中职数学教案：二元线性规划问题的图解法(全2课时)
线性规划问题的图解法
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
18-2-2二元线性规划的图解法
教学班级
教学课时
1
教学形式
新授
课 题
名 称
18.2.2二元线性规划的图解法
使用教具
投影仪，电脑，黑板
教学目的
(1)能从实际问题中抽象出二元一次不等式组.
(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
(3) 会用图解法解决简单的二元线性规划问题.
教学重点
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
理论升华整体建构
本次课重点学习了图解法解线性规划问题.二元一次不等式（组）所表示的区域就是各不等式所表示区域的公共部分.、在用图解法解线性规划问题时，我们发现线性规划问题的可行域是一个凸多边形（或凸的区域），（所谓凸的区域，是指若有任意两点在区域内，那么这两点所连线段也在该区域内.）从而使问题的最优解可在凸多边形的顶点处找到，因此，我们也可以通过比较各顶点处目标函数的值求出最优解.
（2）由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可行域；
（3）过原点作出目标函数的0等值线，即目标函数值等于0的直线；
（4）将0等值线平行移动，观察确定可行域内最大解的位置，一般最优解在可行域的顶点取得.
（5）求最值——将最优解带入目标函数求值.
概念
（1）含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解.
（2）二元一次不等式： ≤0（或 ≥0
）的几何意义：
例1试解二元线性规划:
约束条件
目标函数
交流讨论
要点说明
课堂教学安排
教学环节
主要教学内容
教学手段
与方式
新授
.例2某工厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品要消耗钢材2kg,煤2kg,产值为120元；每件乙产品要消耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元；现钢厂有钢材600kg.,煤400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数.
中职数学 优秀教学设计二元线性规划问题的图解法
探寻最优解——《二元线性规划问题的图解法》教学设计2017年12月2日探寻最优解——《二元线性规划问题的图解法》中职高教版数学教材（职业模块财经、商贸与服务类）第五章线性规划初步第2节目录一、教学设计1. 教材内容 (2)2. 教材内容分析 (2)3. 学情分析 (2)4. 教学目标 (3)5. 教学重难点............36. 教学策略 (3)7. 课前准备 (3)8. 教学过程 (5)9. 教学反思 (10)二、附录1. 课前导学测试题 (12)2. 课前微课训练题 (13)3. 课前头脑风暴学案 (14)4. 课中导学案 (15)5. 课后自我评价表 (17)6. 课堂在线测试题 (18)7. 课后微课导学案 (21)一、教学设计【教学重点】用二元一次不等式组表示平面区域，用图解法确定最优解.【教学难点】目标函数到平行线的思维转化过程.【教学策略】本节课采用任务驱动、实验演示、自主探究、小组协作、观察归纳的形式.课前利用蓝墨云平台推送微课《不等式的平面区域表示》，学生进行自主学习并及时训练内化知识点，为图像法的引入作好铺垫。
针对学生数形转化意识和数学化归能力薄弱的难题，在课上我采用任务驱动和实验探究的形式，引导学生利用化归思想将目标函数转化为已知曲线方程，并动手操作德莫作图软件进行验证，以可视化形式由特殊到一般，由静到动，观察目标函数的图像，并归纳总结，最终完成数到形的转化.整个教学过程，依托微课、数学作图软件、希沃授课助手、师生交互平台等信息化手段，引导学生在可视、可操、可测的学习环境中进行自主探究、观察归纳与合作交流。
将二元线性规划问题化归为从约束条件表示的可行域中寻找直线纵截距与目标函数最值的关系，得到最优解的问题，将繁琐的代数问题形象化、生动化，让学生充分感受“数”“形”结合思想带来的思维碰撞.【课前准备】教学环节教师活动学生活动设计意图海选初试质疑导学观看菜鸟驿站招聘英雄帖第一步：海选初试将本节课中学生需要的已有知识点以及需要探索的内容制作成课前导学测试题（见附录1），上传蓝墨云班课平台.完成该平台上的课前导学测试既是对新知识的准备，又是对上一节内容的检测.并且根据学生的知识掌握情况，将学生定向分组，有利于课堂讨论活动的有效进行海选初试质疑导学第二步：入站培训制作课前微课《不等式的平面区域表示》，上传平台，渗透不等式的图像表示方法.自主学习微课，并完成微课训练题（见附录2）让学生体验用代数法解决线性规划问题的局限性，从而激发学生学习的欲望，为本节教学的展开作好铺垫【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计意图第三步：头脑风暴利用蓝墨云班课师生交互平台，选取物流专业实践生活中的数学线性规划问题，制作成微课，将其上传进行课前头脑风暴.头脑风暴后，观看微课《凑数法初寻最优解》，了解代数法寻找最优解的方法，同时设置思考题，若x,y为实数，又该如何去寻找最优解？学生结合微课学案（见附录3）自主学习质疑，利用代数法初探最优解入职培训任务探究试解二元线性规划：则约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+.Ry,x,0y,0x,15y3x2,9yx2求目标函数：.23max yxZ+=问题:(1)试在平面直角坐标系中，作出约束条件中各不等式对应的平面区域？小组任务一：试用红色水笔画出约束条件中不等式的公共区域？通过课前不等式平面区域表示内容的学习，学生不难得出满足线性约束条件的点集是由四个半平面区域的公共部分（图中的阴影部分）构成.因此，阴影区域（包括边界）内的点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，而所有可行解的全体就构成了这一线性规划问题的可行域.教师通过希沃授课助手实时投屏，对于典型错误给予及时反馈.(2)求目标函数yxZ23+=的最优解.可行域呈现了所有的可行解，但要从图像中选择一个最优解，使目标函数值 Z 最大，学生尝试解决头脑风暴中的思考延伸.学生在学案（见附录4）中完成任务一，并在组内互相交流学习学生对于老师的即时反馈，取长补短，调整学习状态可行域的确定，让学生从图像上更直观地了解可行解的范围希沃投屏，快速直接地反映知识的误区与不足，帮助学生即时掌握知识教师现场即时纠错，不仅有利于学生取长补短，也有利于教师及时了解学生的知识掌握情况，及时调整教学策略与方法组内学习，共同探索知识，体现学生的主体地位入职培训任务探究那么这个解肯定也要符合目标函数式，引导学生感知最优解的几何意义即为目标函数图像与可行域的交点，从而引导学生探究目标函数的几何意义.小组任务二：在同一平面直角坐标系中，作出目标函数的图像？引导学生观察目标函数式发现，式子中含有三个变量，学生通过已学知识无法作出该函数图像，但联系与可行域的交点坐标(x,y)，容易想到将变量Z看作常数，此时鼓励学生大胆猜想，取不同的Z值.此时，下发任务单，借助desmos作图软件，让学生动手演示，并观察归纳：任务单：1. 尝试对Z赋予不同值时，观察目标函数图像有何位置关系？2. 试论证你的结论.3. 观察并探究Z值与目标函数图像的关系？4. 如何快速找到目标函数图像与可行域的交点坐标（x,y）.学生通过解析式，不难发现是一组平行线，由斜率相等顺理成章将目标函数写成斜截式，并发现纵截距达到最大值的时候，目标函数值也取得最大值，从而将目标函数的最值问题转化为纵截距的最值问题.动画演示：猜想Z取不同值时，目标函数图像可视为多条直线构成的图像学生利用平板电脑动手实践，在desmos软件中输入目标函数式，软件自动生成滑块，在滑块移动时，图像为一条直线随之移动在任务单的引领下，学生自主建构目标函数的几何特征学生观察图像，尝试在可行域中结合直线纵截距寻找使目标函数取到最大值的点通过问题的牵引，帮助学生认识到目标函数图像即为一组平行线，目标函数最值可转化为纵截距的最值问题，实现数与形的完美转化，从而突破难点入职培训任务探究从而让学生慢慢建构寻找最优解的方法：在可行域的坐标系上作出一条目标函数的对照直线（0等值线，即目标函数值等于0的直线），将其平行移动，然后观察确定可行域内最大解的位置，将求得的最优解代入目标函数求最值，从而形成图解法的概念.并将图解法归纳为：画--作--移--求四个具体步骤.即时的归纳总结，帮助学生建构图解法解决线性规划问题的一般步骤在学生对寻找最优解有了一定的认识后，小组合作，完成知识建构教师进行适当地引导与补充入职训练践行新知入职训练：通过菜鸟驿站站长的面试问题（课前由学生提前录制）：菜鸟驿站要在我校设置自提柜寄取件服务，自提柜形式分为小柜和大柜两种，其中小柜有140个，大柜有60个，经过调查，双十一期间，我校快递暴增，而我校不允许快递放在除自提柜外的地方，并且在中午和下午两个时段自提柜能被取空，现菜鸟驿站有以下两种快递车运送快递，其运送的快递个数和费用如下表所示：小包裹（十个/趟）大包裹（十个/趟）出车费用（十元/趟）A快递车 2 2 3B快递车 3 1 2请问：在两个时段应如何安排两种快递车的趟数，才能使运送费用最省.教师根据每组同学的成果给予小组评分与反馈，并评选最佳合作团队.学生化身资源调配师，进行模拟训练（见附录4），小组合作，得出方案小组合作后，选代表上台展示通过入职训练问题展示数学的魅力，让学生体会数学是源于生活，而服务于生活的，进一步理解用图解法解决实际问题的方法上岗实习多元评价课堂自我评价登陆平台，填写上岗评价表（见附录5）并提交.学生登陆平台完成课堂自我评价学生对从课前头脑风暴问题质疑到释疑的学习过程进行总结让学生再次明确本课的学习重点.同时也能让教师快速了解学生对本节课的掌握情况1.上岗测试登陆蓝墨云班课师生交互平台，完成在线测试（见附录6）.2.上岗实习——学习微课《巧寻最优解》同时完成课后微课导学案（见附录7）3.课后延伸：如果等值线移动时，最后与一线段重合，那么取什么点作为最优解？学生登录平台，进行自我在线测试学生利用网络学习、研讨等方式，进一步思考数学线性规划问题的实际应用结合微课完成导学案通过测试，巩固探究所得新知识，检测学生对本节课知识的掌握情况提交后即可知晓成绩，对错误题目能给予纠错和提示帮助学生进一步巩固新知，加深数学线性规划图解法的理解与应用动与静的结合，激发学生思维的同时，又能让学生动手实践解决方法，体现做中学，学中做的教学理念作业布置体现分层原则，拓展思考题的设置让探究思想升级，将课堂进行了有效拓展二、附录课前导学测试题选择题1.现有以下命题：（1）线性约束条件是关于x,y的一次不等式（2）线性目标函数一定是一次解析式（3）线性规划问题就是求线性目标函数在线性条件下的最大值和最小值问题（4）线性规划问题的最优解一定是可行解其中正确的命题个数是（ D ）A.1B.2C.3D.4解析：正确答案为A、B、C、D.2.含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做（ A ）A.二元一次不等式B.一元二次不等式C.二元一次方程D.一元二次方程解析：此题为概念题，应选A.3.函数的图像如右图所示，则函数解析式可能是（ B ）A.12+=xy B.22+-=xyC.22-=xy D.xy2=解析：由图可得：图像为直线应为一次函数，故排除A、D选项，又因为图像经过二、四象限，故k<0，所以应选B.4.试判断点A(1,2),B(0,0)与直线L：22+-=xy的位置关系（ A ）A.点A在直线L上方，点B在直线L下方B.点A在直线L下方，点B在直线L上方C.点A和点B都在直线L上方D.点A和点B都在直线L下方解析：此题将A点的横坐标代入直线方程，得到y的值为0，比A点的纵坐标小，故A点在直线上方，将B点的横坐标代入直线方程，得到y的值为2，比B点的纵坐标大，故B点在直线下方，故正确答案应选A.5.不等式432≤+yx在平面上的图像可能是（ C ）A.一条直线B.直线的包含原点的那一侧(不包含直线)C.直线及直线一侧的区域D.直线的不包含原点的那一侧(不包含直线)解析：因为不等式中有直线2x+3y=4，故其图像一定包含直线，故排除B、D选项，又因为还有2x+3y<0不等式，故可猜想答案肯定不止一条直线，故选答案C.【附录2】课前微课训练题1.试在平面直角坐标系中作出下列不等式的平面区域：(1)92>yx-，(2)0≤x，(3)1≥y，(1)(2)1535≥+-yx01535≤--yx0357<+-5yx0357>+-5yx【附录3】2.填一填：试为下列平面区域匹配正确的不等式.课中导学案任务一：试在平面直角坐标系中，作出约束条件中各不等式对应的平面区域？（试用红色水笔画出约束条件中不等式的公共区域？）作图区：任务二：借助desmos作图软件，作出目标函数Z=3x+2y的图像，并完成以下问题：(1)尝试对Z赋予不同值时，观察目标函数图像有何位置关系？(2) 试论证你的结论.(3) 观察并探究Z值与目标函数图像的关系？(4) 归纳：如何在可行域内快速找到使Z值最大时候的坐标点（x,y）?课中导学案课中导学案入职训练（团队合作）菜鸟驿站要在我校设置自提柜寄取件服务，自提柜形式分为小柜和大柜两种，其中小柜有140个，大柜有60个，经过调查，双十一期间，我校快递暴增，而我校不允许快递放在除自提柜外的地方，并且在中午和下午两个时段自提柜能被取空，现菜鸟驿站有以下两种快递车运送快递，其运送的快递个数和费用如下表所示：小包裹（十个/趟）大包裹（十个/趟）出车费用（十元/趟）A快递车 2 2 3B快递车 3 1 2请问：在每个时段应如何安排两种快递车的趟数，才能使运送费用最省。
(完整版)中职数学职业模块二元线性规划问题的图解(上课).
第五章 线性规划
5.2 二元线性规划问题的图解
巩固知识 典型例题
高教社
例1 在平面直角坐标系中，指出2x+4y ≤500所表示的区域
y
2x+4y=500
125 250 x
巩固知识 典型例题
高教社
例2 在平面直角坐标系中，指出2x-y+4 ≥ 0所表示的区域. 2x-y+4=0
y
4
-2
对于一元二次不等式组
目标函数的可能取值，不妨令 z 0 ，则得到一
条直线这条直线上任何一点都能使得目标函数取
同一个常数值（此时 z =0），将这条直线叫做
等值线.
巩固知识 典型例题
例4 解第5.1节中的问题2.求满足下面约束条件的
目标函数的最小值.
高教社
2x 2 y 10 约束条件： x 3y 9
x 0, y 0
线性约 束条件
L0
max Z x 3y
线性目标函数
x y 1
图解法的步骤：
1.画可行域;
2.作Z=0时的直线L0.
3.平移直线L0找最优解; 4.求出最优解作答.
y Z的最大值为高5教社
．
最优解
．
．
．
1 ．
可行域
．
．． ．． ． ．．
01
2
x
x y 2
x 3y 0
动脑思考 探索新知
高教社
图5-4中阴影区域（包括边界）上任何一点 的都能满足四个不等式；阴影区域（包括边 界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题 的可行解，所有可行解的全体就构成了这一 线性规划问题的可行域.
x 所表示的平面区域，
那就是各个不等式所表示
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
中职数学教案：线性规划问题的有关概念(全2课时)
1.该公司现有资金9000万元；
2.该公司拍得土地11000m2。
解决问题：
应该怎样的投资组合，才能获利最多。
像这样在约束条件下求目标最大值或最小值的问题，就是线性规划问题。
二 巩固数学
例1 某点心店要做甲、乙两种馒头，甲种馒头的主要原料是每3份面粉加2份玉米粉，乙种馒头的主要原料是每4份面粉加1份玉米粉。这个点心店每天可买进面粉50kg、玉米粉20kg，做1kg甲种馒头的利润是5元，做1kg乙种馒头的利润是4元，那么这个点心店每天各做多少甲、乙两种馒头才能获利最多？
分析：
面粉
玉米粉
获利
甲种馒头
0.6
0.4
5
乙种馒头
0.8
0.2
4
限制
50
20
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教学Leabharlann 内容解：设甲、乙两种馒头计划产量分别为xkg、ykg，利润为z元。
生产这两种馒头所用面粉总量为（0.6x+0.8y）kg，现共有50kg面粉，因此，应有
，
即
类似地，有
即
由于产品数量不能为负数，应有
1.每一个问题都用一组决策变量来表示，这些变量一般情况下取非负值；
2.存在一定的约束条件，通常用一组一次（线性）不等式或等式表示；
3.都有一个要达到的目标，用决策变量的一次（线性）函数即目标函数来表示，按问题的不同实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的线性规划数学模型的一般形式为：
目标函数
约束条件
二 巩固数学
总利润为
综合起来，可以把这个问题的数学形式表达为
其中，记号“ ”表示取函数的最大值。
二丶 线性规划的图解法
a<0，b<0
a a>0，b<0
. #;
图解法小结
使用条件：仅有两个至多不超过三个决 策变量的线性规划。
基本步骤：
第一步－－建立平面直角坐标系； 第二步－－根据约束条件和非负条件画出
可行域。 第三步－－作出目标函数等值线（至少两
条）， 结合目标函数优化要求，平移目 标函数等值线求出最优解。
图解法的优缺点： 简单、直观但有局 限性。
. #;
综上，用图解法求解线性规划时，各种 求解结果与各种类型的可行域之间的对应 关系可以用下图加以描述：
解的类型
可行域类型
唯一最优解
无穷多个最优解
非空有界
最优解无界 （无“有限最优解”）
无界
无解 （不存在可行域）
空集
. #;
课堂练习1-2：用图解法求解下面的线性规划
MaxZ 2 x 1 5 x 2
或“最优解无界”。如果一个实际问题抽象成像例1－4这样的
线性规划模型，比如是一个生产计划问题，其经济含义就是某 些资源是无限的，产品的产量可以无限大，解释不合理。此时 应重新检查和修改模型，否则就没有实际意义。
注意，对于无界可行域的情况，也可能有唯一最优解或无穷 多个最优解。比如目标要求为minZ=x1+2x2或maxZ=－2x1+x2， 而约束条件不变的例子。
. #;
第一次作业—— P69 习题1：1-2；P70 1-3 交作业时间：
下周周二（9月17日） 按小组交
/ /
3y 2 3y 2
2 3
y1 , y2 0
. #;
它的图解见右图。其中L1和L2分别为两个 约束半平面的边界，虚线为目标函数等值线， 可行域为图中阴影部分，沿着与箭头（目标函 数值递增的方向）相反的方向平移目标函数等 值线（注意：对偶规划中 要求对目标函数极小化）
二元线性规划的图解法
会用图解法解决简单的二元线性规划问题.
更新、补充、
删节内容
无
课前准备
线性规划问题的有关概念
课外作业
学习指导P22-231、2
板
书
设
计
1、二元线性规划复习
2、二元线性规划图解法。
引例1 例2
总结
教
学
感
想
课 堂 教 学 安 排
教学环节
主 要 教 学 内 容
教学手段
与 方 式
新授
归纳总结：
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
于是y≤2x+4可以看作横坐标取 ，纵坐标取小于等于 的点全体.在平面直角坐标系中表示直线 及其下方的阴影区域.即2x-y+4≥0表示直线 及其下方的阴影区域，
例如由约束条件（决策变量分别为
本节课介绍了二元线性规划的图解法
所表示的在平面直角坐标系内的区域，是由直线9x+4y=360,4x+5y=200,3x+10y=300以及两条坐标轴所围成的阴影部分（含边界直线）如图5-3所示.
在上节问题2中，我们看到约束条件中有不等式
≥10， ≥9.
由平面解析几何知识可以知道 ( 不同时为0）在平面直角坐标系中表示一条直线.一条直线将一个平面划分成两个半平面.
现考察 ≤0（或） ≥0的几何意义.
例1在平面直角坐标系中，指出 ≤500所表示的区域.
解将 整理，得 ，它在平面直角坐标系中表示斜率为 ，截距为125的直线.当该直线上的点的横坐标取 时，纵坐标取 .
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数的等值线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定.
第二章 线性规划的图解法
s
.t
.
4 3
x1 x1
5x2 10 x
200 2 300
x1, x 2 0
第10页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
什么是线性规划模型：
决策变量为可控的连续变量。
x 1 ≥ 0，x 2 ≥ 0
x 1 =0,1,2,3…n
目标函数和约束条件都是线性的。
Ma7 xx1f1x2 2
4x1 16
4 x2 12
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
最优生产方案 :产品1生产 4kg，产品2生 产2kg，最大利 润14元(最优 值）。
第22页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 结论：
• 线性规划问题如果有最优解,则最优
解一定在可行域的边界上取得.
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利
Ⅰ 1 2 0 50 元
Ⅱ 1 1 1 100 元
资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ 产品才能使工厂获利最多？
第12页，本讲稿共64页
第二章 线性规划的图解法
• 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
位于同一直线 上的点，具有 相同的目标函
数，称为“等 值线”。
|||| 6789
x1
第21页，本讲稿共64页
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4—
3 —A
B
2—
1—
0
|| |
O
12 3
C
| D|
45
中职二元线性规划问题的图解法
ABCD
在工作表中输入二元线性 规划问题的各个参数，如 目标函数系数、约束条件 系数和常数项。
Excel将给出最优解、最 优值以及满足约束条件的 解集。
MATLAB求解方法
01
在MATLAB中，使用 “fmincon”函数来求解二元线 性规划问题。
02
输入目标函数系数、约束条件系 数和常数项，以及其他求解参数
资源分配问题的图解法
通过绘制二维平面图，将资源分配问题中的两个决策变量（如医生和床位的数量）在平 面图上表示出来，并根据约束条件和目标函数绘制等效用线或等效用面积，找到最优解。
运输问题
运输问题
在物流和运输领域中，如何合理安排运 输路线和运输量，使得运输成本最低、 运输效率最高。例如，在货物配送中， 如何选择最佳的配送路线和车辆数量， 使得总运输时间和总成本最小。
特点
二元线性规划问题具有明确的目标函 数和约束条件，且目标函数和约束条 件都是线性的，即只包含一次项。
问题的提
实际应用
二元线性规划问题在实际生活中有着广泛的应用，如生产计 划、资源分配、投资组合优化等。
问题形式
给定一组线性约束条件和目标函数，求解两个决策变量的最 优值。
问题的解决方式
解析法
通过代数方法求解二元线性规划问题， 需要一定的数学基础和计算能力。
求解最优解
将最优解位置代入原问题中，求得最优解的值。
分析最优解
根据求得的最优解，分析其对原问题的意义和影 响。
03
二元线性规划问题的实 际应用
生产计划问题
生产计划问题
在生产过程中，需要确定各种产品的生产数量、生产时间和生产成本，以满足市场需求和利润最大化 。二元线性规划可以用来解决这类问题，通过优化生产计划，提高生产效率，降低生产成本。
线性规划的图解法
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
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二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
中职 二元线性规划问题的图解法PPT学习教案
7 x 7 y 5
174xx174
y y
6 6
x
0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
第15页/共22页
（三）例题分析
④求 (求 Z 的最值 )
③移 (平移目标函数,寻找最优解)
②画 (画可行域)
解方程组
1
5
7
M
3 7
1 7
12 77 28X+21y=0
如何求点M的坐标?
7 x 7 y 5
第7页/共22页
2x+y=10 (4,2)
A
x+2y=8
归纳总结：
利用线性规划求最值，一般用图解法 求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域 .
（2）移：作出目标函数的等值线.
（3）确定最优解：在可行域内平最行优移解动目
标函数等值线，从而确定
.
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小第8值页/共. 22页
食物／kg
A B
碳水化合物／ kg
0.105
0.105
蛋白质/kg
0.07 0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
第14页/共22页
分析:
①列(列线性约束条件,目标
线性约束条件
函0.10数5x＋) 0.10y 0.075
00..1047xx＋ 00..0174
y y
0.06 0.06
x 0
y 0
y
2x+y=10
2x+y=10
A
(4,2)
0
x+2y=8
x
x+2y = 8 2x+y = 10
二元线性规划问题的图解法精要
A(4,2)
（0,0）
x+2y=8
得最大值。所以
minz=0,maxz=14
解：∵目标函数
z=ax+y 2.变式在 2：观察例 1 A（4,2）处
精确作图
2x+y=10
2 3
的平面区域，若使 取得最大值为 14，
目标函数 ∴ 4a+2=14＞0)取得 z=ax+y(a 最大值为 14 ，则 a ∴a=3. 的值为3或2.8 .
X=0,y=3
新学径：P332举一反三
利用二元线性规划求最值，一般用图解 法求解，其步骤是 （1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数变形后纵截距等于 零的直线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动变 形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。 （4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小值.
2
2x+y=10
A(4,2)
x+2y=8
x 2 y 4 1.已知x,y满足约束条件 x y 1 , 求目标函数z=3x-y的 x 2 0 最大值和最小值。
Zmin=-9 Zmax=5
x 0 2.平面内满足不等式组 x 2 y 3的所有点中，则使目标函数 2 x +y 3 z=x-y取最小值时x,y的整数值分别是多少？
新学径：P331-334
学生用书：抛物线第 一课时双基部分
z 往从下往右上 解：当 y 2 3 3
方平移时，直线在 y轴上的 1.变式1：求例1中函数
z=2x+3y在平面区域 截距随之增大，故所对应的 5x+10y≤40 z值也随之增大。因此， 120x+60y≤600 z=2x+3y x,y≥0在原点0（0,0）取 内的最大值和最小值 . 4,2）取 得最小值，在 A点（
二元线性规划问题的图解法
代代入入33xx--yy++mm 所所得得数数值值异同号号，， 则则有有（（33--22++mm））（（33--11++mm））<＞0 0 所所以以（（mm++11））((mm++22))＞<00 即即：：-m2<<-m<2-或1m＞-1
y
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
（1）x +4y>4
x+4y=4
x+4y>4
变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
o x+4y<4
x
y
o
x-y-4=0
x
x-y-4>0
例2 画出不等式 y <－2x+6 表示的平面区域. 变式1：2x+y－6<0区域？
y < －2x+6 变式2：2x+y－6≤0区域？
5. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质， 0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低， 需要同时食用食物A和食物B多少kg？
合作讨论，构建新知
解移和探A直就由右还x究线表直上是时 纵：+B：，示线方减y＞直系值， 坐∵+如A当不平小∴如Cx直标0线数Z图同移？CA+=当取B限0=果＞：的时线y（y平A不直的=在直，A制0A没、0上同移平线Z＞x平，线值=的条+点有B面，0移时BA往随，B值符直这得x的件＞AB+y时右之，角些到B＞的＞号横0，时y坐直。上增0的，由所）坐变0不标线当，值方大得，表于系可直标是化同的当示平，中以线B增x方一，，看往大程条做 所以情Z=况Ax是+B不y的同值的也。在不
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江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：
教学内容
实际操作中可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，
检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等
式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域，对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
二例题讲解
例1 ：画出不等式90
x y
+-<所表示的平面区域。
解：第一步画直线90
x y
--=（画成虚线）
第二步将坐标原点的坐标代入，得
0099
+-=-＜0
而原点在直线90
x y
--=的左下方，所以直线90
x y
--=左下方的区域就是不等式90
x y
+-<所表示的平面区域。
图中阴影部分.
教学内容练习 1：判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？
（用“左上方”、“左下方”、“右上方”、“右下方”填空）
（1）不等式230
x y
+->表示直线230
x y
+-=
的平面区域；
（2）不等式20
x y
->表示直线20
x y
-=
的平面区域；
（3）不等式0
x y
+<表示直线0
x y
+=
的平面区域．
2、画出不等式20
x y
-+≥所表示的平面区域.
学生巩固练习
例2：画出不等式组
12
010
015
x y
x
y
+≥
⎧
⎪
≤≤
⎨
⎪≤≤
⎩
所表示的平面区域。
解：
第一步：画出不等式12
x y
+≥所表示的平面区域.
（师生共同完成）
第二步：画出不等式010
x
≤≤所表示的平面区域；第三步：画出不等式015
y
≤≤所表示的平面区域.
上述区域的交集就是不等式组表示的平面区域
江苏省XY中等专业学校2021-2022-2教案编号：。