一元二次方程
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定一元二次方程是一种形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c 为常数，x为未知数。
它的一般解可以通过求根公式得到，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
在求解一元二次方程时，我们根据方程的根的性质可以进行一系列判定。
一元二次方程的实数根的判定包括以下几个方面：1.判别式一元二次方程的判别式是b^2-4ac。
通过判别式的正负可以判断方程有无实数根，且可以确定方程的根的种类，即：（1）当判别式大于零，即b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当判别式等于零，即b^2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当判别式小于零，即b^2-4ac<0时，方程没有实数根。
此时方程的解为复数。
2.方程的系数与根的关系一元二次方程的系数与根的关系可以通过韦达定理得到。
根据韦达定理可知：一元二次方程的两个根之和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
通过系数与根的关系可以判断方程的根的情况，包括：（1）当系数b和c的符号相同时，两个根的符号相反，即一正一负；（2）当系数b和c的符号不同时，无法确定根的符号。
3.方程的一般形式一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。
在方程的一般形式中，a、b、c分别代表方程的系数，通过比较方程的系数可以得到一些结论：（1）当a=0时，方程的形式为bx+c=0，此时方程化为一次方程，有一个实数根；（2）当a≠0且b=0时，方程的形式为ax^2+c=0，此时方程可以化简为一元一次方程，有一个实数根；（3）当a≠0且b≠0时，方程为一元二次方程，根据判别式的正负可以得到方程的实数根的情况。
4.解的范围对于有实数根的一元二次方程，解的范围是实数集。
实数集是包括有理数和无理数的集合。
一元二次方程的解既可以是有理数，也可以是无理数。
总结起来，一元二次方程实数根的判定可以通过以下几个方面进行判断：判别式的正负、方程的系数与根的关系、方程的一般形式以及解的范围。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
方程计算公式
方程的公式是什么？
1、一元一次方程：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）
2、二元一次方程：x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
3、一元二次方程：ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
4、三元一次方程：ax+by+cz=d。
5、直线方程：
(1)一般式：Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线l1：A1x+B1y+C1=0
直线l2：A2x+B2y+C2=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式：知道直线上一点(x0,y0),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)。
当k不存在时，直线可表示为x=x0
(3)截距式：若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/ b=1。
所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线。
初中方程公式大全
初中方程公式大全
初中阶段学习的方程公式包括一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等。
以下是初中阶段常见的方程公式大全：
1. 一元一次方程：ax + b = c
- 解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，化简，求解得到方程的解。
2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0
- 解一元二次方程的步骤：可以通过公式求根法，配方法或者因式分解法来求解一元二次方程。
3. 两角和与差的三角函数关系：sin(A±B) 、cos(A±B)、tan(A ±B)
4. 二元一次方程组：
- ax + by = c
- dx + ey = f
- 解二元一次方程组的步骤：可以通过代入法、消元法、加减法等方法进行解答。
5. 实际问题联立方程：通过实际问题进行建立方程，然后求解方程。
以上是初中阶段常见的方程公式大全。
通过学习这些方程公式，可以帮助学生理解和解决相关的数学问题，为日后的学习和生活打下扎实的数学基础。
1元2次方程求根公式
1元2次方程求根公式1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的常用方法之一，它可以帮助我们快速地求出方程的解。
在此，我们将详细介绍1元2次方程求根公式的原理和应用。
一元二次方程是指只有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
一般地，它的表达式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c都是实数且a≠0。
如果我们知道了a、b、c的值，那么如何求方程的解呢？根据1元2次方程求根公式，我们可以得到方程的两个解为x1=(-b+√(b²-4ac))/(2a)和x2=(-b-√(b²-4ac))/(2a)。
其中，±符号表示可以取正号或负号，√符号表示开方。
1元2次方程求根公式的原理是基于配方法和求根公式相结合的。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为一个完全平方式，然后再通过求根公式来求出方程的解。
具体来说，我们可以按照以下步骤来求解一元二次方程：步骤1：将方程变形为标准形式，即ax²+bx+c=0。
步骤2：根据求根公式，计算出判别式D=b²-4ac的值。
步骤3：根据判别式的值，判断方程的解的情况。
如果D>0，则方程有两个不等实数解；如果D=0，则方程有两个相等实数解；如果D<0，则方程有两个共轭复数解。
步骤4：根据求根公式，计算出方程的解x1和x2。
需要注意的是，1元2次方程求根公式只适用于标准形式的一元二次方程。
如果方程不在标准形式下，我们需要先通过移项、因式分解等方法将其转化为标准形式，然后再使用求根公式来求解。
1元2次方程求根公式在实际应用中非常广泛。
例如，在物理学和工程学中，经常需要求解一些复杂的方程来描述物理现象和工程问题。
通过使用1元2次方程求根公式，我们可以快速地求解这些方程，从而得到准确的结果。
此外，在数学竞赛和考试中，1元2次方程求根公式也是一个非常重要的知识点，掌握它可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
1元2次方程求根公式是解决一元二次方程的重要方法之一，它的原理简单易懂，应用广泛。
一元二次方程式
四、一元二次方程式就一般而言，凡是使得方程式等号成立的数称之为方程式的解；而使得多项式的值为零的数称之为多项式的根。
因此，一元二次方程式的解就是所对应的二次多项式的根。
所以，我们也称此类方程式的解为根。
我们将首先介绍常见的一元二次方程式的三种解法：因式分解法、配方法和公式解。
然后，利用判别式来探讨两根的特性，最后再讨论根与系数之间的关系。
4-1 一元二次方程式的解法【因式分解法】因为一元二次方程式20ax bx c ++=（a 、b 和c 为实数且a ≠0）的左式为二次多项式，如果我们能将这个多项式因式分解成两个一次多项式的乘积，就很容易求得方程式的解。
我们以下面的例子来说明这种解法。
【范例1】求22151x x +=-的解。
【解】 利用移项可把原方程式改写为 2252x x -+= 0。
由因式分解，可得2252x x -+= (21)(2)x x -- 因此，原方程式改写为(21)(2)x x --= 0 所以，可得210x -=或20x -= 即12x =或2x =。
【类题练习1】求231030x x ++=的解。
【配方法】我们也可以利用平方根的概念来解方程式，例如将2420x x -+=改写为2(2)2x -=的形式，进而解得2x =2420x x -+=⇒242x x -=-两边同加22 ⇒22222222x x -⋅⋅+=-+左式可写成完全平方式 ⇒ 2(2)2x -=∵右式为正，两边开平方 ⇒ 2x -=⇒ 2x =上面的例子是利用配成完全平方式的方法，先将方程式改写成 (x －h )2＝k 的形式。
当0≥k 时，我们就可以利用平方根的概念来解题： 即 2()0x h k -=≥两边同时开方 ⇒ x -h =移项 ⇒ x = h注：x = h ±表示x = h x = h我们将这个方法称为配方法，也就是配成完全平方的意思。
以下的例题继续来说明这种解法。
【范例2】求下列各方程式的解：(1) 2680x x -+= (2) 22460x x +-=【解】 (1) 2680x x -+=⇒2238x x -⋅⋅=-⇒22223383x x -⋅⋅+=-+⇒ 2(3)1x -=⇒31x -=±⇒ x -3 = 1或x -3 =-1⇒ x = 2或x = 4(2) 22460x x +-=⇒2230x x +-=⇒223x x +=⇒22221131x x +⋅⋅+=+⇒2(1)4x +=⇒12x +=±⇒12x +=或12x +=-⇒1x =或3x =-在上例中，我们当然也可用十字交乘法来做因式分解。
因式分解全部公式(一)
因式分解全部公式(一)因式分解全部公式一、一元二次方程的因式分解公式1. 公式一元二次方程的因式分解公式如下：ax^2 + bx + c = 02. 解释说明在解一元二次方程时，有时可以通过因式分解的方法来得到解的形式。
根据一元二次方程的因式分解公式，我们可以将方程化简为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以使用因式分解的方法来求解。
通过观察可以发现，方程可简化为(x + 2)(x + 3) = 0。
由此可得出方程的解为x = -2或x = -3。
二、三角函数的因式分解公式1. 公式三角函数的因式分解公式如下：sin^2(x) + cos^2(x) = 12. 解释说明三角函数的因式分解公式是一个重要的恒等式。
根据该公式，三角函数的平方和等于1。
举例来说，对于一个正弦函数sin(x)，我们可以将其平方和sin^2(x)和余弦函数的平方和cos^2(x)相加，得到结果为1。
这表明在三角函数中，正弦和余弦函数是互补的，且两者的平方和始终为1。
三、多项式的因式分解公式1. 公式多项式的因式分解公式可以写为：a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n -1))2. 解释说明多项式的因式分解公式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的乘积形式。
举例来说，对于多项式x^2 - 4，根据因式分解公式，我们可以将其分解为(x - 2)(x + 2)。
通过这种方法，我们可以将复杂的多项式简化为多个一次因式的乘积。
四、总结这篇文章介绍了因式分解的一些常用公式，并通过例子解释了它们的应用。
通过因式分解，我们可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
掌握这些公式对于数学和物理等领域的学习和应用都具有重要意义。
mathematics 解方程
解方程在数学中是一个基本的概念。
方程是一个数学表达式，表示两个表达式相等。
解方程意味着找到使得该等式成立的未知数的值。
解方程的基本方法和技巧取决于方程的类型。
以下是一些常见的方程类型及其解决方法：1. 一元一次方程：
\( ax + b = 0 \)
解：\( x = -\frac{b}{a} \)
2. 一元二次方程：
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
通常使用求根公式\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 来解决它。
3. 一元三次方程和更高次的方程：
这些方程的解法较为复杂，并且可能没有通用的解。
对于高于二次的多项式方程，可能需要使用数值方法或其他特定的技术来找到解。
4. 多元方程组：
当有多个未知数时，可以使用消元法、代入法、加减法等技巧来求解方程组。
5. 其他类型的方程：
在数学中，还有许多其他类型的方程，如指数方程、对数方程、三角方程等。
每种类型的方程都有其特定的解决方法。
解方程是数学中的一个核心概念，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。
为了解方程，你需要熟悉各种解方程的技巧和方法，并进行实践来加深理解。
一元二次方程十字相乘法公式
一、十字相乘法十字相乘法是用于解一元二次方程的一种方法。
一元二次方程是指一元二次多项式的根，即ax²+bx+c=0，其中a,b,c为实数，且a≠0。
十字相乘法是把原式分成两部分，分别乘积相等，并将乘积等式化简得到方程的解，而不需要分裂因式，它可以大大简化方程的求解步骤。
二、十字相乘法公式十字相乘法主要有以下公式：1.将一元二次方程ax²+bx+c=0化为两个乘积等式：ax²+bx=-cx(a x+b)=-c2.由乘法知识，可以将上式化简得：a x²+bx+c=0x=-b+√[b²-4ac]/2a或x=-b-√[b²-4ac]/2a三、应用实例1.解一元二次方程x²+8x+12=0将本方程化为两个乘积等式：x²+8x=-12x(x+8)=-12经化简可得：x=-8+√[64-48]/2=-8+√16/2=-8+4=-4又有x=-8-√16/2=-8-4=-12所以x²+8x+12=0的解是x1=-4，x2=-12。
2.解一元二次方程9x²-12x-6=0将本方程化为两个乘积等式：9x²-12x=6x(9x-12)=6经化简可得：x=12+√[144-108]/18=12+√36/18=12+6/18=12+1/3又有x=12-√36/18=12-6/18=12-1/3所以9x²-12x-6=0的解是x1=12+1/3，x2=12-1/3。
1元二次方程根与系数的关系公式
1元二次方程根与系数的关系公式一元二次方程啊，这可是中学数学里的一个重要知识点。
咱先来说说一元二次方程一般式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），如果这个方程有两个根$x_1$和$x_2$，那么就有一个神奇的关系，叫根与系数的关系公式，也叫韦达定理。
韦达定理说的是，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$。
可别小看这两个公式，用处大着呢！我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂。
”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们有个一元二次方程$x^2 - 5x + 6 = 0$，那我们先通过因式分解，得到$(x - 2)(x - 3) = 0$，所以方程的两个根就是$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
那按照韦达定理，$x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5$，而$-\frac{b}{a} = -\frac{-5}{1} = 5$，是不是对上啦？再看$x_1 \times x_2 = 2×3 = 6$，$\frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$，也没错吧！这个学生眼睛一下子亮了，说：“老师，我好像有点明白了！”韦达定理在解决很多数学问题时都能派上用场。
比如说，已知方程的一个根，求另一个根；或者根据两根的关系，确定方程中的系数等等。
再比如，如果告诉你一个一元二次方程的两根之和是 8，两根之积是 15，那我们就能很快写出这个方程$x^2 - 8x + 15 = 0$。
而且啊，韦达定理还能和函数图像结合起来。
一元二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴的交点，对应的就是方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。
通过韦达定理，我们能知道两根的和与积，进而对函数的性质有更深入的理解。
在做题的时候，要是能熟练运用韦达定理，那解题速度就能大大提高。
初中数学 方程的分类有哪些
初中数学方程的分类有哪些在初中数学中，方程可以按照不同的特征进行分类。
以下是几种常见的方程分类：1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b 是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的方法通常是通过移项、合并同类项和求解一元一次方程的一般步骤。
2. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法可以通过配方法、因式分解、求根公式等。
3. 多元一次方程：多元一次方程是包含多个未知数的一次方程。
多元一次方程的一般形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b，其中a1、a2、...、an和b是已知数，x1、x2、...、xn是未知数。
解多元一次方程的方法通常是通过消元、代入、求解一元一次方程等。
4. 分式方程：分式方程是包含有分数的方程。
分式方程的一般形式为P(x) / Q(x) = R(x) / S(x)，其中P(x)、Q(x)、R(x)和S(x)是多项式，x是未知数。
解分式方程的方法通常是通过通分、消去分母、求解一元一次方程等。
5. 绝对值方程：绝对值方程是包含有绝对值符号的方程。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解绝对值方程的方法可以通过列出正负两种情况，再求解一元一次方程等。
6. 指数方程：指数方程是包含有指数的方程。
指数方程的一般形式为a^x = b，其中a和b是已知数，x是未知数。
解指数方程的方法可以通过取对数、换底公式等。
以上是初中数学中常见的方程分类。
了解不同类型的方程有助于我们在解题过程中选择合适的解法和方法，提高解题的效率和准确性。
△一元二次方程解法
△一元二次方程解法
一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c皆为实数且a不等于零。
要解一元二次方程，我们可以使用以下步骤：
1. 将方程的三个项ax^2、bx和c按照次序排列。
2. 利用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，求得方程的解。
- 如果(b^2 - 4ac)大于零，则方程有两个不同的实数解。
- 如果(b^2 - 4ac)等于零，则方程有一个实数解。
- 如果(b^2 - 4ac)小于零，则方程无实数解，可以在复数域内得到两个共轭复数解。
4. 根据解的类型，得出一元二次方程的解。
这是一种常见且有效的求解一元二次方程的方法，通过将方程转化为求解一元二次方程根的问题，我们可以得到方程的解。
1元二次方程的公式法
1元二次方程的公式法一元二次方程啊，这可是数学里的一个重要知识点。
咱们先来说说啥是一元二次方程，它的一般形式是 ax² + bx + c = 0 ，这里的 a、b、c 都是常数，而且 a 还不能等于 0 。
要说一元二次方程的公式法，那可是解决这类问题的一把“万能钥匙”。
公式法就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这公式看起来有点复杂，但是只要搞清楚每个字母代表的意思，用起来那叫一个顺手。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都理解不了。
我就拿了个很简单的例子，比如说 x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 。
咱们把这些数字带进公式里，先算 b² - 4ac ，就是2²- 4×1×（-3）= 16 。
然后再把b 和算出来的这个值带到公式里，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1 ，x₂ = -3 。
那孩子眼睛一下子亮了，直说：“老师，原来这么简单！”在实际应用中，公式法可厉害了。
比如说要算一个物体的运动轨迹，或者算一个工程的进度啥的，都可能用到一元二次方程的公式法。
而且啊，这公式法还能检验我们前面用其他方法解出来的答案对不对。
咱再说说怎么能熟练掌握这个公式法。
首先，得把那几个字母代表啥记得牢牢的，可别弄混了。
然后就是多做几道题，俗话说得好，熟能生巧嘛。
还有啊，有些同学一看到根号就害怕，其实没啥好怕的，不就是个数学符号嘛，就把它当成一个普通的运算符号就行。
还有计算的时候要仔细，别粗心大意，一个小数字弄错了，结果可就全错啦。
总的来说，一元二次方程的公式法虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就一定能掌握好，让它成为我们解决数学问题的有力武器。
就像那个一开始迷糊的同学，后来不也搞明白了嘛。
1元二次方程公式法
1元二次方程公式法一元二次方程公式法是求解一元二次方程的一种方法，它是通过对方程中的系数和常数项进行代入求解的算法。
本文将详细介绍一元二次方程公式法的原理和步骤，并结合示例进行说明。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a ≠ 0。
一元二次方程公式法的基本思想是通过代入法，将方程转化为一个简单的形式，从而求得方程的解。
步骤如下：步骤1：将一元二次方程进行整理。
将方程的系数和常数项代入方程的一般形式中，得到ax^2 + bx + c = 0。
步骤2：计算方程的判别式。
方程的判别式D = b^2 - 4ac，判断方程的解的类型：-当D>0时，方程有两个不等实数解；-当D=0时，方程有两个相等实数解；-当D<0时，方程无实数解。
步骤3：根据判别式的结果计算方程的解。
-当D>0时，方程有两个不等实数解。
解的公式为x1=(-b+√D)/(2a)，x2=(-b-√D)/(2a)。
-当D=0时，方程有两个相等实数解。
解的公式为x1=x2=-b/(2a)。
-当D<0时，方程无实数解。
步骤4：得到方程的解。
根据步骤3的计算结果，得到方程的解。
以下通过示例来说明一元二次方程公式法的具体步骤：例1：求解方程2x^2-3x-2=0。
步骤1：整理方程。
根据方程的一般形式，可得出a=2，b=-3，c=-2步骤2：计算判别式。
判别式D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25步骤3：计算解。
由于D>0，方程有两个不等实数解。
解的公式为x1=(-(-3)+√25)/(2*2)=(3+5)/4=8/4=2x2=(-(-3)-√25)/(2*2)=(3-5)/4=-2/4=-0.5步骤4：得到解。
方程2x^2-3x-2=0的解为x1=2，x2=-0.5通过这个例子，我们可以看出一元二次方程公式法的实际应用。
通过代入法，将方程化简为简单的形式，然后根据判别式的值计算解。
一元二次方程的delta
一元二次方程的delta
一元二次方程的Δ（delta）代表判别式，用来判断方程的根的性质。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
判别式Δ的计算公式为Δ = b² - 4ac。
根据Δ的值，可以得出以下结论：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有两个交点，图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。
这意味着方程在坐标系中与x轴有一个交点，图像是一个与x轴相切的抛物线。
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，而是有两个共轭复根。
这意味着方程在坐标系中与x轴没有交点，图像位于x轴上方或下方，不与其相交。
通过计算Δ，我们可以确定方程的根的性质，进而解决相关问题。
一元二次方程δ
一元二次方程δ
一元二次方程是数学中最常见的方程，其解法可以追溯至古希腊时期。
它的基本形式是ax2+bx+c=
0，其中a、b、c都是实数，a不等于
0。
一元二次方程的解法有很多，其中最常用的是“δ”法，即根据δ=b2-4ac来求出方程的解。
δ是一元二次方程的一个重要概念，它的值代表了一元二次方程的特性，即有多少个解。
如果δ=
0，则表明方程只有一个解；如果δ>
0，则表明方程有两个解；如果δ<
0，则表明方程没有解。
一元二次方程的解法可以用“δ”法进行分析，首先需要根据给定的一元二次方程计算出δ的值，即δ=b2-4ac。
然后根据δ的值，就可以求出方程的解。
如果δ=
0，则可以用x=-b/2a求出方程的解；如果δ>
0，则可以用x=(-b±√δ)/2a求出方程的解；如果δ<
0，则说明方程没有解。
以上就是一元二次方程的解法，即“δ”法。
它虽然简单，但是在求解一元二次方程时常常能够发挥作用。
它可以让我们更好地理解一元二次方程的特性，从而更好地求解方程。
在实际应用中，“δ”法可以帮助我们更好地认识数学，更好地解决实际问题。
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定
一元2次方程实数根的判定方法是：
当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a(i是虚数单位)
即Δ大于零，有两个不相等的实根；Δ等于零，有一个实根；Δ小于零，无实根。
因此一元2次方程有实数根，Δ大于或者等于零。
知识拓展
一元二次方程
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。
其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不
是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2 。
、。
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二、填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
13.一元二次方程 ＝8x－3的二次项系数与一次项系数的和为.
14.若方程 x2＋x－ ＝0是关于x的一元二次ห้องสมุดไป่ตู้程，则a的取值范围是.
15.一次排球邀请赛中，赛程为7天，每天安排4场比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，比赛组织者共安排了x个队参赛.则列出的一元二次方程的一般形式为
九年级数学第二十二章一元二次方程测试题（人教版）
（时限：100分钟满分：100分）
班级姓名总分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
1.在方程：①x2＝0；②x ＝x2；③3x2＋2x＝1；④ax2＋2x－3＝0；⑤x2＋4x＝x2中，一定是一元二次方程的有.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
16.若c（c≠0）是关于x的方程x2＋b x＋c＝0的根，则b＋c的值是.
17.一元二次方程ax2＋b x＋c＝0有一根为0的条件是.
18.若2是关于x的方程x2－ x＋12＝0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长为.
19.关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是.
A. a b B. C. a＋bD. a－b
8.关于x的一元二次方程2x2－3x－a2＋1＝0的一个根为2，则a的值是.
A. B.－ C. 2 D.±
9.若 ＝36，则a2＋b2的值是.
A.11或－1 B.－1 C. 11 D. 41
10.三角形的两边长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则这个三角形的周长是.
然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，
则截去小正方形的边长为cm.
三、解答题：（本大题共56分）
23.用适当的方法解下列方程：（每小题3分，共12）
⑴. ＝12⑵.x2－4x－12＝0
⑶. x2－ x＋ ＝0⑷. ＝2x＋4
24.（5分）已知：a、b、c为△ABC的三边，
关于x的方程c ＋b －2ax＝0有两个相等的实数根，
4、（2009年郴州市）抛物线 的顶点坐标为__________．
5、(2009年上海市)12．将抛物线 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是．
6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，且 ，与 轴的正半轴的交点在 的下方．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数是个．
三、解答题：
23.⑴.x1＝ ，x2＝ ；⑵.x1＝－2，x2＝6；⑶.x1＝x2＝ ；⑷.x1＝－2，x2＝0；
24.解：由△＝0得， ，
∴△ABC为直角三角形.
25.解：⑴.△＝ －4×4 ＝
无论k取何值， ≥0，即，△≥0.
∴方程总有实数根.
⑵.由题意，当b（或c）＝4时，可求得k＝ ，
方程为x2－6x＋8＝0，方程另一根为2，即，第三边为2，
此时，三角形三为2，4，4.其周长为10.
当b＝c时，则△＝0，即，k＝ ，方程为x2－4x＋4＝0，x1＝x2＝2，
此时，三角形的三边为2，2，4.△ABC不存在.
26.解：设经过x秒后，△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一.
则 ·2x＝ · ×6×8即x2－6x＋8＝0 x1＝2 x2＝4
∴经过2秒或4秒后，△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一.
2、（12分）如图，在 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以 的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒， 的面积等于 ?（AB=6cm,BC=8cm）
汇智教育九年级第二单元一元二次方程测试卷答案
一填空题
1.9或-9 5或-5
2.等于正负1 .不等于正负1
3..4 4 2+ 2-
1、 （用配方法）2、
3、 4、
四、（8分）当 为何值时，一元二次方程 有两个不相等的实数根?
五、（10分）不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程 的两根的2倍。
六、（10分）已知方程 有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求 的值。
七
1、（10分）将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个。
试判断△ABC的形状并说明理由.
25.（6分）已知关于x的方程x2－ x＋4 ＝0.
⑴.求证：无论k取何值，方程总有实数根；
⑵.若等腰△ABC的一条边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
求△ABC的周长.
26.（5分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm／s的速度运动，点Q同时从点B开始沿BC边向点C以2cm／s的速度运动.问经过多少秒后，△PBQ的面积是△ABC的面积的三分之一.
1、已知两个数的差等于4，积等于45，则这两个数为和。
2、当 时，方程 不是一元二次方程，当 时，上述方程是一元二次方程。
3、用配方法解方程 ，则 ，所以 。
4、如果 是一个完全平方公式，则 。
5、当≥ 时，一元二次方程 的求根公式为。
6、如果 是方程 的两个根，那么 =， =。
7、若方程 有两个相等的实数根，则 =，两个根分别为。
（C）有两个相等的实数根（D）有一个实数根
3、如果一元二次方程 的两个根是互为相反数，那么有（）
（A） =0（B） =－1（C） =1（D）以上结论都不对
4、已知 是方程 的两个根，则 的值为（）
（A） （B）2（C） （D）-2
5、不解方程， 的两个根的符号为（）
（A）同号（B）异号（C）两根都为正（D）不能确定
当售价为80元时应进200个
二、填空题
1、（2009年北京市）若把代数式 化为 的形式，其中 为常数，则 =.
2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ ， ），且图象与x轴的另一交点到原
点的距离为1，则该二次函数的解析式为
3、已知二次函数的图象经过原点及点（ ， ），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．
11、（2009年齐齐哈尔市）当 _____________时，二次函数 有最小值．
12、（2009年娄底）如图7，⊙O的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=- x2的图象，则阴影部分的面积是.
13、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数 的图象，给出下列说法：
① ；②方程 的根为 ；③ ；④当 时，y随x值的增大而增大；⑤当 时， ．
其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）
14、(2009年鄂州)把抛物线y＝ax +bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x －3x+5，则a+b+c=__________
15、（2009白银市）抛物线 的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：，．（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）
27.解：设一个正方形边长为x cm，则另一个正方形边长为 ＝5－x（cm）
⑴.由题意，得x2＋ ＝17即x2－5x＋4＝0
X1＝1，x2＝4
因此两段铁丝长度为4cm和16cm.
⑵.由题意，得x2＋ ＝12即x2－10x＋13＝0
一元二次方程测试题
(时间90分钟 满分120分)
一、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
参考答案
一、选择题：
1.B；2.D；3.D；4.B；5.C；6.B；7.D；8.D；9.C；10.B；11.c ; 12.C；
二、填空题：
13.－4；14.a≥0且a≠1；15.x2－x－56＝0；16.－1；17.a≠0且c＝0；18.12；
19.k＜4且k≠0；20.等腰三角形或直角三角形，8 或24；21.5；22.15；
2.方程2x2＝1的一次项系数为.
A. 2 B. 1 C.－1 D. 0
3.关于x的方程 x2＋m x－m＝0是一元二次方程的条件是.
A. m≠0 B. m≠2 C. m＝－2 D. m≠±2
4.已知关于x的方程x2－k x－6＝0的一个根为2，则实数k的值是.
A. 1 B.－1 C. 2 D.－2
A. 14 B. 12 C. 12或14 D.以上都不对
11.下列一元二次方程中的实数根的是.
A. x2－x＋1＝0 B. 3x2－x＋1＝0 C. x2＋x＝1 D. x2＋1＝0
12.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元.如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率是.
6、已知一元二次方程 ，若方程有解，则必须（）
A、 B、 C、 D、
7、若 （）
A、 B、 C、 D、
8、某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（）
A、 B、 C、 D、
三、解下列方程（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
4.1或-3
5.b -4ac
6. -3
7.
8.1 8
9.x -4x-21=0
10.-3
二选择题
1.C 2.A 3.B 4D 5.B 6.D 7.B 8.C
三：解方程
1. 2.
新课标第一网
3. 4.
或
或
四解：当 >0时
即 >0
<
五解：
则
六解：
七解：（1）设售价定 元则售出