多输入描述函数法(精选)
《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
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网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
描述函数法
系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
描述函数法讲解
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
所以其描述函数为
N ( A)
B(A)
jC ( A)
Kn B0 (
A) a
jC0
(
A a
)
Kn N0 ( A)
回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。
4
继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。
继电器特性的数学表达式为：
y(t) M
θ1 ωt θ2
其中：
πA
1 ( a )2 A
1
(
ma A
)2
K
n
B0
(
A a
,
m)
C( A)
2Kna2 πA2
(m
1)
KnC0 (
A a
, m)
由此可得继电器特性的基准描述函数为
A
2a
B0
(
a
n
B0
(
A) a
式中
θ1
sin 1
a A
所以其描述函数为
N ( A)
B( A)
jC( A)
2Kn
π
sin 1
a
a
1
(
a
线性的基准描述函数为
N0 ( A)
N ( A) Kn
B0
(
A a
)
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个
实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。
(1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)
逻辑函数的逻辑功能的五种表示方法(一)逻辑函数的逻辑功能的五种表示逻辑函数是数学中的一种特殊函数，它主要用于描述不同条件下的逻辑关系。
逻辑函数的逻辑功能可以用多种方式表示，下面将详细介绍五种常见的表示方法。
1. 真值表表示真值表是逻辑函数最常见的一种表示方法，它用表格的形式展示了逻辑函数在不同输入条件下的输出结果。
对于一个逻辑函数，输入条件可以有多个，每个输入条件都有两种可能的取值：真（1）或假（0）。
真值表根据所有可能的输入条件和对应的输出结果，列出了逻辑函数的所有情况。
以与门（AND gate）为例，它的真值表如下所示：输入1 | 输入2 | 输出 ||||——| | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 |1 | 1 |2. 真值公式表示真值公式是逻辑函数的另一种常见表示方法，它通过逻辑运算符和逻辑变量来描述逻辑函数的逻辑关系。
逻辑运算符包括与（∧）、或（∨）和非（¬），逻辑变量表示逻辑函数的输入条件。
对于与门来说，它的真值公式可以表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
3. 简化逻辑公式表示简化逻辑公式是在真值公式的基础上，经过化简处理得到的一种简化形式。
化简的目的是通过逻辑代数的运算规则，将逻辑函数表示为更简洁的形式。
继续以与门为例，其真值公式为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
通过逻辑代数的化简规则，可以将其简化为：输出 = 输入 1 × 输入2。
4. 逻辑图表示逻辑图是一种图形化的表示方法，使用逻辑门和连接线来表示逻辑函数的逻辑关系。
逻辑门有与门、或门和非门等，连接线表示逻辑变量之间的输入输出关系。
与门的逻辑图如下所示：and_gateand_gate5. 逻辑符号表示逻辑符号是逻辑函数的一种特殊表示方法，它使用特定的符号来表示逻辑运算符和逻辑变量。
常见的逻辑符号包括∧（与）、∨（或）和¬（非）等。
同样以与门为例，它的逻辑符号表示为：输出 = 输入1 ∧ 输入2。
8-4描述函数法
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
7-1描述函数法
非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 会产生一些比较奇特的现象。 会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响 波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程
& m&& + fx + k1 x + k 3 x 3 = p cos ωt x
r(t)=0 x y N G(s) c(t)
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 ）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。 ）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
12
2.描述函数的定义 描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asinωt 则其输出一般为周期性的非正弦信号， 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 ∞ y(t) = A + ∑( An cos nωt + Bn sin nωt) 0
0,| x |≤ a y = k(x − a), x > a k(x + a), x < −a
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 而是在输入—输出曲线上出现闭合环路 输出曲线上出现闭合环路。 ，而是在输入 输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。 隙特性。
0
x(t) x0>1 x0<1
递减并趋于0。 当x0<1时，x(t) 递减并趋于 。 时
x0 t ln x −1 0
由上例可见，初始条件不同， 由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 非线性系统的稳定性不仅与 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。 系统的初始条件有直接的关系 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统
(8-26)
非线性特性的负倒描述函数
对于某一个特定的X 对于某一个特定的 0及ω0，式(8-26)或 或 成立， 式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jω) = -1 成立 ω 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中1/N(X)为描述函数的负倒特性 ， 它相当于线性 为描述函数的负倒特性， 为描述函数的负倒特性 系统的临界点（ ， ） 系统的临界点（-1，j0）。
−
1 N(X )
Re
G ( jω )
− 0.3 K Re[G ( jω )] = 1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4
− K (1 − 0.02ω 2 ) Im[G ( jω )] = ω (1 + 0.05ω 2 + 0.0004ω 4 )
令 Im[G(jω)]=0，得 Im[G(jω)]=0
因此， 因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果， 恰与前面的假定相吻合。因此， 恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 在上述的条件下， 在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函 数近似表示非线性环节的特性， 数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可 用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图 25所示。 所示。 所示
扰动使 X ↑→ a移到c → 进入稳定区 X ↓→ 回到a点 a点 : 扰动使X ↓→ a移到d → 进入不稳定区 ↑→回到a点 X
第4.5 描述函数法
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形
其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时
多输入多输出系统传递函数矩阵
多输入多输出系统传递函数矩阵多输入多输出系统（MIMO系统）是指同时接收多个输入信号，同时输出多个反馈信号的系统。
MIMO系统是一类非常重要的实际工程系统，被广泛应用于通信、控制、信号处理等领域。
而传递函数矩阵是MIMO系统的一个重要工具，用于描述MIMO系统进出信号之间的关系，非常有利于对系统进行控制、优化和分析。
一、传递函数矩阵的定义和意义在MIMO系统中，输入信号和输出信号一般都是向量形式的，即：u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]Ty(t)=[y1(t),y2(t),...,yn(t)]T其中，u(t)是输入信号的向量，y(t)是输出信号的向量，m和n分别是输入信号的数目和输出信号的数目。
这时，我们可以使用传递函数矩阵来描述系统的动态响应：G(s)=[G11(s) G12(s) ... G1m(s) G21(s)G22(s) ... G2m(s) ... ... ... Gn1(s) Gn2(s) ... Gnm(s)]其中，Gij(s)表示第i个输出信号对第j个输入信号的响应函数。
可以看出，传递函数矩阵是一个n×m的矩阵，它描述了系统的m个输入信号对n个输出信号的影响。
传递函数矩阵的意义在于，它可以方便地描述系统进出信号之间的关系。
对于一个MIMO系统，可能存在多种输入和输出之间的相互作用关系，这时，传递函数矩阵提供了一种非常方便的方式来描述这些相互作用。
我们可以通过研究传递函数矩阵，了解系统输入信号和输出信号之间的相互影响，从而有效控制系统的响应性能。
二、传递函数矩阵的计算方法对于一个MIMO系统，其传递函数矩阵可以通过多种方式计算得到。
这里介绍两种比较常见的计算方法。
（一）矩阵分块法矩阵分块法是传递函数矩阵的一种常见计算方法。
对于一个MIMO系统，其状态方程可以表示为：dx(t)/dt=Ax(t)+Bu(t) y(t)=Cx(t)+Du(t)其中，x(t)是系统的状态变量，A、B、C、D分别是系统的状态方程矩阵和输出矩阵。
基于描述函数法确定极限环个数问题的研究
基于描述函数法确定极限环个数问题的研究极限环（limit cycle）是非线性动力系统中一种重要的动力学结构。
在非线性动力系统中，存在一些特殊的参数组合，使得系统在一些稳定状态附近形成周期性的稳定运动，这种运动状态就被称为极限环。
研究极限环的个数及其性质对于了解非线性动力系统的行为具有重要意义。
本文将基于描述函数法来确定极限环个数问题进行研究。
描述函数法（describing function method）是一种常用的非线性系统分析方法，它通过将非线性系统近似成一个线性系统，并利用这个近似模型来分析非线性系统的性质。
描述函数法采用输入输出法，即通过输入信号和输出信号之间的关系来描述非线性系统的动力学性质。
描述函数法中的关键步骤是求取系统的描述函数。
描述函数通常是输入信号的频谱和输出信号的频谱之间的函数关系。
对于非线性振动系统，可以使用Fourier级数展开来表示输入输出关系，然后通过求解Fourier系数来求取系统的描述函数。
在一些特殊情况下，描述函数可能具有简单的解析形式，从而使得系统的分析更加方便。
通过描述函数法确定极限环个数的基本思想是利用系统的描述函数和系统稳定性的条件来判断系统是否具有极限环。
常用的判断条件包括留数和Hurwitz判据等。
在确定极限环个数时，通常需要对系统的描述函数进行分析，并求解对应的方程来确定系统的稳定边界。
在研究极限环个数问题时，可以采用近似分析和数值分析相结合的方法。
近似分析可以通过使用一些常见或特殊形式的描述函数来简化问题，从而得到一些有用的结论。
数值分析可以通过计算和模拟非线性系统的动力学行为来验证近似结果，并进一步探索系统的行为。
当前，基于描述函数法确定极限环个数问题已经在许多领域得到了广泛研究和应用。
例如，在电力系统、机械振动系统、化学反应系统等领域，研究人员利用描述函数法来分析非线性系统的极限环问题，为系统的设计与控制提供了重要的理论依据。
总之，基于描述函数法确定极限环个数问题是一个重要的研究方向，它对于非线性动力系统的分析和控制具有重要意义。
函数的定义与像的绘制
函数的定义与像的绘制函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在数学中，函数可以用多种方式进行定义和表示，并且可以通过绘制函数的图像来直观地展示其特性。
本文将介绍函数的定义和图像的绘制方法。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用字母表示，如f(x)或y，其中x是自变量，表示输入；f(x)或y是因变量，表示输出。
函数的定义可以分为以下几种形式：1. 集合表示法：一个函数可以用有序对的集合表示，如{(x, y)|y = x^2}表示一个函数，它的输入x经过运算后得到输出y，其中y等于x 的平方。
2. 显式表示法：一个函数可以用一个表达式或方程表示，如f(x) = x^2表示一个函数，它的输入x经过运算后得到输出y，其中y等于x 的平方。
3. 程序表示法：在计算机科学中，函数可以通过编程语言进行表示和定义，如在Python中可以定义一个函数def f(x): return x^2。
二、函数图像的绘制函数图像的绘制是一种将函数可视化的方法，它能帮助我们更好地理解函数的特性和行为。
绘制函数图像的方法主要有以下几种：1. 手绘图像：可以使用纸和铅笔手绘函数图像，需要根据函数的定义和输入输出之间的关系，选择一些输入值进行计算，并将结果绘制在坐标系中。
通过连接这些点，可以得到函数的大致形状和特点。
2. 利用数学软件：现代数学软件如Mathematica、Matlab、GeoGebra等都提供了绘制函数图像的功能，通过输入函数表达式或方程，软件会自动绘制出函数的图像。
这种方法更加准确和方便，能够绘制出较为精确的函数图像。
3. 使用在线绘图工具：还可以使用在线绘图工具，如Desmos、Wolfram Alpha等，这些工具提供了简单易用的绘图功能，只需输入函数表达式或方程，即可得到函数的图像。
在绘制函数图像时，需要选择合适的坐标轴范围和刻度，以便更好地展示函数的特性。
第四节 用描述函数法分析非线性系统2003
内容提要 ✓1. 系统的典型结构及前提条件 ✓2. 非线性系统的稳定分析 ✓3. 自振荡分析 ✓4. 非线性系统方框图的简化
1. 系统的典型结构及前提条件
➢ 典型结构
r(t)=0
x
y
c(t)
N
G(s)
非线性系统的分析： 稳定性
自振荡
奈奎斯特判据在非线性
频率特性在非线性系统
当G(j)曲线通过(-0.5, j0)
点时,求kmax
Re[G(
j )]
1
0.05
0.3K
2 0.0004
4
50
0.5
得
kmax 7.5
当K=7.5时，-1/N(x)与G(jω)相交于b1(-0.5, j0) 点，若取K＜7.5，则两曲线不再相交，此时系统 是稳定的，不会产生自振荡。
4. 非线性系统方框图的简化
-1/N(X)
30
1(0 22)
4524j(4524)
求G( j)与1/N(X)曲线的交点。
G( j)
令ImG( j) =0，得 =1.414 (rad/s)
Re [G( j)] =1.414= 1.66 1 X 1.66
N(X) 4
X=2.1
Im 0 Re
13
【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。
-1 c
Re
0
若复平面中-1/N(x)曲线与G(j)曲线有交点， 则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地 存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡 的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之 前的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在， 能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不 能稳定地存在，必然转移到其他运动状态。
描述函数法
为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义 静态非线性环节的描述函数, 设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数：
x(t ) A sin t
式中，A是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 y(t ) 分解为傅立叶级数：
y (t ) A0 ( An connt Bn sin nt )
综合以上：
死区饱和特性的描述函数为：
2 2 2K a a a N ( A) arcsin arcsin 1 1 , A a A A A A A A 取＝0，得饱和特性的描述函数为 2 2K a a a N ( A) arcsin 1 ，A a A A A a 对于死区特性， 2＝ ， ＝1，得死区特性描述函数为 2 A 2 2K － arcsin N ( A) 1 ，A 2 A A A
定——振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，
如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点
移到C，C点被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向 不稳定——振荡幅值应逐渐增大，工作点移到Ｆ、 B．．．；可见A点属不稳定极限环。
再看 B 点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小， 比如工作点移到 F ， F 点被 G曲线包围，这时闭 ( j ) 环系统应趋向不稳定——振荡幅值应增大，增大后 又回到 B 点；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略 有增大，比如工作点移到 E ， E 点不被 G曲线包 ( j ) 围，这时闭环系统应趋向稳定——振荡幅值应减小， 减小后又回到B点；可见B点属稳定极限环。
我们举一个例子:
1 1 3 y x x 2 4 因为它是单值奇对称的， A 0, 0 ，先求出 1 1
第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
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作业：7-1(b)
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第二节 描述函数法
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(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
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2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
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第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
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第二节 描述函数法
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3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
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第二节 描述函数法
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⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法
(4.82)
式中
2
A1
1 π
x(t) cosω td (ω t)
0
2
B1
1 π
x(t) sin ω td (ω t)
0
X1 A12 B12
（4.83a） （4.83b） (4.84a)
1=tg-1A/B
(4.84b)
类似于线性系统理论中的频率特性的概念，把非线性
环节输出的基波分量的复向量与正弦输入的复向量之
解 因为是x(t)奇函数，所以A1=0。由式（4.83b）得
B1
1
2
x(t) sin ω td (ω t)
4
2 [ A sin ω t 2
A3 4
sin 3 ω t]sin ω td (ω t)
0
0
A 2 (2 sin 2 A2 sin 4 )d A 3 A3
其中， 1
sin 1 (
A
2a) A
，于是
0ωt
2
2
ωt
1
1 ωt
A1
2
x(t) cosω td (ω t)
一对多函数公式
一对多函数公式一对多函数公式是指一个函数的输出可以对应多个不同的输入。
这种函数关系在数学和计算机科学中经常出现，并且在实际应用中具有重要意义。
在数学中，一对多函数公式可以用来描述一些特殊的函数关系。
例如，正弦函数是一个一对多函数公式，因为对于任意给定的角度，它的正弦值可以有无数个不同的解。
同样地，平方根函数也是一个一对多函数公式，因为对于任意给定的正数，它的平方根可以有两个不同的解，一个为正数，一个为负数。
在计算机科学中，一对多函数公式常常用于描述数据库中的关系。
例如，在一个学生和班级的关系中，一个班级可以对应多个不同的学生。
这种一对多关系可以通过一个函数来表示，其中班级是输入，学生是输出。
另外，一对多函数公式还可以用于描述父子关系、师生关系等。
除了数学和计算机科学，一对多函数公式还有许多其他的应用。
在经济学中，一对多函数公式可以用来描述供需关系，其中商品的价格是输入，需求量是输出。
在物理学中，一对多函数公式可以用来描述波动现象，其中时间是输入，波的振幅是输出。
在生物学中，一对多函数公式可以用来描述基因和表型之间的关系，其中基因是输入，表型是输出。
一对多函数公式的应用还包括数据分析、机器学习等领域。
在数据分析中，一对多函数公式可以用来建立模型，预测未知数据的输出。
在机器学习中，一对多函数公式可以用来训练模型，使其能够根据输入数据预测出正确的输出。
总的来说，一对多函数公式是一种重要的数学工具，广泛应用于不同领域。
通过建立一对多函数公式，我们可以描述和理解各种复杂的关系，并且可以利用这些关系进行预测和分析。
在未来的研究和应用中，一对多函数公式将继续发挥重要作用，为我们提供更多有关世界的认识和理解。