2013高考数学二轮复习课件专题二 第1讲三角函数的图象与性质

2 2
4．正弦、余弦、正切函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象 π {x|x≠ ＋ 2 kπ，k∈Z}
定义域
R
R
值域 奇偶性 最小正周 期
[－1,1] 奇函数 2π
[－1,1] 偶函数 2π
R 奇函数 π
单调性
π π 在[－ ＋2kπ， ＋ 在[－π＋2kπ， 在(－π＋ 2 2 2 π 2kπ](k∈Z)上单调 2kπ](k∈Z)上 kπ， ＋ 2 单调递增；在 π 递增；在[ ＋2kπ， 2 kπ)(k∈Z) [2kπ，π＋ 3π ＋2kπ](k∈Z)上 2kπ](k∈Z)上 上单调递 2 增 单调递减 单调递减
3 3 3 解 (1)由 f(0)＝ ，得 2a－ ＝ ， 2 2 2 3 故 a＝ . 2 π 1 3 b 3 1 由 f 4 ＝ ，得 ＋ － ＝ ，所以 b＝1. 2 2 2 2 2 3 2 可得 f(x)＝ 3cos x＋sin xcos x－ 2 π 3 1 ＝ cos 2x＋ sin 2x＝sin2x＋3. 2 2 2π 所以函数 f(x)的最小正周期 T＝ ＝π. 2 π π 3π (2)由 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 2 3 2 π 7π 得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. 12 12
考题分析
本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式
化简求解三角函数的解析式， 并求三角函数在给定区间上 的值域． 考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求 解能力．
易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢， 化简方向不 明确．(2)求 f(x)在给定区间上的值域，易忽视对函数单调 性的讨论．
主干知识梳理
1．任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x. (2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三 正切，四余弦．
2．诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α， tan(kπ＋α)＝tan α(k∈Z) sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，
变式训练 3
已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋ φ)－cos(ωx＋φ)
(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数 y＝f(x)图象的两相邻对 π 称轴间的距离为 . 2 π (1)求 f8 的值； π (2)将函数 y＝f(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到 6 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍， 纵坐标不变， 得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)的单调递减区间．
＝ 3sin 2x＋2cos2x－1 ＝ 3sin 2x＋cos 2x π ＝2sin2x＋6 ， 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是，当 2x＋ ＝ ，即 x＝ 时，f(x)取得最大值 2； 6 2 6 π π π 当 2x＋ ＝－ ，即 x＝－ 时，f(x)取得最小值－1. 6 6 6
变式训练 2 (1)(2010· 天津)右图是函数 π 5π y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－ ， ] 6 6 上的图象．为了得到这个函数的图象，只 要将 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点 ( ) π A．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到 3 1 原来的 倍，纵坐标不变 2 π B．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 3 原来的 2 倍，纵坐标不变 π C．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到 6 1 原来的 倍，纵坐标不变 2 π D．向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到 6 原来的 2 倍，纵坐标不变
1 横坐标变为原来的 (ω>0)倍 ω ————————————→ y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变
纵坐标变为原来的A(A>0)倍 ————————————→ y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变
热点分类突破
题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例 1 已知点 P(－3,4)是角 α 终边上的一点． 3π 3π sinα＋ 2 · sin 2 －α· tan2(2π－α)tan(π－α) 求： 的值． π π cos2－α· cos2＋α
答案 A
(2)(2011· 江苏)已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ 为常数， A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则 6 f(0)的值是________ ． 2 T 7π π π 解析 由题图知 A＝ 2， ＝ － ＝ ， 4 12 3 4 2π ∴T＝π，ω＝ ＝2. π π π ∴2× ＋φ＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋ . 3 3 π 令 k＝0，得 φ＝ . 3 π ∴函数解析式为 f(x)＝ 2sin2x＋3， π 6 ∴f(0)＝ 2sin ＝ . 3 2
π 当 x＝ ＋2kπ， 2 最值
当 x＝2kπ，k∈Z
对称性
k∈Z 时，y 取得最 时， y 取得最大值 π 1； 当 x＝π＋2kπ， 无最值 大值 1；当 x＝－ 2 k∈Z 时，y 取得 ＋2kπ，k∈Z 时，y 最小值－1 取得最小值－1 π 对称中心： 对称中心：( ＋ 2 对称中 (kπ，0)(k∈Z)； kπ，0)(k∈Z)； 心：(kπ， π 2 对称轴：x＝ ＋ 对称轴： 2 0)(k∈Z) kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
5．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0， ，π， ，2π，求出 x 的值与 2 2 相应的 y 的值，描点、连线可得． (2)图象变换 向左(φ>0)或向右(φ<0) y＝sin x—————————→y＝sin(x＋φ) 平移|φ|个单位
∵P(－3,4)是角 α 终边上的一点， 4 ∴tan α＝－ . 3 (－cos α)· (－cos α)· tan2α(－tan α) ∴原式＝ sin α· (－sin α) 4 ＝tan α＝－3. 解
探究提高
在应用诱导公式时，需要先将角变形，有一定 π 3 π 技巧，如化 π＋α 为 π＋( ＋α)或 2π－2－α. 2 2
π ∴函数解析式为 y＝Asin(2x＋ )． 4 π 又图象过点(0， 2)，∴Asin ＝ 2， 4 2 ∴ A＝ 2，∴A＝2. 2 π ∴所求函数的解析式为 y＝2sin(2x＋ )． 4
探究提高
(1)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象
求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低 点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ω；由图象上的关键 点确定 φ. (2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低 点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点 ) 1 的横坐标与相邻零点差的绝对值为 个周期． 4
5π π 解析 由图象可知 A＝1，T＝ －(－ )＝π， 6 6 2π ∴ω＝ T ＝2. π 2π ∵图象过点( ，0)，∴sin( ＋φ)＝0， 3 3 2π ∴ ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 3 π ∴φ＝ ＋2kπ，k∈Z. 3 π π ∴y＝sin(2x＋ ＋2kπ)＝sin(2x＋ )． 3 3 π 故将函数 y＝sin x 先向左平移 个单位长度后，再把所得 3 1 各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，可得原函 2 数的图象．
题型三
三角函数图象与性质的综合应用
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3 例 3 已知函数 f(x)＝2acos x＋bsin xcos x－ ，且 f(0) 2 π 1 3 ＝ ，f 4 ＝ . 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的单调递减区间； (3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于 原点对称？
3π 3π 变式训练 1 已知点 P(sin ，cos )落在角 θ 的终边上， 4 4 且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为 π 3π 5π 7π A. B. C. D. 4 4 4 4
3 π cos4π －cos4 解析 tan θ＝ ＝ ＝－1， 3 π sin4π sin4 3π 3π 又 sin 4 >0，cos 4 <0， ∴θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)， 7π ∴θ＝ 4 ，故选 D.
专题二 三角函数、解三角形、平 面向量
第1讲
【高考真题感悟】 (2011· 北京)已知函数 f(x)＝4cos
π xsinx＋6 －1.
三角函数的图象与性质
(1)求 f(x)的最小正周期； π π (2)求 f(x)在区间－6，4 上的最大值和最小值．
π 解 (1)因为 f(x)＝4cos xsinx＋6 －1 3 1 ＝4cos x sin x＋ cos x － 1 2 2
(1)f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) 3 1 ＝2 sin(ωx＋φ)－ cos(ωx＋φ) 2 2 π ＝2sinωx＋φ－6 . 解 因为 f(x)为偶函数， 所以对 x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立， π π 因此 sin－ωx＋φ－6 ＝sinωx＋φ－6 ， π π 即－sin ωxcosφ－6＋cos ωxsinφ－6 π π ＝sin ωxcosφ－6 ＋cos ωxsinφ－6 ， π 整理得 sin ωxcosφ－6 ＝0.
所以 f(x)的单调递减区间是 π 7π ＋kπ， ＋kπ (k∈Z)． 12 12 π (3)因为 f(x)＝sin2x＋6 ，所以由奇函数 y＝sin 2x 的图象 π 向左平移 个单位即得到 y＝f(x)的图象，故函数 f(x)的图 6 π k π k 象向右平移 ＋ π (k∈Z)个单位或向左平移 ＋ π (k∈Z) 6 2 3 2 个单位后， 对应的函数即成为奇函数， 图象关于原点对称．