描述函数法
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第二节 描述函数法
第二节 描述函数法
18
作业：7-1(b)
2020/10/18
第二节 描述函数法
19
(A )
2020/10/18
第二节 描述函数法
16
2) 非线性环节的串联 当两个非线性环节串联，其总的描述函数不等于两个非
线性环节描述函数乘积。
非线性环节串联
必须首先求出这两个非线性环节串联后的等效非线性特性， 然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。 例7-2 求下图所示两个非线性环节串联总的描述函数N(A)。
一、描述函数的概念
针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Asinωt,输出波形为
y(t)，则可以将y(t)表示为富氏级数形式：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 Yn sin(nt n ) n 1
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第二节 描述函数法
2
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt)
N ( A) N1( A) N2( A)
2020/10/18
第二节 描述函数法
12
3、组合非线性特性的描述函数
当非线性系统中含有两个或两个以上线性环节时： 一般不能按照线性环节的串并联方法求总的描述函数； 应按非线性的并联、串联方法计算。
1）非线性特性的并联 设系统中有两个并联的非线性环节，其非线性特性都是
A
AA A A A
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第二节 描述函数法
9
⑦ 非线性增益I 非线性特性
描述函数
N ( A)
k2
2
(k1
k2 )[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
描述函数法讲解
0
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
Ka sintd(t)
KA s in2
td(t
)
2
KAsin1
a
a
1
a
2
AA
A
则饱和特性的描述函数为：
N ( A)
B1
2
K sin1
a
a
1
a
2
A
AA
A
式中，
Asin
a,
sin1
a
A
x(t) k
由于输出波形为奇函数，
A1＝0,（单值奇对称）
1
tg1
A1 B1
0
a
t
x(t)
e(t)
e(t)
10
B1
2
x(t)sint d(t)
0
2
KAsin2 td(t)
N ( A)
A12 B12
j arctg A1
e
B1
B1
j
A1
A
AA
用N(A)代替非线性环节，建立起非线性系统的数学描述，可
以将线性系统频率法扩展到非线性系统中，用来分析非线性
系统。
7
说明：
一般情况下，描述函数 N 是输入正弦振幅A和振荡频率的
函数，应表示成 N ( A,) 。
但实际大多数非线性环节中不包含储能元件，它们的输出 与输入信号的频率无关，因此常见NL的描述函数 N 仅是输 入信号幅值A的函数，表示成 N(A)。
《自动控制原理》描述函数法
y(t)为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数：
y(t) = A0 + (An cos nwt + Bn sin nwt) = A0 + Yn sin(nwt + n )
n=1
n=1
其中，A0为直流分量， Yn sin(nwt + n ) 为第n次谐波分量，且有
Yn = An2 + Bn2
(8-60)
试计算该非线性特性的描述函数
解
x=Asinwt
(8-62)
一般情况下，描述函数N是输入信号幅值A和频率w的函数。当非线 性环节中部包括储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位
差与w无关，故描述函数只与输入信号幅值A有关。至于直流分量， 若非线性环节响应为关于t的奇对称函数，即
(线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响
应形式。为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出
中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用
N(A)表示：
N ( A) = N ( A) e jN (A) = Y1 e j1 = B1 + jA1
A
A
例8—3 设继电特性为
则由式(8-58)
取变换
，有
而当非线性特性为输入x的奇函数时，即f(x)=-f(-x)，有
y(t + ) = f [Asin w(t + )] = f [Asin( + wt)] = f [− Asin wt]
w
w
= f (−x) = − f (x) = − y(t)
即y(t)为t的奇对称函数，直流分量为零。 ， 按下式计算：
另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时 间响应的确切信息。
描述函数法
7.2 描述函数
一、描述函数的定义 1.描述函数法的应用条件
(1)非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性 环节N+一个线性部分G(s)串联的闭环结构。 (2)非线性环节N的输入输出特性曲线奇对称，以保 证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包含直 流分量。
(3)线性部分G(s)具有良好的低通特性，使得系统 信号中的高次谐波大大衰减，可以用基波来近似。
7.2 描述函数
描述函数定义为：输出的基波分量与输入正弦函 数的复数比：
B1 ( A) jA1 ( A) Y1 ( A) j1 ( A) N ( A) e A A 显然，描述函数是A的增益与输入正弦函数的幅值有关。如果 非线性特性是单值奇对称的，那么：
1 1
1 1
0 ; | x | a t [(0, 1 ) ( 1, 1 ) (2 1,2 )]
二、描述函数的计算
因为死区特性是单值奇对称的，所以
B1
4
1
2
A1 0, 1 0
0
y (t ) sin td (t ) y (t ) sin td (t )
A1 0, 1 0, N B1 / A
二、 描述函数的计算
1）死区特性
y
1 1
1 2 1
二、 描述函数的计算
-a a
输入：x(t ) A sin t ( A a)
输出:
k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( , ) y k ( x a) k ( Asin t a) ; x a t ( ,2 )
1 1 1 1
Y1 sin( t 1 ) Y1 A1 B1
《描述函数法》课件
2. 描述函数的建立步骤
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
建立描述函数的一般步骤包括分析系统的输入与输出，确定合适的数学表达式，并进行相应 的参数优化。
3. 描述函数的建立方法
常见的描述函数建立方法包括传递函数法、微分方程法和信号流图法，每种方法都有其适用 的场景和优劣之处。
描述函数与系统关系
1
2. 描述函
《描述函数法》PPT课件
描述函数法是一种在控制系统中用于分析和设计的重要工具。本课件将介绍 描述函数法的概念、不同类型、优点与限制，以及在控制系统设计中的应用 案例。
函数类型与定义
1. 描述函数的定义与表达式
描述函数是一种数学工具，用于表示控制系统的动态特性。它可以形式化地描述系统输入与 输出之间的关系。
脉冲响应、斜坡响应和正弦响应等动
态特性。
3
1. 描述函数与原系统的关系
描述函数可以精确地反映原系统的动 态特性，从而实现对系统的分析和设 计。
3. 描述函数的频率域表示
描述函数可以分析系统的频率响应、 相位和增益裕度等性能指标，帮助优 化系统的控制效果。
描述函数的优点和应用
优点
描述函数法简化了复杂系统的分析和设计过程， 提供了一种直观且有效的方法。
应用案例
描述函数法广泛应用于控制系统设计、自动化工 程和工业过程优化等领域。
描述函数法的进一步研究
1 1. 稳定性分析
描述函数法可以用于判断系统的稳定性，并优化控制器的参数以实现稳定性要求。
2 2. 小信号分析
描述函数法可以用于系统的小信号分析，帮助评估系统的响应速度和抗干扰能力。
3 3. 进一步研究方向
近年来，描述函数法在人工智能、机器学习和自适应控制等方面的应用引起了广泛关注。
总结
第七章(非线性系统的描述函数法)
§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
描述函数法
所以其描述函数为
N ( A)
B(A)
jC ( A)
Kn B0 (
A) a
jC0
(
A a
)
Kn N0 ( A)
回环非线性的描述函数是复数，基准描述函数负倒数曲线如图所示。
4
继电器特性及其正弦信号输入时的输入-输出波形如图所示。
继电器特性的数学表达式为：
y(t) M
θ1 ωt θ2
其中：
πA
1 ( a )2 A
1
(
ma A
)2
K
n
B0
(
A a
,
m)
C( A)
2Kna2 πA2
(m
1)
KnC0 (
A a
, m)
由此可得继电器特性的基准描述函数为
A
2a
B0
(
a
n
B0
(
A) a
式中
θ1
sin 1
a A
所以其描述函数为
N ( A)
B( A)
jC( A)
2Kn
π
sin 1
a
a
1
(
a
线性的基准描述函数为
N0 ( A)
N ( A) Kn
B0
(
A a
)
从死区非线性的描述函数表达式可以看出，死区非线性的描述函数也只有一个
实部。在复平面上，可绘出死区非线性的基准描述函数负倒数曲线，如下图所示。
§7-2 描述函数法
一、描述函数的基本概念
非线性系统的结构图如图所示。图中 Ｇ(s)为线性部分的传递函数，N为非线性 元件。
(1)设非线性环节N 的输出量只和输入量有关，即y=f(x)。
8-4描述函数法
n 1 n 1
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
式中 A0—直流分量； Yn sin( nt n ) — n次谐波， 且 Yn ( An2 Bn2 )1/ 2， n arctan( An / Bn )。
An 1
1 A0 y (t )d t 2 1 y (t ) cos( n t )d t ；Bn y (t ) sin( n t )d t ；
负倒描述函数曲线上的箭头表示A增大的方向。 ☆非线性系统的稳定性判定规则： (最小相位系统，P = 0 ) (1) G( jω)曲线不包围-1/N(A)曲线，闭环系统稳定； (2) G( jω)曲线包围-1/N(A)曲线，闭环系统不稳定； (3) G( jω)曲线与 -1/N(A) 曲线相交，闭环系统可能 出现自振荡；自振荡的频率为G(jω) 在交点处的 ω值，振幅是N(A)在交点处的A值。 例8-5 非线性系统如图所示，分析系统稳定性。
N
y
例：
x
N ( A) N1 ( A) N2 ( A)
k1
x10 y1
x2
k2
x20
y2
y
k1 ( x x10 ) x x10 0 | x | x10 y1 k1 ( x x10 ) x x10
k2 x20 y2 k2 x2 k2 x20
x2 x20 | x2 | x20 x2 x20
2
Y j B1 jA1 e ； A A
解：该非线性特性关于原点对称，A0=0； y (t ) cos t 是 ( t ) 的奇函数，A1=0；
B1
0
y (t ) sin t d t cos
自动控制7-1描述函数法.详解
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
6
2
4
14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
x0 t ln x -1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
11
所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运 动，简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 - 2 ρ(1 - x 2 ) x x 0 >0 x
6
2
4
14
7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
4
7.1.1 典型非线性特性的种类
1．饱和特性
-a
y
M k 0 -M a x
a为线性区宽度，k为线性区斜率。 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及 执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。
5
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零
y k
-a
0
a
x
| x | a 0, y = k ( x - a ), x>a k ( x + a ), x < -a
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x <1时，因为 - (1- x2 )<0，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t)的运动呈发散形式； 当x>1时，因为-(1-x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式； 而当 x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡 形式。上述分析表明，系统能克服扰动对 x的影响，保 持幅值为1的等幅振荡。 12
第7章_3_描述函数法介绍
2
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
描述函数法也称为谐波线性化法 谐波线性化法，或称为谐波 谐波线性化法 谐波 平衡法。这是一种工程近似方法。 主要分析非线性 平衡法 系统极限环的稳定性，以及确定非线性闭环系统在 正弦函数作用下的输出特性。 应用描述函数法分析非线性系统时， 系统的阶次 不受限制。
3
7.5.1 描述函数的基本概念
A 的变化而变化的。
1 非线性系统负倒描述函数曲线 − 是临界 N ( A)
稳定点的轨迹。
22
在线性部分为稳定环节的前提下，给出Nyquist图 稳定性判据： 中的非线性系统稳定性判据 稳定性判据 （1） 如果线性部分频率特性 G ( jω ) 由 ω ）
=0向
1 ω → ∞ 变化时，非线性系统负倒描述特性 − N ( A) 始终位于曲线 G ( jω ) 的左侧，即曲线 G ( jω )不包围临界 1 点轨迹线 − ，则非线性系统稳定，不可能产生 N ( A)
A 其中： n =
n =1 ∞ n =1
∞
1 2π A0 = ∫0 x(t )dωt 2π 1 2π Bn = ∫ x(t ) sin nωtdωt
∫ π
π
1
2π
0
x(t ) cos nωtdωt
0
Xn = A + B
2 n
2 n
An φn = arctan Bn
12
图像关于原点中心对称， 当非线性特性是奇函数时， 则有：A0
N ( A) =
从而有：
A +B e A
2 1 2 1
A1 j arctan B1
当非线性输出为单值奇函数时，有： 1 A
=0
A1 φ1 = arctan = arctan 0 = 0 B1
描述函数法
§ 描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提 出的, 它是线性系统频域法在非线性系统中的推广， 是非线性系统稳定性的近似判别法，它要求系统具 有良好的低通特性并且非线性较弱。描述函数法的 优点是能用于高阶系统。描述函数法本质上是一种 谐波线性化方法，其基本思想是：当系统满足一定 的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用 下的输出可用一次谐波分量来近似。
n 1
A0 Yn sin( nt n )
n 1
式中
Yn
2 2 An Bn
An n arctan( ) Bn An Bn
1
1
2
0 2
y (t ) cos ntd (t ) y (t ) sin ntd (t )
0
如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0， 这时输出的基波分量是：
1
2 Mh ( m 1) A
2 B1 y ( t ) sin td ( t ) 0 2 2 M sin td (t )
1
2 2 2M mh h 1 1 ) A A N ( A) ( A1 jB1 ) / A 2 2 2M mh h 2 Mh 1 ( m 1) 1 ) j 2 A A A A
（2）极限环的稳定性
正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一 个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数 来分析。参见附图11
附图11
极限环的稳定性
图中 A 、 B 两点都出现极限环，先看 A 点：如果 因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到
第4.5 描述函数法
1 , e(t ) 0 sign(e(t )) 1 , e(t ) 0
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形
其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2
（4.86b）
式中 （4.86c）
(3) 饱和特性的描述函数
饱和特性在正弦输入下的输出波形如图4.21所示。
图4.21 饱和特性正弦输入下的输出波形
其中A1=0
4 B1 π
x(t ) sinω td(ω t )
e(t )
N
x(t ) G(s)
c(t )
图4.17 非线性系统
当输入正弦函数时，其输出x(t)中含有与输入信号频 率相同的基波分量，还有其它高频分量，但没有常值 分量。线性部分在x(t)作用下产生的响应c(t)中，也 会包含这些高频分量。但很多线性系统具有低通滤波 特性,c(t)中的高频分量相对于基波分量要小得多。在 这种情况下，可以只考虑x(t)中基波分量的作用，用 来近似分析非线性系统的特性，这就是描述函数法的 基本思想。
1.描述函数的定义 对于很多非线性环节，当输入信号为正弦函数 e(t ) A sinω t 时，输 出量x(t)一般都不是同频率的正弦波，而是一个非正弦的周期函 数，其周期与输入信号的周期相同，一般可以展开为傅里叶级数 A0 (4.80) x(t ) ( Ai cos iω t Bi siniω t )
（4）死区特性的描述函数 死区特性在正弦输入下的输出波形如图4.24所示。
图4.24 死区特性正弦输入下的输出波形
可见，是单值奇函数，具有半周期的对称性，所以 A1=0
42 B1 x (t ) sin ω td (ω t ) π 0
在1/4周期内，x(t)的数学表达式为
0, 0 ωt α 1 x(t ) k ( A sin ω t a ), α ω t 1 2
西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_03_描述函数法_1描述函数
A3
[例1] 故：该非线性元件的描述函数为
N ( A) B1 jA1 1 3 A2 A 2 16
y
6
3
123 x
N ( A)
4 2
12345 A
二、应用描述函数法的基本假设条件
基本条件： 非线性环节正弦输入的响应输出高次谐波可忽略
基本条件成立的条件：
A 经结构图等效变换，非线性系统可简化成如下典型结构
在线性环节和非线性环节两种情况下的输出。
1、描述函数定义
设其输入为正弦函数，即：x(t) Asint
则其输出 y(t) 为非正弦周期函数，
对非正弦周期函数 y(t) ，可以展开成傅立叶级数：
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) A0 Yn sin(nt n )
1
arcsin
h A
,
2
arcsin mh , A
y(t) 为奇对称函数，但非奇函数，有 A0 0
因其在一个周期内对称：
A1
2
2 M costdt 2Mh (m 1)
1
A
2
B1
2
M
sintdt
2M
Hale Waihona Puke 11 mh2
A
1
h
2
A
五、典型非线性特性的描述函数
死区滞环继电非线性环节特性的描述函数
)2
1
五、典型非线性特性的描述函数
死区(不灵敏区)特性的描述函数
负倒特性
1 N ( A)
2K
2
sin1(
a ) A
a A
1
(
a A
)2
1
当 A a时
7-1描述函数法
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相
平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
1
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结
2
※7.1 典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
0
14
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳
态输出只含基波分量，即
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
式中
A1
1
x 2(1 x 2 )x x 0 >0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使x<1时，因为(1x2 )<0，系统具有负阻
尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；
当x>1时，因为(1x2 )>0，系统具有正阻尼，此
时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相
平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
1
第七章 非线性系统
内容提要 7.1 典型非线性特性 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 学习指导与小结
2
※7.1 典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环 节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是 非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
0
14
由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An, Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波 分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳
态输出只含基波分量，即
y(t) y1(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin(t 1)
式中
A1
1
x 2(1 x 2 )x x 0 >0
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使x<1时，因为(1x2 )<0，系统具有负阻
尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；
当x>1时，因为(1x2 )>0，系统具有正阻尼，此
时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。
描述函数法
图8-31 死区继电型非线性控制系统的描述函数分析
描述函数法
1.3 非线性控制系统的描述函数分析
当 M 1.7 ， 0.7 时， 1 曲线的端点值为 1 0.7 0.646 。因此，G( j)
N(X)
N (X ) M 1.7
曲线与 1 曲线在1.56180 处有两次相交，两次相交的 X 值分别为 N(X)
平面的负实轴上，幅值大小 1 N(X)
随着
X
增加
描述函数法
1.3 非线性控制系统的描述函数分析
先减后增，当 X 增加到 X 2 时，有极大值 1 π 。作 1 曲线如图 8-31
N(X ) 2M
N(X)
所示。进而在图上作 G(j) 曲线，当 140 时，G(j) 曲线穿过虚轴，即
G( j) 1.56 140
0
π
π y(t)sint d(t) 2
0
π
π M sin nt d(t) 4M
0
π
所以基波分量为
y1 (t )
4M π
sin t
得到继电特性的描述函数为
N(X
)
Y1 X
1
4M πX
（8-52） （8-53） （8-54）
其相位线性环节的描述函数
2. 饱和特性
X X
A B
0.716 3.3
对于 A 点邻域，被 G( j) 曲线包围的段上，X 是增幅的；不被G( j) 曲线包围的段上，
X 是减幅的。振荡频率与振荡幅值分别为
B 140
X
B
3.3
自动控制工程基础与应用
描述函数法
1.3 非线性控制系统的描述函数分析
【解】
带死区的继电型非线性环节的描述函数为 N(X ) 4M πX
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系统有发散趋势；
x 1时，阻尼为正，系统输出能量，
系统有收敛趋势；
如果一个周期中，吸收的能量和发散的能量相等，
则系统就产生一个振幅和频率都不变的持续振荡。
2、x频率对振幅的依赖 x
硬••弹簧•
例2 m x f x Kx K' x3 0
式中：m, f , K为正数
0
••
m x
f
•
x
K
t
K
'
非线性系统 1 曲线， N
再利用Nyquist稳定判据。
饱和非线性的描述函数：
N
2k
arcsin
s X
s X
k
1
s
2
X
X s X s
Im
1
N
X
0 X s
1
0 Re
k
两位置继电特性的描述函数为: N 4M
X
Im
1 X
N 4M X 0
X
0 Re
y
死区非线性
x k
y
xt
x yt
饱和环节
当输入正弦信号幅值大于一定值时， 其输出出现切顶，变成与输入同频率的 周期非正弦信号。
y1 t
yt y5 t
0
t
y3 t
可以分解成一系列正弦波的叠加， 其基波的频率与输入正弦的频率相同。
一、描述函数定义：
N
Y1 X
1
式中：N— 描述函数；
X— 正弦输入的振幅；
Y1— 输出的傅氏级数基波分量的振幅；
第九章 控制系统的
概述
严格地讲，所有实际物理系统都是非 线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙 等非线性现象。所谓线性系统只是在一定 的工作范围内，非线性的影响很小，以致 可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统， 可采用第二章所述的线性化方程解决非线 性问题；但也有一定数量的非线性问题不 能这样处理，只能采用 其他的方法。
饱和非线性的描述函数：
Im 使得 KT1T2 1 ，
XN 2kkBarcN1sinT11XTTsK12T1TTA2X2s
T1 T2 k
1Xs s C 1 X
k
2
0
产生X极 限s环
Re
。
X s
G j
稳定极限环
0
无论是稳定极限环，还是不稳定极 限环，都是系统所不希望的，对于上述 系统，只要使线性部分放大倍数K减小, 使
一、典型的非线性类型 （硬非线性 不平滑非线性）
1 饱和 2 间隙 3 死区 4 继电特性
二、非线性系统的几种特殊现象 非线性系统有一些线性系统理论不
能解释的异常现象，线性系统的理论不 能再照搬到非线性系统。
1、自持振荡（极限环） 在非线性系统中，常碰到自持振荡
现象，既在扰动的作用下，系统产生幅 值和频率都固定的振荡。
Im
-1
h
0
x
X 0 Re
1 N
X 0
G j
G j
G j
1
0
1
0
1
0
稳定
不稳定
等幅振荡
1 N
0
稳定
G j H j
1 0
N
不稳定
G j H j
1 N
0
极限环
G j H j
极限环有稳定极限环和不稳定极限环之分, 如:
Xi j
-
ks
K
Xo j
s
jT1 j 1T2 j 1
当线性K充分大，
ks sintdt
2
s sintdt
X
0
4k
ks 2kX
0
t1
2
X2akarXcrcsssiinninXsXtsXssx2sint111t1t1 XXssas rXcs22sXinss
in1 t1 s
X
s X
2
则:
N
Y1 X
1
B1 0 X
仅是输饱入和 2信非k 号线arc振性sin幅的Xs的描 函述Xs 数函1 数. 与Xs 频2 率无关,
—
1
输
出
的
傅
氏
级
数
基
波
分量
的
相
位
移
。
由于系统通常具有低通滤波特性，其它谐
波幅值通常比基波项小，所以可以用基波分量 近似系统的输出。
设：非线性环节的输入xt X sint
输出为：yt A0 An cos nt Bn sin nt n1
A0 Yn sinnt n
n1
式中：An
0
t
s k s x ks yt
0
当 x s时，yt kX sint 当 x s时，yt ks
t
y1t Y1 sin t
当 x s时，yt kX sint
当 x s时，yt ks
输出为奇函数，
将yt 展成傅立叶级数时，有An 0
取傅立叶级数的基波，得
y1t B1 sint
三、分析非线性系统的方法 1、线性化近似法
2、逐段线性近似法 3、描述函数法 4、相平面法 5、李雅普诺夫法 6、计算机仿真
描述函数法
❖ 对于线性系统，当输入是正弦信号时， 输出稳定后是相同频率的正弦信号，其幅 值和相位随着频率的变化而变化，这就是 利用频率特性分析系统的频域法的基础。
❖ 对于非线性系统，当输入是正弦信号 时，输出稳定后常不是正弦信号，而是与 输入同频率的周期非正弦信号。
1
2 0
yt cos ntdt
其中，基波分量：
y1t A1 cost B1 sint
Bn
1
2
0
yt sin ntdt
Yn An2 Bn2
Y1 sint 1
N
Y1 X
1
n
tan 1
An Bn
A12 B12 tan1 A1
X
B1
二、饱和放大器 xt X sin t
X
s
2
y
N
k
2k
arcsin
X
X
0
1
2
X
X
X
Im
1
N
X
X
1
0 Re
k
N
H
X
H X
2
2
1
2
arcsin
X
H X
X
H X
2H X
H X
2
2
H H 2
N arctg
X
X
2
arcsin
X
X
H
X
H X
间隙非线性
yH
2H X
H X
2
B1
1
2
0
yt sintd t
4
2 0
yt sintd t
B1
4
4B1
2
0
y4t
sintdt
2 yt sintd
t
sin1 s
分X
0
0
段kX积sin分t
0sintd t1 t
2
t s1in1
s X
s
4k
X sin1
s
XsinX
0
1t
cos2t
当2 t
dtt1时 s，si2n1
响应
4、此外，还有多值响应、次谐波振荡、 频率捕捉现象、异步抑制等特殊现象， 这里不一一展开讨论。
三1前用简9时在于、软单8为确41域二二件易止年分定、相之用,美分维阶析李它非线平一的国析空系已非雅线性面。开的经法间统线普性化其放M法发为特，性诺系近a强式是展t基殊也h系夫统似大可成W非础情适统法稳的扩法o为线r，况用的是科展定k国s性公是下于学环方根性际系司计境状的线法据上的统推算以态应性最广方出的与及优空 用 系义法M可多图秀间，统能，a视达解的tl分只，量原a化3科b法0析适对,概则功多到技，法用高念能个上目应以、 面阶向适2系不用、同统于逐这领中段所域种具线有而方性有非扩近法同线展似在样性的法第非工系二线具统章箱性，已支因但持经素对，讨的于使论暂很得过态多M。过a系tlab 在程许统在3也多，、以学有将寻描下科指述非找两领函导线李域种数性性雅中情法意系普成况义统诺为下。近计夫可算似函以机为数考辅几相虑助个当设使线困计用性难与：区，分域析本、， 算其线❖❖法 性中每将全适非书非系量645研系，个各解用线不、、、线统的究 统基计相区段。于性作李描性的增和的于算平雅域的具系进述因变量应仿S机面普用解有统一i函m用真素量方仿法诺u相合低。步数开提l对只程真夫in应在通讨法发 供k法系发式的的一滤论的 了是统生。非基 快线起波。非影微线本 速性，特线性响小工 有微即性性控很变具 效分可的系制小化和 的方 得各设统首方， ，程到种计的选法可此模描系阶频平。以时块述统次台率忽用为。，的法略变非，；
X
4M
X
可见,其描述函数同样与频率无关, 仅是输入信号振幅的函数.
关于死区非线性、三位置继电特 性、间隙的描述函数,其推导过程与 前述相同,不再赘述.
上述三种非线性的描述函数也与 频率无关,都是随输入振幅变化而变 化的.
七、利用描述函数法分析非线性系统稳定性
X i s
N
Gs
Xo s
-
H s
G j H j 具有低通滤波特性，非线性部
KT1T2 1 , 则系统的G j 与 1 曲线
T1 T2 k
N
没有交点，就不产生极限环。
例3
X i s
N
-
Gs
Xo s
Im
X
0X