第八章 描述函数法

例2
系统如右，欲产生
A
1 4
的周期信号,
试确定K、t的值。
分析：可以调节K, t实现要求的自振运动。
解 N( A)G( j) 1
4M
Ke j t
1
A j(1 j )(2 j )
4MKe j t 3 2 j(2 2 ) A
4 5 2 4 ( arctan 2 2 ) 3
1
1 2
sin
2 1 )
2 A
(cos1)]
2KA [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA A
N ( A) 2K [ arcsin 1 ( )2 ]
2
AA
A
1
arcsin
A
Asin1
cos 1
1 ()2 A
❖ 饱和特性描述函数
y
KAsin t,0 Ka,
t 1
1
t
2
A0 0,A1 0
B1
4
(
1 0
KAsin2 tdt
/2
KA sin tdt )
1
2KA [arcsin a a 1 ( a )2 ]
AA
A
N ( A) 2K [arcsin a a 1 ( a )2 ]
AA A
A0 0
❖ 间隙特性描述函数
K(Asin t b),0 t / 2
A4 6.486A2 1.621 0
A2 60..22264015
A1 A2
0.5104 2.495
分析可知：系统存在自振
0.5
A
A2
2.495
x A
1
0.5
1
0.894
c Ac 2 1
1.25
Ac
A 0.894
2.495 0.894
2.79
0.5
Ac
2.79
描述函数法分析非线性系统步骤
h 0 理想继电特性：
N ( A) 4M
A
m 1 死区继电特性：
N ( A) 4M
1
h
2
A A
m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A)
A
1
h 2
A
4Mh
j A2
一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
K
1
8 0.3927
Ac 8 2 3.6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（8）
例4 非线性系统结构图如右图所示，
已知：
G1(s) N ( A)
1 s(s
4M A
1) 1
,
G2 ( s) h 2 A
K s
(A
h)
(1) G3 (s) 1 时，系统是否自振？
确定使系统自振的K值范围；求K=2时的自振参数。
(2) G3(s)=s 时，分析系统的稳定性。
解 先将系统结构图化为典型结构 返回
解法I 等效变换法 解法II 特征方程法
G(s) (s)
1
G1 G1
G2G3 G1
1 G1G2G3 N G1
N G1G2G3 1 G(s) G1G2G3
D(s) 1 G1G2G3 N G1 0
1 G1
• 结构图简化，把系统结构图转化为标准形式 • 根据定义或者查表，确定描述函数 • 确定负倒描述函数。起点，终点，拐点，变化趋势 • 确定非线性系统的稳定性。类似于奈奎斯特判据。 • 分析自振情况。
负倒描述函数曲线和奈式曲线有交点，可能存在。稳 定的周期运动才是自振。注意求出的A为使得输出自振 的输入正弦信号的幅值。输出自振的频率是和输入相 同的。如何求输出的幅值？
非线性环节的正弦响应
y(t)
ωt y(t)
ωt
y(t) ωt
y(t) ωt
描述函数的定义
y(t)= A0+∑n∞X=(1A(tn)co=snAωts+iBnnsωintnωt) ∞ =yA(t0)+∑≈n=Y1 Yn(1sisninnω(ωt+tφ+n)φ1)
非为线A此性0，环定节义21可正近弦02似信 y认号(为作t)具用d有下t和，线非性线环性Y节环n相节类的似稳A的态频输2n率出响中B应一2n形次式谐波 分A量n1和输1入0信2号y(的t)复c数os比n1为非td线性t 环B节n1的描1述0函2数y(，t)用sNin(An1)表t示d：t
非线性系统结构图简化
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（1）
1 基本假设
① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析 返回
不包围
稳定
G( j ) 包围
1 则系统 不稳定
N ( A)
相交于
可能自振
3 1 的绘制及其特点
N ( A) G1(s) 1 1 G1(s)
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（10）
G *(s)
G1 ( s ) 1 G1(s)
0.5(s 1) s2 0.5s 0.5
G*(j) G *( j0) 1 360 G *( j) 0 90
N ( A) 4M
A
1
h 2
A
j
4Mh
A2
M h
4h
A
1
h 2
A
j
4h2
A2
1 A
1
N0 ( A)
4h
1
h
2
j
h
A A
A
4h
1
h 2 A
j
h
A
A 1 h 2 j
4h
A 4
( A h)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（3）
4 自振分析 (定性)
2
A
AA A
A A
❖ 继电特性描述函数
y
0, M ,
0 t 1 1 t
2
0, 2 t
A1
2
2 M costdt
1
2M
(sin 2
sin1)
2Mh (m 1)
A
2
B1
2 M sintdt
1
2M
( cos
2
cos 1 )
2M [ 1 ( mh )2 1 ( h )2 ]
描述函数定义 返回
补充例题1
N ( A) A 6 A 2
( A 0)
N (A) A 6 ( A 0) A2
补充例题2
• 课后习题8－24（第五版） • （1）结构图归化
• （2）稳定性分析以及参数确定
（2）稳定性分析以及参数确定
1 K(A b)sin tdt K(Asin t b)sin tdt)
/2
1
KA [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )]
2
A
AA A
N ( A) K [ arcsin(1 2b ) 2(1 2b ) b (1 b )] j 4Kb ( b 1)
135
。
求此时的K值和自振参数(A,)以及输出振幅Ac。
(2)定性分析K增大后自振参数(A,)的变化规律。
解(1)
N(
A)
8 A2
A2 1 j
1 A2 1 j j A 2
N ( A) 8
88
G( j )
2K
j (1 j )
2K
12
1
j
1
8
j
8
(2) 依图分析： K A ,
1 G1
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（9）
例5 非线性系统结构图如右图所示，用描述函数法说明 系统是否自振，并确定使系统稳定的初值(A)范围。
解 将系统结构图等效变换，求等效G*(s)
D(s) 1 N ( A) G1(s) G1(s) 0
N ( A) G1(s) [1 G1(s)]
A0 0,A1 0
B1
4
/2
K(Asin t )sin tdt
1
4 (
/2 KAsin2 tdt
/2
K sin tdt )
1
1
4 [ KA
/2
(1 cos2t)dt K
/2
sin tdt ]
2 1
1
4
[
KA 2
(t
1 2
sin
2t
)
/
1
2
K(
c
ost
)
/
1
2
]
2KA [( 2
由自振条件：N( A) G( j) 1
得： 4
10
1
A j(1 j )(2 j )
40 j(1 j )(2 j ) 3 2 j(2 2 ) A
40 3 2 比较实/虚部： A
(2 2) 0
2
A 40 2.122
6
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（6）
A j(1 j)(1 j4)
10
A2
A2 0.52 j(1 4 2 j5 )
5 2 j(1 4 2 )
0.5
比较虚实部 10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（12）
0.5
10
A2
A2 0.52 5 0.52 1.25
穿入 穿出
相切于
不是自振点 的点 是自振点
对应半稳定 的周期运动
返回
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（4） 自振分析 (举例)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（5）
4 自振分析 (定量)
自振必要条件：N ( A) G( j) 1
例1 分析系统的稳定性(M=1)，求自振参数。
解 作图分析，系统一定自振。
N ( A)
例1 理想继电特性的负倒描述函数
N ( A) 4M
A
1 A
N ( A) 4M
1 N( A)G( j) 0
N( A)G( j) 1 G( j ) 1
N ( A)
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点 返回
例2 纯滞环继电特性的负倒描述函数
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（11）
例6 非线性系统如图所示，a M h 1, K 2, 分析系统是否存 在自振；若存在自振，确定输出端信号c(t)的振幅和频率。
解 将两非线性环节等效合并，结构图化为
依自振条件 N( A)G( j) 1
4M 1 ( hˆ )2
2.5
1
A
A
A
h Asin1 mh Asin( 2 )
N ( A) 2M [
A
1 ( mh )2 A
1 ( h )2 A
]
j
2Mh
A2
(m 1),
A
h
非线性特性的描述函数
一般继电特性的描述函数：
N ( A)
2M
A
1 (mh)2 A
1
(
h A
)2
j
2M h
A2 (m 1)
( A h)
Q :从稳定区穿到不稳定区的点 — 不是自振点
分析可知：使系统稳定的初始扰动范围为 0 A AQ
令
N ( A) G( j )
4M
A
0.5(1
0.5 2
j ) j0.5
M 1
4
A
1
1
2
j
2
j
1
4 (1 j ) 1 2 2 j 4 ( A) 1 AQ 1.273
A
2 2 1 1 1
M 1
代入
A
4
1
比较模和相角得
K
t
10
arctan
9.93 1 0.322 3
演示
§7.3.3 用描述函数法分析非线性系统（7）
例3 非线性系统结构图如右图所示，
M 2, h 1
已知：
N
(
A)
8 A2
A2
1
j
8 A2
( A 1)
(1) 自振时,调整K使
GLeabharlann Baidus)
2K s(s 1)
正N弦若响(AA应0=)仅0=，有且一N当次(nA谐>1)波时分e，j量∠Yn！N均(A很) 小=，YA则1可e近j似1 认 为B非1 线Aj性A环1 节的
y(t)≈ A1cosω t+B1sinω t ≈ Y1sin(ωt+φ1) φ1= arctgA1/B1
❖ 死区特性描述函数
y K(x ) K(Asint )
y K (A b), / 2 t 1
K (Asin t b), 1 t
A1
2
(
/2 0
K(Asint b)costdt
1 K(A b)costdt K(Asint b)costdt)
/2
11
4Kb ( b 1)
A
B1
2
(
/2 0
K(Asin t b)sin tdt