18 正态总体参数的区间估计
医学统计学第八版课后答案及解析
医学统计学第八版课后答案及解析1. 卫生统计工作的步骤为（） [单选题] *A.统计研究调查、搜集资料、整理资料、分析资料B.统计资料收集、整理资料、统计描述、统计推断C.统计研究设计、搜集资料、整理资料、分析资料(正确答案)D.统计研究调查、统计描述、统计推断、统计图表2. 统计分析的主要内容有（） [单选题] *A.统计描述和统计学检验B.区间估计与假设检验C.统计图表和统计报告D.统计描述和统计推断(正确答案)3. 统计资料的类型包括（） [单选题] *A.频数分布资料和等级分类资料B.多项分类资料和二项分类资料C.正态分布资料和频数分布资料D.数值变量资料和分类变量资料(正确答案)4. 抽样误差是指（） [单选题] *A.不同样本指标之间的差别B.样本指标与总体指标之间由于抽样产生的差别(正确答案)C.样本中每个体之间的差别D.由于抽样产生的观测值之间的差别5. 统计学中所说的总体是指（） [单选题] *A.任意想象的研究对象的全体B.根据研究目的确定的研究对象的全体(正确答案)C.根据地区划分的研究对象的全体D.根据时间划分的研究对象的全体6. 描述一组偏态分布资料的变异度，宜用（） [单选题] *A.全距B.标准差C.变异系数D.四分位数间距(正确答案)7. 用均数与标准差可全面描述其资料分布特点的是（） [单选题] *A.正偏态分布B.负偏态分布C.正态分布和近似正态分布(正确答案)D.对称分布8. 比较身高和体重两组数据变异度大小宜采用（） [单选题] *A.变异系数(正确答案)B.方差C.极差D.标准差9. 频数分布的两个重要特征是（） [单选题] *A.统计量与参数B.样本均数与总体均数C.集中趋势与离散趋势(正确答案)D.样本标准差与总体标准差10. 正态分布的特点有（） [单选题] *A.算术均数=几何均数B.算术均数=中位数(正确答案)C.几何均数=中位数D.算术均数=几何均数=中位数11. 正态分布曲线下右侧5,对应的分位点为（） [单选题] *A.μ+1.96σB.μ-1.96σC.μ+2.58σD.μ+1.64σ(正确答案)12. 某种人群(如成年男子)的某个生理指标(如收缩压)或生化指标(如血糖水平)的正常值范围一般指（） [单选题] *A.该指标在所有人中的波动范围B.该指标在所有正常人中的波动范围C.该指标在绝大部分正常人中的波动范围(正确答案)D.该指标在少部分正常人中的波动范围13. 统计推断的主要内容为（） [单选题] *A.统计描述与统计图表B.参数估计和假设检验(正确答案)C.区间估计和点估计D.统计预测与统计控制14. 多组均数的两两比较中，若不用q检验而用t检验，则（） [单选题] *A.结果更合理B.结果会一样C.会把一些无差别的总体判断有差别的概率加大(正确答案)D.会把一些有差别的总体判断无差别的概率加大15. 说明某现象发生强度的指标为（） [单选题] *A.构成比B.相对比C.定基比D.率(正确答案)16. 对计数资料进行统计描述的主要指标是（） [单选题] *A.平均数B.相对数(正确答案)C.标准差D.变异系数17. 构成比用来反映（） [单选题] *A.某现象发生的强度B.表示两个同类指标的比C.反映某事物内部各部分占全部的比重(正确答案)D.表示某一现象在时间顺序的排列18. 下列哪一指标为相对比（） [单选题] *A.中位数B.几何均数C.均数D.变异系数(正确答案)19. 两个样本率差别的假设检验，其目的是（） [单选题] *A.推断两个样本率有无差别B.推断两个总体率有无差别(正确答案)C.推断两个样本率和两个总体率有无差别D.推断两个样本率和两个总体率的差别有无统计意义20. 用正态近似法进行总体率的区间估计时，应满足（） [单选题] *A.n足够大B.p或(1-p)不太小C.np或n(1-p)均大于5D.以上均要求(正确答案)21. 由两样本率的差别推断两总体率的差别，若P〈0.05，则（） [单选题] *A.两样本率相差很大B.两总体率相差很大C.两样本率和两总体率差别有统计意义D.两总体率相差有统计意义(正确答案)22. 四格表检验的校正公式应用条件为（） [单选题] *A.n>40且T>5B.n<40且T>5C.n>40且1<T<5(正确答案)D.n<40且1<T<523. 下述哪项不是非参数统计的优点（） [单选题] *A.不受总体分布的限定C.简便、易掌握C.适用于等级资料D.检验效能高于参数检验(正确答案)24. 秩和检验和t检验相比，其优点是（） [单选题] *A.计算简便，不受分布限制(正确答案)B.公式更为合理C.检验效能D.抽样误差小25. 等级资料比较宜用（） [单选题] *A.t检验B.u检验C.秩和检验(正确答案)D.检验26. 一个统计总体（） [单选题] *A.只能有一个标志B.只能有一个指标C.可以有多个标志D.可以有多个指标(正确答案)27. 调查某大学2000名学生学习情况，则总体单位是（） [单选题] *A.2000名学生B.2000名学生的学习成绩C.每一名学生(正确答案)D.每一名学生的学习成绩28. 某地进行国有商业企业经营情况调查，则调查对象是（） [单选题] *A.该地所有商业企业B.该地所有国有商业企业(正确答案)C.该地每一国有商业企业D.该地每一商业企业29. 在企业统计中，下列统计标志中属于数量标志的是（） [单选题] *A.文化程度B.职业C.月工资(正确答案)D.行业30. 总体标准差未知时总体均值的假设检验要用到（） [单选题] *A.Z统计量(正确答案)B.t统计量C.统计量D.X统计量31. 下列各项中属于品质标志的有（） *A.性别(正确答案)B.年龄C.职务(正确答案)D.民族(正确答案)32. 从表式上看，统计表由哪些部分构成（） *A.总标题(正确答案)B.指标数值(正确答案)C.纵栏标题(正确答案)D.横行标题(正确答案)33. 在相对数中，子项和母项可以互换位置的有（） *A.结构相对数B.比例相对数(正确答案)C.比较相对数(正确答案)D.动态相对数34. 下列统计指标属于总量指标的是（） *A.工资总额(正确答案)B.商业网点密度(正确答案)C商品库存量(正确答案)D.人均国内生产总值(正确答案)35. 定基增长速度等于（） *A.定基发展速度－1(正确答案)B.环比发展速度的连乘积C.定基增长量除以最初水平(正确答案)C.环比增长速度加1后的连乘积再减1(正确答案)36. 影响抽样误差的因素有（） *A.是有限总体还是无限总体B.是平均数还是成数C.是重复抽样还是不重复抽样(正确答案)D.总体标志变异程度大小(正确答案)37. 下列正确的说法有（） *A.类型抽样只存在组内抽样误差，不存在组间抽样误差。
统计学 试题及答案
C 、对总体均值的检验D 、对总体方差的检验【 】6、当总体方差已知，无论样本容量n 的大小如何，进行正态总体均值的区间估计应采用的临界值为A 、F 值B 、 Z 值C 、t 值D 、2χ值 【 】7、各变量值与均值的离差之和 A 、等于各变量值之和的平均数 B 、等于零 C 、等于最大值 D 、等于最小值【 】8、为了分析我校不同专业学生的某次统计学测验成绩是否有显著差异，可运用方差分析法。
在1%的显著性水平下， 在12个专业(K=12)中共计随机抽取60个学生进行调查，拒绝原假设的区域是A 、()),59,11(01.0+∞FB 、()),59,11(005.0+∞FC 、()),48,11(01.0+∞FD 、()),48,11(005.0+∞F 【 】9、样本容量不变，犯第一类错误的概率减小，则犯第二类错误的概率 A 、增大 B 、减小 C 、不变 D 、变化不定【 】10、若一组数据的均值为26，众数为32，中位数为28，则大体上可断定数据的分布形态为A 、正态分布B 、左偏分布C 、右偏分布D 、尖峰分布 二、多项选择题（在每小题的五个备选答案中选择正确的答案代码填入题前括号内，选错或没有选全的，不得分。
每小题2分，共10分）【 】1、一组数据为17、19、22、24、25、28、34、35、36、37、38。
则 A 、该组数据的中位数为28 B 、该组数据的下四分位数为22 C 、该组数据的众数为38 D 、该组数据无众数 E 、该组数据的上四分位数为36【 】2、下列那些属于测度数据离散程度的指标A 、极差B 、内距C 、方差D 、标准差E 、离散系数 【 】3、假设检验中，关于两类错误与显著性水平，下列说法正确的有 A 、第Ⅰ类错误称为弃真错误，犯第Ⅰ类错误的概率记为αB、第Ⅱ类错误称为取伪错误，犯第Ⅱ类错误的概率记为βC、当α增大时，β减小；当β增大时，α减小α和同时减小的唯一办法是增加样本容量D、要使βE、犯第Ⅰ类错误的概率α被称为显著性水平【】4、在参数估计中，统计学家给出了评价估计量的一些标准，主要有以下几个：A、相合性B、有效性C、均衡性D、时效性E、无偏性【】5、下列说法正确的有A、总体参数是唯一的、确定的，但又是未知的B、总体参数是随机变量C、样本统计量是随机变量D、样本统计量是唯一的、确定的E、样本所包含的总体单位个数称为样本容量三、填空题（每空1分，共10分）1、统计学的内容十分丰富，研究与应用的领域非常广泛。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，可以帮助我们估计未知正态总体参数的取值范围。
通过构建置信区间，我们可以在一定的置信水平下对总体参数的取值范围进行估计。
以下是一个关于正态总体参数的区间估计实验结论。
在本实验中，我们以某个地区的成年人男性身高为研究对象，采集了一组样本数据。
通过对样本数据的分析和计算，得出了平均身高和标准差的估计值，并以此构建了置信区间。
首先，我们计算出了样本数据的均值为175cm，并且样本的标准差为5cm。
接下来，我们选择了一个置信水平为95%的置信区间进行计算。
根据正态分布的性质，我们可以使用标准正态分布表来确定置信区间的边界。
通过查表，我们找到了置信水平为95%对应的临界值，记为z。
在本实验中，z的取值为1.96。
然后，我们可以根据样本的均值、标准差和样本容量来计算置信区间的上限和下限。
置信区间的上限计算公式为：上限 = 均值 + z * (标准差/ √样本容量)；置信区间的下限计算公式为：下限 = 均值 - z * (标准差/ √样本容量)。
根据实验数据的计算，最终得出了置信区间为(172.04cm,177.96cm)。
这意味着在95%的置信水平下，我们可以合理地推断该地区成年男性的平均身高位于该区间内。
这个实验结论具有以下几个指导意义。
首先，通过正态总体参数的区间估计，我们可以更准确地估计未知总体参数的取值范围，有助于我们了解总体的特征。
其次，通过选择合适的置信水平，我们可以控制估计结果的可靠性和精确度。
在本实验中，我们选择了95%的置信水平，意味着我们有95%的把握让估计结果覆盖真实总体参数。
最后，置信区间的上下限提供了关于总体参数范围的重要信息，可以用来支持决策和制定策略。
总之，正态总体参数的区间估计是一种重要的统计方法，可以为我们提供对未知总体参数取值范围的估计。
通过该方法，我们可以在一定的置信水平下对总体参数进行准确的估计，从而为实际问题的分析和决策提供科学依据。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论在统计学中，正态分布是一种非常重要的分布，许多自然现象和实验数据都可以用正态分布来描述。
而在实际应用中，我们常常需要估计正态总体的参数，比如均值和标准差。
在这篇文章中，我将介绍如何利用区间估计的方法来估计正态总体的参数，并给出一个实验结论。
让我们来回顾一下区间估计的基本原理。
区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法，其核心思想是利用样本数据给出一个参数的估计区间，该区间包含真实参数的概率较高。
在正态总体参数的区间估计中，我们通常使用样本均值和样本标准差来进行估计。
接下来，我将介绍一个实际的例子来说明正态总体参数的区间估计方法。
假设我们有一批产品的重量数据，我们想要估计这批产品的平均重量。
我们随机抽取了一部分产品进行称重，得到了样本均值和样本标准差。
根据中心极限定理，我们知道样本均值的分布是正态分布的，可以利用这一性质来构建参数的置信区间。
假设我们得到的样本均值为100，样本标准差为5，样本量为30。
我们可以利用正态分布的性质来构建样本均值的置信区间，假设置信水平为95%，那么我们可以计算出置信区间为(98, 102)。
这意味着在95%的置信水平下，真实的总体平均重量落在98到102之间。
通过这个简单的例子，我们可以看到区间估计的重要性和实际应用。
在实际问题中，我们往往无法得知总体参数的真实值，只能通过样本数据来进行估计。
区间估计可以帮助我们对参数的估计进行更准确的评估，同时也可以给出参数估计的不确定性范围。
总的来说，正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，通过构建置信区间来估计总体参数的真实值。
在实际应用中，我们可以根据样本数据来进行参数的估计，同时也可以评估参数估计的置信水平。
通过区间估计的方法，我们可以更准确地了解总体参数的情况，为决策提供更可靠的依据。
希望本文能帮助读者更好地理解正态总体参数的区间估计方法，并在实际问题中应用到实践中。
统计学答案第七章
1 估计量的含义是指（）。
A。
用来估计总体参数的统计量的名称B.用来估计总体参数的统计量的具体数值C。
总体参数的名称D。
总体参数的具体数值2 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与总体参数的离差越小越好。
这种评价标准称为(）.A。
无偏性B。
有效性C。
一致性 D.充分性3 根据一个具体的样本求出的总体均值的95％的置信区间(）.A.以95％的概率包含总体均值B.有5%的可能性包含总体均值C.一定包含总体均值D。
要么包含总体均值，要么不包含总体均值4 无偏估计是指(）.A.样本统计量的值恰好等于待估的总体参数B。
所有可能样本估计值的数学期望等于待估总体参数C。
样本估计值围绕待估总体参数使其误差最小D。
样本量扩大到和总体单元相等时与总体参数一致5 总体均值的置信区间等于样本均值加减边际误差,其中的边际误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）。
A.样本均值的抽样标准差B。
样本标准差C.样本方差D。
总体标准差6 当样本量一定时，置信区间的宽度（）。
A。
随着置信系数的增大而减小B。
随着置信系数的增大而增大C。
与置信系数的大小无关D.与置信系数的平方成反比7 当置信水平一定时，置信区间的宽度（）.A。
随着样本量的增大而减小B.随着样本量的增大而增大C。
与样本量的大小无关D。
与样本量的平方根成正比8 一个95%的置信区间是指（）。
A。
总体参数有95%的概率落在这一区间内B.总体参数有5%的概率未落在这一区间内C。
在用同样方法构造的总体参数的多个区间中,有95%的区间包含该总体参数D.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数9 95%的置信水平是指（）。
A.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为95％B.在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95%C.总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率为5％D。
在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5％10 一个估计量的有效性是指（）。
7.7 单个正态总体参数的区间估计
2 1
2(n
1)
单个正态总体参数的区间估计
4. 方差 2的置信区间（均值已知）
当均值已知时
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
仍然满足枢轴量的条件，但已知没有用到，造成了信息的损失.
(n 1)S 2
2
(n 1) 1
2
n1
n
(Xi
i 1
单个正态总体参数的区间估计
一、单个正态总体的情形
X1, X2 ,…, Xn为来自正态总体N(, 2 )的样本，置信水平1−α.
1 n
X n i1 Xi
样本均值
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
样本方差
单个正态总体参数的区间估计
1.均值的置信区间（方差 2已知情形）
由于 X 是的MLE，且是无偏估计，由抽样分布定理知
0.4
W X ~ N (0,1)
0.35
n
0.3
0.25
W是样本和待估参数的函数，其分布为 0.2
0.15
N(0,1)，完全已知
0.1
是枢轴量
0.05
0 -4 -3 -2 -1 0
12
34
单峰对称
单个正态总体参数的区间估计
选择两个常数b=−a=zα/2
i 1
2
~ 2(n)
n
n
( Xi )2 ( Xi )2
( i1 2 2 (n)
,
i 1
2 1
2 (n)
)
单个正态总体参数的区间估计
3.方差 2的置信区间（均值未知）
自考_概率论与数理统计(经管类)__真题及答案详解分析
1【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以＝0.5－0.3＝0.2，故选择B.[快解] 用Venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（i）交换律：A∪B=B∪A,AB=BA；（ii）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）,（AB）C=A（BC）；（iii）分配律：（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为A∩B＝，且P（A∪B）=P（A）+P（B）.2.【答案】C【解析】根据分布函数的性质，选择C。
【提示】分布函数的性质：① 0≤F（x）≤1；② 对任意x1，x2（x1<x2），都有P{x1<X≤x2}=F（x2）-F（x1）；③ F（x）是单调非减函数；④ ，；⑤ F（x）右连续；⑥ 设x为f（x）的连续点，则F‘（x）存在，且F’（x）=f（x）.3【答案】D【解析】由课本p68，定义3－6：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S>0. 如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为，则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布.本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积S=π，故选择D.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。
若（X,Y）服从二维正态分布，表示为（X,Y）～.4.【答案】A【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布，即λ=2，所以；又根据数学期望的性质有 E（2X-1）=2E（X）-1=1-1=0，故选择A.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：A. 两点分布① 分布列② 数学期望：E（X）=P③ 方差：D（X）=pq。
2.2正态总体均值的区间估计
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)
Z
1
n
2
Z
1
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1
n
Z1 , X 2
n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X
正态总体参数的区间估计
总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
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实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
正态总体的置信区间
第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。
在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、2χ分布、F 分布以及标准正态分布)1,0(N 扮演了重要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形: 1. 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 2. 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间.注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为α-1的置信区间, 其区间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示★ 引言★ 单正态总体均值（方差已知）的置信区间★ 例1 ★ 例2★ 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 ★ 例3 ★ 例4★ 单正态总体方差的置信区间 ★ 例5 ★ 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 ★ 例6 ★ 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间★ 例7 ★ 例8★ 双正态总体方差比的置信区间 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-4内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体),,(~2σμN X 其中2σ已知, 而μ为未知参数, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 对给定的置信水平α-1, 由上节例1已经得到μ的置信区间,,2/2/⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅-n u X n u X σσαα二、单正态总体均值的置信区间(2)设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知, n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 此时可用2σ的无偏估计2S 代替2σ, 构造统计量n S X T /μ-=,从第五章第三节的定理知).1(~/--=n t nS X T μ对给定的置信水平α-1, 由αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<--1)1(/)1(2/2/n t n S X n t P ,即 ,1)1()1(2/2/αμαα-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅-+<<⋅--n S n t X n S n t X P因此, 均值μ的α-1置信区间为.)1(,)1(2/2/⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⋅--n S n t X n S n t X αα三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体均值μ的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正态总体的方差2σ进行区间估计.设总体),,(~2σμN X 其中μ,2σ未知,n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本. 求方差2σ的置信度为α-1的置信区间. 2σ的无偏估计为2S , 从第五章第三节的定理知,)1(~1222--n S n χσ, 对给定的置信水平α-1, 由,1)1()1()1()1(,1)1(1)1(22/12222/222/2222/1αχσχαχσχαααα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-<---n S n n Sn P n S n n P 于是方差2σ的α-1置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(22/1222/2n S n n S n ααχχ而方差σ的α-1置信区间.)1()1(,)1()1(22/1222/2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----n S n n S n ααχχ四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。
常见分布的期望和方差 (2)
常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。
（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)x yF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x yF x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy duF y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++)。
正态总体均值方差的区间估计
2
)
(2) σ12=σ22=σ2, σ2未知,μ1- μ2的1-α置信区间 ① 对于μ1- μ2，构造枢轴变量: ( X Y ) ( 1 2 ) T ~ t (n1 n2 2) S 1 / n1 1 / n2 ② 构造T的 一个1-α区间:
P(| T | t (n1 n2 2)) 1
X
③ μ的1-α置信区间:
( X t / 2 ( n 1 ) S n , X t / 2 ( n 1 ) S n )
1-α
例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容 量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均 值的置信度为0.95的置信区间.
解 已知σ2=1, α=0.05, μ的1-α置信区间：
③ 变形得到μ1- μ2的1-α置信区间:
2
( ( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
1 1 , n1 n2 1 1 ) n1 n2
( X Y ) t ( n1 n2 2) S
2
例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: X 1 , X 2 , , X 12
未知
① 构造枢轴变量: (n 1)S 2 2 Q ~ ( n 1) 2 ② 构造Q的 一个1-α区间:
P{1 Q 2 } 1
f(x)
α/2 λ1 α/2 X 2 λ (n 1)2 (n 1)
2 1
③ 解不等式得到σ2的1-α置信区间:
若 1 2 的置信区间的上限小于零, 则可认为1 2 ;
(2)构造F的 一个1-α区间: P(λ1<F< λ2)=1-α
正态总体参数的区间估计
第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。
教学重点：置信区间的确定。
教学难点：对置信区间的理解。
教学时数： 2学时。
教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。
因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。
设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。
定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。
若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。
注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。
按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。
例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。
（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差x n N() (0,1)概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ。
2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()YX fy f x h y h y =。
（参见P66～72）3、分布函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基本性质：⑴、是变量x ，y 的非降函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若(,)()()XY F x y Fx F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。
简称X 与Y 独立。
7、两个独立随机变量之和的概率密度：()()()()()ZX Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy+∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X＋Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++)。
第4节正态总体参数的区间估计
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2
n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n
区间估计公式正态总体二项总体与泊松总体的区间估计公式
区间估计公式正态总体二项总体与泊松总体的区间估计公式区间估计公式是统计学中常用的方法，用于估计总体参数的范围。
在正态总体、二项总体和泊松总体中，也存在相应的区间估计公式。
本文将分别介绍这三个总体的区间估计公式。
一、正态总体的区间估计公式在正态总体中，我们通常关注总体均值的估计。
假设样本容量为n，样本均值为x，总体标准差为σ。
若总体标准差已知，则总体均值的区间估计公式为：[公式1]其中zα/2是正态分布的分位数，代表了α/2的上分位数。
例如，若置信水平为95%，则α为0.05，z0.025为1.96。
若总体标准差未知，则总体均值的区间估计公式为：[公式2]其中s是样本标准差，tα/2是自由度为n-1的t分布的上分位数。
与正态分布不同，t分布考虑了样本容量的影响。
二、二项总体的区间估计公式在二项总体中，我们通常关注总体比例的估计。
假设样本容量为n，成功次数为x，总体成功率为p。
总体比例的区间估计公式为：[公式3]其中zα/2为正态分布的分位数，p为样本比例，n为样本容量。
三、泊松总体的区间估计公式在泊松总体中，我们关注总体平均到达率的估计。
假设样本容量为n，观测到的平均到达率为x。
总体平均到达率的区间估计公式为：[公式4]其中zα/2为正态分布的分位数，λ̂为样本平均到达率，n为样本容量。
以上是正态总体、二项总体和泊松总体的区间估计公式。
根据不同的总体类型和参数类型，选择合适的公式进行区间估计。
这些公式可以帮助我们对总体参数进行估计，并提供了对估计结果的置信区间，从而更好地理解总体特征。
在实际应用中，我们可以根据采样数据和问题背景选择适合的区间估计方法，得出有意义的结论。
数理统计12：枢轴量法、分位数、正态参数区间估计
数理统计12：枢轴量法、分位数、正态参数区间估计上篇⽂章中，我们探讨了区间估计的相关基本概念，也提出了Neyman置信区间，今天我们将聚焦于如何寻找置信区间的问题上，并对最常⽤的总体：正态总体给出⼀些置信区间的找法。
为了⽅便起见，以下我们都让置信⽔平为1−α。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：枢轴量法枢轴变量法是基于点估计量的。
我们知道，统计量是样本的函数，这意味着统计量中不能含有未知参数，⽽参数的点估计量是⽤统计量的观测值作为待估参数的估计值，其分布⼀定含有待估参数，枢轴量法的思想就是，通过⼀定的变换，让点估计的函数的分布不含待估参数，进⽽基于分布来构造区间估计。
举⼀个简单的例⼦，对于正态总体N(µ,4)，显然¯X∼N(µ,4/n)，这⾥¯X的分布含有未知参数µ。
构造其枢轴量，就是找到⼀个函数变换，使得新的随机变量分布不含未知参数。
注意，这⾥⽤了随机变量这个词⽽不是统计量，意味着枢轴量不是统计量，即不能由样本观测值计算出，这是因为虽然枢轴量的分布不含未知参数，但是枢轴量的表现形式含有未知参数。
显然，这⾥¯X−µ∼N(0,4 n),这样，¯X−µ的分布已知，⾃然容易找到⼀个常数区间[c,d]，使得这个区间有1−α的概率包含¯X−µ的观测值，虽然此时我们不知道区间的端点是多少，但⾄少知道端点可以是固定的数c,d。
对枢轴量使⽤不等式变换，即¯X−µ∈[c,d]⇒µ∈[¯X−d,¯X−c]，得到置信⽔平为1−α的置信区间。
这就是枢轴量法的操作步骤。
不同分布族的参数对于总体的意义是不同的。
像正态分布N(µ,σ2)的均值µ，均匀分布U(a,a+r)的起点a这种参数主要影响观测值的⼤⼩，可以直接通过X−µ，X−a的⼿段消除，这种参数称为位置参数；正态分布N(µ,σ2)的标准差σ，指数分布E(λ)的速率λ这种参数主要影响观测值的离散程度，可以通过X/σ，λX之类的⼿段消除，这种参数称为尺度参数。
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[18] 正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计
一、设总体X ~N (,)μσ2，若样本观测值为
6.54 8.20 6.88 9.02
7.56
求总体均值μ的置信水平为95.0的置信区间．假定：（1）已知2.1=σ；（2）末知σ．
二、测得16个零件的长度（单位：mm ）如下：
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01
12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件长度服从正态分布),(2σμN ，求零件长度的标准差σ的置信水平为99.0的置信区间．如果：
（1）已知总体均值(mm)12.08=μ；（2）未知总体均值μ．
三、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量（单位：h A ⋅） 数据如下：
甲厂： 144 141 138 142 141 143 138 137；
乙厂： 142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.
设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布N x x (,)μσ2
及N y y (,)μσ2，求：
（1）电容量的均值差21μμ-的置信水平为95.0的置信区间（假定21σσ=）．
（2）电容量的方差比2221/σσ的置信水平为95.0的置信区间．
四、设总体),(~2σμN X ，已知0σσ=，要使总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间的长度不大于l ，
问需要抽取多大容量的样本？。