第三章线性规划的解法习题解答090426y

第三章线性规划的解法§3.1重点、难点提要一、线性规划问题的图解法及几何意义1．图解法。

线性规划问题采用在平面上作图的方法求解，这种方法称为图解法。

图解法具有简单、直观、容易理解的特点，而且从几何的角度说明了线性规划方法的思路，所以，图解法还有助于了解一般线性规划问题的实质和求解的原理。

（1）图解法适用于求解只有两个或三个变量的线性规划问题，求解的具体步骤为：1）在平面上建立直角坐标系；2）图示约束条件，找出可行域。

具体做法是画出所有约束方程(约束条件取等式)对应的直线，用原点判定直线的哪一边符合约束条件，从而找出所有约束条件都同时满足的公共平面区域，即得可行域。

求出约束直线之间，以及约束直线与坐标轴的所有交点，即可行域的所有顶点；3）图示目标函数直线。

给定目标函数Z一个特定的值k，画出相应的目标函数等值线；4）将目标函数直线沿其法线方向向可行域边界平移，直至与可行域边界第一次相切为止，这个切点就是最优点。

具体地，当k值发生变化时，等值线将平行移动。

对于目标函数最大化问题，找出目标函数值增加的方向(即坐标系纵轴值增大的方向)，等值线平行上移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最大值的最优解；对于目标函数最小化问题，找出目标函数值减少的方向(即坐标系纵轴值减少的方向)，等值线平行下移到可行域(阴影部分)的临界点，最终交点就是取得目标函数最小值的最优解。

（2）线性规划问题的几种可能结果：1）有唯一最优解；2）有无穷多个最优解；3）无最优解(无解或只有无界解)。

2．重要结论。

（1）线性规划的可行域为一个凸集，每一个可行解对应该凸集中的一个点；（2）每一个基可行解对应可行域的一个顶点。

若可行解集非空，则必有顶点存在，从而，有可行解必有基可行解。

（3）一个基可行解对应约束方程组系数矩阵中一组线性无关的列向量，对于n 个变量m 个约束方程的线性规划问题，基可行解的个数不会超过!!()!m n n m n m C =-。

（4）如果最优解存在，则最优解或最优解之一（具有无穷多个解的情形），一定可在可行域的凸集的某个顶点上找到。

二、线性规划模型的标准形式与标准化线性规划模型的形式有多种多样，这给求解线性规划问题带来不便。

虽然图解法对线性规划模型的形式没有限制，但它对变量个数有约束。

为寻求统一规范的求解方法，我们定义线性规划模型的标准形式，将线性规划模型的所有形式都转化为标准形式进行研究。

1．线性规划模型的标准形式11211122112122222122,,,max ..n nn n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x z c x c x c x s t +++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪≥⎪⎩=+++1111123-1 其中，0,1,2,,i b i m ≥= 标准形式(3-1)具有几种等价的表示形式。

（1）一般形式 1,2,,1,2,,max ..n j jj nij j i j jc x a x b i m x j n z s t ==⎧==⎪⎨⎪≥=⎩=∑∑110（2）矩阵形式 max .z cXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩0（3）向量形式max ..nj j j cXx b X z s t =⎧=⎪⎨⎪≥⎩=∑P 10 其中n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 111212122212， 11,,)(,n c c c c =，12m b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=X 1 12,1,2,,j j j mj a a j n a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 线性规划模型标准形式中的一般形式、矩阵形式和向量形式等三种表达形式是等价的，在应用中可根据需要灵活使用。

2．线性规划模型的标准形式的特点线性规划模型的标准形式具有四个特点：（1）目标函数是最大化类型：max cX z =（2）约束条件均由等式组成：AX b =（3）决策变量均为非负：X ≥0（4）资源常数项非负：≥b 03．线性规划模型的标准化 根据线性规划模型标准形式的特点，我们可以将其它形式的线性规划模型转化为标准形式，这种转化过程称为线性规划模型的标准化。

（1）目标函数的转化。

若原问题的目标函数是最小化，即min n j j j c x z ==∑1则可将原目标函数乘以-1，等价转化为最大化问题max min()nj j j c x z z ='=-=-∑1转化后的问题与原问题有相同的最优解。

（2）约束条件的转化。

约束条件的转化是将不等式约束转化为等式约束。

如果约束条件为n ijj i j a x b =≤∑1则引入松弛变量0n i x +≥，将其转化为等价的等式约束条件n ijj n i i j a x x b +=+=∑1如果约束条件为n ijj i j a x b =≥∑1则引入剩余变量0n i x +≥，将其转化为等价的等式约束条件n ijj n i i j a x x b +=-=∑1总之，若原问题的约束条件中，约束为“≤”型，则左边+松驰变量转化为等式约束；若约束为“≥”型，则左边－剩余变量转化为等式约束。

（3）变量约束的转化。

如果原问题中某变量非正，即0j x ≤，则令0j j x x '=-≥；如果原问题中某变量j x 是自由变量(即无非负限制)，则可令,0,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥≥将变换后的变量代入原问题，得到的转化后的问题与原问题具有相同的最优解。

（4）资源常量的转化。

如果某个资源常量0i b ≤，则先将0i b ≤所在的约束式两边乘以－1使得0i i b b '=-≥后，再将不等约束化为等式约束。

三、单纯形法原理与基本思路丹捷格（G ．B ．Dantzig ）在1947年提出的求解线性规划问题的单纯形法，使线性规划在理论上渐趋成熟，在实际应用中日益广泛和深入。

单纯形法的原理：如果线性规划问题的可行域D 非空，则可从D 的某一顶点X 0出发，判断它是否最优；如果不是，则沿着边界找其邻近的另一个顶点，新顶点应该比原顶点更优，再次判优；如果不是，再次沿着边界找其邻近的顶点，再判优。

通过逐次迭代，直至找出最优解或判定问题无解。

单纯形法的原理表明，单纯形法是一种迭代算法。

根据单纯形法的原理，可得出单纯形法求解的基本思路：（1）求线性规划问题（LP ）的初始基可行解X 0，并将线性规划问题的相关数据简单明了、恰当地表示出来(制成单纯形表)；（2）判别X 0是否为最优解。

为此，需要给出一个基可行解是否为最优的判别准则；（3）如果X 0不是最优解，则应另求基可行解X 1，且使得 C T X 1< C T X 0（至少C T X 1≤ C T X 0）。

同时，由X 0相应的单纯形表给出X 1相应的单纯形表。

这里，需要给出X 1迭代X 0的换基迭代(进基、出基)原则（4）若X 1仍非最优解，则视X 1为X 0重复步骤（3），直至线性规划问题求得最优解，或判定目标函数在D 内无下界。

四、用单纯形法求解线性规划模型的具体步骤1．第1步，找出初始基，建立初始单纯形表。

如果在标准型线性规划模型中，约束条件系数矩阵中至少含有一个单位子矩阵B ，不妨设B =（12,,,m P P P ）（单位子矩阵B 称为基，其对应的变量B X 称为基变量，对应的价值（费用）系数记为B C ，其余变量N X 为非基变量），且目标函数中不含基变量,则可简便地确定初始基可行解。

在线性规划模型中，令非基变量0j x =，求出基变量i x 的值，即得初始基可行解。

注意，在实际问题中，直接确定初始基B 是比较困难的。

2．第2步，判断最优，检验各非基变量j x 的检验数1j B j j C B P c σ-=-。

（1）若所有的0j σ≥，则基B 为最优基，相应的基可行解即为基最优解，停止计算；（2）若某个负检验数0j σ<，它所对应的列向量的全部分量112(,,,)0T s s s ms B P a a a -=≤，则该线性规划问题的目标函数值无上界，即线性规划问题具有无界解，停止计算；（3）若某个负检验数0j σ<所对应的列向量有正分量，则基B 不是最优基。

转第3步。

3．第3步，换基迭代。

（1）确定换入变量s x ，单纯形表从左至右选择检验数为负的进基。

（2）确定换出变量r x ，单纯形表中按最小比值原则从上至下选择变量出基。

根据确定θ的规则，对k P 列计算θ=min {i ik b a ︱ik a ＞0}=l lkb a ，确定l x 为出基变量，该规则称为最小比值原则。

再返回第2步。

四、改进单纯形法求解线性规划模型的具体步骤1.设线性规划的标准形式为max .0Z s t ==⎧⎨≥⎩CXAX b X 其中，()()()0ij m n n a r m n b ⨯===<≥12A P ,P ,P A ，，。

在标准形式中，设矩阵B 为基，则有B B N N SB N S B N S max X X X X X X ..X ,X ,X 0zC C B N I b s t =++⋅++=⎧⎨≥⎩0其中，B N S X X X ，，分别为基变量、非基变量和松弛变量；B N C C 与分别为基变量和非基变量的价值系数；N I 与分别为非基变量系数矩阵和单位阵。

在目标函数中消除基变量，则有111111max ()..0B B N N B SB N S B N S zC B b C B N C X C B X X B NX B X B b s t X X X ------=---⎧++=⎪⎨≥⎪⎩，，于是，可建立对应于基B 的矩阵形式的单纯形表T （B ）：表3-1 矩阵形式的单纯形表T （B ）表中的1B C B -称为单纯形乘子，它是一个m 维的行向量。

对于基B ，可给出线性规划模型的简洁形式的单纯形表T （B ）：表3-2 矩阵简洁形式的单纯形表T （B ）2．检验数的本质对于标准形式的线性规划模型 max .0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩ 它的变量之间有着确定的数量关系，即由约束方程组AX b =所确定的关系，目标函数中的各个变量间当然也有相同的数量关系。

如果把约束方程组确定的变量间的数量关系反映到目标函数中，则目标函数的表达式就等价地变为另一种形式。

比如，对于选定的可行基B ，把约束方程组AX b =变形，把每一个基变量都用非基变量和常数表达出来，再把这些表达式代入目标函数，则目标函数的新的表达式中将不再含有基变量(或者说在目标函数的新的表达式中．基变量的系数全是0)，这时目标函数新的表达式中各个变量的系数就是此变量的检验数。