7-1描述函数法分析

c( t )
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。
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2.描述函数的定义 设系统的非线性环节输入信号是正弦信号 x(t) = Asint 则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅 氏级数 y (t ) A0 ( An cos n t B n sin n t )
节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是
非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本 概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面 法。
3
7.1
典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出 间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特 性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来 处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题 的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线 y 来代替，称为典型非线性特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类 1．饱和特性
M k 0 -M 饱和特性在控制系统中是普遍存在的，常见的调节 器就具有饱和特性。
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-a
a
x
2．死区特性 死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但 其输出为零。
y k
-a
0
a
x
0,| x | a y k ( x a ), x a k ( x a ), x a
n 1
非线性环节奇对称，则有A0=0
1 An 1 Bn

2
0 2
y (t ) cos n td t y (t ) sin n td t
（1）稳定性的复杂性。
（2）可能存在自激振荡现象 。
x(t)
（3）频率响应。
x 2 x x( x 1) x
1
x0>1
x0<1
设t = 0，系统的初始状态为x0 0
dx dt x( x 1)
x0 e t x(t ) 1 x 0 x 0 e t
x0 t ln x 1 0
（1）小偏差线性化（非本质非线性） （2）描述函数法（本质非线性）
这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法， 将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。 它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不 受系统阶次的限制。
（3）相平面法（本质非线性）
相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相 平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。 这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。
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相应的时间响应随初始条件而 变。
x(t) x0>1
当x0 >1，t <lnx0/(x0 1) 时，随t 1 增大，x(t) 递增；t = lnx0 /(x0 1) 时，x(t)为无穷大。
0
x0<1
当x0<1时，x(t) 递减并趋于0。
x0 t ln x 1 0
由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性 亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构 和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。
（4）计算机求解法
用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于 12 分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。
※7.2
描述函数
7.2.1 描述函数的定义 1. 描述函数的应用条件 （1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环 节N和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。
r(t)=0
x
y
N G(s)
3. 滞环特性 滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起 ，而是在输入—输出曲线上出现闭合环路。又称为间 隙特性。
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b -a 0
y
a -b
x
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k ( x asign x ) y 0 y y0 bsignx
4 继电器特性
y b
-a -ma
0 ma -b a
ma x a, x 0 0 a x ma, x 0 0 y bsignx | x | a x b x ma, x 0 x ma, x 0 b
非线性系统对于正弦输入信号的响应则比较复杂， 会产生一些比较奇特的现象。例如跳跃谐振和多值响 应、波形畸变、倍频振荡和分频振荡等。 考虑有名的杜芬方程
fx k1 x k3 x 3 p cos t m x
x 1
6 5
2
3
4

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7.1.3 非线性系统的分析方法
到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像 线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及 初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：
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所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用 时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定运动， 简称自振。 考虑著名的范德波尔方程 2 (1 x 2 ) x x 0 >0 x
该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。
当扰动使 x<1 时，因为 (1x2 )<0 ，系统具有负阻 尼，此时系统从外部获得能量， x(t) 的运动呈发散形式； 当 x>1时，因为 (1x2 )>0，系统具有正阻尼，此 时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时， 系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表 明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振 荡。 10
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y b x -a
y b 0 -b a x -a
y
b
0
-b
0
a
x
-b
(1) 若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。 (2) 若m=1，称为死区继电器特性。 (3) 若m=-1，滞环继电器特性。
实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。
7
7.1.2 非线性系统的若干特征
由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比， 非线性系统具有如下特点：
1
第七章 非线性系统
内容提要
7.1
7.2 7.3
典型非线性特性
描述函数法 相平面法
学习指导与小结
2
※7.1
典型非线性特性
前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线 性系统，仍可进行线性化处理，从而可视为线性系统。 事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带 有某种程度的非线性、系统中只要具有一个非线性环