编号51 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2杨辉三角与二次项系数的性质(一)
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
3、若
(x3
1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416
3.已知
x
4
1 x3
n 的展开式中只有第10项系数最大,
求第五项
解 依题意, n为偶数 且 n 1 10, n 18. 2
渐减小的，且中间项取得最大值。
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值
先增后减， 中间项取得最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
n
系数 Cn2 取得最大值；
n1
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn2
n1
Cn2 相等，且同时取得最大值。
知识对接测查2
C42 x2 6x2
1.在(1+x)4的展开式中，二项式系数最大的项是
C151
C171
C191
C 11 11
_1_0 ___
.
例2 求证Cn1 2Cn1 3Cn2 L nCnn n 2n1
分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为
Cn0 Cnn ,Cn1 Cnn1 Cnr Cnnr 由此分析求解
解 : 设Sn 0 Cn0 Cn1 2Cn1 3Cn3 L (n 1)Cnn1 nCnn
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经 出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说 明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上 两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪） 已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11 世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表 叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现 要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数 学的成就是非常值得中华民族自豪的
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn2．二项式系数的性质题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别例1、已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项． [解析] 令x ＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ，∴22n2n＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23 )3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23 )2(3x 2)3＝270x 223 . (2)设展开式中第k ＋1项的系数最大， 则由T k ＋1＝C k 5(x 23 )5－k (3x 2)k ＝3k C k 5x10+4k3， 得⎩⎨⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k5≥3k ＋1C k ＋15，∴72≤k ≤92，∴k ＝4， 即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23 )(3x 2)4＝405x 263 .例2、(1)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．(2)在(1＋2x )n 的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________． [答案] (1)7·x 35 和7·x 74(2)15360x 7 题型二、求展开式中各项系数之和例3、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. [解析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)由(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7－1－372＝－1 094.(3)由(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6－1＋372＝1 093.(4)方法一：(1－2x )7的展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093＋1 094＝2 187.方法二：∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|是(1＋2x )7展开式中各项的系数和． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.例4(1)(x ＋a x )·(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40(2)若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为________．[解析] (1)令x ＝1得，(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1，(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·25－r C r 5x5－2r. r ＝0、1、2、3、4、5.令5－2r ＝－1得r ＝3，令5－2r ＝1得，r ＝2.∴展开式的常数项为：(－1)3·22C 35＋(－1)2·23C 25＝40. (2)对于(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4， 令x ＝1得(2＋3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， 令x ＝－1得(3－2)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4， 两式相乘得1＝(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2， 故答案为1.题型三、与杨辉三角有关的问题例5、如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 19的值.[解析] 由图知，数列的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第18项是C 110，第19项是C 211，∴S 19＝C 22＋C 12＋C 23＋C 13＋…＋C 210＋C 110＋C 211 ＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋(C 33＋C 23＋…＋C 211)＝(2＋10)×92＋C 312 ＝54＋12×11×101×2×3＝274.例6、如图所示，满足：①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似杨辉三角，将第n (n ≥2)行的第m 个数记作a (n ，m )，则a (100,2)＝________.1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…[解析] 由a (n ，m )的定义知，a (100,2)表示表中第100行第2个数，注意观察可以发现，从第三行开始，每一行的第二个数都等于它的上一行肩上两个数字的和，故a (100,2)＝a (99,1)＋a (99,2)＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (98,2) ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋a (97,2)＝…… ＝a (99,1)＋a (98,1)＋a (97,1)＋…＋a (2,1)＋a (2,2) ＝(99＋98＋97＋…＋2)＋2 ＝98×(99＋2)2＋2＝4951. 题型四、求系数最大的项例7、已知(3x ＋x )2n 的展开式的二项式系数的和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数的和大992.求(2x －1x )2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．[解析] 由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)(2x －1x )10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510·(2x )5·(－1x )5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大， 则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1x )r＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r，∴⎩⎨⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1. ∴⎩⎨⎧C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110.即⎩⎨⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r . 解得83≤r ≤113.∵0≤r ≤10，且r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝－15360x 4. 例8、已知(1＋2x )n 的展开式所有的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的系数最大项．[解析] (1)由题意知2n ＝128，所以n ＝7.在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.(2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎨⎧ C r 72r ≥C r －172r －1，C r 72r ≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎨⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5. 例9、已知(2x －1)n 的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求C 2n ＋C 4n ＋C 6n ＋…＋C n n 的值.[正解] 设f (x )＝(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，且奇次方项系数和为A ，偶次方项系数和为B ，则依题意可得，A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，且B －A ＝316，令x ＝－1得，f (－1)＝(－3)n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ＝(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…) ＝B －A ＝316＝(－3)16， ∴n ＝16.从而C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝C 016＋C 216＋C 416＋…＋C 1616＝216－1＝215. ∴C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝215－1.课后作业一、选择题 1．若(3x －1x)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是( ) A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项[答案] C[解析] 令x ＝1，得出(3x －1x)n的展开式中各项系数和为(3－1)n ＝256，解得n ＝8； ∴(3x －1x)8的展开式通项公式为： T r ＋1＝C r 8·(3x )8－r ·(－1x)r ＝(－1)r ·38－r ·C r 8·x 4－r ， 令4－r ＝0，解得r ＝4.∴展开式的常数项是T r ＋1＝T 5，即第5项．故选C ．2．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数[答案] A[解析] 9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋19n ＋…＋C n －1n ＋192＋C n n ＋19＋C n ＋1n ＋1)－19 ＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数， ∴n ＋1为偶数，∴n 为奇数．3．若a 为正实数，且(ax －1x)2016的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2016项为( )A ．1x 2016B ．－1x 2016C ．4032x 2014D ．－4032x2014[答案] D[解析]由条件知，(a －1)2016＝1，∴a －1＝±1， ∵a 为正实数，∴a ＝2. ∴展开式的第2016项为： T 2016＝C 20152016·(2x )·(－1x )2015 ＝－2C 12016·x －2014＝－4032x－2014，故选D ．4．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A ．2B ．54 C ．1 D ．24[答案] C[解析] 二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．已知(x －ax )8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________.[答案] 1或38[解析] T r ＋1＝C r 8x 8－r(－a x )r ＝(－a )r ·C r 8·x 8－2r，令8－2r ＝0得r ＝4，由条件知，a 4C 48＝1120，∴a ＝±2， 令x ＝1得展开式各项系数的和为1或38.6．在二项式(x ＋3x )n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B＝72，则n ＝________.[答案] 3[解析] 由题意可知，B ＝2n ，A ＝4n ，由A ＋B ＝72，得4n ＋2n ＝72，∴2n ＝8，∴n ＝3. 7．设(1－2x )2017＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2017x 2017(x ∈R ).(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2017|的值． [解析] (1)令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2017＝(－1)2017＝－1①(2)令x ＝－1，得：a 0－a 1＋a 2－…－a 2017＝32017② ①－②得：2(a 1＋a 3＋…＋a 2015＋a 2017)＝－1－32017， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝－1＋320172.(3)∵T r ＋1＝C r 2017·12017－r ·(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2017·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N *)，a 2k >0(k ∈N *)． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2017| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2016－a 2017 ＝320178．若n 为正奇数，则7n ＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n ·9(－1)n －1＋(－1)n －1，n 为正奇数，(－1)n －1＝－2＝－9＋7，则余数为7.9．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，则(1)a 8＋a 7＋…＋a 1＝________； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________. [答案] (1)255 (2)32896 [解析] 令x ＝0，得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.② ①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32 896.10．在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．[解析] 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.11．在二项式(x ＋12x)n的展开式中，前三项系数成等差数列.(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项．[解析] (1)二项式(x ＋12x )n 的展开式中，前三项系数分别为1，n 2，n (n －1)8，再根据前三项系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8，求得n ＝8或n ＝1(舍去)．故二项式(x ＋12x)8的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r . 令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式的常数项为T 5＝C 48·(12)4＝358. (2)设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎨⎧C r 8·(12)r ≥C r ＋18·(12)r ＋1C r 8·(12)r≥C r －18·(12)r －1，求得2≤r ≤3，因为r ∈Z ，所以r ＝2或r ＝3，故第三项和第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为T 3＝7x 2，T 4＝7x .。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
20-21版：1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质（步步高）
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解“杨辉三角”与二项式系数之间的关系.2.掌握二项式系数的性质及其应用.3.掌握“赋值法”并会灵活运用．知识点一杨辉三角的特点1．在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n.知识点二二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n －mn增减性与最大值增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn-，12Cnn+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－11．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(×)2．二项展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.(×)3．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(×)4．二项展开式项的系数是先增后减的．(×)一、与杨辉三角有关的问题例1(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144 B．146C．164 D．461答案(1)B(2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22,第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思感悟解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．(2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,所以C 13n ∶C 14n ＝2∶3,即14n －13＝23，解得n ＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 二、二项式系数的性质例2 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32， ∴n ＝5.(2)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝223270.x 反思感悟 二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练2 (1)已知⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n ＝________. 答案 10解析 只有第6项的二项系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.(2)已知⎝⎛⎭⎫4x ＋1x n 展开式中的第4项是常数，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第7项 B ．第8项C ．第9项D ．第8项和第9项答案 D解析 通项公式T k ＋1＝C k n (4x )n －k⎝⎛⎭⎫1x k ＝C kn 54,n kx -∴T 4＝C 3n 154n x为常数，∴n ＝15，又每项的系数与二项式系数相等，且n ＝15， ∴第8项和第9项的系数最大． 三、二项式系数和的应用例3 已知(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求下列各式的值： (1)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.解 (1)令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝－1.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 5＝－2.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35，②由(1－2x )5的通项公式T k ＋1＝C k 5(－2)k ·x k知a 1，a 3，a 5为负值，a 0，a 2，a 4为正值， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由①－②得a 1＋a 3＋a 5＝－1－352＝－122.反思感悟 (1)赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．(2)一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．跟踪训练3 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.1．(2x －3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为( ) A ．210B ．29C.510－12D.－1－5102答案 B2．(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是( ) A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项答案 C3．(2x －1)6展开式中各项系数和为m ，二项式系数和为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．129 B ．65 C ．63 D ．33 答案 B解析 依题意，令x ＝1得m ＝1，又n ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64，∴m ＋n ＝65.4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．答案 2n －1解析 每行两端的数依次为1,3,5,7,9，…，故第n 行两端的数为2n －1. 5．(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8＝______. 答案 180解析 由题意可知，a 8是x 8的系数， 所以a 8＝C 810·22＝180.1．知识清单： (1)杨辉三角的应用． (2)二项式系数的性质． (3)二项式系数和的应用．2．方法归纳：归纳法、赋值法．3．常见误区：易将二项式系数和项的系数混淆；利用赋值法求二项式系数的和导致错误．。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项： 公式中的r n
C 叫做 【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1： ，即
直线 将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当 时，二项式系数是逐渐增大的；
当 时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第 项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第 项的二项式系数最大.
③性质3： ， 即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
n(n－1)(n－2)…(n－k＋1) (k－1)！k
ห้องสมุดไป่ตู้－1
＝Ck n
n－k＋1 ， k
n－k＋1 k－1 所以 Ck 决定．由 n相对于 Cn 的增减情况由 k n－k＋1 n＋1 >1 k< k 2 n＋1 可知，当 k< 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小 2 n 的，且在中间取得最大值．当 n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是 2 n－1 n＋1 n－ 1 n＋1 奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 C n＝C n，即 C n，C n 2 2 2 2 最大． (板书)(3)增减性与最大值：二项式系数由两边向中间增大，并且在中间取得最大值．当 n n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即 C n 最大；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同 2 n－1 n＋1 时取得最大值，即 C n＝C n 最大． 2 2 设计意图： 由于二项式系数组成的数列是一个离散函数， 所以我们应该引导学生从函数 的角度或从特殊值的角度研究二项式系数的性质． 这样处理便于建立知识的前后联系， 使学 生体会用函数知识研究问题的方法， 体会由特殊到一般的化归思想． 难点是需要根据 n 的奇 n 偶性确定相应的分界点，教学时应该引导学生分析其对称轴实际上是 k＝ ，从而学生可以 2 比较容易地理解并记住最值在哪一项被取到． 提出问题 4：计算“杨辉三角”中每一行的和，观察其规律，并写出其公式． 活动设计：学生自主探究，归纳整理，踊跃发言，教师应该多加鼓励，但是不能代替学 生，自始至终都要保护学生的积极性，保持学生的主体性，教师仅仅是一名导演而已． 活动成果：已知 1 2 2 r r n n (1＋x)n＝C0 n＋Cnx＋Cnx ＋…＋Cnx ＋…＋Cnx ， 令 x＝1，则
“杨辉三角”与二项式系数的性质
“杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn ． 2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C nn ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，Cn ＋12n相等，且同时取到最大值．(3)各二项式系数的和： ①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.对二项式性质的理解(1)求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到次数等限制条件．(2)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的二项式系数个数相等．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的．( ) (3)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×在(a ＋b )10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项答案：C在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )A．8 B．9C．10 D．11答案：C如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．答案：2n－1探究点1 与杨辉三角有关的问题(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146C．164 D．461【解析】(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.【答案】(1)B (2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C01、C11；第2行中的数是C02、C12、C22；第3行中的数是C03、C13、C23、C33；…；第n行中的数是C0n、C1n、C2n、…、C n n.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C13n∶C14n＝2∶3，解之得n＝34.答案：34探究点2 二项式系数和问题已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T r＋1＝C r5(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2(a 1＋a 3＋a 5)＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.[变问法]在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解：(1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数， 所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， 所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n， 则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2， 偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1.如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，那么n 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选A.因为展开式中各项系数之和为128，所以令x ＝1，得2n＝128，所以n ＝7. 2．若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是( ) A ．－2 B ．－3 C ．125D ．－131解析：选C.由题意可知a 8＝(－2)7＝－128，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝125.故选C. 探究点3 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项已知二项式(12＋2x )n.(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 【解】 (1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ， 所以n 2－21n ＋98＝0， 所以n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×(12)4×23＝352，T 5的系数为C 47×(12)3×24＝70.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， 所以T 8的系数为C 714×(12)7×27＝3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432. (2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第(r ＋1)项的系数最大， 由于(12＋2x )12＝(12)12·(1＋4x )12，则⎩⎪⎨⎪⎧C r12·4r≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，所以9.4≤r ≤10.4.又r ∈{0，1，2，…，12}，所以r ＝10， 所以系数最大的项为T 11，且T 11＝(12)12·C 1012·(4x )10＝16 896x 10.(1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －23x n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3. (1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项． 解：(1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3， 解得n ＝10，因为通项：T r ＋1＝C r10(x )10－r⎝⎛⎭⎪⎪⎫－23x r＝(－2)r C r10x 5－5r 6，当5－5r 6为整数时，r 可取0，6，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440.(2)设第r ＋1项系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r102r≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1，2，3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，T 8＝－15 360x －56，又因为当r ＝0时，T 1＝x 5，当r ＝10时，T 11＝(－2)10x －103＝1 024x －103，所以系数绝对值最大的项为T 8＝－15 360x －56.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第6项 B ．第8项 C ．第5，6项D ．第6，7项解析：选D.由n ＝11为奇数，则展开式中第11＋12项和第11＋12＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．2．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 4的系数为( )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：选B.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的二项展开式的各项系数和为32，所以令x ＝1得2n＝32，所以n＝5.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的二项展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，得r ＝2，故二项展开式中x 4的系数为C 25＝10.3．已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．212B ．211C ．210D ．29解析：选D.因为(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.4．若C 2n ＋620＝C n ＋220(n ∈N *)，且(2－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 2n ＋620＝C n ＋220可知n ＝4，令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝34＝81.知识结构深化拓展释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.[A 基础达标]1．若(x 3＋1x2)n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10解析：选A.由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210. 2．已知(x ＋33x)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选C.令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( ) A ．32 B ．1 C ．－243D ．1或－243解析：选B.展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r5·a 5－r·x r，令r ＝2，则a 2＝(－1)2C 25·a 3＝80，故(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1. 4．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70D ．80解析：选C.因为(1＋2)5＝C 05(2)0＋C 15(2)1＋C 25(2)2＋C 35(2)3＋C 45(2)4＋C 55(2)5＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， 由已知可得41＋292＝a ＋b 2， 所以a ＋b ＝41＋29＝70.5．设(1＋x ＋x 2)n＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB.3n－12 C ．2n ＋1D.3n＋12解析：选D.令x ＝1得3n＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n .① 令x ＝－1得1＝a 0－a 1＋a 2－…－a 2n －1＋a 2n .② ①＋②得3n＋1＝2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )， 所以a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n＋12.故选D.6．在⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于________．解析：依题设，得2n＝256，解得n ＝8. 通项C r8·x8－r 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 8(－2)r·x 8－4r 3，令8－4r 3＝0，得r ＝2.故常数项为C 28(－2)2＝112.答案：1127．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________． 解析：设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5. 令x ＝1，得(a ＋1)×24＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×32，所以 a ＝3. 答案：38．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11的值为________． 解析：令x ＝1，得a 0＝－2. 令x ＝2，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0.所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2. 答案：29．已知(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)求(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9)2. 解：(1)令f (x )＝(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10， 则a 0＝f (0)＝25＝32， 又a 0＋a 1＋…＋a 10＝f (1)＝0， 故a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32.(2)(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝f (1)f (－1)＝0. 10．已知(x ＋m x)n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值；(3)若(x ＋m )n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8. (2)设常数项为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 8x8－r (m x)r ＝C r 8m r x 8－2r， 故8－2r ＝0，即r ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12.(3)易知m >0，设第r ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧C r 8m r≥C r －18m r －1C r 8m r ≥C r ＋18mr ＋1， 化简可得8m －1m ＋1≤r ≤9m m ＋1.由于只有第6项和第7项系数最大， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7.即⎩⎪⎨⎪⎧54<m ≤2，2≤m <72.所以m 只能等于2.[B 能力提升]11．若(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－1解析：选D.(1－2x )2 017＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 017x2 017，令x ＝12，则(1－2×12)2 017＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝0，其中a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01722 017＝－1.12．(2018·合肥模拟)487被7除的余数为a (0≤a ＜7)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式中x －3的系数为( ) A ．4 320 B ．－4 320 C ．20D ．－20解析：选B.因为487＝(49－1)7＝C 07·497－C 17·496＋…＋C 67·49－1，所以487被7除的余数为6，所以a ＝6.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(－6)r ·x 6－3r，令6－3r ＝－3，得r ＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －6x 26的展开式中x －3的系数为C 36·(－6)3＝－4 320.13．已知(x 23＋3x 2)n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则展开式中各项系数的和为(1＋3)n ＝22n，又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n－2n＝992，解得n ＝5，所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r5(x 23)5－r(3x 2)r ＝3r C r5x10＋4r 3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15⇒72≤r ≤92，又r ∈N，所以r ＝4.即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405263.14．(选做题)在杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．(1)利用杨辉三角展开(1－x )6；(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3∶4∶5?解：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1，所以(a ＋b )6＝a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 6.令a ＝1，b ＝－x ，得(1－x )6＝1－6x ＋15x 2－20x 3＋15x 4－6x 5＋x 6.(2)设在第n 行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C k －1n ，C kn ，C k ＋1n ，则有⎩⎪⎨⎪⎧34＝C k －1nC k n，45＝Ck n Ck ＋1n，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝n ！（k －1）！（n ＋1－k ）！×k ！（n －k ）！n ！，45＝n ！k ！（n －k ）！×（k ＋1）！（n －1－k ）！n ！，所以⎩⎪⎨⎪⎧34＝kn ＋1－k ，45＝k ＋1n －k，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －7k ＝－3，4n －9k ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，k ＝27，即在第62行会出现C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。
1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
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二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．精品课件
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
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例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
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内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2杨辉三角和二项式系数性 质
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杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
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杨辉三角
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
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杨辉三角
高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
(a + b)1 (a + b)2
11 121
P353
(a + b)3
13 31
(a + b)4
14 6 41
(a + b)5
1 5 10 10 5 1
(a + b)6
1 6 15 20 15 6 1
规律
1：(1)
Cn0
=
C
n n
=
1
当n不大时，可借
(2)
C
m n
=
C n-m n
助“杨辉三角”直接得
n +1 项）的
2
n
二此当 二项两n项为式项式奇系二系数数项数时最式相：大系等中数且，间是最此两：大项项二C（项nn第2-1式n系2C1数+nn12是+1项：）C的n2
思考题:已知二项式 ( a + b )15
(1)求二项展开式中的中间项；
(2)比较T3, T7 , T12 , T13项中二项式系数的大小,
由 ( 1 + 2 ) 2 得 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093
【练习】已知( 1 + 2 x)n .若展开式前三项的二项式系数和等于 2
79，求展开式中系数最大的项．
(((解222)))：∵∵∵∵CCC00nn0nC＋＋＋0n＋CCC1n1n1nC＋＋＋1n＋CCC2n2n2nC＝＝＝2n＝777999，7，，9∴，∴∴n∴nn222＋＋n＋2n＋nn－－－n1－115556166＝5＝＝60＝00. ..0. ∴∴∴nnn＝＝＝＝11112222或或或或 nnnn＝＝＝＝－－－－11113333((((舍舍舍舍去去去去)))． )．．．设设设设TTTTkk＋kk＋＋＋1111项项项项的的的的系系系系数数数数最最最最大大大大，，，，
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
(C ) (D)第九项 (D)第九项
类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261 类似上面的表 早在我国南宋数学家杨辉 早在我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现 这个表称为杨辉三角.在书中 在书中, 了,这个表称为杨辉三角 在书中,还说明了表 里"一"以外的每一个数都等于它肩上两个数 的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书, 的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书, 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 贾宪( 世纪) 且我国北宋数学家贾宪(约公元 世纪)已经 用过它.这表明我国发现这个表不晚于 世纪.在 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 用过它 这表明我国发现这个表不晚于 世纪 在 欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡 欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡 (1623-1662)首先发现的,他们把这个表叫做 )首先发现的, 帕斯卡三角.这就是说 这就是说, 帕斯卡三角 这就是说,杨辉三角的发现要比欧 早五百年左右, 洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成 就是非常值得中华民族自豪的. 就是非常值得中华民族自豪的
C 与C
k n
k 1 的大小. n 的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大, 从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后 又逐渐减小. 又逐渐减小. n! nk +1 n! nk +1 k1 k Cn = = = Cn k! (nk)! k (k 1)! (nk +1)! k (4)各二项式系数的和. (4)各二项式系数的和. 各二项式系数的和
2 n
令a=1,b=-1得 , - 得
启示:在二项式定理中,对a,b赋予一些特定的值, 启示:在二项式定理中, , 赋予一些特定的值, 赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法. 赋值法. 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法
“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)
作业布置
1.求证 : 1 2 2 2 25 n 1能被31整除.
11 2 析 : 原式 1 2
5n
2
5n
1 32 1 31 1 1
n n
2.用88除8788 7, 所得余数是（ ） A.0 B.2 C.7 D.8
式系数最大，所以系数最小的项为
5 5 T6＝C10 a (-b)5＝－252a 5b5 .
答案：－252a5b5
探究：利用二项式定理解决整除及余数问题
例1.求证： 3 8n 9能被64整除. 例2.求91 除以 100 的余数.
【总结提升】一般地，要证明A能被B整除，即证明A中 含有B的因式，常用的变形手段与技巧是拆数，往往将 底数拆成两数之和，其中一数是除数或它的倍数.
92
2n2
1.证明： 3
2n2
8n 9 8 1
n 1
8n 9
0 n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 n 1 n 1 0 Cn 8 C 8 C 8 C 8 C 8 C 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 8 8n 9 0 n 1 1 n 2 n 1 n 1 2 Cn 8 C 8 C 8 C 1 n 1 n 1 n 1 8 n 18 1 8n 9
1.设S＝(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4 (x－1)+1=( Ｃ )
A. (x－2)4
B.(x－1)4
C. x4
D. (x+1)4
解:公式的逆用S=[(x－1)+1]4 =x4
2.若 2 x 3 _____ 1 .
1.3.2杨辉三角及二项式系数的性质
如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;
这就是著名的
第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行
1
1 1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(3) f (1) a0 a1 a2 a7 ① f (1) a0 a1a2 a3 a7 ②
总结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解. 2 3 4 练习（ : 1 x x x ） 的展开式中奇次项
系数和是 ______
k n
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定． k
k n
k 1 n
二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由：n k 1 1 k n 1
k 2
n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可 知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取 得最大值。
m n m n 1
m 1 n
例题分析: 例1．证明： （1）(a + b)n 的展开式中,各二项式系数 0 1 2 r n 的和 Cn Cn Cn Cn Cn 2n
令a=b=1，则 2 C C C
n 0 n 1 n 2 n
C
r n
C
n n
启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此
0
…… …… 2 r n 2 r 1 1 … C n 1 C n 1 … C n 1 第n-1行 1 C n 1 C n 1 1 r n 1 2 1 … … C C 第 n行 1 C n C n 1 n n …… … … (a b)n
“杨辉三角”与二项式系数的性质
合作学习
思维聚焦
1.二项式系数的性质既可以通过观察杨辉三角得到，也可 以通过逻辑推理直接得到：
由组合数性质“Cnm＝Cnn－m”可得到对称性，即 Crn＝Cnn－r. 由 Ckn＝nn－1n－2k…－1n－！k·＋k 2n－k＋1＝n－kk＋1Ckn－1 可知，Cnk相对于 Ckn－1的增减情况将由n－kk＋1与 1 的大小关系 决定．
二项式系数表与杨辉三角中每行的数值对应相同吗？
提示：不相同．二项式系数表第一行是两个数，而杨 辉三角的第一行只有一个数，事实上，二项式系数表中的 第 n 行与杨辉三角中的第 n＋1(n∈N*)行对应数值相等．
如图所示，在杨辉三角中，第 n 条和 第 n＋1 条细斜线上各数之和与第 n＋2 条细斜线各数之和的关系如何？并证 明你的结论．
(3)由(2)得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1① 令 x＝1，y＝－1，
得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝59② ①＋②得 a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－2 1， 即所有奇数项系数之和为59－2 1.
(4)Tr＋1＝Cr9(2x)9－r(－3y)r ＝(－1)rCr9·29－r3rx9－ryr， 因此当 r＝1,3,5,7,9 时，Tr＋1 的系数小于 0. 即 a1，a3，a5，a7，a9 均小于 0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| ＝a0－a1＋a2＋…＋a8－a9＝59.
时取得最大值．
(3)各二项式系数的和： (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于__2_n ____， 即⑪___C_0n_＋__C_1n_＋__C_2n_＋__…__＋__C_rn_＋__…__＋__C_nn_＝__2_n____.
(4)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项
1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
n 1 n 1 2 n 2 r n r 即 C0 ＝ C ， C ＝ C ， C ＝ C ，…， C ＝ C n n n n n n n n .
－ － －
n －m 事实上，这一性质可直接由公式 Cm ＝ C n n 得到．
• 2．如果二项式的幂指数是偶数， 中间一项 的二项式系数最大；如果二项 式的幂指数是奇数， 中间两项 的二项 式系数相等并且最大． 2n • 3．二项式系数的和为 ，即
• 1．3.2 “杨辉三角”与二项 式系数的性质
• 1．能用不完全归纳法写出杨辉三角形；能根据 杨辉三角形(a＋b)n(n≤6)的二项式进行展开； • 2．能根据组合思想及不完全归纳法猜出二项展 开式的系数，C(r＝0,1,2，…，n，n∈N*)以及二 项式的通项Tr＋1＝C·an－r·br；
• 3．能正确区分二项式系数和某一项的系数；能 应用定理对任意给定的一个二项式进行展开， 并求出它特定的项或系数． • 4．掌握二项式系数的性质， 通过介绍“杨辉三 角”，对学生进行爱国主义教育．
n－k＋1 n＋1 n－k＋1 >1，即 k< 时，二项式系数增大．而当 k 2 k n＋1 ≤1(即 k≥ 2 )时，Ck n的值转化为不递增而递减了．又因 为与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，所以 二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最 大的项必在中间．
当 n 是偶数时，n＋1 是奇数，展开式共有 n＋1 项，
• 本节重点：二项式系数的性质． • 本节难点：二项式系数性质的应用．
1．由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质， 同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项 的二项式系数，借助“杨辉三角”也很容易记忆组合数性
r－1 r 质 Cr ＝ C ＋ C n ＋1 n n.
“杨辉三角”与二项式系数的性质 (3)
,令r=7,则
1 n 21 =0,解得
22
213r
n=21,通项公式可化简为 Cr21gx 2 .由于n=21, Cr21 一共
有22项,其中最大的项为r=10,11两项,即展开式的第
11项和第12项.
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16
3.(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项所在的项
数是 ( )
50
角度2 展开式中的最大项问题
【典例】1.(2019·拉萨高二检测)已知二项式
(a x 1 )n (a>0)的展开式的第五、六项的二项式系数
3x
相等且最大,且展开式中x2项的系数为84,则a为 ( )
A.2
B.1
C. 1
D. 3
5
10
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51
2.(2019·邻水高二检测)已知(1+3x)n的展开式中,末
C130
82
2
9
164.
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27
【内化·悟】 (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的哪 一行? 提示:对应杨辉三角的第(n+1)行.
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28
【类题·通】 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
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29
【习练·破】 1.如图所示,满足①第n行首尾两数均为n; ②表中的递推关系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2 个数是________.
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43
2.利用二项式系数公式,T3= C120 ( 2)8 x2 =720x2,故a2=720, 利用赋值法,令x=±1有a0+a1+…+a10= ( 2 1)1,0 a0-a1+a2…+a10= ( 2 1)10, 故(a0+a2+a4+…+a10)2 - (a1 a3 a5 a9 )2
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编号51 1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》
制作王俊兰审核高二数学组 2016-05【学习目标】
1.了解杨辉三角，并能有它解决简单的二项式系数问题.
2.了解二项式系数的性质并能简单应用.
3.掌握“赋值法”并会灵活应用.【预习导航】
1.计算()n
b
a+
展开式的二次项系数填入下表
1.你能发现什么规律？
2. 通过查资料认识“杨辉三角”.
3. 复习二项式定理与二项式系数.
探究活动一：“杨辉三角”
1）．“杨辉三角”的来历.
2）.你能从“杨辉三角”中发现什么规律吗？
探究活动二：函数角度下的二项式系数
探究活动三：二项式系数的性质
1）.
2）.
3）.
【应用训练】
例1 证明：在()n b
a+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
例2 已知
n
x
x⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
2
3的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的
二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项系数．
变式：()n x2
1+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
【课堂巩固练习】
1.
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C1
3
2
12
4
2-
+
+
+
+
等于（）
2. (
)9b
a+的展开式中，二项式系数的最大值为____________.
3. 若
()n b
a+的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则
n=_________.
4. 已知二项式
n
x
x⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
2
1
2的展开式中，前三项的二项式系数
和是56.求：
（1）n的值；
（2）求展开式中的常数项.
【课堂小结】
本节课的收获：
【课后作业】
n
A3.1
3.-
n
B
2
1
3
.
-
n
C1
2
3
.-
n
D。