高中数学(北师大版必修2)2.3.1空间直角坐标系的建立2.3.2空间直角坐标系中点的坐标

§2.3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系
一、基础过关
1． 在空间直角坐标系中，过点P (1，2，3)作平面xOy 的垂线PQ ，垂足为Q ，则Q 的坐标为__________．
2． 如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，BP ＝13
BD ′， 则P 点的坐标为____________．
3． 在空间直角坐标系中，P (2,3,4)，Q (－2,3，－4)两点的位置关于 ________对称．
4． 点P (a ，b ，c )关于原点的对称点P ′在x 轴上的射影A 的坐标为__________．
5． 设y ∈R ，则点P (1，y,2)的集合表示的轨迹为____________．
6． 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图(可看成是
八个棱长为12
的小正方体堆积成的正方体)．其中实圆•代表钠原子， 空间圆 代表氯原子．建立空间直角坐标系O —xyz 后，图中最上
层中间的钠原子所在位置的坐标是____________．
7． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为
1.请建立适当的坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．
8． 在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S 、A 、B 、C 、D 、E 的坐标．
二、能力提升
9． 点P (a ，b ，c )到坐标平面xOy 的距离是________．
10．如图所示，多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截 而得，其中AB ＝4，BC ＝1，BE ＝3，CF ＝4，按图建立空间直角
坐标系，则G 的坐标为__________．
11．如图，M —OAB 是棱长为a 的正四面体，顶点M 在底面OAB 上的
射影为H ，则M 的坐标是__________________________________________________．
三、探究与拓展
的空间直角坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
答案
1．(1，2，0)
2.⎝⎛⎭⎫23，23，13
3．y 轴
4．(－a,0,0)
5．垂直于xOz 平面的一条直线
6.⎝⎛⎭⎫12，12，1
7．解 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，
D (0,0,0)，A 1(1，0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，
E ⎝
⎛⎭⎫0，0，12， F ⎝⎛⎭⎫12，12，0， G ⎝
⎛⎭⎫1，1，12.
8．解 ∵在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，∴以点
A 为坐标原点，A
B 、A
C 、AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立
如右图所示空间直角坐标系．
∵SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，
∴A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，S (0,0，a )，D (a 2，a 2
，0)，连结AD ， ∵SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，
∴SA ⊥平面ABC ，则有平面SAD ⊥平面ABC ，交线为AD ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .
∵E 为SD 的中点，∴F 为AD 的中点，
∴EF ＝12AS ，∴E (a 4，a 4，a 2
)， 即点S (0,0，a )，A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，E (a 4，a 4，a 2
)． 9．|c |
10．(0,0,1)
11.⎝⎛⎭⎫36
a ，a 2，63a 12．解 如图所示，以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直
线为z 轴，过点A 与xAz 平面垂直的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．则 相关各点的坐标分别是 A (0,0,0)，B (1,0,0)，
C (32，32
，0)， D (12，32
，0)， P (0,0,2)，E (1，32
，0)． 13．解 因为AD 与两圆所在的平面均垂直，OE ∥AD ，所以OE 与两圆所在的平面也都垂
直．
又因为AB ＝AC ＝6，BC 是圆O 的直径，所以△BAC 为等腰直角三角形且AF ⊥BC ，BC ＝6 2.
以O 为原点，OB 、OF 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，则原点O 及A 、B 、C 、D 、E 、F 各个
点的坐标分别为O (0,0,0)、A (0，－32，0)、B (32，0,0)、
C (－32，0,0)、
D (0，－32，8)、
E (0,0,8)、
F (0,32，0)．。