高二数学下学期期中试题理(2)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一､单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{}220,0,1A xx x B =-≤=∣，则A B ⋂=（）A.[]0,1B.{}0,1 C.[]0,2D.{}0,1,22.复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为（）A.()2,1- B.()1,1- C.()1,2 D.()2,23.函数()3,0ln ,0x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()1f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.-1B.0C.ln2D.24.在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（）A.1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,0 D.()1,π5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()323f x x x=+ B.()5tan f x x=C.()8f x x=-D.()f x x =+6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.14C.15D.177.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.14种C.12种D.9种8.收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）A.ˆ19.8463.7yx =- B.0.273.84ˆx ye -=C.2ˆ0.367202yx =- D.ˆy =9.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.-1B.1C.15D.1610.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C.D.11.函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m -恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()3,11- B.()3,11 C.[]2,7D.[]3,1112.已知函数()22(1)sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ++--'-'=（）A.-3B.3C.2D.-2二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()i 12i z =+的共轭复数为__________.14.10(1)x -的展开式的第6项系数是__________.15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是__________.16.已知,a b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为__________.三､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到图形C '.（1）写出曲线C '的平面直角坐标方程；（2）点P 在曲线C '上，求点P到直线60l y +-=的距离的最小值及此时点P 的坐标.18.（本小题12.0分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1.（1）求,a b 的值；（2）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.19.（本小题12.0分）随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天（共计20天）的需求量（单位：个），统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X 表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.（1）求X 的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元.20.（本小题12.0分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y 兆瓦0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2某位同学分别用两种模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于ˆi i y y-）经过计算得()()()()()888211172.8,42,686.8iiii i i i i x x y y x x t ty y ===--=-=--=∑∑∑，()8213570ii tt =-=∑，其中8211,8i ii i t x t t ===∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==---==--∑∑21.（本小题12.0分）已知函数()11x f x eax a -=-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）①若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合；②证明.()ln 20xe x -+>22.（本小题10.0分）在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l 经过点P .（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB PBPA+的值.答案和解析1.【正确答案】B解：集合{}{}{}22002,0,1A xx x x x B =-≤=≤≤=∣∣，则{}0,1A B ⋂=.2.【正确答案】A解.()()()()223i 1i 3i 33i i i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+--=====-++--则复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为()2,1-.3.【正确答案】D解：根据题意，函数()3,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()210f e -=>，则()21ln 2ln 2f f e e ⎡⎤-===⎣⎦，4.【正确答案】D解：圆2cos ρθ=-即22cos ρρθ=-，即2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示以()1,0-为圆心，半径等于1的圆.而点()1,0-的极坐标为()1,π，5.【正确答案】A解：函数()323f x x x =+是奇函数，且在定义域内是增函数，A 正确；函数()5tan f x x =在定义域内不具有单调性，B 错误；函数()8f x x=-在定义域内不具有单调性，C 错误；函数()f x x =+[)0,∞+，不具有奇偶性，D 错误；综上，应选A .6.【正确答案】C解：模拟程序的运行，可得1a =执行循环体，3a =不满足条件10a >，执行循环体，7a =不满足条件10a >，执行循环体，15a =满足条件10a >，退出循环，输出a 的值为15.故选.C 7.【正确答案】B【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故本题选B .8.【正确答案】B由决定系数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好.故选.B 9.【正确答案】C【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令1x =-得，443210(2)16a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=.故选：C.10.【正确答案】D解：当0x >时，ln ,1ln y x x y x ==+'，即10x e <<时，函数y 单调递减，当1x e>，函数y 单调递增，又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ，故选.D 11.【正确答案】D解：因为()3224f x x x x =--+，所以()2344f x x x =--+'，令()0f x '=得23x =或2x =-，可知函数()f x 在[)3,2--上单调递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而()()()24033,28,,333327f f f f ⎛⎫-=--=-==-⎪⎝⎭，所以函数()f x 在[]3,3-上的最小值为-33，因为当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，只需2min 14()m m f x -≤，即21433m m -≤-，即214330m m -+≤，解得311m ≤≤.故选D .12.【正确答案】C【分析】利用求导法则求出()f x '，即可知道()()f x f x '='-，再利用()()2f x f x +-=，即可求解.【详解】由已知得()()2222(1)sin (1)sin 11x x x xf x x x -+----==++，则()()2222(1)sin (1)sin 211x x x xf x f x x x ++--+-=+=++，()()()()222221cos 12(1)sin 1x x x x x x f x x'⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦=+()()()2222cos 12sin 1x x x xx ++-=+则()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++--=+'，即()()f x f x '='-，则()()()()2022202220222022f f f f ++-''--()()()()20222022202220222f f f f =+-+'-'-=，故选：C.13.【正确答案】2i --解：复数()i 12i 2i z =+=-+，其共轭复数为2i --.14.【正确答案】-252【分析】应用二项式定理写出第6项系数.【详解】由101011010C (1)(1)C rrr r r rr T xx --+=-=-，所以，第6项为5r =，则5555610(1)252T C x x =-=-，故第6项系数是-252.故-25215.【正确答案】乙解：假设甲会，那么甲､乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲､乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙､丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会.综上可得：会中国象棋的是乙，16.【正确答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()ln 1(0)a g a a a--=>求解.【详解】设()ln (0)f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于max ()0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意.当0a >时，()11(0)ax f x a x x x-=-=>'，∴当10x a <<时，()0f x >，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，max 1()ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭.由max ()0f x ≤得ln 1ln 1,b a b a a a --≥--∴≥.令()ln 1(0)a g a a a --=>，则()2ln ag a a='，当01a <<时，()()0,g a g a '<在()0,1上单调递减，当1a >时，()()0,g a g a '>在()1,∞+上单调递增，()min ()11g a g ∴==-，1ba ∴≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1,1a b ==-.故-1.17.【正确答案】解：（1）由2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中，得22()()143x y +=.即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程；（2）设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离为d ==其中255tan 2sin 55ϕϕϕ⎛=== ⎝⎭，当()sin 1θϕ+=时，即()22k k Z πθϕπ+=+∈，于是()sin sin 2cos 25k k Z πθπϕϕ⎛⎫=+-==∈ ⎪⎝⎭，同理25cos sin 5θϕ==，此时6152d =，即距离最小值为6152，此时点4515,55P ⎛ ⎝⎭.18.【正确答案】解：（1）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1，()234f x x ax b =+'+ ，且函数()f x 在1x =-处有极值1，()()13401120f a b f a b a ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+-+='⎪⎩，解得1;1a b =⎧⎨=⎩又当1a b ==时，()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，()f x ∴在(),1∞--和1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值，满足题意；综上，1a b ==；（2）当1,1a b ==时，()3221f x x x x =+++，则()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x -111,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()f x '-0+()f x 1单调递减极小值2327单调递增5所以[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为5.19.【正确答案】解：（1）X 可取162,163,164,165,166，()()()214163162,163,16420102052010P X P X P X =========，()()513165,16620420P X P X =====，所以分布列为：X162163164165166P 1101531014320（2）设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=，当163X =时，16350108140Y =⨯-=，当164X =时，164508200Y =⨯=，当165X =时，16450208220Y =⨯+=，当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.【正确答案】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+.由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑，8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，则()()()81821686.8ˆ0.193570i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，ˆˆ50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.190.16yx =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为2ˆ0.19100.1619.16y=⨯+=（兆瓦）.21.【正确答案】解：（1）因为()11x f x e ax a -=-+-，所以()1x f x e a -=-'，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间R 上单调递增；②当0a >时，令()0,ln 1f x x a >>+'，令()0,ln 1f x x a <<+'，所以()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增.（2）①由（1）可得当0a ≤，函数()f x 在区间R 上单调递增，又()0110f e a a =-+-=，所以1x <，则()0f x <，与条件矛盾，当0a >时，()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增，所以()()ln 1f x f a ≥+，由已知()ln 10f a +≥，所以aln 10a a --≥，设()ln 1g x x x x =--，则()1ln 1ln g x x x =--=-'，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()ln 1g x x x x =--单调递增，()1,x ∞∈+时，()0g x '<，函数()ln 1g x x x x =--单调递减，又()11ln110g =--=，所以不等式ln 10a a a --≥的解集为{}1.②证明：设()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'，当()2,1x ∈--时，()0h x '<，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递增，又()10ln10h -=-=，所以()1ln 20x x +-+≥，当且仅当1x =-时取等号，由（1）1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以()ln 20xe x -+>.22.【正确答案】解：（1）点P 的直角坐标是()1,0-，直线l 的倾斜角是34π，∴直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），由直角坐标与极坐标互化公式得曲线C 的直角坐标方程为22(1)9x y -+=.（2）将1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)9x y -+=，得250t +-=，设,A B 对应参数分别为12,t t，则12125t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义得：()()2222221212121212||2251855PA PB t t t t PAPBt t PB PA PA PB t t t t ++--⨯-++=====⋅⋅⋅-.。
四川省绵阳南山中学2021-2022学年高二下学期期中考试 数学(理)试卷
2022年5月绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共6页．满分150分．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 已知x R ∈,命题“若20x >,则0x >”的逆命题,否命题和逆否命题中,真命题的个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2． 设复数11i aiz ++=(i 为虚数单位)为纯虚数,则实数a =（A ）1 （B ）1- （C ）2（D ）2-3． 已知,,,O A B C 为空间四点,且向量,,OA OB OC 不能构成空间的一个基底,则一定有 （A ）,,OA OB OC 共线 （B ）,,,O A B C 中至少有三点共线 （C ）OA OB +与OC 共线 （D ）,,,O A B C 四点共面4． 一个关于自然数n 的命题,已经验证知1n =时命题成立,并在假设(n k k =为正整数)时命题成立的基础上,证明了当2n k =+时命题成立,那么综上可知,该命题对于 （A ）一切自然数成立 （B ）一切正整数成立 （C ）一切正奇数成立 （D ）一切正偶数成立5． 4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺,则最终获奖结果种数为（A ）34A （B ）34C （C ）34 （D ）436．如图,OABC 是四面体,G 是ABC ∆的重心,1G 是OG 上一点,且13OG OG =,则（A ）1OG OA OB OC =++ （B ）1111333OG OA OB OC =++（C ）1111444OG OA OB OC =++ （D ）1111999OG OA OB OC =++7．0a b <<是11a b b a+<+的 （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-上为增函数,则实数a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）(,-∞（C ）[（D ）(,[1,)-∞+∞9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱,问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要 安排甲乙丙等5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,其余两个实验舱各安排1人,若甲乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案有（A ）8种 （B ）14种 （C ）20种（D ）116种10．已知a ,b 是异面直线,,A B 是a 上的点,,C D 是b 上的点,2,1AB CD ==,且AC b ⊥, BD b ⊥，则a 与b 所成角为（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）90︒11．已知t 和3t +是函数32()f x x ax bx c =+++的零点,且3t +也是函数()f x 的极小值点, 则()f x 的极大值为 （A ）1 （B ）4 （C ）43 （D ）4912. 设0.0110099,,a b e c ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：用钢笔将答案直接写在答题卷上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卷中的横线上．13．已知函数2()2'(2)3f x x f x =++,则'(2)f 的值为__________. 14．某单位拟从,,,,,A B C D E F 六名员工中选派三人外出学习,要求: (1),A C 二人中至少选一人; (2),B E 二人中至少选一人; (3),B C 二人中至多选一人; (4),A D 二人中至多选一人.由于E 因病无法外出,则该单位最终选派的三位员工为:__________.15．将,,,A B C D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉,每个抽屉只能放一份文件,要求文件,A B 必须放入相邻的抽屉,文件,C D 不能放入相邻的抽屉,则满足要求的放置方法共有__________种.16．双曲正弦函数sinh()2x x e e x --=和双曲余弦函数cosh()2x xe e x -+=在工程学中有广泛的应用,也具有许多迷人的数学性质.若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点,A B ,曲线1C 在A 处切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有__________(填上所有真命题的序号).①(sinh())'cosh()x x =,(cosh())'sinh()x x =; ②22sinh ()cosh ()1x x +=; ③点P 必在曲线x y e =上;④PAB ∆的面积随m 的增大而减小.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）(1)请将下列真值表补充完整;(空格处填上“真”或“假”)(2) 给定命题:p 对任意实数x 都有210ax ax ++>成立;命题:q 关于x 的方程2x x a -+有实根.已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题,求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,90,2,1,ABC CA CB M ∠=︒==是1CC 的中点, 且1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值.19．（本题满分12分）某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现,该处的污染指数与附近污染源的 强度成正比,与到污染源的距离成反比,总比例常数为(0)k k >.现已知相距10km 的A ,B 两家化工厂(污染源),A 化工厂的污染强度未知,暂记为(0)a a >,B 化工厂的污染强度为4,它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和, 设()AC x km =.(1)试将y 表示为关于,,x k a 的等式;(2)调研表明y 在2x =处取得最小值,据此请推断出A 化工厂的污染强度. 20．（本题满分12分）在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,在“阳马”P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,棱PC 的中点为E ,3PF FB =,连接,,DE DF EF .(1) 若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为3π,求CBCD的值. (2) 设棱PA 与平面DEF 相交于点G ,且PG PA λ=,求λ的值;21．（本题满分12分）已知函数2()ln (0)f x x ax a =->.(1)若()f x 恰有一个零点,求a 的值;(2)若0x 是()f x 的零点,且2y x =在点200(,)x x 处的切线恰与ln y x =相切,求a 的值.22．（本题满分12分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈,'()f x 为()f x 的导函数. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>,证明:对任意a R ∈,存在唯一的012(,)x x x ∈,使得12012()()'()f x f x f x x x -=-成立.绵阳南山中学2022年春季高2020级半期考试数学（理科）答案Ă.˞Պʚ123456789101112CBDCCDAABC BA12.由我们熟知的不等式e x ⩾x +1有e 0.02>1+0.02⇒e 0.01>√1.02,∴b >c又e −x >1−x,当x <1时,有1e x >1−x ⇒e x<11−x∴e 0.01<11−0.01=10099,∴a >bȕ.ฒ˭ʚ13.−414.A,B,F15.2416.1416.显然1正确;事实上,双曲函数满足cosh 2(x )−sin 2h (x )=1,这也是它名称的由来,2错误;C 1在A 处切线:y =cosh (m )(x −m )+sinh (m ),C 2在B 处切线:y =sinh (m )(x −m )+cosh (m ),由此求得两切线的公共点坐标为P (m +1,e m ),故P 在曲线y =e x −1上,3错误;|AB |=e −m ,由前面分析知P 到AB 距离为1,∴S △P AB =12e m,随m 增大而减小,4正确.Ɓ.̛٫ʚ17.(1)从上至下依次为“真”,“假”,“真”,“真”;(2)若命题p 为真命题,则a =0或a >0∆<0,解得a ∈[0,4),若命题q 为真命题,由∆⩾0,解得a ⩽14,要使(¬p )∨q 和p ∨(¬q )都是真命题,则需p,q 同真同假,若p,q 同真,则有a ∈[0,14],若p,q 同假,则有a ⩾4,综上可知,a 的取值范围为[0,14]∪[4,+∞).18.以B 为坐标原点,# »BC,# »BA,# »BB 1方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系B −xyz ,并设AA 1=h ,则相关各点坐标分别为:A (0,√3,0),A 1(0,√3,h ),B (0,0,0),B 1(0,0,h ),C (1,0,0),C 1(1,0,h ),M (1,0,h2)(1)∵# »AM =(1,−√3,h 2),# »BA 1=(0,√3,h ),且AM ⊥BA 1∴# »AM ·# »BA 1=0⇒h =√6,所以,AA 1=√6;(2)∵# »AC 1=(1,−√3,√6),而平面ABB 1A 1的法向量为#»n=(1,0,0),∴cos <# »AC 1,#»n >=1√10=√1010,所以,所求线面角的正弦值为√1010.19.(1)y =k (ax +410−x),x ∈(0,10);(2)y ′=k (4(10−x )2+a x 2)=k (4x 2−a (10−x )2(x (10−x ))2),由题意,y ′|x =2=0⇒16−64a =0⇒a =14,经检验知,当a =14时,y 在(0,2)上单减,在(2,10)上单增,满足题意.所以,A 化工厂的污染强度为14.20.以D 为坐标原点,# »DA,# »DB,# »DP 方向为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系D −xyz ,并设CD =2,CB =m ,则相关点坐标为:D (0,0,0),A (m,0,0),B (m,2,0),C (0,2,0),P (0,0,2),于是E (0,1,1),又3# »P F =# »F B ⇒# »DF =34# »DP +14# »DB ,所以# »DF =(m 4,12,32)由# »DF =(m 4,12,32)# »DE =(0,1,1)解得平面DEF 的法向量#»n 1=(−4,−m,m ),(1)易知平面ABCD 的法向量#»n 2=(0,0,1),∴cos <#»n 1,#»n 2>=m √2m 2+16由题意知,m √2m 2+16=12,由此解得m =2√2,∴CB CD =m 2=√2;(2)∵# »P G =λ# »P A,∴# »DG =# »DP +λ# »P A =(λm,0,2−2λ),由题意,∵G 是平面DEF 上一点,∴# »DG ⊥#»n 1⇒−4λm +m (2−2λ)=0由此解得:λ=13.21.(1)∵f ′(x )=2x −1x ,在(0,√22),f ′(x )<0,在(√22,+∞),f ′(x )>0,∴f (x )在(0,√22)单调递减,在(√22,+∞)单调递增,且当x →0时,f (x )→+∞,当x →+∞时,f (x )→+∞,∴由题意可知,x =√22是f (x )的唯一零点,由f (√22)=0,解得:a =√2e ;(2)y =x 2在(x 0,x 20)处切线l :y =2x 0(x −x 0)+x 20,整理得:l :y =2x 0x −x 20,设该切线与y =ln x 相切于(t,ln t ),则l :y =1t(x −t )+ln t,整理得:l :y =1t x +ln t −1,∴2x 0=1t x 20=1−ln t ⇒ln t =−ln 2x 0,∴x 20=1+ln 2x 0又由题知:x 20=ln ax 0,∴ln ax 0=1+ln 2x 0=ln 2ex 0∴a =2e 即为所求.22.(1)f ′(x )=1x+a (x >0)1当a ⩾0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)单调递增;2当a <0时,在(0,−1a ),f ′(x )>0,在(−1a,+∞),f ′(x )<0∴f (x )在(0,−1a )单调递增,在(−1a,+∞)单调递减;(2)设F (x )=f ′(x )−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x −f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,x ∈(x 1,x 2),显然F (x )在定义域内单调递减,F (x 1)=1x 1−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(1−x 2x 1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),G (t )=(1−1t−ln t ),则F (x 1)=(x 1−x 2)G (t )∵G ′(t )=1−tt2,∴在(0,1),G ′(t )>0⇒G (t )在(0,1)单调递增,∴G (t )>G (1)=0,故F (x 1)=1x 1−x 2G (t )>0,同理:F (x 2)=1x 2−f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2=1x 1−x 2(x 1x 2−1−ln x 1x 2)令x 1x 2=t ∈(0,1),H (t )=t −1−ln t,则F (x 2)=1x 1−x 2H (t )∵H ′(t )=1−1t,∴在(0,1),H ′(t )<0⇒H (t )在(0,1)单调递减,∴H (t )>H (1)=0,故F (x 2)=1x 1−x 2H (t )<0,综上可知,F (x )在(x 1,x 2)单调递减,且F (x 1)>0,F (x 2)<0,∴F (x )在(x 1,x 2)存在唯一零点x 0,使得f ′(x 0)=f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2,命题得证.。
甘肃省武威市第六中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题(选修2-2)
甘肃省武威市第六中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题（选修2-2）1.i 是虚数单位，复数ii--131的虚部是 ( ) A ．1-B ．i -C ．2-D ．i 2-2．设p 12)(23+++=mx x x x f 在),(+∞-∞内单调递增，q 34≥m ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.若7++=a a P ，43+++=a a Q )0(≥a ，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．Q P ＞ B ．Q P = C ．Q P ＜D ．由a 的取值确定4．从2、4、6、8、10五个数字中任取2个作为一个分数的分子与分母，则可组成分数值不同的分数个数为（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9 5.函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ） A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππ C ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ 6.已知函数a x x x f +-=12)(3，其中16≥a ，则下列说法正确的是 ( )A ．)(x f 有且仅有一个零点B ．)(x f 至少有两个零点C ．)(x f 最多有两个零点D ．)(x f 一定有三个零点 7.函数在142+=x xy 定义域内 ( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，最小值－2D ．无最值8.若0＞a ，0＞b ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于( )A.2B.3C.6D.9 9.若22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为 （ ）A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S << 10.已知x x x f sin 2sin 21)(+=,那么)('x f 是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数11.设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)()1('x f x y -=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(f B ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(f C ．函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-f D ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f 12.已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立,若)3(33.03.0f a =,)3(log )3(log ππf b =，)91(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题（本题共20分，每小题5分）武威六中2013～2014学年度第二学期高二数学（理）《选修2-2》模块学习终结性检测试卷答题卡一、选择题（本大题共12小题。
四川省眉山冠城七中实验学校2022-2023学年高二下学期4月期中质量检测理科数学试题 - 副本
高2021级数学 第1 页 共 4 页 高2021级数学 第 2页 共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （ ） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （ ）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（ ）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（ ） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ． ．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了 单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（ ）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（ ） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝ （ ） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学 第3 页 共 4 页 高2021级数学 第4页 共 4 页第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学(理)试题2【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z =（）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】B【分析】由复数的四则运算可得1i z =--，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为21i (1i)i(i i )1i i i iz --⋅===--=--⋅，所以22(1)(1)2z =-+-=.故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（）A ．2B ．3C ．9D ．16【答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以8789909193888990919055x+++++++++=，解得2x =，故乙的平均成绩8889909192905++++=，则乙成绩的方差222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==.故选：A.3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．5【答案】D 【分析】先求得ba，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为20,2x y y x -==，所以2222222,15b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭.故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A ．若m α ，n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ∥C ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥D ．若m α ，m n ⊥，则n α⊥【答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若m α ，n α∥，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理得m n ∥，故B 正确；对于C ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故C 错误；对于D ，若m α ，m n ⊥，则n 与α相交、平行或n ⊂α，故D 错误．故选：B ．5．“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行可求得m 的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行，则()()23442342m mm m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩，解得4m =.因此，“4m =”是“直线()34420m x y -+-=与直线220mx y +-=平行”的充要条件.故选：C.6．执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为35、28，则输出的=a （）A ．1B ．7C ．14D ．28【答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，35a =，28b =，a b ¹成立，a b >成立，则35287a =-=；第二次循环，7a =，28b =，a b ¹成立，a b >不成立，则28721b =-=；第三次循环，7a =，21b =，a b ¹成立，a b >不成立，则21714b =-=；第四次循环，7a =，14b =，a b ¹成立，a b >不成立，则1477b =-=.7a b ==，则a b ¹不成立，跳出循环体，输出a 的值为7.故选：B.7．函数()()22e xf x x x =-的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数()f x 有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断作答．【详解】由()0f x =得，0x =或2x =，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C由()()22e x f x x x =-求导得()()22e xx x f '=-，当2x <-或2x >时，()0f x ¢>，当22x -<<时，()0f x '<，于是得()f x 在(),2-∞-和()2,+∞上都单调递增，在()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取极大值，在2x =处取极小值，D 不满足，B 满足．故选：B8．已知曲线1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数).若直线323x y +=与曲线C 相交于不同的两点,A B ，则AB 的值为A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：22(1)1x y -+=，再求出圆心(1,0)到直线的距离d ，则弦长222AB r d =-．详解：根据22cos sin 1θθ+=，求出曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=，圆心(1,0)到直线的距离3233231d -==+，所以弦长222AB r d =-321=14=-，选C.点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算，属于中档题．9．过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【答案】A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．413B ．21313C ．926D ．31326【答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在ABD ∆中，3AD =，1BD =，120ADB ∠=︒，由余弦定理，得222cos12013AB AD BD AD BD =+-⋅︒=，所以213DF AB =.所以所求概率为224=1313DEF ABC S S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，4=AD ，E 为PC 的中点，则面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为（）A ．35B ．23015C ．2515D ．10515【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面PCD 与直线BE 所成角的余弦值.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0B 、()2,4,0C 、()0,4,0D 、()002P ,,、()1,2,1E ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，()2,0,0DC =uuu r，()0,4,2DP =-uuu r ，则20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =，可得()0,1,2n = ，()1,2,1BE =- ，所以，4230cos ,1565BE n BE n BE n⋅===⨯⋅，所以，22230105sin ,1cos ,11515BE n BE n ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，面PCD 与直线BE 所成角的余弦值为10515.故选：D.12．已知函数()ln 1f x x ax =+-有两个零点1x 、2x ，且12x x <，则下列命题正确的个数是（）①01a <<；②122x x a +<；③121x x ⋅>；④2111x x a->-；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】由()0f x =可得1ln xa x+=，设()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，利用导数分析函数()g x 的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中10x a <<，分析函数()h x 的单调性，可判断②③；分析出1211e x x <<<、1210x x a<<<，利用不等式的基本性质可判断④.【详解】由()0f x =可得ln 1x a x+=，令()ln 1x g x x +=，其中0x >，则直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，()2ln xg x x '=-，由()0g x '>可得01x <<，即函数()g x 的单调递增区间为()0,1，由()0g x '<可得1x >，即函数()g x 的单调递减区间为()1,+∞，且当10e x <<时，()ln 10x g x x+=<，当1e x >时，()ln 10x g x x +=>，如下图所示：由图可知，当01a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象有两个交点，①对；对于②，由图可知，1211ex x <<<，因为()11ax f x a x x -'=-=，由()0f x ¢>可得10x a<<，由()0f x '<可得1x a >，所以，函数()f x 的增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则必有1210x x a <<<，所以，110x a <<，则121x a a->，令()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中10x a <<，则()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则函数()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()20f x =，可得()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，则212x x a >-，即122x x a +>，②错；对于③，由1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩，两式相加整理可得()1212ln 22x x x x a a ++=>，所以，()12ln 0x x >，可得121x x >，③对；对于④，由图可知1211ex x <<<，则11x ->-，又因为21x a >，所以，2111x x a->-，④对.故选；C.【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明122x x a +<（或122x x a +>）：①首先构造函数()()()2g x f x f a x =--，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与12a x -的大小，从而证明相应问题；（2）证明212x x a <（或212x x a >）（1x 、2x 都为正数）：①首先构造函数()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求导，确定函数()y f x =和函数()y g x =的单调性；②确定两个零点12x a x <<，且()()12f x f x =，由函数值()1g x 与()g a 的大小关系，得()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与零进行大小比较；③再由函数()y f x =在区间(),a +∞上的单调性得到2x 与21a x 的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式12121212ln ln 2x x x xx x x x -+<<-证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212ln ln x x x x --；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数()sin cos f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭______．【答案】0【分析】求出()f x '，代值计算可得出π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos f x x x =+，则()cos sin f x x x '=-，故πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭.故答案为：0.14．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为ˆ12.60.6yx =+，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：x23 3.5 4.57y26384360a则表中a 的值为___________.【答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为23 3.5 4.5745++++=，则y 的平均值2638436012.640.65a++++=⨯+，解得88a =，故答案为：88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是__.【答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜，构造()()f x ah x x+=，由函数单调性的定义可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于()()1212f x a f x a x x ++＜,令()()f x ah x x+=，则不等式等价于h （x 1）＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则()e 3x ax a h x x +-+=，所以h '（x ）2e e 30x x x ax -+-=≥在[1，+∞）上恒成立，即x e x﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故答案为：（﹣∞，3].16．已知点F 为抛物线28y x =的焦点，()2,0M -，点N 为抛物线上一动点，当NFNM最小时，点N 恰好在以M 、F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．【答案】222+【分析】作出图形，分析可知MN 与抛物线28y x =相切时，NFNM取最小值，设直线MN 的方程为2x my =-，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出m 的值，进而可求出点N 的坐标，利用双曲线的定义求出a 的值，结合c 的值可得出22221b ca a=-，即为所求.【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ，其准线为:2l x =-，如下图所示：过点N 作NE l ⊥，垂足为点E ，由抛物线的定义可得NF NE =，易知//EN x 轴，则NMF MNE ∠=∠，所以，cos cos NF NE MNE NMF MNMN==∠=∠，当NFNM取最小值时，NMF ∠取最大值，此时，MN 与抛物线28y x =相切，设直线MN 的方程为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩可得28160y my -+=，则264640m ∆=-=，解得1m =±，由对称性，取1m =，代入28160y my -+=可得28160y y -+=，解得4y =，代入直线MN 的方程2x y =-可得2x =，即点()2,4N ，则224NF =+=，()2222442MN =++=，设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由双曲线的定义可得2424a MN NF =-=-，所以，()221a =-，又因为2c =，则()221221c a ==+-，所以，()222221211222b c a a =-=+-=+.故答案为：222+.三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设()2,0M ，求MA MB 的值.【答案】(1)3230x y --=，24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），∴消去t 可得直线l 的普通方程为:3230x y --=.∵曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=，即22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，又∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =.（2）将12232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =，得238320t t --=，显然0∆>，即方程有两个不相等的实根，设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是1t ，2t ，则1283t t +=，12323t t =-，∴12323MA MB t t ==.18．已知函数()32f x x x ax b =-++，若曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为1y x =-+．(1)求a ，b 的值；(2)求函数()y f x =在[]22-,上的最小值．【答案】(1)1a =-；1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在[]22-,上单调性，进而可得最值.【详解】（1）由已知可得()01f b ==．又()232f x x x a '=-+，所以()01f a '==-．（2）由（1）可知()321f x x x x =--+，()2321f x x x '=--，令()0f x ¢>，解得13x <-或1x >，所以()f x 在12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减．又()29f -=-，()10f =，所以函数()y f x =在[]22-,上的最小值为9-．19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分．（2）在[)80,90和[]90,100两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10人，所以在[)80,90分组中抽取的人数为15531015⨯=+人，记为a ，b ，c ，在[]90,100分组中抽取的人数为2人，记为1，2，所以这5人中随机抽取2人的情况有：()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=，共10种取法，其中两人得分都在[]90,100的情况只有(){}12，共有1种，所以两人得分都在[]90,100的概率为110P =．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD //QA ，PD ⊥平面ABCD ，且22PD QA ==．(1)求证：BC ⊥平面QAB ；(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)66【分析】（1）由PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，可得QA ⊥平面ABCD ，进而得到QA BC ⊥，结合BC AB ⊥，进而得证；（2）以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点建立空间直角坐标系，找出平面PBQ 与平面PCD 的法向量，根据两面的法向量即可求解．【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，PD //QA ，∴QA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD ，∴QA BC ⊥．在正方形ABCD 中，BC AB ⊥，又AB QA A ⋂=，AB ，QA ⊂平面QAB ，∴BC ⊥平面QAB ．（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D 为原点，则有()2,2,0B ，()002P ,,，()2,0,1Q ，()0,2,1QB =- ，()2,0,1PQ =- ，设平面PBQ 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，1y =，()1,1,2m = ，易知平面PCD 的一个法向量为()1,0,0n =r ，设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为α，则16cos 616m n m n α⋅===⨯⋅ ，即平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值66．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 的上顶点，且12PF F △的周长为423+．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过定点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】(1)2214x y +=(2)332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a 、c 的值，进而可求得b 的值，由此可得出椭圆C 的方程；（2）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由0∆>结合0OA OB ⋅> 可求得k 的取值范围.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ．因为12PF F △的周长为121222423PF PF F F a c ++=+=+，①因为椭圆C 的离心率为32，所以32c a =，②由①②解得2a =，3c =．则221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）若直线l x ⊥轴，此时，直线l 为y 轴，则A 、O 、B 三点共线，不合乎题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->，解得234k >，由韦达定理可得1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+，则()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，A 、O 、B 不共线，则cos 0AOB ∠>，即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ 22164041k k -=>+，解得204k <<，所以，2344k <<，解得322k -<<-或322k <<，所以实数k 的取值范围为332,,222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数()2ln f x x x ax a =-+.（1）若()f x a ≤，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在唯一的极小值点0x ，求a 的取值范围，并证明()0210a f x -<<.【答案】（1）1[,)e +∞（2）12a <；证明见解析；【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为ln x a x ≥恒成立，然后研究ln ()x g x x=的单调性，求出最大值；（2）通过研究()f x '在()0,∞+内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定()f x '的零点范围及单调性，可以通过研究()g x '的零点、符号来确定()f x '的单调性，和特殊点（主要是能确定()f x '符号的点）处的函数值符号，从而确定()f x 的极值点的存在性和唯一性．【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+.由()f x a ≤，得ln x a x ≥在()0,x ∈+∞恒成立，转化为max ln ()x a x ≥令ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'=，∴ln ()x g x x=在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，∴()g x 的最大值为1(e)g e=，∴1a e ≥.∴a 的取值范围是1[,)e+∞.(2)设()()g x f x '=，则()ln 12g x x ax =+-，1()2g x a x'=-，0x >.①当a<0时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0,∞+单调递增，又()1120g a =->，212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以()g x 存在唯一零点()10,1x ∈.当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=<，当()1,1x x ∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x x =.②当0a =时，()ln 1g x x =+，()g x 在()0,∞+单调递增，1()0g e =，所以()g x 在()0,∞+有唯一零点1e.当1(0,)∈x e时，()()0f x g x '=<，当1(,1)x e∈时，()()0f x g x '=>.所以()f x 存在唯一的极小值点01x e =.③当0a >时，令()0g x '>，得1(0,)2x a ∈；令()0g x '<，得1(,)2x a ∈+∞，∴()g x 在1(0,)2a 单调递增，在1(,)2a+∞单调递减，所以()g x 的最大值为1()ln(2)2g a a =-④当102a <<时，1()0g e<，()1120g a =->，1()02g a >，21212()212(1)10l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用11111()20a a g eae a --=-<)由函数零点存在定理知：()g x 在区间()0,1，()1,+∞分别有一个零点2x ，3x 当()20,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()23,x x x ∈时，()()0f x g x '=>；所以()f x 存在唯一的极小值点02x x =，极大值点3x .⑤当12a ≥时，102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()()0f x g x '=≤所以()f x 在()0,∞+单调递减，无极值点.由①②④可知，a 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，当()00,x x ∈时，()0f x '<；所以()f x 在()00,x 单调递减，()0,1x 单调递增.所以()0(1)0f x f <=.由()000ln 120f x x ax '=+-=，得00ln 21x ax =-.所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+[]00(1)(1)1x a x =-+-，因为0(0,1)x ∈，1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，所以010x -<，()01112102a x +-<⨯-=所以()0(21)0f x a -->，即()021f x a >-；所以()0210a f x -<<.【点睛】本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。
2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年陕西省西安市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（）A ．2004B ．1198C ．1192D ．1086【答案】B【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为12006200=，编号共分为200段，编号10属于第2段，所以最大编号在第200段，号码为()10620021198+⨯-=．故选：B2．在下列各事件中，发生可能性最大的是（）A ．抛掷两枚质地均匀的硬币，至少有一枚正面朝上B ．抛掷一颗质地均匀的骰子，点数大于2C ．有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖D ．一个袋子中有20个红球8个白球，从中摸出1个球是红球【答案】A【分析】根据概率的定义，逐个选项进行计算，比较大小即可得解.【详解】对于A ，抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率34P =；对于B ，抛掷一颗质地均匀的骰子，点数可以为1，2，3，4，5，6，点数大于2的概率为4263P ==；对于C ，有1000张彩票，其中50张有奖，从中随机买1张中奖的概率501100020P ==；对于D ，袋子中共有28个球，红球有20个，摸出1个是红球的概率205287P ==；又352147320>>>，故发生可能性最大的是A ；故选：A3．给出以下四个问题，①输入一个数x ，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a ，b ，c 中的最大数；④求函数()1,02,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】对于①②，求值只需要代入相应的公式不需要用条件语句，对于③④，要分情况讨论，需要用条件语句来描述其算法，即可得正确答案.【详解】对于①：输入一个数x ，求它的相反数，只需代入y x =-求即可，是顺序结构，故①不需要用条件语句来描述其算法；对于②：求面积为6的正方形的周长，代入4c s =即可，是顺序结构，故②不需要用条件语句来描述其算法；对于③：求三个数a ，b ，c 中的最大数，必须先进行大小比较，需要用条件语句，对于④：求函数()1,02,0x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩的函数值，必须对x 进行条件判断，需要用条件语句，所以①②不需要用条件语句，③④需要用条件语句，要用条件语句来描述其算法的有2个，故选：B.4．某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A ．中位数70B ．众数75C ．平均数68.5D ．平均数70【答案】D【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.【详解】[)40,50的频率为1(0.0150.0250.0350.005)100.12-+++⨯=因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故B 正确；[)40,50的频率是0.1，[)50,60的频率是0.15，[)60,70的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A 正确；平均数450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以C 正确.故选:D.5．某市商品房调查机构随机抽取n 名市民，针对其居住的户型结构和是否满意进行了调查，如图1，被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为29，四居室住户占13.如图2，这是用分层抽样的方法从所有被调查的市民对户型是否满意的问卷中，抽取20%的调查结果绘制成的统计图，则下列说法错误的是（）A ．450n =B ．被调查的所有市民中四居室住户共有150户C ．用分层抽样的方法抽取的二居室住户有20户D ．用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有10户【答案】D【分析】根据饼图、直方图分析样本总量及四居室住户数，结合分层抽样的性质分析二居室、三居室住户数及满意度即可.【详解】因为被调查的所有市民中二居室住户共100户，所占比例为29，所以21004509n =÷=，四居室住户有14501503⨯=户，三居室住户有200户，故A ，B 正确；用分层抽样的方法抽取的二居室住户有1000.220⨯=户，故C 正确；用分层抽样的方法抽取的市民中对三居室满意的有2000.20.520⨯⨯=户，故D 错误.故选：D6．设a ∈N ，且17a <，若202252a +能被17整除，则a 等于（）A ．0B ．1C ．13D ．16【答案】D【分析】将()2022202252511a a +=++利用二项式定理展开，通过51能被17整除可得1a +能被17整除，进而可得a 的值.【详解】()2022202252511a a +=++0202212021220202021202220222022202220222022C 51C 51C 51C 51C a =++++++ ，202252a + 能被17整除，且02022120212202020212022202220222022C 51C 51C 51C 51++++ 能被17整除，故20222022C 1a a +=+能被17整除，观察选项可得16a =.故选：D.7．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得()()()()()22 5.879n ad bc a b c d a c b d χ-=≈++++，临界值表如下：α0.150.100.050.0250.010x α2.0722.0763.8415.0246.635则下列说法中正确的是：（）A ．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”B ．有99%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”【答案】C【分析】根据独立性检验的方法即可求解.【详解】由题意可知，()()()()()22 5.879 5.024n ad bc a b c d a c b d χ-=≈>++++，所以在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”.故选：C.8．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e （e 2.718≈为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间[]0,e 上的随机数1231000,,,x x x x 和1y ，2y ，3y ，…，1000y ，从而得到1000个点的坐标(),i i x y （1,2,3,1000i = ），再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A ．0.70B ．1.04C ．1.26D ．1.92【答案】D【分析】求出正方形的面积，利用落在阴影部分内的点数与总点数比值求出阴影部分面积.【详解】正方形面积为2e ，故此阴影部分的面积约为22260e 0.26 2.718 1.921000≈⨯≈故选：D9．如图，一圆形信号灯分成,,,A B C D 四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）A ．18B ．24C ．30D ．42【答案】A【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么,A C ，要么,B D 相同，有2种方案，则不同的信号数为332A 12=；若只用2种不同的颜色灯带，则,A C 颜色相同，,B D 颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为2232C A 6=；则不同的信号总数为12618+=.故选：A ．10．已知x 、y 的对应值如下表所示:x2468y 11m +21m +33m +11y 与x 具有较好的线性相关关系，可用回归直线方程 1.30.6y x =+近似刻画，则在y 的取值中任取两个数均不大于9的概率为（）A ．15B ．35C ．23D ．34【答案】B【分析】求出样本中心点的坐标，将其代入回归直线方程，求出m 的值，可得出y 的所有取值，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由表格中的数据可得0246845x ++++==，()()()1121331161755m m m m y ++++++++==，所以这组数据的样本点的中心的坐标为6174,5m +⎛⎫⎪⎝⎭，又因为点(),x y 在回归直线上，所以6171.340.6 5.85m +⨯+==，解得2m =，所以y 的取值分别为1、3、5、9、11，在这5个数中，任取两个，取到的两个数都不大于9的概率为2425C 3C 5P ==.故选：B.11．已知()12nx -的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则()()121nx x -+的展开式中，4x 的系数为（）A ．672-B ．672C ．280-D ．280【答案】D【分析】利用二项式系数的性质求出7n =，再将7(12)(1)x x -⋅+拆为()()771212x x x -+-，利用()712x -的展开式的通项可求得结果.【详解】因为奇数项二项式系数和为1264n -=，则7n =，7(12)(1)x x -⋅+()()771212x x x =-+-，()712x -的展开式的通项为1r T +=()()77C 22C r rr r rx x -=-(0,1,2,3,4,5,6,7)r =，所以()()771212x x x -+-展开式中含4x 项系数为377443C (2)C (2)280⋅-+⋅-=，故选：D.12．排成一排的8个座位，甲、乙、丙3人随机就座，要求甲乙必须在相邻两座位就座，但都与丙不相邻（即之间有空座位），则不同坐法种数为（）A ．30B ．60C ．120D ．336【答案】B【分析】将甲、乙（连同座位）看成一个整体，和丙去插5个座位形成6个空隙，即可得出答案.【详解】将甲、乙连同两个座位捆绑在一起看成一个元素，丙连同一个座位捆绑在一起看成一个元素，剩余5个座位形成6个空隙，从中选出2个空隙安排这两个元素，然后甲、乙可以交换顺序.所以2262A A 60=种不同坐法.故选：B二、填空题13．若221A C n n +=，则!n =______.【答案】6【分析】由221A C n n +=求得n ，由此求得!n .【详解】221A C n n +=，即()(1)12n nn n +-=，由题意可得，*210N n n n ≥⎧⎪-≥⎨⎪∈⎩，解得2n ≥且N n *∈，∴112n n +-=，解得3n =．∴!3216n =⨯⨯=．故答案为：6．14．一组样本数据：()11,b ，()22,b ，()33,b ，()44,b ，()5,a b ，由最小二乘法求得线性回归方程为34y x =-，若1234525b b b b b ++++=，则实数a 的值为______.【答案】5【分析】求出中心点，由线性回归方程过中心点列方程求解.【详解】1234555b b b b b y ++++==，41210535ax a +++++==，由线性回归方程过中心点得345y x a =-⇒=.故答案为：515．在1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为___________【答案】70【分析】先由二项式系数最大确定n ,再由通项公式求含2x 项的系数即可.【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：8n =.∴通项公式()38821881C 1C rrr rrr r T xxx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令3822r -=，解得4r =.∴展开式中含2x 项的系数为()4481C =70-.故答案为：70.16．“二进制”来源于我国古代的《易经》，二进制数由数字0和1组成，比如：二进制数(2)011化为十进制的计算公式如下210(2)(10)0110212123=⨯+⨯+⨯=，若从二进制数(2)11、(2)00、(2)10、(2)01中任选一个数字，则二进制数所对应的十进制数大于2的概率为__________．【答案】14/0.25【分析】将二进制转化为十进制，再计算概率即可.【详解】()10(2)1211131=⨯+⨯=；()0(2)1000=；()0(2)1102=；()0(2)1011=，十进制数大于2的概率为14p =.故答案为：14三、解答题17．用0、1、2、3、4、5这六个数字.(1)可以组成多少个数字不重复的三位数；(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数；(3)可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数.【答案】(1)100(2)180(3)131【分析】（1）分析可知，数字不重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；（2）分析可知，数字允许重复的三位数中，首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，利用分步乘法计数原理可得结果；（3）分三种情况讨论：个位数、两位数、三位数，分别计算出这三种情况下满足条件的自然数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.【详解】（1）解：若组成的数字为数字不重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字不重复的三位数个数为554520100⨯⨯=⨯=.（2）解：若组成的数字为数字允许重复的三位数，则首位数字不为零，个位和十位的数字无限制，所以，数字允许重复的三位数的个数为256180⨯=个.（3）解：若组成的数字为数字不重复的小于1000的自然数，分以下三种讨论：①数字为个位数，共6个；②数字为两位数，则首位不能为零，个位无限制，共5525⨯=个；③数字为三位数，共有100个.综上所述，数字不重复的小于1000的自然数个数为625100131++=个.18．从某中学随机抽样1000名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10，(]10,12，(]12,14.(1)求该样本数据的平均数.（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率.【答案】(1)7.3(2)0.4【分析】（1）利用频率分布直方图平均数的求法求解即可；（2）结合（1）中结论，求得(]8,10，(]10,12，(]12,14频率之和即可得解n.【详解】（1）依题意，结合频率分布直方图，该周课外阅读时间在(]8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.2-⨯+++++=，所以该样本数据的平均数为2(0.02510.05030.07550.15070.075110.02513)0.297.3⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）阅读时间超过8小时的概率为0.22(0.0750.025)0.4+⨯+=，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过8小时的概率为0.4.19．2022年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小明选择，依次记为A ，B ，C ，D ，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好(1)小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B （冰墩墩）概率是_________（直接写出结果）(2)小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率．【答案】(1)14(2)16【分析】（1）直接运用概率的公式求解即可；（2）用列表法或树状图表示出所有可能的情况，再找出是B 和C 的情况，用概率公式求解即可【详解】（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，∴小明从中随机抽取一枚，恰好抽到是B （冰墩墩）概率是14；（2）根据题意画树状图，如图所示，从上图可以看出，共有12种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的情况有2种．∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率为：21126P ==．20．基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试，为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x=-=∑，()502118930i i y y=-=∑，其中i x ，i y 分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，1,2,,50i =⋅⋅⋅，y 与x 的相关系数0.45r ≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试，物理成绩是多少？（精确到0.1）【答案】(1)0r r<(2)0.36 6.4ˆ32yx =+,81.2分【分析】（1）由题意结合相关系数的概念即可直接判断；（2）由题意计算出()()421,,i i i x y x x y y =--∑，代入公式计算出ˆˆ,ba ，即可得回归方程，再代入125x =即可估B 考生的物理成绩.【详解】（1）由题意,y 与x 成正相关关系，异常点,A B 会䅂低变量之间的相关程度，∴0r r <；（2）由题意，（1）及表得，5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540i i x x=-=∑，()502118930i i y y=-=∑，∴50501111116,785050i i i i x x y y ======∑∑，∴15050462770501167810370i i i x y x y =-⋅=-⨯⨯=∑，∴()()()15021510370ˆˆˆ0.36,780.3611636.2428540iii i i x x y y ba y bx x x ==--==≈=-=-⨯=-∑∑，∴0.36 6.4ˆ32yx =+，将125x =代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.2分.21．已知(21)nx -的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求32n x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：(1)所有二项式系数之和．(2)系数绝对值最大的项．【答案】(1)1024(2)415360x -【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得7n =，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；（2）根据展开式通项公式，设第1r +项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得r 的取值，代入展开式通项公式即可求得结果.【详解】（1）因为(21)n x -的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以25C C n n =且5n ≥，解得7n =，所以31022n x x x x +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式的二项式系数之和为1021024=；（2）102x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()10102110102C 2C rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，设展开式第1r +项的系数的绝对值最大，则1110101110102C 2C 2C 2C r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得192233r ≤≤，又因N r ∈，所以7r =，所以展开式中，系数绝对值最大的项为()771014104153602C xx --=-．22．已知关于x 的一元二次函数()241f x ax bx =-+.（1）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机抽取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率；（2）设点(),a b 是区域80{00x y x y +-≤>>内的随机点，求()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率.【答案】（1）13（2）13【详解】试题分析：（1）因为0a >，函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，所以只需函数对称轴21bx a=≤，然后写出所有的基本事件，找出满足2b a ≤的基本事件，分别计算其个数，再利用古典概型的概率公式可得函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）（a ，b ）是区域80{00x y x y +-≤>>内的随机点，由（1）知（a ，b ）满足0a >且2b a ≤时，函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，所以满足条件的点应在800(,)|{020a b a a b b a b +-≤⎧⎫⎪⎪>⎪⎪⎨⎬>⎪⎪⎪⎪-≥⎩⎭区域内，因此这是几何概型问题，分别求这两个区域的面积，通过面积比可得所求概率．试题解析：（1）∵函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2,bx a=要使2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，当且仅当a >0且21,2bb a a≤≤即，若a =1则b =－1；若a =2则b =－1，1；若a =3则b =－1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴所求事件的概率为51153=．（2）由（1）知当且仅当2b a ≤且a >0时，函数2()41f x ax bx =-+在区间[1,)+∞上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分．由80168{(,),332a b ab +-==得交点坐标为∴所求事件的概率为18812313882P ⨯⨯==⨯⨯．【解析】1、古典概型；2、几何概型．【方法点晴】本题主要考查的是古典概型和几何概型，属于中档题．解题时一定要分清问题是古典概型还是几何概型，对于古典概型通过列出所有基本事件数出基本事件个数15n =或通过分析得到基本事件个数15n =，然后确定满足所求条件的基本事件个数5m =，利用mp n=求解；几何概型要分清基本事件空间区域的度量是长度、面积、体积，然后分别求出对应的度量3232,3A u u Ω==利用Au p u Ω=计算，本题涉及到了线性区域面积的计算是难点．。
2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【正确答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【正确答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【正确答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【正确答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2BCD ．2【正确答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，MN ∴.故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．02a <<B ．2222a -<<C ．22a <-22a >D ．22a >【正确答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得a >故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B．C ．[0,2]D ．[1,2]【正确答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO=，maxPO = [0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【正确答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【正确答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【正确答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【正确答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C ②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为【正确答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C的距离为11|AP n |d |n |⋅=，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则3232cos n n |n ||n |θ⋅=⋅ θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=( ，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(-，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA的距离为144A P n d n ⋅== 由12λμν++=得3d易知12BDA S =(=△则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE，00B D =在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，0B E =，同理可得，0EG GH HF D F ===∴六边形00B D FHGE则其面积26S ==12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为故②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+- ．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【正确答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c+ (a b )c μ∴+= ，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【正确答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ==D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【正确答案】77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA ==11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，1A D =(-，1,BC =(--，11cos |A D BC ||A D ||BC |θ⋅∴==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r （2）由题可知1,0,0)A (，1C (-，112,0,0)A C =(-，AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则1111111020m A D x m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则2222020n AD x n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【正确答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)r =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：r则当0r <<()0S r '<，()S r单调递减；当r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当r ()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l ．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)6655【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，)2,0,0A ,()2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E ，(2P ，232B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,2)PB = ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0022CB n PB n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，cos ,OG n OG n OG n⋅= 由题知π(0,2θ∈，二面角B l A --（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由PO =，又OF =PF ∴sin PO PFO PF ∠=l ∴与平面ABCE22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【正确答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=+++++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案【答案】C【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是：大前提：对于函数y=f （x ），若对定义域内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ），则函数f （x ）是偶函数；小前提：函数f （x ）=x 2满足对定义域R 内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ）；结论：函数f （x ）=x 2是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，故根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是演绎推理．故选C ．2．若211()f x x x =-，则()f x '=（）A ．2312x x--B ．23112x x+C ．23112x x-D ．2312x x -+【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数12211()f x x x x x--=-=-，根据导数的运算法则，可得232312()(2)f x x x x x --'=---⋅=-+.故选：D.3．已知复数1z i =-，则21z z =-A ．2B ．-2C ．2iD ．2i-【答案】A【详解】解：因为1z i =-，所以22(1)21z i z i-==--，故选A4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x =-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．下列等式成立的是（）A ．1110d 2d x x x x-=⎰⎰B ．1d 2ba x x =⎰C ．0d ba xb a=-⎰D ．(1)d d b b aax x x x+=⎰⎰【答案】A【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.【详解】对于A ：()10011111d d d d d x x x x x x x x x x---=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰21200111||122x x -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121000112d 2d 2|2122x x x x x ⎡⎤⎛⎫===⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰，所以111d 2d x x x x -=⎰⎰，故A 正确；对于B ：222111d |222b b a a x x x b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰，故B 错误；对于C ：0d 0bax =⎰，故C 错误；对于D ：(1)d d d 1b b b aaax x x x x +=+⎰⎰⎰，其中d |1bb a ax x b a ==-⎰，所以(1)d d b baax x x x +≠⎰⎰，故D 错误；故选：A6．给出下面四个类比结论①实数a ，b ，若0ab =，则0a =或0b =；类比向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b = ②实数a ，b ，有222()2a b a ab b +=++；类比向量a ，b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+③向量a ，有22a a =；类比复数z ，有22z z =④实数a ，b 有220a b +=，则0a b ==；类比复数1z ，2z 有22120z z +=，120z z ==，其中类比结论正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】①错误，因为若向量,a b互相垂直，则0a b ⋅= ；③错误，因为z 是复数的模是一个实数，而z 是个复数，比如若1i z =+，则()222211z =+2=，()22221i 1i 2i z =+=++2i =;④错误，若假设复数11z =，2i z =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠．②正确222()2cos ,a b a a b a b b +=+〈〉+222a a b b =+⋅+．故选B ．7．用数学归纳法证明1111112234n n n +++>++ 时，由k 到k+1，不等式左边的变化是（）A ．增加()121k +项B ．增加121k +和122k +两项C ．增加121k +和122k +两项同时减少11k +项D ．以上结论都不对【答案】C【详解】n k =时，左边11112k k k k=++⋯++++，1n k =+时，左边()()()()111111211k k k k =++⋯++++++++，由“n k =”变成“1n k =+”时，两式相减可得11121221k k k +-+++，故选C.点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．8．定义运算：,,x x yx y y x y ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如344,⊗=则下列等式不能成立的是（）.A ．x y y x ⊗=⊗B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．()()()c x y c x c y ⋅⊗=⋅⊗⋅（其中0c >）【答案】C【分析】根据定义逐项分析即得.【详解】因为,,x x yx y y x y≥⎧⊗=⎨<⎩，它表示的是x y ⊗的结果为x 和y 中的较大数，对A ，x y ⊗和y x ⊗都是x 和y 中的较大数，故x y y x ⊗=⊗，正确；对B ，()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗是x ，y ，z 中的较大数，正确；对C ，2()x y ⊗表示x 和y 中的较大数的平方，而22x y ⊗表示2x 和2y 中的较大数，例如4,1x y =-=时，2()1x y ⊗=，2216x y ⊗=等式就不成立，故错误；对D ，()c x y ⋅⊗和()()c x c y ⋅⊗⋅都表示c 与x 和y 中的较大数的乘积，故正确.故选：C.9．曲线2e 1x y -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A 【详解】202|2xx y ey -==-⇒'=-'，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =-+，它与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，与0y =的交点为()1,0，所以三角形面积为1211233⨯⨯=故选：A 10．设1010101111112212221A =++++++- ，则下列结论正确的是（）A ．1A >B ．1A <C ．1A ≥D ．1A ≤【答案】B【分析】利用放缩法可得出结论.【详解】1010101010111010101010211111111121221222122222A =++++<++++=⨯=++-个，故选：B.11．设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．=1x -为()f x 的极大值点D ．=1x -为()f x 的极小值点【答案】D【详解】试题分析：因为()x f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x xf x e xe e x f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以=1x -为()f x 的极小值点．【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．12．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B 【分析】令()()xf xg x =e ，利用导数说明函数的单调性，则不等式()2xf x e>，即()()0g x g >，根据单调性解得即可.【详解】令()()xf xg x =e ，则()()()()()2e e 0eex xxxf x f x f x f xg x ''--'==>，()g x ∴在R 上单调递增，()02f = ，()()002e f g ∴==则不等式()2xf x e>，即为()2g x >，即为()()0g x g >，0x ∴>，所以不等式()2x f x e>的解集为()0,∞+.故选：B二、填空题13．20122x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰____________.【答案】5【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.【详解】解：22200112522x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为：514．已知函数()ln f x a x x =+在区间[]2,3上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)-+∞【分析】直接求导，分离参数得max ()2a x ≥-=-.【详解】()ln f x a x x =+ ，()1af x x'=+又∵()f x 在[]2,3上单调递增，∴10ax+≥在[]2,3x ∈上恒成立，∴max ()2a x ≥-=-，∴[2,)a ∈-+∞．故答案为：[2,)-+∞.15．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式．如从指数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x +=⋅的性质；从对数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x ⋅=+的性质．那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出()()()1212f x x f x f x +=+的性质．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令()2f x x =，即可判断.【详解】令()2f x x =，则()()12122f x x x x +=+，()112f x x =，()222f x x =，所以()()()1212f x x f x f x +=+，符合题意.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16．若点P 是曲线2y x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离是______．【答案】728【分析】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，根据导数的几何意义求得切点为11(,)24P --，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，因为函数2y x =-，可得2y x '=-，所以曲线在点00(,)P x y 处的导数为00|2x x y x ='=-，即切线的斜率为02k x =-令021x -=，解得012x =-，则014y =-，即切点为11(,)24P --，又由点到直线的距离公式，可得切线P 到直线的距离为22112722481(1)d -++==+-，即P 到直线2y x =+的最小距离为728.故答案为：728.三、解答题17．已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？【答案】（1）当m ＝3或m ＝6时，z 为实数；当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）3＜m ＜5【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z 为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z 为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m 的取值范围即可．【详解】复数22(815)(918)z m m m m i=-++-+（1）当m 2﹣9m +18＝0，解得m ＝3或m ＝6，故当m ＝3或m ＝6时，z 为实数．当2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得m ＝5，故当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩，即3＜m ＜5时，对应点在第三象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题．18．已知两曲线3()f x x ax =+和2()g x x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线，试求a 、b 、c 的值．【答案】1a =，2b =，1c =-【分析】根据点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，求出a ，再求出两函数的导函数，根据函数在点P 处有公切线求出b ，再根据点()1,2P 在曲线()g x 上求出c .【详解】∵点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，∴21a =+，∴1a =，函数()3f x x ax =+和()2g x x bx c =++的导数分别为()23f x x a '=+和()2g x x b '=+，且在点P 处有公切线，∴23121a b ⨯+=⨯+，解得2b =，又由点()1,2P 在曲线()2g x x bx c =++上可得22121c =+⨯+，解得1c =-．综上，1a =，2b =，1c =-．19．已知()133x f x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()133x f x =+，即可求得()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为33，根据结论的形式将()133x f x =+代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由()133x f x =+，得()()011130133333f f +=+=++,()()121131233333f f --+=+=++,()()231132333333f f --+=+=++.归纳猜想一般性结论为()()313f x f x -++=证明如下：()()11113333x x f x f x -+-++=+=++()111313·313·313313·3333333313·3x x x xx xx x+++++=+==+++++【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．已知0a >，用分析法证明：221122a a a a+-≥+-【答案】证明见解析【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.【详解】要证明221122a a a a+-≥+-，只需证221122a a a a ++≥++，只需证222211(2)(2)a a a a++≥++，只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎛⎫++++≥+++++ ⎪⎝⎭，即221122a a a a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，只需证222211422a a a a ⎛⎫⎛⎫+≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212a a +≥，显然成立，故原不等式成立.21．设函数()()2ln 23f x x x=++(1)讨论()f x 的单调性；(2)求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】(1)函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；(2)()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x '<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而3193171311ln ln ln ln044162162272e f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.22．设函数()()32e 1x x ax f x =-+.(1)当13a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-(2)[)1,-+∞【分析】（1）当13a =-时，求得()()()2e 1xf x x x '=+-，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分0x =、0x >两种情况讨论，在0x =时，直接验证即可；在0x >时，由()0f x ≥可得出()e 10x g x ax =+-≥，对实数a 的取值范围进行讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≥对任意的0x >能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当13a =-时，函数()()231e 13xf x x x =--的定义域为R ，()()()()222e 22e 1x x f x x x x x x x '=+--=+-，当<2x -时，()0f x '<；当2x >-时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，等号成立.因此，当13a =-时，函数()f x 的增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-.（2）解：因为当0x ≥时，()()00f x f ≥=恒成立.①当0x =时，不等式()0f x ≥显然成立，此时a ∈R ；②当0x >时，由()()23e 10x f x x ax =-+≥可得e 10x ax -+≥，令()e 1x g x ax =+-，其中0x >，则()e x g x a '=+，则函数()g x '在()0,∞+上单调递增，且()()01g x g a ''>=+.当10a +≥时，即当1a ≥-时，对任意的0x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，合乎题意；当10a +<时，即当1a <-时，令()0g x '=，可得()ln 0x a =->，当()0ln x a <<-时，()0g x '<，即函数()g x 在()()0,ln a -上单调递减，当()ln x a >-时，()0g x '>，即函数()g x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故当()()0,ln x a ∈-时，()()00g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
四川省内江市第六中学2021-2022学年高二下学期期中理科数学试题
14．若命题 "x R, x 2 x a 1 0" 是假命题，则实数 a 的取值范围为___________.
15．已知
1
a x
(2x
1 x
)5
的展开式中各项系数的和为
2，则该展开式中常数项为______．
16．已知两点 A3,0 和 B 3, 0 ，动点 P x, y 在直线 l：y＝－x＋5 上移动，椭圆 C 以 A，B
9．设双曲线
x a
2 2
y2 b2
1a
0, b
0 的两条渐近线与直线 x
a2 c
分别交于
A, B 两点， F
为该
双曲线的右焦点，若 60 AFB 90 ，则该双曲线离心率 e 的取值范围是
A． 1, 2
B．
2
3 3
,
C． 2,2
D．
2
3 3
,
2
10．关于曲线 C ： x4 y2 1，给出下列四个命题：
）
A．
1 2
B．1
C． 2
D． 5
12．已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2 ， M , N 分别为棱 AD, BC 的中点， F 为棱 AB 上
试卷第 2页，共 5页
异于 A, B 的动点．有下列结论： ①线段 MN 的长度为1；
②点 C 到面 MFN 的距离范围为 0,
2 2 ；
③ FMN 周长的最小值为 2 1；
）
A．若命题 p ： n N ， n2 2n ，则 p ： n N ， n2 2n B．“ a b ”是“ ln a ln b ”的必要不充分条件
C．若命题“ p q ”为真命题，则命题 p 与命题 q中至少有一个是真命题
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。
精选2021年最新2021年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.复数31ii++等于 ( ) A. 12i B. 12i C. 2i + D. 2i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】()()()()313+i 421112i i ii i i +--==++-＝2－i. 故选D.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ 都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．2.曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-C. 21y x =-+D.21y x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-，所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.3.函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是( ) A. (,2)-∞ B. (0,3) C. (1,4) D. (2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()()'2x f x ex =-，求解不等式()'0f x >即可确定函数的单调递增区间.【详解】由函数的解析式可得：()()()'32xxxf x e x e e x =+-=-,求解不等式()'0f x >可得：2x >，故函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A. 0B. 1C.23D.53【答案】C 【解析】 【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】122312300112(2)()|11333x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.5.用数学归纳法证明不等式111131224n n n n +++>+++的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式左边的变化情况为（ ） A. 增加()121k +B. 增加 ()112121k k +++ C. 增加()112121k k +++，减少11k + D. 增加12(1)k +，减少11k +【答案】C 【解析】 【分析】 首先观察不等式111131224n n n n +++>+++左边的各项，它们以11n +开始，到12n 结束，共n 项，当由n k =到1n k =+时，项数也由k 项变到1k +项，前边少了一项，后面多了两项，分析四个选项，即可得出结果. 【详解】当n k =时，左边11112k k k k=++++++， 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++，111111()1212122k k k k k k k =+++-++++++++， 故选C.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，涉及到的知识点有应用数学归纳法证明问题时，将n k =向1n k =+推导过程中，式子的变化情况，属于易错题目.6.若i 是虚数单位，复数z 满足()11i z -=，则23z -=（ ） 3 567【答案】B 【解析】试题分析：由已知，1112i z i +==-，()222313215z i -=+-=-+=.故选B.考点： 1、复数的运算；2、复数的摸的求法.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D 【解析】 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8.设函数()f x 在R 上可导，导函数为(),(1)()f x y x f x ''=-图像如图所示，则 ( )A. ()f x 有极大值(2)f ，极小值(1)fB. ()f x 有极大值(2)f -，极小值(1)fC. ()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -D. ()f x 有极大值(2)f -，极小值(2)f【答案】C 【解析】 【分析】通过图象判断导函数的正负情况对应的x 的范围，利用导数符号与单调性的关系及函数极值的定义可得结论.【详解】当1x <时，10x -<，当1x >时，10x ->， 由图可知：当2x <-时，0,10y x >-<，'()0f x <，函数()f x 是减函数， 当21x -<<时，0,10y x <-<，'()0f x >，函数()f x 是增函数， 当12x <<时，0,10y x >->，'()0f x >，函数()f x 是增函数， 当2x >时，0,10y x <->，'()0f x <，函数()f x 是减函数， 并且有当2x =或2-时，有'()0f x =，所以2-是函数()f x 的极小值点，2是函数()f x 的极大值点， 所以()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -，故选C. 【点睛】该题考查的是有关根据图象判断函数的极大值与极小值的问题，涉及到的知识点有函数的极值与导数的关系，属于简单题目.9.若1()nx x+展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（） A. 第5项 B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】 【分析】由条件求得10n =，在其展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r 的值，可得常数项，求得结果.【详解】若1()nx x+展开式中只有第6项的系数最大，则10n =，它的展开式的通项公式为：102110r rr T C x -+=，令1020r -=，解得=5r ， 所以常数项是第6项， 故选B.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.10.从6人中选派4人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的选派方法的个数为（ ） A. 1080 B. 540 C. 180 D. 90【答案】B 【解析】 【分析】先从6人中选派4人，再将选取的4人分成三组，分别从事甲、乙、丙三项工作，进而可得不同的选派方法的种数.【详解】先从6人中选派4人，共有46C 种方法，再将选取的4个人分成三组共有11221422C C C A ⨯⨯种方法， 再将三组分配从事甲、乙、丙三项工作共有33A 种方法，所以不同的选派方法共有11423216435402C C C C A ⨯⨯⨯⨯=种，故选B.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，对应的解题思路是先选后排，属于中档题目.11.若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],4-∞B. [)4,+∞ C. (),4-∞-D.()4,-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件推导出32ln a x x x ≤++，令32ln y x x x=++利用导数性质求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数a 的取值范围.【详解】因为22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立， 所以32ln a x x x≤++，0x >， 令32ln y x x x=++， 则22222323(3)(1)'1x x x x y x x x x +-+-=+-==， 所以当(0,1)x ∈时，'0y <，函数单调减， 当(1,)x ∈+∞时，'0y >，函数单调增， 所以当1x =时，min 1034y =++=， 所以实数a 的取值范围是(],4-∞， 故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目.12.设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-⋃+∞C. (,1)(1,0)-∞-⋃-D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 构造新函数()()f x g x x=,()()()()2'f x xf x f x g x xx-=='，当0x >时()'0g x <.所以在()0,+∞上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()()1,00,1⋃.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x +'，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()()21f x x x=-在[]0,1上极值为________________。
安徽省安庆市第二中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理
安庆二中2018—2019学年度第二学期期中考试高二数学（理科）试题命题：汪令红 审题：胡 凯（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.01. 已知复数12z i =+（其中i 为虚数单位），则41i z z =⋅-（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i -02. 函数()3f x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ） A. 420x y -+= B. 420x y --=C. 420x y ++=D. 420x y +-=03. “e 是无限不循环小数，所以e 为无理数”，该命题是演绎推理中的三段论推理，其中大前提是（ ）A. 无理数是无限不循环小数B. 有限小数或有限循环小数为有理数C. 无限不循环小数是无理数D. 无限小数为无理数04. 用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A. 有两个内角是钝角B. 有三个内角是钝角C. 至少有两个内角是钝角D. 没有一个内角是钝角05. 已知函数()224ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为（ ）A. ()0,+∞B. ()2,+∞C. ()1,0-D. ()()1,02,-+∞ 06. 函数()y f x =的导函数()f x '的图像如右图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增B. 函数()y f x =的单调递减区间为()3,5C. 函数()y f x =在0x =处取得极大值D. 函数()y f x =在5x =处取得极小值07. 已知点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A. []20,3πB. [)[)20,,23πππ C. (]2,23ππ D. []2,23ππ08. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任意取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. 14B. 15C. 16D. 1709. 在利用数学归纳法证明不等式11151236n n n +++>++ （2n ≥且*n N ∈）时，第一步即证下面哪个不等式成立（ ）A. 1111534566+++>B. 115346+>C. 11153456++>D. 11153466++>10. 计算：()22x dx -+=⎰（ ）A.πB. 4πC. 3πD. 2π11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，恒有()()02x f x f x '⋅+-≤成立，若()()2g x x f x =⋅，则不等式()()12g x g x <-的解集为（ ）A. ()1,13B. ()()1,1,3-∞+∞C. ()1,3+∞ D. ()1,3-∞ 12. 已知函数()1ln f x x a x x =+⋅+在区间[)1,+∞上单调，则实数a 的取值范围是（ ） A. (][)1,0,4-∞+∞ B. (][)1,0,4-∞-+∞ C. []1,04- D. (],1-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 函数()f x 的图像在2x =处的切线方程为230x y +-=，则()()22f f '+=____14. 已知复数34a i R i +∈+（i 为虚数单位），则实数a 的值是____________； 15. 函数()ln x f x x=的单调递减区间为__________________； 16. 给出下列不等式：111123++>，111312372++++>，111122315++++>， ……，则按此规律可猜想第n 个不等式为________________________；三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 本小题满分10分：函数()322338f x x a x b x =+⋅+⋅+在1x =，2x =处取得极值. ⑴求实数a ，b 的值；⑵求曲线()f x 在0x =处的切线方程.18. 本小题满分12分：用综合法或分析法证明：⑴已知0a >，0b >，求证：lg lg lg22a b a b ++≥；>19. 已知曲线1C ：22y x =与曲线2C ：22x y =在第一象限内的交点为P .⑴求过点P 且与曲线2C 相切的直线的方程；⑵求曲线1C 与2C 所围图形（如图阴影部分）的面积S .20. 已知函数()2ln f x x a x =+⋅，a R ∈. ⑴当2a =-时，求函数()f x 的单调区间和极值；⑵若函数()()2g x f x x =+在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.21. 已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =⋅+. ⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.22. 本小题满分12分：已知函数()ln f x x x =⋅，设()()()2216g x f x x e x =+-⋅+⋅+. ⑴若()g x 的导函数为()g x '，求()g e '的值；⑵若方程()0g x a -=有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围；⑶若存在实数[]01,x e ∈使得[()]20011m f x x ⋅->+成立，求实数m 的取值范围.。
湖北省“荆荆襄宜四地七校考试联盟”2020届高二数学(理科)第二学期期中联考试题及答案
“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二期中联考试题数学（理）本试题卷共2页， 共22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时请按要求用笔． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在稿纸试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷(60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 命题“若21x =，则1x =”的逆否命题为（ ）A ．若1x ≠，则11x x ≠≠-或B ．若1x =，则11x x ==-或C ．若1x ≠，则11x x ≠≠-且D ．若1x =，则11x x ≠≠-且2． 已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75,80]内的人数为（ ） （附：2~(,)Z N μσ，则()0.6826,(22)0.9544P Z P Z μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）A ．4560B ．13590C ． 27180D ． 311740 3．对任意的实数x ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则“1x y -<”是“[][]x y =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．292)x展开式中含1x的项是（ ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 5．CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2020年1月—7月的CPI 同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2020 年2月与2019年2月相比较，叫同比；2020年2 月与2020年1月相比较，叫环比)根据该折线图，则下列结论错误的是（ ） A ．2020年1月—7月CPI 有涨有跌B ．2020年2月—7月CPI 涨跌波动不大,变化比较平稳C ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，1月CPI 涨幅最大D ．2020年1月—7月分别与2019年1月一7月相比较，CPI 有涨有跌6． 已知双曲线22221x y a b -=-的离心率为135，则它的渐近线为（ ）A ．513y x =±B ．135y x =±C ．125y x =±D ．512y x =± 7． 为了了解奥运五环及其内部所占面积与单独五个圆环及其内部面积之和的比值P ，某同学设计了如右图所示的数学模型，通过随机模拟的方法，在长为8，宽为5的矩形内随机取了N 个点，经统计落入五环及其内部的点的个数为n ，若圆环的半径为1，则比值P 的近似值为（ ）A ．325n N π B ．32n N π C ．8nNπ D ．532nNπ8． 假设有两个分类变量X 和Y 的22⨯列联表如下：X1y2y总计1xa 10 10a +2xc 30 30c +总计 6040100注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a c k n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++. 对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ）A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ． 35,25a c ==D ．30,30a c == 9．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1A C 的长为( )A ．5B ．22C ．14D ．1710．已知点A (1,2)在抛物线2:2C y px =，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则三角形MFN 的面积MFN S ∆=（ ）A ．83 B ．163C ． 833D ．163311．用五种不同颜色（颜色可以不全用完）给三棱柱ABC DEF -的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有（ ） A ．840 B ．1200 C ． 1800 D ．192012．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题： ①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32，最短距离为233； ④该曲线的离心率为33． 其中正确命题的序号为 （ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．总体由编号为01,02,,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为___________．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 748114．已知向量(1,2,1)a =-，(2,2,0)b =-，则a 在b 方向上的投影为________．15．右图中的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x y +的值为___________．16．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A ，动点M 满足以MA 为直径的圆与y 轴相切，过A 作直线(1)250x m y m +-+-=的垂线，垂足为B ，则MA MB +的最小值为___________． 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知命题P :实数p 使得二项分布ξ～(5,)B p 满足(3)(4)P P ξξ=>=成立；命题Q ：实数p 使得方程22132x y p p+=-表示焦点在x 轴上的椭圆．若P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，求实数p 的取值范围．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （Ⅰ）求tan C 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3，求b 的值．19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，82=a ，前10项和10185S .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若从数列{}n a 中依次取出第 ，，，，，n 2842项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新数列的前n 项和n A .20．（本小题满分12分）某农科所发现，一种作物的年收获量s （单位：kg ）与它“相近”作物的株数n 具有相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m ），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：（Ⅰ）根据研究发现，该作物的年收获量s 可能和它“相近”作物的株数n 有以下两种回归方程：2;s bn a s bn a =+=+①②，利用统计知识，结合相关系数r 比较使用哪种回归方程更合适；（Ⅱ）农科所在如右图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.（注：年收获量以（．．．．．．Ⅰ．）中选择的回归方程计算所得数据为依．．．．．．．．．．．．．．．．．据．） 参考公式：线性回归方程为y bx a =+，其中121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑；7 2.65≈，61()()664iii w w s s =--=-∑621()43ii w w =-≈∑，其中2i i w n =.21．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥底面ABCD ，且P 在底面正投影点在线段AC 上，122BC CD AC ===，3ACB ACD π∠=∠=. （Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）若5AP =AP 与BC 5A BP C --的余弦值．22．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左焦点为1(1,0)F -，过点1F 的直线l 交椭圆于A B 、两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若l 的斜率为1，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为34-，求椭圆M 的方程；（Ⅱ）连结AO 并延长，交椭圆于点C ，若椭圆的长半轴长a 是大于1的给定常数，求ABC ∆的面积的最大值()S a ．高二联考数学试题（理科） 参考答案及评分标准二、填空题13. 01 14. 2- 15. 10 16.3 三、解答题17. 对于命题P ：由(3)(4)P P ξξ=>=知，3324455(1)(1)C p p C p p ->-且(0,1)p ∈，得2(0,)3p ∈. ……2分对于命题Q ：由3(2)032p p p p->⎧⎨>-⎩得1(,2)2p ∈. ……4分P Q ∧为假命题，P Q ∨为真命题，则,P Q 一真一假， ……5分若P 真Q 假，则2(0,)3p ∈且1(,][2,)2p ∈-∞+∞，得1(0,]2p ∈. ……7分若Q 真P 假，则1(,2)2p ∈且2(,0][,)3p ∈-∞+∞，得2[,2)3p ∈. ……9分综上可知，满足条件的实数p 的取值范围是1(0,]22[,2)3. ……10分18.（Ⅰ）由22212b ac -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，∴2cos 2sin B C -=，又由4A π=，即34B C π+=，得cos2sin 22sin cos B C C C -==，由sin 0C 解得tan 2C =； ……6分（Ⅱ）由tan 2C =，(0,)C π∈得25sin 5C =，5cos 5C =， 又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+，∴310sin 10B =，由正弦定理得223c b =，又∵4A π=，1sin 32bc A =，∴62bc =，故3b =. ……12分19．（Ⅰ）由题意得，解得，所以．……6分 （Ⅱ），……8分则==……12分20.（Ⅰ）1(123567)46n =+++++= 16s =(60+55+53+46+45+41)50= ………1分 61()()(3)10(2)5(1)31(4)2(5)3(9)84iii n n s s =--=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-∑622222221()(3)(2)(1)12328ii n n =-=-+-+-+++=∑622222221()1053(4)(5)(9)256ii s s =-=+++-+-+-=∑………3分1377.950.99375828256r ∴==≈-=-，2830.9658643256r ==-≈-⨯ ………5分知12r r >，回归方程①更合适，（Ⅱ）由（Ⅰ）84328b -==-，则503462a s bn =-=+⨯= 故所求的线性回归方程为362s n =-+ ………7分结合图形可知当2,3,4n =时，与之相对应56,53,50s = ………8分41(56)(2)164P s P n =====，81(53)(3)162P s P n =====41(50)(4)164P s P n =====……10分s 56 53 50P14 12 14∴()56535053424E s =⨯+⨯+⨯=（kg ） ………12分21.（Ⅰ）如图，连接BD 交AC 于O ∵BC CD =，AC 平分BCD ∠∴AC BD ⊥. ………2分∵平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面=ABCD AC , ∴BD ⊥平面PAC ∵AP ⊂平面PAC ∴AP BD ⊥. ………4分 （Ⅱ）作PE AC ⊥于E ，则PE ⊥底面ABCD ∴PE BD ⊥ ………5分以O 为坐标原点，,,OB OC EP 的方向分别为,,x y z 轴 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -cos13OC CD π==，而4AC = 则3AO AC OC =-=又sin33OD CD π== 故(0,3,0)A -，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(3,0,0)D - ………6分设(0,,)(0)P y z z > 由5AP =22(3)5y z ++= ①而(0,3,)AP y z =+ (3,1,0)BC =-由5cos ,5AP BC <>=35525y += ② 由①②可知及P 投影位置可知1,1y z =-= ∴(0,1,1)P - ………8分∴(3,3,0)AB =，(3,1,1)BP =--，(3,1,0)BC =- 设平面ABP 的法向量为1111(,,)n x y z =由1100n AB n BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111133030x y x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩取11y =-得1(3,1,2)n =- ………10分同理可得BCP 的一个法向量为2(3,3,6)n = ………11分∴121212126cos ,42243n n n n n n <>=== 故钝二面角A BP C --的余弦值为4-………12分22.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，21211y y x x -=-. 由此可得2122121221()1()b x x y y a y y x x +-=-=-+-；………2分因为1202x x x +=，1202y y y +=，0034y x =-，所以2234b a = ………3分 又由左焦点为(1,0)-，故221a b -=，因此224,3a b ==.所以M 的方程为22143x y += ………5分 （Ⅱ）因为椭圆M 的半焦距1c =，所以221a b -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =-，由方程组222211x y a b x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得:2222222()2(1)0a b m y b my b a +-+-=,2122222,b m y y a b m ∴+=+22412222222(1)b a b y y a b m a b m--==++,且0∆>恒成立， ………7分 连结OB ，由OA OC =知2ABCAOBS S=，112ABCSOF y y ∴=⋅-=， ………9分t =，则222222222222221(1),1(1)1ABC ab t ab t ab m tt S a b t b t b tt=-≥∴===+-++，①若11b ≥，即1a <≤，则212b t b t+≥=，当且仅当1t b =，即m =时，max ()()ABC S a S ∆== ……… 10分②若101b <<，即a >21()f t b t t=+，则1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，所以22min [()](1)1f t f b a ==+=，当且仅当1t =，即0m =时，2max 2(1)()()ABC a S a S a∆-==；综上可知：2()2(1),a S a a a a ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩………12分。
重庆市高二数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2016-2017学年某某市高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．53种 B．35种 C．3种D．15种3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数4．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A．120 B．72 C．12 D．365．曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A．B．C． D．6．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C． D．7．已知点集，则由U中的任意三点可组成（）个不同的三角形．A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．若（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（）A．210 B．120 C．461 D．41610．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．1296 B．1080 C．360 D．30011．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值X围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）12．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置. 13．若=1+i，i为虚数单位，则z的虚部为．14．有10个零件，其中6个一等品，4个二等品，若从10个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有种．15．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为．16．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区间和极大值．18．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．19．某某师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩．现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）（1）三名男生和三名女生各自排在一起；（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起．20．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c（a＞0），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若函数f（x）有且只有两个不同的零点，某某数a的值．21．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2016-2017学年某某市大学城一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．2．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．53种 B．35种 C．3种D．15种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知共有35种结果，故选B．3．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论．【解答】解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式；故选：B4．有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A．120 B．72 C．12 D．36【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先把除了2盆白玫瑰花以外的三盆花任意排，再从那三盆花形成的4个空中选出2个空插入这2盆白玫瑰，再根据分步计数原理求得结果．【解答】解：先把2盆白玫瑰挑出来，把剩下的三盆花任意排，方法有=6种，再从那三盆花形成的4个空中选出2个空插入这2盆白玫瑰，方法有=12种，再根据分步计数原理求得满足条件的不同摆放种数是6×12=72种，故选B．5．曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A．B．C． D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；I2：直线的倾斜角．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求切线的斜率，进而利用斜率和倾斜角之间的关系求切线的倾斜角．【解答】解：因为f（x）=，所以，所以函数在点（1，f（1））处的切线斜率k=f'（1）=﹣1，由k=tanα=﹣1，解得，即切线的倾斜角为．故选D．6．函数f（x）在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据函数的单调性确定f'（x）的符号即可．【解答】解：由函数f（x）的图象可知，函数在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当x＞0时，函数单调递增，所以导数f'（x）的符号是正，负，正，正．对应的图象为C．故选C．7．已知点集，则由U中的任意三点可组成（）个不同的三角形．A．7 B．8 C．9 D．10【考点】D3：计数原理的应用．【分析】先求出点集U，在任选三点，当取（﹣1，1），（0，0），（1，1）时，三点在同一条直线上，不能构成三角形，故要排除，问题得以解决．【解答】解：点集，得到{（﹣1，﹣1），（0，0），（1，1），（2，8），（3，27）}，从中选选3点，有C53=10种，当取（﹣1，1），（0，0），（1，1）时，三点在同一条直线上，不能构成三角形，故要排除，故则由U中的任意三点可组成10﹣1=9个不同的三角形．故选：C．8．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．9．若（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，则展开式的常数项是（）A．210 B．120 C．461 D．416【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，可得n=10．再利用通项公式即可得出．【解答】解：（x3+）n展开式中只有第6项系数最大，∴n=10．∴的通项公式为：T r+1=（x3）10﹣r=x30﹣5r，令30﹣5r=0，解得r=6．∴展开式的常数项是=210．故选：A．10．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取四个数字，其中奇数偶数至少各一个，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A．1296 B．1080 C．360 D．300【考点】D3：计数原理的应用．【分析】①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，利用分步计数原理求得满足条件的四位数的个数；②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数；③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，分当偶数不包含0和当偶数中含0两种情况，分别求得满足条件的四位数的个数，可得此时满足条件的四位数的个数．再把以上求得的三个值相加，即得所求．【解答】解：①若这个四位数中有一个奇数三个偶数，则有•=3种；先排0，方法有3种，其余的任意排，有=6种方法，再根据分步计数原理求得这样的四位数的个数为 3×3×6=54个．②若这个四位数中有二个奇数二个偶数，当偶数不包含0时有C22C32A44=72，当偶数中含0时有C21C32C31A33=108，故组成没有重复数字的四位数的个数为72+108=180个．③若这个四位数中有三个奇数一个偶数，当偶数不包含0时有••A44=48，当偶数中含0时有1××A33=18个．故此时组成没有重复数字的四位数的个数为48+18=66个．综上可得，没有重复数字的四位数的个数为 54+180+66=300个，故选D．11．设过曲线f（x）=﹣e x﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值X围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2）C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的X围，然后把过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g （x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣e x﹣x，得f′（x）=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值X围为﹣1≤a≤2．故选：A．12．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数分别求出函数f（x）、g（x）的零点所在的区间，然后再求F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）的零点所在区间，即求f（x+3）的零点和g（x﹣4）的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果．【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置. 13．若=1+i，i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由=1+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则z的虚部可求．【解答】解：由=1+i，得=，则z的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．14．有10个零件，其中6个一等品，4个二等品，若从10个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有116 种．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法可得结论．【解答】解：考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法，得至少有1个一等品的不同取法有C103﹣C43=116．故答案为：116．15．曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为x+y+2=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=﹣1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=2﹣3x2y'|x=﹣1=﹣1而切点的坐标为（﹣1，﹣1）∴曲线y=2x﹣x3在x=﹣1的处的切线方程为x+y+2=0故答案为：x+y+2=016．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】依题意，可求得f′（x）=，由f′（x）＜0即可求得函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间．【解答】解：∵f（x）=x2﹣2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x﹣==，令f′（x）＜0由图得：0＜x＜1．∴函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（0，1）．故答案为（0，1）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值﹣2．求f（x）的单调区间和极大值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由条件f（1）=2，f′（1）=0求得a、b，再利用导数求出单调区间，从而求解．【解答】解．由奇函数定义，有f（﹣x）=﹣f（x），x∈R．即﹣ax3﹣cx+d=﹣ax3﹣cx﹣d，∴d=0因此，f（x）=ax3+cx，f′（x）=3ax2+c由条件f（1）=2为f（x）的极值，必有f′（1）=0故，解得 a=1，c=﹣3因此f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间（﹣∞，﹣1）上是增函数．当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（﹣1，1）上是减函数．当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间∈（1，+∞）上是增函数．所以，f（x）的极大值为f（﹣1）=2．18．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中所有项的系数之和．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】（1）根据题意，令x=1求出n的值，再利用通项公式求出展开式的常数项；（2）令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．【解答】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n=512，解得n=9；设T r+1为常数项，则：T r+1=C9r••=C9r2r，由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C93•23=672；（2）令x=1，得（1+2）9=39．19．某某师大附中高二年级将于4月中旬进行年级辩论赛，每个班将派出6名同学分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩和六辩．现某班已有3名男生和3名女生组成了辩论队，按下列要求，能分别安排出多少种不同的辩论顺序？（要求：先列式，再计算，最后用数字作答）（1）三名男生和三名女生各自排在一起；（2）男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩；（3）男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】（1）根据题意，分3步分析：①、用捆绑法将3名男生看成一个元素，并考虑其3人之间的顺序，②、同样方法分析将3名女生的情况数目，③、将男生、女生两个元素全排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、男生甲担任第六辩，剩余的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，由排列数公式计算即可，②、男生甲不担任第六辩，分别分析男生甲、女生乙、其他4人的情况数目，进而由乘法原理可得此时的情况数目；最后由分类计数原理计算可得答案．（3）根据题意，分2步进行分析：①、男生甲必须排在第一辩或第六辩，则甲有2种情况，②、用间接法分析“3位女生中有且只有两位排在一起”的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步分析：①、将3名男生看成一个元素，考虑其顺序有A33=6种情况，②、将3名女生看成一个元素，考虑其顺序有A33=6种情况，③、将男生、女生两个元素全排列，有A22=2种情况，则三名男生和三名女生各自排在一起的排法有6×6×2=72种；（2）根据题意，分2种情况讨论：①、男生甲担任第六辩，剩余的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，有A55=120种情况，②、男生甲不担任第六辩，则甲有4个位置可选，女生乙不担任第六辩，有4个位置可选，剩余的4人进行全排列，担任其他位置，有A44=24种情况，则男生甲不担任第六辩的情况有4×4×24=384种；故男生甲不担任第一辩，女生乙不担任第六辩的顺序有120+384=504种；（3）根据题意，分2步进行分析：①、男生甲必须排在第一辩或第六辩，则甲有2种情况，②、剩下的5人进行全排列，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩、五辩，有A55=120种情况，其中3名女生相邻，则有A33•A33=36种情况，3名女生都不相邻，则有A33•A22=12种情况，则3位女生中有且只有两位排在一起的情况有120﹣36﹣12=72种；故男生甲必须排在第一辩或第六辩，3位女生中有且只有两位排在一起有2×72=144种不同的顺序．20．设函数f（x）=x3﹣x2+bx+c（a＞0），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1（1）求b，c的值；（2）若函数f（x）有且只有两个不同的零点，某某数a的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求f（x）的导数f'（x），再求f（0），由题意知f（0）=1，f'（0）=0，从而求出b，c的值；（2）求导数，利用f（a）=0，即可求出实数a的值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x3﹣x2+bx+c，所以导数f'（x）=x2﹣ax+b，又因为曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，所以f（0）=1，f'（0）=0，即b=0，c=1．（2）由（1），得f'（x）=x2﹣ax=x（x﹣a）（a＞0）由f'（x）=0得x=0或x=a，∵函数f（x）有且只有两个不同的零点，所以f（0）=0或f（a）=0，∵f（0）=1，∴f（a）=a3﹣+1=0，∴a=．21．在数列{a n}中，a1=6，且a n﹣a n﹣1=+n+1（n∈N*，n≥2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8H：数列递推式．【分析】（1）分别取n=2，3，4即可得出；（2）由（1）猜想a n=（n+1）（n+2），再利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）n=2时，a2﹣a1=+2+1，∴a2=12．同理可得a3=20，a4=30．（2）猜测a n=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：①当n=1，2，3，4时，显然成立；②假设当n=k（k≥4，k∈N*）时成立，即有a k=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，由且a n﹣a n﹣1=+n+1，得+n+1，故==（k+2）（k+3），故n=k+1时等式成立；由①②可知：a n=（n+1）（n+2）对一切n∈N*均成立．22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的极小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值为1，令h（x）=g（x））+，求导函数，确定函数的单调性与最大值，即可证得结论；（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增…∴f（x）的极小值为f（1）=1 …（Ⅱ）证明：∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增…∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min…∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；…（Ⅲ）解：假设存在实数a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①当a≤0时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…min②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，满足条件．…③当时，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此时f（x）无最小值．…综上，存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．…。
2021-2022年高二下学期期中考试数学理试题 含答案
2021-2022年高二下学期期中考试数学理试题含答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.如果复数(+i )(1+m i )是实数，则实数m =( )．A、-1B、1C、-D、2.已知曲线y = x2 -3 x的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为( )．A、-2B、-1C、 2D、33.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上y＝f(x)是增函数B．在(1,3)上y＝f(x)是减函数C．在(4,5)上y＝f(x)是增函数D．在x＝2时y＝f(x)取到极小值4．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2kB．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2kD．a k－1＋a k＋…＋a2k－25.曲线y =与直线y – x – 2 = 0围成图形的面积是( ) ．A、 B、 C、 D、6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( )A.540B.300C.180D.1507.对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体( )A．各正三角形内的点B．各正三角形某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形各边的中心8.若a＞2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根 B．1个根C．2个根 D．3个根9.在数列{a n}中，a n＝1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n，则a k＋1＝( )A．a k＋12k＋1B．a k＋12k＋2－12k＋4C．a k＋12k＋2D．a k＋12k＋1－12k＋210.(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为 ( )A．1 B．46 C．4245 D．4246二、填空题（每小题4分，共20分）11.用反证法证明命题：“若x，y > 0，且x + y > 2，则，中至少有一个小于2”时，假设的内容应为．12．函数f(x) = x3 - 12 x 在［－3，3］上的最小值是_________,最大值是．13.已知函数f(x) =在R上有极值，则实数a的取值范围是．14.由这六个数字组成__ __个没有重复数字的六位奇数.15．对于二项式(1-x)，有下列四个命题：①展开式中T= －Cx；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=xx时，(1-x)除以xx的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上）大钟高中xx第二学期期中考试试卷高二数学（理）一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）11．________________________________________________________12._____ __ ; _______13.____________ 14.____________ 15.______________三、解答题（每小题12分，共60分）16. 7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（写出解答过程及结果）（1）甲排头: （1分）（2）甲不排头，也不排尾: （1分）（3）甲、乙、丙三人必须在一起:（1分）（4）甲、乙之间有且只有两人: （1分）（5）甲、乙、丙三人两两不相邻（2分）（6）甲在乙的左边（不一定相邻）（2分）（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序: （2分）（8）甲不排头，乙不排当中:（2分）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）17.已知数列{an }满足Sn+ an= 2n +1．(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．18. 若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；及展开式中二项式系数最大的项。
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二年级下册学期期中数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．复数()231i i +=A ．2B ．－2C ．2iD ．-2i【答案】A【分析】利用即可得解.21i =-【详解】故选A.()()()23122i i i i +=-=【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.2．观察下列算式：，，，，，，，，，用你所发现的规122=224=328=4216=5232=6264=72128=82256=⋅⋅⋅律可得的末位数字是（ ）20202A ．B ．C ．D ．2468【答案】C【分析】根据的末位数字以为周期变化可知与的末位数字相同，由此可得结果.()2n n *∈N 42020242【详解】由算式变化规律可知：末位数字分别为这个数字循环，即以为周期，()2n n *∈N 2,4,8,644又，的末位数字与的末位数字相同，即其末位数字为.20205054=⨯20202∴426故选：C.3．已知双曲线（a ＞0则a =2221x y a -=A B ．4C ．2D ．12【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率，，ce a ==c =，=解得，12a =故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．抛物线过点，则的准线方程为( )2:4C x ay =()4,4-C A ．B ．C ．D ．1y =1y =-1x ==1x -【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程可得a ，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.()4,4-【详解】∵抛物线过点，2:4C x ay =()4,4-∴，()24441a a -=⨯⇒=∴，2:4C x y =∴其准线方程为y ＝－1.故选：B.5．展开式中的第四项是91(x x +A ．B ．C ．D ．356x384x456x484x【答案】B【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B ．91()x x +3633334991(84T C x C x x x =⋅==【解析】二项式定理．6．乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结53(3束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为( ))233:1A ．B ．C ．D ．29498273281【答案】C【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即3:112314可计算．【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，3:112314因此所求概率为：．1231228C (33327P ⋅⋅=⋅=故选：C ．7．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下：甲得分：X 1123P0.40.10.5乙得分：X 2123P0.10.60.3则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较【答案】B【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.【详解】因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好.故选：B8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．B ．C ．D ．516113221321116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有62，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A ．36C 3662C 516【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．函数在处有极值为，那么，的值为（ ）()322f x x ax bx a =+++1x =10a b A ．，B ．，411-3-3C ．，或，D ．，411-3-333【答案】A【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩,a b 【详解】，()232f x x ax b'=++由题意可知即，()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩则解得或，232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当时，，33a b =-⎧⎨=⎩()()2310f x x '=-≥在处不存在极值，不符合题意；∴1x =当时，，②411a b =⎧⎨=-⎩()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，，，，符合题意．11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>，411a b =⎧∴⎨=-⎩故选：A ．10．若函数在区间上单调递增，则实数m 的取值范围（ ）()ln xf x e x mx =--(1,)+∞A ．B ．C ．D ．(,1)e -∞-(,1]e -∞-(,1)e -∞+(,1]e -∞+【答案】B【分析】由题意得在上恒成立，然后参变分离，构造函数，()0f x '≥(1,)+∞1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞利用导数研究函数的最值即可求出结果.()g x 【详解】由题意，函数，可得，()ln xf x e x mx =--1()x f x e m x '=--因为函数在上单调递增，即在上恒成立，()f x (1,)+∞()0f x '≥(1,)+∞即在上恒成立，1x m e x ≤-(1,)+∞设，则，1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞21()0x g x e x '=+>所以函数在为单调递增函数，所以，()g x (1,)+∞(1)1m g e ≤=-即实数m 的取值范围是.(,1]e -∞-故选：B.11．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b -=>>别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为||4||AB OF =O ABC ．2D【答案】D 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．4AB OF=,,a b c 【详解】抛物线的准线的方程为，24y x =l =1x -双曲线的渐近线方程为，by x a =±则有(1,(1,)b b A B a a ---∴，，，2b AB a =24ba =2b a =∴c e a ===故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则a R ∈222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ x ()0f x R 的取值范围为aA ．B ．C ．D ．[]0,1[]0,2[]0,e []1,e 【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞ln 0x a x -≥(1,)+∞转化为在上恒成立．ln xa x ≤(1,)+∞【详解】∵，即，(0)0f ≥0a ≥（1）当时，，01a ≤≤2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->当时，，1a >(1)10f =>故当时，在上恒成立；0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞若在上恒成立，即在上恒成立，ln 0x a x -≥(1,)+∞ln xa x ≤(1,)+∞令，则，()ln x g x x =2ln 1'()(ln )x g x x -=当函数单增，当函数单减，,x e >0,x e <<故，所以．当时，在上恒成立；()()min g x g e e==a e ≤0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞综上可知，的取值范围是，a [0,]e 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．cos 2xy x =+()0,1【答案】220x y -+=【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.y '0x =【详解】，()0cos 01f ==，，1sin 2y x '=-+012x y ='=所以切线方程为，即．112y x =+220x y -+=故答案为：．220x y -+=14．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5112【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线()45f =l (0,3)(4,5)的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.l k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则，l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以．111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11215．的展开式中，的系数为________．()()8x y x y +-27x y 【答案】20【分析】根据，再分别求展开式中的系数与的系888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-8()x y -7xy 26x y 数即可.【详解】解：因，888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-故由题设应求展开式中的系数与的系数.8()x y -7xy 26x y 又因，88188C ()(1)C r r r r r r rr T x y x y --+=-=-当时，7r =777788(1)C 8xy T xy =-=-当时，，6r =66266782(1)C 28x T y x y =-=故所求系数为.28820-=故答案为：2016．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，O C 22y px =0p >F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.Q x PQ OP ⊥6FQ =C 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.P Q ，p 【详解】抛物线： ()的焦点,C 22y px =0p >,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵P 为上一点，与轴垂直，C PF x 所以P 的横坐标为，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为,2pp ±不妨设,(,)2p P p 因为Q 为轴上一点，且，所以Q 在F 的右侧，x PQ OP ⊥又，||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为，所以,PQ OP ⊥PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=，0,3p p >∴= 所以的准线方程为C 32x =-故答案为：.32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.三、解答题17．已知抛物线的焦点为F ，为抛物线C 上的点，且.2:2C y px =(1,)M t 3||2MF =（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，求弦长.2y x =-||AB【答案】（1）；（2）.22y x =【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C 的方程；3||122P MF =+=（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，()()1122,,,A x y B x y y x 计算可得所求值．【详解】（1），3||122P MF =+=所以，即抛物线C 的方程.1p =22y x =（2）设，()()1122,,,A x y B x y 由得222y x y x ⎧=⎨=-⎩2640x x -+=所以，126x x +=124x x =所以||AB =.==【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝ (α为弦AB 的倾斜角)．22sin pα(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB |x 1－x 2|求解．18．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，()32f x ax bx cx=++20()'y f x =()()20,4,0，如图所示，求(1)，，的值；a b c (2)若函数有三个零点，求的取值范围．()y f x m=-m 【答案】(1)，，；1a =9b =-24c =(2).1620m <<【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.【详解】（1）由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增；2x <()0f x ¢>()f x 当时，，函数单调递减；24x <<()0f x '<()f x 当时，，函数单调递增，>4x ()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，2x =()f x 4x =()f x 于是有，()()()240,220f f f ===''由，()()32232f x ax bx cx f x ax bx c'=++⇒=++所以有；12401488098422024a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，()416f =()220f =而知函数的图象如下图所示因为函数有三个零点，()y f x m=-所以函数的图象与直线有三个不同的交点，()y f x =y m =所以.1620m <<19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按63照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有26道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否4223互不影响．(1)求甲正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列．【答案】(1)；35(2)答案见解析.【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙1（）ξξ123()214236325C C P C ξ===2（）正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．ηη0123η【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．ξξ{}123，，.()214236325C C P C ξ===（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．ηη{}0123，，，，，，()303110327P C η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()333283327P C η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭应聘者乙正确完成题数的分布列为ηη123P127627122782720．已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N ＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X ，求随机变量X 的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P ，求当n 取多少时，P 的值最大．【答案】（1）见解析；（2）1或2【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，设中奖次数为ζ，则ζ的可能253235p C ⨯==取值为0，1，2，3．分别求出 由此能求出ζ的分布0123PP P P ζζζζ====（），（），（），（），列和Eζ．（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，，由此利用导数性质能求出n 为1或2时，P 有最()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<大值．【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，253235p C ⨯==；；()033280(5125P C ξ===()12332361()55125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；；()22332542()(55125P C ξ===()3333273()5125P C ξ===ξ分布列为：ξ0123p8125361255412527125（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：， ，()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<，在上P 为增函数，在上P 为减函数，()2'96332P p p p p =-+=--203⎛⎫⎪⎝⎭，213⎛⎫ ⎪⎝⎭，当时P 取得最大值．23p =又，()()1122242123n n C C n p C n n +===++故 ，解得：或，2320n n -+=1n =2n =故为1或2时，有最大值．n P 21．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下01PF x =+0022y x ==PF x ⊥2PF =面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．()2:20C y px p =>F ()00,P x y C （1）求抛物线的标准方程．C （2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．:20l x y --=C A B ABF △注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】条件选择见解析（1）；（2）24y x =【分析】方案一 选择条件①．（1）由抛物线焦半径公式可得，解得，即可求得抛物线的标准方程为0012pPF x x =+=+2p =C ；24y x =（2）设，，，由（1）可知．联立和可得()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 20x y --=24y x =，利用韦达定理结合弦长公式，求面积即可得解.2480y y --=方案二选择条件②．（1）将，代入抛物线方程可得，所以抛物线的标准方程为；（2）同方02y =01x =2p =C 24y x =案一；方案三 选择条件③．（1）当轴时，，可得， 故抛物线的标准方程为；PF x ⊥02222p p p PF x =+=+=2p =C 24y x =（2）同方法一.【详解】方案一 选择条件①．（1）由抛物线的定义可得．02pPF x =+因为，所以，解得．01PF x =+0012px x +=+2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案二 选择条件②．（1）因为，所以，，0022y x ==02y =01x =因为点在抛物线上，()00,P x y C 所以，即，解得，2002y px =24p =2p =所以抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为 ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案三 选择条件③．（1）当轴时，，所以．PF x ⊥222p pPF =+=2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=22．已知函数.()ln f x x x=（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f （2）求的单调区间；()f x（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-a 【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）1y x =-()f x 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.1a e ≥-【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；()0f x '=（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，()1ln g x x x =+()g x '()0g x '=结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.a 【详解】（1）因为函数，()ln f x x x=所以，.()1ln ln 1f x x x x x '=+⋅=+()1ln111f '=+=又因为，则切点坐标为，()10f =()1,0所以曲线在点处的切线方程为.()y f x =()1,01y x =-（2）函数定义域为，()ln f x x x=()0,∞+由（1）可知，.()ln 1f x x '=+令解得.()0f x '=1=x e 与在区间上的情况如下：()f x ()f x '()0,∞+x10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－0＋()f x ↘极小值↗所以，的单调递增区间是；()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是.()f x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（3）当时，“”等价于“”.1x e e ≤≤()1f x ax ≤-1ln a x x ≥+令，，，.()1ln g x x x =+1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22111x g x x x x -'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令解得，()0g x '=1x =当时，，所以在区间单调递减.1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭当时，，所以在区间单调递增.()1,x e ∈()0g x '>()g x ()1,e 而，.1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭()11ln 1 1.5g e e e e =+=+<所以在区间上的最大值为.()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当时，对于任意，都有.1a e ≥-1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。
内蒙古赤峰市敖汉旗新惠中学等三校2021-2022学年高二下学期期中联考理科数学试题
则
A.
�
1
�+
e2 +5
2
�
�
��的值为
��
10.已知椭圆 C：
B.
e2+3
C.
2
e2 −5
D.
2
e2−3
2
x2 y2
＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为 A 和 B，P 是椭圆上
a 2 b2
不同于 A，B 的一点．设直线 AP，BP 的斜率分别为 m，n，则当
12
4
�2
9
= 1 共焦点且过点 2，2 6 的双曲线的标准方程为
2
2
B．� − � = 1
8
8
2
2
C．� − � = 1
12
4
2
2
D．� − � = 1
8
2
2
5．已知函数 f ( x) 的导函数为 f ( x ) ，且 f ( x ) x cos xf ，则 f
有一 项 是 符合 题 目 要 求 的 ， 请 将你 的 正 确 选 项填 涂 在 答 题 卡上 ）．
1. 已知集合 A = �
�+1
�−1
B. 0,1
A. 0, 1
≤ 0 ，B = y y = �2 ，则 A ∩ B =
C. −∞, −1 ∪ 1, +∞
D. −1, 1
2. 已知复数 z 的共轭复数为z，且满足 iz z 1 mi（ i 为虚数单位），则实数 m
16.已知函数� � = ln � + � 2 − �� + �在区间 1 ， 2 上不单调，则实数 b 的
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定远重点中学2017-2018学年第二学期期中考试高二（理科）数学试题注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。
第I卷（选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
)1.已知 f(x)=,则的值是（）A.-B.2C.D.-22.可导函数y=f（x）在一点的导数值为0是函数y=f（x）在这点取极值的（）A.充分条件B.必要条件C.必要非充分条件D.充要条件3.若复数是实数，则x的值为( )A.B.3C. D.4.设f（x）=x•cosx﹣sinx，则（）A.f（﹣3）+f（2）＞0B.f（﹣3）+f（2）＜0C.f（﹣3）+f（2）=0D.f（﹣3）﹣f（2）＜05.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为( )A.B.C.D.6.已知i 是虚数单位，若z （1+i ）=1+3i ，则z=（ ）A.2+ iB.2﹣iC.﹣1+ iD.﹣1﹣i7.如图，由曲线 直线 和 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A.B.C.D.8.已知a 为实数,若复数为纯虚数,则 的值为( ) A.1B.0C.D. 9.曲线()()2ln 0,0f x a x bx a b =+>>在点()()1,1f 处的切线的斜率为2，则8a b ab+的最小值是（ ）A. 10B. 9C. 8D. 10.“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A. 201620172⨯B. 201520182⨯C. 201520172⨯D. 201620182⨯11.设()'f x 为定义在上的函数()f x 的导函数，且()()'0f x f x x ->恒成立，则（ ）A. ()()3443f f >B. ()()3443f f <C. ()()3344f f >D. ()()3344f f <12.函数()21x y e x =-的示意图是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.计算： （﹣x ）dx= ．14.若12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数的值为. 15.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。
16.记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：可以推测，A B -=三、解答题(共6小题 ,共70分)17. (10分) 已知复数x 2+x ﹣2+（x 2﹣3x+2）i （x∈R）是4﹣20i 的共轭复数，求x 的值．18. (12分) 已知函数()3213=2532f x x x x -++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =与2y x m =+有三个不同的交点，求实数的取值范围.19. (12分) 已知函数. (1)求函数的单调区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值. 20. (12分) 已知数列，，，，为该数列的前项和． （1）计算； （2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明．21. (12分) 设y=f （x ）是二次函数，方程f （x ）=0有两个相等的实根，且f′（x ）=2x+2．（1）求y=f （x ）的表达式；（2）求y=f （x ）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．22. (12分) 某制药厂生产某种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为元，推销费用为()13t t ≤≤元，预计当每包药品销售价为元时，一年的市场销售量为()220x -万包，若从民生考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的02500，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的02000(1) 写出该药品一年的利润()w x (万元)与每包售价的函数关系式，并指出其定义域；(2) 当每包药品售价为多少元时，年利润()w x 最大，最大值为多少？参考答案1.A【解析】∵f(x)= ， ∴====﹣故选A2.C 【解析】对于可导函数f （x ）=x 3 ， f'（x ）=3x 2， f'（0）=0， 不能推出f （x ）在x=0取极值，故导数为0时不一定取到极值，而对于任意的函数，当可导函数在某点处取到极值时，此点处的导数一定为0．故应选 C ．3.A 【解析】 ， 因为复数是实数，所以。
选A.4.A 【解析】∵f（x ）=x•cosx﹣sinx ，函数是奇函数． ∴f'（x ）=﹣xsinx ，x∈（﹣π，π）， f′（x ）＜0，函数是减函数．如图：∴f（﹣3）+f（2）＞0．故选：A．5.D【解析】导函数，则函数单调递增，导函数，则函数单调递减，而不等式等价于或，结合图象可知不等式的解集为.选D。
6.A【解析】由z（1+i）=1+3i，得，直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．7.D【解析】由曲线直线和轴围成的封闭图形的面积是8.C【解析】复数为纯虚数，可得a=1，，故答案为：C.9.B【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b 1.2a += 8ab ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a ++5≥2+5=4+5=9，当且仅当22{ 8a b 2a b b a +==即13{ 43a b ==时，取等号.所以8a b ab+的最小值是9.故选B.10.B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142，故第1行的第一个数为：122-⨯，第2行的第一个数为：032⨯，第3行的第一个数为：142⨯，…第行的第一个数为：()212n n -+⨯ (n +1)×2n −2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是201520182⨯.11.A【解析】()()'0f x f x x ->，即()()'0xf xf x x ->，设()()f xg x x =，则()()()2''xf x f x g x x -=，当0x >时，()'0g x >恒成立，即()g x 在()0+∞，上单调递增，()()()()4343,43f f g g ∴>∴>，()()3443f f ∴>，故选A.12.C【解析】()()'21221x x x y e x e e x =-+=+，令y ′=0得x =−12，∴当x <−12时,y ′<0,当x >−12时,y ′>0，∴y = (2x −1)在(−∞,−12)上单调递减,在(−12,+∞)上单调递增，当x =0时,y = (0−1)=−1,∴函数图象与y 轴交于点(0,−1)； 令y = (2x −1)=0得x =12,∴f (x )只有1个零点x =12， 当x <12时,y = (2x −1)<0,当x >12时,y = (2x −1)>0， 综上，函数图象为C.故选C.13.【解析】由定积分的几何意义知dx 是由y= 与直线x=0，x=1所围成的图形的面积， 即是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的 ，故 dx= ，（﹣x ）dx=﹣ = ，∴ （﹣x ）dx= ．故答案为：．14.38 【解析】()()()()()122343846234343425a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+为纯虚数380460a a -=⎧∴⎨+=⎩ 83a ∴=15.1和3【解析】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3，故甲1和3【解析】通过观察归纳出：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；列出方程求出A ，B 的值，进一步得到A-B ．解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=16，A+12+512+B=1 解得B=-112， 所以A-B=16+112=14， 故答案为：1417.解：∵复数4﹣20i 的共轭复数为4+20i ，∴x 2+x ﹣2+（x 2﹣3x+2）i=4+20i ，根据复数相等的定义，得，解得x=﹣3．18.(Ⅰ) 单调递增区间为()(),1,2,-∞+∞，单调递减区间为()1,2；(Ⅱ)152m <<. 【解析】(Ⅰ) ()232f x x x =-+'2分 令()0f x '=，解得1x =或2x =. 4分 当12x x 或时， ()0f x '>；当12x <<时， ()0f x '<∴()f x 的单调递增区间为()(),1,2,-∞+∞，单调递减区间为()1,26分 （Ⅱ）令()2f x x m =+，即321325232x x x x m -++=+ ∴3213532x x m -+= 设()3213532g x x x =-+，即考察函数()y g x =与y m =何时有三个公共点 8分 令()0g x '=，解得0x =或3x =. 当03x x 或时， ()0g x '>当03x <<时， ()0g x '<∴()g x 在()(),0,3,-∞+∞单调递增，在()0,3单调递减 9分()()105,32g g ==10分 根据图象可得152m <<. 12分19.(1) 当时，的单调递增区间为，无减区间， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.【解析】(1)，函数的定义域为.当时，，则在上单调递增，当时，令，则或(舍负)，当时，，为增函数，当时，，为减函数，∴当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)解法一：由得，∵，∴原命题等价于在上恒成立，令，则，令，则在上单调递增，由，，∴存在唯一，使，.∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，∴时，，∴，又，则，由，所以.故整数的最小值为2.解法二：得，，令，，①时，，在上单调递减，∵，∴该情况不成立.②时，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，恒成立，即.令，显然为单调递减函数. 由，且，，∴当时，恒有成立，故整数的最小值为2.综合①②可得，整数的最小值为2.20.(1)(2) ，证明见解析. 【解析】（1）．（2）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想成立；② 假设当时，猜想成立，即， 当时，故当时，猜想成立．由①②可知，对于任意的，都成立．21.（1）解：∵f′（x ）=2x+2 设f （x ）=x 2+2x+c ，根据f （x ）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f （x ）=x 2+2x+1；（2）解：S= = ．22.（1）()()()[]()262012,15w x x t x x =---∈（2）()()3max232414327t w x w t +⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【解析】(1)由题意，()()()[]()262012,15w x x t x x =---∈(2) ()()()()()22322026203203t w x x x t x x x +⎛⎫=-----=--- ⎝'⎪⎭① 当12t ≤≤时，232123t +≤，()0w x '≤在[]12,15上恒成立，即()w x 为减函数，所以，()()max 1238464w x w t ==-万元②当23t <≤时，()23212,153t +∈，当232123t x +<<时()0w x '>， 当232153t x +<<时，()0w x '<，即()w x 在23212,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在232,153t +⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以，()()3max 232414327t w x w t +⎛⎫==-⎪⎝⎭万元。