上海市金山中学2017_2018学年高二数学10月月考试题
上海市金山中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题
金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷(时间120分钟 满分150分)一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题 至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分.「0,x cO,1 •已知函数 f(x)贝y f (f (x))=.Igo,2•若以(］；3)为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数 a 的取值范围为 ________ •3.若直线I 过点A( -1,3 ),且与直线x -2y -3 = 0垂直，则直线I 的方程为 _____________________ . 4•已知圆的方程为 x 2 +y 2 =4，则经过点(1,J3)的圆的切线方程为 __________________________5•若不等式组x -1 -2016,的解集中有且仅有有限个实数，则 a 的值为I x+1Ea,6•已知函数 f (x )=Iog 3+2 | ,则方程 f "*(x ) = 4的解 x = ____________________ •\x 丿 7.已知直线2x ，y-2=0和mx-yT=0的夹角为一，则m 的值为4x y _2,I 7&若实数x,y 满足＜x —y 兰2,则z=2x —y 的取值范围是 _______________ .0乞y 乞3,9 •在数列 咕鳥中，已知a n =4n -1，则过点P 4,a 2017和点Q 3,a 2018的直线的倾斜角是 _________ .(用反三角函数表示结果)2 210设F 2分别为椭圆—y 1的左、右焦点，36 2711 •已知函数f X =x 2 b-4-a 2 X ・2a-b 是偶函数，则函数图像与 y 轴交点的纵坐的最大值是 _________ •A 为椭圆上一点，且OBOA OF 12 1熬冷涨OF ；,则12.定义变换T将平面内的点P x, y (x —0, y—0)变换到平面内的点Q n .X y若曲线C o：1(x_0, y_0)经变换T后得到曲线G，曲线G经变换T后得到曲线C2,4 2…，依次类推，曲线C n j经变换T后得到曲线C n，当N*时，记曲线C n与x, y轴正半轴的交点为A n a n,0和B n 0,0 ,记D n •某同学研究后认为曲线C n具有如下性质：①对任意的n・N*，曲线C n都关于原点对称；②对任意的n・N*，曲线C n恒过点0,2；③对任意的n・N*，曲线C n均在矩形OA n D n B n (含边界)的内部；④记矩形OA n D n B n的面积为S n，则lim S n=1.其中所有正确结论的序号是n_jpc二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案•考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.2 213. 4 : k ：6是“方程—y1表示椭圆”的()6 —k k -4(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件14. 已知向量a =b满足a〔=1,肖=2, a,b的夹角为120°,则a -2b等于()(A) 3 (B) . 15 (C) ,21 (D) 515 .已知函数f(x) = log 2(x2-ax - 3a)在区间［2/ ::)上是增函数，则a的取值范围( )(A)(_：：,4] ( B)(_：：,2] (C) (- 4,4] ( D) [-4,4116. 如图，已知h _ 12,圆心在l1上、半径为1m的圆O在t = 0 时与l2相切于点A,圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x ,令y = cosx,则y与时间t(0岂t乞1,单位：s)的函数y二f (t)的图像大致为()三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分12分)本题共有2个小题，第⑴ 小题满分6分，第⑵ 小题满分6分已知集合A = {y y = -2x,x^ b,3 ", B = {x (x — a )(x — a +3) > 0〉.(1) 当a - -4 时，求A「| B ；(2) 若A B，求实数a的取值范围.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第⑵ 小题满分8分.已知向量a = 2cos2 x, 3 , b 二1,sin2x，函数f(x)二a b,(1)求f (x)的单调增区间；(2)在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，R ABC外接圆的半径,■2灯3且f (C) = 3 , c = 1 , sin As in B 2 , a > b，求a、b 的值.4R19. (本题满分16分)本题共有2个小题，第⑴ 小题满分8分，第⑵ 小题满分8分.如图，已知直线丨：x • 3y -c =0(c . 0)为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在0处发现了北偏东60：海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以便上海轮后逃窜。
2017-2018学年上海市金山中学高二上学期期末考试数学试题
金山中学2017-2018学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1．已知复数ii z +=2(i 为虚数单位)，则=||z ．2．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．3．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．4．62x ⎛- ⎝的展开式中的常数项的值是 ．5．已知实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则34z x y =+的最大值是 ．6．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232=+-a x x 的一个根,则实数=a ．7．已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，1260F PF ∠=︒,则=⋅||||21PF PF ．8．某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ．9． 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 上到直线l的点的个数为____________． 10．已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是关于x 的方程02=++q px x （,p q 是常数）的两个实根，则直线AB 的方程是 ． 11．在ABC∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅ ()R θ∈，则()PA PB PC +⋅ 的最小值是 ．12．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆C 上任一点，M=||||||||2121PF PF PF PF ⋅+-。
2017-2018年上海市金山区高二下期末数学试卷及答案
2017-2018年金山区高二下期末数学试卷一. 填空题1. 复数(13)z i i =-（i 为虚数单位）的虚部是2. 关于x 的方程240x x k ++=有一个根为23i -+（i 为虚数单位），则实数k =3. 球的表面积为16π，则该球的体积为4. 261(2)x x-的展开式中的常数项是 （结果用数值表示）5. 已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为6. 一个圆锥的侧面积等于其底面面积的两倍，则这个圆锥的母线与底面所成角的大小是7. 在正方体的12条棱中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为 （结果用最简分数表示）8. 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 （结果用数值表示）9. (12)n x +的二项展开式中，含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则正整数n =10. 若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为45°，则其体积为11. 已知复数z a bi =+（a 、b ∈R ，i 为虚数单位），1z 、2z ∈C ，定义运算：()||||||||D z z a b ==+和1212(,)||||D z z z z =-，给出下列命题：（1）对任意z ∈C ，都有()0D z >；（2）若z 是复数z 的共轭复数，则()()D z D z =恒成立；（3）若12()()D z D z =，则12z z =；（4）对任意1z 、2z 、3z ∈C ，131223(,)(,)(,)D z z D z z D z z ≤+恒成立.其中真命题的序号是 （写出所有的正确序号）12. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ︒∠=，6AC =，12BC CC ==，P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是二. 选择题13. 设a 、b ∈R ，i 为虚数单位，则“0ab =”是“复数a bi +为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件14. 给出下列四个命题：（1）异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线；（2）若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则//l α；（3）若直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直，则m α⊥；（4）两条异面直线中的一条垂直于平面α，则另一条必定不垂直于平面α. 其中正确命题的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个15. 从装有1n +个不同小球的口袋中取出m 个小球（0m n <≤，m 、n ∈*N ），共有1m n C + 种取法，在这1mn C +种取法中，可以视作分成两类：第一类是某指定的小球未被取到，共有01m n C C ⋅种取法；第二类是某指定的小球被取到，共有111m n C C -⋅种取法，显然011111m m m n n n C C C C C -+⋅+⋅=，即有等式：11m m m n n n C C C -++=成立，试根据上述想法，下面式子 1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅（其中1k m n ≤<≤，k 、m 、n ∈*N ）等于（ ）A. m n k C +B. 1m n k C ++C. 1m n k C ++D. k n m C +16. 201881除以100的余数是（ ）A. 21B. 41C. 61D. 81三. 解答题17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）.18. 设z 是关于x 的方程20x mx n ++=（m 、n ∈R ）的虚根，i 为虚数单位.（1）当z i =时，求m 、n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数34i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.19. 在如图所示的空间直角坐标系中，(0,0,2)P ，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，D 在y 轴上，四边形ABCD是正方形，点E 、F 、G 分别为线段P A 、PD 和CD 的中点.（1）求异面直线EG 与BD 所成角的大小；（2）在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为45？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由.20. 在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1AA 的长；（2）画出几何体111ABCD AC D -的三视图；（3）求二面角111B AC D --的大小.（结果用反三角函数值表示）21. 已知三棱锥P -ABC 中，90APB BPC CPA ︒∠=∠=∠=，PA a =，PB b =，PC c =，设ABC S S=，1PBC S S =，2PAC S S =，3PAB S S =，PO ⊥底面ABC 于O ，PO h =，设 1OBC S S '=，2OAC S S '=，3OABS S '=. （1）已知16S =，12S '=，求S ，并写出1S 、1S '、S 满足的一个等式关系（不必证明）；（2）已知15S =，26S =，9S =，求3S 的值；并写出1S 、2S 、3S 、S 满足的一个等式 关系并给予证明；（3）将21h用a 、b 、c 表示.参考答案1、12、133、323π 4、60 5、23π 6、3π 7、411 8、590 9、5 10、 11211、②④ 12、13-16、BCAB17、（1） 2.1V ≈；（2）220元18、（1）0,1m n ==；（2）[]4,619、（1）（2）23CQ =20、（1）3；（2）略；（3）arctan2π-21、（1）18S =，211'S SS =；（2）3S =2222123S S S S ++=；（3）22221111h a b c=++。
上海金山中学2017-2018学年高二下期中考试数学试题
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷2018.4. （时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________.2. 若函数()2xf x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________. 3. 函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期T =________. 4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________. 12. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ）(A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥(B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥ (D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++L ，则0126||||||||a a a a ++++L 的值为…（ ）(A) 62 (B) 64 (C) 65 (D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ）(A) A B >(B) A B ≥ (C) A B ≠ (D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ）(A) BAC BPC ∠<∠(B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠(D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分． 已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB 的斜率为3时，求OM ON ⋅u u u u r u u u r 的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小；(2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-.(1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由； (2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π； 9. 12； 10. 18； 11. 19； 12.22,26⎡⎤⎣⎦. 二、选择题： 13. A ；14. B ； 15. B ； 16. D. 三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分) 2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB 的方程为3(1)y x =-. …………………………………………………(5分)由223(1)143y x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ ，得03x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或85335x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以833(,)55A ，(0,3)B -，从而833(,)55P --. …………………………(8分) 因而，直线PA 的方程为33y x =，33(4,)M ∴. …………………………(10分) 直线PB 的方程为33y x +=-，(4,23)N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=u u u u r u u u r . …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥Q 平面ABCD ，由13V S PA =⋅，得2PA =. ………………………(1分) 连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又122OM PB ==，122OC AC == 226CM CD MD +=. …………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 32OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=. 故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则12233C B P D D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分) 由B PCD P BCD V V --=，得2h =. 即点B 到平面PCD 的距离为2. ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x ≥+. ………………………………………………(8分) 又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+. 故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分) 不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得234a a a x +-=. ………………(14分)由5a =-，解得a =因4a <-，得a的值为82--. …………………………………………………………(16分) 21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈. 故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分)(2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1n n n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p ------=--=--=-L L累加，得211()n n a a p p p -=-+++L . ………………………………………(8分)当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n p a p→∞=--. …………………(11分) 令541p p -=-，得12p =. 故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。
上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U=R，集合P=x|x-2{³1}，则C U P=2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若z1·z2ÎR，则x的值等于3、已知圆C: x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切，则圆C的半径r=4、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该正四棱柱的高等于5、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x27-y22=1的右焦点重合，则抛物线C的方程是6、在二项式(x2-2x)5的展开式中，x的一次项系数为。
（用数字作答）7、已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角a的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A(xA ,-45)，则sin2a=。
（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n}(nÎN*)的公比q=-13,a1=1,则n®¥lim(a2+a4+a6+···+a2n)=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm310、在D ABC中，已知且D ABC的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f(x)是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f(x)=ax+1,-1£x£0 bx+2x+1,0£x£1ìíïîï其中a,bÎR，若f(12)=f(32)，则ba3的值为13、定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。
上海市金山中学高二数学下学期期中试题
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________.2. 若函数()2xf x =的反函数为1()f x -，则1(1)f-=________.3. 函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期T =________.4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________. 5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________. 6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________.12. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ） (A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥ (B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥(D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++，则0126||||||||a a a a ++++的值为…（ ）(A) 62 (B) 64 (C) 65(D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ） (A) A B > (B) A B ≥(C) A B ≠(D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ） (A) BAC BPC ∠<∠ (B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠ (D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB OM ON ⋅的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小； (2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-. (1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由；(2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案 一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π；9.12； 10.18； 11.19；12.⎡⎣.二、选择题：13. A ；14. B ； 15. B ；16. D.三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分)2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB的方程为1)y x =-. …………………………………………………(5分)由221)143y x x y=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以8(5A，(0,B，从而8(,5P -. …………………………(8分)因而，直线PA的方程为y x =，M ∴. …………………………(10分) 直线PB的方程为4y x +=-，(4,N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=. …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥平面ABCD ，由13V S P A =⋅，得2PA =. ………………………(1分)连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又12OM PB ==，12OC AC ==CM ==…………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 22OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=.故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则133C B PD D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分)由B PCD P BCD V V --=，得h =即点B 到平面PCD ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x≥+. ………………………………………………(8分) 又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+.故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分)不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得3x =………………(14分)由5a +=-，解得a =.因4a <-，得a的值为82-. …………………………………………………………(16分)21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈.故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分) (2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1nn n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p------=--=--=-累加，得211()n n a a p p p -=-+++. ………………………………………(8分)当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n pa p→∞=--. …………………(11分)令541p p -=-，得12p =. 故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。
上海市金山中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷2018.4. （时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________. 2. 若函数()2x f x =的反函数为1()f x -，则1(1)f -=________. 3. 函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期T =________.4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________.5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________.6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+ ，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________.12. 设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ） (A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥ (B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥(D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++ ，则0126||||||||a a a a ++++ 的值为…（ ）(A) 62(B) 64(C) 65(D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ） (A) A B > (B) A B ≥(C) A B ≠(D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ） (A) BAC BPC ∠<∠ (B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠ (D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. (本题满分14分) 设复数22(4sin)2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB OM ON ⋅的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小； (2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-. (1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由；(2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案 一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π；9.12； 10.18； 11.19；12.⎡⎣.二、选择题：13. A ；14. B ； 15. B ； 16. D.三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分)2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB的方程为1)y x -. …………………………………………………(5分)由221)143y x x y=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以8(,55A，(0,B，从而8(,55P --. …………………………(8分)因而，直线PA的方程为y x =，M ∴. …………………………(10分) 直线PB的方程为y x +=，(4,N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=. …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥ 平面ABCD ，由13V S P A =⋅，得2PA =. ………………………(1分)连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又12OM PB ==12OC AC ==CM ==…………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 2OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=. 故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则133C B PD D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分)由B PCD P BCD V V --=，得h =即点B 到平面PCD ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x≥+. ………………………………………………(8分)又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+.故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分)不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得3x =………………(14分)由52a a +=-，解得82a -=±. 因4a <-，得a的值为82-. …………………………………………………………(16分)21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈.故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分) (2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1n n n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p------=--=--=-累加，得211()n n a a p p p -=-+++ . ………………………………………(8分) 当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p--=--，lim 51n n p a p →∞=--. …………………(11分)令541pp-=-，得12p =.故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。
【新】上海市金山中学2017-2018学年高二数学上学期期中试题-推荐
金山中学2017学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．已知函数0,0,()1,0,x f x x <⎧=⎨≥⎩则(())f f x = ．2．若以()1341a a 为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a 的取值范围为 ．3．若直线l 过点()1,3A -,且与直线230x y --=垂直,则直线l 的方程为________________. 4．已知圆的方程为422=+y x ，则经过点)3,1(的圆的切线方程为__________________． 5．若不等式组12016,1,x x a -≥⎧⎨+≤⎩的解集中有且仅有有限个实数，则a 的值为 ．6．已知函数()34log 2f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则方程()14f x -=的解x = _____________． 7．已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 . 8．若实数,x y 满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的取值范围是__________.9．在数列{}n a 中,已知41n a n =-，则过点()20174,P a 和点()20183,Q a 的直线的倾斜角是__________. (用反三角函数表示结果)10．设12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且()112OB OA OF =+，()212OC OA OF =+，则OB OC +=__________． 11．已知函数()()b a x a b x x f -+--+=2422是偶函数，则函数图像与y 轴交点的纵坐标的最大值是__ ____．12．定义变换T 将平面内的点(),(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q．若曲线0:C 1(0,0)42x yx y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ， ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与,x y 轴正半轴的交点为(),0n n A a 和()0,n n B b ,记(),n n n D a b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称；②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点()0,2；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则1lim =∞→n n S .其中所有正确结论的序号是 .二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．64<<k 是“方程14622=-+-k y k x 表示椭圆”的 （ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件14．已知向量a b =满足1a =，2b =，,a b 的夹角为120°，则2a b -等于 （ ） （A ）3 （B ）15 （C ）（D ）515．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在区间),2[+∞上是增函数，则a 的取值范围（ ）（A ）（]4,∞- （B ）（]2,∞- （C ）（]4,4- （D ）[]4,4- 16．如图，已知21l l ⊥,圆心在1l 上、半径为m 1的圆O 在0=t 时与2l 相切于点A ,圆O 沿1l 以s m /1的速度匀速向上移动,圆被直线2l 所截上方圆弧长记为x ,令x y cos =,则y 与时间t (10≤≤t ,单位:s )的函数)(t f y =的图像大致为1三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分 已知集合[]{}(){}2,2,3,(3)0xA y y xB x x a x a ==-∈=--+>．（1）当4a =-时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）求)(x f 的单调增区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，且3)(=C f ，1=c ，2432sin sin RB A =，a ＞b ，求a 、b 的值．19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分. 如图，已知直线:0(0)l x c c -=>为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O 处发现了北偏东60海面上A 处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B 航行，以便上海轮后逃窜。
2017年上海市金山中学高二下学期期中数学试卷与解析答案
2016-2017学年上海市金山中学高二（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是．2．（4分）直线l1：x﹣3y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为．（结果用反三角函数表示）3．（4分）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则（）2=．4．（4分）复数z满足|z﹣i|=1（i为虚数单位），则|z+2+i|的最大值为．5．（4分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为．（结果用反三角函数表示）6．（4分）已知抛物线E：x2=4y，直线l：y=x+1，则直线l被抛物线E截得的弦长为．7．（5分）在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为．8．（5分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，则此圆锥的侧面积为．9．（5分）过定点（2，3）的直线与双曲线x2﹣y2=4的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是．10．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是（立方丈）．二.选择题（每小题5分，共20分）12．（5分）若关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，则这个一元二次方程可以是（）A．x2﹣2x+4=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2+2x+4=013．（5分）经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线14．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．15．（5分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）16．（14分）在△ABC中，已知A（5，﹣2）、B（7，3），且AC边的中点M在y 轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）求以点C为圆心并且与直线AB相切的圆的方程．17．（14分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA 1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与底面所成的角为arctan；（1）求直线PC平面PAD所成角的大小；（2）求E到平面BDP的距离．19．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0，c2=a2﹣b2），2c=a，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．（1）求椭圆E的方程；（2）若=3，写出k2与m2的关系式；（3）在第（2）问的条件下求m2的取值范围．20．（18分）如图，曲线Г由曲线C1：+=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：﹣=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．2016-2017学年上海市金山中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．（4分）直线l1：x﹣3y+3=0与l2：x﹣y+1=0的夹角的大小为arctan．（结果用反三角函数表示）【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得tanθ=||=，解得θ=arctan，故答案为：arctan．3．（4分）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣4）i＞0，则（）2=﹣1．【解答】解：由m+（m2﹣4）i＞0，得，即m=2．∴（）2==．故答案为：﹣1．4．（4分）复数z满足|z﹣i|=1（i为虚数单位），则|z+2+i|的最大值为2+1．【解答】解：复数z满足|z﹣i|=1，∴z的几何意义是以A（0，1）为圆心，半径R=1的圆，|z+2+i|的几何意义是圆上的动点Z（x，y）到定点B（﹣2，﹣1）的距离，由圆的性质得BP的距离最大，此时|BP|=|AB|+R=+1=+1=2+1，故答案为：25．（4分）在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为arccos．（结果用反三角函数表示）【解答】解：连结AC、BD，交于点O，取AD中点E，连结PO，PE，OE，∵在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长都为2，∴OE⊥AD，PE⊥AD，且OE=1，PE==，∴∠PEO是侧面与底面所成的二面角的平面角，cos==，∴∠PEO=arccos．∴侧面与底面所成的二面角的大小为arccos．故答案为：arccos．6．（4分）已知抛物线E：x2=4y，直线l：y=x+1，则直线l被抛物线E截得的弦长为8．【解答】解：设直线l与抛物线E的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．由得x2﹣4x﹣4=0，x1+x2=4，y1+y2=x1+1+x2+1=6∵直线l：y=x+1过抛物线E焦点，∴|AB|=y1+y2+p=6+2=8故答案为：87．（5分）在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为．【解答】解：在水平放置的平面α上画一个边长为2的正三角形，在水平放置的平面α上边长为2的等边△ABC中，取BC中点D，连结AD，则BD=1，AD=，在“斜二测”得到的直观图中取BC中点D，连结AD，由“斜二测”的规则得BD=1，AD=，∠ADC=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°，∴由余弦定理得：AB====．∴在“斜二测”画法中线段AB的长度为．故答案为：．8．（5分）如图，已知圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点．若PQ与SO所成角为，则此圆锥的侧面积为100．【解答】解：∵圆锥的底面半径为r=10，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点，PQ与SO所成角为，∴过点p做PC⊥圆面O，交AO于C，则∠PQC是PQ与SO所成角，即∠PQC=，∵点P为母线SA的中点，∴点C为AO的中点，在直角△COQ中，根据勾股定理，得QC==5，在等腰直角△PQC中PC=QC=5，而在直角△SAO中，根据中位线原理得到SO=2PC=10，根据勾股定理得到母线SA===10，∴此圆锥的侧面积S=πrl==100π．故答案为：100π．9．（5分）过定点（2，3）的直线与双曲线x2﹣y2=4的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．【解答】解：双曲线x2﹣y2=4的渐近线方程为y=x和y=﹣x，当过定点（2，3）的直线斜率不存在，即倾斜角为90°，直线与双曲线相切，与右支只有一个交点；当所求直线的斜率为1时，与双曲线的左支有一个交点，当所求直线的斜率为0时，与双曲线的左右两支各有一个交点，则当所求直线的斜率在（0，1）时，与双曲线的左右两支各有一个交点，即倾斜角范围是（0°，90°）；当所求直线的斜率为﹣1时，与双曲线的右支只有一个交点，此时倾斜角为135°；当所求直线的斜率在（﹣1，+∞）时，与双曲线的右支只有一个交点，可得倾斜角范围是（135°，180°）．综上可得倾斜角的范围是[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．故答案为：[0°，45°）∪{90°}∪[135°，180°）．10．（5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有①②①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值②DC1⊥D1M③∠AMD1的最大值为90°④AM+MD1的最小值为2．【解答】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=为定值，故①正确．②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．因此只有①②正确．故答案为①②．11．（5分）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是5（立方丈）．【解答】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD 于M，则它的体积：V=V E﹣AQPD+V EPQ﹣FMN+V F﹣NBCM=+S△EPQ×NQ+=+=5（立方丈）．故答案为：5．二.选择题（每小题5分，共20分）12．（5分）若关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，则这个一元二次方程可以是（）A．x2﹣2x+4=0 B．x2﹣2x+2=0 C．x2+3x+2=0 D．x2+2x+4=0【解答】解：关于x的实系数一元二次方程的一个根为1﹣，由实系数一元二次方程的虚根成对原理可得另一根为1+，设所求一元二次方程为ax2+bx+c=0，即．由根与系数的关系可得：=2，．∴所求一元二次方程可以是x2﹣2x+4=0．故选：A．13．（5分）经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线【解答】解：与该圆相切的圆的圆心到定圆圆心与定点的距离差，等于定圆半径所以，轨迹是双曲线，故选：D．14．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．15．（5分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【解答】解：设Q（u，v），则∵x2+y2=1，∴u2﹣2v=x2+y2=1．∴点Q的轨迹是抛物线．故选：B．三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）16．（14分）在△ABC中，已知A（5，﹣2）、B（7，3），且AC边的中点M在y 轴上，BC边的中点N在x轴上，求：（1）顶点C的坐标；（2）求以点C为圆心并且与直线AB相切的圆的方程．【解答】解：（1）根据题意，设C的坐标为（x，y），若A（5，﹣2）、B（7，3），则AC的中点为（，），BC的中点为（，），又由AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则有=0且=0，解可得：x=﹣5，y=﹣3，则C的坐标为（﹣5，﹣3）；（2）A（5，﹣2）、B（7，3），则直线AB的方程为5x﹣2y﹣29=0，则C到直线AB的距离d==，又由圆C与直线AB相切，则r=d=，则圆C的方程为（x+5）2+（y+3）2=．17．（14分）在如图所示的三棱锥ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点．（1）求证：DE∥平面ACC1A1；（2）若△ABC为正三角形，且AB=AA1，M为AB上的一点，，求直线DE与直线A1M所成角的正切值．【解答】证明：（1）取AB的中点F，连接DF，EF…（1分）在△ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，DF⊄平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，所以DF∥平面ACC1A1…（3分）在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EF∥AA1，EF⊄平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1…（4分）因为DF∩EF=F，所以平面DEF∥平面ACC1A1…（5分）因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面ACC1A1…（6分）解：（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面ABB1A1，连接CF，因为△ABC为正三角形，F为AB中点，所以CF⊥AB，所以CF⊥平面ABB1A1，取BF的中点G，连接DG，EG，可得DG∥CF，故DG⊥平面ABB1A1，又因为，所以EG∥A1M，所以∠DEG即为直线DE与直线A1M所成角…（9分）设AB=4，在Rt△DEG中，，所以，故直线DE与直线A1M所成角的正切值为．…（12分）18．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与底面所成的角为arctan；（1）求直线PC平面PAD所成角的大小；（2）求E到平面BDP的距离．【解答】解：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，∴∠PCA是PC与底面所成的角，AC==2，∵PC与底面所成的角为arctan，∴tan∠PCA===，解得PA=2，由底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD是直线PC平面PAD所成角，tan∠CPD===，∴直线PC平面PAD所成角为arctan．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），C（2，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），B（2，0，0），E（2，1，0），=（0，1，0），=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，2），设平面BDP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），∴E到平面BDP的距离：d===．19．（16分）已知椭圆E：（a＞b＞0，c2=a2﹣b2），2c=a，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4．直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点．（1）求椭圆E的方程；（2）若=3，写出k2与m2的关系式；（3）在第（2）问的条件下求m2的取值范围．【解答】解：（1）根据已知设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），焦距为2c，由已知得=，∴c=a，b2=a2﹣c2=．∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，∴4=2a=4，∴a=2，b=1．∴椭圆E的方程为+x2=1．（2）根据已知得P（0，m），设A（x1，kx1+m），B（x2，kx2+m），由得，（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0．由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0，且x1+x2=，x1x2=．由=3，得x1=﹣3x2．则有+=0，即m2k2+m2﹣k2﹣4=0．（3）当m2=1时，m2k2+m2﹣k2﹣4=0不成立，则有m2≠1，∴k2=．∵k2﹣m2+4＞0，∴﹣m2+4＞0，即＞0．∴1＜m2＜4．∴m2的取值范围为（1，4）．20．（18分）如图，曲线Г由曲线C1：+=1（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：﹣=1（a＞b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Г的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（Ⅰ）中的曲线Г，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F3（﹣6，0），∴，解得，则曲线Γ的方程为=1（y≤0）和=1（y＞0）．（2）证明：曲线C2的渐近线为y=±x，设直线l：y=（x﹣m），代入C1：+=1，化为2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得﹣a＜m＜a．又由数形结合知a≤m＜a．设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，∴x0=，y0=﹣，∴y0=﹣x0，即点M在直线y=﹣x上．（3）由（1）知，曲线C1：=1（y≤0），点F4（6，0）．设直线l1的方程为x=ny+6（n＞0）．联立化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化为n2＞1．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴y3+y4=﹣，y3y4=．∴|y3﹣y4|=，△CDF1面积S=，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴S=≤，当且仅当t=，即n=时等号成立，△CDF1面积的最大值为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
上海市金山中学高一数学10月月考试题(1)
上海市金山中学2017-2018学年高一数学10月月考试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分） 1、因式分解: 2222c b ab a -+-= ▲ 。
2、设集合{}1,2,34P =,，{}2=≤Q x x ，则⋂P Q = ▲ 。
3、请写出集合{}1,2的所有子集 ▲ 。
（不是个数）4、设:α>x m ，:13β≤<x ，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是 ▲ 。
5、已知全集U ，用交并补的运算符号表示图中阴影部分 ▲ 。
6、已知,,a b c 是实数，写出命题“若0++=a b c ，则,,a b c 中至少有一个负数”的等价命题 ▲ 。
7、已知集合(){}22,1,,P x y xy x R y R=+=∈∈，(){},1,,Q x y x y x R y R =+=∈∈，则PQ = ▲ 。
8、“33>⎧⎨>⎩x y 成立”是“69+>⎧⎨>⎩x y xy 成立”的 ▲ 条件。
9、满足{}{}0,10,1,2,3,4,5⊆⊆P 的集合P 的个数是 ▲ 。
10、不等式()()222240----<a x a x 对∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ 。
11、定义集合运算：(){},,==+∈∈A B z z xy x y x A y B ，设集合{}{}0,3,1,2==A B ，则集合AB 的所有元素的平均数为 ▲ 。
12、定义集合运算""⨯：(){},,⨯=∈∈A B x y x A y B ，称为,A B 的两个集合的“卡氏积”.若{}240,=-≤∈A x x x N ，{}1,2,3=B ，则()()⨯⋂⨯A B B A = ▲ 。
二.选择题（每小题5分，共20分）13、如果0<<a b ，那么下列不等式成立的是（▲）A 、11<a b B 、2<ab b C 、2-<-ab a D 、11-<-a b14、已知集合2{|280}P x x x =--≤， {|}Q x x a =≥， ()C P Q =R R ，则a 的取值范围是（▲）A 、()2,∞-+B 、 ()4,∞+C 、 (],2∞--D 、 (],4∞-15、有限集合S 中元素的个数记作()card S ，设,A B 都为有限集.给出下列命题： ① ()()()⋃=+card A B card A card B 是φ⋂=A B 的充要条件； ② ()()≤card A card B 是⊆A B 的必要不充分条件； ③ ()()1≤-card A card B 是A B Þ的充分不必要条件； ④ ()()=card A card B 是=A B 的充要条件； 其中真命题有（▲）A 、①②③B 、①②C 、②③D 、①④16、设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12,,,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{},i ii S a b =、{},j j j S a b =（i j ≠且{},1,2,3,,i j k ∈）都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，（{}m i n ,x y 表示两个数,x y 中的较小者），则k 的最大值是（▲）A 、10B 、 11C 、 12D 、 13三.解答题（14分＋14分＋14分＋16分＋18分，共76分） 17、（本题满分14分）已知集合{}21,2,4=++M m m ，且5∈M .求m 的取值集合。
上海市金山中学高二数学10月学习水平检查试题
上海市金山中学2016-2017学年高二数学10月学习水平检查试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1．已知实数02=+-C B A ，则直线0=++C By Ax 必过定点 。
2．已知、分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，2+=，x +=，且2+与-2平行，则=x 。
3．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为 。
4．已知=(3,1-），=(1,3-),则向量在方向上的投影为 。
5．已知定点A （0，1），点B 在直线013=--y x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为___ ___。
6．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。
7．已知a的单位向量为0a ,23(-=)21，若a 的起点坐标为(1,-2)，模为34，则a的终点坐标是 。
8．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 。
9．经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A(3,－2），B(－1,6)等距离的直线方程是 。
10．若x a y =和)0(>+=a a x y 的图像有两个交点，则a 的取值范围是 。
11．设三条直线01232,01832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 围成直角三角形，则实数m 的值为 。
12．若直线m 被两平行线01:1=+-y x l 与03:2=+-y x l 所截得的线段的长为22，则直线m 的倾斜角可以是：①15 ②30 ③45 ④060 ⑤75，其中正确答案的序号是 。
（写出所有正确答案的序号） 13．如图，点C B A ,,是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若n m +=,则n m +的取值范围为 。
AB14．在R t△ABC 中，已知斜边BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，则⋅的值最大时，与的夹角=θ 。
上海市金山中学高二数学下学期期中试题
金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合{2,3}A =，{1,2,}B a =，若A B ⊆，则实数a =________.2. 若函数()2xf x =的反函数为1()f x -，则1(1)f-=________.3. 函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期T =________.4. 已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是________. 5. 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是________. 6. 已知一个正四棱锥的底面正方形边长为2，侧棱长为2，则该棱锥的侧棱与底面所成角的大小为________.7. 若一个圆锥的母线长为2，母线与旋转轴的夹角大小为30︒，则这个圆锥的侧面积为______.8. 已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为________.9. 从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是________.10. 在ABC ∆中，D 为边BC 的中点，动点E 在线段AD 上移动时，若B E A BC B λμ=+，则s λμ=⋅的最大值为________.11. 已知椭圆22154x y +=的左、右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆上不同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-=+________.12. 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，α为过直线1BD 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是…………………………（ ） (A) 若12l l ⊥，23//l l ，则13l l ⊥ (B) 若12//l l ，23//l l ，则1l 、2l 、3l 共面 (C) 若12l l ⊥，23l l ⊥，则13l l ⊥(D) 若1l 、2l 、3l 共点，则1l 、2l 、3l 共面14.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++，则0126||||||||a a a a ++++的值为…（ ）(A) 62 (B) 64 (C) 65(D) 6624+15.已知数列{}n a 和{}n b 对任意的*n N ∈都有n n a b >，当n →+∞时，数列{}n a 和{}n b 的极限分别是A 和B ，则………………………………………………………………………（ ） (A) A B > (B) A B ≥(C) A B ≠(D) A 和B 的大小关系不确定16.已知ABC ∆的一边BC 在平面α内，A α∉，点A 在平面α内的射影为点P ，则BAC ∠与BPC ∠的大小关系为………………………………………………………………………（ ） (A) BAC BPC ∠<∠ (B) BAC BPC ∠>∠ (C) BAC BPC ∠≤∠ (D) 以上情况都有可能三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. (本题满分14分)设复数22(4sin )2(1cos )z a i θθ=-++⋅，其中a R ∈，(0,)θπ∈，i 为虚数单位. 若z 是方程2220x x -+=的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值.18. (本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点3(1,)2. 过焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线:4l x =于M 、N 两点.(1) 求椭圆Γ的方程；(2) 当直线AB OM ON ⋅的值.第18题 图19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且四棱锥的体积为83，M 是PD 的中点. (1) 求异面直线PB 与CM 所成角的大小； (2) 求点B 到平面PCD 的距离.第19题 图20. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 设常数a R ∈，函数()()||f x a x x =-. (1) 若1a =，求()f x 的单调递减区间；(2) 若()f x 为奇函数，且关于x 的不等式()1mx f x +≥对所有的[1,2]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 当0a <时，若方程()f x a =有三个不相等的实数根1x 、2x 、3x ，且1235x x x ++=-，求实数a 的值.21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第(1)小题4分，第(2)小题10分，第(3)小题4分.若存在常数(01)p p <≤，使得数列{}n a 满足1||n n n a a p +-=对一切*n N ∈恒成立，则称{}n a 为“可控数列”.(1) 若数列{}n a 的通项公式为1*()12n n a N n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，试判断数列{}n a 是否为“可控数列”？并说明理由；(2) 若{}n a 是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数p ，使lim 4n n a →∞=？若存在，求出p 的值；若不存在，请说明理由；(3) 若“可控数列”{}n a 的首项为2，1p =，求2018a 不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)金山中学2017学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷 参考答案 一、填空题：1. 3；2. 0；3.π；4. 2-；5. 2π；6. 45︒；7. 2π；8. 6π；9.12； 10.18； 11.19；12.⎡⎣.二、选择题：13. A ；14. B ； 15. B ；16. D.三、简答题：17．解：方程2220x x -+=的根为1x i =±. ……………………………………………(4分) 又z 在复平面内对应的点在第一象限，1z i ∴=+. ……………………………(6分)2212(1co 4s s 1n )i a θθ=+∴=⎧-⎨⎩, ………………………………………………………………(8分) 解得1cos 2θ=-. 又(0,)θπ∈，23πθ∴=. …………………………………………………………(11分) 从而2a =±. ……………………………………………………………………… (13分) 所以3πθ2=,2±=a . ……………………………………………………………(14分) 18．(1) 解：由222211914a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩, ………………………………………………………………(2分) 解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以椭圆Γ的方程为22143x y +=. ……………………………………………(4分) (2) 解：直线AB的方程为1)y x =-. …………………………………………………(5分)由221)143y x x y=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩85x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以8(5A，(0,B，从而8(,5P -. …………………………(8分)因而，直线PA的方程为y x =，M ∴. …………………………(10分) 直线PB的方程为4y x +=-，(4,N ∴-. …………………………(12分) 1697OM ON ∴⋅=-=. …………………………………………………………(14分)19．(1) 解：PA ⊥平面ABCD ，由13V S P A =⋅，得2PA =. ………………………(1分)连结AC 、BD 交于点O ,连结OM ,则//OM PB .故OMC ∠是异面直线PB 与CM 所成的角. ………………………………(3分)又12OM PB ==，12OC AC ==CM ==…………………………………………………(6分)在OMC ∆中，222cos 22OM CM OC OMC OM CM +-∠==⋅,6OMC π∴∠=.故异面直线PB 与CM 所成角的大小为6π. …………………………………(8分)(2) 解： 设点B 到平面PCD 的距离为h ，则133C B PD D C P V S h h ∆-=⋅=.…………(10分) 又1433BCD P BCD V S PA ∆-=⋅=. …………………………………………………(12分)由B PCD P BCD V V --=，得h =即点B 到平面PCD ………………………………………………(14分)20．(1) 解： 当1a =时，(1),()(1)||0(1),0x x x f x x x x x x ≥-<-⎧=-=⎨⎩. 如图知，()f x 的单调递减区间为(,0]-∞和1[,2)+∞. …………………(4分)(2) 解：由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-，解得0a =. …………………………(5分) 当[1,2]x ∈时，2()f x x =-.从而21mx x -≥，1()max m x x≥+. ………………………………………………(8分) 又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，故当2x =时，)521(max x x =+.故52m ≥. ……………(10分) (3) 解：当0a <时，0(),,(0)()a x x x f x x x a x -⎧=≥-<⎨⎩.如图，()f x a =要有三个不相等的实根，则204a a -<<，解得4a <-. ………………………………………………………………(12分)不妨设123x x x <<，当0x <时，由()x a x a -=，即20x ax a --=，得12x x a +=. ………………………(13分)当0x ≥时，由()a x x a -=，即20x ax a -+=，得3x =………………(14分)由5a +=-，解得a =.因4a <-，得a的值为82-. …………………………………………………………(16分)21．(1) 解：11111222n n nn n a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1(0,1]2∈.故{}n a 为“可控数列”. ……………………………………………………(4分) (2) 解： 假设存在常数p 满足题意.由{}n a 是单调递减的“可控数列”，得1nn n a a p +-=-. ……………………(5分)1112212n n n n n n a a p a a p a a p------=--=--=-累加，得211()n n a a p p p -=-+++. ………………………………………(8分)当1p =时，6n a n =-，不合题意. ……………………………………………(9分)当(0,1)p ∈时，1(1)51n n p p a p --=--，lim 51n n pa p→∞=--. …………………(11分)令541p p -=-，得12p =. 故p 的值为12. ……………………………………………………………………(14分) (3) 解：2018a 的不同取值个数是2018，最大值为2019. …………………………(18分)(各2分)。
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上海市金山中学2017-2018学年高二数学10月月考试题（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．不等式21≥-xx 的解集为 。
2．如果行列式12334152--=aD 中元素1的代数余子式为5，则=a 。
3．已知=(1,2)，=(x,1)，且2+与-2平行，则x= 。
4．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为 。
5．已知a =(3,1-），b =(1,3-),则向量a 在b 方向上的投影为 。
6．等比数列}{n a 的公比0q >,若2a =1，216n n n a a a +++=，则}{n a 的前10项和=10S 。
7．若扇形的圆心角弧度数为2，其所对的弦长也是2，则此扇形的弧长是 。
8．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。
9．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,6,5,4,3,2,1(=i P i 是小正方形的其余顶点，则i ⋅的不同值的个数为 。
10．若关于x 的方程09222=-+⋅+a a x x有实根，则实数a 的取值范围为 。
11. 在平行四边形ABCD 中，3=⋅=⋅，则线段AC 的长为_______。
12．已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a b c 、、成公差为正数的等差数列，满足：()()()0f a f b f c <，且实数d 是方程()0f x =的一个解。
给出下列四个不等式：① d a <；②d b >；③d c <；④d c >，其中有可能成立的不等式的个数是 。
P 5P 7P 3BP 6P 1P 2AP 4二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．下列命题正确的个数是（ ） （1）单位向量都相等；（2）若与是非零平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。
（3）||||b a b a -=+，则0=⋅； （4）若0a 与0b 是单位向量，则100=⋅b a ； （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）414．设21,x x 为方程()0,1425112≠<=++++++x x x x x x n L L 的两个有理根，则1x 、2x 的值分别为（ ）（A ）=1x 54,512=x （B ）-=1x 54,512-=x（C ）=1x 54,512-=x （D ）-=1x 54,512=x15．甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后二人同时到达B 地，甲、乙两人骑自行车速度都大于各自跑步速度，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快。
若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数用图象表示如下，则在下列给出的四个函数中，甲、乙二人的图象只可能为（ ）（A ）甲是图①，乙是图② （B ）甲是图①，乙是图④ （C ）甲是图③，乙是图②（D ）甲是图③，乙是图④16．如图所示，点C B A ,,是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点，若OB n OA m OC +=,则（ ）（A ）1-<+n m （B ）01<+<-n m （C ）10<+<n m （D ）1>+n mAB三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分12分)不等式082≥--ax x 与022<--b ax x 的解集分别为A ，B ，试确定a 、b 的值，使{}54|<≤=x x B A I ，并求出A ∪B 。
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知直线1l 的一个方向向量为)3,2(=，直线2l 过)3,3(B 。
(1)若直线2l 与直线1l 平行，求2l 的点法向式方程； (2)若直线2l 的倾斜角比直线1l 的倾斜角大4π，求2l 的点斜式方程。
19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分8分.已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f 。
（1）若R x ∈,求)(x f 的单调递增区间；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,)(x f 的最大值为4,求a 的值,并指出这时x 的值。
20．（本题满分16分）本题共有2个小题，第 (1)小题满分6分，第 (2)小题满分10分. 已知点A(2，0），B(0，6），O 为坐标原点。
(1)若点C 在线段OB 上，且43π=∠ACB ，求△ABC 的面积； (2)若原点O 关于直线AB 的对称点为D ，连接并延长BD 到P ，且|PD|=2|BD|，已知直线031088410:=-++y ax l 经过点P ，求直线l 的倾斜角。
21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．在平面内，定点A ，B ，C ，D ===⋅=⋅2-=⋅。
（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由； （2）求ABC ∆的面积；（3）若动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u u u r ，求2BM 的最大值。
金山中学2017学年第一学期高二数学段考答案（时间120分钟满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．不等式的解集为。
2．如果行列式中元素1的代数余子式为5，则-5 。
3．已知=(1,2)，=(x,1)，且与平行，则x= 。
4．直线与直线的夹角为。
5．已知=(,），=(1, ),则向量在方向上的投影为。
6．等比数列的公比,若=1，，则的前10项和。
7．若扇形的圆心角弧度数为2，其所对的弦长也是2，则此扇形的弧长是。
8．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为或。
9．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为 3 。
10．若关于的方程有实根，则实数的取值范围为。
11. 在平行四边形中，，则线段的长为_______。
12．已知函数，正实数成公差为正数的等差数列，满足：，且实数是方程的一个解。
给出下列四个不等式：①；②；③；④，其中有可能成立的不等式的个数是4 。
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．下列命题正确的个数是（ B ）（1）单位向量都相等；（2）若与是非零平行向量，与是平行向量，则与是平行向量。
（3），则；（4）若与是单位向量，则；（A）1 （B）2 （C）3 （D）414．设为方程的两个有理根，则、的值分别为（ A ）（A）（B）（C）（D）15．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点后改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后二人同时到达B 地，甲、乙两人骑自行车速度都大于各自跑步速度，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快。
若某人离开A地的距离S与所用时间t的函数用图象表示如下，则在下列给出的四个函数中，甲、乙二人的图象只可能为（ B ）（A）甲是图①，乙是图②（B）甲是图①，乙是图④（C）甲是图③，乙是图②（D）甲是图③，乙是图④16．如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若,则（D ）（A）（B）（C）（D）三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分12分)不等式与的解集分别为A，B，试确定a、b的值，使，并求出A∪B。
解：，4是方程的根，5是方程的根，。
，。
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知直线的一个方向向量为，直线过。
(1)若直线与直线平行，求的点法向式方程；(2)若直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求的点斜式方程。
解：(1)直线与直线平行，的方向向量为，的法向量为，又直线过。