数学物理方法课件第八章------分离变量法
数学物理方法：第八章-分离变量法-4
柱坐标系中拉普拉斯方程的一般解为
(,,)()()()
m m n n m u r z R r Z z ϕϕ∞
==Φ∑∑其中对于不同的边界条件函数)的形式不样其中对于不同的边界条件，函数R m (r )Z n (z ) 的形式不一样。
结论：
(1) 如果柱的侧面上是齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ，而且径向函数所遵从的方程为贝塞尔方程；
（2）如果两端为齐次边界条件，由此可以确定出本征值μ = -ν 2，而且径向函数所遵从的方程为虚宗量贝塞尔方程。
因此，在求解柱坐标系中的拉普拉斯方程时，首先要分辨清楚是柱侧面为齐次边界条件，还是两端为齐次边界条件，以便确定本征值问题。
思考μ = 0????
方程的一般解：
()(,,,)()()()
m m n nj u r z t R r Z z T t ϕϕ∞
∞
=Φ∑∑∑10n
j m ==可见：对于波动方程在柱坐标系中的定解问题，存在三个本征值，即λ , ν 2，及μ= k 2-ν 2，它们分别由周期性条件，圆柱两端的齐次边界条件和圆柱侧面的齐次边界条件来确定。
对于输运方程，也可以得到类似的解：
()2210
(,,,)()()n
k a t m m n n
j m u r z t R r Z z e
ϕϕ∞
∞
-===Φ∑∑∑。
数理方程-分离变量法
第八章 分离变量法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x 、t 两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。
分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。
叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。
特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。
（2）物理上 由叠加原理作保证。
例：有界弦的自由振动1.求两端固定的弦的自由振动的规律⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=>==><<∂∂=∂∂l x x t x u x x u t t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222ψϕ 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(t T x X t x u =这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。
第二步：代入方程（偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X 、T 都只有一个变量）)()()()(2t T x X a t T x X ''=''变形得)()()()(2t T a t T x X x X ''=''= λ- 左边与t 无关，右边与x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。
《分离变量法》课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《分离变量法》课件
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
《数学物理方程》分离变量法-精PPT共29页
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《数学物理方程》分离变量法-精
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
大学物理-曲线坐标系中分离变量法
球坐标系中Laplace方程的奇点 球坐标系的边界：r=0， r=a；r=a，r=
因此，定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是
1 r2
r
(r2
u ) r
r2
1
sin
(sin
u )
r2
1
sin2
2u
2
0
u 有界， u 有界
0
u 有界， u
r 0
ra
f1 ( , )
u ra f1( ,)，u r f2 ( ,)
dx
x q1
dq1
x q2
dq2
x q3
dq3
x q1
dq1
(7)
同理
y
z
dy q1 dq1, dz q1 dq1
(8)
将 (7)、 (8) 式代入 (6) 式，即有
dl1
( x )2 q1
( y )2 q1
( z )2 q1
dq1
(9)
同理可得沿 q2, q3 坐标线的微分线元 dl2, dl3，这样，正交 曲线坐标系的微分线元可记作
将它们代入方程 (6-2-9) 得
即 ——连带勒让德方程
其解为：连带勒让德函数 (见§8–2) ——特殊函数 (6-2-14)
若所讨论的定解问题具有轴对称性，即 u 与 无 关，从而 m = 0，则由方程 (6-2-9) 得
——勒让德方程 其解为：勒让德多项式 (见§8–1)
(6-2-15) 球函数 (见§8–3)： 将 (6-2-13)、(6-2-14) 代入 (7)，有
则通解为：
三、柱坐标系中分离变量法
1. 时空变量的分离 (i) 波动方程
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
数学物理方法课件：8-分离变数法
第三步：解本征值问题：
X ''X 0 (8.1.8)
X
(0)
X
(l)
0
(8.1.7)
(1) λ<0 : X (x) C1e x C2e x
由边值
C1 C2 0, C1e l C2e l 0,
C1 0
C2 0
6
(2) λ=0 : 由边值
X '(0) 0, X '(l) 0,
15
X ''X 0,
X '(0) 0, X '(l) 0,
T ' 'a2T 0
(1) λ<0： 由边值条件
X (x) C1e x C2e x
(C1 C2 ) 0 (C1e l C2e l ) 0
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
y (c1 c2 x)er1x
一对共轭复根 ( p2 4q 0)
r1 i，r2 i
p ， 4q p2
2
2
y ex (c1 cos x c2 sin x)
3
§8.1 齐次方程的分离变数法 驻波法
（一） 分离变数法介绍
求：两端固定弦的自由振动(p143)。 解：定解问题是
uuttx0
a
2ux 0,
x
0 u
xl
(0 0
x
l)
u t0 (x), ut t0 (x)
即：
《数学物理方法》5分离变数法
（An
n1
cos
nat
l
Bn
sin
nat
l
）cos
nx
l
[例3] 杆的导热。设初始杆的一端温度为零， 另一端为u0。杆上温度梯度均匀，一端保 持零度不变，另一端与外界绝热。求杆温度
ut a 2uxx 0
a2 k
c
（0 xl）
u 0 x0
ux
0
xl
u（x，t）
t0
u0
x l
（0 xl）
[解] 设 u（x，t） X（x）T（t）
X（a） 0
C2 sin ka 0
X（x）要有非零解 C2 0 sin ka 0
ka n
k2
n2 2
a2
（n 1，2，3，）
本征值：
n
n2
a2
2
（n 1，2，3，）
本征函数：
X（n x）
sin n
a
x
Y Y 0
Y
通解：
Y（n y）
n y
Ane a
（n 1，2，3，）
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
X X 0
X（0） 0 X （l） 0
？满足边界条件的常微分方程有非零解
（1） 0
X
d2X dx 2
0
通解：X（x） C0 D0 x
X（0） 0 X （l） 0
C0 0 D0 0
X（x） 0 0 应排除
（2） 0
设 k2
代入泛定方程和边界条件：
X（x）T （t） a2 X （x）T（t） 0
X（0）T（t） 0 X（l）T（t） 0
分离变量 X（x）T （t） a2 X （x）T（t）
数学物理方法技巧分离变量法
目录
CONTENTS
• 引言 • 分离变量法的基本原理 • 分离变量法的具体应用 • 分离变量法的注意事项 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的未来发展与展望
01
引言
分离变量法的定义
分离变量法是一种数学物理方法，用 于将多变量问题转化为多个单变量问 题，以便于求解。
它通过将偏微分方程转化为常微分方 程，或者将高阶微分方程转化为一系 列在解决具有多个相互独立变量的物理 问题时，如波动、热传导、流体动力 学等，分离变量法是非常有效的工具 。
它适用于具有周期性边界条件或对称 性边界条件的问题，如无限大区域、 周期性结构等。
THANKS
感谢您的观看
结合其他数值方法进行优化
1 2 3
混合方法
结合分离变量法和有限元法、有限差分法等其他 数值方法，形成混合方法，取长补短，提高求解 精度和效率。
自适应方法
结合分离变量法和自适应方法，根据问题特性和 求解需求，动态调整算法参数和求解精度，实现 高效求解。
无网格方法
结合分离变量法和无网格方法，克服传统数值方 法的网格依赖性，提高求解灵活性。
02
偏微分方程的解需要满足一定的边界条件和初始条件。
03
偏微分方程的解需要满足可解性条件，即解需要是有限个变 量的函数。
分离变量法的步骤
01
将偏微分方程转化为常微分方程。
02 对常微分方程进行求解，得到各个变量的解。
03 将各个变量的解组合起来，得到原偏微分方程的 解。
03
分离变量法的具体
应用
一维波动方程的分离变量法
为了确保数值解法的稳定性，可以采用多种方法，如增加计算步长、使用更精确的数值格式等。同时 ，也需要不断尝试和改进计算方法，以提高数值解法的稳定性和准确性。
固有函数法和分离变量法_解释说明
固有函数法和分离变量法解释说明引言1.1 概述在科学和工程领域中，解决不同类型的数学方程是非常重要的。
其中，固有函数法和分离变量法是两种常见的求解数学方程的方法。
这两种方法在特定情况下都能够提供有效的解决方案，并且在不同领域都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍固有函数法，包括其理论基础、应用领域以及优缺点。
接着，我们将详细探讨分离变量法，包括其原理解释、实际应用和算法步骤。
然后，我们将比较这两种方法的共同点和不同之处，并提出适用于不同场景的推荐应用。
最后，我们将总结固有函数法和分离变量法的特点和应用价值，并展望未来研究方向与发展趋势。
1.3 目的本文旨在全面深入地介绍固有函数法和分离变量法这两种求解数学方程的方法。
通过对其理论基础、实际应用和优缺点的分析，我们希望读者能够了解到这些方法各自适用于哪些情境，并能够根据具体需求进行选择。
此外，我们也将对这两种方法的研究方向和未来发展进行展望，以期为相关领域的进一步探索提供参考和启示。
2. 固有函数法2.1 理论基础固有函数法是一种数学方法，用于求解偏微分方程（PDE）中的边值问题。
它的核心思想是将待求解的函数表示为问题域内各个位置上的局部特征函数的线性组合形式。
根据泛函分析理论，我们知道一个完备希尔伯特空间中的任何一个元素，都可以用这个空间中的一组正交归一基作展开。
在固有函数法中，将问题域划分成有限或无限多个小区域，并在每个小区域内寻找满足特定边界条件和内部微分方程条件的局部特征函数。
这些局部特征函数通常由常微分方程组成。
固有函数法通过对不同特征函数进行线性叠加来逼近真实解，其中每个特征函数都含有未知系数。
通过确定这些系数，我们可以构造出满足整个问题条件的唯一解。
2.2 应用领域固有函数法广泛应用于物理学和工程学领域中独立变量是时间、空间或它们的某种组合的偏微分方程求解。
例如，在传热学、振动力学和电磁学中，固有函数法被用于求解热传导方程、波动方程和泊松方程等问题。
数学物理方法课件 第八章-分离变量法-2
数学物理方法（II）3、二维拉普拉斯方程—热传导二维矩形区域的稳态热传导问题：y uu 0b散热片的横截面为一矩形，长和宽分别a b 。
它的一边y=b 为和它的边y 处于较高的温度，其它三边保持零度。
求横截面上的xa 0(0,0)xx yy u u x a yb +=<<<<⎧稳恒的温度分布000|0,|0|0,|x x a y y b u u u u u ====⎪==⎨⎪==⎩=?求出任意点(x,y )的温度分布u (x,y )?(,)sin u x b u A C e D e x ==+01n n n n a=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦∑⎧再利用三角函数的正交性，可以得到：0 C D +=小结：（1）可以采用分离变量法(,)()()u r R r ϕϕ=Φ求解平面极坐标系中的拉普拉斯方程；（2）由周期性条件确定本征值和本征函数：2 (0,1,2,3...)()cos sin m m m m m A m B m λϕϕϕ==Φ=+在径向上的边界条件可以是非齐次的。
（3）拉普拉斯方程的通解为：00(,)ln u r C D rϕ∞=+叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定()()1 +cos sin m m m m m m m C r D r A m B m ϕϕ−=++∑叠加系数由径向上的非齐次边界条件确定。
例2可以近似地认为带电云层与大地之间的静电场是均匀分布的，且电场强度E 0的方向竖直向下。
现将一个半径为a 的无限长直导线水平架设在该电场中，求导线周围的电场分布。
++带电云分析：轴其截面在平面++•取导体线的方向沿z 轴，其截面在xy 平面；•由于导体线是无线长的，可以取其一个界面进行分析另外导体线的截面个圆故y进行分析。
另外，导体线的截面一个圆，故可以采用平面极坐标系;(,)r ϕx•均匀电场的方向沿x 轴，即00xE =E e 大地/2π/2π−。
数学物理方法课件：8-分离变数法
(n为偶数), (n为奇数),
27
解出
0
An
Bn
4
n
U enb / a
u0 - enb / a
(n为偶数), (n为奇数),
结果：
u(x, y) u0 v(x, y)
u0
4(U
u0
)
n0
1 (2k
1)
sh sh
(2k (2k
1)y
a
1)b
sin
(2k
1)x.
a
a
作业：第160页第1题,第2题
其边界条件分别为齐次边界条件周期性边界条件和自然边界条件有界性边界条件分离变量法适用于波动问题输运问题和稳定场问题在特殊域矩形长方体直角坐标系圆圆柱体柱坐标系圆球球坐标系中的定解问题因为这些特殊域正好常常在实际问题中出现这是分离变量法有广泛的应用的原因
第八章 分离变数法(6)
➢ 分离变量法的基本思想是,先求出方程具有变量分 离形式且满足边界条件的特解, 然后根据叠加原 理作出这些解的线性叠加, 最后由其余的定解条 件确定待定系数, 得到定解问题的解.
E
dl
r
r0 dr ln r0
r 2 0r
2 0 r
29
圆形区域的分离变数法
例4(p154) 带电的云跟大地之间的静 电场近似是匀强静电场，其电场强度 E0 是竖直的。水平架设的输电线处 在这个静电场之中。输电线是导体圆 柱。研究导体圆柱附近的静电场。
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写 出(*)式的通解：
r1，r2的形式
(*)式的通解
两个不相等实根 ( p2 4q 0)
y c1er1x c2er2x
两个相等实根 ( p2 4q 0)
分离变量法求满足给定边界条件的泊松方程的解
（四）用分离变量法求解Laplace 方程的步骤 第一步：分析对称性，选择坐标系 第二步：分区列出拉普拉斯方程和边值关系 第三步：分区写出级数解 第四步：用边界条件和边值关系定系数
常用边界条件、边值关系
（i）介质分界面的边值关系： 1 S 2 S
1 2
2
2
n
1
1
r 2 sin 2
2 2
0
设 (r, ,) R(r)Y ( ,)
该方程的通解为
(r ,
,)
n,m
( Anmr n
Bnm r n1
) Pnm
(cos
)
c os (m )
n,m
(Cnmr n
Dnm r n1
)Pnm (cos
) sin(m)
(5)
n
1dS 2 dS Q
（6）
第三步：分区写出级数解 RR3 n
RR2 n
假如装置放于介质中
问题具有球对称性，所以设通解为
1 (r )
A r
B
2 (r)
C r
D
第四步：用边界条件和边值关系定系数
由（3）式
由（5）式
1(r)
A r
B0
[例1]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包
围着一个半径为R1的导体球（R1<R2)，使半径R1的导体球接地，求空间
各点的电势和这个导体球的感应电荷。 第一步：分析对称性，选择坐标系
[分析]：根据题意，具有球对称性，
Q
φ 2 R1
R2 R3
φ1
电势不依赖于极角 和方位角 ，只与半
数学物理方程课件：8.1分离变量法介绍
X (0) 0 和 X '(l) 0.
C1 0 和
C2 cos l 0
(k
1)2 2 2 l2
(2k
1)2 4l 2
2
k 0,1,2,3
X
(x)
C2
sin
(2k
1)x 2l
C.
(2k 1)2 2a2
T ''
4l 2
T 0;
T (t) Acos (2k 1)at B sin (2k 1)at ,
nat l
Bn
sin
nat l
) cos
nx l
.
n0 n 1,2,3
D.
u(x,t) A0 B0t
n1
(
An
cos
na l
t
Bn
sin
na l
t
)
cos
nx l
.
由初始条件：
u t0 (x)
A0
n1
An
sin
nx l
(x),
A0
1 l
l 0
(
)d ,
An
2 l
l 0
( ) cos n l
X
(
x)
C2
sin
nx l
：本征值
：本征函数
C2是积分常数。
X ''X 0;
：本征值方程
C.
T ''
n2 2a2 l2
T
0;
T (t) Acos nat B sin nat ,
l
l
A、B 是积分常数。
un (x,t)
( An
cos
nat l
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由傅里叶正弦级数展开 式系数公式可求出
2 l 2 (2n 1) 32l 2 An ( x 2lx) sin xdx 0 l 2l (2n 1)3 3 Bn 0
故定解问题的最终解为
u( x, t ) 32l 2
3
1 (2n 1)a ( 2n 1 )π cos t sin x 3 2l 2l n 1 (2n 1)
齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+非齐次边界条件
2
8.1 有界弦的自由振动
定解问题1 研究两端固定的弦的自由振动
(0 x l , t 0)
2 泛定方程： utt a uxx 0
边界条件： u( x, t ) 初始条件： u
t 0
x 0
0
u( x, t )
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
(3)
0
X ( x) C1 cos x C2 sin x
X (0) C1 0
非零解 C2 0
X (l ) C2 cos l 0
cos l 0
(2n 1) 2 2 则n , 2 4l (n 1,2,...)
第三步：求出全部特解，并叠加出一般解（形式解）； n n n u ( x, t ) (Cn cos at Dn sin at )sin x l l l n 1
第四步：代入初始条件，运用特征函数的正交性确定叠加系数.
注意本征函数问题：
本征值问题 边界条件
X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0 X (0) X (l ) 0
2 代入方程中， XT '' a X '' T 0
（求非零解）
x, t 是相互独立的变量
T ''( t ) X ''( x ) 分离过程： 2 X ( x) a T (t )
T '' a 2T 0 得出两个常微分方程： X '' X 0
代入边界条件：
T " a 2T 0
n a 2 T "( t ) ( ) T 0 l
n 2 2 2 l
n=1,2,3……
时间函数解 T ( t ) A cos
n a n a t B sin t l l
A、B 是积分常数
固得到下面一族解：
n at n at n x un ( x, t ) ( An cos Bn sin )sin l l l
(2)
0
X ( x ) C1 x C 2
C2 0
C1l C 2 0
C1 C 2 0
同样只有零解，不合题意；
6
(3)
0Βιβλιοθήκη X ( x) C1 cos x C2 sin x
X ( 0) 0
X (l ) 0
C1 0
C2 sin l 0
18
基本步骤：
第一步：分离变量.设u ( x, t ) X ( x)T (t )，代入方程与边界条件可得 X '' ( x) X ( x) 0, 特征值问题 与T '' (t ) a 2T (t ) 0. X (0) X (l ) 0.
第二步：求解特征值问题,得一系列特征值及相应的特征函数 n 2 n ( ) , n 1, 2,3,... l X ( x) B sin n x, n 1, 2,3,... n n l
C2 e
l
x
X (0) C1 C2 0
X (l ) C1e C2e
l
C1 C 2 0
0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
14
(2)
0
X ( x ) C1 x C 2
X (0) C2 0
X (l ) C1 0
x 0
0
u t 0 x 2lx
2
u x u t
x l
0
0
（第二类齐次边界条件）
t 0
解： 设
u( x , t ) X ( x )T ( t )
XT '' a 2 X ''T 0
T ''( t ) X ''( x ) 2 X ( x) a T (t )
ux |x0 0, ux |xl 0,
x"x 0 ' x | x 0 x | x l 0 k=0,1,2,3…
k x" x 0 l2 ' ' x | x | x l 0 k=0,1,2,3… x 0
2 2
1 ( k ) 2 ]2 [ l
X (0) X (l ) 0
X '' ( x) X ( x) 0, 边界条件
特征值
n n ( )2 l (2n 1) 2 n ( ) 2l (2n 1) 2 n ( ) 2l n 2 n ( ) l
特征函数
n x, n 1,2, l (2n 1) X n sin x, n 0,1,2, 2l (2n 1) X n cos x, n 0,1,2, 2l n X n cos x, n 0,1,2, l X n sin
（0<x<l,t>0）
u | x0 0,
ux |xl 0,
1 ( k ) 1 (k ) 2 2 [ ] x"x 0 2 x sin l ' l x | x | 0 x 0 x l
k=0,1,2,3… k=0,1,2……
ux |x0 0, u | x l 0,
第八章 分离变量法
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义
着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题 掌握非齐次方程的本征函数展开法 掌握非齐次边界条件齐次化的方法
1
分离变量法核心：
偏微分方程→常微分方程
本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次：
n 1, 2, 3
8
4、通过初始条件，求出通解 代入初始条件，有
nx ( x) An sin l na nx ( x) Bn sin l l
利用叠加原理！！！
u( x, t )
u ( x, t )
n
nat nat nx ( An cos Bn sin ) sin l l l n 1
5
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与 λ的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X ( x) C1e X ( 0) 0
X (l ) 0
x
C2 e
l
x
C1 C2 0
C1e C2e
l
C1 C 2 0
0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
ut
t 0
x l
0（第一类齐次边界条件）
( x)
( x)
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的， 边界条件也是奇次的。
解： 由前面思路，设
u( x , t ) X ( x )T ( t )
3
1、分离变量
u( x , t ) X ( x )T ( t )
utt a 2 uxx 0
15
则特征解为
(2n 1)x X ( x) C2 sin 2l
将特征值代入T（t）的方程，解出
(2n 1)at (2n 1)at T (t ) A cos B sin 2l 2l
则u（x，t）的特解族为
(2n 1)at (2n 1)at (2n 1)x un ( x, t ) ( An cos Bn sin ) sin 2l 2l 2l
16
同样很难满足初始条件，由叠加原理得
u( x, t )
u ( x, t )
n n 1
n 1
[ An cos
(2n 1)at (2n 1)at (2n 1)x Bn sin ] sin 2l 2l 2l
此时要满足初始条件，有
(2n 1)x 2 x 2lx An sin 2l n 1 ( 2 n 1 ) a ( 2 n 1 ) x 0 Bn sin 2l 2l n 1
y" py' qy 0
2 其中p、q为常数，则特征方程为 r pr q 0
(1)当r1、r2为相异的实根时，方程 有通解y( x) c1er1x c 2 er2 x (2)当r1 r2 r为相同的实根时，通解 y( x) (c1 c 2 x)erx
x (3)当r1、 i 时， y ( x ) e (c1 cos x c 2 sinx) 2
1 (k ) 2 x cos l
k=0,1,2……
k cos x l
k=0,1,2… 21
8.2 非奇次方程的解法
研究一根弦在两端固定的情况下，受强迫力 作用所产生的振动现象。 即考虑下列定解问题：
2 2u u 2 f ( x, t ),0 x l , t 0 2 a 2 t x u x 0 u x l 0, t 0 u u t 0 ( x ), t 0 ( x ),0 x l t