D 内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域D 内存在．到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式．因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养．当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线C 内含有分母的一个零点而分子在C 内处处解析（即对⎰cdz z g )(，0)()(z z z f z g -=或10)()(+-n z z z f ，0z 在C 内，而)(z f 在C 内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分．而在有理函数情形，若C 内含有分母一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积．6 举例应用例1 计算积分x y x C zz dz c 4:,cos )4(222=+-⎰． 解：化x y x 422=+为4)2(22=+-y x ，即22=-z ．C 内有奇点2,2π，作以2π和2为心的位于C 内的互不相交且互不包含的小圆周1C 和2C ，依复闭合定理与柯西积分公式，有]2cos 41164[2]cos )2(1[2]41[22cos )2(1cos 11cos )4(cos )4(cos )4(222222222121+-=++-=-++-=-+-=-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππi zz i z i dz z z z dz z z zz dzz z dz z z dz z z c c c c c例2 计算积分 （1）⎰=-++1)3141(z dz z z ，（2）⎰=-++4)3141(z dz z z分析：（1）和（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，（1）的结果很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯西积分定理．（2）应为奇点4-=z 在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3条件，可利用定理3求值．解（1）直接用柯西积分定理得034)3141(111=-++=-++⎰⎰⎰===z z z z dzz dz dz z z （2）因为 ⎰⎰⎰===-++=-++44434)3141(z z z z dz z dz dz z z又有柯西积分公式有 i i z dzz z ππ2|12334=⨯=-==⎰ 由定理3有 i z f i z dzz z ππ=⨯=+-==⎰4040|2)(24 所以 i i i dz z z z πππ32)3141(4=+=-++⎰= 例3 计算积分⎰+∞sin dx x x分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了．解：dx ix xi x dx x x dx x x dx x x R R RR R R ⎰⎰⎰⎰+-+-+∞→+∞→+∞∞-+∞+===sin cos lim 21sin lim 21sin 21sin 0dx xe i dx ix e RR ixR R R ix R ⎰⎰+-+-+∞→+∞→==lim 21lim 21（其中经过定积分的计算可以得到积分⎰+-=RRdx x x0cos ） 设ize zf =)(，)(z f 满足Holder 条件，且zz f )(的奇点0=z 在积分路径上，由定理3得i z f i dz z e dx x e z izR RixR ππ==+=Γ+-⎰⎰000|2)(2（其中R Γ是连接R -和R +的一段弧，则],[R R C R +-+Γ=是闭曲线）由约当引理知0=⎰Γdz ze R iz所以 221lim 21sin 0ππ=⨯==⎰⎰+-+∞→+∞i i dx x e dx x x R R ix R 例4 求积分⎰-c dz z z 14sin2π（1）211:=+z C （2）211:=-z C （3）2:=z C解：（1）211:=+z C ，则D ∈-1由于)1(14sin 14sin 2---=-z z z z z ππ选取14sin )(-=ξξπξf )(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有：i if d f dz z zc c πξπξξξπξ22|)(2)1()(14sin12==--=--=⎰⎰ （2）211:=-z C ，可见D z ∈=1，而D ∉-1因此将被积函数做如下变形：114sin 14sin 2-+=-ξξξπξξπ选取14sin )(+=ξξπξf ，)(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有： i if d f dz z z c c πξπξξξπξ22|)(21)(14sin12==-=-=⎰⎰ （3）2:=z C ，则D z ∈±=1这样D 内有两个点．依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之，有：⎰⎰⎰⎰+--=+-=-c c c c dz z z dz z z dz z z dz z z 14sin 2114sin 21)1)(1(4sin 14sin2ππππ i i i πππππ2))4sin(24sin 2(21=--= 例5 计算积分dz z z z I z ⎰=-+-=222)1(12． 解：有高阶导数公式可得：i z z i I z ππ6|)12(212='+-⨯==．例6 计算积分 dz z z e I z z⎰=+=23)1(． 解：被积函数 3)1(+z z e z 在区域2≤z 内有0,1-两个奇点，运用挖奇点法，分别以0,1-为圆心作互不相交的小圆21,C C 且21,C C 包含在2=z 内．由柯西积分公式和高阶导数公式有03133|])1([2|)(!22)1()1(21=-=++''=+++=⎰⎰z z z z c z c zz e i z e i dz z z e dz z z e I ππ )52(25i ei i e πππ-=+-= 例7 求积分dz z e z nz⎰=1，其中n 为整数． 解：当0≤n 时，n zze 在1=z 上及其内部解析，由柯西积分定理得 01=⎰=dz z e z nz当1=n 时，由柯西积分公式得i e i dz ze z z z n zππ2|)(201====⎰ 当1>n 时，由高阶导数公式知：)!1(2|)()!1(20)1(1-=-==-=⎰n i e n i dz z e z n n z n z ππ参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2009[2] 孙清华,孙昊.复变函数内容、方法和技巧[M].武汉:华中科技大学出版社,2003[3] 西安交大.复变函数第四版[M].西安:高等教育出版社,2007[4] 杨丽,张伟伟.柯西积分公式的应用[J].沧州师范专科学校学报.2006,22(3):65-67[5]易才凤,潘恒毅.柯西积分公式及其在积分中的应用[J].江西师范大学学报.2010,34 (1):5-7,12[6] 邱双月.复积分的计算[J].邯郸学院学报.2009,19 (3):57-60z在积分路径c上的柯西积分公式[J].阜阳师范学院学报.2004,21[7] 朱茱,刘敏.(4):60-63[8] 完巧玲.周线上复积分的几种算法[J].陇东学院学报.2010,21 (2):7-9[9] 张庆.Cauchy积分公式及其应用[J].唐山师专学报.2000,22 (2):27-28[10] 崔冬玲.复积分的计算方法.淮南师范学院学报.2006, (3):31-32[11] 李敏,王昭海.巧用复变函数积分证明实积分.考试周刊.2009,41 :64[12] 泰华妮.复变函数积分方法的教学思考.考试周刊.2011,58 :73-74[13] 官春梅.用留数计算一类数列极限.中国科技创新导刊.2010 :105[14] 韦煜.高阶导数公式的证明[J].黔南民族师范学院学报.2003 (6):8-9。